§§4.4 4.4 电磁波在波导中的传播电磁波在波导中的传播§§ 电磁波在波导中的传播电磁波在波导中的传播

Electromagnetic Wave PropagationElectromagnetic Wave Propagationi W G idi W G idin Wave Guidein Wave Guide

前面讨论了电磁波在无界空间的传播规律前面讨论了电磁波在无界空间的传播规律。

在无界空间中，电磁波最基本的存在形式为平面电磁波 其电场和磁场都作横向振荡 通常把这电磁波，其电场和磁场都作横向振荡，通常把这种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM波。

本节主要讨论电磁波在有界空间—波导中的传播，在这里将要解决两个问题：

第一，波导中的电磁波怎样分布？是否存在第一，波导中的电磁波怎样分布？是否存在TEM波？

第二，频率多高或者波长多长的电磁波才能第二，频率多高或者波长多长的电磁波才能在波导中传播？

11、、矩形波导中的电磁波矩形波导中的电磁波11、、矩形波导中的电磁波矩形波导中的电磁波

所谓波导(或者波导管wave guide)是利用良导体制成的中空管状传输线，是一种传播电磁能的工具（主要传输波长在厘米数量级的电磁波） 常见具（主要传输波长在厘米数量级的电磁波）。常见的有截面为矩形和圆形的，分别称为矩形波导和圆柱形波导 电磁波在波导中只能沿着管的轴线方向柱形波导。电磁波在波导中只能沿着管的轴线方向传播，这就使得波导中的电磁波与无界空间的电磁波在性质上有很大的差别，将会看到有界空间中传波在性质上有很大的差别，将会看到有界空间中传播的电磁波不是TEM波。

为了简便，我们只讨论矩形波导。为了简便，我们只讨论矩形波导。

设矩形波导截面边长为a、b，z 轴沿波导管的轴线方向（如图所示）:轴线方向（如图所示）:

