4117 6758επιλυση εξισωσεων και ανισωσεων συναρτησιακων...

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΓΑΒΡΙΗΛ - ΚΟΥΜΑΝΤΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ 1

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων, των οποίων η λύση στηρίζεται σε τεχνικές μη άμεσης αλγεβρικής επίλυσης. Να αναφέρουμε ότι ανάλογες σκέψεις, μπορούν να προκύψουν και στην περίπτωση εξισώσεων και ανισώσεων, οι οποίες παρουσιάζουν στον τύπο τους την αντίστροφη μίας συνάρτησης. Προφανώς, οι παρακάτω δεν είναι οι μοναδικές μορφές που μπορεί κάποιος να συναντήσει , ούτε και ο τρόπος επίλυσης τους μοναδικός. Γίνεται όμως μία προσπάθεια, να δοθούν στο μαθητή κάποια εργαλεία σκέψης, για μία πιο άνετη προσέγγιση τέτοιων θεμάτων. Ο προσδιορισμός της μονοτονίας της συνάρτησης, σε όποιες ασκήσεις αυτός χρειάστηκε, έγινε είτε με τον ορισμό και τις ιδιότητες της διάταξης, είτε με τη βοήθεια του αντίστοιχου θεωρήματος των παραγώγων, για μεγαλύτερη << πολυφωνία >>, στην εύρεσή της.

1η ΜΟΡΦΗ: ff( x)= k. f( g( x) )= k ό π ο υ κ εf( A) κ α ι g( x) ε Α ) f( g( x) )= f( h( x) με g(x)εAf, h(x)εAf

f(…)+f(….)=α, αεR

f(…)=g(…) στο f gΑ ∩A

1ος τρόπος Mορφοποιούμε, μέσω παρατήρησης την σχέση f (x) k ή f(g(x))=k όπου κεf(A)

σε f(…)=f(….) , όπου το κ=f(x0) με το x0εΑ, και <<απολείφουμε>> τα f: είτε μέσω μονοτονίας είτε μέσω της 1-1 είτε μέσω θέσης ακροτάτου



είτε κάνοντας χρήση των επιμέρους πεδίων ορισμού, σε συναρτήσεις πολλαπλού τύπου, ανάλογα με το x0 στο οποίο και ορίζονται.

Προφανώς, δείχνοντας ότι το κεf(Α), απλώς δικαιολογούμε την ύπαρξη ρίζας, αλλά δεν την προσδιορίζουμε. Παράδειγμα1Δίνεταιησυνάρτησηfμεf(x)=ex+x-1.i.Nαδείξετεότιηfείναιγνησίωςαύξουσα.ii.Nαλύσετετηνεξίσωσηf(x)=eiii.Ναβρείτετοxώστεναείναιf(lnx+x)=eΛύσηi. Για κάθε 1 2 1 2x ,x R με x x με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της

διάταξης αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Είναι f (x) e f (x) f (1) και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα

προκύπτει ότι η x=1, είναι η μοναδική λύση της εξίσωση (κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση, ορίζει εξίσωση μορφής f(x)=α, αεR με το πολύ μία ρίζα).

iii. Αρχικά να προσέξουμε ότι πρέπει (lnx+x)εAf =R και x>0 επομένως αναζητώ λύσεις για x>0. Είναι:

f(lnx+x)=e f(lnx+x)=f(1) lnx+x=1 lnx+x-1=0 . Aν είναι

g(x)=lnx+x-1 με x>0 η ισοδύναμη εξίσωση είναιg(x)=0 g(x) g(1) x 1 αφού εύκολα αποδεικνύεται ότι η g είναι

γνησίως αύξουσα. Παράδειγμα2

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2 2

1

, -5<x<-2

,-2 x 6

x x

x . Βρείτε τα xε(-5,6] για τα

οποίαείναι: 2 4 2 1( ) ( )f x f .

ΛύσηΕπειδή 1 1 προκύπτει2+4ημxε[-2,6]x καιέτσι 2 4 2 4 1 ( )f x x

Ακόμη 5 2 1 2 2 1 1 καιέτσιπροκύπτειf(- ) ... .



Επομένως έχουμε ισοδύναμα: 2 2 1 2 4 1 1 ( ) ( )f x f x

2 4 2 2 4 2 ή2+4ημx=-2x x απότιςοποίεςπροκύπτειx=kpή

x=2kp-2

,κεZ.

20ς τρόπος Χρήση συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών από την υπόθεση, είτε ιδιότητες άρτιας ή περιττής συνάρτησης, μορφοποιούν εξισώσεις μορφής, f(…)+f(….)=α, αεR σε μορφή

ff (x) k ή f(g(x))=k όπου κεf(A) και g(x)εΑ , άρα επιλύονται ανάλογα.

Παράδειγμα1Ανf: R R μεf(x)-f(y)=f(x-y),γιακάθεx,yεR

i. Ναβρείτετοf(0).ii. Nαλύσετετηνεξίσωσηf(x2-4x)-f(x-6)=0xεR,ανγνωρίζεταιότι

ηfέχειμοναδικήρίζα.ΛΥΣΗ

i. Hυπόθεσηγιαx=y=0μαςδίνειf(0)-f(0)=f(0)άραf(0)=0.ii. Hεξίσωσηf(x2-4x)-f(x-6)=0είναιισοδύναμημετηνf(x2-5x+6)=0

(1),βάσητηςσυναρτησιακήςσχέσηςτηςυπόθεσης,ανθέσουμεόπουxτοx2-4xκαιyτοx-6.Άραη(1)δίνειμετηβοήθειακαιτουiερωτήματος,τηνεξίσωση f(x2-5x+6)=f(0) απότηνοποίαπροκύπτει, η ισοδύναμη εξίσωση x2-5x+6=0, αφού η f έχειμοναδικήρίζα,ηοποίαείναιτομηδένόπωςπροκύπτειαπότοi.ερώτημα.Ηλύσητηςτελευταίαςδίνειx=2ήx=3.

Παράδειγμα2Ανf: R R μίαπεριττήσυνάρτηση ,ναβρείτεxεRγιαταοποία ισχύει:f(lnx)+f(-x+1)=0,ανγνωρίζεταιότιηfείναιγνησίωςμονότονηΛΥΣΗΓιαx>0έχουμεf(lnx)+f(-x+1)=0 f (lnx) f( x 1). (1)Γνωρίζουμεότι

σύμφωναμετονορισμότηςπεριττήςείναιg(-x)=-g(x)μεx,-xεAg.Επομένως η (1) μας δίνει ισοδύναμα f (lnx) f(x 1) από την οποία και

παίρνουμεμοναδικήλύσητηνx=1.



30ς τρόπος Ενδεχομένως μορφοποίηση σε f(…)=g(…) στο f gA να δίνει λύση:

είτε μέσω μοναδικού κοινού σημείου των γραφικών παραστάσεων

είτε κάποιο x0. στο οποίο η μία συνάρτηση να παρουσιάζει ελάχιστο και η άλλη μέγιστο

Παράδειγμα

Δίνεταιη 2f (x) 5 25 x καιηg(x)= 2x 5

i.Ναβρείτεταακρότατατωνfκαιg.ii.Ναλύσετετηνεξίσωσηf(x)=g(x)ΛΥΣΗi. Η f ορίζεται για τους πραγματικούς για τους οποίους

2 225 x 0 x 25 5 x 5 και ισχύει2 2 225 x 0 25 x 0 5 25 x 5 f (x) 5 με το ίσον να

ισχύει για x=5 και x=-5. Επομένως η μέγιστη τιμή της f είναι το 5.Επίσης για την g για κάθε xεR ισχύει 2 2x 0 x 5 5 g(x) 5

δηλαδήηελάχιστητιμήτηςgείναιτο5γιαx=0.ii. Eίναι f (x) 5 και g(x) 5 . Eπειδή η τιμή 5 για την οποία ισχύουν

συγχρόνως οι προηγούμενες ανισοισότητες, δεν επιτυγχάνεται γιακοινήτιμήτουx (γιατηνfισχύειγιαx=5καιx=-5,ενώγιατηνgγιαx=0)ηαντίστοιχηεξίσωσηείναιαδύνατη.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 1f (x) x, f (x) f (x)

Γνωρίζουμεότιοιγραφικέςπαραστάσειςτωνσυναρτήσεωνf καιf-1

έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία y=x. Επομένως προκύπτει ότι:1f (x) x f (x) x . Έτσι οι εξισώσεις 1f (x) x και f (x) x , είναι

ισοδύναμες,άραεπιλύουμετηναπλούστερη.Η επίλυση της εξίσωσης 1f (x) f (x) , ερμηνεύει αλγεβρικά, την

εύρεση των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης τωνσυναρτήσεων f και f-1 δηλαδή του συστήματος που ορίζουν οιεξισώσειςy=f(x)καιx=f(y).



