4 time evolution

Quantum Mechanics ระดบบณฑตศกษา 4 Time Evolution 4-1

Dr. Teepanis Chachiyo ภาควชาฟสกส มหาวทยาลยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009

4Time Evolution

เนอหา 4.1 Time Evolution Operator

4.2 Precession ของ Spin 12

Particle ในสนามแมเหลก

4.3 การหมน 360 องศาของ Neutron 4.4 Magnetic Resonance 4.5 Ammonia Maser 4.6 บทสรป 4.7 ปญหาทายบท วตถประสงคหลกอนหนงของการศกษาฟสกส กคอความสามารถในการทจะทานายสงทจะเกดขนในอนาคต หรอการศกษาปรมาณทางฟสกสทเปลยนแปลงไปกบเวลา เพราะฉะนนในบทท 4 น เราจะกลาวถงระเบยบวธในทาง quantum mechanics ทจะเปนกลไกในการศกษาวาสถานะตางๆนน จะมการเปลยนแปลงไปกบเวลาอยางไร

4.1 Time Evolution Operator สมมตวาเราทราบขอมลเกยวกบสถานะของระบบ ณ เวลา 0t = ซงอาจจะเขยนใหเปนสญลกษณโดยใช ket ไดวา )0( =Ψ t จากนน ดวยระเบยบวธของ quantum mechanics ทไดกลาวถงในบทท 2 เราสามารถจนตนาการไดวา ม operator ซงอาจจะแทนดวยสญลกษณ ˆ ( )U t โดยท operator ดงกลาวน สามารถทเปลยนสถานะ ket ณ เวลา t=0 ใหเปนสถานะ ket ณ เวลา t หรอเขยนในรปของสมการไดวา

ˆ ( ) ( 0) ( )U t t tΨ = = Ψ ______________ สมการ (4.1) ถงแมวาในขณะน เรายงไมทราบวา operator ˆ ( )U t ดงกลาวน มรปแบบหรอเอกลกษณในทางคณตศาสตรเปนอยางไร แตดวยคานยามในสมการ (4.1) นน เราเรยก ˆ ( )U t วาเปน time evolution operator หรอ operator ททาใหสถานะของระบบเปลยนไปกบเวลานนเอง



ในทานองเดยวกนกบการศกษา rotation operator ในบทท 2 ซงเรมดวยศกษาการหมนทเปนมมเลกๆรอบแกน z หรอทเราใชสญลกษณ ˆ( )R dϕ k time evolution operator กเชนเดยวกน เราสามารถเรมดวยการพจารณา

ˆ ( ) ( 0) ( )U dt t dtΨ = = Ψ ______________ สมการ (4.2) สมการ (4.2) แสดงถงมมมองวา operator U เปน operator ททาการเปลยนสถานะ ket เรมตน ใหเปนสถานะผลลพธภายหลงจากเวลาผานไปเพยง dt เทานน และในลกษณะเดยวกนกบ

infinitesimal rotation operator ดงสมการ (2.122) ทวา ˆ ˆ( ) 1 ziR d J dϕ ϕ= −k เราสามารถเขยน

ˆ ˆ( ) 1 iU dt H dt= − ______________ สมการ (4.3)

โดยท operator H ซงมหนวยเปนพลงงานนน โดยลกษณะความสมพนธทางคณตศาสตรในสมการ (4.3) แลวจะเหนวา H กคอ generator of time evolution หรอกลาวอกนยหนง H เปน operator ทเปนตวกาหนดวา สถานะของระบบจะมการเปลยนไปตามเวลาในลกษณะอยางไร ดวยอาศยสมบตทางคณตศาสตรดงในแบบฝกหด 2.23 เราเขยน time evolution operator ใหอยในรปของ H ไดวา

ˆˆ ( )

iH t

U t e−

= ______________ สมการ (4.4) ดงในสมการ (4.4) ขางตน เราไดเหนถงรปแบบทางคณตศาสตรของ time evolution operator ˆ ( )U t อยางคราวๆ แตทวา สมการ (4.4) นนไมไดมประโยชนมากมายนก เพราะวาเรากยงไมทราบอยดวา operator H แททจรงแลวคออะไร มรปแบบทางคณตศาสตรอยางไรบาง ดงนน การเขยน ˆ ( )U t ใหอยในรปของ H จงเปนเพยงการ "ผดวนประกนพรง" ตราบใดทเรายงไมทราบวา H คออะไร และมรปแบบในทางคณตศาสตรเปนเชนใด แบบฝกหด 4.1 จงพสจนวา time evolution operator ˆ ( )U t มสมบตเปน unitary operator กลาวคอ

( ) ( )†ˆ ˆ 1U t U t =



แบบฝกหด 4.2 จงใชความเปน unitary ของ time evolution operator เพอบอกวา H ดงทนยามในสมการ (4.3) นน ตองเปน Hermitian operator [หมายเหต: เมอ H เปน Hermitian แสดงวามนเปน operator ทสามารถแทนกระบวนการวดทางฟสกสได เพราะม eigenvalue เปนจานวนจรง]

H คอ Hamiltonian Operator นอกจากเราจะสามารถตความไดวา operator H กคอ generator of time evolution ซงเปน operator ทกาหนดลกษณะการเปลยนแปลงไปตามเวลาของ state ใดๆ operator H กยงมความหมายอกแงหนงทเราคนเคยเปนอยางด และใน Section 4.1.1 น เราจะมาวเคราะหถงตรรกะทางคณตศาสตรเพยง 2 ขอ และจะเปนตนตอของบทสรปทสาคญอนหนงทเกยวของกบความหมายของ H ซงนอกจากจะเปน generator of time evolution H ยงมสมบตเปน Hamiltonian operator หรอเปน operator ทเกยวของกบพลงงานรวมของระบบอกดวย จากความสมพนธระหวาง ˆ ( )U t และ H ดงสมการ (4.4) เราสามารถบอกไดวา ˆ ˆ[ ( ), ] 0U t H = และเมอ ˆ ( )U t commute กบ H จาก Section 3.4 ในบทท 3 เราสรปไดวา eigenstate ของ H กคอ eigenstate ของ ˆ ( )U t โดยอตโนมตนนเอง สมมตวาเราพจารณา eigenstate ของ H ซงเขยนอยในรปของ

H Eε ε= ______________ สมการ (4.5) เมอเหนสมการดงในลกษณะสมการ (4.5) ขางตน นกศกษาจะตองไมลมวา สถานะ ε นน ไมใชจะเปนสถานะใดๆกได หากแตมนมสมบตเฉพาะตว ซงเปน eigenstate ของ operator H โดยทม eigenvalue เปน E เนองจาก H commute กบ ˆ ( )U t ดงนน ε จะตองเปน eigenstate ของ ˆ ( )U t ดวยโดยปรยาย เพราะฉะนน

ˆ ( ) iEtU t eε ε−= ______________ สมการ (4.6)



สมการ 4.6 แสดงใหเหนวา time evolution operator ไมสามารถทาใหสถานะ ε นนเปลยนแปลงตามเวลาได ดวยเหตวา หลงจากท ˆ ( )U t มากระทากบสถานะ ε แลว สถานะผลลพธยงคงเปน ε เหมอนเดม (คณดวยคาคงท iEte− เทานน)

มาถงจดน เราสามารถสรปคณสมบต 2 ประการทเกยวของกบ operator H ไดวา 1) operator H มหนวยเปนพลงงาน หรอ Joule 2) eigenstate ของ H (และรวมไปถง eigenvalue) นน ไมเปลยนไปกบเวลา จากคณสมบตทงสองขอดงทไดกลาวมาน จะเหนไดวา operator H นนเกยวของกบปรมาณทางฟสกสทไมเปลยนไปกบเวลา และมหนวยเปน Joule ดงนน H กคอ พลงงานรวมของระบบ หรอ Hamiltonian นนเอง

สมการ Schrödinger หลงจากททราบความหมายในอกแงหนงของ operator H วาเปน Hamiltonian เรากพรอมทจะ derive สมการ Schrödinger ทไดเรมคนพบเมอป ค.ศ. 1926 สมมตวาเรามสถานะ )0( =Ψ t ณ เวลา 0t = และตองการทจะหาวา สถานะดงกลาว ณ เวลา t dt+ นน มลกษณะเปนเชนใด สามารถทาไดโดยใช time evolution operator

ˆ ( ) ( 0) ( )U t dt t t dt+ Ψ = = Ψ + ______________ สมการ (4.7) อยางไรกตาม แทนทจะใหเวลาผานไปในคราวเดยวเทากบ t dt+ ดงสมการ (4.7) ในขางตน เราสามารถเลอกทจะทาใหเวลาผานไปเปน 2 จงหวะ กลาวคอ 1) ใช operator ˆ ( )U t กระทากบสถานะ