yy

b

z

Er

Hr

ax

z

kr H

由于波导中没有自由电荷和传导电流，即

x

0=ρ由于波导中没有自由电荷和传导电流，即

.而且在一定频率下，介电常数ε和磁导率μ既不随时间变化 也与坐标无关 因此

ρ0=j

r

不随时间变化，也与坐标无关。因此

波导内电磁波应满足亥姆霍兹方程

⎧ 22rr

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+∇

=+∇

0

022

22

BkB

EkErr

rr

波动方程

根据两种不同介质界面上的边值关系：

⎪⎩ =+∇ 0BkB

根据两种不同介质界面上的边值关系：

⎪⎨⎧ =−×

rrr 0)(ˆ12 EEn

⎪⎩

⎪⎨

=−× αrrrr )(ˆ)(

12

12

HHn

因为波导的内表面是我们所研究的场的边界，在这些边界上，电磁波满足界面条件。设想界面是界 波满 界面条件 设 界面是理想导体，电磁波穿透深度为0，导体内电磁场

00 故有BErr

: . 0 , 0 11 故有== BE

⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

×

=×

αrrr

rr

H

Enˆ

0ˆ

这两个条件满足后，另外两条件

⎪⎩ =× αHn

这两个条件满足后，另外两条件

⎪⎨⎧ =⋅ˆ Dn

rr σ

⎪⎩

⎪⎨

=⋅ 0ˆ Bnrr

自然满足。按照切向电场分量连续的关系 ,E1t=E2t (良导体 E1t=0，从而使得 E2t=0）。且在1t 2t ( 1t 2t波导内表面处有：

⎪⎧ =× 0ˆ rr

En

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅∇=∂∂

=×

0)E( 0

0rE

En

n

即

⎪⎩ ∂

)(n

⎪⎪⎧ =

∂∂

=== 0 , , 0 x

EEEax xzy时当 边

界

⎪⎪

⎪⎪⎨

=∂

===

∂

00E

EEby

xy

时当

界条件⎪⎩ ∂

0 , ,0 y

EEby zx时当 件

至此，得到波导中电磁波应该满足的微分方程和边界条件：边界条件：

022 =+∇ EkErr

⎪⎪⎧ =

∂=== 0 , ,0 EEEax x

zy

0+∇ EkE

⎪

⎪⎪⎨ ∂

∂

00

,,

EEEb

xy

zy

⎪⎪⎩

=∂

=== 0 , ,0 y

EEby yzx

波导中的电磁场分布情况：波导中的电磁场分布情况：

因为波导中电磁波是沿管的轴向，即沿 z 轴方向因为波导中电磁波是沿管的轴向，即沿 z 轴方向

传播，因而电场强度为：

将此式代入亥姆霍兹方程 得到

)(0 ),(),( tzki zeyxEtxE ω−=rrr

将此式代入亥姆霍兹方程，得到：

22 ∂∂rr

0)( 022

20

2

20

2

=−+∂∂

+∂∂ Ekk

yE

xE

z

r

设u ( x , y )为电磁场的任一直角分量，它满足上式 22 ∂∂ 0)( 22

2

2

2

2

=−+∂∂

+∂∂ ukk

yu

xu

z

用分离变量法解这个微分方程：

代入上式可求得

)()(),( yYxXyxu =令

代入上式可求得

YX ′′′′ 22 kkYY

XX

z −=′′

+′′

要使上式成立，必须要求左边每一项等于常数，即

′′ 2xk

XX

−=′′

2yk

YY

−=′′

而且要求：Y

2222 kkkk 2222 kkkk zyx =++

从而有从而有：02

2

2

=+ Xkdx

Xdxdx

022

=+ YkYd

这就是大家熟知的振动方程 它们一般解为

02 =+ Ykdy y

这就是大家熟知的振动方程，它们 般解为

xkBxkAxX xx cossin)( +=

这 的 都 待定常数

ykDykCyY yy cossin)( +=

这里的A、B、C、D、kx、ky都是待定常数。至此得到沿 z 轴方向传播的电磁波电场的三个分量为为：

⎧ )( tki ω

⎪⎪⎨

⎧

′+′′+′=

++=−

−

)(

)(

)cossin)(cossin(

)cossin)(cossin(tzki

tzkiyyxxx

z

z

eykDykCxkBxkAE

eykDykCxkBxkAEω

ω

⎪⎪⎩

⎨

′′+′′′′+′′=

++− )()cossin)(cossin(

)cossin)(cossin(tzki

yyxxz

yyxxy

zeykDykCxkBxkAE

eykDykCxkBxkAEω

其中 ;,,, DCBA 待定解

个待定常数共计以及 14;,,,

kkDCBADCBA

′′′′′′′′

′′′′

要由边界条件和其它物理条件来确定。

)) 当 0时 E 0 即

个待定常数共计以及 14,,,, yx kkDCBA

