4 POLIEDRE

Fig. 4.1 Reprezentarea piramidei

Un corp mărginit de suprafețe plane, poligoane regulate sau neregulate poartă numele de poliedru. Intersecția

dintre două fețe ale unui poliedru este o dreaptă ce poartă numele de muchie, iar intersecția dintre mai multe fețe se

numește vârf.

Cele mai folosite poliedre sunt prismele și piramidele. Poliedrele care au fețe poligoane regulate se numesc

poliedre regulate. În epură, poliedrele se reprezintă prin vârfurile și muchiile care le determină.

Regulile de vizibilitate în reprezentarea poliedrelor sunt:

- poliedrele sunt opace, astfel unele muchii sunt vizibile, iar altele invizibile;

- conturul aparent este vizibil;

- o față a poliedrului este vizibilă atunci când are un punct vizibil ce nu aparține conturului aparent;

- dintre două fețe care se intersectează după o muchie de contur aparent, una este vizibilă iar cealaltă invizibilă;

- muchiile care se întâlnesc într-un vârf din interiorul conturului aparent sunt toate vizibile sau invizibile, după cum

punctul este vizibil sau invizibil.

4.1.1 Piramida. Punct pe suprafața piramidală

Suprafața piramidală este generată de o

dreaptă generatoare ce trece printr-un punct fix

și se sprijină pe un poligon regulat.

Piramida este corpul limitat de o

suprafață piramidală și un plan care

intersectează toate muchiile piramidei.

Un punct aparține piramidei dacă este

situat pe o dreaptă generatoare a piramidei.

În figura 4.1.a este reprezentată o

piramidă oblică cu baza în planul orizontal de

proiecție, iar în fig.4.1.b este reprezentată o

piramidă dreaptă cu baza în planul orizontal de

proiecție.a)

b)

Fig. 4.2 Intersecția piramidei cu un plan

de capăt

4.1.2 Intersecția piramidei cu un plan. Intersecția piramidei cu o dreaptă.

Se consideră piramida oblică SABC cu baza în

planul orizontal de proiecție. În figura 4.2 este

reprezentată intersecția piramidei cu un plan de capăt

[P]. În proiecție verticală punctele de intersecție dintre

urma verticală P′ și piramidă sunt punctele m′ ∈s′a′,n′ ∈ s′b′ și q′ ∈s′c′. Se obține proiecția verticală m′n′q′.Proiecția orizontală a punctelor m, n și q se obține

coborând linii de ordine pe muchiile sa, sb și sc. Se

obține proiecția orizontală mnq.

Fig. 4.3 Intersecția piramidei cu o dreaptă

În figura 4.3 este reprezentată intersecția unei

piramide oblice SABC cu baza în planul orizontal de

proiecție și o dreaptă oarecare D(d,d′). Prin dreapta

D(d,d′) se construiește planul de capăt [P], astfel că

P′≡d′. În proiecție verticală se determină punctele deintersecție dintre urma verticală P′ și muchiile piramidei,

astfel că m′ ∈s′a′, n′ ∈ s′b′ și q′ ∈s′c′. Se obține proiecțiaverticală m′n′q′. Proiecția orizontală a punctelor m, n și q

se obține coborând linii de ordine pe muchiile sa, sb și sc.

Se obține proiecția orizontală mnq.

Proiecția orizontală d a dreptei D(d,d′) intersecteazăproiecția orizontală mnq în punctele i ∈mq și j ∈nq. Cu liniide ordine se găsesc în proiecție verticală i′ ∈m′q′ și j′∈n′q′.

Punctele I(i,i′) și J(j,j′) sunt punctele în care dreapta

intră, respectiv iese din piramidă.

Fig. 4.4 Desfășurarea piramidei oblice

4.1.2 Desfășurarea piramidei oblice

În fig. 4.4.a se consideră piramida SABC cu baza în planul orizontal de proiecție. Pentru a desfășura piramida

este necesar să se determine adevarata mărime a muchiilor piramidei. Se construiește axa de rotație, verticala

Z(z,z′) prin vârful piramidei și prin rotație de nivel se rotesc muchiile piramidei până devin drepte frontale.În proiecție

verticală muchiile s′c1′, s′b1′ și s′a1′ apar în adevărată mărime. Desfășurata piramidei oblice este reprezentat[ ]n figura

4.4 b)

a)b)

Fig. 4.5 Prisma. Punct aparținând

prismei

4.2.1 Prisma. Punct pe suprafața prismatică

Suprafața prismatică este generată de o dreaptă mobilă, care se sprijină pe un poligon director și care în timpul

mișcării este paralelă cu o dreptă dată. Prisma se obține prin intersecția suprafeței prismatice cu două plane care să

taie toate muchiile.

Un punct aparține prismei dacă este situat pe o dreptă ce aparține suprafeței prismatice.

Fig. 4.6 Intersecția prismei

cu un plan de capăt

Fig. 4.7 Intersecția prismei

cu o dreaptă

4.2.2. Intersecția prismei cu un plan. Intersecția prismei cu o dreaptă.

4.2.3 Desfășurarea prismei

Fig.4.8 Desfășurarea prismei

5.1 Suprafețe curbe

Fig. 5.1 Reprezentarea conului

Suprafețele curbe sunt suprafețe obținute prin mișcarea unor linii drepte sau curbe numit generatoare, după

anumite legi.

În funcție de forma generatoarei, suprafețele curbe sunt:

-suprafețe riglate: au generatoarea o linie dreaptă (suprafețe conice, suprafețe cilindrice etc.)

-supafețe neriglate: au generatoarea o curbă (suprafața sferei, suprafața torului etc.)

În epură, suprafețele curbe se reprezintă prin conturul aparent, cu respectarea regulilor de vizibilitate stabilite

la poliedre și prin trasarea axelor de simetrie, de rotație.

5.1.1 Conul. Punct pe suprafața conului

Suprafața conică este generată de o

dreaptă generatoare ce trece printr-un punct

fix și se sprijnă pe o curbă directoare închisă

sau deschisă.

În epură conul se reprezintă prin

proiecțiile curbei directoare și prin proiecțiile

vârfului conului, construindu-se generatoarle

care limitează conturul aparent atât în plan

orizontal cât și în plan vertical.

Fig. 5.2 Punct pe suprafața conului

5.1.2 Punct pe suprafața conului

Fig. 5.3 Intersecția unui con cu o dreaptă

5.1.3 Intersecția conului cu o dreaptă

Un punct aparține suprafeței conice dacă

este situat pe o generatoare a acestei

suprafețe. Unui punct a cărui proiecție

verticală se cunoaște, îi corespund două

proiecții orizontale.

Fig. 5.4 Desfășurarea conului oblic

5.1.4 Desfășurarea conului oblic

Fig. 4.5 Cilindrul. Punct pe suprafața cilindrului

5.1.5 Cilindrul. Punct pe suprafața cilindrului

Suprafața cilindrică este generată de o dreaptă mobilă, care se sprijină pe o curbă directoare și care în timpul

mișcării este paralelă cu o dreaptă dată. Cilindrul se obține prin intersecția suprafeței cilindrice cu două plane care să

taie toate generatoarele.

Un punct aparține cilindrului dacă este situat pe o generatoare ce aparține cilindrului.

5.1.6 Desfășurarea cilindrului

Fig.5.8 Desfășurarea cilindrului