4.3.türev ile ilgili teoremler
TRANSCRIPT
198
4.3. Türev ile İlgili Teoremler
Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken
kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz.
4.3.1.Teorem ],[ ba kapalı aralığından IR içine bir f fonksiyonu [,] ba açık aralığındaki
bir c noktasında sıfırdan farklı bir türeve sahipse her [,] ¶+¶-Î ccx içincx
cfxf-- )()(
ile
f’(c) aynı işarette olacak biçimde ],[ ba aralığının kapsadığı bir [,] ¶+¶- cc aralığı vardır.İspat. Önce f’(c) >0 kabul edelim. f fonksiyonu c noktasında türevlenebilir olduğundan her Î
pozitif sayısı için ¶<- cx olduğunda <Î--- )(')()( cf
cxcfxf
olacak şekilde Î sayısına
bağlı bir d pozitif sayısı vardır. Özel olarak, )('21 cfÎ= pozitif sayısı için de ¶<- cx
olduğunda <Î--- )(')()( cf
cxcfxf
olacak şekilde )('21 cf sayısına bağlı bir ¶ pozitif sayısı vardır. Buna göre ¶<- cx olduğunda
)('21)(')()()('
21)(' cfcf
cxcfxfcfcf +<
--
<- olur. Buradan ¶<- cx olduğunda
)('23)()()('
21 cf
cxcfxfcf <
--
< olur. O halde [,] dd +-Î ccx ve [,] baxÎ olduğunda
0)()(>
--
cxcfxf
elde edilir.. Burada [,] dd +- cc aralığı ],[ ba aralığının alt kümesi olacak
şekilde bir d nın seçilebileceği de görülmektedir. Böylece ispat tamamlanmış olur. (Burada
},,min{1 cbac --= dd olarak alınabilir.)
4.3.2.Teorem ],[ ba den reel sayılar kümesi içine bir f fonksiyonu [,] ba nin bir c
noktasında türevlenebir olsun. Bu takdirde eğer 0)(' >cf ise c nin öyle bir [,] dd +- cc
komşuluğu vardır ki bu komşulukta f fonsiyonu artandır.
İspat. 0)(' >cf olduğunu kabul edelim. Teorem 4.3.1 den dolayı c noktasının bir d
komşuluğundaki bütün x ler için
0)()(>
--
cxcfxf
olur. Buna göre cx > olduğunda )()( cfxf > olur ve cx < olduğunda )()( cfxf <
olur. Bu da f fonksiyonunun bu [,] dd +- cc komşuluğunda artan olduğunu verir. Böylece
teoremin ispatı tamamlanmış olur.
MatematikNet.Com
199
4.3.3.Teorem ],[ ba den reel sayılar kümesi içine bir f fonksiyonu [,] ba nin bir c
noktasında türevlenebir olsun. Bu takdirde eğer 0)(' <cf ise c nin öyle bir [,] dd +- cc
komşuluğu vardır ki bu komşulukta f fonsiyonu azalandır.
İspat.
0)(' <cf olduğunu kabul edelim. Teorem 4.3.1 den dolayı c noktasının bir d komşuluğundaki
bütün x ler için
0)()(<
--
cxcfxf
olur. Buna göre cx > olduğunda )()( cfxf < olur ve cx < olduğunda )()( cfxf >
olur. Bu da f fonksiyonunun bu [,] dd +- cc komşuluğunda azalan olduğunu verir. Böylece
teoremin ispatı tamamlanmış olur.
4.3.4.Teorem (Fermat Teoremi). Kapalı bir [a,b] aralığından IR ye bir f
fonksiyonunun ]a,b[ açık aralığının bir c noktasında bir yerel maksimumu ya da yerel
minimumu varsa ve f fonksiyonu c noktasında türevlenebiliyorsa 0)(' =cf dır.
