56

Четвърта глава

ПРИЛОЖЕНИЕ НА МЕТОДИТЕ ЗА МОДЕЛИРАНЕ НА

НАДЕЖДНОСТТА

4.1 НАДЕЖДНОСТ НА ВЪЗСТАНОВИМИ ОБЕКТИ

4.1.1 Възстановяване, готовност и безотказност

По принцип устройства и системите в комуникациите са възстановими обекти.

Те се характеризират с това, че след първи отказ възвръщат многократно

работоспособността си чрез ремонт, отстраняване на грешките или самовъзстановяване.

В някои случаи не е възможно и/или целесъобразно да се възстановява

работоспособност след откази, които изискват сложни и скъпи ремонти. Това се отнася

за презокеански кабели, интегрални схеми, SIM-карти за мобилни апарати и др. Нещо

повече. Днес с поразяващо бързото развитие на технологиите и под силния конкурентен

натиск, понижаващ цените, новите генерации следват на малки интервали от време, през

което още не е наработен първи отказ на предишното поколение. Може да се окаже по-

целесъобразно да се достави ново устройство, вместо да се ремонтира старото.

Bъпреки всичко това и в бъдеще системите на телекомуникациите ще останат

като цяло възcтановими.

Възстановимите обекти се характеризират с това, че след първи отказ възвръщат

многократно работоспособността си чрез ремонт, отстраняване на грешките или

самовъзстановяване.

В потока от събития отказите и възстановяванията следват алтернативно в

случайни моменти от време. Ако се вземе отрязък от времедиаграма на този вече

състоял се поток (Фиг.4.1,а), може да се наблюдават следните явления: вероятността за

безотказна работа намалява (Фиг.4.1,б), след случайно време до отказ Т

работоспособността се прекъсва и след ново случайно време на възстановяване Тв

обектът отново е работоспособен. Времето на работа в конкретния случай е Тi, а на

възстановяване - Твi..

t

t

Тср.в

Тср

Qв(t)

t t

Р(t)

работоспособно

неработоспособно

Тi MTBF

Твi

а)

б) а)

с) 1 1 2

2

Фиг.4.1 Откази и възстановявания

Събитията се повтарят многократно и, ако се осреднят времената за възникване

на откази

57

(4.1) =

=n

i

iT

ncpT

1

1и за възстановявания -

=

=n

i

i

ввcp ТTn 1

1

.

може да се намери един от показателите за надеждност на възстановимите системи -

средното време между два последователни отказа (Mean Time between Failure )

(4.2) MTBF = Тср+ Тср.в.

След отказа вероятността за възстановяване )(tQв = W ( вT < t) нараства

(Фиг.4.1,с) по закон, аналогичен на вероятността за отказ (вж. т.2.2.4 – уравнение 2.15):

(4.2) )(tQв = −

−

tdtt

e 0)(

1

.

Но сега интензивността на обратния преход )(t , при който се възстановява готовността,

е много по-голяма от интензивността на отказите )(t . Ако потокът от откази и

възстановявания е обикновен поток и ако (по подобие на )(t = const. = ) и

)(t = соnst.= , то вероятността за възстановяване е експоненциална функция на времето (на Фиг. 4.1,с – крива 1):

(4.3) )(tQв = t

e−

−1 , където:

(4.4) =всрT .

1 - интензивност на възстановяване.

За разлика от отказите, обаче, такава интерпретация на възстановителния процес не

винаги е достатъчно адекватна. Докато за самовъзстановяване по програмен път това

може да се приеме за приблизително вярно, при традиционния ремонт по-вероятно е

времето да е разпределено по крива 2 (Фиг. 4.1,с). В началото на възстановителния

период отказът трябва да се изяви, локализира и след това да се предприемат мерки за

отстраняването му. Но, както ще бъде показано по-долу, нестационарността на няма

съществено влияние върху точността на модела за оценка на надеждността, тъй като на

практика >> и определяща се явява интензивността .

Ако потокът откази и възстановявания е елементарен, случайният процес е

марковски и може да се представи с комплементарния граф (алтернативно сменящи се

състояния, образуващи пълна верига в смисъла на теорията на вероятностите) на

Фиг.4.2.

р нр

λ

μ

Фиг.4.2 Граф на състоянията на възстановим обект

Вероятността за престой в работоспособно (р) състояние се нарича функция на

готовност )(tГ (в англоезичните източници )(tA ). Това е вероятността, че обектът

ще се окаже работоспособен в момент t. Вероятността за престой в неработоспособно

състтяние е фнкция на неготовност и по аналогия с невъзстановимите обекти, е

)(1)( tГtП −= .

Опит за практическо обяснение на тези показатели е направен с графиките на

Фиг.4.3. Отначало вероятността за отказ )(tP намалява, както се предполага,

58

експоненциално. След отказ функцията прекъсва и започва възстановяването,

вероятността за което нараства по Фиг. 4.1,с. След ремонта или подмяната на отказалия

елемент (детайл, печатна платка, предпазител и т.н.) вероятността за безотказна работа

се повишава частично, но веднага след възстановяване на работоспособността започва

отново да спада. И така, до следващия отказ. Получава се начупена линия на

вероятността за безотказна работа с тенденция към стационаризация. Но когато трябва

да се прогнозира надеждността (събитията още не са се случили), вероятността обектът

да се окаже работоспособен може да се представи с плавна крива, с която се моделира

готовността )(tГ . Тя намалява асимптотично и се стреми към постоянна стойност

гt

KtГlim =→

)( - коефициент на готовност.

t

Г( t )

P(t)

λ =const

К г

1

Фиг.4.3 Готовност и безотказност

От Фиг.4.3 се вижда, че готовността )(tГ силно се отличава от вероятността

за безотказна работа )(tP . Тя не клони към нула, а към някаква твърде висока

стойност гK . Този благоприятен резултат е за сметка и като ефект на възстановяването.

