4. RELLOTGE VERTICAL DECLINANT El rellotge declinant representa el cas més general pel que fa als rellotges verticals, i és el cas d’un mur en el qual la seva perpendicular no coincideix amb la meridiana (sud) sinó que té una declinació. En el cas de què l’angle que forma la perpendicular respecte a la meridiana siga positiu (sentit de gir positiu respecte de les agulles del rellotge) direm que el quadrant mira a ponent, mentre que si és negatiu direm que mira a llevant. També podem dir que si la perpendicular al mur es trova a l’esquerre de la meridiana el quadrant mira a ponent i si es trova a la dreta a llevant. En aquests rellotges doncs hi haurà de conèixer la declinació del mur per a poder dibuixar los (per tant hi haurà que medir-la in situ, però a continuació veurem que el propi càlcul ens ofereix una forma de portar a cap la medició, encara que hi han moltes d’altres i que més avant parlarem d’elles. 1. Càlcul trigonomètric Tenim dos sistemes de coordenades XYZ associat al pla vertical i el X’Y’Z’ associat al plànol declinant.

Fig 4.1 OB gonom recte perpendicular al pla declinant BS linea llum S Punt d’ombra (x’,y’)=(OF,FC) PV Pla vertical PD Pla declinant Si fem una vista perpendicular al pla XY obtindrem la fig 4.2. i aplicant el teorema del senus

Fig 4.2

Les coordenades del punt S (OF, 0, FS)

punt S (

Les variables A,h es relacionen amb les d,H mitjançant les fórmules de Gauss. A partir de la fórmula del punt S podem dibuixar íntegrament el rellotge tant les linees horàries fent d=cte i després les còniques de declinació fent H=cte. (cte=constant). 1. Càlcul vectorial. Les coordenades del gnòmon seran (0,g,0). El vector perpendicular al pla tindrà de coordenades (g.sen Ao, gcos Ao, 0) i com el passa per (0,0,0) la seua equació es pot representar per g.sen Ao. x + g.cos Ao. y = 0 ó el que és el mateix sen Ao. x + cos Ao. y = 0.

Fig 4.3 La recta (línea de llum) que passa per la punta del gnòmon serà:

x = kv1 +g.senAo y = kv2 +g.cosAo z = kv3 substituint a l’equació del pla

i com V (v1,v2,v3) =(cosh.sen A, cosh.sen A,0) resulta fent un canvi de coordenades del pla X’Y’Z’ al XYZ tindrem (vegeu la fig 4.4)

fig 4.4 x’ = OB-BA= x.cos Ao – y.sen Ao y’ = BD+EC= x.sen Ao + y.cos Ao z’ = z

z’ = z i substituint pels valors de k

y’ = 0

I substituint els valors de V (v1,v2,v3)

y’=0

que són idèntics als obtinguts anteriorment.

Per a =90º obtenim la situació del punt d’arranc del gnòmon polar, com anteriorment havíem calculat:

cosh.senA = cos .senH = 0

cosh.cosA = cos .cosH.sen - sen .cos = -cos

senh = cos .cosH.cos + sen .sen = sen en l’equació de x’ obtenim:

Coordenades del punt on naix el gnòmon polar Op ( ,0, ) 3. Mesura de la declinació del mur

1. Anem a calcular en primer lloc l'Ao (declinació del mur) a les 12H (H=0,00º en angle horari) , en les fórmules de Gauss

v1=cosh.senA = cos .senH = 0

v2=cosh.cosA = cos .cosH.sen -sen .cos = cos .sen -sen .cos i en l’ equació de x’ podem calcular el valor de Ao

és a dir, podem medir l’ombra x’ en horitzontal a les 12H i fent l’operació anterior podem

calcular la declinació del mur, però s'ha de tindre en compte que les 12 H es temps solar

(temps vertader) i s'haurà de fer les correcsions per longitud i per l’equació del temps per

a la data en què es pren la magnitud. (més avant veurem com s'ha de fer) 2.Anem a calcular el Ao a qualsevol hora (resulta que el dia que tens que medir passa un nuvol i no pots traure la medició de les dotze del migdia hora solar). De l’equació de x’ dividint per cos Ao i tenint en compte que:

V1=cosh.senA = cos .senH

V2=cosh.cosA = cos .cosH.sen - sen .cos

V3=senh = cos .cosH.cos + sen .sen Aleshores el valor de x’ en funció de A,h

I en funció de ,H

despejant tgAo i fent un canvi de variable B=cos .cosH.sen -sen .cos

x’.cos .senH.tgAo+Bx’ = -g.cos .senH+g.B.tgAo

(x’.cos .senH- g.B).tgAo = -g.cos .senH- Bx’

podrem traure el valor de Ao a partir d’aquesta fórmula a qualsevol hora del día i convé prendre la mesura fugint de les hores del migdia per a obtenir ombres més llargues i per tant menys error.

