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Respuesta transitoria

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Respuesta transitoria

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Introducción

• La respuesta de un sistema ante una señal de entrada se divide en dos partes:

)()()( tytyty rpt +=

– Respuesta transitoria: comportamiento inicial de la salida y evolución en los primeros instantes.

– Respuesta en régimen permanente: comportamiento final de la salida (t->∞).

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• Señales de test.– Se emplean señales de entrada normalizadas para facilitar

el estudio de la respuesta.• Escalón. r(t)

t• Rampa. r(t)

t

• Parábola. r(t)

t

r(t)=u(t)

R(s)=1/s

r(t)=t

R(s)=1/s^2

r(t)=t^2

R(s)=1/s^3

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Parámetros de la respuesta

r

• Respuesta ante escalón.

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• Parámetros de la respuesta transitoria.

– Sobreoscilación máxima (Mp).• Valor del mayor pico de sobreoscilación (en % sobre el valor

final).

– Tiempo de pico (tp).• Tiempo que tarda el sistema en alcanzar el sobreimpulso máximo.

– Tiempo de retardo (td).• Tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 50% del valor final.

– Tiempo de subida (tr).• Tiempo que tarda el sistema en pasar del 10% al 90% del valor

final.

– Tiempo de establecimimento (ts).• Tiempo que tarda el sistema en entrar dentro de la franja de +-5%

del valor final.

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r

Sobreoscilación

Tiempo de

pico

• Sobreoscilación.

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ITIS - SAC Tema1: Señales y Sistemas - Resp.Transitoria

r

0.5*r

0.9*r

0.1*r

Tiempo de subida

Tiempo de

retardo

• Retardo y subida.

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ITIS - SAC Tema1: Señales y Sistemas - Resp.Transitoria

r

0.95*rTiempo de

establecimiento

• Establecimiento.

1.05*r

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Error en régimen

permanente

Valor

final

• Régimen permanente.

r

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• Otros parámetros.– Amortiguamiento.– Frecuencia/periodo de oscilación.

r

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Sistemas de primer orden

• Un sistema de primer orden posee un único polo.

– Su función de transferencia es de la forma

1

1)(

+=

TssF

– La respuesta ante un escalón de entrada (R(s)=1/s) es

+= −

1

11)( 1

TssLty

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– Descomponiendo en fracciones simples

TteTs

T

sLty /1 1

1

1)( −− −=

+−+=

• Respuesta para T=10.

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– El valor de T (constante de tiempo) determina la velocidad de la respuesta.

• Respuesta para T=1.

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• Respuesta para T=100.

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Sistemas de segundo orden

• Un sistema de segundo orden posee dos polos.

– Su función de transferencia normalizada es de la forma

22

2

2)(

nn

n

wsws

wsF

++=

ζ

– Los dos polos están situados en

d

nn

jw

jwwss

±==−±−=

σζζ 2

21 1,

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– Parámetros:∀ σ (factor de amortiguamiento): Inversa de la cte. de tiempo.∀ ζ (coeficiente de amortiguamiento): Oscilación de la respuesta.

• wn (frecuencia natural no amortiguada): Frecuencia de oscilación de la respuesta si no existiera amortiguamiento.

• wd (frecuencia amortiguada): Frecuencia de oscilación con amortiguamiento.

wnwd=wn(1-ζ^2)^(1/2)

σ= ζ wn

θ

σ

jw

ζ=cos θ

PLANO S

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• Lugares en el plano s.

σ

jw

S

Frecuencia natural constante.

σ

jw

S

Coeficiente de amortig. constante.

σ

jw

SFrecuencia amortig. constante.

σ

jw

SFactor de amortig. constante.

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• Tipos de respuesta.� ζ>1: Respuesta sobreamortiguada (el sistema tiene dos

polos reales).

• Respuesta para un sistema con polos en -1 y -2.

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– 0<ζ<1: Respuesta subamortiguada (el sistema tiene un par de polos complejos conjugados).

• Respuesta para un sistema con polos en -1±10j.

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� ζ=1: Respuesta críticamente amortiguada (el sistema tiene un polo real doble).

• Respuesta para un sistema con polo doble en -1.

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– Otros ejemplos:• Coeficiente de amortiguamiento constante.

• Factor de amortiguamiento constante.

• Frecuencia natural constante.

• Frecuencia amortiguada constante.

Simulación

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• Fórmulas de cálculo de los parámetros de la respuesta transitoria.

d

d

r w

wtant

−=

σπ 1

dp w

tπ=

100xeM dwp

πσ

=

σπ=st

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Sistemas de orden superior

• Los polos y ceros adicionales afectan a la respuesta del sistema de diverso modo.– El efecto es mayor cuanto más cercanos estén los

polos/ceros añadidos a los existentes.– Un polo tiende a incrementar el tiempo de subida y

reducir la sobreoscilación.

– Un cero reduce el tiempo de subida e incrementa la sobreoscilación.

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• Polos dominantes.– Los polos que más afectan a la respuesta de un sistema

son los que se encuentran más próximos al origen del plano s.

• Aproximación de sistemas de orden superior.– Un sistema de orden elevado puede ser reducido a otro de

orden inferior para simplificar su estudio.– Para ello hay que descartar los polos/ceros que afecten en

menor medida a la respuesta del sistema.• Raíces alejadas del origen.

• Pares polo/cero cercanos entre sí.

– Siempre se estará cometiendo un error.

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Parámetros de la respuesta

r

Sobreoscilación

0.5*r

0.9*r

0.1*r

Tiempo de subida

Error en régimen

permanente

Tiempo de

establecimiento

Valor

final

Tiempo de

retardo

Tiempo de

pico