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3 EL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR DE LOS LOGARITMOS EN LIBROS DE TEXTO Apolo Castañeda, Alejandro Rosas y Gabriel Molina Zavaleta Programa de Matemática Educativa del Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del Instituto Politécnico Nacional. CICATA-IPN. (México) [email protected] , [email protected] , [email protected] RESUMEN En este artículo se utiliza la noción teórica del discurso matemático escolar para analizar el tema del logaritmo en cinco obras de texto, con la finalidad de identificar los rasgos de tipo conceptual, de enfoque didáctico o referidos a la organización del saber que son comunes en las obras escolares y que han configurado un discurso oficial para la clase de matemáticas a partir del cual se escriben nuevas obras, se organizan lecciones de clase, etcétera. Esta investigación ofrece una caracterización del manejo escolar del logaritmo, mostrando el sentido de las definiciones, actividades, así como los usos y aplicaciones que los autores establecen. Palabras Clave: discurso matemático escolar, logaritmo, libro de texto ANTECEDENTES El trabajo de Ferrari y Farfán (2001) documenta la existencia de una dislexia entre la presentación escolar de los logaritmos como facilitadores de operaciones y su estudio como función, este fenómeno ocurre debido al salto conceptual entre el manejo de los logaritmos como una potente herramienta facilitadora de operaciones (acercamiento numérico) y su posterior aparición como una función definida mediante la integración de la hipérbola equilátera. A partir de estas evidencias y con base en los reportes de Sierpinska y de Trujillo que son citados en el trabajo de Ferrari y Farfán, se argumenta que es pertinente explorar su origen y desarrollo, así como recabar información de significados que se han perdido en un intento de proporcionar elementos para introducirla y desarrollarla en el aula de forma más accesible para los alumnos y profesores (Ferrari y Farfán, 2001, pág 265). En su investigación, Ferrari y Farfán analizaron libros antiguos originales, libros de historia así como libros de texto a fin de conocer cómo vivieron y viven los logaritmos en el discurso matemático escolar (Ferrari y Farfán, 2001, p.250). Otros trabajos como el de Berezovski (2006) sostiene que en el actual currículo, el logartimo es introducido y definido como un exponente, sin embargo, históricamente el desarrollo del logaritmo fue completamente independiente al de los exponentes.

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    EL DISCURSO MATEMTICO ESCOLAR DE LOS LOGARITMOS EN LIBROS DE TEXTO

    Apolo Castaeda, Alejandro Rosas y Gabriel Molina Zavaleta

    Programa de Matemtica Educativa del Centro de Investigacin en Ciencia Aplicada y Tecnologa Avanzada del Instituto Politcnico Nacional. CICATA-IPN. (Mxico)

    [email protected] , [email protected] , [email protected]

    RESUMEN En este artculo se utiliza la nocin terica del discurso matemtico escolar para analizar el tema del logaritmo en cinco obras de texto, con la finalidad de identificar los rasgos de tipo conceptual, de enfoque didctico o referidos a la organizacin del saber que son comunes en las obras escolares y que han configurado un discurso oficial para la clase de matemticas a partir del cual se escriben nuevas obras, se organizan lecciones de clase, etctera. Esta investigacin ofrece una caracterizacin del manejo escolar del logaritmo, mostrando el sentido de las definiciones, actividades, as como los usos y aplicaciones que los autores establecen. Palabras Clave: discurso matemtico escolar, logaritmo, libro de texto ANTECEDENTES El trabajo de Ferrari y Farfn (2001) documenta la existencia de una dislexia entre la presentacin escolar de los logaritmos como facilitadores de operaciones y su estudio como funcin, este fenmeno ocurre debido al salto conceptual entre el manejo de los logaritmos como una potente herramienta facilitadora de operaciones (acercamiento numrico) y su posterior aparicin como una funcin definida mediante la integracin de la hiprbola equiltera. A partir de estas evidencias y con base en los reportes de Sierpinska y de Trujillo que son citados en el trabajo de Ferrari y Farfn, se argumenta que es pertinente explorar su origen y desarrollo, as como recabar informacin de significados que se han perdido en un intento de proporcionar elementos para introducirla y desarrollarla en el aula de forma ms accesible para los alumnos y profesores (Ferrari y Farfn, 2001, pg 265). En su investigacin, Ferrari y Farfn analizaron libros antiguos originales, libros de historia as como libros de texto a fin de conocer cmo vivieron y viven los logaritmos en el discurso matemtico escolar (Ferrari y Farfn, 2001, p.250). Otros trabajos como el de Berezovski (2006) sostiene que en el actual currculo, el logartimo es introducido y definido como un exponente, sin embargo, histricamente el desarrollo del logaritmo fue completamente independiente al de los exponentes.

