4 state space
TRANSCRIPT
STATE SPACE MODELLING
4.1 Persamaan State Space
HUBUNGAN ANTARA TRANSFER FUNCTION DAN STATE SPACE
System persamaan transfer function
System persamaan state space
Transformasi laplace untuk persamaan state space
Gambar 4.1 Blok diagram system mekanikal
Diasumsikan x(0) = 0, sehingga
Kalikan kedua sisi dengan
Subtitusikan persamaan di atas sehingga
Bandingkan persamaan….. dengan…..sehingga dapat dilihat persamaannya menjadi
Dengan
= polynomial dalam s
= karakteristik polynomial
Kembali ke system mekanikal di atas, sekarang sudah diperoleh persamaan transfer
function dari suatu system yang mempunyai persamaan state space.
Contoh mekanikal
Gambar Spring-mass-dashpot
Untuk system translasi, hokum Newton kedua menyatakan
atau
Bentuk transfoemasi Laplace untuk masing-masing persamaan di atas
Set inisial untuk , , bentuk transformasi laplace pada persamaan
di atas dapat di tulis kembali sebagai
Transfer function untuk system di atas ditulis
Berikutnya adalah mendapatkan model state space
Contoh
Carilah state space pada Gambar 4.1 jika outputnya adalah arus yang melewati resistor.
Gambar 4.1 Rangkaian listrik
Jawab
atau
Output persamaannya adalah
Hasil akhir untuk state space dinyatakan dalam bentuk matrik
Contoh 2
Carilah representatip state-space pada persamaan berikut
Jawab
Buat sebuah perkalian silang
Buat inverse transformasi Laplace
Buat variable derivative untuk tiap state variable
Buat persamaan state untuk kedua sisi
Bentuk vector matrix-nya adalah
Transfer function pada contoh di atas mempunyai sebuah konstanta di numerator. Jika
transfer function mempunyai sebuah polynomial dalam s di numerator yang ordenya lebih
kecil dari polynomial denominator, maka keduanya harus dipisah. Transfer function
pertama adalah denominator yang dikonversikan ke dalam state space seperti berikut.
Gambar decomposing transfer function
Contoh 3
Carilah representatip state space pada persamaan transfer function berikut
Jawab
Dimana,
Buat inverse laplace transform
Dengan demikian persamaannya menjadi
Dan bentuk state space sebagai barikut
Contoh
Carilah transfer function , dimana adalah input dan adalah
output.
Jawab
Pertama carilah
Kemudian carilah
Subtitusikan , B, C, dan D ke dalam persamaan:
Sehingga
Hasil akhir di dapatkan bentuk transfer function sebagai berikut,