)0( =Ψ t กอน และ 2) นา operator ˆ ( )U dt เขาไปกระทาซาในรอบทสอง ซงจะไดผลลพธเปนการเปลยนไปของเวลาเทากบ t dt+ เชนเดยวกน หรอ ในรปของสมการจะไดวา

ˆ ˆ( ) ( ) ( 0) ( )U dt U t t t dtΨ = = Ψ + ______________ สมการ (4.8) เมอพจารณา สมการ (4.8) รวมกบสมการ (4.7) ทาใหเราสรปไดวา



ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )U t dt U dt U t+ = ______________ สมการ (4.9)

เมอเราแทน ˆ ˆ( ) 1 iU dt Hdt= − จากสมการ (4.3) เขาไปในสมการ (4.9) จะทาให

ˆ ˆ ˆ( ) 1 ( )iU t dt Hdt U t⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

______________ สมการ (4.10)

ความสมพนธดงในสมการ (4.10) นน สามารถจดรปกระชบมากขนคอ

ˆ ˆ( ) ( ) ˆ ˆ ( )U t dt U ti HU tdt

+ −= ______________ สมการ (4.11)

จะสงเกตเหนวา ขางซายของสมการ (4.11) นน เราสามารถนยามให ˆ ˆ( ) ( )ˆ ( ) U t dt U tU t

t dt∂ + −

≡∂

ดงนน สมการ (4.11) สามารถเขยนใหอยในรปทคลายคลงกบสมการ Schrödinger ได ซงกคอ

ˆ ˆ ˆ( ) ( )i U t HU tt∂

=∂

______________ สมการ (4.12)

ˆ( ) ( )i t H tt∂

Ψ = Ψ∂

______________ สมการ (4.13)

ซงสมการ Schrödinger ดงทเขยนในสมการ (4.13) นน ในอนาคต เราจะวกกลบมาวเคราะหสมการดงกลาวเพอประยกตใชอธบายระบบในเชง quantum mechanics ในบทท 6 แตขณะน เราจะมาศกษาตวอยาง 4 ตวอยางดวยกน ซงเปนปรากฏการณในทางฟสกสทสามารถใชความรเกยวกบ time evolution operator มาเปนเครองมอในการอธบาย dynamics ของระบบดงกลาว แบบฝกหด 4.3 ในระบบทซบซอนขนนน Hamiltonian เปนฟงชนกของเวลา ในกรณเชนน จงพสจนวา time evolution operator สามารถเขยนอยในรปของ

( )0

ˆ ˆexp ( )tiU t dt H t

⎡ ⎤′ ′⎢ ⎥= −

⎢ ⎥⎣ ⎦∫

บอกใบ - ซอย time evolution operator ใหเปนจงหวะยอยๆจาก 0, , 2 ,t t dt t dt′ ′= = = …



หมายเหต: ถาจะวเคราะหในรายละเอยดใหลกซง สมการขางตนมเงอนไขในทางคณตศาสตรเพมเตมทวา 1 2ˆ ˆ( ), ( ) 0H t H t⎡ ⎤ =⎣ ⎦

4.2 Precession ของ Spin 12 Particle ในสนามแมเหลก

สมมตวาเราพจารณาอนภาคทม spin angular momentum เปน 1 2 ซงไมจาเปนจะตองเปนอเลกตรอนแตเพยงอยางเดยว เมออนภาคดงกลาวน ตกอยภายใตอทธพลของสนามแมเหลก

kB 0B= ทเรยงตวอยในแนวแกน z เราจะมาวเคราะหวา สนามแมเหลกดงกลาว มผลอยางไรกบ spin ของอนภาคทวาน

สนามแมเหลกB

x

y

z

μ

H Bμ= − ⋅

Magnetic moment ม interaction กบสนามแมเหลก โดยทมพลงงาน


x

y

z

μ

H Bμ= − ⋅

Magnetic moment ม interaction กบสนามแมเหลก โดยทมพลงงาน

อนภาคทม spin กจะเปรยบไดกบแมเหลกขนาดเลกๆแทงหนง ซงม magnetic moment เปนฟงชนกทขนอยกบมวล และ spin ของอนภาคนนๆ ดงตอไปน

ˆˆ2gq Sm

μ = _____________________ สมการ (4.14)

เมอ g คอคาคงทเฉพาะตวของอนภาคทกาลงกลาวถง เรยกโดยทวไปวา g-factor ซงจะสามารถวดไดจากการทดลอง ยกตวอยางเชน อเลกตรอนม 2.00g = และ proton ม 5.58g = เปนตน และ q กคอประจของอนภาคดงกลาว โดยธรรมชาตแลว เมอแมเหลกทม magnetic moment μ ตกอยภายในอทธพลของสนามแมเหลก B เราสามารถเขยนไดวา พลงงานของระบบนนๆ กคอ



0

ˆ ˆ

ˆ ( )2

Hgq S Bm

μ= − ⋅

= − ⋅

B

k _____________________ สมการ (4.15)

ยกตวอยางเชนถาเรากาลงพจารณาอเลกตรอนทมประจ q e= − และ spin 1 2s = นน จะไดวา

0

0

0

ˆ ˆ ˆˆ ( ) ( )2

ˆ2ˆˆ

x y z

z

z

geH S S S BmcgeB S

m

H Sω

= + + ⋅

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

k

_________________ สมการ (4.16)

ซงทมาของสมการ (4.16) นน เราเขยน spin operator ในรปขององคประกอบตามแนวแกน x, y, และ z ดงทไดกลาวมาแลวในสมการ (2.83) และ สมการ (3.4) นอกจากน สมการ (4.16) ยงบอกอกวา พลงงานของระบบทเรากาลงพจารณาอยนนน โดยความเปนจรงแลว ขนอยกบ 1) spin angular momentum ตามแนวแกน z ของอนภาค และ 2) ขนอยกบคาคงท ซงเราเขยนรวมกนดวยสญลกษณ

00 2

geBm

ω =

จากสมการ (4.16) จะเหนวา operator H commute กบ operator ˆzS เพราะฉะนนแลว eigenstate ของ ˆzS ซงกคอ Z+ และ Z− นน เปน eigenstate ของ Hamiltonian H ดวยโดยปรยาย หรออกนยหนง

0

0

ˆˆ

2

zH Z S Z

Z

E Z

ωω

±

± = ±

= ± ±

= ±

_________________ สมการ (4.17)

ดงนน ดวยความทสถานะ Z± เปน eigenstate ของ Hamiltonian H เราบอกไดวา สถานะ

Z± ดงกลาวน จะเสถยรและไมเปลยนแปลงตามเวลา โดยทสถานะ Z+ และ Z− จะม

พลงงานเปน 20ω+=+E และ

20ω−=−E ตามลาดบ

Dynamics ของระบบ



เพอทจะศกษาการเปลยนแปลงไปตามเวลาของระบบ หรอทเรยกวา dynamics ของระบบนน เราจะตองมาพจารณา time evolution operator ˆ ( )U t ซงกเปนสาเหตทเราใชเวลาสวนหนงในตอนตนของเนอหาในบทน เรมดวยการวเคราะห Hamiltonian H เพราะวา ˆ ( )U t นนมความสมพนธกบ H ดงในสมการ (4.4) นนเอง เมอเรามาวเคราะหรปแบบของ time evolution operator ˆ ( )U t ตามสมการ (4.4) และ สมการ (4.16) จะไดวา

0 ˆ

ˆ ( )zi S t

U t e

ω−

= _________________ สมการ (4.18) ซงถาเรานยามตวแปร 0tϕ ω≡ จะทาให

ˆ

ˆ ˆ( ) ( )zi S

U t e R

ϕ

ϕ−

= = k _________________ สมการ (4.19) โดยทนกศกษาเองอาจจะจารปแบบของ rotation operator ˆ( )R ϕ k ทไดศกษาในบทท 2 ซงสมการ (4.19) นนกลาววา time evolution operator ของระบบทเรากาลงใหความสนใจอยน ไปสอดคลองกนพอดกบ rotation operator ทหมน spin ของระบบเปนมม 0tϕ ω= องศา เพราะฉะนน เราสรปไดวา ผลของสนามแมเหลกทมตอ spin ของอนภาคนน จะทาให spin ของอนภาค precess รอบๆแกน z (หรอแกนททศทางขนานกบสนามแมเหลก B ) โดยทความเรวรอบ