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    Los hallazgos en el plano epistemolgico, sustentan la posibilidad de reformular la estructura actual del discurso escolar del logaritmo, entre otras; debatir la manera en que se introduce en la escuela, el tipo y caractersticas de las actividades, las apliaciones, etctera. A esta forma de intervencin en la estructura y forma de la matemtica escolar se le denomina reconstruccin del discurso (Cordero, 2006) y es precsamente uno de las contribuciones de los estudios epistemolgicos. No obstante, el propsito de nuestro estudio es profundizar en el anlisis de la actual del discurso escolar del logaritmo, en particular, en los libros de texto, ya que estas obras son empleadas como referencia para el desarrollo de la clase. Esta delimitacin excluye la indagacin histrico-epistemolgica y el estudio de las dificultades en su aprendizaje, aunque no negamos la estrecha relacin que guardan. Pero consideramos necesario conocer con mayor detalle la manera en que los libros escolares tratan el tema ya que usualmente los textos escolares cumplen, entre otras funciones, la de ser fuente de consulta, tambin suelen servir de referencia para la creacin de programas de estudio, en la estructuracin de cursos, seminarios, o en situaciones especficas como en la preparacin de clases, elaboracin de problemarios, guas de estudio, exmenes. Esta notable influencia del libro en la clase de matemticas, ha motivado el desarrollo de investigaciones que estudian la estructura y funcionamiento de la matemtica escolar, analizando el actual discurso matemtico escolar y posteriormente ofrecer evidencias sobre su funcionamiento, lo que permite eventualmente proponer modificaciones al sistema escolar, a travs de nuevos enfoques didcticos, epistemolgicos, tanto en los libros de texto como en los programas de estudio, incluso en las polticas educativas. Para realizar este tipo de estudios nos apoyamos en la investigacin epistemolgica, la cual no se refiere exclusivamente al estudio histrico, postulamos un anlisis de la matemtica escolar en las obras impresas estudiando la forma en que el autor aborda o trata la matemtica, el sentido de los argumentos el tipo de actividades o situaciones que propone, el tipo de explicaciones, ejemplos o problemas asociados. Esta informacin nos permitir adquirir ms argumentos para debatir la actual visin del dicurso matemtico escolar y eventualmente proponer reformulaciones o reorganizaciones al tema del logaritmo. PROBLEMA DE INVESTIGACIN Mostrar el tratamiento epistemolgico y didctico del tema de logaritmo en cinco de libros de texto usados frecuentemente en el nivel medio superior y superior en el Instituto Politcnico Nacional en Mxico,1 a fin de mostrar la estructura y organizacin que establece el autor y por otra parte, mostrar el manejo de las definiciones, argumentos, enfoques, el tipo de actividades y los usos que le da. Este anlisis aportar una caracterizacin sobre el manejo escolar del logaritmo permitiendo eventualmente modificaciones en cuanto a su actual tratamiento didctico.

    1 ver referencia acerca del IPN en http://es.wikipedia.org/wiki/IPN

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    MARCO TERICO Y METODOLGICO El discurso matemtico escolar es una nocin terica que se refiere a la manera en cmo se interpreta, usa y se comparte en situacin escolar aquella matemtica que la definimos como escolar. Este discurso no se formula de manera arbitraria, sino a partir de consensos que se realizan en la noosfera (Marcolini y Perales, 2005). En ella, las opiniones de profesores, padres de familia, acadmicos, polticos, autores de libros de texto en relacin a qu objetos escolares deben aprenderse en la escuela estn modeladas por diversos factores tales como la incorporacin de tecnologas a la clase de matemticas, las posturas personales o institucionales de lo que significa aprender matemticas, la orientacin curricular, etctera. El discurso matemtico escolar refleja una ideologa sobre la forma de presentar y tratar (didcticamente) los objetos matemticos en clase y a la larga se convierte en un conjunto de restricciones, implcitas o explcitas, que norman la actividad ulica y al discurso escolar2 mismo (Montiel, 2005). El propsito del anlisis del discurso matemtico escolar en los libros de texto es identificar los rasgos de tipo conceptual, de enfoque didctico o referidos a la organizacin del saber que son comunes en las obras escolares y que han configurado un discurso oficial para la clase de matemticas a partir del cual se escriben nuevas obras, se organizan lecciones de clase e incluso se desarrollan programas de estudio. Daz y Morales (2005) advierten que la forma en que los libros de texto reflejan determinados aspectos de los conceptos puede influir en lo que los alumnos aprenden, debido a que el libro de texto cumple, entre otras funciones, la de ser fuente de consulta del saber designado para estudiarse en clase (Castaeda, 2006) no slo a objetos matemticos en cuestin; tales como teoremas, definiciones, demostraciones, sino que tambin para consultar rutinas algortmicas, tcnicas especiales e incluso recursos nemotcnicos (Carrillo, 2006). Brousseau, (1987), explica que en los libros de texto, el saber se justifica a travs de una gnesis ficticia a consecuencia de que la matemtica de origen se ha constituido socialmente en mbitos no escolares, as que su introduccin a los sistemas de enseanza obliga a una serie de modificaciones que afectan directamente su estructura y su funcionamiento, en este proceso el saber se le desasocia de las problemticas originales y situaciones que le daban sentido y razn de ser. Como resultado se configura un nuevo saber, desprendido de sus orgenes y queda usualmente reducido a definiciones, teoremas y aplicaciones que lo presentan como un saber refinadamente construido, sin permitir recrear algunos de los conflictos, conjeturas e interpretaciones originales que le dieron sus primeros significados. A partir del planteamiento de Chevallard en relacin al fenmeno de la Transposicin Didctica, se han desarrollado estudios de corte histrico-epistemolgico para conocer el origen de los objetos matemticos as como para explicar las condiciones en que acontece la incorporacin del saber erudito al mbito escolar. Otro tipo de estudios, como el que ahora presentamos, analiza el

    2 Montiel (2005) explica que el discurso escolar es el conjunto de interacciones entre profesor y estudiantes, dirigidas por la exposicin coherente de los saberes escolares.

