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UNIDADES DE MEDICION

Se ha definido la Física como la ramadel conocimiento y la experimentación quese ocupa del mundo inanimado y sus fe-nómenos. Comptende la mecánica, las pro-piedades de la materia, el calor, el sonido,la luz, la electricidad y el magnetismo, losrayos cat6dicos, los rayos X, la radiactivi-dad, la estructura del átomo, los rayos clJS-micos, la desintegración atómica y la ener-gía atómica. Se dice que la Física es unaciencia exacta, porque usa instrumentos demedida para efectuar experimentos y ob-servaciones precisas. A partir de las medi-ciones realizadas en estos experimentos, sedesarrollan teorías y leyes que luego sonusadas para pronosticar los resultados denuevos experimentos. Si los nuevos resulta-dos experimentales no concuerdan con lateoría, entonces ésta se modifiCa para queesté de acuerdo con ellos, o se desecha yreeInplaza por otra. teoría mejor. Aquellosque efectúan los experimentos nuevos, sonUamados físicos experimentales.,y los queformulan las teorías basadas en los experi-mentos, son los físicos teóricos. La natura-lezade la Física y sus métodos objetivosde experimentación, justifican que se la con-sidere como. una de las ciencias más exactas.

1.1 Unidades fundamentales y derivadas.Ya que la Física es una ciencia basada enmedidas exactas, es indispensable que el es-tudiante se familiarice primero con algunosde los dispositivos de medición más comu-nes y las unidades en las cuales están ge-neralmente divididos. Toda medida, sea deuna distancia, peso, intervalo de. tiempo ode cualquier otra especie, requiere dos ele-mentos: primero, un número; segundo, unaunidad. Como resultado de la medición de

diferentes distancias, se podría obtener, porejemplo, 20 metros, 5 kilómetros, 3 millas;o, al determinar diferentes masas. encon-trar 6 kilogramos, 45 gramos; o, como res-puesta a una medida de diversos intervalosde tiempo, tener 7 horas, 26 segundos, etc.Como consecuencia de algún experimentoo en la lectura de ciertos aparatos, puedenaparecer rpediciones de 10.7 caloríaJ, 90 ki-lovatios,6 voltios, etc. En cada caso, launidad es tan necesaria como el número,para expresar el valor de la cantidad me-dida.

Aunque hay m.uchas unidades diferentesusadas en mecánica, cada una se puedeexpresar en función de tres unidades espe-ciales como máximo. Estas tres, llamadasunidades fundamentales, son las unidadesde longitud, masa y tiempo. Todas las de-más unidades se llaman derivadas, ya que,como veremos después, siempre puedenexpresarse como combinaciones de las uni-dades fundamentales.

En general, hay dos sistemas de unida-des fundamentales, cuyo uso está muy ex-tendido: a) el sistema métrico, y b) elsistema inglés. En todo el mundo, las ob-servaciones científicas se hacen casi siem-pre usando unidades del sistema métrico.Este sistema emplea el metro patrón, comounidad de longitud; el kilogramo patrón,como unidad de masa, y el segundo; comounidad de tiempo. El si~tema inglés, empleaal pie, como unidad de longitud; la libracomo unidad de peso, y el segundo, comounidad de tiempo.

1.2 El metro patrón y la yarda patrón.El metro patrón es una barra de platino-iridio, que se conserva en las bóvedas de la

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UNIDADES DE MEDICI6N

Oficina Internacional de Pesas y .Medidas,en Sevres, Francia, cerca de París. Méxicoes dueño de un duplicado de este patrÓn,que se guarda en la Dirección General deNonnas de la Secretaría de Economía. Es-tados Unidos tiene tres, y casi todas lasdemás naciones del mundo son dueñas deuna copia, por lo menos. Cada uno de estos

11

1centím~tro (cm) = 10milímetros(mm)

1000 milímetros (mm) = 1 metro (m)

En algunos países, como los Estados Un~"dos, usan continuamente la yarda (yd)como unidad de longitud. Por un acta delCongreso de 1866 se estableció legalmenteque la yarda en los Estados Unidos vale

centlmetro81A. hcala en centr tl'Oly pule--.

duplicados puede llamarse metro patrón in-ternacional y, actualmente, son el patrónde longitud en los países de habla espa-ñola, así como también en Estados Unidosy en Europa. Con estos patrones se com-prueban todas las reglas y cintas métricas.