Функцията на готовност )(tГ , респ. коефициентът на готовност гK , са

основни показатели за надеждност на възстановимите обекти

4.1.2 Моделиране на готовността

Това означава да се намерят функциите, свързани с надеждността на

възстановимите обекти. За целта се прилага изучения метод на марковските процеси

(т.3.2). Разглежданият поток от откази и възстановявания се илюстрира с графа на

Фиг.4.2. За този граф при обикновен поток от откази и възстановявания може да се

напише следната система диференциални уравнения на Колмогоров [9]:

(4.5)

)()()(

)()()(

tПtГdt

tdП

tПtГdt

tdГ

−=

+−=

където Г(t) е готовността на обекта, а П(t) е вероятността за престой в състояние на

възстановяване – неговата неготовност. Решенията могат да се намерят чрез

трансформация на Лаплас [8]. Без да се привеждат, тук те се дават за два случая на

изходни състояния: а) когато наблюдението започва от състояние на работоспособност и

б) когато започва от състояние на възстановяване:

а)Г(0) = 1, П(0) = 0, т.е когато обектът е работоспособен

59

(4.6) t

etГ)(

)(

+−

++

+=

(4.7) tetП )(1)(

+−−

+= ;

б) Г(0) = 0, П(0) = 1, т.е когато обектът е неработоспособен

(4.8) tetГ )(1)(

+−−

+=

(4.9) t

etП)(

)(

+−

++

+= .

И в двата случая двете функции )(tГ и )(tП са експоненциални и, макар че тръгват от

различни изходни точки, клонят към едни и същи стойности: функцията на готовност

към коефициента на готовност

(4.10)

+==

→г

t

KtГ )(lim ,

а функцията на неготовност – към коефициента на неготовност

(4.11)

+==

→п

t

KtП )(lim ,

като гK + пK = 1 (Фиг.4.4).

1

Kг

a

a

б

б

Кп

Г(t)

Г(t)

П(t)

П(t)

Фиг.4.4 Функции на готовност и неготовност

От получения модел и извършеното изследване може да се направи извода, че след

достатъчно дълго време от началото на експлоатацията на обекта (хоризонталната част

на кривата от Фиг.2.9) надеждността на една възстановима система може да се моделира

с коефициента на готовност гK , независимо от това, откъде започва разглеждането – от

работоспособна или отказала система. Тя “забравя” откъде е тръгнала.

Коефициентът на готовност може да се представи и с времеви параметри:

(4.12) ср

ср

всрср

ср

всрср

вср

г HТMTBF

Т

ТТ

Т

ТТ

ТK ==

+=

+

=+

=.

.

.

11

1

където Н е честотата на отказите. Макар и пак честота, това не е същата величина, която

наблюдавахме в т.2.2.3 като f(t). Тя е плътност на разпределението на отработката до

отказ на не един, а много обекти, които работят едновременно.

60

Същият резултат може да се получи и след заместване от (4.10) в (3.1):

(4.13) MTBFТТ

КT

PHвсрср

г

ср

111

.

=+

=== .

Ако за обикновен поток t)( + е много малко число, след заместване в (4.8) и

ограничение до втория ред на разложение в ред на Мак Лорен намираме:

(4.14) )(1])(1[)( tPttttГ −=−+

++

=+−+

++

.

Това означава, че двете криви - за безотказност и за готовност - в началото на

експлоатацията (при малко t) почти не се различават. Съществените отлики се чувстват с

напредване на времето, когато възстановяването започва да играе решаваща роля.

Трябва да се отбележи, че готовността )(tГ може да се изменя и по друг закон,

различен от експоненциалния (Фиг.4.5). Това е случая, когато или се изменят с

времето. Тогава потокът е Пуасонов, а процесът полумарковски. Готовността намалява

по-бавно или по-бързо, в зависимост от това, как се изменя съответната интензивност

преди да се стационаризира .(t)limt

const=→

и .(t)limt

const=→

- расте 0dt

d

( 0dt

d ), или намалява 0dt

d .

Ходът на кривите има практическо значение при моделиране на готовността на

телекомуникационните системи, за които интензивността )(t се изменя по “кривата с

профила на ваната” (Фиг.2.9). В периода на ранните откази може да се очаква

готовността бързо да намалява, след което да се стабилизира или даже да се повиши

(Фиг.4.5 – крива 1), в зависимост от параметрите на функцията )(t . Теоретически

възможният спад под коефициента на готовност може да се приеме в периода на ранните

откази, поради което по време на експлоатацията определящ е гK .

1

1

2 Г(t)

.const− 0

dt

d

0dt

d

Kг

Фиг.4.5 Изменение на готовността при полумарковски процес

Интензивността на възстановяванията .)( constt най-често се изменя по

закон, близък до Гаусов. Установено е [9], че при повече от стократно по-голямата й

стойност от интензивността на отказите .const= , какъвто е случаят в практиката, грешките в модела на готовността, произтичащи от неотчитането на нейната

нестационарност, са пренебрежимо малки. Поради това се счита, че моделът с

обикновен поток на откази и възстановявания е достатъчно адекватен.

Да приемем вероятните стойности ]/1[10.5,0 3 h−= и ]/1.[5,0 h= . Това

значи, че коефициентът на готовностгK , съгласно (4.9), ще има стойност 0,9990. По

оста на времето на наблюдаваната система, потокът от откази в може да се счита като

61

поредица от моментални възстановявания, чрез които тя се поддържа практически

винаги готова:

t

Приведените данни от практиката показват, че спадът кривите на готовността от

Фиг. 4.3, 4.4 и 4.5 е силно преувеличен от методични съображения.

Колкото и да е съществен, коефициентът на готовност гK не е много

показателен. Например, ако от 2 часа времето на ремонта Тср.в се скъси двойно и

интензивността нарасне два пъти ]/1.[1 h= , то коефициентът на готовност ще се

подобри от 0,9990 само на гK =0,9995. Ако се вложат средства и усилия за подобряване

безотказността и интензивността на отказите се намали два пъти ]/1[10.25,0 3 h−= , то

готовността ще се подобри пак толкова. Но средното време между отказите ще нарасне

от MTBF = .2002240005,0

1

0005,0

1h=+=+ на MTBF = .400224000

5,0

1

00025,0

1h=+=+ , т.е

времевия показател MTBF е по-илюстративен.

4.1.3 Възстановими обекти с три надеждностни състояния

В редица телекомуникационни системи възниква въпросът за характера и

последствията от отказа (вж.т. 1.5). Той се отнася и за самите компоненти: диодът,

кондензаторът, транзисторът и т.н. могат да пробият или да прекъснат, контактът да

остане залепнал или да не включи, линията да даде “късо съединение” или “прекъсване”

и т.н. Но проблемът за характера на отказа е особено значим в системите за реално

време, управляващи отговорни процеси.