İspat. f fonksiyonunun c noktasında bir yerel maksimumunun olduğunu kabul edelim. Bu
takdirde her [,] dd +-Î ccx için )()( cfxf £ olacak şekilde bir d pozitif sayısı
vardır. d<h özelliğini sağlayan her h sayısı için )()( cfhcf £+ ve dolayısıyla
0)()( £-+ cfhcf dır. Pozitif h lar için
0)()(£
-+h
cfhcf
dır ve negatif h lar için
0)()(³
-+h
cfhcf
dir. Buradan
0)()(lim)( 0' ³
-+= -®- h
cfhcfcf h
ve
0)()(lim)( 0' £
-+= +®+ h
cfhcfcf h
bulunur. f fonksiyonunun c noktasında türevi var olduğundan dolayı soldan türevi ve
sağdan türevi vardır ve biribirine eşittir. Dolayısıyla 0)()(' ' ³= - cfcf ve
0)()(' ' £= + cfcf dır. Buradan 0)(' =cf elde edilir.
Şimdi de f fonksiyonunun c noktasında bir yerel minimumunun olduğunu kabul
edelim. Bu takdirde her [,] dd +-Î ccx için )()( cfxf ³ olacak şekilde bir d
200
pozitif sayısı vardır. d<h özelliğini sağlayan her h sayısı için )()( cfhcf ³+ ve
dolayısıyla 0)()( ³-+ cfhcf dır. Pozitif h lar için
0)()(³
-+h
cfhcf
dır ve negatif h lar için
0)()(£
-+h
cfhcf
dir. Buradan
0)()(lim)( 0' £
-+= -®- h
cfhcfcf h
ve
0)()(lim)( 0' ³
-+= +®+ h
cfhcfcf h
bulunur. f fonksiyonunun c noktasında türevi var olduğundan dolayı soldan türevi ve
sağdan türevi vardır ve biribirine eşittir. Dolayısıyla 0)()(' ' £= - cfcf ve
0)()(' ' ³= + cfcf dır. Buradan 0)(' =cf elde edilir.
Böylece teoremin ispatı tamamlanmış olur.
Bu teoremin karşıtı her zaman doğru olmak zorunda değildir. Diğer bir deyişle, bir f
fonksiyonunun bir c noktasında türevinin sıfır olması o c noktasında bir yerel maksimum
ya da bir yerel minimumunun olmasını gerektirmez. Bunu aşağıdaki örnekte görüyoruz.
Örnek. 3)( xxf = şeklinde verilen fonksiyonun 0 noktasında türevi 0 dır ancak 0
noktasında bu fonksiyonun ne yerel maksimumu ne de yerel minimumu vardır.
4.3.5.Tanım. Reel sayılar kümesinin bir alt kümesinden reel sayılar kümesi içine bir f
fonksiyonu verilsin. Eğer 0)(' =cf oluyorsa c ye f fonksiyonunun bir kritik noktası
denir. Buna göre 0)(' =xf eşitliğini sağlayan x ler f fonksiyonunun kritik noktaları
olacaktır.
Örnek. IRf ®[5,0:] , xxxf -= 2
21)( fonksiyonunun kritik noktalarını bulalım.
1)(' -= xxf olduğundan dolayı 0)(' =xf ise 1=x dir. .1=x noktası bir kritik
noktadır.
4.3.6. Teorem (İkinci türev testi). f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli ve
[,] ba açık aralığında türevlenebilir olsun ve c noktası f fonksiyonunun bir kritik noktası
olsun ve )('' cf türevi var olsun ve sıfırdan farklı olsun. Bu takdirde eğer 0)('' >cf
ise c de bir yerel minimum vardır ve eğer 0)('' <cf ise c de bir yerel maksimum
vardır.