ΜΟΝΟ στην περίπτωση που η f είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση1 1f (x) x, f (x) f (x) είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις

1f (x) x ή x f (x) .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστωαμίαλύσητηςεξίσωσης 1f (x) f (x) .ΤούτοσημαίνειότιτοΝ(α,β)

είναι κοινό σημείο των Cf και 1fC , οπότε είναι:

1f ( ) και f ( ) f( ) .Αρκείναδείξουμεότιτοαείναιλύσητης

εξίσωσης f(x)=x, δηλαδή θα αποδείξουμε ότι f(α)=α β=α. Πράγματιέχουμε: Ανα<β καιαφού f αύξουσαπαίρνω f(α)<f(β)άραα<β πράγμαάτοπο.Ανάλογαανα>βκαταλήγουμεσεάτοπο.Επομένωςκατανάγκηνθαείναια=βΑλλάκαιαντίστροφα,αντοαήτανμίαλύσητηςεξίσωσηςf(x)=x,τότεισχύει f(α)=α f-1(α)=α,επομένως 1f ( ) f ( ), δηλαδή το αείναι λύση

τηςεξίσωσηςf(x)=f-1(x).ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΔίνεταιησυνάρτηση .

i.Νααποδείξετεότιη αντιστρέφεταικαιναβρείτετοπεδίοορισμού

της .

ii.Νααποδείξετεότιοι και έχουνένακοινόσημείο,τοοποίοκαι

ναπροσδιορίσετε.ΛΥΣΗi. Η παραγωγίσιμηστο με γιακάθε

άραη είναιγνησίωςαύξουσαστο ,συνεπώςείναι

και1-1,οπότεαντιστρέφεται.Η συνεχήςκαιγνησίωςαύξουσαστο

,άρα

Είναι και

άρα και

και

άρα

Επομένως .



ii.Τακοινάσημείατων και προκύπτουναπότηνλύσητου

συστήματος:

με .Αφαιρώνταςκατάμέλητις(1),(2)έχουμε:

όπου με .

Η παραγωγίσιμηστο με

(αφού .

Συνεπώςη είναιγνησίωςαύξουσαστο ,οπότεκαι1-1.

Επομένωςη (4)

Άραη(1)

Οπότεγια η(4)δίνει .Επομένωςοι και έχουνμονα-

δικόκοινόσημείοτοΜ(2,2),τοοποίοεπαληθεύειτιςαρχικέςεξισώσειςτουσυστήματος.ΠΡΟΣΟΧΗΤα κοινά σημεία των και προκύπτουν από την λύση του

συστήματος f(x)=y και f(y)=x. Tονίζουμε ότι κατά τη λύση τουσυστήματος, με την παραπάνω διαδικασία, δεν ισχύει η ισοδυναμίαλόγω της αφαίρεσης κατά μέλη, οπότε κάνουμε επαλήθευση τωνλύσεωνπουπροέκυψαν.Μία άλλη διαδικασία, επίλυσης του παραπάνω συστήματος,παρουσιάζεταισανεναλλακτικήλύσηγιατοii.ερώτηματουπαραπάνωπαραδείγματος:Τα κοινά σημεία των και προκύπτουν από την λύση του

συστήματος :

:1 1

11

( ) ( ( )) ( ) ( ( ))

)(

( )

f f y f f x f y f f xy f x

f y f f f y xy f x x

( ( )) ( )( ( ))

( ) (

(

)

)f f x f x f xf f x x

f y x f y x

x

με , (1, )x y (1)

Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) , 1g x f x x x η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (1, )



με ( ) ( ) 1 0g΄ x f΄ x για κάθε 1x (αφού ( ) 0f΄ x για κάθε 1x ). Άρα η συνάρτηση g

είναι γνησίως αύξουσα στο (1, ) οπότε και 1 1 .

Επομένως η (1)( ( )) ( )

( )

f y

g f x

x

g x

:1 1 ( )

)

(

g x

y x

x

f

f

( ) ( )

ln( 1)

x x x

f y f x

:1 1 ln( 1) 0

f x

y x

ln( 1) ln1

y x

x

1 1

y

x

x

2

2y

x

Συνεπώς το κοινό σημείο των fC , 1fC είναι το Α(2,2).

Ασκήσεις

1.Έστω2

3f (x)

x 1

.

i.Nαδείξετεότιέχειμέγιστομόνοστο0.ii.Ναλύσετετιςεξισώσεις:

α.f(x)=3β.f(x2-1)=3γ.f(3f(x-1))=32.Δίνεταιησυνάρτησηf(x)= 2 2(x 1) (x 3) 1 .

i.Nαδείξετεότιηfέχειελάχιστοσε2διαφορετικέςθέσεις.ii.Ναλύσετετηνεξίσωση 2f (x 3x 1) 1

3.Έστω 21f (x) και g(x)=ln x 1 1 1

x 1 1

i.Ναδείξετεότιτο1ημέγιστητιμήτηςfκαιηελάχιστητιμήτηςg.

ii.Nαλύσετετηνεξίσωση: 21 -1=ln x 1 1

x 1 1

4.Ανf: R R μίαπεριττήκαιγνησίωςμονότονησυνάρτηση,ναβρείτεxεRγιαταοποίαισχύει:f(ex)+f(x-1)=0.

5.Έστωησυνάρτηση:f(x)=

i.Ναμελετηθείηfωςπροςτηνμονοτονία.

ii.Ναλυθείηεξίσωση:

iii.Ανα,β καιισχύει: νααποδείξετε

ότια=β

iv.Ναλύσετετηνεξίσωση:



6. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: με : f(x)= και

g(x)=

i.Ναμελετήσετετιςσυναρτήσειςf,gωςπροςτηνμονοτονίακαιταακρότατα.

ii.Ναλυθείστο ηανίσωση: 21 2 1xxe x x

7. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: με : f(x)= και

g(x)=

i.Ναμελετηθείηfωςπροςτηνμονοτονία.

ii.Ναβρεθείτοσύνολοτιμώντηςg.

iii.Ναλύσετετηνεξίσωση:f(g(x))=1

8.Δίνονταιοισυναρτήσειςf(x)= καιg(x)=

i.Νααποδείξετεότιηfέχειελάχιστοτο2.

ii.Νααποδείξετεότιηgέχειμέγιστοτο2καιελάχιστοτο-2.

iii.Ναβρείτετακοινάσημείατωνγραφικώνπαραστάσεων

τωνσυναρτήσεωνfκαιg.9.Δίνονταιοισυναρτήσεις f ,g : R R μετύπους 2f (x) x 2x 2, xεR και

2

2xg(x)

x 1

γιακάθεxεR.

i.Νααποδείξετεότιηfπαρουσιάζειολικόελάχιστο.ii.Νααποδείξετεότιηgπαρουσιάζειολικόμέγιστοστοx0=1.iii.NαβρείτετακοινάσημείατωνCfκαιCg.

10. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2 2

1

, x>2

,1 x 2

x

x . Nα λυθεί η εξίσωση

2 21 2 ( )f x x .

11.Δίνεταιησυνάρτησηf(x)=x+ x i.Ναδείξετεότιηfείναιγνησίωςαύξουσα.ii.Ναεξετάσετεανηfαντιστρέφεται.



iii.Νααποδείξετεότιηfέχεισύνολοτιμώντο[0, )

iv.Ναλύσετετηνεξίσωση 1f (x) x

v.Βρείτετακοινάσημείατηςγραφικήςπαράστασηςτωνfκαι 1f .12.Δίνεταιησυνάρτηση xf (x) e x 1

i.Nαβρείτετημονοτονίατηςf.ii.Nαεξετάσετεανορίζεταιηαντίστροφητηςf,καιανναι.ναβρείτε

τοπεδίοορισμούτηςαντίστροφης.iii.Ναλύσετετηνεξίσωση 1 xf (e ) x

iv.Βρείτετακοινάσημείατηςγραφικήςπαράστασηςτωνfκαι 1f .

2ηΜΟΡΦΗ: f(....) f(....) .... vf(...) γ ( ... v) μεγ=ακρότατητιμήτηςf

O ορισμός του ακροτάτου της f, με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της διάταξης, μας δίνει άμεση λύση της εξίσωσης, το x0 στο οποίο η f παρουσιάζει ακρότατο. ΠαράδειγμαΈστω f : R R με f(2)=3και f(x)3γιακάθεxεR.Nαλυθείηεξίσωσηf(x2+1)+2f(2x)=9.ΛΥΣΗΑφούf(x) 3γιακάθεxεRθαέχουμει:

θέτονταςόπουxτοx2+1άραf(x2+1) 3,μετοίσονναισχύειμόνοανx2+1=2…..(Α)δηλαδήx=1ήx=-1.

θέτονταςόπουxτο2xάραf(2x) 3μετο ίσονναισχύειμόνοαν2x=2δηλαδήx=1άρακαι2f(2x) 6…(B)

Επομένωςαπό (Α)+(Β) : f(x2+1)+2f(2x)9μετο= μόνοανx2+1=2=2xαπότηνοποίαπροκύπτειότιx=1.Ασκήσεις

1.Δίνεταιησυνάρτησηf(x)=2

2

2x x 2

x x 1

.

i.Nαδείξετεότιηfέχειελάχιστοίσομε1.ii.Ναλυθείηεξίσωση 2 3f (x x 1) f (x 7) 2



iii.Βρείτεταx,yεRώστε3f (x y) 2f (2x 3y) 5 0

2. Δίνεταιησυνάρτησηf(x)=2

2

2

1

x x

x x

.

i.Nααποδείξετεότιηfέχειελάχιστοτο-3.

ii.Ναλυθείηεξίσωση 2 43 3( ) ( 3 ) 6 0

2 2f x f x x

iii.Βρείτετουςα,βεRώστεναισχύει 2 ( 1) 3 (2 1) 15 0f a f a

3. Αν f :[0, ) R γνησίως μονότονη με f(x) x2+1 για κάθε x0 και

f(0)=1.Βρείτετακ,λε[0,)γιαταοποίαείναι3f(κ)+2f(λ)=5.4.Δίνεταιησυνάρτησηf(x)=x2-2-συνx.

i.ΝαδείξετεότιηfείναιγνησίωςαύξουσαστοΔ= 0,2

.

ii.NαλύσετεστοΔτηνεξίσωσηf(x)+f(x3)+f(x2017)=-96. Δίνεταιησυνάρτησηf(x)=2x+ ,x

i.Νααποδείξετεότιf(x) x

ii.Ναλύσετετηνεξίσωση:f(x)+f( )+f( )+f( )=4

7. Δίνεται συνάρτηση f(x)= με x>0

i. Να μελετηθεί η fως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής.

ii. Να αποδείξετε ότι f(x)1

e ,για κάθε x>0.

iii. Να λύσετε την εξίσωση: ef(

iv. Να λύσετε την εξίσωση : f(x)+f( = .