Ще приведем примери за пояснение. 1. При предаване на данни приемникът проверява изправността на получения пакет. Ако

установи, че е изправен, той го приема (състояние 1). Когато има грешки, го отхвърля или иска от

предавателя да му бъде препратен (състояние 3). А ако не установи грешки, не значи че такива

няма. Причината може да е в неговите откриващи възможности, които са ограничени, или в

собствените му откази, поради които той е загубил свойството си да открива грешки. Може да се

установи критично (опасно) състояние 2.

2. Даден е филтър, който пропуска определена честота (състояние 1). Възможни са две различни последствия от отказите: не пропуска (3) или пропуска всички честоти (2), а значи и

сигнали, които може да са опасни.

3. Едно повикване в комутационния възел може да се осъществило (1), а вследствие на откази да е не се е състояло (3) или да е избрало друг абонат (2), което в отговорни процеси да е

опасно.

4. Едно управляващо устройство в система за контрол на достъпа може да работи (1), вследствие на откази да откаже достъп (3), но и да допусне всеки неоторизиран (3), което може да

е опасно..

5. Едно устройство за управление на сигнал за регулиране на транспортните процеси може да работи (1), вследствие на откази да спира движението, когато не трябва (3), но и да

разрешава движение, когато не бива (2), което е опасно.

Всички тези примери показват, че макар и по-рядко, в комуникациите

представлява интерес не само отказа, но и неговите последствия. В контекста на

моделирането това означава, че неработоспособното състояние (нр) на Фиг. 4.2 може да

се представи като състоящо се от две състояния – 2 и 3, принадлежащи на едно отказово

множество. Състояние 3 може да се приеме за защитно, а състояние 2 – за критично

(опасно). Тогава графът, илюстриращ този обикновен поток от откази, ще стане

62

трипозиционен, а преходите между състоянията – 6 (Фиг.4.6,а). Интензивностите на

излизане от трите състояния са обозначени на чертежа:

1 2

3

О

З

Р

a

)

1 2

3

(1-р)

р

з

О

З

Р

б)

з

d

d

1.работоспособно; 2.опасно; 3.защитно; )(t - интензивност на какви да са откази; )(td -

интензивност на възстановяване от опасно състояние; =з - интензивност на

възстановяване от защитно състояние; р - вероятност отказът да е защитен

Фиг.4.6 Графи на обекти с три състояния

Много често някои от преходите са изключително малко вероятни и могат да се

пренебрегнат. Обикновено обектът преминава в защитното състояние (3), след което се

извършва ремонт и възстановяване в (1). Когато стане опасен отказ (2), след като

отказът се открие и се мине през ремонт (3), работоспособността се възстановява, т.е.

преходът с интензивност )(td е към защитно състояние. Ако вероятността

възникналият отказ да е защитен е р , то вероятността преходът да е опасен е 1- р .

При такава постановка отпадат два от шестте прехода, а графът придобива вида

на Фиг.4.6,б. Очевидно, касае се за ергодичен обект, който след достатъчно дълго време

достига до пределните вероятности на състоянията, различни от нула и единица.

Да моделираме надеждността и безопасността на един подобен обект значи, да

намерим функциите на готовност Г(t) (вероятност за престой в състояние 1 – P1(t)), на

опасни откази (вероятност за престой в състояние 2 – P2(t)), и на защитни откази

(вероятност за престой в състояние 3 – P3(t)). За целта ще приложим метода на

марковските случайни процеси, изучен в т.3.2. Системата диференциални уравнения на

Колмогоров има вида:

(4.15)

)()()()(

0)()()1()(

)(0)(].)1([)(

3213

212

311

tPtPtPрdt

tdP

tPtPрdt

tdP

tPtPppdt

tdP

о

о

−+=

+−−=

+++−−=

Тази система е решена в [9] по метода на Лапласовата трансформация и е намерено

следното решение: trtr

eCeBAtГtP 21 1111 )()( −+== готовност;

(4.16) trtr

eCeBAtDtP 21 2222 )()( −+== вероятност за опасна работа; trtr

eCeBAtZtP 21 3333 )()( −+== вероятност за защитни престои.

Тук константите А, В и С, както и корените на характеристичното уравнение 1r и 1r ,

получено при трансформацията на Лаплас, са изрази на параметрите , р , , и 0 .

Видно е, че търсените вероятности са суперпозиция от експоненциални функции.

63

Готовността Г(t) има вид, аналогичен на Фиг.4.4. Сумата от двете отказови компоненти е

равна на неготовността на обекта:

(4.17) П(t) = D(t) + Z(t)

Графично отказовите функции - на защитни откази и опасни откази - са

представени на Фиг.4.7. Нараствайки, те клонят към съответни коефициенти – пределни

вероятности на състоянията, които могат да се намерят или

▪ като уравненията (4.15) се нулират и се реши системата, ▪ като в крайните резултати (4.16) се намерят границите при →t .

Функцията D(t) (dangers) и съответния коефициент Kd са показатели за

безопасност след откази и оценяват вероятността за възникване на опасен отказ.

Получава се:

(4.18) а)dd

oг

t pKtГlim

+−+==

→ )1[()(

б)dd

dt p

pKtDlim

+−+

−==

→ )1[(

)1()(

с)dd

oz

t pKtZlim

+−+==

→ )1[()(

Обикновено Kd

64

4.2 НАДЕЖДНОСТ НА СИСТЕМИ С ТИПОВИ СТРУКТУРИ

4.2.1 Фактори, от които зависи надеждността

Надеждността на една система зависи от условията и режима на работа

(непрекъснат, периодичен, повторно-кратковременен и др.), от надеждността на

елементите, от които е изградена, от нейната структура, както и от възстановимостта на

съставните й части след отказ. За да стане ясно, как зависи от структурата, в Таблица 4.1

е даден пример със система от три елемента, всеки от които може да е работоспособен

(0) и неработоспособен (1). Надеждностните състояния на обектите образуват съчетания,

които можем да наречем парциални надеждностни вектори. Елементите на тези

множества се образуват по стълбовете на таблицата съгласно принципа на пълното

изброяване, по който се образуват двоичните числа. Напр. числото 6 е 100 (отгоре

надолу).