ของการ precess นน กคอ 00 2

geBm

ω = ซงแปรผนตรงกบความเขมของสนามแมเหลกทมอย

นนเอง ความเรวเชงมมของการ precess หรอ 0ω ดงกลาว เปนปรากฏการณทสาคญ และมชอเฉพาะในทางฟสกสทเรยกวา Larmor frequency ยกตวอยางเชน ในกรณของ proton ม Larmor frequency เทากบ 42.5 MHz ตอสนามแมเหลก 1 Tesla เปนตน

สถานะ (tΨ ของระบบ



นอกจากเราจะสามารถสรปไดวา ระบบมการ precess ดวยการอางความคลายคลงของ time evolution operator ˆ ( )U t กบ rotation operator ˆ( )R ϕ k ดงสมการ (4.19) แลวนน เราสามารถศกษาใหชดเจนลงไปอกวา ˆ ( )U t แทจรงแลว มผลตอสถานะ )0( =Ψ t ของระบบอยางไร เนองจากเราสามารถใช Z+ และ Z− เปน basis state ดงนน สถานะใดๆของระบบ สามารถเขยนในรป superposition ของ basis state ไดเสมอ

( 0)t c Z c Z+ −Ψ = = + + − _________________ สมการ (4.20) โดยท ±c เปน probability amplitude ทระบบจะอยในสถานะ Z± เพราะฉะนนแลว การทเราตองการทราบวาสถานะของระบบ )(tΨ ณ เวลา t ใดๆ จะมลกษณะเปนอยางไรนน กสามารถทา

ไดโดย การนา time evolution operator ˆ

ˆ ( )iHt

U t e−

= เขาไปกระทากบ )0( =Ψ t นนเอง

( )ˆ

ˆ( ) ( ) ( 0)

iHt

t U t t

e c Z c Z−

+ −

Ψ = Ψ =

= + + −

_________________ สมการ (4.21)

เนองจากสมการ (4.17) บอกวา 0ˆ2

H Z Zω± = ± ± ดงนน

/ 2 / 20 0( ) i t i tt c e Z c e Zω ω− +

+ −Ψ = + + − _________________ สมการ (4.22) สมการ (4.22) ในขางตนนน แสดงใหเหนวา ระบบทเรากาลงศกษาอยน มความเปลยนแปลงสมพนธกบเวลาอยางไร ซงการเปลยนแปลงดงกลาวน ขนอยกบ 1) สถานะเรมตน ณ เวลา t=0 หรอ

±c และ 2) ขนอยกบ Larmor frequency 00 2

geBm

ω = นนเอง




ณ เวลา เตรยม state ของระบบใหวางตวตามแนวแกน x

x

y

z

0t =( 0)t XΨ = =


ณ เวลา เตรยม state ของระบบใหวางตวตามแนวแกน x

x

y

z

0t =( 0)t XΨ = =

ภาพ 4.1 สมมตวาเราเตรยมสถานะของระบบ ณ เวลา 0t = ใหเปน spin ในแนวแกน +x และเราตองการทราบวา ในเวลาใดๆ state ของระบบจะเปลยนแปลงไปอยางไร?

เพอใหเหนตวอยางทชดเจน เราลองมาสมมตวาสถานะของระบบ ณ เวลา 0t = คอ spin ในแนวแกน +x ดงภาพ 4.1

( 0)1 12 2

t X

Z Z

Ψ = = +

= + + − _________________ สมการ (4.23)

เมอเปรยบเทยบสถานะของระบบท spin อยในแนวแกน x ตามสมการ (4.23) กบสถานะทเขยนใหอยในรปทวไป ดงสมการ (4.20) จะไดวา สมประสทธ

1 12 2

c c+ −= =

และเมอแทนคาสมประสทธดงกลาว เขาไปในสมการ (4.22) จะไดวา สถานะของระบบมการเปลยนแปลงตามเวลาดงตอไปน

/ 2 / 20 0( )

2 2

i t i te et Z Zω ω− +

Ψ = + + − _________________ สมการ (4.24)

state ดงทเขยนในสมการ (4.24) ทาใหเราสามารถคานวณหา probability ทจะพบระบบอยในสถานะ

Z+ และ Z− ซงกคอ

2/ 202 1( )22

i teZ tω−

+ Ψ = = __________________________ (4.25)



2/ 202 1( )22

i teZ tω+

− Ψ = = __________________________ (4.26)

แบบฝกหด 4.4 จงคานวณหา expectation value ของ ˆzS ของ state ในสมการ (4.24) แลววจารณวา คาดงกลาว เปลยนแปลงกบเวลาหรอไม อยางไร จากสมการ (4.25) และ สมการ (4.26) จะเหนวา ถาเราเตรยมระบบใหอยในสถานะทม spin เปน

X+ ตงแตแรก จะม probability ทเราจะพบวา spin ของมนอยตามแนวแกน +z หรอ -z เทากนเสมอ และไมเปลยนแปลงตามเวลา ในทางตรงกนขาม ถาเราตงคาถามวา ความนาจะเปนทจะพบ spin ของระบบอยในสถานะ X+ ณ เวลาตางๆ มคาเปนเทาใด ? เราสามารถตอบคาถามไดดวยการเรมคานวณ probability amplitude

/ 2 / 20 0

/ 2 / 20 0

0

1 1( )2 2 2 2

2 2

cos2

i t i t

i t i t

e eX t Z Z Z Z

e e

t

ω ω

ω ω

ω

− +

− +

⎡ ⎤⎡ ⎤+ Ψ = + + − + + −⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

= +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

________ (4.27)

และเราจะไดวา probability ทจะพบระบบอยในสถานะ X+ กคอ

2 2 0( ) cos2

tX t ω⎛ ⎞+ Ψ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

______________________ (4.28)

จากสมการ (4.28) จะเหนวา ณ เวลา 0t = ความนาจะเปนมคาเปน 1 ซงกสอดคลองกบขอกาหนดเรมตนทเราเตรยมระบบใหอยในสถานะ X+ ตงแตเรมตน แตเมอเวลาผานไป จะสงเกตวา probability ดงกลาว มการ oscillate กลบไปกลบมา ระหวางคา 1 และ 0 เราสามารถตความ และ ทาความเขาใจกบการ oscillate ของ probability ดงกลาว ถาเรามองวา spin ของระบบทแตเดม เตรยมใหอยในสถานะ X+ ตงแตเรมตน มการหมนรอบแกน z ดงภาพ 4.2




x

y

z

สนามแมเหลกทาใหเกดการหมนของ spin


x

y

z

สนามแมเหลกทาใหเกดการหมนของ spin

ภาพ 4.2 สนามแมเหลกทาใหเกดการ precess ของ spin รอบแกน z

แบบฝกหด 4.5 จงพสจนวา เมอเราทาการวด spin ตามแนวแกน x คาทวดไดโดยเฉลย กคอ

( )0cos2

tω

บอกใบ - คานวณ expectation value ของ operator ˆxS แบบฝกหด 4.6 จงคานวณความนาจะเปนทจะพบระบบอยในสถานะ X− ณ เวลาใดๆ ใน Section 4.2 ทเราไดกลาวถง precession ของ spin ทอยภายใตอทธพลของสนามแมเหลก B เราเรมดวยการวเคราะหถง Hamiltonian ของระบบ และโยงความสมพนธไปยง time evolution operator เพอเขยนสถานะของระบบ ณ เวลาใดๆไดวา

/ 2 / 20 0( ) i t i tt c e Z c e Zω ω− ++ −Ψ = + + −

เมอ สมประสทธ ,c c+ − ขนอยกบคณสมบตเฉพาะของระบบทเรากาลงศกษา เราพบวา ผลของสนามแมเหลกกคอการทาให spin มการ precess รอบแกนทขนานกบ B โดยทความถเชงมมของ

การหมน มคาเทากบ 00 2

geBm

ω = ซงเรยกวา Larmor frequency นนเอง

4.3 การหมน 360 องศาของ Neutron

Neutron เปนอนภาคมลฐานอกชนดหนงทม spin 12

s = จากทไดกลาวไปแลวในบทท 2 ในหวขอ

ทเกยวของกบ rotational operator เมอเราทาการหมน spin ของอนภาคทม spin 12

s = เปนมม 360

องศา จะทาให state กลายเปนลบของตวมนเอง



ˆ(2 )R π Ψ = − Ψk ______________________ (4.29) สมบตขอนนเอง เปนหนงในพฤตกรรมในเชง quantum mechanics ทแตกตางอยางสนเชงจาก classical mechanics ดวยเหตทวา วตถตางๆทเราพบไดทวไปในชวตประจาวน เมอเราทาการหมนดวยมม 2π ยอมจะกลบมาอยในรปแบบเดม กอนทจะมการหมน ในป 1975 S.A. Werner, R. Colella, A.W. Overhauser, และ C.F. Eagen ไดทาการทดลองเพอพสจนพฤตกรรมทแปลกประหลาดของ quantum mechanics ดงแสดงในสมการ (4.29) อนน