8.Δίνεταιησυνάρτησηf(x)= ,μεx>0

i.Ναμελετηθείηfωςπροςτηνμονοτονίακαιταακρότατα.

ii.Ναβρεθούνταα,β>0καιγ τέτοιοιώστεναισχύει:(α- =1

iii.Ναλύσετετηνεξίσωση:f( )

9Δίνεταιησυνάρτηση:f(x)= ,x

i.Ναμελετηθείηfωςπροςτηνμονοτονία.ii.Ναβρεθείτοσύνολοτιμώντηςf.iii. Ναλύσετετηνεξίσωση:f(y



10. Aνησυνάρτηση f : R R παρουσιάζειελάχιστομόνοστο1το5καιισχύειf(α)+f(lnβ)=10ναβρείτετααεRκαιβ>0.

3η ΜΟΡΦΗ: f (....) f (....) f (...) f (.....)

10ς τρόπος: Προφανείς ρίζες και χρήση μονοτονίας Αφού βρώ την ή τις τιμές για την ή τις οποία-ες ισχύει η ισότητα, στη συνέχεια δείχνω ότι f(α)>f(γ) και f(β)>f(δ) (αν f γνησίως αύξουσα, αλλιώς θα ισχύει η αντίστροφη φορά) και προσθέτω τις σχέσεις κατά μέλη, αποδεικνύοντας έτσι ότι η ή οι ρίζα-ες που βρήκαμε με παρατήρηση, είναι μοναδική-κες. ΠαράδειγμαΑν xεR και f γνησίως φθίνουσα, να λύσετε την εξίσωση:f (x) f (5x) f (3x) f (12x) .

ΛΥΣΗΠαρατηρώότιγιαx=0ισχύειηισότητα.

Ανx<0είναι:3x x και f άρα f(3x)>f(x)

f (x) f (5x) f (3x) f (12x)12x<5x και f άρα f(12x)>f(5x)

2

2

Aνx>0είναι:3x x και f άρα f(3x)<f(x)

f (x) f (5x) f (3x) f (12x)12x>5x και f άρα f(12x)<f(5x)

2

2

Επομένωςημοναδικήλύσητηςεξίσωσηςείναιηx=0.Ασκήσεις

1. Αν x>0 και f γνησίως αύξουσα, να λύσετε την εξίσωση:

3 5 7f (x) f (x ) f (x ) f (x ) .

2. Αν xεR και f γνησίως αύξουσα, να λύσετε την εξίσωση:x x x xf (2 ) f (3 ) f (e ) f ( ) .

3. Δίνεταιησυνάρτησηf(x)= +1)i.Ναμελετηθείηfωςπροςτηνμονοτονία,ταακρότατα,τα

κοίλακαιτασημείακαμπής.

ii.Ναλύσετετηνεξίσωση:f( )+f( )=f(x)+f(0)



4. Δίνεταιησυνάρτησηf(x)=

i.Ναμελετηθείηfωςπροςτηνμονοτονία

ii.Ναλυθείηεξίσωση:f( )+f( )=f( )+f( )

5. Δίνεταιησυνάρτησηf(x)= +x-1

i. Ναμελετηθείηfωςπροςτηνμονοτονίακαιταακρότατακαιστησυνέχειαναβρεθούνοιρίζεςκαιτοπρόσημοτηςf.

ii.Ναλύσετετηνεξίσωση:f(x)=f( )+

6. i.Ναλυθείηεξίσωση: =x+1

ii.Νααποδείξετεότιγιακάθεx>0ισχύει:συνx>1-

iii.Ανηfείναιγνησίωςαύξουσαστο ναλυθείηεξίσωση:

f( +f(συνx)=f(1+x)+f(1- ) στο [0,+ .

7. i. Να αποδείξετε ότι για κάθε x ισχύει:

α.ημx

β.(1

ii. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο να λυθεί η εξίσωση:

f(ημx)+f( )=f(1 )+f( )στο[0,+ .

8. Έστωησυνάρτησηf: R R ηοποίαείναιγνησίωςφθίνουσαγιακάθε

0x καιγνησίωςαύξουσαγιακάθε 0x .Ναλύσετετιςεξισώσεις:

i.f(x)+f(5x)=f(3x)+f(7x)ii.f(x)+f(x5)=f(x3)+f(x10),x>0iii.f(ex)+f(e5x)=f(e3x)+f(e7x)iv.f(lnx)-f(2lnx)=f(7lnx)-f(5lnx),x>0v. 2 3( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x ,x>0

20ς τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση βοηθητικής συνάρτησης Μετασχηματίζω την προς απόδειξη στη μορφή βοηθητικής συνάρτησης η οποία:

είτε δίνεται



είτε την κατασκευάζουμε <<εμπειρικά>> μέσω της μορφής που παίρνουν τα δύο μέλη της εξίσωσης

είτε με τη βοήθεια κάποιας συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών, από την υπόθεση.

Παράδειγμα1Έστω f,g : R R με g(x)=f(x+4)-f(x+1) η οποία είναι γνησίως αύξουσαστοR.Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις:i.f(2x+4)=f(2x+1)ανg(2)=0ii.f(x2+3x+4)=f(x2+3x+1)-3ανf(4)=f(1)-3iii.f(x4+4)-f(x2+4)=f(x4+1)-f(x2+1)ΛΥΣΗi.Είναιf(2x+4)=f(2x+1) f(2x+4)-f(2x+1)=0g(2x)=0g(2x)=g(2)

αρα2x=2δηλαδήx=1,αφούηgείναιγνησίωςμονότονη.ii.Eίναιf(x2+3x+4)=f(x2+3x+1)-3 f(x2+3x+4)-f(x2+3x+1)=-3

g(x2+3x)=g(0) άρα αφού η g είναι γνησίως μονότονη, x2+3x =0δηλαδήx=0ήx=-3.

iii.Είναιf(x4+4)-f(x2+4)=f(x4+1)-f(x2+1) f(x4+4)- f(x4+1)= f(x2+4)- f(x2+1) g(x4)=g(x2) άρα αφού η g είναιγνησίωςμονότονη,προκύπτειx4=x2 x=0ήx=1ήx=-1.

Παράδειγμα2Ναλυθείηεξίσωση: 2xx4 eex42x ΛΥΣΗ

Είναι 4 x x 2 x 2 4 xx 2 4 x e e x 2 e e 4 x …(1)

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=x+ex,με xεR, η οποία εύκολααποδεικνύουμεότιείναιγνησίωςαύξουσα.Παρατηρώνταςτην(1)αυτήμετασχηματίζεται στην εξίσωση f ( x 2) f ( 4 x ) (Α). Η τελευταία

ορίζεται όταν: ( x 2 εR και x 2 ) και ( 4 x εR και 4 x 0 )

επομένωςόταν x [ 2,4] .Έτσιη(Α)δίνει x 2 4 x απότηνοποία

προκύπτειότιx=1.Παράδειγμα3Aν για την συνάρτηση f : R R ισχύει f(x)-f(y)=f(x-y), x,yεR με τηνσυνάρτησηfναείναιγνησίωςμονότονη,ναλυθείηεξίσωση:f(3x-2)+f(2x2-3)=f(2x-1)+f(3x2-4).



ΛΥΣΗΗ εξίσωση της υπόθεσης δίνει: f(3x-2)+f(2x2-3)=f(2x-1)+f(3x2-4) f(3x-2)-f(2x-1)=f(3x2-4)-f(2x2-3)(Α).Τοπρώτομέλοςτηςεξίσωσηςανθεωρήσουμε x το 3x-2 και y το 2x-1 γράφεται με τη βοήθεια τηςυπόθεσηςως f(3x-2-2x+1)=f(x-1), ενώτοδεύτερο μέλοςθεωρήσουμεxτο3x2-4καιyτο2x2-3μετασχηματίζεταισεf(3x2-4-2x2+3)=f(x2-1).Άραπλέονέχουμεαπότην(Α)ναλύσουμετηνf(x-1)=f(x2-1).Αφούηfείναιγνησίως μονότονη, λύνουμε ισοδύναμα την εξίσωση x-1= x2-1 από τηνοποίαπαίρνουμεx=0ήx=1.Ασκήσεις

1. Έστω f,g : R R με g(x)=f(x+3)-f(x+1) η οποία είναι γνησίως

αύξουσαστοR.Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις:i.f(2x+3)=f(2x+1)ανg(2)=0ii.f(x2+3x+4)=f(x2+3x+2)-3ανf(3)=f(1)-3iii.f(x4+3)-f(x2+3)=f(x4+1)-f(x2+1)

2. Έστωf,g: R R μεg(x)=f(x+2)-f(-x)καιfγνησίωςαύξουσαστοR.Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα και στησυνέχειαναλύσετετηνεξίσωση:i. 2 2f ( 4x) f (x 5) f (4x 2) f( x 3)

ii. x xf (e 2) f ( x 1) f (x 3) f ( e )

iii.f(lnx+2)+f(-x+1)=f(-lnx)+f(x+1)μεx>03. Δίνεταιηγνησίωςφθίνουσαf:R R.Nαδείξετεότιησυνάρτηση

g(x)=f(x)-xείναιγνησίωςφθίνουσακαιστησυνέχειαναβρεθούνοιτιμέςτουλεR,ώστεναισχύει: 2 2f ( 3 ) f (2 6) 5 6 .