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    manejo conceptual del tema del logaritmo en los libros de texto, asumiendo que se refiere a un estudio epistemolgico pues se aborda un discusin sobre los significados que se le atribuyen al logaritmo, sus usos, el tipo de aplicaciones y en, general, el significado que se quiere construir en clase. Para llevar a cabo este estudio, empleamos la nocin terica de discurso matemtico escolar, para referirnos al cuerpo de conocimientos definido por la noosfera como el vlido para estudiarse en la escuela. Este discurso se haya presente en los libros de texto, en las creencias y paradigmas del profesor, en las declaraciones sobre la enseanza dentro de los programas de estudio, en las opiniones de los expertos sobre cmo orientar la enseanza, etctera. En particular nuestro trabajo se aboca al estudio del discurso matemtico escolar en los libros de texto, el cual considera tres componentes fundamentales (Castaeda, 2006); la didctica, la epistemolgica y el anlisis del discurso. En la parte epistemolgica, se analiza y se buscan explicaciones de la naturaleza del saber, sus usos, la naturaleza de las definiciones as como el tipo de argumentos que el autor utiliza. La parte didctica se centra en identificar las formas, procedimientos, estrategias por los que se transmite el saber, por ejemplo el tipo de recursos grficos y explicativos que el autor utiliza, el enfoque o paradigma de aprendizaje, la naturaleza de los ejemplos y problemas que plantea. Finalmente la referida al anlisis del discurso, que se relaciona con el anlisis de la organizacin y representacin del saber en los libros de texto (Zalda, 2007). En una primera fase de anlisis se estudia la estructura del texto especficamente en las relaciones semnticas y funcionales entre las frases, es decir, la organizacin y distribucin del saber en el texto (Dijk, l992). En la segunda fase se analizan las funciones del texto as como la forma en que se representa o reconstruye el saber en la obra de texto. (Dijk, 2002). Para esta investigacin consideramos dos ejes de anlisis, el primero corresponde a las caractersticas de formato del libro as como su estructuracin. El otro referido al contenido y su organizacin: estructura de la leccin o apartado; en el que se analizan las componentes de la leccin. Identificacin de los contendios, en el que se analiza la organizacin de los contenidos asi como su presentacin. Identificacion de secciones o apartados. Caractersticas de la definicin incluyendo las formas de argumentacin y enfoque. En relacin al contenido, se analizan las propiedades de los logaritmos, la justificacin de las propiedades, el tipo de ejercicios y actividades, las aplicaciones y ejemplos y finalmente la forma de institucionalizar el saber. Consideramos para nuestro estudio seis libros de texto editados en diferentes pocas y de diferentes pases. Dolores (2007) explica que un criterio til para definir la muestra representativa de obras de texto para su anlisis es la frecuencia de uso en los sistemas escolares, particularmente para nuestro estudio se eligieron los libros ms citados en los programas de estudio de las carreras de nivel medio superior y superior en el Instituto Politcnico Naciona y la seleccin se complement con una breve revisin documental de aquellas obras cuyo impacto y amplia difusin fue notable en los crculos acadmicos de diferentes pocas.

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    Autor Ttulo Editorial Pas Ao