ภาพ 4.3 แสดง diagram การทดลองของ Werner et. al. ทประกอบดวย neutron beam พงเขากระทบกบแผน silicon (A) ปรากฏการณ diffraction ทาให neutron beam แยกออกเปนสองเสนทาง [Credit: ภาพจาก Werner et. al. Phys. Rev. Lett. 35, 1053 (1975)]

ดงแสดงในภาพ 4.3 การทดลองของ Werner et. al. ประกอบดวย neutron beam พงเขากระทบกบแผน silicon (A) ปรากฏการณ diffraction ทาให neutron beam แยกออกเปนสองเสนทาง AB และ AC ในเสนทาง AC มสนามแมเหลกขนาดความเขม B อยภายในชวงระยะทาง ซงจาก Section 4.2 เราทราบวามผลทาให spin ของ neutron เกดการหมน โดยทมมของการหมนสามารถควบคมไดจากความเขมของสนามแมเหลก และ ระยะทาง ท neutron เคลอนทอยภายใตอทธพลของสนามแมเหลก Werner และผรวมงานพบวาถาเขาทาการปรบความเขมของสนามแมเหลกใหสอดคลองกบการหมน 360 องศา neutron beam AB และ AC จะหกลางกนพอด และทาใหเกดเปนจดตาสดของกราฟใน

ภาพ 4.4 ซงกหมายความวา rotational operator ทหมน spin 12

s = มผลทาใหสถานะของอนภาค

neutron ทผานเสนทาง AC มเฟสตรงกนขามกบสถานะของอนภาค neutron ทผานเสนทาง AB และเกดการหกลางกนดงกลาว



ภาพ 4.4 ผลการทดลองของ Werner at. el. แสดงปรมาณของ neutron ท detector นบได ภายหลงจากมการแทรกสอดเกดขน จะเหนวาทความเขมของสนามประมาณ 62 Gauss มการหกลางกนของ neutron beam [Credit: ภาพจาก Werner et. al. Phys. Rev. Lett. 35, 1053 (1975)]

4.4 Magnetic Resonance ใน Section 4.2 เราไดศกษาผลของสนามแมเหลก B ตอการ precess ของ spin 1

2s = particle ใน

กรณดงกลาว ถาเรากาหนดใหทศทางของสนามแมเหลกใหขนานกบแกน z หรอ ˆB z แลว ความนาจะเปนทจะพบอนภาคอยในสภานะ Z+ หรอ Z− จะไมเปลยนแปลงกบเวลา หรออกนยหนง เราอาจจะมองภาพโดยอนโลมไดวา สนามแมเหลก B ทาหนาทเหมอนหมดทพยายามตรง spin ของอนภาคใหเรยงตวตามแนวแกน z เพราะฉะนนถาเราเตรยม spin ของอนภาคใหอยตามแนวแกน z เมอเวลา 0t = หรอ ( 0)t ZΨ = = + สนามแมเหลก B จะตรงใหระบบอยในสถานะ ( )t ZΨ = + ไปโดยตลอด หรอ ถา ( 0)t ZΨ = = − สนามแมเหลกกจะตรงใหระบบอยในสถานะ ( )t ZΨ = − ไปโดยตลอดเชนกน ในกรณท spin ของอนภาคไมใชทง Z+ หรอ Z− เสยเลยทเดยว หากแตเปนผลบวก หรอ

superposition ของทงสอง state ยกตวอยางเชน 1 12 2

X Z Z+ = + + − ในกรณเชนน spin

จะเกดการ precess ดวยความถ 00 2

geBm

ω =

เราอาจจะออกแบบการวางสนามแมเหลกใหซบซอนมากยงขน เพอทจะให spin ของระบบสามารถทจะเปลยนแปลงจาก Z+ ไปยง Z− ไดเมอเวลาผานไป ดงภาพ 4.5



สนามแมเหลก หลก

0 0B B= k

x

y

z

สนามแมเหลกรอง ท oscillate ตามแนวแกน x

1 1 cos( )B B tω= i

S

สนามแมเหลก หลก

0 0B B= k

x

y

z

สนามแมเหลกรอง ท oscillate ตามแนวแกน x

1 1 cos( )B B tω= i

S

ภาพ 4.5 แสดงสนามแมเหลกทอยในระบบซงประกอบดวยสวนหลก และ สวนรอง สนามแมเหลกรองมลกษณะเปน oscillation ทสามารถปรบความถ ω ไดตามตองการ สนามแมเหลกสทธมคาเทากบ

1 0cos( )B B t Bω= +i k สนามแมเหลกทอยในระบบประกอบดวยสวนหลก และ สวนรอง สนามแมเหลกหลกชในทศแกน z แตสนามแมเหลกรองอยในแนวแกน x นอกจากน สนามแมเหลกรองยงมลกษณะเปน oscillation ทสามารถปรบความถ ω ไดตามตองการ สงผลใหสนามแมเหลกสทธมคาเทากบ

1 0cos(ω )B B t B= +i k ______________________ (4.30) ในทาเดยวกนกบสมการ (4.16) จะไดวา พลงงานของระบบคอ

1 0

01

1 0

ˆ ˆ ˆˆ ( ) ( cos(ωt) )2

ˆ ˆcos(ωt)2 2

ˆ ˆˆ cos(ωt)

x y z

x z

x z

geH S S S B Bm

geBgeB S Sm m

H S Sω ω

= + + ⋅ +

= +

= +

i k

______________________ (4.31)

เมอเรานยาม

00 2

geBm

ω ≡ และ 11 2

geBm

ω ≡ ______________________ (4.32)

ขนตอนตอไปในการวเคราะหเพอตองการทราบการเปลยนแปลงของ state กบเวลา กคอการใชสมการ Schrödinger ดงในสมการ (4.13) เราเรมดวยการเขยน state ของระบบใหอยในรป superposition ของ Z+ และ Z−



( ) ( ) ( )t a t Z b t ZΨ = + + − ______________________ (4.33)

ในกรณน สมประสทธ ( )a t และ ( )b t เปนคาทเปลยนแปลงกบเวลา เพราะวา states Ψ นนเปลยนแปลงกบเวลาดวยเชนกน สมการ (4.33) ทเขยนใหอยในรปของ ket สามารถเขยนใหอยในรปของ vector ดงทไดกลาวใน Section 2.3 ไดวา

( )( )

basis ( )a t

tZ b t

⎡ ⎤Ψ ⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥± ⎣ ⎦

______________________ (4.34)

เพอใหงายตอการวเคราะหทางคณตศาสตรในลาดบตอไป เราจะสมมตวา ระบบ ณ เวลา 0t = เปนสถานะท spin เปน Z+ หรอ ในรปของ vector จะไดวา

1(0)

basis 0Z⎡ ⎤

Ψ ⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥± ⎣ ⎦ ______________________ (4.35)

นอกจากน โดยใช basis ของ Z± เราสามารถเขยน Hamiltonian operator ในสมการ (4.31) ใหอยในรปของ matrix ไดวา

1 0 1 0

1 0 1 0

ˆ ˆ ˆ ˆcos( ) cos( )ˆˆ ˆ ˆ ˆbasis cos( ) cos( )x z x z

x z x z

Z S t S Z Z S t S ZH

Z Z S t S Z Z S t S Z

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

⎡ ⎤+ + + + + −⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥

± − + + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

ดงนน

0 1

1 0

cos( )cos( )2

tH

tω ω ω

ω ω ω⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ______________________ (4.36)

จาก Hamiltonian ในรปของ matrix ดงในสมการ (4.36) และ จาก state ในรปของ vector ดงสมการ (4.34) เราสามารถเขยน Schrödinger equation จากสมการ (4.13) ไดวา

0 1

1 0

( )cos( ) ( )cos( ) ( )2 ( )

d a tt a t dtit b t d b t

dt

ω ω ωω ω ω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

______________________ (4.37)



สมการขางตนเปน differential equation ซงม initial condition ดงในสมการ (4.35) เพอใหงายตอการหาผลเฉลยทางคณตศาสตร เราจะวเคราะหเฉพาะในกรณของ resonance กลาวคอ กรณท

0ω ω= ซงมผลเฉลยคอ

21 0

21 0

cos( )( ) 4( ) sin( )

4

i t

i t

t ea tb t ti e

ω

ω

ω

ω

−

+

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

______________________ (4.38)

แบบฝกหด 4.7 จงพสจนวา ( )a t และ ( )b t ในสมการ (4.38) ทาใหสมการ (4.37) เปนจรง (โดยประมาณ)