4. Έστωf: μιασυνάρτηση,ηοποίαείναιπαραγωγίσιμηκαιη

f΄ει�ναιγνησι�ωςφθι�νουσα.Ανf(2)=f(3),ναλύσετετιςεξισώσεις:i.f(x+1)-f(x)=0ii.f( +3)=f( +2)

iii.f( )+f( )=f( )+f( )

5. Δίνεταιησυνάρτησηf(x)=2(x-2) +2 -1μεx>0i.Νααποδείξετεότιηfείναικυρτήii.Ναμελετηθείωςπροςτηνμονοτονίαησυνάρτηση:

g(x)=f(x+2)-f(x)μεx>0.



iii.Ναλύσετετηνεξίσωση:f( +2)+f( )=f( +2)+f( )

iv.Ναλύσετετηνεξίσωση:f( +3)+f(x+2)=f( +1)+f(x+4)

6. Δίνεταιησυνάρτησηf(x)= ( +3)i.Ναμελετηθείηfωςπροςτηνκυρτότητα.ii.Ναλύσετετηνεξίσωση:f(2 +6)+2f( +3)=f(2 +6)+2f( +3).

iii.Ναλύσετετηνεξίσωση:f(2 )-f(2x-2)=2

7. Αν f(x)=2x 2f (x) e x 1 , x R ,νααποδειχθείότιη είναικυρτήκαι

στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση f x 3 f x f (x 3) f (x)

όταν x [0, ) .

8. Δίνεταιησυνάρτησηf: γιατηνοποίαισχύει:

f(α)+f(β)=f(αβ)γιακάθεα,β .

Επίσηςηεξίσωσηf(x)=0έχειμοναδικήρίζα.

i.Ναβρείτετηντιμήf(1)

ii.Νααποδείξετεότιf(α)-f(β)=f( γιακάθεα,β

iii. Νααποδείξετεότιηfείναι1-1.

iv.Ναλύσετετηνεξίσωση:f(x+1)+f(x+5)=f(x+2)+f(x+3)9. Ναλυθούνοιπαρακάτωεξισώσεις:

i. 2x3x22 2x2x3 2

ii. xσυν)xxημ(xημ)xxσυν( 33

iii. 1x3x3x

1xln 2

2

iv. xln)xln1(xx xln

30ς τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής Η προφανής ρίζα της εξίσωσης, σε συνάρτηση με τη χρήση Θεωρήματος μέσης τιμής, ενδεχομένως και με χρήση διερεύνησης όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα, επιλύει την εξίσωση.



Παραδείγματα1Αν

2x 2f (x) e x 1 , x R ,νααποδειχθείότιη f είναικυρτήκαιστησυνέχεια

να λυθεί η εξίσωση f ( x 3) f ( x ) f (x 3) f (x) όταν x [0, )

(ΘΕΜΑΓΠανελληνίων2016)ΛΥΣΗ

Ηπαραπάνωάσκησημπορείνααντιμετωπιστείκαιμετηντεχνικήτης μορφοποίησης και τη χρήση βοηθητικής συνάρτησης. Ας δούμεμιαεναλλακτικήλύση,μετηβοήθειατουΘεωρήματοςΜέσηςτιμής.Προφανήςλύσητομηδέν.Υποθέτουμελοιπόν,αντίθετα,ότιυπάρxει

0x 0 όπου να είναι λύση της εξίσωσης. Ισxύει 0 0x x (από τη

γνωστή ανισότητα 0 0x x με ισότητα μόνο για x 0 ) καθώς

επίσης 0 0x x 3 και 0 0x x 3 .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν 0 0x 3 x τότε 0 0 0 0x x 3 x x 3 και επειδή ισxύουν

οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από τα διαστήματα

0 0 0 0[ x , x 3], [x ,x 3] άρα υπάρxουν

1 0 0 2 0 0( x , x 3), ξ ε (x ,x 3) ώστε η εξίσωση να γράφεται:

1 23f ( ) 3f ( ) απ΄ο� που 1 2f ( ) f ( ) και αφού η f είναι γνησίως

αύξουσα (ως κυρτή) άρα είναι και1-1 κι έτσι παίρνουμε 1 2 ,

πράγμαάτοποαφούτα 1 2, ανήκουνσεδιαφορετικάδιαστήματα.

Αν 0 0x x 3 τότε 0 0 0 0x x x 3 x 3 .

Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: f

0 0 0 0f (x ) f ( x ) f (x 3) f ( x 3)

Επειδή ισxύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ σε κάθε ένα από ταδιαστήματα 0 0 0 0[ x ,x ], [ x 3,x 3] άρα υπάρxουν

ξ1ε 0 0( x ,x ), ξ2ε 0 0( x 3,x 3) ώστε η εξίσωση να γράφεται:

0 0 1 0 0 2(x x )f ( ) (x x )f ( ) και αφού 0 0x x 0 άρα

1 2f ( ) f ( ) και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα (ως κυρτή) άρα

είναι και 1-1, κι έτσι παίρνουμε 1 2 , πράγμα άτοπο αφού τα 1 2,

ανήκουνσεδιαφορετικάδιαστήματα.



Aσκήσεις

1. Για την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f:R R ισχύει:

f (x)

2h 0

3f (x h) f(x h) 2hf (x) 4f(x)lim 2 2e

h

.

i.Nαδείξετεότι:2h 0

3f (x h) f(x h) 2hf (x) 4f(x)lim 2f (x)

h

ii.NαδείξετεότιηfείναικυρτήστοR.iii. Nαλυθείηεξίσωσηf(2x+1)-(x-1)f΄(3x)=f(x+2),xεR.

2.Ανg΄μι�αγνησι�ωςαυ� ξουσασυνα� ρτησηναλυ� σετετηνεξι�σωση 3 3g(1 x x ) g(1) g(x) g(x ), x>0

(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΘΕΜΑΟΕΦΕ2014) Ενδέχεται ο μετασχηματισμός της εξίσωσης, σε συνδυασμό με το Θεώρημα Μέσης τιμής, να μας δίνει ισοδύναμη, αλγεβρικά, επιλύσιμη εξίσωση Παράδειγμα Αν f(t)=tx, t>0, να λύσετε την εξίσωση: f(3)+f(4)=f(2)+f(5). ΛΥΣΗ

Έχουμε x x x x

x x x x 3 2 5 43 4 2 5

3 2 5 4

. H συνάρτηση f ικανοποιεί τις

υποθέσεις του Θεωρήματος μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα[2,3] και [4,5]. Επομένως θα υπάρχουν κ,λ αντίστοιχα στο (2,3) και (4,5) ώστε x 1 x 1 x 1 x 1f ( ) f ( ) x x x 0 από

την οποία προκύπτει x=0 ή x 1

x 1 x 1 0 1

δηλαδή x=1.

Ασκήσεις

1.Δίνεται συνάρτηση f : (0, ) R με f(x)=xα, x>0. Nα λύσετε τις

εξισώσεις: i. f(3)+f(4)=f(2)+f(5) ii.f(6)+f(3)=f(4)+f(5)



4η ΜΟΡΦΗ: f (....) f (....) f (...)

Η χρήση συναρτησιακών σχέσων δύο μεταβλητών, σαν δεδομένο από την άσκηση, μορφοποιεί την εξίσωση σε μορφή: f (g(x)) f (h(x)) της οποίας η

επίλυση έχει λύση τα x για τα οποία είναι:

g(x) h(x)

g(x)

h(x)

, άρα μας

οδηγεί σε απλούστερη προς επίλυση εξίσωση.

ΠαράδειγμαAνγιατηνσυνάρτηση f : (0, ) R ισχύειf(x)-f(y)=f(x+y),x,yεRμετην

συνάρτησηfναείναιγνησίωςμονότονη,ναλυθείηεξίσωση:f(3x-2)=f(2x-1)+f(3x2-4).ΛΥΣΗΗ εξίσωση της υπόθεσης δίνει: f(3x-2)=f(2x-1)+f(3x2-4) f(3x-2)- f(2x-1)=f(3x2-4) (Α). Το πρώτο μέλος της εξίσωσης ανθεωρήσουμε x το3x-2 και y το 2x-1 γράφεται με τη βοήθεια τηςυπόθεσης ως f(3x-2+2x-1)=f(5x-3), Άρα πλέον έχουμε από την (Α) ναλύσουμετηνf(5x-3)=f(3x2-4).Αφούηfείναιγνησίωςμονότονη,λύνουμεισοδύναμα

τηνεξίσωση5x-3=3x2-4απότηνοποίακαιπροκύπτουν: 1,2

5 37x

6

.

Ασκήσεις

1.Έστωησυνάρτησηf :που ικανοποιείτησχέσηf(x)-f(y)=f(x-y)

γιακάθεx,yκαιηεξίσωσηf(x)=0πουέχειμοναδικήρίζα.i.Ναβρείτετηνf(0)ii.Ναδείξετεότιηfείναι1-1.iii.Ανf(x)<0γιακάθεx<0,

α.Ναδείξετεότιηfείναιγνησίωςαύξουσα.β.Ναλύσετετηνανίσωσηf(ex+1)+f(3x-1)<f(ex-x).

2.Έστωησυνάρτησηf: ),0( γιατηνοποίαισχύει

y

xf)y(f)x(f για

κάθεx,y>0καιηεξίσωσηf(x)=0έχειμοναδικήρίζα.



i. Ναβρείτετοf(1).ii. Ναδείξετεότιηfείναι1-1.iii. Ναλύσετετηνεξίσωσηf(x2-2)+f(x)=f(5x-6).iv. Ανf(x)<0γιακάθεx>1,

α.Ναδείξετεότιηfείναιγνησίωςφθίνουσα.β.Nαλύσετετηνανίσωσηf(x)+f(x2+3)>f(x2+1)+f(x+1)

3.Έστωσυνάρτησηf: R R γιατηνοποίαισχύειότι:f(x+y)=f(x)+f(y)γιακάθεx,yεR.i. Νααποδείξετεότιf(0)=0ii. Nαδείξετεότιηfείναιπεριττήiii. Ανf(x)>0γιακάθεx<0ναδείξετεότιηfείναιγνησίωςφθίνουσα.iv. Ανηεξίσωσηf(x)=0έχειμοναδικήρίζα,ναλύσετετηνεξίσωση:

3 31 1 ( 1)xf x e f x f x

Ενδέχεται, η χρήση αριθμητικής τιμής από την υπόθεση, να μετασχηματίζει την εξίσωση, και να μας οδηγεί σε τεχνικές επίλυσης, με βάση την 3η Μορφή.