    Goulard, H. Guide du Gomtre pour les oprations darpentaje Francia 1849 Bromwich, T. J. An introduction to the teory of infinite series. Macmillan & Co. LTD. Inglaterra 1955 Thomson, J. E. lgebra Uteha Mxico 1968 Thomas, J. R. Clculo infinitesimal y geometra analtica. Aguilar Espaa 1980 Sullivan, M. Preclculo Prentice Hall Mxico 1997 RESULTADOS Y DISCUSIN En el anlisis de las obras de texto se origin una aparente contradiccin; los libros provienen de diferentes momentos histricos y por lo tanto escritos en circunstancias y condiciones especficas en el tiempo. Al someterlos a una revisin a travs de una metodologa que no reconoce estas condiciones sera evidente observar la existencia de diferencias en cuanto al tratamiento, manejo conceptual y didctico. Sin embargo es importante advertir que no estamos comparando las obras, sino ms bien, proponemos caracterizar desde un plano epistemolgico el tratamiento matemtico. En este sentido, aunque las condiciones y circunstancias de cada poca si importan en la configuracin del libro de texto, nuestro propsito no es propiamente de carcter histrico-epistemolgico. Todos los libros analizados fueron escritos exprofeso para ser usados en los sistemas escolares, por lo que asumimos que los autores han ajustado la extesin y profundidad del tema para cubrir las necesidades del sistema escolar correspondiente de acuerdo al nivel al que estn dirigidos, esta es una variable en nuestro estudio pues determina las caractersticas de los ejercicios propuestos, los problemas o actividades y sobre el tipo de actividad matemtica que el alumno debe realizar. Por esta razn el anlisis de los libros inicia con una descripcin del nivel educativo al que probablemente estn dirigidos. La obra de Goulard, (1849) tienen una orientacin para el nivel medio, en la seccin dedicada al estudio de los logaritmos hace nfasis sobre clculos aritmticos de logaritmos y ofrece aplicacin prctica en problemas de conversin de unidades as como clculo de magnitudes. Esta seccin aparece antes del tema de trigonometra. El tema de logaritmos est ubicado en el captulo I donde se estudian las nociones preliminares. En la primera parte de esta seccin explica el uso de las tablas de logaritmos, en la segunda parte define al logaritmo, posteriormente explica la caracterstica de los logaritmos, expone tambin el uso de las tablas de logaritmos y finalmente explica varios casos de conversin de cantidades. La definicin de logaritmo se hace a partir de progresiones artimticas y geomtricas, de esta forma establece al logaritmo como una razn. Observamos una definicin que hace alusin a una forma de relacionar las progresiones.

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    (Goulard, 1849, pg. 1)

    (Goulard, 1849, pg. 1)

    Explica la propiedades de los logaritmos para los casos de suma, diferencia, potencia y divisin, donde sugiere que no se calculen directamente los logaritmos sino que se haga uso de descomposiciones a travs de las propiedades de suma y resta:

    (Goulard, 1849, pg. 1)

    Desde el punto de vista epistemolgico, la construccin del logaritmos inicia con una anlisis del comportamiento de progresiones geomtrica y aritmtica que conducen al manejo de exponentes (se pueden observar en la forma de relacionar las progresiones), se justifican propiedades operativas de los logaritmos, se explican las reglas de operacin y finalmente se justifica su utilidad para realizar conversiones y clculos diversos. La obra de Bromwich (1955) tiene una orientacin al nivel superior ya que su principal inters al abordar el tema de los logaritmos es ahondar en el estudio de la serie de potencia logartmica. Bromwich introduce al logaritmo cuando explica que dada la ecuacin polar (1) log r es el logaritmo del nmero real r

    (1) esto le permite encontrar la solucin para la ecuacin:

    (Bromwich, 1955, pg. 283)

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    As define la funcin logartmica como la inversa de la funcin exponencial.

    (Bromwich, 1955, pg. 283)

    Posteriormente aborda la serie de potencias logartmicas, donde conlcuye que:

    (Bromwich, 1955, pg. 284)

    Bromwich no utiliza sustancialmente las imgenes en sus explicaciones, nicamente cita el caso de representar la variable x de forma geomtrica en diagrama de Argand, justo para expresar una referencia a la ecuacin (1). Observamos que reiteradamente se establece la relacin entre la funcin logartmica y la funcin exponencial, particularmente cuando representa la serie de la funcin inversa de la funcin exponencial.

    (Bromwich, 1955, pg. 284)

    Posteriormente analiza las sucesiones con potencial logartmico y despus estudia las series de funciones inversas y termina con el uso de las series binomiales que involucran a la exponencial. Epistemolgicamente, la nocin de logaritmo se vincula con la exponencial a travs de transformaciones en series de potencia, el tratamiento didctico se basa en proporcionar ejercicios que se desprenden de las mismas deducciones que realiza, tal y como se puede observar en este pie de pgina.

    (Bromwich, 1955, pg. 284)

    El planteamiento de Bromwich no conduce a usos pragmticos de los logaritmos, tales como problemas o ejercicios complementarios. Aunque sin duda que sirve de antecedente para el estudio de las series binomiales.

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    En la obra de Thompson (1968) la seccin dedicada al estudio de los logaritmos comprende dos captulos de la obra; el capitulo XVI, donde se define el logaritmo de un nmero, el logaritmo de un producto, logaritmo de un cociente, logaritmo de una potencia, logaritmo de una raz, el paso de los logaritmos de una base a otra, adems de mostrar otras propiedades (logaritmos de nmeros especiales), y termina con ejercicios. En el siguiente capitulo XVII, se tratan los sistemas de logaritmos, los logaritmos vulgares, las tablas de logaritmos, el modo de usar la tabla, y finaliza con ejercicios. Este libro est dirigido a estudiantes que estn en un curso de lgebra bsico, es seguramente su primer encuentro con los logaritmos. Thompson presenta la definicin del logaritmo vinculado con la potencia.