บอกใบ: ( )2 0

001 1cos

2 2

i ti t et e

ωωω

++ +

= ≅ ถา 0 1ω ω

ในทสดเรากได state ของระบบ ณ เวลาใดๆ ซงอาจจะเปลยนการเขยนในรปแบบของ vector ในสมการ (4.38) ใหเปนรปของ ket ไดวา

2 21 10 0( ) cos( ) sin( )4 4

i t i tt tt e Z i e Zω ωω ω− +Ψ = + − − ________________ (4.39)

ทงนเราจะตองไมลมวา สถานะของระบบในสมการ (4.39) เปนผลเฉลยเฉพาะกรณทเกด resonance ( 0ω ω= ) และ สถานะเรมตนของระบบอยท ( 0)t ZΨ = = + มาถงขนน เราสามารถวเคราะหหาความนาจะเปนทจะพบระบบอยในสถานะ Z+ ซงสามารถคานวณไดจาก

2 2 1( ) cos ( )4tZ t ω

+ Ψ = ________________ (4.40)

และในทานองเดยวกน probability ทจะพบระบบอยในสถานะ Z−

2 2 1( ) sin ( )4tZ t ω

− Ψ = ________________ (4.41)



การเปลยนแปลงของสถานะดงกลาว สามารถทาความเขาใจไดงายๆจากภาพ 4.6

)4

(cos)( 122 ttZ ω=Ψ+

)4

(sin)( 122 ttZ ω=Ψ−

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

เวลา

ความนาจะเปน )

4(cos)( 122 ttZ ω

=Ψ+

)4

(sin)( 122 ttZ ω=Ψ−

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

เวลา

ความนาจะเปน

ภาพ 4.6 แสดงการเปลยนแปลงของระบบ ทมการสนไปมาขนกบเวลาของ spin จาก

Z Z+ ⇔ −

จากภาพ 4.6 แสดงการเปลยนแปลงของ spin ทมการสนไปมาเมอเวลาผานไป จากกราฟจะสงเกตวาเมอเวลา 0t = probability ทจะพบอนภาคในสถานะ Z+ มคาเปน 1 หรอ 100% ทเปนเชนนกสอดคลองกบเงอนไปเรมตนทเรากาหนดให อนภาคอยในสถานะ Z+ เมอเวลา 0t = เมอเวลาผานไปเพยงเลกนอย สนามแมเหลกในทศ 1 cos( )B tω i มผลทาใหเกดการเปลยนแปลงของระบบ จาก Z Z+ ⇒ − ซงจะสงเกตไดจาก probability ทอนภาคจะคงอย ณ สถานะ Z+ มคา

ลดลง และเปนศนยในทสดเมอเวลา 1

2t πω

= ซง ณ เวลาดงกลาวนเอง ระบบเปลยนมาเปนสถานะ

Z− โดยสนเชง ในทางปฏบต สนามแมเหลก 1 1 cos( )B B tω= i สามารถสรางไดโดยการสงคลนแมเหลกไฟฟาทสามารถปรบความถได เขาไปในระบบ ถาตองการใหเกดการ resonance จาเปนจะตองให

00 2

geBm

ω ω= ≡ ซงในกรณของอนภาค proton จะมความถอยประมาณ 42.5 MHz ตอความเขมของ

สนามแมเหลกหลก 1 Tesla ในกรณทความถของสนามแมเหลกรองมคาตางออกไปจากความถ resonance กลาวคอ 0ω ω≠ ความนาจะเปนทจะพบระบบอยในสถานะ Z− ณ เวลาใดๆ ดงในสมการ (4.41) มความซบซอนมากขน probability ในกรณดงกลาวคนพบเปนครงแรกโดย I.I. Rabi Phys. Rev. 1939.



2 222 0 1212 2

0 1

( ) / 4/ 4( ) sin ( )2( ) / 4

Z t tω ω ωω

ω ω ω

− +− Ψ =

− + ___________ (4.42)

จะสงเกตเหนวา probability ดงในสมการ (4.42) มการ oscillate ดงในสมการ (4.41) แตทวา amplitude ของการสนเปนฟงชนกของ ω ดงแสดงในภาพ 4.7

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4/)(4/

21

20

21

ωωωω

+−

ω0ω

Rabi Formula (I.I. Rabi 1939)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4/)(4/

21

20

21

ωωωω

+−

ω0ω

Rabi Formula (I.I. Rabi 1939)

ภาพ 4.7 แสดงความนาจะเปนทระบบจะมการเปลยนสถานะจาก Z Z+ ⇒ − ภายหลงจากเวลาผานไปครบหนงรอบ จะสงเกตเหนวา probability ดงกลาวจะมคามากทสดเมอ 0ω ω= และจะลดลงตามลาดบเมอความถมการเบยงเบนออกจาก resonance frequency เนอหาของ Magnetic Resonance ดงทไดกลาวใน Section 4.4 น ม application ทสาคญยงในทางการแพทย คอ MRI (Magnetic Resonance Imaging) หลกการทางานและรายละเอยดของ MRI อยนอกเหนอจากขอบเขตของหนงสอเลมน อยางไรกตาม หลกการทางานสงเขปกคอการออกแบบสนามแมเหลกหลก 0( , )B x y ใหเปนฟงชนกทขนกบตาแหนง ดงนนเมอระบบมการเปลยนสถานะของ spin กจะปลอย (emit) คลนแมเหลกไฟฟาออกมาทความถตางกนเลกนอย ขนอยกบตาแหนง ( , )x y และเมอเราทาการสรางแผนทแสดงความสมพนธระหวางความเขมของคลนแมเหลกไฟฟาทปลอยออกมา กบตาแหนงทเปนแหลงกาเนดของคลนนนๆ กจะเกดเปนภาพขน

4.5 Ammonia Maser ทผานมาเราไดนาระเบยบวธทาง quantum mechanics ทเขยนโดยใชภาษาของ bra-ket และ matrix เขามาชวยในการแกปญหา ซงแตกตางจากสงทนกศกษาไดเรยนรใน quantum mechanics เบองตน ทมงเนนในเรองของ wave function เปนหลก



การวเคราะห quantum mechanics โดยใช matrix มขอดคอทาใหเราสามารถวเคราะหระบบทมความไมตอเนอง ยกตวอยางเชนระบบทม basis state อยสอง state ดงทไดแสดงในตวอยางในเรอง spin ของอเลกตรอน ซงม basis state คอ Z+ และ Z− อยางไรกตาม ระบบทม basis state อยสองสถานะมไดจากดอยแตเพยง spin ของอนภาคมลฐานเพยงเทานน ดงจะไดยกตวอยางในเรองของ ammonia maser ซงเกยวของกบโครงสรางของโมเลกล

3NH หรอ ammonia

N

H

H

H

1 2

โมเลกล Ammonia 3NH

N

H

H

H

1 2

โมเลกล Ammonia 3NH

ภาพ 4.8 แสดงโครงสรางทางเคมของโมเลกล ammonia อะตอมของ hydrogen ทงสามวางตวอยในระนาบเปนลกษณะสามเหลยมดานเทา ในขณะทอะตอมของ nitrogen สามารถทอย ณ ตาแหนงดานบน หรอ ดานลางของฐาน

โมเลกลของ ammonia ประกอบดวย nitrogen อะตอม ซงมพนธะเคมกบ hydrogen อะตอมอก 3 อะตอม โครงสรางของ 3NH จะปรากฏวามอะตอมของ hydrogen ทงสามวางตวอยในระนาบเปนลกษณะสามเหลยมดานเทา ดงแสดงในภาพ 4.8 ในขณะทอะตอมของ nitrogen สามารถทอย ณ ตาแหนงดานบน หรอ ดานลางของฐาน เพอความสะดวกในการวเคราะห เราเรยกสถานะของระบบทมตาแหนงของ nitrogen อะตอมตางกนนวา

1 = สถานะท nitrogen atom อยดานบน 2 =สถานะท nitrogen atom อยดานลาง

เพอทจะวเคราะหหา eigen energy และ eigenstate ของระบบทมสถานะทไมตอเนองดงกลาว เราเรมดวยการเขยน Hamiltonian ใหอยในรปของ matrix



ˆ ˆ1 1 1 2ˆˆ ˆ1 , 2 basis 2 1 2 2

H HH

H H

⎡ ⎤⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ _________________________ (4.43)

เราเรมดวยการหา matrix element ˆ1 1H และ ˆ2 2H ในสมการ (4.43) กอน ดวยการสงเกตวา เทอม ˆ1 1H สามารถตความไดวาเปน expectation value ของ พลงงานเมอกาหนดใหระบบอยในสถานะ 1 เนองจากระบบมความสมมาตร เราบอกไดวา state 1 และ state 2 ควรจะมพลงงานเทากน ซงกาหนดใหมคาเทากบ 0E เพราะฉะนน