ΠαράδειγμαΔίνεται η συνάρτηση f: (0, ) R , γνησίως φθίνουσα για την οποία

f(1)=0.Ναλύσετετηνεξίσωση 2017 3f (x) f (x ) f (x )

ΛΥΣΗ

Η εξίσωση επαληθεύεται για x=1 και παίρνει την μορφή2017 3f (x) f (x ) f (x ) +f(1).

Aν0<x<1τότε 2017 3

2017 3 2017 3

x 1 και f άρα f(x)>f(1)f (x) f (x ) f (x ) f (1)

x <x και f άρα f(x )>f(x )

2

2.

Ανx>1τότε 2017 3

2017 3 2017 3

x 1 και f άρα f(x)<f(1)f (x) f (x ) f (x ) f (1)

x >x και f άρα f(x )<f(x )

2

2

Τελικάηx=1είναιημοναδικήλύσητηςεξίσωσης.

Ασκήσεις

1. Δίνεται η συνάρτηση f: (0, ) R , γνησίως αύξουσα για την οποία

f(1)=0.Ναλύσετετηνεξίσωση 2017 3f (x) f (x ) f (x ) .



Σε μορφές οι οποίες βασίζονται σε συναρτήσεις τύπου f(x)=αx με α>1 η προφανής ρίζα τους και ο μετασχηματισμός τους, με διαίρεση με τη δύναμη με τη μεγαλύτερη βάση, μας οδηγεί με τη βοήθεια της μονοτονίας, στην επίλυσή τους.

ΠαραδείγματαΑν f(t)=tx t>0, να λύσετε την εξίσωση: f(6)+f(8)=f(10). ΛΥΣΗ Η εξίσωση f(6)+f(8)=f(10) γράφεται ισοδύναμα 6x+8x=10x της οποίας η προφανής ρίζα είναι το 2. Διαιρώντας με το 10x η εξίσωση γράφεται στη

μορφή 6 8

1 0 g(x) 0 g(x) g(2).10 10

Εύκολα αποδεικνύουμε

ότι η g είναι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, άρα η προφανής ρίζα της είναι και μοναδική. ( Θυμίζουμε ότι κάθε γνησίως μονότονης συνάρτησης η γραφική παράσταση τέμνει οποιαδήποτε ευθεία της μορφής y=α, άρα και την y=0, σε ένα το πολύ σημείο).Ασκήσεις

1. Δίνεται η συνάρτηση f(t)=tx, με t>0. Nα λυθεί η εξίσωσηf(3)+f(4)=f(5).



ΕΠΙΛΥΣΗ - AΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Οι τεχνικές τις οποίες ακολουθούμε για την επίλυσή τους, είναι ανάλογες με αυτές των εξισώσεων. Για να τονιστεί το προηγούμενο, τα περισσότερα από τα παραδείγματα είναι τα ίδια με αυτά των εξισώσεων, σε ανισοτική μορφή. Όλα τα παρακάτω προφανώς εφαρμόζονται ανάλογα και σε ανισώσεις αντίστροφης ανισοτικής φοράς.

1η ΜΟΡΦΗ: f( x)< k, f( g( x) )< k ό π ο υ κ εf( A) f(…)+f(….)<α, αεR

f(…)<g(…) στο f gA

f( g( x) )< f( h( x) ) μ ε f : Α →R κ α ι f γ ν η σ ί ω ς μ ο ν ό τ ο ν η

1ος τρόπος Mορφοποιούμε, μέσω παρατήρησης την σχέση f (x) k ή f(g(x))>k όπου κεf(A) σε f(…)>f(….) , όπου το κ=f(x0) με το x0εΑ, και <<απολοίφουμε>> τα f Παράδειγμα1Δίνεταιησυνάρτησηfμεf(x)=ex+x-1.i.Nαδείξετεότιηfείναιγνησίωςαύξουσα.ii.Nαλύσετετηνανίσωσηf(x)>eΛύσηi. Για κάθε 1 2 1 2x ,x R με x x με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της

διάταξης αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Είναι f (x) e f (x) f (1) και αφού η f είναι γνησίως αύξουσα

προκύπτει ότι η x>1 Παράδειγμα2

Δίνεταιησυνάρτησηf(x)=1

ln x 1x

i.Nαμελετηθείωςπροςτημονοτονία.ii.Nαλυθείηανίσωσηf(x)<0.



iii.Nαλυθείηανίσωσηf(x)<2-1

e

iv.Γιακάθε0<x<1ναδείξετεότι ln x 1 x ΛΥΣΗ

(i)Ηfορίζεταιστο(0, ).Ηfείναιπαραγωγίσιμηστο(0, )με

γιακάθεx>0.Άραηfείναιγνησίωςαύξουσαστο

(0, ).

(ii)Προφανώςf(1)=ln1-1+1=0.Γιακάθεx>0είναιf(x)>0 f(x)>f(1)

x>1

(iii)Προφανώςf(e)=lne- +1=2- Γιακάθεx>0είναιf(x)< -

f(x)<f(e) x<e

(iv)Προφανώςτοτελευταίοερώτημα,τηςπαραπάνωάσκησης,δενχρειάζεταιαπόδειξηγιατίείναιεφαρμογήστησελίδα266τουβιβλίου.Αςπαρουσιάσουμεόμωςκαικάποιεςεναλλακτικέςπροσεγγίσειςστηνεπίλυσήτου.

Γιακάθε0<x<1είναιx<1 lnx<ln1 lnx<0(1)

Είναιx<1 1-x>0(2).Από (1),(2) lnx<0<1-x lnx<1-x

β΄τρο� πος:από(ii)θέτονταςόπουxτο1

x)

20ς τρόπος Χρήση συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών από την υπόθεση, είτε ιδιότητες άρτιας ή περιττής συνάρτησης, μορφοποιούν ανισώσεις μορφής, f(…)+f(….)>α, αεR σε μορφή f (x) k ή f(g(x))>k όπου κεf(A) , άρα επιλύονται ανάλογα.

Παράδειγμα1Ανf: R R μεf(x)-f(y)=f(x y),γιακάθεx,yεRi.Ναβρείτετοf(0).



ii. Nα λύσετε την ανίσωση f(x2-4x)-f(x-6)>0 x>0, αν γνωρίζεται ότι η fείναιγνησίωςαύξουσα

ΛΥΣΗi. Hυπόθεσηγιαx=y=0μαςδίνειf(0)-f(0)=f(0)άραf(0)=0.ii. H ανίσωση f(x2-4x)-f(x-6)>0 είναι ισοδύναμη με την

f( 2x 4x x 6 )>0 (1) , βάση της συναρτησιακής σχέσης της

υπόθεσης,θέτονταςόπουτοxτοx2-4xκαιyτοx-6.Άραη(1)δίνειμετηβοήθειακαιτουiερωτήματος,τηνανίσωσηf( 2x 4x x 6 )>f(0)

από την οποία προκύπτει, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα, ηισοδύναμη ανίσωση 2x 4x x 6 0 . Η λύση της τελευταίας μας

δίνειxε(0,4) (6,+ )Παράδειγμα2Ανf: R R μίαπεριττήσυνάρτηση ,ναβρείτεxεRγιαταοποία ισχύει:f(lnx)+f(-x+1)>0,ανγνωρίζεταιότιηfείναιγνησίωςφθίνουσα.ΛΥΣΗΈχουμε f(lnx)+f(-x+1)>0 f (lnx) f( x 1). (1) Γνωρίζουμε ότι

σύμφωναμετονορισμότηςπεριττήςείναιg(-x)=-g(x)μεx,-xεAg.Επομένωςη(1)μαςδίνειισοδύναμα f (lnx) f(x 1) απότηνοποία

f(lnx)>f(x-1) lnx<x-1 lnx-x+1<0 .Aνείναιg(x)=lnx-x+1μεx>0η

ισοδύναμηανίσωσηείναιg(x)<0 γιατηνοποίαγνωρίζουμε,ότιη gέχειμέγιστοτο0γιαx=1,άραg(x)<0σημαίνει0<x<1ήx>1. (Δεςτηναντίστοιχηεφαρμογήστησελίδα266τουσχολικούβιβλίου)

30ς τρόπος Ενδεχομένως μορφοποίηση σε f(…)>g(…) στο f gA να δίνει λύση

με τη βοήθεια κάποιου x0. στο οποίο η μία συνάρτηση να παρουσιάζει ελάχιστο και η άλλη μέγιστο Παράδειγμα

Δίνεταιη 2f (x) 5 25 x καιηg(x)= 2x 5

i.Ναβρείτεταακρότατατωνfκαιg.ii.Ναλύσετετηνανίσωσηf(x)<g(x)ΛΥΣΗ



i. Η f ορίζεται για τους πραγματικούς για τους οποίους2 225 x 0 x 25 5 x 5 και ισχύει

2 2 225 x 0 25 x 0 5 25 x 5 f (x) 5 με το ίσον να

ισχύει για x=5 και x=-5. Επομένως η μέγιστη τιμή της f είναι το 5.Επίσης για την g για κάθε xεR ισχύει 2 2x 0 x 5 5 g(x) 5

δηλαδήηελάχιστητιμήτηςgείναιτο5γιαx=0.ii.Eίναι f (x) 5 και g(x) 5 .Αλλάεπειδήητιμή5γιατηνοποίαισχύουν

συγχρόνως οι προηγούμενες ανισοισότητες, δεν επιτυγχάνεται γιακοινήτιμήτουx (γιατηνfισχύειγιαx=5καιx=-5,ενώγιατηνgγιαx=0)ηαντίστοιχηανίσωσηισχύειγιακάθετιμήτουxεΑf Ag.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΗ ΑΝΙΣΩΣΗ 1 1f (g(x)) t(x) ή f (g(x)) t(x)

Σε επίλυση ανισώσεων μορφής 1 1f (g(x)) t(x) ή f (g(x)) t(x) (1)

πρέπει να είμαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί. Αρχικά βρίσκουμε το πεδίοορισμούτης 1f og έστωΑκαθώςτηςtέστωΒ.