1. Relació entre el gnòmon i les seues projeccions Si les coordenades del punt on naix el gnòmon polar en el plànol X’Y’Z’ son

Op ( ,0, ) com ja hem calculat abans.

fig. 4.4

l' orige del gnòmon recte és el Or

el orige del gnòmon polar és el Op la punta del gnòmon es B la longitud del gnòmon recte és g=OrB i els paràmetres que determinen la situació del gnòmon seríen:

La subestilar és la línea que uneix ambdós orígens dels gnòmons recte i polar i correspon al segment OrOp.

=

la longitud del gnòmon polar serà:

=

que es pot comprovar que son idèntics als que dona Rafael Soler Gayá al seu llibre “Diseño y construcción de relojes de sol”, fent la salvetat que ell anomena com gp a la longitud del gnòmon polar que nosaltres anomenen com L, o siga L=gp A continuació ens donen els valors calculats, segons les dues opcions:

Segons càlculs adjunts Segons Rafael Soler

Angles

Costats

f=g

Gràficament també podem aplegar a dibuixar tots els components del gnòmon, seguint la següent figura

Fig 4.5 Les dades inicials que és tenen són la longitud del gnòmon recte (f) que en un primer moment podem suposar igual a la unitat i després escalar el rellotge a tamany adequat. La

declinació del mur (suposadament 30º) i la declinación del lloc ( =39,1957º la de l’esglèsia del meu poble). A partir d’eixes tres dimensions queda totalment definit el dibuix, ja que el

segment v és perpendicular al PD, i el cercle (OrOpB) es traça prenent el punt mitjà del segment OpB. 2. Obtenció del angle horari.

Els angles horaris són els angles que formen les linees horàries que partiesen del arranc del gnòmon polar amb la meridiana PB, i es pot determinar per trigonometria a partir de la figura 4.6.

Fig 4.6 Siga una hora qualsevol determinada per l’ombra del gnòmon que en la intersecció de l’eix X assenyala el punt C. Siga ɣ l'angle horari vertical, β el angle horari horitzontal. L' angle que forma OrCB és el mateix que forma el CBD que correspon a 90-(Ao+β) En el triangle BPC

i de la expressió anterior

tenint en compte β és l'angle horari horitzontal ja calculat.

Tg β = sen .tgH Per tant si no volem dibuixar les còniques de declinació i sols volem representar les linees horàries, procedirem en primer lloc a determinar els angles ɣ que formen les linees horàries del rellotge vertical declinant amb la meridiana i després mitjançant les tangents calcular els segments s1, s2, s3… etc. com ja s’ha dit per als rellotges verticals meridians. A continuació i una vegada traçades totes les linees horàries inclús aquelles que no càpiguen al dibuix, procedirem a situar la subestilar unint l’orige de coordenades (peu del gnòmon recte) i l' arranc del gnòmon polar (confluència de les línees horàries. Així tindrem dibuixades les linees horàries del rellotge i situat el gnòmon polar i el recte perpendicular al plànol, ara no mes queda escalar el dibuix en funció del valor de g.

3. Cas singular de Ao=±90. És el cas del rellotge que mira exactamente a ponent o a llevant i queda contés en un pla vertical. Com a singularitat d’aquets rellotges està el que : 1. El gnòmon polar queda paral.lel al pla del quadrant.

2. L’arc horari corresponent a les 12H es paral.lel al pla del quadrant per tant no es pot representar. 3. Les linees horàries són rectes.

1. Càlcul analític. Com ja s’ha fet altres vegades s’ha aplica el teorema del senus als angles

Fig 4.7 Fig 4.8

De la figura 4.8, aplicant el teorema del senus, tenim:

De la fig 4.7 tenim

per tant resulten el següents valors, (positius els de x’ per A<90º )

I pasant a coordenades equatorials en funció de la declinació i l’angle horari, per les fórmules de Gauss

(4.5)

2. Càlcul vectorial. Les coordenades del gnòmon en XYZ (g,0,0), les coordenades del plànol del quadrant x=0 i la recta que passa per la punta del gnòmon

i la intersecció de la recta i el plànol x=0 ens dona

i fent un canvi de coordenades dels eixos XYZ als X’Y’Z’ tenim

que resulta idèntica a l'anterior.