    (Thompson, 1968, pg. 241-242)

    Despus muestra varios ejemplos en los que se explica la relacin entre la potencia y los logaritmos. Enseguida Thompson presenta las propiedades artimticas de los logaritmos; la del producto, la del del cociente, de una potencia, de una raz, para cada uno de estos casos las propiedades se argumentan a partir de los exponentes y se concluye con la explicacin de algunos casos donde se ilustra cada propiedad. Thompson pone especial inters en la conversin de los logaritmos de una base a otra. En esa seccin formula una definicin para realizar la conversin lo que ms adelante le permite proponer diversos ejercicios aritmticos.

    (Thompson, 1968, pg. 249-250)

    Para terminar este captulo, Thompson expone otras propiedades de los logaritmos. La primera de ellas es el caso que se deriva de la regla a 0 = 1, en la que concluye que log 1 = 0, la segunda explica los casos para log 0 y log ; su argumento parte al considerar valores crecientes de x para el cociente 1

    x;

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    (Thompson, 1968, pg. 249-250)

    En esta explicacin se puede operar al infinito como cualquier otro nmero, con lo que concluye que;

    (Thompson, 1968, pg. 250)

    Estas expresiones las usa para definir el dominio (en el campo de los reales) donde la operacin logaritmo tiene respuesta. As concluye es posible calcular el logaritmo de cualquier nmero positivo y excluye que a algn nmero negativo se le pueda calcular logaritmo. Finalmente, en esta seccin propone 10 ejercicios de diversos clculos aritmticos usando logaritmos. En el siguiente captulo llamado Sistemas y Tablas de Logaritmos Thompson inicia distiguiendo entre los logaritmos decimales y los logaritmos naturales e introduce una frmula (previamente discutida en el captulo anterior) para pasar de un sistema a otro. Despus analiza de forma inductiva el clculo de la caracterstica del logaritmo, a partir de tablas de potencia

    (Thompson, 1968, pg. 255-256) A partir de lo anterior el autor explica que son pocos los nmeros que tiene mantisa cero, de ah la necesidad de tener una tabla de mantisas para el clculo de logaritmos. En la parte final del captulo el autor hace una amplia explicacin sobre el uso de las tablas (mismas que se incluyen al final de la obra) para el clculo de logaritmos y de antilogaritmos. Para cerrar el captulo el autor propone una serie de ejercicios de clculos artimticos. Desde el punto de vista epistemolgico la construccin de la nocin de logaritmo se sustenta en los exponenciales y sus propiedades. El autor usa un lenguaje muy conciso que permite seguir las

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    argumentaciones de la relacin de los logaritmos y la potenciacin pues casi todo est justificado. El tipo de ejercicios que propone son de caracrter artimtico en los que se deben aplicar las tcnicas y propiedades discutidas. La obra de Thomas, (1980) est dirigida a estudiantes que cursan un nivel superior, el lector deber de tener conocimientos de clculo diferencial e integral, pues Thomas presenta la definicin de logaritmo como una integral definida, mostrando incluso la grfica del rea limitada.

    (Thomas, 1980, pg. 351)

    Esta definicin le permite realizar el clculo (el rea bajo la curva) para determinar el logaritmo natural de 1 y para explicar el comportamiento para los logaritmos de nmeros mayores que cero y menores que 1.

    (Thomas, 1980, pg. 351)

    Establece finalmente el dominio de integracin:

    (Thomas, 1980, pg. 351)

    Esta seccin se termina con ejercicios de clculo de reas. En la siguiente seccin llamada Derivada de ln x establece mediante el segundo teorema fundamental del clculo;

    y anlogamente que;

    (Thomas, 1980, pg. 353- 254) Thomas termina esta seccin proponiendo varios ejercicios de clculo de derivada e integral de logaritmo natural. En la siguiente parte, Thomas demuestra las siguientes propiedades del logaritmo natural;

    (Thomas, 1980, pg. 355)

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    las cuales se basan en que la funcin y = ln x satisface la ecuacin diferencial;

    (Thomas, 1980, pg. 356)

    El autor concluye esta seccin proponiendo diversos ejercicios para aplicar las propiedades descritas. En la siguiente parte Thomas analiza las caractersticas grficas de la ln x; de dominio, imagen, continuidad, crecimiento y derivabilidad. Destaca el anlisis del comportamiento grfico de la funcin y = ln x, en donde discute las condiciones de la grfica en el punto (1, 0) y se desprenden anlisis visuales sobre las magnitudes de las ordenadas; por ejemplo observar que 0.5 < ln 2 < 1 La incorporacin de anlisis grfico le permite destacar las propiedades grficas del logaritmo y abrir una discusin sobre las caractersticas de la grfica.

    Para cerrar esta seccin propone una serie de ejercicios asociados con el anlisis grfico del logaritmo y ejercicios de simplificacin de expresiones exponenciales, derivadas e integrales. La obra de Thomas se apoya en varios ejemplos y propone una abundante cantidad de ejercicios. El enfoque que utiliza es el analtico aunque emplea escasas representaciones grficas. Es notable que despus de cada seccin se presenta un resumen de las propiedades estudiadas. Desde el punto de vista epistemolgico, esta obra apoya la definicin de logaritmo mediante una integral definida, as, cuando calcula el rea bajo de la curva obtiene una aproximacin al valor del logaritmo, esta aproximacin le permite transitar al estudio de la funcin logaritmo y de su derivada. La obra de Sullivan (1997) est dirigido a estudiantes de un nivel medio superior. El autor inicia la seccin 4.2 a la que llama Funciones Logartmicas definiendo la funcin logaritmica como la inversa de la funcin exponencial. Posteriormente muestra varios casos donde analiza y explica la relacin entre los exponentes y logaritmos, as, en el ltimo de los ejemplos solicita determinar el

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    valor exacto para varios logaritmos del tipo: log2 8, para encontrar el valor transforma la expresin en su equivalente en forma de potencia.