Cuando se construyó el primer metro pa-trón, se trató de que tuviera la longitudde una diezmillonésima parte de la distan-cia que hay entre uno de los polos y elEcuador. La separación entre las dos mar-cas grabadas en la barra de platino-iridio,cerca de cada extremo, es tomada ahoracomo un metro exacto, aunque las 'medicio-nes más exactas, 'hechas recientemente, handemostrado que la distancia del polo alEcuador, es aproximadamente igual a10000880 metros patrlm.

El metro patrón se divide en cien partesiguales. Cada una de estas partes se llamacentímetro.

1 metro = 100 centímetros

o abreviado,

1m = 100cm

El centímetro, a su vez, se divide en diezpartes iguales. Cada una de eStaspartes sellama milímetro (véase la fig. 1A).

3600/3 937 partes de un metro patrón.Como la yarda está dividida en 36 pulga-das (in) :

1 metro (m) = 39.37 pulgadas (in)Con doce pulgadas en un pie (ft) :

3 pies(ft) = 1 yarda (yd)

1 pie (ft) = 30.48 cm

1 pulgada (in) = 2.54 cm

Los tamaños de la pulgada y sus frac-ciones comparados con el centímetro y elmilímetro, quedan ilustrados en la fig. lA.

Cuando se van a medir distancias gran-des, es común y conveniente el uso de uni-dades de longitud mayores. Estas unida-des son el kilómetro (km), en el sistemamétrico, y la milla (mi), en el sistema in-glés. Un kilómetro equivale a mil metrosy una milla equivale a cinco mil doscien-tos ochenta pies.1 kilómetro (km) = 1000 metros (m)

1 milla (mi) ==5280 pies (ft)

La relación entre el kilómetro y la millaes:

1 mi = 1.609 km

1 km = 0.621 mi

Para otras equivalencias,ver la tabla A.

12

TABLA A. TABLA DE FACTORES DE CONVERSIÓN DE UNIDADES DE LONGITUD.

FÍSICA DESCRIPTIVA

km

1 kilómetro = 1

1 metro = 0.00100

m

1000

1

0.0100

0.02540

0.30480

1609.34

1 centímetro = 1.0 X 10-5

1 pulgada = 2.54 X 10-5

1 pie = 3.05 X 10-4

1 milla = 1.60934

1.3 El kilogramo patrón y la libra patrón.La unidad patrón de masa es el kilogramo,una pieza de platino, también conservadaen la Oficina Internacional de Pesas y Me-didas, en Sevres, Francia, cerca de París.México y los demás países iberoamericanostienen un duplicado de este kilogramo pa-trón) cada uno. Los Estados Unidos tienendos. El kilogramo se divide en 1 000 partesiguales llamadas gramos.

1 kilogramo (kg) = 1 000 gramos (g)

Originalmente se basó el kilogramo pa-trón en el gramo, siendo el gramo la masa

Ag. 18. La masa del kilogramopatreSn.s 2.2 vecelmayor que la masa d. la libra patreSn.

de un ct".ntÍmetro CÚbICOde agua pura acuatro grados centÍgrados de temperatura.

La libra patrón es definida "en funcióndel kilogramo patrón, estableciéndose quesu masa será igual a 0.4536 kilogramos. Deaquí obtenemos las siguientes relaciones:

cm

I

in

100,000 39,370

100 39.370

1 0.39370

2.5400 1

30.480 I 12160,934 63,360

ft

3280.83

3.28083

0.032808

0.08333

1

5280

mi

0.62140

6.21 X 10-.

6.21 X 10-6

1.58 X 10-5

1.89 X 10-4

1

llb = 0.4536 kgIlb = 16 oz

1lb = 453.6 g

1 oz= 28.35 g1kg= 2.205 lb1ton corta = 2 000 lb1ton mét= 1 000 kg

El estudiante deberá aprender algunosde los números anteriores, y al mismo tiem-

Ag. 1C. ..'01 de agua.

po, familiarizarse con los nombres de estasunidades.