Когато елементите са свързани така, че отказът на кой да е от тях води до отказ

на системата, казваме, че това е последователна (серийна), от гледна точка на

надеждността, структура. Когато системата работи, ако работи кой да е неин елемент,

структурата е паралелна. Тези и други типови структури се прилагат в практиката на

комуникационната техника както самостоятелно, така и в различни комбинации. В

последния ред на таблицата се вижда, например, че подобна структура има по-сложно

поведение. Тя е работоспособна в три от 8-те парциални надеждностни състояния.

Таблица 4.1

Cистема с три елемента Състояния на

елементите

0 1 2 3 4 5 6 7

Е1 0 0 0 0 1 1 1 1

Е2 0 0 1 1 0 0 1 1

Е3 0 1 0 1 0 1 0 1

Последователна структура

0 1 1 1 1 1 1 1

Паралелна структура

0 0 0 0 0 0 0 1

Последователно-

паралелна структура

0 1

0 1 0 1 1 1

Задачата за моделиране на надеждността на системите, която се решава по-

долу, се свежда до следното:

Зададени са:

1. Функциите и структурата (например Фиг.4.8) на системата;

2. Надеждността на елементите, например: tiietp

−=)( ,

ti

ietq−

−=1)( , ni −= 1 , където n е броя на елементите.

1 2

3

1 2

3

1 2 3

65

От зададените изходни условия трябва да се намери вида на системната структура –

последователна, паралелна, смесена, мостова, многоканална и т.н., или съчетание от тях.

Търсят се показателите за надеждност на системата:

1. за невъзстановими - Р(t), Q(t), )(tf s , )(ts MTТFs;

2. за възстановими – Г(t) респ. Кг, П(t) респ.Кп, и MTВFs.

Еле-

мент 1

Еле-

мент 2

Еле-

мент 3

Еле-

мент 3

Фиг.4.8 Системна структура

4.2.2 Надеждност на последователни структури Последователна по надеждност е структура, която е работоспособно тогава

и само тогава, когато всички елементи, от които е изградена, са работоспособни. Тя

отказва, ако откаже макар и един нейни елемент.

От дефиницията следва, че всяка структура без излишък е последователна,

защото всеки елемент има своите функции и е част от системата (вж. 1.3). След неговия

отказ е естествено да се наруши единството cъвкупността, представляваща системата с

нейната функционалност.

На последователното свързани елементи в електрическите вериги, обикновено

съответства последователна по надеждност структура: верига от елементи Е1 , Е2 , ...Еm

(Фиг.4.9,а), верига от контакти (Фиг.4.9,б), верига от лампички (Фиг.4.9,с) и т.н. Един

традиционен комуникационен канал е последователна структура от преобразуватели на

входящата информация, модеми, линии, комутационни възли, мултиплексни и

преносвателни линии и пр. комуникационни устройства (Фиг.1.1). Една шинна структура

на локадна комуникационна мрежа по същество е също последователна.

a)

б)

с)

Е1 Е2 Еm

Е1 Е2 Еm

Е1 Е2 Еm

Фиг.4.9 Последователна структура

Но последователното в електрическо отношение свързване не е непременно

последователно свързване по надеждност. Както и обратното. Напр. един паралелен

66

трептящ кръг е последователна структура, тъй като отказът на кой да е от двата му

елемента – кондензатора или индуктивността, води до отказ на системата «трептящ

кръг».

Както бе споменато, всяка структура без излишък е последователна. На Фиг.

4.10 е дадена една широко известна система за високоотговорна обработка на

информация I, която се състои от две синхронизирани микропроцесорни устройства

(информационни канала) 1C и 2C и един компаратор К. Резултатите от пренасянето

и/или обработката на информацията в двата канала се сравняват на съответствие и ако

съвпадат, компараторът дава разрешение за възприемане на резултата R от обекта за

управление. Така показаната схема е една последователна структура. Отказът на кой да е

от тези елементи води до неработоспособност на системата. Тази система е позната в

литературата като «2 от 2», тъй като за да даде верен резултат, трябва и двата канала да

са работоспособни.

I

R

Компаратор K

Обект на

управление

ОУ

µС1

µС2

I

ОК

Фиг. 4.10 Последователна структура с два микропроцесора

Показателите за надеждност на последователните структури могат да се намерят

като се използва изучения в т.3.3 метод за преход от логически към вероятностни

функции и изведените в т.2.2 формули за показателите на невъзстановимтите обекти. За

функцията на работоспособност pF на структурата, съгласно дефиницията за

последователна система, може да се напише:

(4.21) o

n

oo

p zzzF ...21=

където с o

iz са означени логическите твърдения, че елементите са работоспособни. Тъй като Булевата функция е безповторна в базис «конюнкция-отрицание», тя е функция,

подходяща за пълно заместване. След като се направи прехода към вероятностни

функции, вероятността за безотказна работа се получава във вида:

(4.22) =

==n

iinp tptptptptPF

121 )()()...()()( .

Ако пък елементите са възстановими, за готовността на последователната система може

да се напише:

(4.23) =

==n

i

i

г

m

ггг

s

гp KKKKKF1

21 ... ,

където m

ггг KKK ...21

са готовностите на отделните елементи.

Следващите показатели ще адресираме към невъзстановими системи.

67

Когато всички съставящи на системата са еднакви, може да се получи по-

простата формула:

(4.24) tmm eptP

constppi

−==== .

)(

Последното равенство е получено при предпоставката, че отделните компоненти на

последователната структура имат експоненциално разпределение. Следват формули за

показателите при това предположение, което за телекомуникациите е най-честия случай.

Вероятността за отказ ще има вида:

(4.25) tmetQ −−=1)(

Плътността на разпределение на отказите на системата е:

(4.26) tmem

dt

dQtfs

−==)( ,

а интензивността на отказите:

(4.27)

me

em

tP

tf

tm

tms

s ===−

−

)(

)(.

Когато елементите са различни, интензивността на отказите на последователната

структура е сума от интензивностите на отделните компоненти:

(4.28) =

=m

i

is

1

.

Средното време до отказ се намира по формула (2.18):

(4.29) MTTFs =m

T

mdte

срtm ==

−

1

0

.