    (Sullivan, 1997, pg. 276)

    Enseguida abre la discusin sobre el dominio de la funcin logartmica, donde tambin analiza el dominio de la funcin exponencial. Despus plantea varios ejercicios resueltos en los que se debe determinar el dominio de la funcin logaritmo. Despus Sullivan realiza un estudio detallado de las caractersticas de las grficas de las funciones logartmicas y de la exponencial. En este anlisis se describen caractersticas de las grficas; como crecimiento, comportamiento asinttico, interseccin con el eje x, continuidad. En esta seccin destaca una actividad con calculadora graficadora para visualizar el comportamiento grfico. En este caso el autor se limita a cuestionar al lector; Ve usted la simetra de las dos grficas con respecto de la recta y = x? En los ejemplos resueltos que siguen, aborda el anlisis de grficas de funciones logaritmicas mediante corrimientos, reflexiones y semejanzas; por ejemplo reflexiones respecto al eje x y al eje y, traslacin horizontal y vertical. Para terminar esta seccin Sullivan discute un problema resuelto (situado en un contexto real) apoyndose de manejo algebraico. Finalmente plantea una cantidad muy amplia de ejercicios; de clculo de logaritmos, identificacin de grficas, graficacin y problemas contextualizados. En la siguiente seccin define las propiedades de los logaritmos explicando algunos de sus rasgos (sin llegar a ser demostraciones formales). Posteriormente presenta ejemplos resueltos donde aplica las propiedades en la simplificacin de expresiones algebraicas. Aparece de forma notable la advertencia que hace a los estudiantes para no caer en el error de expresar el logaritmo de una suma como la suma de los logaritmos;

    (Sullivan, 1997, pg. 287)

    Una notable necesidad de asumir el papel de profesor a travs de su obra, para advertir a sus lectores sobre errores comunes. Para cerrar este apartado Sullivan plantea el uso de la calculadora para realizar actividades de cambio de base donde nuevamente se usan las propiedades que antes defini. En esta obra podemos observar que la construccin de la funcin logartmica se establece como inversa de la exponencial y no abandona esta relacin durante sus explicaciones. Por otro lado, la parte referida al anlisis grfico es amplio; hay un estudio de las propiedades de la curva, de su dominio y sus

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    comportamientos asintticos. Observamos que gran parte de los ejercicios estn orientados a la aplicacin de las propiedades de los logaritmos y simplificaciones de expresiones algebraicas. A continuacin presentamos un tabla que sistematiza nuestro anlisis.

    Obra Nociones Previas Caractersticas de la definicin Tipos de recursos Actividades

    Goulard Progresiones aritmticas y geomtricas.

    Establece la definicin a partir de relaciones entre progresiones aritmticas y geomtricas.

    Tablas de logaritmos. Conversiones de unidades. Clculo del logaritmo de un nmero.

    Bromwich

    Coordenadas polares, ecuaciones polares, razones trigonomtricas.

    Define la funcin logartmica como la nica inversa de la funcin exponencial.

    Diagrama de Argand. Ejercicio que se desprende de sus deducciones.

    Thompson Exponentes. Definicin vinculada a la potencia.

    Ejemplos comentados, explicaciones

    verbales.

    Ejemplos donde analiza la relacin entre la potencia y los logaritmos Ejercicios de cambio de base. Clculos aritmticos de logaritmos. Aplicacin de propiedades.

    Thomas

    Funciones, derivada, integral, integral definida, rea bajo la curva.

    Define la funcin logaritmo natural como el rea bajo la curva de una funcin.

    Problemas resueltos, grficas para mostrar rea, anlisis grfico

    de la funcin logaritmo.

    Ejercicios de clculo de reas, clculo de integrales, problemas relativos a anlisis grfico.

    Sullivan Funciones, exponentes.

    Se define la funcin logaritmo como inversa de la funcin exponencial.

    Ejemplos resueltos donde explica

    propiedades de los logaritmos, grficas sobre las que analiza

    propiedades de la curva.

    Clculo aritmtico de logaritmos, anlisis de grficas de logaritmos, problemas contextualizados a situaciones diversas.