1.4 Relojes históricos. Los instrumentospara la medida del tiempo se remontan his-tóricamente a los babilonios, por lo menos,y probablemente .a la época de los griegos,cinco siglos antes de Cristo. Los primeros~aratos conocidos para medir el tiempo,

UNIDADES DE MEDICIÓN

fueron principalmente relojes de agtia, al-gunos de diseño muy sencillo y otros máscpmplicados. Estos relojes se basaban enel principio muy elemental de que se ne-cesita el mismo tiempo para que fluyancantidades iguales de agua a través de unapequeña abertura. El reloj de arena, quese basa en el mismo principio y usa arenaen vez de agua, es un descendiente del re-loj de agua, y data de la Edad Media.

Un reloj de agua, de diseño bastantesencillo, se ilustra en la fig. 1 C. Los pe-queños agujeros en los bordes de las aspas(véase el detalle en el diagrama), dejanque el agua fluya de un compartimientoa otro. Esto permite que el cilindro girelentamente, desenrollando las cuerdas delas que está suspendido.

El reloj de sol se remonta al astrónomocaldeo Berosus, que vivió en el tiempo deAlejandro el Grande, 300 a.C. En los par-ques públicos se usan ahora los relojes desol como objetos de adorno. Un relojde sol de diseño común, como el ilustradoen la fig. 1 D, consta esencialmente de unaaguja llamada saeta, montada en cierto án-gulo sobre una placa circular llamada cua-drante. La saeta se monta en el plano ver-tical norte-sur. El borde de la saeta esparalelo al eje de rotación de la Tierra, ysirve para proyectar una sombra sobre elcuadrante que está marcado con las horasdel día. Se deben hacer pequeñas correc-ciones al tiempo indicado por la sombra,debido al movimiento aparente de prece-sión anual del eje de la Tierra. Estascorrecciones, que llegan a ser ~e varios mi-nutos, generalmente están marcadas en elcuadrante. Por ejemplo, el cuadrante delreloj de sol de la Universidad de Califor-nia, en los Estados Unidos, tiene las siguien-tes correcciones: .Ene. 10, + 17 mino Jul. 19, + 15 minoFeb. 9, + 23" Ago. 18, + 18 "Mar. 11, + 19" Sep. 17, + 4- "Abr. 10, + 8" Oct. 17, - 5 "Mayo 20, + 5" Nov. 16, - 6 "Jun. 19, + 10" Dic. 16, + 5 "

Los relojes modernos ~ regulan por elbalanceo de un péndulo o por la oscilación

13

de un volante. Así operan los relójes depared y los relojes de pulsera. Estos. apa-ratos se estudiarán posteriormente en lasección dedicada a vibraciones y ondas(Cap. 18). Los relojes eléctricos que seencuentran frecuentemente en las oficinasson movidos por diminutos motores eléc-tricos. La marcha de estos motores está re-

gulada por la planta urbana de energía

Flg. 1D. .elol de sol.

eléctrica que vigila la frecuencia de la co-rriente alterna que abastece a las lineas detransmisión eléctrica. El reloj -principalde las centrales de energía, frecuentemen-te, es de péndulo.

1.5 El tiempo y el día solar medio. Losastrónomos han considerado siempre tresclases de tiempo: primero, el tiempo side-ral; segundo, el tiempo solar aparente, ytercero, el tiempo solar medio. Este últimoes el que se usa en la vida diaria. Si colo-camos la saeta de un reloj de sol en elplano vertical norte-sur en un determinadolugar de la superficie de la Tierra, se llamaun día solar aparente al intervalo de tiem-po que transcurre entre dos tránsitos su-cesivos de la sombra del sol sobre la marcade las doce en el cuadrante del reloj. Esteintervalo de tiempo varía ligeramente de un

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día a otro, debido a varias razones, siendouna de ellas la fonna elíptica de la órbitaterrestre. Un día solar aparente del mesde diciembre, es cerca de un minuto máslargo que .un día solar aparente de sep-tiembre. Se comprende fácilmente que estedía solar, aparente no puede servir para re-gular los relojes tan exactos que ahorausamos.