201
İspat. f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli ve [,] ba açık aralığında
türevlenebilir olsun ve c noktası f fonksiyonunun bir kritik noktası olsun ve )('' cf
türevi var olsun ve 0)('' >cf bulunsun. )()(' xgxf = yazalım. Kabulümüzden
0)(' >cg dır. Teorem 4.3.2 den dolayı [,] dd +- cc komşuluğunda g fonksiyonu
artan olacak şekilde pozitif bir d sayısı vardır. Buna göre her [,] ccx d-Î için
)()( cgxg < ve her [,] d+Î ccx için )()( xgcg < dir. 0)(')( == cfcg
olduğundan dolayı her [,] ccx d-Î için 0)( <xg ve her [,] d+Î ccx için
)(0 xg< dir. )(')( xfxg = olduğundan dolayı [,] ccx d-Î için 0)(' <xf ve
her [,] d+Î ccx için )('0 xf< dir. Dolayısıyla f fonksiyonu [,] cc d-
aralığında azalan ve [,] d+cc aralığında artandır. O halde f fonksiyonunun c
noktasında bir yerel minimumu vardır.
Şimdi de ],[ ba kapalı aralığında sürekli ve [,] ba açık aralığında türevlenebilir olan
ve c noktası da kritik noktası olan ve )('' cf türevi var olan f fonksiyonunun c de
ikinci türevi negatif bulunsun yani 0)('' <cf bulunsun. )()(' xgxf = yazalım.
Kabulümüzden dolayı 0)(' <cg dır. Teorem 4.3.3 den dolayı [,] dd +- cc
komşuluğunda g fonksiyonu azalan olacak şekilde pozitif bir d sayısı vardır. Buna göre
her [,] ccx d-Î için )()( xgcg < ve her [,] d+Î ccx için )()( cgxg < dir.
Kabulümüzden 0)(')( == cfcg olduğundan dolayı her [,] ccx d-Î için 0)( >xg
ve her [,] d+Î ccx için 0)( <xg dir. )(')( xfxg = olduğundan dolayı
[,] ccx d-Î için 0)(' >xf ve her [,] d+Î ccx için 0)(' <xf dir. Dolayısıyla
f fonksiyonu [,] cc d- aralığında artan ve [,] d+cc aralığında azalandır. O halde
f fonksiyonunun c noktasında bir yerel maksimumu vardır.Bu da teoremin ispatını
tamamlar.
Örnek 1 xxxf -= 2)( fonksiyonunun kritik noktalarını bulunuz varsa yerel maksimum
ve yerel minimum değerlerini bulunuz.
Örnek 2. xxxf -=3
)(3
fonksiyonunun kritik noktalarını bulunuz varsa yerel
maksimum ve yerel minimum değerlerini bulunuz.
Aşağıda ikinci türev testinin genelleştirmesini ispatsız olarak veriyoruz.
4.3.7. Teorem (n inci türev testi). f fonksiyonunun [,] ba açık aralı- ğında n inci
türevi var ve bu ninci türev ],[ ba kapalı aralığında sürekli ve
0)(...)('')(' )1( ==== - cfcfcf n ve 0)()( =cf n olsun. Bu takdirde
202
(i) Eğer n çift ve 0)()( >cf n oluyorsa c de bir yerel minimum vardır.
(ii) Eğer n çift ve 0)()( <cf n oluyorsa c de bir yerel maksimum vardır.
(iii) Eğer n tek ise c de ne yerel maksimum ne de yerel minimum vardır.
4.3.8.Teorem (Rolle Teoremi). Eğer bir f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli,
[,] ba açık aralığında türevlenebilirse ve )()( bfaf = oluyorsa bu takdirde
0)(' =cf olacak şekilde bir [,] bacÎ vardır.
İspat. f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli olduğundan en büyük değerini
ve en küçük değerini alır. )()(min 1],[ xfmxfbax ==Î ve
)()(max 2],[ xfMxfbax ==Î olacak şekilde b][a, x, 21 Îx elemanları vardır. Eğer
mM = ise her ],[ baxÎ için Mxfm ££ )( eşitsizliğinden f fonksiyonunun
sabit bir fonksiyon olduğu elde edilir ki bu durumda sabit fonksiyonun türevi 0 olduğundan
dolayı 0)(' =xf olur ki c olarak aralıkda hangi noktayı alırsak alalım 0)(' =cf olur.