    NOTAS FINALES Atendiendo a los dos ejes de anlisis; que corresponden a las caractersticas de la estructura de la obra y a la organizacin de contenidos, argumentos y enfoques, mostramos a continuacin evidencias que reflejan el tratamiento del logaritmo en los libros de texto. Hay que advertir que los libros analizados fueron editados en diferente poca esto se refleja en la forma en que articulan la seccin en la que se abordan los logaritmos. En el caso de la obra de Goulard observamos que el texto es descriptivo explicando ampliamente las caractersticas de los

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    logaritmos, en cambio Sullivan utiliza poco texto y agrega varios ejemplos donde se muestra la aplicacin de las propiedades. Identificamos que cada libro tiene un enfoque diferente acerca de lo que se debe saber acerca de los logaritmos, ya que existen diferentes variables en cuanto al contenido que aborda y la profundidad; particularmente el libro de Bromwich tiene un tratamiento matemtico en la que el lector requiere tener conocimientos de trigonometra, conocimiento de coordenadas polares y nociones de series, en cambio para estudiar logaritmos en la obra de Tompson se requiere conocer las propiedades de la potencia. Una coincidencia en las obras analizadas es el vnculo que establecen los autores del concepto de logaritmo con el de la potenciacin, esta asociacin se establece principalmente por dos formas; la primera al explicar el origen del logaritmo como inversa de la potencia; en la que usualmente se vinculan las propiedades de los logaritmos con los de la potencia. La segunda es a travs de grficas, en este caso las obras presentan anlisis de grficos de funciones trigonomtricas que conducen a identificar y caracterizar los rasgos de la curva, como crecimiento, simetra, dominio, etc. La funcin exponencial aparece en estas dicusiones como la contraparte de la funcin logaritmo. Identificamos que el nivel de profundidad y el enfoque no modifican el discurso matemtico escolar del logaritmo; pues en estos casos se admite y fortalece la relacin entre el logaritmo y la exponencial. Otro rasgo que comparten la mayora de las obras es la presentacin de las propiedades de los logaritmos y su aplicacin en ejercicios aritmricos y algebraicos. Por otra parte, slo las obras que tienen un tratamiento aritmtico de los logaritmos incluyen argumentaciones sobre el uso o el origen de las tablas de logaritmos y antilogaritmos, as como aplicaciones a clculos numricos y de magnitudes. Existe una necesidad de los autores por incluir diversos tipos de actividades complementarias a travs de ejercicios y problemas a fin de mostrar a los logaritmos como algo til. En cuanto a los ejercicios y actividades que proponen las obras, en general encontramos cuatro enfoques; ejercicios artimticos de clculo de logaritmo de un nmero, ejercicios de simplificacin algebraica, plateamientos de anlisis grfico y problemas de aplicacin, aunque la mayora de estos problemas son contextualizados de forma artificial. El libro de Bronwich no tiene propuestas explcitas de ejercicios o problemas; por su parte, el libro de Sullivan enfatiza ampliamente los estos apartados y propone un amplio nmero de ejercicios y problemas. En la obra de Goulard, el nfasis est en el dominio clculos aritmticos, en la obra de Bromwich todo el discurso apunta al dominio de la serie de potencia logartmica. La obra de Thompson tiene dos apartados, el primero es el uso de los logaritmos para hacer operaciones aritmticas y manejo de las propiedades de los logaritmos, el segundo, el dominio de la tabla de logaritmos. En la obra de Thomas el dominio de frmulas de derivacin e integracin, el conocimiento de la grfica del logaritmo y sus caractersticas y el dominio de las propiedades de los logaritmos para el clculo algebraico de expresiones. Finalmente en la obra de Sullivan el dominio de las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones aritmticas y algebraicas y dominio de las caractersticas de la grfica del logaritmo.

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    Nuestro anlisis tambin consider una revisin del tipo de recursos didcticos empleados por los autores en sus libros de texto, nos referimos particulamente al uso de las grficas y el sentido que se les asign. En la obra de Bromwich observamos dos grficas que ilustran la representacin de una ecuacin trigonomtrica en un diagrama de Argand, no se desprende ninguna discusin a partir del grfico. En la obra de Thomas pudimos observar dos clases de usos a sus grficas, la primera para ilustrar el rea bajo la curva (lo que le permite despus argumentar su definicin), la segunda con una funcin ms amplia, pues la grfica apoya al anlisis de las propiedades de la curva. Finalmente en el libro de Sullivan observamos que las grficas tienen mayor participacin en el estudio del logaritmo; por una parte abre una discusin sobre operaciones a las funciones y sus efectos grficos y por otra parte hay un anlisis de la naturaleza de la curva, su crecimiento, etc. Sin embargo, coincidimos con Montiel (2005), el grfico se vuelve necesario en el discurso para salvar la distancia entre el rigor y la intuicin, pues notamos que la obra de Sullivan tiene un predominante enfoque algortmico. Un tema relevante en nuestra investigacin fue identificar la forma en que cada autor institucionaliza el saber. En otras palabras, explicar cmo se construye la idea de logaritmo a partir de las actividades, definiciones, argumentos en las obras de texto. Para Goulard, el logaritmo permite la simplificacin de clculos aritmticos usando propiedades especficas para la conversin de cantidades. Bromwich introduce a la funcin logaritmo como la inversa de la funcin exponencia, esto le permite desarrollar la serie de potencia logaritmica como la inversa de la exponencial. La definicin de logaritmo en Thompson le permite realizar clculos aritmticos usando las propiedades logartmicas. En Thomas, el logaritmo se introduce como el rea bajo la curva y esto se asocia con clculo de derivadas e integrales; finalmente Sullivan ofrece la presentacin de la funcin logaritmo como inversa de la funcin exponencial y desprende actividades de anlisis grfico, clculos algebraicos de expresiones logartmicas y problemas contextualizados. Finalmente, destacamos a partir de este anlisis, que el discurso escolar del logaritmo tiene aspectos constantes, el ms trascendente es la asociacin inversa que se hace con la potencia as como con las propiedades. Otro tratamiento comn es asumir al logaritmo como una herramienta para simplificar los clculos aritmticos al tranformar las multiplicaciones en sumas, etctera, as se le atribuye un sentido pragmtico y se usa en problemas de conversin. Finalmente en el caso de las obras de nivel superior, se estudia al logaritmo como funcin y se hacen relaciones con la funcin logaritmo. Este anlisis nos ha mostrado que no hay un tratamiento homogeneo del logaritmo, ya que vara dependiendo del nivel de profundidad de la obra, as como de su enfoque. No obstante hemos podido identificar rasgos comunes dentro del discurso escolar del logaritmo los cuales se mantienen constantes entre una obra y otra, por ejemplo la relacin inversa que se establece entre los logaritmos y los exponentes, las aplicaciones de clculo aritmtico del logaritmo (una necesidad de aplicacin de los logaritmos), las propiedades de los logaritmos para clculo aritmticos y algebraicos, entre otros.

