4. prekidaČka algebra. kanonične forme...Др Милован Миливојевић дипл....
TRANSCRIPT
1 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme1
4.1. Postulati i teoreme Postulati:
0 11 0
x za xx za x= ≠= ≠
0 1
1 00 0 01 1 1
=
=⋅ =+ =
1 1 10 0 01 0 00 1 1
⋅ =+ =⋅ =+ =
08.05.17
1 Sl
ajdo
vi s
u ge
nera
lno
bazir
ani n
a re
fere
nci [
2]
br. jednačina shema jednačina shema
1. x x x+ =
1’. x x x⋅ =
2. 0x x+ =
2’. 1x x⋅ =
3. 1 1x + =
3’. 0 0x ⋅ =
4. 1x x+ =
4’. 0x x⋅ =
2 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
1. Teorema o idempotentnosti
x x xx x x+ =⋅ =
...... n
x x x n x xx x x x x+ + + = ⋅ =
⋅ ⋅ = =
2. Teorema o identitetu
01
x xx x+ =⋅ =
3. Teorema o nula-elementima
1 10 0
xx+ =⋅ =
1 2
1 2
... 1 10 0
x xx x+ + + =⋅ ⋅⋅⋅ =
4. Teorema o komplementu
1
0
x x
x x
+ =
⋅ =
5. Teorema o involuciji
x x=
6. Teorema o komutativnosti
1 2 2 1
1 2 2 1
x x x xx x x x+ = +⋅ = ⋅
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
3 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
7. Teorema o asocijativnosti
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2
( ) ( )( ) ( ) ( )
x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x+ + = + + = + +⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
8. Teorema o distributivnosti
1 2 1 3 1 2 3
1 2 2 3 1 2 3
( )( ) ( )x x x x x x xx x x x x x x⋅ + ⋅ = ⋅ ++ ⋅ + = + ⋅
9. Teorema o apsorbciji
1 1 2 1
1 1 2 1 3 1 1... n
x x x xx x x x x x x x+ ⋅ =+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
10. Teorema o potpunom sažimanju
21 2 1 1x x x x x⋅ + ⋅ =
11. Teorema o nepotpunom sažimanju
2 21 2 1 1 1 2 1x x x x x x x x x⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
4 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
12. De-Morganova teorema
Po ovoj teoremi inverzija funkcije ravna je funkciji inverziranih promenljivih, pri čemu su sve sume zamenjene proizvodima a proizvodi sumama ili rečima algebre logike: disjunkcija se zamenjuje konjukcijom sa inverziranim promenljivim i obrnuto.
1 2 31 2 31 ( ... ) nny x x x x x x x x= + + + + = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
1 2 31 2 32 ( ... ) ... nny x x x x x x x x= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + + +
o Dokaz ovog pravila daje se za primer dve logičke varijable:
1 21 2( )x x x x+ = ⋅
1x 1x 2x 2x 1 2x x+ 1 2x x+ 1 2x x⋅ 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0
5 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
13. Teorema o ekspanziji (razvijanju, proširenju)
Po ovoj teoremi svaka logička funkcija od n logičkih promenjivih se može razviti i napisati na sledeći način:
11 2 3 1 2 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 3
( , , ,..., ) (1, , ,..., ) (0, , ,..., )
( , , ,..., ) [ (0, , ,..., )][ (1, , ,..., )]n n n
n n n
y f x x x x x f x x x x f x x x
f x x x x x f x x x x f x x x
= = ⋅ +
= = + +
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
6 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
7 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
• MINTERMOVI za funkcije jedne, dve i tri promenljive su:
1n = 2n = 3n = i ip i ip i ip
0 1x 0 1x 2x 0 1x 2x 3x 1 1x 1 1x 2x 1 1x 2x 3x
2 1x 2x 2 1x 2x 3x
3 1x 2x 3 1x 2x 3x
4 1x 2x 3x
5 1x 2x 3x
6 1x 2x 3x 7 1x 2x 3x
8 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
• Pošto je logička funkcija u razvijenom obliku ima izgled:
2 1
0 0 1 1 2 1... n n
f p f p f p f−−
= ⋅ + ⋅ + + ⋅ , ona predstavlja sumu (DISJUNKCIJU) proizvoda
(KONJUKCIJA), jer se vrednosti za if ne ispisuju ako su 1, a ne uzimaju u jednačini ako
su 0.
• Ovo omogućuje da se logička funkcija zadata tabelarno, prikaže u analitičkoj formi:
o Vrste u kombinacionoj tablici odgovaraju MINTERMOVIMA
o Vrednosti funkcije u kombinacionoj tablici odgovaraju koeficijentima if
• Sledi da će se u analitičkom obliku logičke funkcije naći samo mintermovi za koje je 1if =
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
9 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
• Prema izloženom sledi postupak:
o Jednačina funkcije zadate tabelarno, formira se tako, što se prvo obrazuju proizvodi (konjukcije) svih binarnih promenljivih u onim vrstama kombinacione tablice za koje je 1if = a zatim se obrazuje
suma (disjunkcija) tih proizvoda. Promenljiva čija je vrednost 1, zapisuje se u afirmaciji ( ix ), a promenljiva čija je vrednost 0, zapisuje
se u negaciji ( ix )
• Dobijeni izraz predstavlja sumu proizvoda ( iy p=∑ ) i naziva se SAVRŠENA
DISJUNKTIVNA NORMALNA FORMA (SDNF) logičke funkcije
1 2 3( , , ,..., )ny f x x x x= .