Per a =90º s’obté l'arranc del gnòmon polar com hem fet fins ara per al reste dels

rellotges, per tant les coordenades seran ( ,0, ) per tant com no hi han interseccions resulta paral.lel al plànol X’Z’.

Per a les 12H tenim que H=0º i el punt C resulta ( ,0, ) per tant resulta també al infinit i no es pot representar al plànol, precisament per què el quadrant és paral.lel a l'arc horari.

Si les equacions anteriors (4.5) del punt d’ombra C les multipliquem per sen i per cos obtenim:

I si les restem

Per tant és l’equació d’una recta amb pendent m=1/tg

L’equinoccial es trau fent =0º en les coordenades del punt d’ombra C per tant:

i d’elles s’obté

x’=-tg .z’ açó vol dir que és una recta i té pendent m=-tg , perpendicular a les linees horàries.

4. Representació gràfica 6.1 Representació de les hores 6.1.1 Mètode 1.

Si es vol fer la representació gràfica a partir sols de la declinació del mur i de la longitud del lloc pél mètode general s’operaria de la següent forma. En primer lloc cal dibuixar el esquema de la representació gràfica del gnòmon i les relacions amb els costats que defineixen les seues projeccions. (S’adjunta el dibuix de l'esquema d' un rellotge que declina 7.5º a l’oest a més de la seua comprovació gràfica com abans em fet menció).

Fig. 4.8 Esquema de representació del gnòmon i els seus costats i angles característics

En primer lloc es parteix d’una recta qualsevol vertical, després es dibuixa a la dreta de la vertical si el rellotge declina a l’oest l’angle de declinació del mur (PB) i a l’esquerre en cas contrari. Des d'un punt qualsevol de la recta horitzontal B i formant un angle igual a la latitud del lloc (en aquest cas 39.1957º) es dibuixa BOp i es trau el punt Op amb la intersecció a la vertical. Es dibuixa un cercle amb centre en Op i radi OpB per a trovar B en l’intersecció en la recta PB (serà el centre on s’ubicarà el rellotge horitzontal per a traure les subdivisions del vertical declinant), dibuixant una vertical trobarem Or (centre del gnòmon recte), unint ambdós punts Or-Op s’obté la subestilar i la linea que pasa per B i es perpendicular a ella es la recta equinoccial. En al part superior si dibuixem la perpendicularr a la subestilar i fem un cercle amb centre en OP i radi OpB obtenim la projecció del gnòmom en vertadera magnitud.

Fig. 4.9 Esquema de la comprobació gràfica

Doncs el punt B resulta el centre del rellotge horitzontal com podeu comprovar a la fig 4.6, col.locant doncs el pol del rellotge horitzontal en B i orientant-l’ho de manera que les 12H coincidisquen amb la meridiana. Hi prolongant les linees horàries d’aquest rellotge fins a l’horitzontal PB trobarem les subdivisions de les linees horàries del rellotge vertical declinant que unirem amb el pol del rellotge punt Op.

Fig. 4.10 Representació gràfica de les linees horàries d’un rellotge vertical que declina 7.5º cap a l’Oest per a la latitud 39.1957º. 6.1.2 Mètode 2.També es pot fer la representació del rellotge vertical declinant sense passar per la representació del rellotger horitzontal (a partir de la representació del rellotge equatorial), de la següent forma:

1. Dibuixar la linea vertical OpB (meridiana del rellotge), emplaçant així aleatoriament el centre del quadrant en el punt Op, on naix el gnòmon polar. 2. Recta horitzontal per P 3. Recta PB des del punt P formant un angle amb la vertical igual a la declinació del mur, a la dreta de la meridiana si declina a ponent i a l'inrevés si és a llevant. 4. Recta vertical per un punt B qualsevol fins la intersecció amb l'horitzontal i obtenint el punt Or (BOr defineix la longitud del gnòmon recte i Or el punt de naiximent). 5. Recta OpOr que defineix la subestilar (projecció del gnòmon polar ortogonalment al plànol vertical i per tant recta que passa pels punts on naixen ambdós gnòmons). 6. Recta per Or perpendicular a la subestilar i de longitud BOr (gnòmon recte), al dibuix es traça l'arc B-B amb centre per a ajudar-se. 7. La recta que uneix el punt B obtés i el punt Op és el gnòmon polar en vertadera nmagnitud. 8. Traçat de la recta pel punt B perpendicular al gnòmon polar (OpB) fins trovar a la subestilar en el punt N. 9. Linea per N perpendicular a la subestilar obtenint la linea equinoccial 10. Arc amb centre el punt N, obtés anteriorment, i radi NB que talla a la subestilar en el punt Oe, centre del rellotge equatorial. 11. Dibuix del rellotgte equatorial (hores cada 15º) orientant-l'ho de forma que la linea de les 12H tinga la direcció OeT, sent T la intersecció de la meridiana i l'equinoccial. 12. Prolongament de les linees fins a l'equinoccial i des d'eixos punts d'intersecció al punt Op s'obtenen les linees horàries del rellotge vertical declinant.