Mm ¹ durumunu inceleyelim. Bu durumda Mm < olacaktır. )()( bfaf =
olduğundan fonksiyon m ile M den en az birini aralığın uç noktalarında almaz, yani,
aralığın içinde alır. Kabul edelim ki m değerini aralığın içinde alsın. Ara değer teoremini
kullanırsak, 0)(' 1 =xf olur. Eğer M değerini aralığın içinde alırsa yine ara değer
teoremini kullanırsak, 0)(' 2 =xf olacakdır. Bu da teoremin ispatını tamamlar.
4.3.9.Sonuç. Eğer bir f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli, [,] ba açık
aralığında türevlenebilirse bu takdirde 0)( =xf eşitliğini sağlayan iki farklı 1x ve 2x
değerleri arasında f in türevini sıfır yapan bir değer vardır, yani 0)(' =cf olacak
şekilde 21 xcx << özelliğini sağlayan bir c sayısı vardır.
İspat. Rolle teoreminde 1xa = , 2xb = ve 0)()( == bfaf alınırsa ispat hemen
görülür.
Örnek
4.3.10.Teorem (Diferensiyel Hesabın Ortalama Değer Teoremi). Eğer bir f
fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli, [,] ba açık aralığında türevlenebilirse bu
takdirde )(')()( cfab
afbf=
--
olacak şekilde en az bir [,] bacÎ vardır.
İspat. Her ],[ baxÎ için
)]()([)()()( afbfabxbxfbfxG -
--
--=
fonksiyonunu tanımlayalım. 0)()( == aGbG dır ve G fonksiyonu ],[ ba kapalı
aralığında sürekli ve [,] ba açık aralığında türevlenebilirdir. Rolle teoreminden dolayı
203
0)(' =cG olacak şekilde bir [,] bacÎ vardır.
)]()([1)(')(' afbfab
xfxG --
+-=
olduğundan dolayı
0)]()([1)(' =--
+- afbfab
cf
ve dolayısıyla
)]()([1)(' afbfab
cf --
=
olacak şekilde bir [,] bacÎ bulunmuş olur. Bu da teoremin ispatını tamamlar.
a ile b arasındaki her bir c sayısı 10 <<q eşitsizliğini sağlayan bir sayı q
olmak üzere )( abac -+= q şeklinde yazılabileceğinden dolayı ortalama değer
teoremini aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:
f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli, [,] ba açık aralığında
türevlenebilirse bu takdirde ))((')()( abafab
afbf-+=
-- q olacak şekilde en az bir
[1,0]Îq sayısı vardır.
Örnek. IRf ®]5,2[: fonksiyonu 3)( xxf = olarak verildiğine göre bu fonksiyonun
ortalama değerini bulunuz.
Çözüm. 393
1173
81253
2525
)2()5()()()('33
==-
=-
=--
=--
=ff
abafbfcf olur. O
halde f fonksiyonunun ortalama değeri 39 dır. 23)(' xxf = olduğundan dolayı
31173 2 =c den 1179 2 =c ve buradan da 132 =c ve bundan da ortalama değer
teoremindeki c sayısı olarak 13=c bulunur
4.3.11.Sonuç Eğer her ],[ baxÎ için 0)(' =xf ise f fonksiyonu sabit
fonksiyondur.
İspat. bxxa £<£ 21 özelliğini sağlayan herhangi iki 1x ve 2x sayılarını alalım.
Diferensiyel hesabın ortalama değer teoreminden,
)(')()(
12
12 cfxx
xfxf=
--
olacak şekilde bir [,] 21 xxcÎ vardır. 0)(' =cf olduğundan
dolayı 0)()(
12
12 =--
xxxfxf
bulunur. Buradan 0)()( 21 =- xfxf ve dolayısıyla
)()( 21 xfxf = bulunur. bxxa £<£ 21 özelliğini sağlayan her 1x ve 2x sayıları için
204
)()( 21 xfxf = bulunduğundan f fonksiyonunun sabit fonksiyon olduğu elde edilir. Bu
da sonucun ispatını tamamlar.