От формулата следва, че очакваната «продължителност на живота» на последователна

система се скъсява пропорционално на броя на съставните й компоненти.

Когато системата е възстановима, средното време между два последователни

отказа MTВFs може да се намери, като се изходи от формула (3.3). За илюстрация на

решението на помощ е привлечена и Фиг.4.11. Вижда се, че отказът на всеки елемент

извежда системата от работоспособност (а) с интензивност , а след възстановяването му с интензивност тя, от състояние на отказ (f-failure), отново възвръща

работоспособността си. Честотата на отказите в системата ще бъде:

(4.30)

mmKKPH

m

i

m

i

гaiгaiaaизi

= =

= +====

1 1

.,

а средното време между отказите:

(4.31) m

MTBF

mHMTBF

aиз

s =+

==

.

1 ,

т.е. средното време между отказите се скъсява пропорционално на броя на елементите

във веригата.

68

f1

f2

fi

fm

a λ

λ µ

µ

µ

µ

λ

работоспособно

неработоспособно

Фиг.4.11 Граф на състоянията на възстановима последователна система

Примери: 1. Да се намерят показателите на надеждността на система «2 от 2» (Фиг.4.10), двата

канала на която имат еднаква постоянна интензивност на отказите, когато двата канала имат

еднаква надеждност и когато системата е:

а) невъзстановима с Tср = 2000h h/110.5 4−= ;

б) възстановима с Tср.в = 2h; h/110.5 1−=

.Решение:

hs /110.1024−== , MTTFs = 1000 h.

teptP 22)( −== = te5

10.1−−

998,00005,05,0

5,02

2=

+== г

s

г KK

MTВF = Tср + Tср.в = 2000 + 2 = 20002 h

hm

MTBFMTBFs 1001

2

2002===

2. Да се намерят готовността s

гK и средното време между отказите MTВFs на

телекомуникационния канал от Фиг.1.1, ако апаратурата има интензивности на откази

ha /1 и възстановяване ha /1 , а линията - hl /1 респ. hl /1 .

Решение: Системата е последователна, тъй като каналът отказва при неработоспособност на

коя да е от двете си компоненти. По формула (4.30):

ll

l

aa

al

г

а

г

s

г KKK

++== .

MTBFs = )(

))((

).(

11

lala

llaa

la

s

г

s

из KH

+

++=

+=

4.2.3 Надеждност на паралелни структури

Паралелна по надеждност е структура, която е неработоспособно тогава и

само тогава, когато всички елементи, от които е изградена, са неработоспособни. Тя

работи, ако е работоспособен макар и един нейни елемент.

От дефиницията следва, че всяка паралелната структура е с излишък. Защото

всеки елемент може да изпълнява функциите, които има цялата система.

На паралелно свързани елементи в електрическите вериги, обикновено

съответства паралелна по надеждност структура: верига от елементи Е1 , Е2 , ...Еn

(Фиг.4.12,а), верига от контакти (Фиг.4.12,б) и т.н.

69

Е1

Е2

En

а) Е1

Е2

En

б) с) х

х линия

Фиг.4.12 Паралелна структура

В много случаи комуникационната техника използва паралелни структури, за да

постигне по-висока отказоустойчивост. Една кръгова топология на комуникационна

мрежа е паралелна, тъй като прекъсването от едната страна не нарушава нейната

работоспособност – тя запазва работоспособността от другата страна на кръга. Една

топология «всяка с всяка» също е паралелна, тъй като комуникацията може да се

установи, ако не пряко, по обходен път.

Но паралелното в електрическо отношение свързване не е непременно паралелно

свързване по надеждност. Както и обратното. Например:

▪ една верига от последователно свързани диоди е паралелна структура, тъй като пробивът на кой да е от тях не нарушава вентилната проводимост на веригата, докато

има макар и един работоспособен диод;

▪ Един приемник се задейства през кабелна линия от контакти на реле Х (Фиг.4.12.с). В последователната верига могат да станат «къси съединения» с «чуждо»

напрежение по съседни проводници в кабела, от които приемникът да се задейства

погрешно и опасно. Но системата отказва тогава и само тогава, когато са станали

двата обозначени отказа. От един отказ тя остава работоспособна, защото изправният

проводник управлява безпроблемно приемника.

Показателите за надеждност на паралелните структури могат да се намерят по

същия начин, както при последователните. Съгласно дефиницията за паралелна система,

за функцията на работоспособност pF на структурата може да се напише:

(4.32) o

n

oo

p zzzF = ...21

Тъй като тази безповторна БФ не е в необходимия базис се прилага формулата на Де

Морган и се получава:

(4.33) 11

2

1

121 ...... no

n

oo

p zzzzzzF ==

От тази изходна функция вече може да се направи вероятностен преход:

(4.34) n

tenqtqtqtqtqtPFconstpp

n

iinp

i

−−−==−=−=

===

−

11)(1)()...()(1)(

.1

21 1 ,

където равенствата, както и по-горе, са при посочените условия.

За коефициента на готовност на структура с възстановими елементи може да се

напише:

(4.35) n

nПППППKFПП

n

i

i

г

m

ггг

s

гpi

+−=−=−=−=

==

111...1

1

21

Ако получените формули (4.34) и (4.35) за показателите на паралелна се съпоставят с

аналогичните показатели (4.22) и (4.23) за последователна структура, може да се

установи, че паралелната структура има, както се и очакваше, по-висока надеждност. На

70

Фиг.4.13 те се интерпретират графично По абсцисата е нанесен показателят за

безотказност (респ. готовност) на един елемент, а по ординатата – същия показател, но за

системата. Вижда се, че при ниска надеждност на елементите (p(t) или Кг0), надеждността и на двете структури е много ниска, и макар различаваща се, клони към

нула. При висока надеждност на елементите (p(t) или Кг1) показателите пак се съединяват, този път към единица. Но в нормалната експлоатация разликите са много

съществени. Стига p(t) да намалее до 0,9, вероятността за безотказна работа на последователната система при три елемента спада до 0,721, а на паралелната се покачва на 0,999.

p(t)илиКг 0

P(t) или Кгs

Паралелна система

Последователна система

n=2

m=2

m=3 m=4

n=4

n=3

1

1

Фиг.4.13 Съпоставка на паралелна и последователна система

По установения по-горе ред могат да се намерят и останалите показатели на паралелните

системи:

(4.36) n

tetQ

−−= 1)(

(4.37) ts en

dt

dQtf −==)(

(4.38)

→

−

=

−−−

−−

==

−

t

t

ss n

te

eten

tP

tft

n

11

1

)(

)()(

1

.