0ˆ ˆ1 1 2 2H H E= = _________________________ (4.44) สาหรบ เทอม ˆ1 2H และ ˆ2 1H ในสมการ (4.43) นน เราสามารถตความได โดยใช time evolution operator ในสมการ (4.3) เขาชวย กลาวคอ เราสามารถเขยน Hamiltonian ใหอยในรป infinitesimal time evolution operator ไดวา

ˆ ˆ ( )i iH U dtdt dt

= − + _________________________ (4.45)

เพราะฉะนน

ˆ ˆ1 2 1 ( ) 2

ˆ1 2 1 ( ) 2

i iH U dtdt dt

i i U dtdt dt

= − +

= − + _________________________ (4.46)

ถาเรากาหนดให basis state 1 และ 2 นน orthogonal กลาวคอ 1 2 0= จะไดวา

ˆ ˆ1 2 1 ( ) 2H U dt∝ _________________________ (4.47) ทางขวามอของสมการ (4.47) มความหมายวา ถาเราเตรยมระบบใหอยใน state 2 และเมอเวลาผานไปเปนเวลา dt (นนคอความหมายของ time evolution operator) ถามวา probability amplitude ทระบบจะเปลยนสถานะมาอยใน state 1 มคาเปนเทาใด



กลาวโดยสรป เทอม ˆ1 2H มความสมพนธกบความนาจะเปนทระบบจะเปลยนสถานะจาก 2 1⇒ เมอเวลาผานไป แตเนองจากเรายงไมทราบรายละเอยดทชดเจนในทางคณตศาสตรทเกยวของกบโมเลกล ammonia ในขนน จงทาไดแตเพยงนยามให ˆ1 2H มคาเปนคาคงทเฉพาะตวอนหนง เรยกวา ˆ1 2H A= − เพราะฉะนน Hamiltonian matrix ดงในสมการ (4.43) มคาเปน

0

0ˆ

1 , 2 basisE A

HA E

−⎡ ⎤⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥−⎣ ⎦

_________________________ (4.48)

เพอทจะหา eigen energy หรอ eigenvalue ของ Hamiltonian ดงกลาว เราเขยนสมการใหอยในรปของ eigen equation ดงตอไปน

H EΨ = Ψ _________________________ (4.49) หรอ ในรปของ matrix -vector

0

0

E Ac Ec

A E−⎡ ⎤

=⎢ ⎥−⎣ ⎦ _________________________ (4.50)

สมการ eigen ดงทแสดงในสมการ (4.50) ซงเปน matrix ขนาด 2x2 จะปรากฏวามผลเฉลยทเรยกวา eigenvector c และ eigenvalue E อยทงสน 2 ผลเฉลยดวยกน ดงทไดทบทวนมาแลวใน Section 2.3.1 ของบทท 2 คาตอบซงเปน eigenvector และ eigenvalue ของสมการ (4.50) กคอ

1 0

12 ,12

Ic E E A

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥= = −⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

และ 2 0

12 ,12

IIc E E A

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥= = +⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

___________ (4.51)

เนองจาก matrix ทเรากาลงหาผลเฉลยของสมการ eigen อยในขณะน เปน Hamiltonian matrix เราเรยก 1 2,E E วาเปน eigen energy และเรยก 1 2,c c วาเปน eigenstate



และนกเปนครงแรกทเราไดมโอกาสใช matrix mechanics ในการหาคา eigenvector และ eigenvalue ของ Hamiltonian operator ซงเปนโอกาสทดทเราจะไดทาความเขาใจใหลกซงในลาดบตอไป

Eigenstate และ Eigenvalue ของ Hamiltonian เชงลก ในตอนตนของเนอหา เราไดกลาวถง time evolution operator U ซงเปน operator ททาหนาทในการกระทากบ state ใดๆ และทาให state นนๆเปลยนแปลงไปตามเวลา ทงน ถาพจารณาในชวงเวลา tทผานไป เราจะสามารถเขยน time evolution operator U ใหอยในรปแบบทางคณตศาสตรทสมพนธกบ Hamiltonian operator H ดงสมการ (4.4) ซงกคอ

ˆˆ ( )

iH t

U t e−

= ________________________ สมการ (4.52) เพราะฉะนน ถาเรากาหนดใหระบบทอยในสถานะ ε เปน eigenstate ของ Hamiltonian operator H ผลทตามมากคอ สถานะ ε จะเปนสถานะทเสถยร ดวยเหตท time evolution operator U ไมสามารถทาให สถานะ ε เปลยนแปลงไปกบเวลาไดเลย เพอทจะใหนกศกษาเขาใจถงคณสมบตในแงน เราเรมดวยการนยาม

H Eε ε= ________________________ สมการ (4.53) และเมอนา operator ในสมการ (4.52) เขามากระทากบ state ε จะได

ˆˆ ( )

iH t

U t eε ε−⎧ ⎫

⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

________________________ สมการ (4.54)

สงเกตวา operator ทางขวามอของสมการ (4.54) นน เขยนอยในลกษณะของ exponential ฟงชนก ซงยากตอการทาความเขาใจในการทจะนาเอา exponential ฟงชนกดงกลาวเขาไปกระทากบสถานะ ε เพราะฉะนน เราสามารถเขยน operator ทางขวามอเสยใหมใหอยในรปของ polynomial โดยใช Taylor expansion



2 3

2 32 3

ˆ ˆ ˆˆ ( ) 1

ˆ ˆ ˆ1

iH t iH t iH tU t

i t i t i tH H H

ε ε

ε

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

____________ สมการ (4.55)

จากนนใชสมบตการกระจายของ operator เพอกระจาย polynomial แตละเทอม ใหตางกเขาไปกระทากบ state ε

2 32 3ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 1 i t i t i tU t H H Hε ε ε ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ _____ สมการ (4.56)

อาศยสมบตความเปน eigenstate ของ H ดงในสมการ (4.53) ทาใหสมการขางตนเปลยนรปเปน

2 32 3ˆ ( ) 1 i t i t i tU t E E Eε ε ε ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ _____ สมการ (4.57)

จะสงเกตไดวา ทกๆเทอมทางขวามอของสมการ (4.57) นน ลวนแลวแตอยในรปของ state ε คณอยกบตวเลขธรรมดา เพราะฉะนนเราสามารถแยกตวประกอบเอาตวเลขเหลานเขามารวมกนเปนผลบวก ซงจะไดวา

2 32 3

2 3

ˆ ( ) 1

1

i t i t i tU t E E E

iEt iEt iEt

ε ε

ε

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

_____ สมการ (4.58)

เทอมในวงเลบของสมการขางตน สามารถลดรปใหอยในรปของ exponential ฟงชนกไดวา

ˆ ( )iEt

U t eε ε−

= _________________ สมการ (4.59) สมการ (4.59) แสดงใหเหนชดเจนวา เมอ time evolution operator ˆ ( )U t กระทากบสถานะ ε ผลลพธทไดกยงเปนสถานะ เชนเดม ε (คณดวยคาคงท ซงไมมนยยะอะไรเปนสาคญ) หรอกลาว



อกนยหนง สถานะ ε ซงเปน eigenstate ของ Hamiltonian นน เปนสถานะทเสถยร และ ไมเปลยนแปลงกบเวลานนเอง ในวชา quantum mechanics เบองตน เราใชเวลาสวนใหญในการแกสมการ Schrödinger เพอหา eigenstate ของระบบ ยกตวอยางเชน ระบบของ hydrogen อะตอม ซงปรากฏวาม eigenstate ทสอใหเหนถงการกระจายตวของกลมหมอกอเลกตรอนเปนรป ทรงกลม (s-orbital) หรอ รป dumbbell (px, py, px orbital) ทเปนเชนนมไดหมายความวา อเลกตรอนไมสามารถทจะกระจายตวเปนกลมหมอกรปทรงอนๆเชน รปหมวกกนนอก หรอ รปมะมวงได แททจรงแลวกลมหมอกของอเลกตรอนภายในอะตอมของ hydrogen จะปรากฏอยในรปใดกได เพราะไมมกฎขอใดของ quantum mechanics ทจะจากดสถานะของระบบใหอยในรปแบบใดแบบหนง แตทเราใหความสาคญเปนพเศษกบสถานะของระบบทเปน eigenstate กเพราะวา มนเปนสถานะทเสถยร ดงนนจงเปนสถานะทมโอกาสทจะพบบอยทสดในธรรมชาตนนเอง วกกลบมาท eigenstate ของโมเลกล ammonia จากสมการ (4.51) เราพบวา ammonia ม eigenstate อยสองสถานะดวยกนคอ