a)a) 当 y = 0时，Ex= 0，即

0)cossin( )( =⋅⋅+= − tzkixxx

zeDxkBxkAE ωxxx

有D 0 故有D = 0，故)()sin)(cossin( tzki

yxxxzeykCxkBxkAE ω−+=

)(11 sin)cossin(

))((tzki

yxx

yxxx

zyekxkBxkA

yω−+=

这里

b)b) 当 b时 E 0 即

. , 11 CBBCAA ⋅=⋅=b)b) 当y=b时，Ex= 0 . 即

0sin)cossin( )(11 =+= − tzki

yxxxzbekxkBxkAE ω

有

)( 11 yxxx

故 , 0sin =bky

)210(

0sin

L==

=

nnbk

bk y

π )2,1,0( , L== nnbk y π

即即

bnkyπ

=

c) 当 x = 0时，Ey= 0，即

0)i( )(′′′ − tzkikDkCBE ω

有 ，故

0)cossin( )( =′+′′= tzkiyyy

zeykDykCBE ω

0=′B

)()cossin)(sin( tzkiyyxy

zeykDykCxkAE ω−′+′′=)(

11 sin)cossin( tzkixyy

yyy

zxekykBykA ω−′+′=

这里 DABCAA ′⋅′=′′⋅′=′ 11 ,

d) 当 时 E 0 即d) 当 x=a 时，Ey=0，即

0sin)cossin( )( =′+′= − tzki zaekykBykAE ω

只有 ，才能满足，故

0sin)cossin( 11 =+= xyyy aekykBykAE0sin =akx

)210( L== mmak π

即

),2,1,0( . L== mmakx π

即： mkxπ

=a

) 当 0时 即e) 当 x=0时， ，即

0)cossin( )( =′′+′′′′= − tzkiyyz

zeykDykCBE ω

0=zE

有 ，即得

)( yyz yy0=′′B

)(ki

)(

)(

sin)cossin(

)cossin)(sin(tzki

tzkiyyxz

z

z

xekykBykA

eykDykCxkAEω

ω

−

−

′′+′′=

′′+′′′′=

这里

11 sin)cossin( xyyzxekykBykA +=

., 11 DABCAA ′′⋅′′=′′′′⋅′′=′′这里

f ) 当 y=0时， ，即

. , 11 DABCAA0=zE

0sin )(1 =′′= − tzki

xzzxekBE ω

有 即得0′′B有 ，即得01 =′′B)(

1 sinsin tzkixyz

zxekykAE ω−′′=另外，在 x=a, y=b面上，要求 ，亦可求得E 的表达式

1 xyz y0=zE

得Ez的表达式。

至此，还有 5个常数未定。

在波 中 自 荷

11111 ,,, ABABA ′′′′ 和

g) 在波导中，因为无自由电荷，即

r

即

0=⋅∇ E

即

0=∂∂

+∂

∂+

∂∂

zE

yE

xE zyx

∂∂∂ zyx

这样即有这样即有：

sin)sincos( )(11 − − tzki zyekxkkBxkkA ω

sin)sincos(

sin)sincos()(

11

11

′−′+ − tzkixyyyy

yxxxx

zxekykkBykkA

yekxkkBxkkAω

即

0sinsin)( )(1 =′′+ − tzki

yxzzyekxkAik ω

即

cossinsincos 11 ′+ ykxkkAykxkkA yxyyxx

要使上式成立 充要条件是它们的系数分别为零

0sinsin)( 111 =′−−′′+ ykxkkBkBAik yxyxz

yyy

要使上式成立，充要条件是它们的系数分别为零（考虑分量的正交性），故有

⎧ = 0kA

⎪

⎪⎨

⎧

=′=

00

1

1

y

x

kAkA

⎪⎩ =′−−′′ 0111 yxz kBkBAik

这里，因为

x

AkAk 1

000 , 0

′=≠

故

故

y

kBkB

Ak 1 0 ,0′+

=′≠ 故

z

yx

ikkBkB

A 111

+=′′

从而得到从而得到：

⎧

⎪⎪⎪⎧

= − )(1 sincos tzki

yxxzyekxkBE ω

⎪⎪

⎪⎨

′+

′= − )(1 cossin tzki

yxyz

kBkB

yekxkBE ω

⎪⎪⎪

⎩

′+= − )(11 sinsin tzki

yxz

yxz

zyekxkik

kBkBE ω

波导中的磁场 ，也应该具有电场 的形式，即

⎩ z

Hr

Er

波导中的磁场 ，也应该具有电场 的形式，即H E)(

0 )()( tzki zeyxHtxH ω−⋅=⋅rrr

rr根据 ，有HiE

rrωμ=×∇