За определяне на интензивността на отказите на паралелната система )(ts в (4.38) при

достатъчно дълго време →t се налага да се преодолее неопределеността, като се

приложи правилото на Лопитал. От последната формула се вижда, че интензивността

на отказите на паралелната структура (а това се отнася и за всяка система с

излишък) е функция на времето, макар че елементите от които се изгражда, имат

постоянна интензивност . Надеждността намалява с отработката като се приближава до надеждността на един от елементите й. И това е естествено, тъй като с течение на

времето един след друг те отказват, докато, преди да откаже системата, остане

последният елемент.

Средното време до отказ на паралелната система може да се намери като се

замести от (4.34) в известната формула:

(4.39) MTTFs =

−−−

0

11 dtte = hn

++++

1...

3

1

2

11

1

.

71

От тази формула се прави интересен извод: докато математическото очакване на

«времето за живот» на последователната система се скъсява равнозначно от всеки нов

елемент, то с прибавяне на нови елементи в паралелната структура «времето за живот»

не се увеличава пропорционално от всеки следващ, а с все по-малко.

Средното време между отказите на паралелната възстановима система може да се

намери по начин, аналогичен на последователната система (Фиг.4.11), но тъй като това е

значително по-сложно, ще бъде решен частния случай с два елемента в структурата.

Нека като пример за проста паралелна структура разгледаме схемата с дублиран

резерв на Фиг.3.10,б. Ориентираният граф, който моделира нейното поведение, е показан

на Фиг.3.5. Той може да се укрупни по метода, изложен в т.3.2.2. Ще се получи граф,

показан на Фиг.4.14. Честотата на влизане в неработоспособно състояние е

(4.40) 2

2

.)(

2)1(22

+=−== ггnгвх KKKKH ,

а средното време между отказите:

(4.41)

22

)(2

2 +=

+= MTBFMTBFs

Тази формула е много показателна. В практически интересните случаи времето между

отказите нараства стотици и хиляди пъти, докато готовността се изменя само с части от

процента. В много случаи телекомуникационните системи «не търпят» да имат

прекъсване, макар и като цяло да запазват, за сметка на по-бързото възстановяване,

същата готовност. Когато тези изисквания са съществени, показателят sMTBF има важно

значение.

2λ

λ

a,a

f,a

a,f

f,f

Фиг.4.14 Граф на дублирана система

4.2.3 Надеждност на последователно-паралелни и паралелно-последователни структури

В общия случай, от който могат да се получат редица частни приложения,

схемата на тези структури (m n) е показана на Фиг.4.15. Последователно са свързани m елемента, а паралелно на тази последователна верига – n подобни вериги. Структурата

(нека я наречем А) е известна като последователно-паралелна или със системно

резервиране. Но ако се осъществени вертикалните връзки (показани с пунктир), това

значи че са свързани n елемента паралелно, а m подобни паралелни структури са

свързани последователно с тях. Тази (Б) структура е позната като паралелно-

последователна или система с поелементно резервиране.

Схемите на Фиг.4.15,б и с, често срещани в комуникациите, са частен случай на

m n структурата при m= n=2.

72

Показателите за надеждност на системите могат да бъдат изведени по

установения по-горе начин. Тук ще се ограничим само до първите показатели на

надеждността в невъзстановими и възстановими системи.

Е1m

E2m

En1 Enm

а) б) Е11 Е12

Е21

En2

Е11 Е12

Е21 E22

с)

Е11 Е12

Е21 E22

Фиг.4.16 Последователно-паралелни и паралелно-последователни структури

А. Системно резервиране:

(4.42) onmon

on

om

ooom

oopa zzzzzzzzzF ............ 212222111211 =

=

= onm

o

n

o

n

o

m

ooo

m

oo zzzzzzzzz ............. 212222111211

(4.43) =

=

=

n

ia

m

1j

(t)pij1- -(t) P1

1 n

tmn

m etpconstppi

..11)(11

−−=−−=

==

Б. Поелементно резервиране

(4.44) )...)...(...)(...( 21222

1212111onm

om

om

on

ooon

oo zzzzzzzzzpF = =

=11

2

1

1

1

2

1

22

1

12

1

1 .............121.

111 nmmmnn zzzzzzzzz

(4.45) mnte tq (t)b

Pm

j

n

iij )1(1)(1

1 1

−−−=

−=

= =

За възстановими системи с еднакви по надеждност елементи двете структури имат

следните формули за коефициента на готовност:

(4.46) n

г

s

aг KK.

, 11 −−= ,

(4.4.7) mns

Ksbг

K )1(1.

−−=

За често срещаните случаи на Фиг.4.16,б :

(4.46) )2(22 211)( 2 ttt eeetPa −=−−= и фиг.4.16,с

(4.47) ( )2222

11)2

tetete(t

bP −=

−−−=

73

Надеждността на двете структури е различа. Обяснява се с по-големите възможности за

разервни пътища на Б схемата, при която всеки елемент е n-1 – кратно резервиран.

Съпоставката на вероятностите за безотказна работа е дадена графично на Фиг.4.17.

n

m

2 4 6 8 10 12 14

5,0

1,0

2,0

3,0

0

4,0 n=3

n=2

)(

)(

tP

P

a

tb

Фиг.4.17 Съпоставка на надежностите на А и Б структури от Фиг.4.16

4.2.4 Мостови структури

Ако вместо директна напречна връзка на схемата на Фиг.4.16,с се постави

cтруктурен елемент, схемата става мостова (Фиг.4.18,а). Мостовите структури често се

прилагат в телекомуникациите и както самостоятелни, и като съставни части на системи

или мрежи (Фиг.4.18,б).