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
10 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
11 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
• Svaka logička funkcija može imati više normalnih formi ali samo jednu SAVRŠENU NORMALNU FORMU
• Svaka funkcija u obliku DNF može se prevesti u SDNF dopunom nepotpunog proizvoda do punog proizvoda (minterma) (nepotpuni proizvod se množi sa (
iix x+ ))
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
12 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
Postupak:
1 3 22 3
1 3 1 2 1 3 2 1 22 1 3 2 1 3 3
1 2 1 3 23 2 1 3
( )
y x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x SDNF
= ⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅ ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
• SDNF logičke funkcije može se zapisati i u decimalnoj notaciji
o Primer:
1 2 1 3 23 2 1 3
001 010 1011 2 5
y x x x x x x x x x SDNF= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ →
3
(1, 2,5)y =∑
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
13 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
• Na osnovu decimalne notacije logičke funkcije u obliku SDNF može se inverznim postupkom generisati KOMBINACIONA tablica
o Primer: Za funkciju 3
(1, 2,5)y = ∑ , KOMBINACIONA tablica je
i x1 x2 x3 f1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 0
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
14 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
• Logička funkcija se može izraziti i u vidu PROIZVODA suma (DISJUNKCIJA) i takav oblik se naziva SAVRŠENA KONJUKTIVNA NORMALNA FORMA (SKNF).
o i iy p f= ⋅∑
o i iy p f= ⋅∑ , primenom De-Morganove teoreme
o ( )i i iiy p f p f= ⋅ = +∑ ∏
o Kako minterm predstavlja puni proizvod onda je
1 2 31 2 3 ... ... nn ipi x x x x x x x x s= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + + + =
o is se naziva MAKSTERM
o Kako je 1 1is + = i 0i is s+ = , u proizvod ∏ ulaze samo MAKSTERMI
za koje je 0if = , s tim što će one promenljive iz KOMBINACIONE tablice
koje su imale vrednost 0 biti u afirmaciji a one koje su imale vrednost 1 u negaciji.
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
15 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
o Primer: Za funkciju 3
(1, 2,5)y =∑ , zadatu preko SDNF,
KOMBINACIONA tablica je:
i x1 x2 x3 f1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 0
Funkcija se može izraziti u SKNF:
2 3 1 1 2 1 2 31 2 3 1 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )y x x x x x x x x x x x x x x x= + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + +
o SKNF može se zapisati u decimalnoj notaciji: 3
(0,3, 4,6,7)y ==∏
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
16 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
• Dobijena jednačina je identična sa ranije dobijenom SDNF, iz čega proizilazi da se na osnovu Kombinacione tablice, logička funkcija može izraziti pomoću SDNF ili SKNF, a odabraće se ona jednačina koja sadrži manji broj članova (suma ili proizvoda)
• Isto kao i kod SDNF, pored SKNF postoji KONJUKTIVNA NORMALNA FORMA (KNF), izražena u formi proizvoda suma, pri čemu neka od suma ne sadrži sve nezavisne varijable.
• Neka logička funkcija može imati više KNF a da ne promeni svoju vrednost ali samo jednu SKNF.
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
17 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4.3. Primeri nekih logičkih funkcija u NORMALNOJ formi
Primer 1. Sabiranje po modulu 2 (EKSKLUZIVNA DISJUNKCIJA): 1 2y x x= ⊕
i x1 x2 f1 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0
Prema pravilima SDNF sledi:
2 11 2 1 2y x x x x x x= ⊕ = ⋅ + ⋅
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
18 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
Primer 2. Funkcija NILI (Pierce, NOR): 1 2y x x= ↓
i x1 x2 f1 0 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 0
Prema pravilima SDNF sledi:
1 21 2y x x x x= ↓ = ⋅
Primer 3. Funkcija NI (Sheffer, NAND): 1 2/y x x=
i x1 x2 f1 0 0 0 1 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0
Prema pravilima SKNF sledi:
1 21 2 1 2/y x x x x De Morgan x x= = + = − → ⋅
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
19 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
Primer 2. Funkcija NILI (Pierce, NOR): 1 2y x x= ↓
i x1 x2 f1 0 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 0
Prema pravilima SDNF sledi:
1 21 2y x x x x= ↓ = ⋅
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
20 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
Korisne adrese:
http://www.williamson-labs.com/480_logic.htm#pos-neg-logic
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
21 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
22 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
23 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
24 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
25 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
Korisne adrese:
http://www.vivaxsolutions.com/physics/allogicgates.aspx
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
26 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
27 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
28 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
29 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17
Reference
[1] Drndarevic D., Upravljanje procesima – priručnik, Visoka poslovno-tehnička škola, Užice 2015.
[2] Zarić S., Automatizacija proizvodnje, Mašinski fakultet, Beograd, 1987.
[3] http://www.williamson-labs.com/480_logic.htm#pos-neg-logic
[4] http://www.vivaxsolutions.com/physics/allogicgates.aspx
30 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице
Hvala na PAŽNJI!!!
4. PREKIDAČKA ALGEBRA. Kanonične forme
08.05.17