Αν t(x) A εξετάζουμε αν η ανίσωση (1) έχει λύση ενώ αν t(x)εΑ

<<φοράμεf>>στην(1),προσέχονταςτημονοτονία,καιλύνουμετηνέαανίσωσηπουδενπεριέχειτηνf-1.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΔίνεταιησυνάρτησηf(x)=x+lnx,x>0.

i. Nαδείξετεότιηfείναιγνησίωςαύξουσα.ii. Ναβρείτετοσύνολοτιμώντηςf.iii. Ναλύσετετηνανίσωση 1f (x) x

ΛΥΣΗi. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ως πράξη παραγωγίσιμων

συναρτήσεων, για κάθε x>0 με1

f (x) 1 0x

για κάθε x>0.

Επομένωςησυνάρτησηfείναιγνησίωςαύξουσα.



ii. Έχουμε f συνεχή, ως πράξη συνεχών για κάθε x>0 και γνησίως

αύξουσα.Επομένωςείναιf(A)= x 0 xlimf (x), lim f (x) ( , )

.

iii. Έχουμε Α=(0,) και f(A)= 1fA =R. Διακρίνουμε τις εξής

περιπτώσεις: Αν x 0 τότε 1 1f (x) (0, ) επομένως f (x) 0 , άρα η

ανίσωσηαληθεύει. Αν x>0 τότε 1 1 ανίσωση δίνει ισοδύναμα f (x) x f f (x) f (x)

x x ln x ln x 0 x 1 .Άρατελικά0<x<1.Eπομένωςηαρχικήανίσωσηέχειτελικάλύση x ( ,1)

Ασκήσεις

1. Δίνονται οι συναρτήσεις f : R R με f(0)=1 γνησίως αύξουσα και

g : R R με g(1)=0 γνησίως φθίνουσα .Ναδείξετεότι:

i. 2f (x 1) 1

ii. 2 2f (x y 2xy) 1 για κάθε x y

iii.1

g x 1 0 για κάθε x>0 και x 1x

iv. 2g x 1 x 1 0 γιακάθεxεR

2. ΄Εστωln(x 1) lnx

f : R με Α=(0,+ ) και f(x)=x

.

i.NαδείξετεότιησυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσαστοΑ

ii.Γιακάθεα,βεΝ*μεα<βναδείξετεότι1 1

1 1

3. Έστω f : R R μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση με f(0)=1. Nαλυθούνοιανισώσεις:i. f (2x 3) 1

ii.f(2f(x)-2)>1iii. f (x)f (e e) 1

iv.f(lnx-2)<1v.f(3f(x)-2)<f(2f(x)-1)

4. Έστω xf (x) 2 x .



i.Nαμελετηθείωςπροςτημονοτονία.ii.Ναλυθούνοιανισώσεις:

α.f(x)>1β.f(-x)<3γ.f(f(x)-2)<3

δ.x

1 1x

2 2

ε. x2 (x 3) 1 στ. x1 2 (x 6)

5. Aνfμίαγνησίωςαύξουσασυνάρτησηναλυθούν:i. f ( x ) f (2)

ii.f(lnx)>f(0)iii.f(f(3x-2))<f(f(x+2))iv. x 2f (e 1) f (2)

6. Δίνεταιησυνάρτησηf(x)=x+ln(x+2)i.Nαμελετηθείωςπροςτημονοτονία.ii.Ναλυθείη 4 2f (x 1) f (x 1)

iii.Nαλυθείη 2

2

3xln x 3x 2

x 2

7. Ανf(x)= xln x e .i.Nαμελετήσετετηνfωςπροςτημονοτονία.

ii.Ναλυθείηανίσωση:2 22 x 3 2 2x 2ln(2x 2) e ln(x 3) e

iii.Nαλυθείηανίσωση: 2

2x 12 42ln(x 1) e f (x 2)

8. Δίνεταιη f : R μεΑ=(0, ) καιx

xf (x)

e .

i.Ναδείξετεότιηf (x 1)

g(x)f (x)

είναιγνησίωςφθίνουσαστοΑ.

ii.Ναλύσετετην 2 2f (2x)f (x 1) f (2x 1)f (x ), x>0

iii.Nαλύσετετην 4 2 2 4ln f (x 1) ln f (x ) ln f (x 1) ln f (x ), x 0

9. Έστω xf (x) 2 x . Nα λύσετε την ανίσωση:2 2f (x 1) f (x 2) f (x ) f (x 3)

10. Δίνεταιηf(x)= x 22 x .i.Nαδείξετετιησυνάρτησηg(x)=f(x+1)-f(x)είναιγνησίωςαύξουσα.ii.Ναλύσετετηνανίσωση 2 2f (x 1) f (x 2) f (x 3) f (x )

11. Έστω f ,g : R R για τις οποίες η f είναι γνησίως φθίνουσα και

g(x)=f(x-1)-f(1-x).i.Ναβρείτετημονοτονίατηςσυνάρτησηςg.ii.NαβρείτεταδιαστήματαόπουηCgβρίσκεταιπάνωαπότονxx΄.



iii.Ναλύσετετηνανίσωση: 2 2f (x 1) f (1 2x) f (2x 1) f (1 x ) .

12. Δίνεταιη f (x) x .

i. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=f(x+1)-f(x) είναι γνησίωςφθίνουσα.

ii.Ναλύσετετηνανίσωση: 2 2f (x 2) f(x 3) f(x 1) f (x 4)

13. Δίνεταιη x 2f (x) 3 3x καιηh(x)=f(x+1)-f(x).

i.Ναδείξετεότιηhείναιγνησίωςαύξουσα.ii.Ναλύσετετην 2 4 4 2f (x 1) f (x ) f (x 1) f (x )

iii.Ναλύσετετην 2 2f (x 1) f (x 2) f (x ) f (x 3)

14. Έστω f : R R μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. Να λυθούν οιανισώσεις:i. 2 2f (x ) f ( x) f ( x ) f (x)

ii. 2 2f (2x 4) f ( x ) f ( 2x 3) f (x 1)

iii.2

2 2

2

2x 1f (2x 1) f (x 2) ln

x 2

15. Δίνεταιησυνάρτησηf(x)= ,μεx

i.Ναμελετηθείηfωςπροςτηνμονοτονίακαιταακρότατα.ii.Ναλύσετετιςπαρακάτωανισώσεις:α.f( 1

β.

γ.

16.Δίνονταιοισυναρτήσεις f ,g : R R μετύπους2

10xf (x) , xεR

x 25

και

g(x) 1 x 5 , xεR

i.Νααποδείξετεότιηfπαρουσιάζειολικόμέγιστογιαx=5.ii.Νααποδείξετεότιηgπαρουσιάζειολικόελάχιστο.iii.Ναλύσετετηνανίσωση f (x) g(x)

17. Έστωf: R μεΑ=(0,+ )καιf(x)=lnx+x-1i. Ναδείξετεότιυπάρχειηαντίστροφητηςf.ii. Ναβρείτετοσύνολοτιμώντηςf.iii. Nαλύσετετηνανίσωση 1f (x) x

18. Έστω f : R R μεf(R)=Rκαι 3 3f (x) x f (x) ,xεR.

i.Ναδείξετεότιηfαντιστρέφεταικαιναβρείτετηναντίστροφη.



ii.Ναβρείτεταxώστεηγραφικήπαράστασητης f-1ναβρίσκεταικάτωαπότηνy=x

2η ΜΟΡΦΗ: f (... .) f (. ...) f (. ..) f (. ....)

10ς τρόπος: Προφανείς ρίζες και χρήση μονοτονίας Αφού βρώ την τιμή για την οποία ισχύει η ισότητα, στη συνέχεια δείχνω ότι f(α)>f(γ) και f(β)>f(δ) (αν f γνησίως αύξουσα, αλλιώς θα ισχύει η αντίστροφη φορά) και προσθέτω τις σχέσεις κατά μέλη. Παραδείγματα

Δίνεταιησυνάρτηση2

1f (x)

x 1

i.Ναδείξετεότιηfείναιάρτια.ii.Nαμελετήσετετηνfωςπροςτημονοτονία.iii.Ναδείξετεότιγιακάθε x 0 ισχύειf(x)+f(3x)>f(2x)+f(4x)iv.Ναδείξετεγιακάθεx>0ότι x 2x 3x 4xf (e ) f (e ) f (e ) f (e )

v.Ναδείξετεότιότιγιακάθε x 0 ισχύειf(x)+f(-3x)>f(2x)+f(-4x)ΛΥΣΗ (i) Ηfορίζεταιστο διότι γιακάθεx .