Е1 Е5 Е2

Е3 Е4

а) б)

Фиг.4.18 Мостови структури

Тук ще се ограничим до намиране само на първия от показателите за надеждност:

(4.48) ][][ 52435421oooooooo

p zzzzzzzzF =

Тази Булева функция не е подходяща за заместване. Затова трябва да се направи преход

към ОДНФ по формулата за разложение на Шенон:

(4.49)

)())(()()( 040

3

0

2

0

1

1

5

0

3

0

1

0

4

0

2552435421 zzzzzzzzzzzzzzzzzzFooooooooo

p ==

0

4

0

3

0

2

0

1

1

5

1

3

1

1

1

4

1

2

0

5 . zzzzzzzzzzFp =

}{ )]()(1)].[()()]()(1)].[()(1[)( 4321531425 1[1 tptptptpqtqtqtqtqptPFp −−+−−= − .

Следващите показатели изискват по-сложни преобразувания, но не е проблем да се

направят. Подменяйки величините с показатели за възстановими обекти, не е трудно да

се напишат формули и за възстановими мостови системи.

74

4.2.5 Надеждност на многоканални системи

Докато в последователната структура всички елементи трябва да са

работоспособни, а в паралелната само един е достатъчен, за да е работоспособна, то

многоканалните системи принадлежат на множеството, затворено между тези крайни

случаи. В това множество са и паралелно-последователните, респ. последователно

паралелни структури (т.4.2.3), както и мостовите схеми (4.2.4).

В многоканалните структури с N канала – компютърни, комуникационни -

работоспособността се определя от това, колко от работещите канали дават верен

резултат.

1

2

N

ММ от N

Фиг.4.19 Многоканална структура

Дефинира се прагов критерий (критерии за вярност) М. Това е минималният брой на

работоспособните канали, при които системата е работоспособна. Контролира се от

устройство М на изхода на системата (Фиг.4.19). Критерии за вярност на изходния

резултат може да бъде:

1. преобладание, когато на изхода на каналите се получени няколко различни резултата, но един от тях преобладава: например в 7-канална система три

резултата А, два резултата B, един С и един D. За вярно се приема А, макар да не

е повече от половината:

(4.50) 1

75

(4.52) Fp=z1oz2o…zio…zNo z11z2o…zio…zNo z1oz21…zio…zNо…. z1oz2o…zio…zN1

z11 z21…zio…zNo z11 z2oz31…zio…zNo…

Тъй като тази БФ е СДНФ, тя е подходяща за заместване. В по-простия случай може да

се приеме, както по-горе, че всички канали са еднакви по надеждност. След прехода към

вероятностна функция за вероятността за безотказна работа се получава:

(4.53) Р(t) = pN + qNp N 1− + 222 qpC NN− + 333 qpC NN

− +…+ rMrN qpC

Когато М = N от (4.53) се получава формулата за надеждността на последователна

структура ( 4.24), а когато М=1 от (4.53) и Р(t) = 1- Q(t) - формулата за надеждността на

паралелна структура (4.34).

За възстановими системи може тривиално да се намери:

(4.54) гsK = N

гK + )1(1

г

N

г KNK −− +…+ )1( rг

M

г

r

N KKС − .

Заслужава внимание графичната интерпретация на (4.53) и (4.54). На Фиг. 4.20,а

е показана зависимостта на функцията на надеждност P(t) (би могла да бъде и

готовността Г(t)) на една мажоритарна система в зависимост от прага на мажоритиране

при постоянен брой канали N. Вижда се, че за сметка на по-голямата достоверност на

намерения изходен резултат от работата на системата с увеличаването на прага М

надеждността намалява. На Фиг. 4.20,б е показана зависимостта от броя на каналите при

простото (4.51) мажоритиране. С увеличаване на каналите надеждността расте, но при

условие, че надеждността на отделния канал е висока. И колкото по-висока е тя, толкова

ефектът от мажоритирането е по-добър. Обратно, ако вероятността за безотказна работа

намалее под 0,5 надеждността на системата се влошава.

5 7

Р(t)

N 3 9 11 13

p(t)>0,5

p(t) Mmin Mmin М=N M

N = сonst.

0

1 3

1 2

p(t)= 0,5 р1(t)< р2(t)< p3(t)

Фиг.4.20 Графични интерпретации на надеждността на мажоритарни системи

Пределният минимум на прага на мажоритарност е М = 2. Системата «2 от 3»

(«2v3») е една от най-широко използваните отказоустойчиви системи. Показателите за

надеждност за тази структура се получават от приведените по-горе формули:

(4.55)

−−−+=

== teteqpptPconst

tttv

23)()(3)(

22332)(

(4.56) t

t

vse

et

−

−

−

−=

23

16 )()( 32 , а 2)( =

→tlim s

t

76

s (t)

Паралелна система

0 t

n=2

n=4

2

2v3

2v2

Фиг. 4.21 Съпоставка на надеждността на различни структури

За инженерната практика представлява интерес съпоставката между последователни,

мажоритарни и паралелни системи. Графично тя е представена на Фиг 4.21. Вижда се, че

интензивността на отказите на паралелните и многоканалните структури )(ts е функция

на отработката (времето), макар че елементите й имат постоянна интензивност λ = const..

След достатъчно дълго време )(ts достига при паралелните системи до интензивността

на отказите λ на отделния структурен елемент, а при мажоритарните - до Мλ. При това с

времето расте толкова по-бавно, колкото повече са елементите. Единствено в

последователната система интензивността е постоянна и равна на сумата от

интензивностите на елементите.

От Фиг 4.21 се вижда още, че ефектът по отношение на надеждността на

паралелни или подобни на тях структури с излишък, е толкова по-голям, колкото по-

надеждни са елементите, от които са изградени. А тя е най-висока при малка отработка.

С остаряването ефектът от излишъка намалява и клони към нула.

77

С цяла кратност

1,2..m

С дробна кратност

«k от n”

Горещо

Р Е З Е Р В И РА Н Е

Разделно Общо

Хомогенно

Диверситетно

Студено

Със заместване

Постоянно

включено

78

КОНТРОЛНИ ВЪПРОСИ И ЗАДАЧИ:

1. Обяснете хода на кривата на готовността Г(t)!

2. Какво е съотношението на вероятността за безотказна работа и готовността на един обект?

3. Ако увеличим два пъти интензивността н отказите и два пъти интензивността на възстановяването, как ще се измени коефициентът на

готовност на обекта?

4. Може ли готовността Г(t) на един обект да спадне под неговия коефициент на готовност Кг. Ако не, защо? Ако да, кога?

