4.4. nejednakosti

4.4. РЕШАВАЊЕ ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА КОРИШЋЕЊЕМ НЕЈЕДНАКОСТИ Често се као један од начина за раздвајање случајева употребљавају и неједнакости. Неједнакости се користе, како је већ у неким примерима приказано, да се из области дефинисаности једначине издвоје скупови у којима једначина нема решења. Потом се једначина, неким од већ изложених поступака, решава у преосталом делу области дефинисаности. Најбоље је при том, уколико је могуће, елиминисати бесконачни део области дефинисаности, а једначину потом решавати у коначном скупу. ПРИМЕР 1. Постоји ли четвороцифрен природан број који је један четвртом степену збира својих цифара ? РЕШЕЊЕ: Нека је тражени број abcd . Тада је према датим условима 4 ) d c b a ( abcd + + + = . Како је 5 4 < 1000 ≤ abcd < 10 4 , закључује се да је 5 < а + b + c + d < 10. Дакле, а + b + c + d је 6, 7, 8 или 9. Како је 6 4 = 1296, 7 4 = 2401, 8 4 = 4096 и 9 4 = 6561, јасно је да услове задатка испуњава само број 2401 = 7 4 , јер је у свим осталим случајевима збир цифара већи од 9. ПРИМЕР 2. Одредити све двоцифрене природне бројеве који су једнаки збиру куба цифре десетица и квадрата цифре јединица. РЕШЕЊЕ: Нека је тражени број ab . Према условима задатка тада је ab = 10а + b = a 3 + b 2 . Како је ab = 10а + b ≤ 99 то је и a 3 + b 2 ≤ 99, па је 1 ≤ а ≤ 4. Трансформацијом дате једначине добија се 10а – а 3 = b 2 – b или а(10 – а 2 ) = b(b - 1). С обзиром да је b(b - 1), као производ узастопних природних бројева, паран број, то је и а(10 – а 2 ) паран број. То значи да је и а паран број. Како је а(10 – а 2 ) ≥ 0, то је 10 – а 2 ≥ 0, тј. а ≤ 3. Једини парни број мањи или једнак 3 је а = 2. Тада је а(10 – а 2 ) = b(b - 1) = 12, што значи да је b = 4. Дакле, тражени број је 24 ( = 2 3 + 4 2 ). Δ У претходном примеру са две неједнакости, број случајева је са 90 сведен на само један, чиме је метод показао своју ефикасност. У наредном примеру приказаће се како се бесконачни скуп могућих решења, коришће- њем неједнакости може свести на мали број могућих случајева.

Upload: betty-bellaitalia

Post on 10-Nov-2015

14 views

Category:

Documents

8 download

Report

Download

Embed Size (px):

DESCRIPTION

Nejednakosti. Rjesavanje Diofantskih jednadzbi pomocu nejednakosti.Primjeri Diofantskih jednadzbi. Zadaci za uvjezbavanje.

TRANSCRIPT

4.4.

. ,

,

. ,

, .

, ,

, .

1. ?

: abcd . 4)dcba(abcd +++= . 54 < 1000 abcd < 104,

5 < + b + c + d < 10. , + b + c + d 6, 7, 8 9. 64 = 1296, 74 = 2401, 84 = 4096 94 = 6561, 2401 = 74, 9.

2. .

: ab . ab = 10 + b = a3 + b2. ab = 10 + b 99 a3 + b2 99, 1 4. 10 3 = b2 b (10 2) = b(b - 1). b(b - 1), , , (10 2) . . (10 2) 0, 10 2 0, . 3. 3 = 2. (10 2) = b(b - 1) = 12, b = 4. , 24 ( = 23 + 42). , 90 , .

, -

.
4. 4.4.

3. .

: :

1) , = 2, = 1. 2) 10 + = 2 + 2, (10 - ) = ( -1). ( - 1) , . {2, 4, 6, 8} (10 - ) 18 24, .

3) , 100 + 10 + z = 2 + 2 + z

2. 100 + 10 + z = 2 + 2 + z2 381 = 243, = 1 = 2.

3.1) = 1, 100 + 10 + z = 1 + 2 + z2 99 + 10 + z = 2 + z2. 99 > z2 10 > 2, .

3.2) = 2, 200 + 10 + z = 4 + 2 + z2. 200, 200, .

4) 3 , 10-1, 100, 10-1 100, 10-3 , , 3.

4. , b, c, d

1d1

c

1b1

a

12222 =+++ ?

: ,

, 1 < a b c d. Ta je

2222 a

1b1

c

1d1 , 222222 a

41d1

c

1b1

a

1d4 =+++ .

a2 4, a = 2, 1.

22222 b3

43

d1

c

1b1

d3 =++ . b2 4, b = 2.

O 2222 c

242

d1

c

1d2 =+ , c2 4, o c = 2.

d = 2, a = b = c = d = 2.
4. 4.4.

5. , , z ! + ! = z!?

: ! + ! = z! ! 1 ! 1, < z < z. ! + ! = z! = z(z 1)...( + 1)( - 1)...321 = z(z 1)...( + 1)!. ! = z(z 1)...( + 1)! ! = ! ( z(z 1)...( + 1) 1). :

1) < , ! < !, ; 2) = , z(z 1)...( + 1) 1 = 1, z(z 1)...( + 1)

= 2 z = 2. = = 1.