Γιακάθεx έχουμεότι:-x καιf(-x)= = f(x)

Συνεπώςηfείναιάρτια.(ii) Ηfείναιπαραγωγίσιμηστο ωςπηλίκοπαραγωγίσιμων

συναρτήσεωνμε:f΄(x)= άραf΄(x)=0

f΄(x)>0 x<0

Συνεπώςf΄(x)>0γιακάθεx καιfσυνεχήςστοx0=0

άραηfγνησίωςαύξουσαστο καιόμοιαακριβώςηf

γνησίωςφθίνουσαστο[0,+

(iii) Γιακάθεx<0έχουμε:

x<0 2x<x f(2x)<f(x)(1)

x<0 4x<3x f(4x)<f(3x)(2)



Προσθέτονταςτις(1),(2)έχουμε:f(2x)+f(4x)<f(x)+f(3x)(3)Γιακάθεx>0έχουμε:

x>0 2x>x f(2x)<f(x)(4)

x>0 4x>3x f(4x)<f(3x)(5)

Προσθέτονταςτις(4),(5)έχουμε:f(2x)+f(4x)<f(x)+f(3x)(6)Από(3),(6)f(2x)+f(4x)<f(x)+f(3x) .

(iv) 1<3 x<3x f( f( (7)

2<4 2x<4x f( f( (8)

Προσθέτονταςτις(7),(8)έχουμε:f( f( f( +f(

(v) Γιακάθεx<0έχουμε:

x<0 x>2x f(x)>f(2x)(9)

x<0 3x< 4x f(-3x)>f(-4x)(10)

Προσθέτονταςτις(9),(10)έχουμε:f(x)+f(-3x)>f(2x)+f(-4x)

καιόμοιαf(x)+f(-3x)>f(2x)+f(-4x)

Επομένωςf(x)+f(-3x)>f(2x)+f(-4x) .

Ασκήσεις

1. Δίνεταιηf(x)=1

ln xx

i.Ναμελετηθείηfωςπροςτημονοτονία.ii. Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει:

v v v vf (5 ) f (7 ) f (6 ) f (8 )

iii.Ναδείξετεότιγιακάθεx>0ισχύειf(2x)+1>f(3x)+f(ex)2. Δίνεταιησυνάρτησηf(x)= 3x 8x

i.Nαμελετήσετετηνfωςπροςτημονοτονία.ii.Ναδείξετεότιγιακάθεx>1ισχύει: 3 x 2f (x ) f (2 ) f (x ) f (2)

iii.Nαδείξετεότιγιακάθεx<0ισχύει: x x x xf (3 ) f (5 ) f(2 ) f(4 )



20ς τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση βοηθητικής συνάρτησης Μετασχηματίζω την προς απόδειξη στη μορφή βοηθητικής συνάρτησης η οποία είτε δίνεται είτε την κατασκευάζουμε <<εμπειρικά>> μέσω της μορφής που παίρνουν τα δύο μέλη της ανίσωσης, είτε με τη βοήθεια κάποιας συναρτησιακής σχέσης δύο μεταβλητών, από την υπόθεση Παράδειγμα1Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : (0, ) R . Nα λυθεί η

ανίσωση: 2

2

1 1f (x 1) f (2) f f

x 1 2

ΛΥΣΗ

Ηανίσωσηορίζεταιόταν και >0πουισχύουνγια

κάθεx .Επομένωςγιακάθεx έχουμε:

(1)

Θεωρούμετηνσυνάρτηση μεx>0.

Έστωx1,x2 μεx1<x2.Έχουμε:x1<x2 f(x1)>f(x2)(2)

0<x1<x2 f( f( f( f( (3)

Προσθέτονταςτις(2),(3)έχουμε:f(x1) f( f(

Συνεπώςη είναιγνησίωςφθίνουσαστο

Η(1)

Παράδειγμα2Δίνεται ησυνάρτηση f: ηοποίαείναι γνησίως μονότονη, περιττή

στο μεf( .Επίσηςηγραφικήπαράστασητηςfδιέρχεταιαπότο

Α(1,-1).(Παράδειγμαμίαςτέτοιαςσυνάρτησηςείναιη 3f (x) x , xεR )

i.Ναμελετηθείηfωςπροςτημονοτονίακαινααποδείξετεότι

ορίζεταιη .



ii.Νααποδείξετεότιη είναιγνησίωςφθίνουσαστο καιη

fofείναιγνησίωςαύξουσαστο

iii.Ναλύσετετιςπαρακάτωανισώσεις:

α.f(f(5x+4))-f(f(3x+2))<0

β.f(

γ.f(f(

δ. γιαx>0

ΛΥΣΗ(i)ΗfείναιπεριττήάραγιακάθεxεRισχύει-xεRκαιf(-x)=-f(x)(1)

ΕπίσηςτοΑ(1,-1)ανήκειστηγραφικήπαράστασητηςfσυνεπώς

f(1)=-1.Η(1)γιαx=1δίνειf(0)=-f(0) 2f(0)=0 f(0)=0.Hf

είναιγνησίωςμονότονηστοRάραηfείτεείναιγνησίωςαύξουσα

στοείτεγνησίωςφθίνουσαστοR.Έστωότιηfείναιγνησίως

αύξουσαστοτότε:0<1 f(0)<f(1) 0<-1άτοπο.Συνεπώςηf

είναιγνησίωςφθίνουσαστοR.Επειδήηfείναιγνησίωςφθίνουσα

στοRείναι«1-1»οπότεορίζεταιηf-1με 1fD f (R) R

(ii)Ισχύειότιf(f-1(y))=yγιακάθεyεR(2)

Έστω 1 1 1 11 2 1 2 1 2y y f (f (y )) f (f (y )) f (y ) f (y )

2

.Επομένωςηf-1

είναιγνησίωςφθίνουσαστοf(R)=REίναι

1 2 1 2 1 2 1 2x x f (x ) f (x ) f (f (x )) f (f (x )) (fof)(x ) (fof)(x ) .

ΕπομένωςηfofείναιγνησίωςαύξουσαστοR.

(iii)(α)ΓιακάθεxεRέχουμε:f(f(5x+4))-f(f(3x+2))<0

f(f(5x+4))<f(f(3x+2)) (fof)(5x+4))<(fof)(3x+2))

5x+4<3x+2 2x<-2 x<-1



(β)Γιαx=1η(1)δίνειf(-1)=-f(1)=-(-1)=1.ΣυνεπώςγιακάθεxεR

έχουμε:f( f( xe x 2) >f(-1) x xe x 2 1 e x 1 0 (3).Θεωρούμετηνσυνάρτηση

g(x)= xe x 1 ,xεR.

ΗgείναιπαραγωγίσιμηστοRμεg΄(x)=-e-x-1<0γιακάθεxεR

άραηgείναιγνησίωςφθίνουσαστοR.Προφανώςg(0)=0.

Συνεπώςη(3)g(x)<0 g(x)<g(0)2

x>0

(γ)Γιακάθεxέχουμε:1 1f (f (f ( x ) 1) 1) 1 f (f (f ( x ) 1) 1) f (1)

1f (f ( x 1) 1 <-1 1f (f ( x ) 1) 0 1f (f ( x ) 1) f (0)

1f ( x ) 1 >0 1f ( x ) 1 1 1f ( x ) f (1) x 1

(δ)Γιαx=1ησχέσηισχύειωςισότητα.Ανxε(0,1)τότε:

x<1 2x 1 άρα 4 2x x και 3x 1 άρα 9 6x x οπότε:

2 4 1 2 1 4x x f (x ) f (x ) (4)και 6 9 1 6 1 9x x f (x ) f (x ) (5)

Προσθέτονταςτις(4),(5)προκύπτειότι1 2 1 6 1 4 1 9f (x ) f (x ) f (x ) f (x )

Ανx>1τότε:x>1 2 2 4 1 2 1 4x 1 άρα x x f (x ) f (x ) (6)και

6 9 1 6 1 9x x f (x ) f (x ) (7)

Προσθέτονταςτις(6),(7)προκύπτει

ότι: 1 2 1 6 1 4 1 9f (x ) f (x ) f (x ) f (x )

Επομένως 1 2 1 6 1 4 1 9f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) γιακάθεx>1



Ασκήσεις

1. Έστω f,g : R R με g(x)=f(x+3)-f(x+1) η οποία είναι γνησίως

αύξουσαστοR.Ναλύσετετιςπαρακάτωανισώσεις:i.f(2x+3)<f(2x+1)ανg(2)=0ii.f(x2+3x+4)>f(x2+3x+2)-3ανf(3)=f(1)-3iii.f(x4+3)-f(x2+3)<f(x4+1)-f(x2+1)

2. Έστω f,g : R R με g(x)=f(x+2)-f(-x)και f γνησίως αύξουσαστο R.Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα και στησυνέχειαναλύσετετηνεξίσωση:i. 2 2f ( 4x) f (x 5) f (4x 2) f( x 3)

ii. x xf (e 2) f ( x 1) f (x 3) f ( e )

iii.f(lnx+2)+f(-x+1)>f(-lnx)+f(x+1)μεx>03. Έστωf: μιασυνάρτηση,ηοποίαείναιπαραγωγίσιμηκαιη

fείναιγνησίωςφθίνουσα.Ανf(2)=f(3),ναλύσετετιςεξισώσεις:i.f(x+1)-f(x)>0ii.f( +3)<f( +2)

iii.f( )+f( )<f( )+f( )

4. Δίνεταιησυνάρτησηf(x)=

i.Ναμελετηθείηfωςπροςτηνκυρτότητα.

ii.Έστωησυνάρτησηg(x)=f(x+3)-f(x),x

α.Nαμελετηθείηgωςπροςτηνμονοτονία

β.Ναλύσετετηνανίσωση:f(3(x+1))<f(3x)+ +2

γ.Ναλύσετετηνανίσωσηf( )+f( )>f( )+f( )

δ.Ναλύσετετηνανίσωσηf( +f(x+1)>f( )+f(x+4)

5.Δίνονταιοισυναρτήσειςf,g: γιατιςοποίεςισχύει:

g(x)=f(2x-5)-f(4-x)γιακάθεx .Επίσηςησυνάρτησηfείναιγνησίως

φθίνουσα.

i.Ναμελετήσετετηνgωςπροςτηνμονοτονία

ii.Ναλύσετετηνανίσωση:g( )>0



iii.Ανγιατονπραγματικόαριθμόαισχύειότι:

g( )+g( )>g( )+g( )νααποδείξετεότια>0.