4.3.12.Sonuç. Eğer bir f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli, [,] ba açık
aralığında türevlenebilirse ve her [,] baxÎ için 0)(' >xf oluyorsa bu takdirde f
fonksiyonu ],[ ba aralığında kesin olarak monoton artandır.
İspat. bxxa £<£ 21 özelliğini sağlayan herhangi iki 1x ve 2x sayılarını alalım.
Diferensiyel hesabın ortalama değer teoreminden,
)(')()(
12
12 cfxx
xfxf=
--
olacak şekilde bir [,] 21 xxcÎ vardır. 0)(' >cf olduğundan
dolayı 0)()(
12
12 >--
xxxfxf
bulunur. Buradan 0)()( 12 >- xfxf ve dolayısıyla
)()( 21 xfxf < bulunur. bxxa £<£ 21 özelliğini sağlayan her 1x ve 2x sayıları için
)()( 21 xfxf < bulunduğundan f fonksiyonunun kesin olarak monoton artan fonksiyon
olduğu elde edilir. Bu da sonucun ispatını tamamlar.
4.3.13.Sonuç. Eğer bir f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli, [,] ba açık
aralığında türevlenebilirse ve her [,] baxÎ için 0)(' <xf oluyorsa bu takdirde f
fonksiyonu ],[ ba aralığında kesin olarak monoton azalandır.
İspat. bxxa £<£ 21 özelliğini sağlayan herhangi iki 1x ve 2x sayılarını alalım.
Diferensiyel hesabın ortalama değer teoreminden,
)(')()(
12
12 cfxx
xfxf=
--
olacak şekilde bir [,] 21 xxcÎ vardır. 0)(' <cf olduğundan
dolayı 0)()(
12
12 <--
xxxfxf
bulunur. Buradan 0)()( 12 <- xfxf ve dolayısıyla
)()( 12 xfxf < bulunur. bxxa £<£ 21 özelliğini sağlayan her 1x ve 2x sayıları için
)()( 21 xfxf > bulunduğundan f fonksiyonunun kesin olarak monoton azalan fonksiyon
olduğu elde edilir. Bu da sonucun ispatını tamamlar.
4.3.14.Teorem (Genelleştirilmiş Ortalama Değer Teoremi). Eğer f ve
g fonksiyonları ],[ ba kapalı aralığında sürekli, [,] ba açık aralığında türevlenebilirse bu
takdirde)(')('
)()()()(
cgcf
agbgafbf
=--
olacak şekilde en az bir [,] bacÎ vardır.
İspat. Her ],[ baxÎ için
)]()([)()()()()()()( xgbg
agbgafbfxfbfxG -
--
--=
205
fonksiyonunu tanımlayalım. 0)()( == aGbG dır ve G fonksiyonu ],[ ba kapalı
aralığında sürekli ve [,] ba açık aralığında türevlenebilirdir. Rolle teoreminden dolayı
0)(' =cG olacak şekilde bir [,] bacÎ vardır.
)(')()()()()(')(' xg
agbgafbfxfxG
--
+-=
olduğundan dolayı
)(')()()()()(')(' cg
agbgafbfcfcG
--
+-=
ve dolayısıyla
)()()()(
)(')('
agbgafbf
cgcf
--
=
olacak şekilde bir [,] bacÎ bulunmuş olur. Bu da teoremin ispatını tamamlar.
a ile b arasındaki her bir c sayısı 10 <<q eşitsizliğini sağlayan bir sayı q
olmak üzere )( abac -+= q şeklinde yazılabileceğinden dolayı genelleştirilmiş
ortalama değer teoremini aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:
f fonksiyonu ],[ ba kapalı aralığında sürekli, [,] ba açık aralığında
türevlenebilirse bu takdirde))(('))(('
)()()()(
abagabaf
agbgafbf
-+-+
=--
olacak şekilde en az bir
[1,0]Îq sayısı vardır.
MatematikNet.Com