La duración promedio de todos los díassolares aparentes de un año solar, se llamadía solar medio. .Este es un intervalo detiempo satisfactorio para nosotros, ya queI!0 varía y se puede conservar mediante re-lojes regulados. El intervalo de tiempo lla-mado segundo, se define como 1/86400del día solar medio.

111 11 seg==- X - X -- día

60 60 24 . ~ - ~ -

Hay 365.2421 días solares medios en unaño solar; es decir que, con resPecto alSol, la Tierra efectúa 365.2421 vueltas so-bre su eje, mientras completa una revo-lución en su órbita.

Para usos astronómicos se usa una es-

cala de. tiempo diferente, llamada tiemposideral. Hay un día sideral más en el añosolar que el número de días solares medios.Un año solar es igual a 366.2421 días si-deraIes. La razón de que exista este díaadicional, es. que al efectuar una vueltacompleta alrededor del Sol, siguiendo suórbita, la Tierra ha efectuado realmente366.2421 revoluciones con relación a lasestrellas fijas. El segundo sideral medidopor un reloj astronómico, será, en conse-cuencia, ligeramente más corto qqe un se-

FÍSICA DESCRIPTIVA

gundo marcado por un reloj ordinario quemida el tiempo solar medio.

1.6 Unidades del Sistema Métrico Deci-mal. Casi todos los experimentos cientí-ficos en el mundo entero se efectúan usan-do unidades del Sistema Métrico Decimal.En estas unidades, las distancias se midenen milímetros, centímetros, metros o kiló-metros. La masa se mide en gramos o kilo-gramos; y el tiempo se mide en segundos,minutos o en horas. En este sistema, laabreviatura CGS significa, centímetro, gra-mo, segundo, y MKS significa metro, kilo-gramo, segundo.

El sistema inglés se usa en la vida prác-tica en los Estados Unidos y países de laComunidad Británica, y emplea pies, yar-das o millas como unidades de longitud;qnzas, libras o toneladas cortas como uni-dades de peso o fuerza, de las cuales puedecalcularse la masa; y el segundo como uni-dad de tiempo. En estos países se sigueusando el sistema inglés, con sus comp1ic~das fracciones, porque está fIrmementearraigado en la vida común y esto hacemuy difícil que se pueda llegar a sustituidocompletamente con el Sistema Métrico De-cimal; pero actualmente hay un movimien-to muy fuerte de opinión, encaminado alograr este cambio.

La principal ventaja del Sistema MétricoDecimal, comparado con el sistema inglés,es que todas las unidades se dividen en dé-cimas y centésimas partes. Esto pennite quelas distancias y masas fraccionarias, se ex-presen en fonna decimal. Los decimales,como bien se sabe, son manejados más fá-cilmente en las operaciones aritméticas.

PREGUNTASY PROBLEMAS

1. ¿Cuántos metros equivalen a 25 mi? ~ autom6vil es de 16 ft, 4 in de lar-(Resp. 40 234. m.) go. Encontrar su longitud en metros. (Resp.

4.98 m.)

6. Encontrar la altura en metros de unhombre de 5 ft, 10 in de alto.

7. Encontrar el número de metros cua-4. Encontrar la distancia a la luna en me- dradoS en una milla cuadradá. (Respuesta.

tros si es de 239000 mi. 2 589000 m2)

2. ¿Cuántas millas hay en 70 km?

~uántos metros hay en 5 ft? (Resp.1.52m.)

UNIDADES DE MEDICI6N

8. ¿Cuántos metros cuadrados hay en unacre? Una milla cuadrada contiene 640 acres.