Fig. 4.11 Representació gràfica de les linees horàries d’un rellotge vertical que declina 7.5º cap a l’Oest per a la latitud 39.1957º. 6.1.3 Mètode 3 Segons el "TRATADO DE GNÒMONICA U DE LA THEORICA, Y PRACTICA DE LOS RELOXES DE SOL" del Doctor Thomas Vicente Tosca, Presbyteo de la congregación del Oratorio de San Felipe Neri de Valencia. Proposició XX1. Rellotge per una paret vertical declinant. Aquest mètode de traçat és el que s'utilitzava històricament i en primer lloc el que buscava és la meridiana (iniciant el procediment de dibuix del rellotge a partir del punt 6 del procediment citat a continuació) i a partir d'ella és desenrrotllava el rellotge sencer gràficament, en l'actualitat en primer lloc es determina la inclinació de la paret "in situ" o a patir d'altres mètodes i a continuació mijançant mètode gràfic o de càlcul per ordinador es determina el rellotge. Una vegada col.locat el gnòmon perpendicular a la paret es determinava un punt d'ombra al migdia (12 hores solars) i la seua vertical ens dóna directament la meridiana. La meridiana s'obtenia prenent dos punts d'ombra en els que el sol feia la mateixa altura, medint-la mitjançant un quadrant amb pínules, o també, prenent un sol punt al mig dia vertader en el moment donat en el moment en què l'ombra coindeix en una meridiana treta en un pla horitzontal

(fent un arc amb centre el pal vertical o una plomada i calculant la bisectriu de l'ombra que toca dues vegades el arc), aquest mètode pareix més exacte que el citat anteriorment. Amb tot aixo i el que em pogut comprovar, per mitjà de dibuix fet a ordinador, és que el rellotge resulta totalment exacte, però apareixen punts d'intersecció molt llunyans i que en la realitat física complicarien el seu traçat. En la literatura del Pare Tosca apareixen procediments per a calcular-los dins de l'àrea del mateix rellotge, com a continuació podrem vorer. 1. Horitzontal per A (peu del gnòmon). 2. Vertical per A. 3. Segment AB (gnòmon). 4. Angle ABX declinació de la paret. 5. Recta vertical per X - meridiana (a l'esquerre di declina a ponent). 6. Cercle centre X radi XB, intersecció amb l'horitzontal - punt C. 7. Recta CZ que forme angle=latitut (altura del polo) amb l'horitzontal, intersecció amb la meridiana - punt Z. 8.Recta CQ perpendicular CZ, intersecció amb la vertical - punt Q. 9. Recta BE perpendicular a BX, intersecció amb l'horitzontal - punt E. 10. Recta EQ (equinoccial) 11. Recta ZA - subestilar. 12. Recta AD perpendicualr AZ- AD=AB=gnòmon 13. Recta ZD - eix del mon. 14. Punt O, intersecció de l'equinoccial i de la subestilar. 15. Semidiàmetre de l'equinoccial segment DO. COMPROVACIÓ: 1. Recta DO serà perpendicular a ZD 2. Recta ZO perpendicular a EQ. TRAÇAT DE LES LINEES HORÀRIES Mètode 1 1. Cercle en O radi OD, intersecció amb la subestilar - punt N 2. Rec ta NE perpendicular NO. 3. NQ/NE formen un quadrant de cercle 4. Subdividir el quadrant en 6 parts i allargar les rectes fins a l'equinoccial. 5. Linees horàries unint Z amb els punts obtinguts en l'equinoccial. Mètode 2 1. Col.locant un rellotge horitzontal en el punt B, orientant les 12H amb la recta BX. 2. Allargant les linees horàries fins a l'horitzontal. 3. Linees horàries unint Z amb els punts obtinguts en l'horitzontal.

