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Respuesta Frecuencial

ITIS - SAC Tema2: Herramientas de análisis y simulación - Respuesta frecuencial

Introducción

• Respuesta frecuencial: – Estudio del comportamiento de la amplitud y fase de la

señal de entrada a un sistema frente a la amplitud y fase de la señal de salida.

• Para sistemas lineales:– Entrada: x=Asen(wt) Salida: y=Bsen(wt+f)– La respuesta ante una señal senoidal es otra señal

senoidal de la misma frecuencia y con distintas amplitud y fase.


• Obtención de la respuesta frecuencial.– A partir de la FdT:

– FdT senoidal:

( )

==

))(Re(

)(Im

)(

)()(

jwG

jwGatanArgumento

jwGMódulo

sGjwGjws

)(

)()(

jwX

jwYjwG =


• Ventajas del estudio en frecuencia:

– Estudio de estabilidad sin calcular raíces.• Estabilidad absoluta y relativa.

– Obtención experimental.


Diagramas de Bode

• Representación gráfica que consta de dos curvas en función de la frecuencia (en escala logarítmica):

– Curva de magnitud: Módulo de la respuesta frecuencial expresado en decibelios.

– Curva de fase: Argumento de la respuesta frecuencial expresado en grados.

( ))(log20)( 10 jwGwM =

)()( jwGw ∠=φ


• Ventajas de los diagramas de Bode:

– Representación compacta del espectro.• La escala logarítmica en la frecuencia permite tener en el

mismo gráfico tanto las bajas como las altas frecuencias.

– Facilidad para la obtención de respuestas de factores simples combinados.

• La magnitud en decibelios transforma los productos en sumas.

• Con la fase ocurre lo mismo.


Ejemplo de diagrama de Bode

– El comportamiento de la curva de magnitud se analiza en función de la pendiente. Se mide en:• Decibelios por década: magnitud en w y en 10w.

• Decibelios por octava: magnitud en w y 2w.


Diagramas de Bode de los factores básicos

• Factor constante: k

Diagrama de k=10.

• La curva de magnitud se mantiene contante en 20log10(k).

• La fase es 0.


• Factor integral: 1/s– G(jw)=1/(jw)

• Magnitud: M(10w)=20log10(|1/(j10*w)|) = 20log10|1/(jw)|-20=M(w)-20 (pendiente de -20dB/década)

• Fase constante en -90º.


• Factor derivativo: s– G(jw)=jw

• Magnitud: M(10w)=20log10(|j10*w|) = 20log10|jw|+20=M(w)+20 (pendiente de +20dB/década)

• Fase constante en +90º.


• Factor de primer orden: 1/(1+sT)– G(jw)=1/(1+jwT)

• Frecuencias bajas -> factor constante.

• Frecuencias altas -> integrador.

Diagrama de 10/(s+10).


• Factor de primer orden: 1+sT– G(jw)=1+jwT

• Frecuencias bajas -> factor constante.

• Frecuencias altas ->derivador.

Diagrama de (s+10)/10.


• Factor cuadrático: 1/(1+2ξjw/wn+(jw/wn)^2)– Frecuencias bajas -> constante– Frecuencias altas -> integrador^2– Frecuencia y pico de resonancia

Diagrama de 10/(s^2+s+10).


• Factor cuadrático: 1+2ξjw/wn+(jw/wn)^2– Frecuencias bajas -> constante– Frecuencias altas -> derivativo^2

Diagrama de (s^2+s+10)/10.


• Factores combinados– Frecuencias bajas -> número de polos/ceros en el origen– Frecuencias altas -> exceso de polos-ceros


Aplicaciones: estabilidad absoluta y relativa

• Definiciones previas:– Frecuencia de cruce de ganancia:

• aquella en la que la magnitud de la respuesta frecuencial es unitaria (pasa por cero decibelios)

• |G(jwg)| = 0 dB

– Frecuencia de cruce de fase:• donde la fase de la respuesta frecuencial vale -180º

∀ ∠ G(jwf) = -180º


Fcg≈1.2 rad/seg, Fcf≈2.2 rad/seg

– Ejemplo:


– Margen de ganancia:• inversa de la magnitud de la respuesta frecuencial en la Fcf,

expresada en decibelios

• |1/G(jwf)|

– Margen de fase:• 180 más la fase de la respuesta frecuencial en la Fcg

• 180 + ∠ G(jwg)

• Márgenes de ganancia y de fase.


r(t) y(t)e(t) u(t)

s(s+1)(s+5)K

-

1

• K=10

– Fcg ≈ 1.2 rad/seg

– Fcf ≈ 2.2 rad/seg

– Mg ≈ +9.5 dB

– Mf ≈ +25º

– Ejemplo 1


• K=30

– Fcg≈Fcf≈2.2 r/s

– Mg≈0dB, Mf≈0º

• K=100

– Fcg≈3.9 r/s, Fcf≈2.2 r/s

– Mg≈-10.5dB, Mf≈-23.5º

– Ejemplo 1 (cont.)


– Para que un sistema sea estable en bucle cerrado su respuesta frecuencial en bucle abierto debe tener márgenes de ganancia y fase positivos.

– Valores deseables:• Margen de fase 30-60º

• Margen de ganancia 6 dB

• Pendiente de la curva de magnitud en Fcg menor que -40 dB/década

• Criterio de estabilidad.


)5)(4)(3)(2)(1()(

2

+++++=

sssss

sKsG

Curvas de Bode para K=3000

Fcg ≈ 12 rad/seg

Fcf ≈ 9 rad/seg

Mg ≈ -9 dB

Mf ≈ -25º

INESTABLE

– Ejemplo 2


Lugar de las raíces y polos en bucle cerrado para K=1000.

– Ejemplo 2 (cont.)


Relación entre respuesta frecuencial y temporal

– Margen de fase: • Relación directa con el coeficiente de amortiguamiento.

– Frecuencia de resonancia:• Relación directa con las oscilaciones, e inversa con el tiempo de

establecimiento.

– Pico de resonancia: • Relación directa con la magnitud de la sobreoscilación, e inversa

coeficiente de amortiguamiento.

– Ancho de banda: • Relación directa con la sensibilidad al ruido.


Otras representaciones: Diagramas de Nyquist

• Representación frecuencial alternativa que emplea un único diagrama.

[ ] [ ]

+=+=+

=)(cos

)()()(Im)(Re)(

φφφ jsinAAe

wjYwXjwGagjjwGaljwG j

– Representación parte real, parte imaginaria.– Coordenadas polares.


Ejemplo de diagrama de Nyquist

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