1 11 22 2

I = + ___________________ (4.60)

และ 1 11 22 2

II = − ___________________ (4.61)

เพอความสะดวก เราเรยก eigenstate ทงสองนวา I และ II ตามลาดบ eigenstate ทงสองดงในสมการ (4.60) และ (4.61) แสดงใหเหนวา สถานะทอะตอมของ nitrogen อยดานบน ( 1 ) นนไมไดเปนสถานะทเสถยร ทไมเสถยรกเพราะดวยเหตผลทางคณตศาสตรทวา 1 มไดเปน eigenstate ของ Hamiltonian matrix และดวยเหตผลทางฟสกสทวา 1 มโอกาสทจะเปลยนไปเปน 2 ยกตวอยางเชน อะตอมของ nitrogen มโอกาสทจะเคลอนทจะดานบนลงมาขางลางนนเอง สถานะ I และ II นน ตางกเปน eigenstate ของ H ทาใหมนไมเปลยนแปลงกบเวลา สถานะทงสองดงกลาว เปนสถานะทเราไมอาจจะตดสนใจไดวา nitrogen อะตอม อยดานบนหรอ



ดานลาง หรอเรยกอกอยางหนงวาเปนสถานะผสม ซงในทางคณตศาสตรเราใชคาวา superposition ของ state นอกจากน สถานะ I และ II มพลงงานเทากบ 0E A− และ 0E A+ ตามลาดบ สงผลใหเมอระบบมการเปลยนแปลงระหวางสถานะทงสอง จะมการปลดปลอยคลนแมเหลกไฟฟาซงมพลงงานเทากบผลตางของพลงงาน 2II Ihv E E A= − = แบบฝกหด 4.8 จากการทดลองพบวา คลนแมเหลกไฟฟาทปลอยออกมาจากการเปลยนแปลง

สถานะมความยาวคลนเทากบ 11 cm4

จงใหความสมพนธในสมการ (4.47) เพอคานวณหาความ

นาจะเปนตอหนงหนวยเวลา ทระบบจะมการเปลยนสถานะจาก 2 1⇒ (เรยกกนโดยทวไปวา transition rate)

Dynamics ของโมเลกล Ammonia สมมตวา ณ เวลา 0t = เรากาหนดใหอะตอมของ nitrogen อย ณ ตาแหนงดานบนของระนาบทประกอบกนขนจาก hydrogen อะตอมทงสาม หรออกนยหนง

(0) 1Ψ = ___________________ (4.62) ในสภาวะเชนน เราอาจตองการทจะทราบวา state ของระบบดงกลาว เปลยนแปลงไปเชนใดเมอเวลาผานไป โดยใช time evolution operator เราสามารถคานวณหา state ณ เวลาใดๆไดวา

ˆˆ( ) ( ) (0) (0)

iH t

t U t e−

Ψ = Ψ = Ψ ___________________ (4.63) และจากสมการ (4.60) - (4.61) เราสามารถเขยน 1 ใหอยในรป superposition ของ I และ II ไดวา

1 112 2

I II= + ___________________ (4.64)

เพราะฉะนน สมการ (4.63) กลายเปน



ˆ

ˆ ˆ

1 1( )2 2

1 12 2

iH t

iH t iH t

t e I II

e I e II

−

− −

⎧ ⎫Ψ = +⎨ ⎬⎩ ⎭

= +

___________________ (4.65)

และโดยอาศยสมบตของสถานะ I และ II ทตางกเปน eigenstate ของ H จะไดวา

( ) ( )0 0

1 1( )2 2

1 12 2

iE t iE tI II

i E A t i E A t

t e I e II

e I e II

− −

− +− −

Ψ = +

= +

___________________ (4.66)

เมอทราบสถานะของระบบ ณ เวลาใดๆ ดงแสดงในสมการ (4.66) เรากสามารถคานวณความนาจะเปนทจะพบวาอะตอม nitrogen อยดานบนของฐานสามเหลยม ซงกคอ

2 21 ( ) cos At t⎛ ⎞Ψ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

___________________ (4.67)

แบบฝกหด 4.9 จงพสจนสมการ (4.67)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H

H

H

3NHN 1

2

โมเลกล สามารถเปลยนสถานะจาก 1 2⇔

time t

2cos A t⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 2

tA

π=

0.2

0.4

0.6

0.8

1

H

H

H

3NHN 1

2

โมเลกล สามารถเปลยนสถานะจาก 1 2⇔

time t

2cos A t⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 2

tA

π=

ภาพ 4.9 แสดงการเปลยนแปลงตาแหนงของอะตอมของ nitrogen เมอเวลาผานไป สมมตใหเมอเวลา 0t = อะตอมของ nitrogen อยทดานบนของฐาน จะไดวา probability ทจะพบ nitrogen อะตอมอย ณ ดานบนนน เปนฟงชนกของเวลา



จากการทดลองพบวา ในกรณของโมเลกล ammonia ความถท nitrogen อะตอมมการสนขนลงระหวางดานบนและลางมคาเทากบ 24GHz

Maser ในขนตนของการวเคราะหโมเลกลของ ammonia เราใชความสมมาตรของระบบในการอธบายวา พลงงานของสถานะ 1 และ 2 นนมคาเทากน คอ 0 ˆ ˆ1 1 2 2E H H= = ใน Section 4.5.3 นเราจะมาพจารณาระบบทมความซบซอนมากขน และจะสงผลใหระดบพลงงานของทงสองสถานะดงกลาวมความแตกตางกน

1 2

โมเลกล Ammonia ในสนามไฟฟา 3NH

dipole moment

+

-

-

+E

dipole momenteμ eμ

1 2

โมเลกล Ammonia ในสนามไฟฟา 3NH

dipole moment

+

-

-

+EE

dipole momenteμ eμ

ภาพ 4.10 เนองจากการกระจายตวของอเลกตรอนภายใน ammonia โมเลกล ทาใหเกดความไมสมาเสมอของประจไฟฟาขน เกดเปนประจลบสทธไปกระจกตวอยบรเวณ nitrogen อะตอม และ เกดเปนประจบวกสทธไปกระจกตวอยบรเวณ hydrogen อะตอม ความไมสมาเสมอลกษณะดงกลาวนทาใหเกด electric dipole moment eμ ภาพ 4.10 แสดงลกษณะของ electric dipole moment eμ ทเกดขนโดยธรรมชาตภายใน ammonia โมเลกล ทศทางของ eμ ขนอยกบตาแหนงของ nitrogen อะตอม หรออกนยหนง ขนอยกบวาระบบอยในสถานะ 1 หรอ 2 นนเอง



เมอเราปอนสนามไฟฟา E ภายนอกเขาไปในระบบยอมจะทาใหเกดอนตรกรยาระหวาง electric dipole moment และ สนามไฟฟา ซงม interaction energy คอ eμ− ⋅E เมอเปนเชนน Hamiltonian matrix ดงในสมการ (4.48) กยอมตองเปลยนไป ดงตอไปน

0

0

ˆ1 , 2 basis

e

e

E AH

A E

μ

μ

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎢ ⎥− −⎣ ⎦

E

E __________________ (4.68)

สมการ (4.68) เปน Hamiltonian matrix ของ ammonia โมเลกลภายใตอทธพลของสนามไฟฟา จะสงเกตเหนวา พลงงานของสถานะ 2 มคาลดลงจากเดม eμ E เนองจาก electric dipole moment ม

ทศทางเดยวกนกบสนามไฟฟาภายนอก ในขณะทพลงงานของสถานะ 1 มคาเพมขนจากเดม

eμ E เนองจากมทศสวนทางกบสนามไฟฟาดงกลาว

เพอทจะหาระดบพลงงานของระบบ เราสามารถหาผลเฉลยของ eigenvalue ของ matrix ขนาด 2x2 ในสมการ (4.68) ซงจะไดวา eigen energy ของระบบกคอ

22 20 eE E Aμ= +E∓ _________________________ (4.69)

อยางไรกตาม เราสามารถทจะประมาณระดบพลงงานในสมการ (4.69) ใหมรปแบบทางคณตศาสตรทงายขน โดยใชกลไกการประมาณคาทเรยกวา Taylor expansion เพราะฉะนนจะไดวา

22

0 2eE E A

Aμ

≅E

∓ ∓ _________________________ (4.70)