[ ]⎧ 1 [ ]⎪⎪⎪⎧

+′+−= − )(2211

1

cossin)(1 tzkiyxzyyx

zx

zyekxkkkBkkBk

H ω

ωμ

[ ]⎪⎪

⎪⎨ ′++= − )(

122

1 sincos))(1 tzkiyxyxzx

zy

zyekxkkkBkkBk

H ω

ωμ

[ ]⎪⎪

⎩′−= − )(11 coscos tzki

yxxyzzyekxkkBkBiH ω

ωμ⎩

22、横电波（、横电波（TEWTEW）和横磁波（）和横磁波（TMWTMW））22、横电波（、横电波（TEWTEW）和横磁波（）和横磁波（TMWTMW））

经过以上推导发现电场E E E 和磁场H经过以上推导发现电场Ex、Ey、Ez和磁场Hx、

Hy、Hz 中只有两个独立常数 。因为11 , BB ′y z

对于一定的（m , n) 如果

11

bnk

amk yx

ππ== ,

选一种波模具有Ez=0，则该波模的

就完全确定 因而另一种波模必须有

baxy kkBB −=′11

0≠H就完全确定，因而另 种波模必须有 。

由电场和磁场的表达式可以看出，对 的波

0≠zH0=zE

模, .因此在波导中传播的有如下特点:电场

和磁场不能同时为横波 通常选 种波模为E 0

0≠zH和磁场不能同时为横波,通常选一种波模为Ez=0

（ ）的波称为横电波(TEW)。另一种波模为0≠H（ ）的波称为横电波(TEW)。另 种波模为

的波 （但 ），称为横磁波（TMW）。

TEW和TMW又按（ )值的不同而分为TE 波和TM

0≠zH0≠zEHz= 0

TEW和TMW又按（m,n)值的不同而分为TEmn波和TMmn

波。一般情况下，在波导中可以存在这些波的叠加。

33、讨论、讨论33、讨论、讨论

a)a) 根据 的各分量，我们看到：波导HErr

和内电磁场沿传播方向不能同时为零。因为如果Ez和Hz同时为零，即Ez=0,Hz=0.使得 .0 , 0 11 =′= BB从而导致整个电磁场为零，所以说波导内不可能传播横电磁波。然而， 沿传播方向的分量HE

rr和传播横 波 然 传播 向 分HE和

不能同时为零 这 结论似乎与电磁波的横波性不能同时为零，这一结论似乎与电磁波的横波性相矛盾。实际上，横波性是电磁波固有的性质。这种现象出现在波导中之所以不好理解 是因为这种现象出现在波导中之所以不好理解，是因为波导的轴线方向并不是波的真正传播方向，波导中的电磁波是在管壁上多次反射中而曲折的前进中的电磁波是在管壁上多次反射中而曲折的前进，由于这种多次反射波的叠加，在垂直于波导轴线方向成为驻波 而使叠加波沿轴线方向前进方向成为驻波，而使叠加波沿轴线方向前进。

kr

z

b)b) 在波导管的横截面上，场是谐变的。其分

布情况直接取决于 和 这两个常数的值 不同布情况直接取决于m和n这两个常数的值。不同的m和n的组合对应不同的场结构。我们称之为不同的波型或模式 一组（m n）的值组成一个不同的波型或模式， 组（m,n）的值组成 个模式，TM波记为TMmn，TE波记为TEmn。在实际问题中，我们总是选定一个模式来传递电磁波际问题中，我们总是选定 个模式来传递电磁波的。

22⎞⎛⎞⎛ nm ππ

c)c) 由 ，可以看2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

bn

amkkz

ππ

到对于一定尺寸的矩形波导（即a,b选定），如果选定某一模式TE 或TM （m n也确定），则选定某 模式TEmn或TMmn（m,n也确定），则从kz式中得出：

若电磁场的振荡频率 足够大 使得 222若电磁场的振荡频率ω足够大，使得

而 是实数，根据场的表达式中因子 ，我

222yx kkk +>

zk )( tzki ze ω−

们立即看到场沿着z方向传播，它是行波。z

若电磁场的振荡频率ω足够小，以致于

则 是纯虚数，显然由因子 看到，这不再k )( tzki ze ω−

222yx kkk +<

则 是纯虚数，显然由因子 看到，这不再是行波，而是场随着z的增加而指数衰减，所以此时电磁场不能在该波导内以TEmn或TMmn波型传播。

zk e

mn mn

我们把 ，即 称为临界状态222yx kkk += 0=k我们把 ，即 称为临界状态

(Critical state)，由 式子得到临界频率 称为截止频率(Cut-off frequency)；

yx 0zkzk

mnc.ω

22⎞⎛⎞⎛ nm ππ

. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

bn

am

mncππυω

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

bn

am

μεπ

⎠⎝⎠⎝ baμε

只有频率 的电磁波才能在波导中传播，

故把 称为截止频率。mnc.ωω >

mncω故把 称为截止频率

相应地，截止波长(Cut-off wavelength)为：

mnc.