3) > , 2 ! = ( - 1)...( + 1) ! = ! (z(z 1)...( + 1) 1).

! ( - 1)...( + 1) = (z(z 1)...( + 1) 1. , , .

= = 1 z = 2.

6. 2 + + 2 = 22 .

: :

1) 1 , 1

1

1

122 =++ .

2 2, 22

1

1

1 .

2222

31

1

1

1

3 =++ , 2 3,

= 1. = 1, = - 1, .

2) 1 , .

7. (x, y, z) a , z, + z + z - z = 2.
4. 4.4.

:

, .

:

1) = 1, + z + z - z = + z = 2, (1, 1, 1) . 2) = 2, 2 + z + 2z - 2z = 2 - z + 2z = 2. z - 2 - 2z + 4 = ( - 2)(z - 2) = 2, : - 2 = 1, z - 2 = 2 - 2 = 2, z - 2 = 1. (2, 3, 4) ; (2, 4, 3) ; (3, 2, 4) ; (3, 4, 2) ; (4, 2, 3) ; (4, 3, 2). 3) > 2, > 2 z > 2, : z 3, z 3z z 3z. 3z 3 + 3z + 3z, z + z + z 2 = + z + z - z 0, .

8.

2 + = 4 + 3 + 2 + .

: ,

,

. 4 1 42 + 4 + 1 = 44 + 43 + 42 + 4 + 1. (2 + 1)2 = 44 + 43 + 42 + 4 + 1 = 44 + 43 + 2 + 32 + 4 + 1 = (22 + )2 + ( + 1)(3 + 1). (2 + 1)2 = 44 + 43 + 42 + 4 + 1 = 44 + 2 + 4 + 43 + 82 + 4 - 52 - 3 = (22 + + 2)2 52 3. , (22 + )2 + ( + 1)(3 + 1) = (2 + 1)2 = (22 + + 2)2 (52 + 3). :

1) = - 1, 2 + = 0, = 0 = -1. 2) - 1, ( + 1)(3 + 1) > 0. 52 + 3 > 0

, (22 + )2 < (2 + 1)2 < (22 + + 2)2. (22 + )2 (22 + + 2)2 (22 + + 1)2, (2 + 1)2 = (22 + + 1)2. (2 + 1)2 = 44 + 43 + 42 + 4 + 1 = (22 + + 1)2 = 44 + 2 + 1 + 43 + 42 + 2 + 1,

2 2 = 0, . 0 2:

2.1) = 0, 2 + = 0, = 0 = -1. 2.2) = 2, 2 + = 30, = 5 = -6.

: (0, -1); (-1, -1); (0, 0); (-1, 0); (5, 2); (-6, 2).
4. 4.4.

308. .

309. .

310. ? (, ) ? 311. ?

312. , z, ?

313. p, q r , p4 + q4 = r4 . .

314. , b n, 4ncccbba =++ . ?

315. . ? 316. .

317. ? 318. , ? 319. , ? 320. (, ) -

3 =

4 - 16.

321. 4 + 23 + 2 11 + 11 = 2, .

322. n ,

4 n2.

323. : 11! + ... + ! = 4 . ? 324. (, ) : 10 + 11 = + 2000.
4. 4.4.

325. 1, 2, ... 2006 1

2 + 2

2

+...+ 20062 = 2040. 1, 2, ... 2006.

326. , b, c, d, : 2 < b < c < d < .

1e

1d1

c

1b1

a

122222 =++++ .

327. 1y1

xy1

x

122 =++

. ( 1952.)

328. 3

zx

z

y

=++ .

(26. - 1963.) 329. ( ) 2 10 22. (10. 1968.) 330. (, ) - ( + 2)4 4 = 3. ( - 1974.) 331. b . 2 + b2 + b q r. (, b) q2 + r = 1977. (19. - 1977.) 332. n ( - 1)! + 1 = n. ( 1980.) 333. (, )

3 + 2 + 2 + 3 = 8(2 + + 2 + 1). ( - 1980.)

334. 3 3 = + 61. (15. 1981.) 335. 6 + 33 + 1 = 4 . ( - 1981.)

336. 1983

1z

1y1

x

1=++

. ( 1983.)
4. 4.4.

337. , b, c, d,

1e

1d1

c

1b1

a

1=++++ , a : 2 < < b b <

c < d < . ( 1995.) 338. , b, c

.1ca

1bc1

ab1

=++ ( 1996.)

339. (5 + 1)2 = abcd , . ( 1996.) 340.

3

3 = + 25. ( 2000.)

341. (n) , (n) n. n (n) + (n) = n. ( 2002.) 342. 31 . ,

.

? ( 2003.) 343. (, b) ,

1bab2a

32

2

+ . (44. 2003.)

344. 2 + 1 . (22. 2005.)

345. 1, 2,... 1 < 2 < ... < ( 2). 1

x

1...

x

1x

12

k2

22

1=+++ .

346. ?

*

, , .

,
, .

, ( -) .