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    REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS Bromwich, T.J. (1955). An introduction to the theory of infinite series. England: Macmillan & Co. Brousseau, G. (1987). Fondements et mthods de la didactique des mathmatiques. Recherches en didactique des mathmatiques, 7(2), 33-115. Buendia, G. (2004). Una epistemologa del aspecto peridico de las funciones en un marco de las prcticas sociales. Tesis Doctoral no publicada. Mxico: Cinvestav-IPN. Berezovski, T.(2006). Manifold nature of logarithms: numbers, operations and functions. En Alatorre, S., Cortina, J.L., Siz, M., and Mndez, A.(Eds) (2006). Proceedings of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 2, pp. 62-64. Mrida, Mxico: Universidad Pedaggica Nacional. Carrillo, H. (2006). Recursos nemotcnicos de las funciones trigonomtricas bsicas. Tesis de Maestra no publicada. Mxico: CICATA-IPN. Castaeda, A. (2006). Formacin de un discurso escolar: el caso del mximo de una funcin en la obra de L Hospital y Mara G. Agnesi. Revista Latinoamericana de Investigacin en Matemtica Educativa, 9(2), 253-265. Chevallard, Y. (1991). La transposicin didctica. Del saber sabio al saber enseado. Buenos Aires, Argentina: Aique Grupo Editor SA. Cordero, F. (2006). La institucionalizacin del conocimiento matemtico y el rediseo del discurso matemtico escolar. En G. Martnez (Ed) Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa, 19, 824-830. Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa. Daz, L., y Morales, L. (2005). El concepto de variable en los libros de texto. En H. Leyva, H. Carrillo y L. Daz (Eds.). Publicacin de la XV Semana Regional de Investigacin y Docencia en Matemticas, Vol. I, pp. 39-45. Mxico D.F: Universidad de Sonora. Dijk, T.V. (l992) Text and Context: Explorations in the Semantics and Pragmatics of Discourse. Londres: Longman. Dijk, T.V. y Digital, A. (2002). El anlisis crtico del discurso y el pensamiento social. Athenea Digital, (1) 18-24. Dolores, C., (2007). Elementos para una aproximacin variacional a la derivada. Mxico: Daz de Santos. Ferrari, M. y Farfn, R. (2001). Una visin sociepistemolgica. Estudio de la funcin logaritmo. En F. Cordero, (Ed.) Antologias 1 de la red de Cimates, pp. 249-291. Mxico : Programa Editoral de la Red de Cimates. Goulard, H. (1849). Guide du Gomtre pour les oprations darpentaje. France: Beau. Marcolini, M. y Perales, J. (2005). La nocin de prediccin : Anlisis y propuesta didctica para la educacin universitaria. Revista Latinoamericana de Investigacin en Matemtica Educativa 8(1), 25-68 Montiel, G. (2005). Estudio socioepistemolgico de la Funcin Trigonomtrica. Tesis de Doctorado no publicada. Mxico: CICATA-IPN Sullivan, M. (1997). Preclculo. Mxico: Prentice Hall. Thomas, J.R. (1980). Clculo infinitesimal y geometra analtica. Espaa: Aguilar. Thompson, J. E. (1968). lgebra. Mxico: Uteha. Zalda G. A. (2007). El anlisis del discurso en la organizacin y representacin de la informacin y el conocimiento. Acimed 2007;16(1). Disponible en: http://bvs.sld.cu/revistas/aci/vol16_1_07/aci05707.htm [Consultado: 20/04/2008].