22.22

⎟⎞

⎜⎛+⎟

⎞⎜⎛

==nm

mnc ωπυλ

⎟⎠

⎜⎝

+⎟⎠

⎜⎝ ba

1 ;1 :TE c.1010 aπ

μεω =波型

1TE π波型

μ

; :TE c.0101 =bμε

ω波型

;11 :TM22

c.1111 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

bπω波型

⎠⎝⎠⎝ baμε

0)n 1,(m 210, === acλ

最大波长

中有 这里的 是电磁波在自由空间中d) 中有 ，这里的 是电磁波在自由空间中

的传播速度，不是在波导中的传播速度。那么电磁zk υ υ

波在波导中的传播速度有多大呢？

按照相速 和群速 的定义按照相速u和群速ug的定义：

dz ω

zkdtdzu ω

==

g dkdu ω

=zdk

相速度反映的是位相变化状况的速度 群速度反相速度反映的是位相变化状况的速度，群速度反映的是各单色波叠加后的合成振幅的最大值传播的速度 因此相速度的速度。因此相速度

υωω≥u υ

ππω≥

⎟⎞

⎜⎛−⎟

⎞⎜⎛−

==222 nmk

uz

群速度

υ⎟⎠

⎜⎝

−⎟⎠

⎜⎝

−2 aa群速度

υυυω≤=== ukdu z 22 υυ

ωυ ≤=== u

dku

zg

谐振腔（谐振腔（ ））44、、 谐振腔（谐振腔（Resonant cavityResonant cavity））

我们知道：波导管是用来传输电磁波。谐振腔与之不同，它是用来产生高频振荡 如图所示：腔与之不同，它是用来产生高频振荡。如图所示：

z

y3L

y

x1L

2L

根据电磁波在波导管内的传输理论方法 容根据电磁波在波导管内的传输理论方法，容

易得到腔内电磁波的电场和磁场也满足亥姆霍兹方程方程：

⎪⎨⎧ =+∇ 022 EkE

rr

⎪⎩

⎪⎨

=+∇ 022 BkBrr

以及界面上的边值关系：

⎪⎨⎧ =×

rrEn 0ˆ

⎪⎩⎨

=× αrrr

Hn̂

与波导管理论不同的地方是腔内电磁波的电场和磁与波导管理论不同的地方是腔内电磁波的电场和磁场任一直角分量是x，y，z的函数。

r)(

0 ),,(),( txkiezyxEtxE ω−⋅=rrrrr

设u ( x , y，z )为电磁场的任一直角分量，即

)()()()( ZYX

用分离变量法解即可求亥姆霍兹方程所满足边值关

)()()(),,( zZyYxXzyxu =

用分离变量法解即可求亥姆霍兹方程所满足边值关系的解。

2d X⎧ 22

2

2

0xd X k Xdx

⎧+ =⎪

⎪⎪

( , , )u x y z =2

22 0y

d Y k Ydy

⎪⎪ + =⎨⎪

1 1

2 2

( cos sin )( cos sin )

x xA k x B k xA k y B k y

++

22

2 0zd Z k Zdz

⎪⎪

+ =⎪⎩

2 2

3 3

( cos sin )( cos sin )

y y

z z

A k y B k yA k z B k z

++

2 2 2 2 20x y z

dzk k k k ω με⎩

+ + = =

用相似的处理方式，在x=0, y=0, z=0面上的边界条件，可以得到：的边界条件，可以得到：

cos sin sinx x y zE A k x k y k z='sin cos sin''sin sin cos

y x y z

y x y z

E A k x k y k zE A k x k y k z

==y x y zy

再考虑x=L1, y=L2, z=L3面上的边界条件得到：

, ,m n pk k kπ π π= = =

1 2 3

, ,

( , , 0,1, 2...)

x y zk k kL L L

m n p =

另外

0E∇ = ' '' 0k A k A k A+ + =0E∇⋅ =

由此得到，对应每一组（m, n, p）值，与

0x y zk A k A k A+ + =

由此得到，对应每 组（m, n, p）值，与两个独立的偏振模。谐振频率为：

22 2

mnp

pm nLL L

πω ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠31 2 LL Lμε ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

其中m n p若有两个同时为零 则总电其中m, n, p若有两个同时为零，则总电场为零。

若L1> L2>L3，则最低平率的谐振波模式为（1 1 0） 频率为：为（1,1,0），频率为：

1 1π110 2 2

1 2L Lπωμε

= +

相应的电磁波波长为：

2110

21 1

λ =+2 2

1 2L L+