4.1 schallabstrahlung von platten 4.2 biegeschwingungen...

Prof. Dr. Wandinger 4. Schallabstrahlung Akustik 4.4-1

4. Die ebene Platte

4.1 Schallabstrahlung von Platten

4.2 Biegeschwingungen von Platten



● Schallabstrahlung einer unendlichen ebenen Platte:

– Betrachtet wird eine unendliche ebene Platte in der xy-Ebe-ne, die in den Halbraum z > 0 abstrahlt.

– Die Geschwindigkeit der Platte in z-Richtung ist vorgege-ben:

– Das Schallfeld ist eine Lösung der Helmholtz-Gleichung

zur Randbedingung:

V z x , y =V 0 e−i kW x

∇ 2Pk 2P=0

∂ P∂ z

x , y ,0=−i0V z x , y =−i0V 0e−i kW x



x

y

z

λW

kW=2W



– Lösungsansatz:● Einsetzen in die Helmholtz-Gleichung ergibt:● Einsetzen in die Randbedingung ergibt:

● Aus der Randbedingung folgt:

● Aus der Helmholtz-Gleichung folgt:

– Fall 1: kW > k, λ

W < λ

● Dieser Fall liegt vor für bzw. .

P x , y , z =P0 e x z

2

2k2=0

P0e x=−i0V 0e

−i kW x=−i 0c k V 0e−i kW x

=−i kW , P0=−i 0c k V 0

2=kW

2−k 2

f c /Wc kW



● Für β folgt:● Nur für den negativen Wert erfüllt die Lösung auch die Ab-

strahlbedingung von Sommerfeld.● Die Amplitude des Schallfelds berechnet sich zu

● Damit lautet die Lösung für das Schallfeld:

● Das Schallfeld klingt exponentiell mit dem Abstand von der Wand ab.

=±kW2 −k2

P0=−i 0c V 0k=0cV 0

i k

kW2 −k2

P x , z =0cV 0i k

kW2 −k 2V 0e

−i kW x e−kw2−k2 z



● Das Schallfeld beschränkt sich auf die unmittelbare Umge-bung der Wand.

● Die von der Plattenschwingung hervorgerufenen Druck-schwankungen gleichen sich sofort durch lokale Luftströmun-gen aus.

● Diese Erscheinung wird als akustischer Kurzschluss bezeich-net.

● Aus

folgt für die Intensität:

● Die abgestrahlte Schallleistung ist null.

P V z x , y ,0=0ci k

kW2 −k 2∣V 0∣

2

⟨ I z ⟩T=12ℜ P V z =0



– Fall 2: kW = k, λ

W = λ

● Die Wellenlänge λ des Schallfelds stimmt mit der Wellenlänge λ

W der Plattenschwingung überein.

● Dieser Fall liegt vor für bzw. .● Die Frequenz

wird als Koinzidenzfrequenz bezeichnet.

● Wegen β = 0 wird die Amplitude P0 des Schalldrucks unend-

lich groß.● Bei einer endlichen Platte bleibt die Schalldruckamplitude

endlich, wird aber sehr groß.

f =c /W=c kW

f C=cW



– Fall 3: kW < k, λ

W > λ

● Dieser Fall liegt vor für bzw. .● Für β folgt:● Für den negativen Wert liegt eine von der Wand weglaufende

ebene Welle vor, die die Abstrahlbedingung von Sommerfeld erfüllt.