5. В какви случаи се говори за обекти с три надеждностно-безопасностни състояния и как се представят те чрез графи?

6. Какво е най-характерното за интензивността на системите с излишък (многоканални, мостови, паралелни), което я отличава от

интензивността на последователните системи?

7. Какво намалява и какво се увеличава с повишаване на прага на мажоритарност на многоканалните мажоритарни системи?

8. Коя от двете схеми - последователно-паралелна или паралетно-последователна е по-надеждна?

9. Да се намерят показателите на надеждността на система «2 от 2»

I

R

Компаратор K

Обект на

управление

ОУ

µС1

µС2

I

ОК

двата канала на която имат еднаква постоянна интензивност на отказите,

когато двата канала имат еднаква надеждност и когато системата е:

а) невъзстановима с Tср = 2000h h/110.5 4−= ;

б) възстановима с Tср.в = 2h; h/110.5 1−=

.Решение:

hs /110.1024−== , MTTFs = 1000 h.

teptP 22)( −== = te5

10.1−−

998,00005,05,0

5,02

2=

+== г

s

г KK

MTВF = Tср + Tср.в = 2000 + 2 = 20002 h

79

hm

MTBFMTBFs 1001

2

2002===

10. Да се намерят готовността sгK и средното време между отказите MTВFs

на телекомуникационния канал, ако апаратурата има интензивности на

откази ha /1 и възстановяване ha /1 , а линията - hl /1 респ. hl /1 .

Решение: Системата е последователна, тъй като каналът отказва при

неработоспособност на коя да е от двете си компоненти. По формула

ll

l

aa

al

г

а

г

s

г KKK

++== .

MTBFs = )(

))((

).(

11

lala

llaa

la

s

г

s

из KH

+

++=

+=

11. В микрокомпютърната централизация резервното захранване

се осигурява от контактната мрежа, при отказ - от собствен

гаров енергоизточник, а след неговия отказ – от гаровата

батерия. Начертайте символичната схема на резервирането и

определете, към кой тип резервиране се отнася резервирането.

12. На координатна система начертайте функцията на

надеждността P(t) на една структурна единица при

експоненциално разпределение на отработката до отказ.

0,4 tm

m=0

0,6 0,8 1,0 1,2 0,2

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0

0,1

0.2

0,3

0,4

0,5

P(t)

P2v3(t)

P(t)

80

На същия чертеж нанесете и функциите на надеждността на

системи:

a. «2 от 3» - )(32 tP v ;

b. «3 от 5» - )(32 tP v ;

изградени от същите структурни единици.

Съпоставете трите криви и обяснете, защо и кога (при какви

условия) се получава повишена отказоустойчивост.

)1(3 23 ppp −+ = p 3р-2р2-1=0 2р2-3р+1=0

13. Изведете формулите за надеждността на система «3 от 4» и

докажете, че е по-ниско надеждна от «2 от 3»

14. Да се изчисли как се подобрява достоверността на съобщение

с дължина 8 bit в комуникационна система с еднократно

повторение на съобщението, ако отказите (грешите) на

отделите разряди са независими, а вероятността за отказ

(грешка по импулс) е q=0.001.

1 2 8

1

b

Решение: Ако вероятността един символ да бъде приет грешно е

q = 0.001, то вероятността да е приет вярно е:

p = 1 - q = 0,999.

Достоверността на съобщение от n = 8 символа е

P= p.p.p….p = p8 = 0,9998 = 0,992,

а вероятността за грешка на цялото съобщение

Q = 1- P = 1 - 0,991 = 0,009 = 9.10-3

Вероятността след повторението (m = 1) кой да е от 8-те един и

същ символ да се приеме грешно е

81

q,= qm+1= q2 =0.0012 =1.10-6,

а да се приеме вярно, т.е. достоверността му е

p, = 1- q, = 0,999999.

Достоверността на цялото съобщение от 8 символа (вж. чертежа)

е

P, = p,8 = 0,9999998 = 0.999992,

Вероятността съобщението да е грешно след повторението

Q’ =1 - 0.999992 = 8.10-6.

Да съпроствим с достоверността при единично съобщенпие.

Достоверността нараства, а вероятността за грешка намалява:

1125000008,0

009,0'

==Q

Q пъти

15. Да се съпостави надеждността, разбирана като достоверност

на съобщението, при пакетна комутация в два случая:

• ако изпращаме цялото съобщение, състоящо се от

отделни пакети 1, 2, …n с еднократно резервиране,

• ако изпращаме отделните му пакети с поединично

резервиране.

1 2 n

а

b

1 2 n

1

b

Какви освен това са предимствата на резервирането по пакети?

82

16. ТСP – протоколът в Internet –комуникациите позволява

съобщението да се раздели на пакети от двоични символи,

които се запомнят, а на всеки пакет се приписва пореден

номер. Вероятността sгK в приемащата страна да се получи

грешно съобщение се определя от изправността на всеки

пакет: nгsг KK = . За всеки получен пакет към предавателя се изпраща обратен ОК сигнал за получаването му в

изправност. Ако известието за поредния пакет не се получи в

определеното от ТСP време, той се препраща отново. Схемата

може да се представи както следва.

1 2 n

1

Нека броят на пакетите е 20=n , а готовността на всеки от тях е

999999,0=гK . Приемете, че механизмът за откриване на

неизправност и препращане работи безотказно. Определете колко

пъти по-малко вероятно е да се получи грешно съобщение в

системата с резервиране, ако всеки пакет се резервира

еднократно.

Отг. 999990,5

17. Намерете показателите за надеждност на системата Triple

modular redundancy (на чертежа), в която всяко звено може да

бъде стъпално регулирано по отношение на прага на

мажоритиране така, че трипластовата мрежа да работи в три

режима:

1. като паралелна

2. като мажоритарна

3. като последователна

83

Когато работи като «1 от 3»

( ) .)(11)1(1)()( 3331 tPрtPtPP MMv −−−−== Когато работи като «2 от 3»

( ) ( ) .)(11)1(3)()( 32332 tPppptPtPP MMv −−−+==

Когато работи като «3 от 3»

( ) ( ) .)(11)()( 3333 tPptPtPP MMv −−==

84

А

SW

ОК

µС1

µС2

B

µС1

µС2

comparator 1

УО

comparator 2

B