Maser (Microwave Amplification by Stimulated Emission)

wave cavity ทปรบความถ resonance ท 24GHz พอด

2( ) ( )e

zF E z zz A z

μ∂ ∂= − = ±

∂ ∂E

แยกโมเลกล ammonia เปนสองประเภท

NH3

II

I



2( ) ( )e

zF E z zz A z

μ∂ ∂= − = ±

∂ ∂E


NH3



2( ) ( )e

zF E z zz A z

μ∂ ∂= − = ±

∂ ∂E


NH3

II

I

ภาพ 4.11 แสดงหลกการทางานของ Maser ทสามารถสรางคลนแมเหลกไฟฟาความเขาสง ไดคลายๆกน laser ทเราคนเคยกนด เพยงแตคลนแมเหลกไฟฟาทไดจาก Maser มความถ 24GHz ดผวเผน สมการ (4.70) เปนเพยงความสมพนธระหวางพลงงานของระบบ และความเขมของสนามไฟฟา E ทปอนเขาไปในระบบ อยางไรกตามความสมพนธดงกลาว เปนหนงในปจจย

สาคญททาให J.P. Gordon, H. J. Zeiger, และ C.H. Townes [Phys. Rev. 99, 1264-1274 (1955)] ไดประสบความสาเรจในการสรางสงทเรยกวา Maser ซงยอมาจาก (Microwave Amplification by Stimulated Emission) โดยทตอมาในป 1964 Townes ไดรบรางวลโนเบลอนเนองมาจากงานของเขาทเกยวของกบ Maser และ Laser ภาพ 4.11 แสดงหลกการทางานของ Maser ซงประกอบดวย beam ของ ammonia โมเลกล ทแตเดมมทงทอยในสถานะ I และ II ดงแสดงดวยวงกลมสแดงและสนาเงนตามลาดบ จากนน beam ของ ammonia ผานเขาสบรเวณทใชเปนตวแยก state ทงสองออกจากกน จากสมการ (4.70) ถาเราออกแบบใหความเขมของสนามไฟฟาเปนฟงชนกทเปลยนไปตามแกน z กลาวคอ ( )z=E E จะไดวา พลงงานของ ammonia โมเลกลกยอมตองขนกบพกดในแกน z ทโมเลกลนนๆปรากฏอย

22

0( )

( )2

e zE z E A

Aμ

≅E

∓ ∓ _________________________ (4.71)

และเมอพลงงานเปนฟงชนกของตาแหนง เราสามารถคานวณแรงทกระทาตอโมเลกลของ ammonia ไดวา



2

( ) ( )ezF E z z

z A zμ∂ ∂

= − = ±∂ ∂

E _________________________ (4.72)

จากเครองหมาย ± ในสมการ (4.72) จะเหนวาแรงทกระทาตอโมเลกล ammonia ทอยในสถานะ I จะมทศตรงกนขามกบของสถานะ II เพราะฉะนน beam ของ ammonia โมเลกลจะแยกออกเปนสองสายเนองจาก gradient ของสนามไฟฟาทปรากฏอย ในภาพ 4.11 เมอโมเลกลของ ammonia ผานออกมาจากสวนททาหนาทแยก beam เขามาสบรเวณทไมมสนามไฟฟา Gordon, Zeiger, และ Townes ออกแบบใหโมเลกล ammonia ในสถานะ II ซงมพลงงานเทากบ 0IIE E A= + มารวมตวกนอยในภาชนะทเรยกวา "resonance wave cavity" ทออกแบบรปรางและขนาดของภาชนะใหเออตอการปลดปลอยคลนแมเหลกไฟฟาทความถ 24 GHz ซงความถนเองเปนความถของคลนแมเหลกไฟฟาทมพลงงานเทากบ II IE E EΔ = − สงผลใหโมเลกลของ ammonia ทโดนแยกออกมาใหรวมตวกนใน resonance wave cavity และ แตเดมอยในสถานะ II เกดการเปลยนสถานะโดยฉบพลนและโดยพรอมเพรยงกน จาก II I⇒ จงเกดเปนคลนแมเหลกไฟฟาทความถ 24 GHz ทมความเขมสงปลดปลอยออกมา นกศกษาจะสงเกตไดวา กลไกการทางานของ Maser มความคลายคลงกบ Laser ทนกศกษาคนเคยในชวตประจาวน เพยงแตวา Maser เปลงคลนแมเหลกไฟฟาในยานความถของ microwave ในขณะท Laser อยในยานของความถแสงนนเอง

4.6 บทสรป

ในบทท 4 ทวาดวย time evolution เราไดเรมรจกกบ time evolution operator ˆ ( )U t ทเมอกระทากบสถานะใดๆของระบบ จะทาใหมนเปลยนแปลงไปกบเวลา หรออกนยหนง

ˆ( ) ( ) ( 0)t U t tΨ = Ψ = เราสามารถทจะเขยน operator ˆ ( )U t ใหอยในรปทสมพนธกบ Hamiltonian ของระบบ ซงกคอ

ˆˆ ( )

iHt

U t e−

= _________________________ (4.73)



ความสมพนธดงกลาวเปนเครองมอทสาคญยงในการศกษาการเปลยนแปลงไปตามเวลาเมอเราทราบสถานะเรมตนของระบบ ซงพอจะสรปไดเปน 3 ขนตอนโดยสงเขปดงตอไปน โจทย - สมมตวาเราทราบ Hamiltonian ของระบบทกาลงศกษาวาเปน H และสมมตตอไปอกวาเราทราบสถานะของระบบเมอเวลาเรมตน ( 0)tΨ = คาถามกคอ ระบบจะมการเปลยนแปลงไปอยางไรในเวลาตอมา 1. คานวณหา eigenstate nε และ eigen energy nE ทงหมดทเปนไปไดของ Hamiltonian operator H หรออกนยหนง ตองทาการหาผลเฉลยของสมการ ˆ n n nH Eε ε= 2. กระจายสถานะเรมตน ( 0)tΨ = ใหอยในรป superposition ของ eigenstate ในขอ 1

( 0) n nn

t c εΨ = =∑

โดยทสมประสทธ nc สามารถหาไดจาก ( 0)n nc tε≡ Ψ = 3. โดยอาศยรปแบบของ time evolution operator ในสมการ (4.4) และอาศยวา nε เปน eigenstate ของ H จะไดวา

ˆ

ˆ

( ) ( 0)iHt

iHt

n nn

t e t

e c ε

−

−

Ψ = Ψ =

= ∑

หรอ

( )iE tn

n nn

t e c ε−

Ψ = ∑ _________________________ (4.74)

โดยทนกศกษาจะสงเกตเหนวา ตวอยางทไดกลาวมาขางตน ไมวาจะเปน spin precession ของอเลกตรอน หรอ ammonia maser กด ลวนแลวแตเปนการนาผลของสมการ (4.74) มาประยกตใชในการวเคราะหทงสน



4.7 ปญหาทายบท

แบบฝกหด 4.10 พจารณาอนภาคทม spin = 1 โดยใช eigenstate ของ ˆzS เปน basis state ( { }, 1, 1 , 1,0 , 1, 1j m ∈ + − ) จงเขยน eigenstate ทงสาม ของ ˆyS ใหอยในรปของ

superposition ของ basis state ดงกลาว

แบบฝกหด 4.11 spin-1 particle ซงม magnetic momentum เทากบ ˆ2gq Sm

μ = วางอยทามกลาง

สนามแมเหลก 0B B= k ณ เวลา 0t = ระบบอยในสถานะ ทเปน eigenstate ของ ˆyS และม

eigenvalue จงหาวา ˆxS , ˆyS , และ ˆzS เปลยนแปลงกบเวลาอยางไร

แบบฝกหด 4.12 จงแกสมการ (4.38) โดยตรงเพอหาผลเฉลยของ ( )a t และ ( )b t

บอกใบ - (i) ใชวธเปลยนตวแปรโดยกาหนดให 20( ) ( ) i ta t c t e ω−= และ 20( ) ( ) i tb t d t e ω+= จากนน เขยนสมการใหอยในรปของ ( )c t และ ( )d t (ii) จากนนกาหนดให 0ω ω= เพอกจะไดสมการอนพนธอนดบหนง (iii) เปนใหเปนสมการอนพนธอนดบสองแลวแกสมการ แบบฝกหด 4.13 กาหนดให Hamiltonian matrix ของระบบทม basis state 3 state ดวยกนคอ 1 , 2 , 3 มคาเทากบ

0

1

0

00 0

0

E AH E

A E

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a) จงหาความนาจะเปนทระบบจะเปลยนจาก 1 2⇒ และ 2 3⇒ เมอเวลาผานไป b) ถา ณ เวลา 0t = พบวา ( 0) 2tΨ = = จงหา ( )tΨ c) ถา ณ เวลา 0t = พบวา ( 0) 3tΨ = = จงหา ( )tΨ



This page is intentionally left blank

4 time evolution

Documents