● Die Amplitude des Schallfelds berechnet sich zu

● Damit gilt für das Schallfeld:

c kW f c /W= f C=±i k 2−kW2

P x , z =0 cV 0 k

k 2−kW2e−i kW xk

2−kW

2 z

P0=−i 0c V 0k=0cV 0

k

kW2 −k2



● Der Schalldruck ist konstant auf den Flächen

● Das sind Ebenen, deren Schnittgeraden mit der xz-Ebene durch

beschrieben werden.● Mit und folgt:

kW xk 2−kW2 z=C

z=z 0−kW

k 2−kW2x mit z 0=

C

k 2−kW2

kW=2/W k=2/

kW

k 2−kW2=1W

1

12− 1

W2

=1W

W

W2 −2=

W2 −2


x

z

z0

λW

λ

θ

√(λW

2 - λ 2)


● Das Schallfeld besteht aus einer ebenen Welle, deren Wellen-front gegenüber der x-Achse um den Winkel θ geneigt ist:

z=z 0−

W2 −2x

tan =

W2 −2

sin =W



● Aus

folgt für die Intensität:

● Der Abstrahlgrad berechnet sich aus

zu

P V z x , y ,0=0c k

kW2 −k 2∣V 0∣

2

⟨ I z ⟩T=12ℜ P V z =

12

0c k

k2−kW2∣V 0∣

2

=k

k 2−k w2=

2−c kW 2=

f

f 2− f C2=

f / f C

f / f C 2−1

=⟨W ⟩T

0c S ⟨ v z2 ⟩S=

⟨ I z ⟩T0c∣V 0∣

2/2



● Abstrahlgrad der unendlichen Platte:



● Schallabstrahlung einer endlichen ebenen Platte:

– Eine endliche ebene Platte, deren Abmessungen groß ge-genüber der Wellenlänge λ

W sind, verhält sich im Wesentli-

chen wie eine unendliche ebene Platte.

– Für Frequenzen unterhalb der Koinzidenzfrequenz liegt in hinreichendem Abstand von den Rändern ein akustischer Kurzschluss vor.

– Schallabstrahlung erfolgt nur an den Rändern der Platte.

– Oberhalb der Koinzidenzfrequenz strahlt die gesamte Platte ab.



● Bewegungsgleichung:

– Die Bewegungsgleichung für die homogene Kirchhoff-Platte lautet

∂4w

∂ x 42

∂4w

∂ x2∂ y2∂4w

∂ y4hB∂2w

∂ t 2=0

x

yz

h



– Dabei ist die Verschiebung der Platte in z-Rich-tung und

die Biegesteifigkeit der Platte.

● Lösungen mit harmonischem Zeitverlauf:

– Lösungen mit harmonischem Zeitverlauf haben die Form

mit der komplexen Amplitude .

w x , y , t

B=E h3

12 1−2

w x , y ,t =ℜ W x , yei t

W x , y



– Für die komplexe Amplitude folgt die Differenzial-gleichung

● Biegewellen:

– Biegewellen sind Lösungen der Form

mit dem Wellenvektor .

– Zu jedem Zeitpunkt t ist die Auslenkung konstant auf den Geraden

W x , y

∂4W

∂ x 42

∂4W

∂ x 2∂ y2∂4W

∂ y4−

2 hBW=0

W x , y =W 0 e−i k⋅x

k=k e r

−k er⋅x t=C er⋅x=/k t−C /k=d t



– Der Wellenvektor steht senkrecht auf der Geraden konstanter Aus-lenkung.

– Während einer Periode T wandert die Gerade konstanter Auslen-kung um die Strecke :

– Die Länge λ ist die Wellenlänge.

x er

d(t)

φx

y

x= er

−k e r⋅x tT =−k er⋅x t

−k T=0 =2k



– Aus der Differenzialgleichung für die komplexe Amplitude folgt mit :

– Für die Wellenlänge gilt also:

er=cos e xsin e y

k 4 cos42cos2 sin2sin4 −2 hB=0

k 4=2 hB

= 2f 4 Bh



● Koinzidenzfrequenz:

– Bei der Koinzidenzfrequenz stimmt die Wellenlänge der Biegeschwingung der Platte mit der Wellenlänge der Luft überein:

Daraus folgt:

2f C 4 Bh= cf C

f C=c2

2 hB = c2

2h 12 1−2 E



– Biegewellenlängen von Stahlplatten und Wellenlänge des Luftschalls:

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