S'adjunta per la seua importància el mètode que utilitzava Thomas Vicente Tosca per obtenir la meridiana i per tant concluir el rellotge sense medir prèviament la declinació de la paret.

Proposició XVIII Càlcul de la meridiana Fixat el gnòmon recte a la paret es prendrà durant el mateix dia dos punts d'ombra (R, T) equidistants, al matí i a la vesprada per a que siguen prou distants entre ells i d'eixa manera obtenir mes exactitud en el mètode. Existeixen vàries formes per a determinar quin és el moment de prendre l'ombra referida, podem tindre dibuixat un cercle a terra i una plomada i agafar dos punts equidistants qualsevols o podem medir l'altura solar amb un quadrant i agafar dos punts amb igual altura l'un de matí i l'altre de vesprada.

En el primer mètode és col.locarà una plomada amb un testig en la vertical i des del seu centre es dibuixarà un cercle (millor varis cercles per si al moment de prendre l'hora a la vesprada fa núvol) marcant l'ombra en la paret vertical, en quant l'ombra toque dues vegades el cercle traçat al terra (matí i vesprada). 1. Horitzontal per A (peu del gonomon). 2. Segment de linea vertical per R fins a l'horitzontal - punt Q. 3. Segment de linea vertical per T fins a l'horitzontal - punt H. 4. Segments de linea RA, TA. 5. Segment de linea BQ. 6. Segment de linea BH. 7. Segment de linea vertical per T fins a l'horitzontal - punt H. 8. Bisectriu dels segments BQ, BH - punt S. 9. Segment de linea BS, intersecció horitzontal - punt M. 10. Vertical per M - meridiana.

Fig. 4.12 Representació gràfica de les linees horàries d’un rellotge vertical que declina 7.5º cap a l’Oest per a la latitud 39.1957º.

6.2 Representació de les corbes de declinació.

6.2.1 Mètode 1. Per a traçar les corbes de declinació es procedirà com s'ha comentat al rellotge vertical meridià, ajudant-se del dibuix que s'adjunta fent girar el trígon entre els punts d'idèntic nom. S'utilitzen aquí les referències de la linea equinoccial i una linea qualsevol perpendicular, el trígon se situarà coincidint la linea equinoccial

( =0º) amb la perpendicular dita, fent-l'ho girar des d'aquesta posició. Al dibuix següent es dona el camí a seguir:

Fig. 4.13 Esquema Traçat corbes declinació (vorer rellotge vertical meridià)

6.2.2 Mètode 2. També es pot seguir aquest mètode de traçat de les corbes de declinació, que arreplega D.J. ARFE al seu "Manual para construir toda especie de relojes de sol. Barcelona 1882". Contempla també la disposició de les corbes de declinació el Pare Tosca en el seu Tractat de Gnòmonica, bàsicament és el mateix concepte que el d'Arfe però considerant que la figura del trígon es simètrica col.loca a un costat i l'altre del trígon les línes de matí i de la vesprada. Adverteix que es poden dibuixar des de un mateix costat totes les linees però argumenta la distinció feta per a no confondre en base a que a la poca distància que hi ha entre elles. Siga el trígón representat a la figura següent (també es poden representar més declinacions, com per exemple les d'una data determinada o determinades dates que ajuden a dibuixar l'analema, punt on s'anul.la l'equació del temps, etc). El trígon s'ha dibuixat per als angles ±23,45, ±20,17, ±11,33 a la seua base es dibuixen els signes zodiacals i al seu vèrtex o es dibuixa una recta OB horitzontal de igual magnitud que el gnòmon polar OB. El procediment és realitza hora a hora, per a les 10H:

1. Segment BM (distancia des de el pol fins a l'equinoccial). 2. Cercle radi BM i centre B fins trovar el punt (M) instersecció amb l'equinoccial, es realitza per a cada hora corresponent en aquest cas a les 10H. 3. Obtenció dels punts a10, b10,c10,d10,e10,etc. 4.Portar aquestes distàncies al rellotge i unir els punts corresponents. 5. Els signes dels zodíiacs entren aprox. el 20 de cada mes i per a representar-los al rellotge es pot seguir la indicació de la base del trígon on és troben representats.

Fig. 4.14 Trígon amb declinacions

Fig. 4.15 Esquema del traçat dels punts al rellotge