30ς τρόπος: Μορφοποίηση και χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής Η μορφοποίηση της αντίστοιχης ανίσωσης, σε συνάρτηση με τη χρήση Θεωρήματος μέσης τιμής, όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα, επιλύει ή δικαιολογεί την ανίσωση. ΠαραδείγματαΔίνεταιησυνάρτησηf,μεf(x)=lnx.

i. Ναπροσδιορίσετετηνμονοτονίατηςfκαιτηςf΄.ii. Ναδείξετεότιγιακάθεx>0είναιf(3x)+f(5x)>f(7x)+f(x).

ΛΥΣΗ

i. Είναι2

1 1f (x) 0 (1) και f (x)=- 0 (2)

x x , άρα έχω ότι η f είναι

γνησίωςαύξουσα,γιακάθεx>0καιη f ΄γνησίωςφθίνουσαγιαx>0.

ii.ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗΛόγωτηςευκολίαςτηςσυνάρτησης, ηεξίσωσηαυτήμπορεί

να λυθει� και με ο� σα ε�χουν διδαχθει� στην Β΄ Λυκείου. Ηπαρακάτωεπίλυσηεπιδιώκεινατονίσειτηνικανότηταλύσηςμεβάση την τεχνική που προαναφέρθει, κυρίως , σε θέματα ταοποίαδεναντιμετωπίζονταιμεεφαρμογή,άμεσωναλγεβρικώντεχνικών.Hανίσωσηf(3x)+f(5x)>f(7x)+f(x)γράφεταιισοδύναμα:f(3x)-f(x)>(7x)-f(5x)(A).Είναιx>0καιεπομένωςx<3x<5x<7x.Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης τιμής σε καθένα από ταδιαστήματα [x,3x] και [5x,7x] η (Α) μετασχηματίζεται στην

1 2f ( ) f ( ) .Απότο iγνωρίζουμεότιη f ΄ει�ναιγνησι�ωςα� ραη

(Β)μαςδίνειξ1<ξ2τοοποίοισχύειαφούx<ξ1<3x<5x<ξ2<7x.



3η ΜΟΡΦΗ: f (....) f (....) f (...)

Η χρήση συναρτησιακών σχέσων δύο μεταβλητών, σαν δεδομένο από την άσκηση, μορφοποιεί την ανίσωση σε μορφή: f (g(x)) f (h(x)) της οποίας η

επίλυση έχει λύση τα x για τα οποία είναι:

g(x) h(x) αν f

g(x)

h(x)

1

g(x) h(x) αν f

g(x)

h(x)

2

, άρα μας οδηγεί σε απλούστερη προς επίλυση

ανίσωση.

Παράδειγμα1Aν για την συνάρτηση f : R R ισχύει f(x)-f(y)=f(x-y), x,yεR με τηνσυνάρτησηfναείναιγνησίωςαύξουσα,ναλυθείηανίσωση:f(3x-2)>f(2x-1)+f(3x2-4).ΛΥΣΗΗ εξίσωση της υπόθεσης δίνει: f(3x-2)>f(2x-1)+f(3x2-4) f(3x-2)- f(2x-1)>f(3x2-4) (Α). Το πρώτο μέλος της εξίσωσης ανθεωρήσουμε x το3x-2 και y το 2x-1 γράφεται με τη βοήθεια τηςυπόθεσης ως f(3x-2-2x+1)>f(x-1), Άρα πλέον έχουμε από την (Α) ναλύσουμετηνf(x-1)> f(3x2-4). Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα, λύνουμε ισοδύναμα

τηνανίσωσηx-1>3x2-4απότηνοποίαxε1 37 1 37

,6 6

.

Παράδειγμα2Έστωησυνάρτησηf:πουικανοποιείτησχέσηf(x)-f(y)=f(x-y)γιακάθεx,yκαιηεξίσωσηf(x)=0πουέχειμοναδικήρίζα.

i.Ναβρείτετηνf(0)ii.Ναδείξετεότιηfείναι1-1.iii.Ανf(x)<0γιακάθεx<0,

α.Ναδείξετεότιηfείναιγνησίωςαύξουσα.



β.Ναλύσετετηνανίσωσηf(ex+1)+f(3x-1)<f(ex-x).ΛΥΣΗ(i)Γιακάθεx,yισχύει:f(x)-f(y)=f(x-y)(1)

H(1)γιαx=y=0έχουμε:f(0)–f(0)=f(0) f(0)=0.

(ii)Επειδήf(0)=0καιηf(x)=0έχειμοναδικήρίζα,τότεότιηx=0

μοναδικήρίζατηςf(x)=0(2)Έστω 1 2x ,x εRμε 1 2f (x ) f (x ) .

Έχουμε:

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 0 f(x x ) 0 άρα λόγω της 2 παίρνουμε

x x 0 x x

Επομένωςηfείναι«1-1».

(iii)(α)Έστω 1 2x ,x εRμε 1 2x x Έχουμε:

1 2x x και επειδή f(x)<0 για κάθε x<0 θα είναι :

1 2 1 2 1 2f (x x ) 0 f (x ) f (x ) 0 f (x ) f (x )

Επομένωςηfείναιγνησίωςαύξουσαστο.

(β)Γιακάθεxέχουμε:f(ex+1)+f(3x-1)<f(ex-x)

f(3x-1)<f(ex-x)-f(ex+1) f(3x-1)<f(ex-x-ex-1)

f(3x-1)<f(-x-1)1

3x-1<-x-14x<0 x<0

Ενδέχεται, η χρήση αριθμητικής τιμής από την υπόθεση, να μετασχηματίζει την ανίσωση, και να μας οδηγεί σε τεχνικές επίλυσης, με βάση την 3η Μορφή.

ΠαράδειγμαΔίνεται η συνάρτηση f: (0, ) R , γνησίως φθίνουσα για την οποία

f(1)=0.Ναλύσετετηνανίσωση 2017 3f (x) f (x ) f (x )

ΛΥΣΗ



Η ανίσωση επαληθεύεται για x=1 και παίρνει την μορφή2017 3f (x) f (x ) f (x ) +f(1).

Aν0<x<1τότε 2017 3

2017 3 2017 3

x 1 και f άρα f(x)>f(1)f (x) f (x ) f (x ) f (1)

x <x και f άρα f(x )>f(x )

2

2.

Ανx>1τότε 2017 3

2017 3 2017 3

x 1 και f άρα f(x)<f(1)f (x) f (x ) f (x ) f (1)

x >x και f άρα f(x )<f(x )

2

2

Τελικάταx>1είναιλύσητηςανίσωσης

Σε μορφές οι οποίες βασίζονται σε συναρτήσεις τύπου f(x)=αx με α>1 η προφανής ρίζα τους και ο μετασχηματισμός τους, με διαίρεση με τη δύναμη με τη μεγαλύτερη βάση, μας οδηγεί με τη βοήθεια της μονοτονίας, στην επίλυσή τους.

ΠαράδειγμαΑν f(t)=tx, t>0, να λύσετε την ανίσωση: f(6)+f(8)>f(10). ΛΥΣΗ Η ανίσωση f(6)+f(8)>f(10) γράφεται ισοδύναμα 6x+8x>10x η οποία ισχύει σαν ισότητα για x=2. Διαιρώντας με το 10x η ανίσωση γράφεται στη μορφή

6 81 0 g(x) 0 g(x) g(2).

10 10

Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η g

είναι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, άρα παίρνουμε x>2. Ασκήσεις

1.Έστωησυνάρτησηf: ),0( γιατηνοποίαισχύει

y

xf)y(f)x(f για

κάθεx,y>0καιηεξίσωσηf(x)=0έχειμοναδικήρίζα.v.Ναβρείτετοf(1).vi. Ναδείξετεότιηfείναι1-1.vii. Ναλύσετετηνανίσωσηf(x2-2)+f(x)>f(5x-6).viii. Ανf(x)<0γιακάθεx>1,

α.Ναδείξετεότιηfείναιγνησίωςφθίνουσα.β.Nαλύσετετηνανίσωσηf(x)+f(x2+3)>f(x2+1)+f(x+1)



2.Έστωσυνάρτησηf: R R γιατηνοποίαισχύειότι:f(x+y)=f(x)+f(y)γιακάθεx,yεR.iii. Νααποδείξετεότιf(0)=0iv. Nαδείξετεότιηfείναιπεριττήv. Ανf(x)>0γιακάθεx<0ναδείξετεότιηfείναιγνησίωςφθίνουσα.vi. Ανηεξίσωσηf(x)=0έχειμοναδικήρίζα,ναλύσετετηνανίσωση:

3 31 1 ( 1)xf x e f x f x

3. Δίνεται η συνάρτηση f: (0, ) R , γνησίως αύξουσα για την οποία

f(1)=0.Ναλύσετετηνεξίσωση 2017 3f (x) f (x ) f (x ) .

4.Δίνεταιησυνάρτησηf(t)=tx,μεt>0.Nαλυθείηεξίσωσηf(3)+f(4)<f(5)...Ευχαριστούμε θερμά το φίλο και συγγραφέα Στέλιο Μιχαήλογλου, ο οποίος με τις εύστοχες παρατηρήσεις, αλλά και τις διορθώσεις του, συντέλεσε στην ολοκλήρωση του παρόντος άρθρου.

ΑΘΗΝΑ ΣΕΠΤΕΜΒΡΗΣ 2016

4117 6758επιλυση εξισωσεων και ανισωσεων συναρτησιακων...

Education