9. Un hombre de 75 kg, ¿cuántas libraspesa? (Resp. 165.4-lb)

10. U n carro pesa 4 200 lb. ¿Cuál es sumasa equivalente en kilogramos?

11. Un cuarto de galón de agua pesa 2 lb.¿Cuál es su masa equivalente en gramos?(Resp. 907.2 g.)

i2. ¿Cuál es el peso en libras que equi-vale a una masa de 45 kg?

~ Qué masa en kilogramos equivale aun peso de 50 lb? (Resp. 22.7 kg )

14. ¿Cuántos segundos hay en un día?

15

15. ¿Cuántos segundos hay en una sema-na? (Resp. 6()4.800 seg.)

~ncontrar el número de segundos quehay en 5 hr y 25 mino

17. Un avión a retropropulsión tiene unpeso de 100 000 lb. ¿Cuál es su masa en kg?(Resp. 45 360 kg.)

18. ¿Cuál es la altura de un hombre enmilímetros si mide 6 ft de alto?

19. Encontrar el número de milímetrosque hay en una yarda. (Resp. 914 mIn.)

~ál es la circunferencia en milíme-tros de una bola de 6 in de diámetro?

2

RAPIDEZ, VELOCIDADY ACELERACION

2.1 Velocidad. La velocidad se define

como la rapi~ez de ca~b.i? de posición. Ya La respuesta es 60 km/ hora hacia el Este.que el cambzo de poszczon de un cuerpo Las unidades son tan importantes como los

números y deben ser incluidas en la respuesta.

La Mecánica se define como la rama dela Física que se ocupa de estudiar los mo-vimientos y estados de los cuerpos mate-riales. Generalmente se divide en dos par-tes, la primera llamada cinemática, quedescribe los varios tipos de movimientos, yla segunda, llamada dinámica, trata de lascausas que hacen cambiar los movimientos.La dinámica, a su vez, se divide en dospartes, estática y cinética.

La estática estudia los cuerpos en estadode equilibrio, condición que se logra porfuerzas equilibradas, mientras que la ciné-tica estudia los cambios de movimiento pro-ducidos por una o más fuerzas no equili-bradas. Se presentarán primero los concep-tos elementales de rapidez y velocidad comointroducción a la cinética.

v~

~....

A

tys

.-

8

Flg. 2A. Diagrama de un cuerpo moviéndose con v~locldad constante.

se mide por la distancia recorrida, esta defi-nición de velocidad puede escribirse así:

Vel. media - distan~ recorrida (2a)tiempo

Como una ecuación algebraica:

8 (2b)

Donde v es la velocidad, d es la distanciarecorrida y t el tiempo transcurrido.

En la fig. 2A se ilustra el cambio deposición. Un automóvil, viajando con velo-cidad unifonne a lo largo de una línea rec-ta, pasa por el punto A en cierto instantey por el punto B en otro momento poste-rior. Al sustituir en la ecuación (2b), ladistancia recorrida será AB, y el espaciode tiempo entre A y B será t segundos.

Ejemplo 1. Un hombre necesita 2 horaspara llevar su automóvil a una ciudad queestá a 120 kilómetros hacia el Este. ¿Cuál essu velocidad media?

Solución. La distancia recorrida d = 120kilómetros y el intervalo de tiempo t = 2 ho-ras. Por lo tanto, la velocidad es:

v = 120km = 60 km2horas hora (2c)

Si en el resultado del ejemplo anteriorse reemplaza el tiempo de 1 hora en eldenominador por su equivalencia de 3 600segundos, la velocidad de 6Q km/hora seconvierte en

km kmv=60-=60--

hora 3 600 seg

=0.0167 kmseg

Si al mismo tiempo la distancia de 1 kmdel ~umerador se sustituye por su equiva-lente de 1 000 m,

(2d)

16

RAPIDEZ, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

v = 60 km 1:::: 60 1000mhora 3 600 seg

m= 16.7-seg

Las tres respuestas dadas, 60 km /hora,0.0167 km/seg y 16.7 m/seg, son exacta-mente iguales, sólo que están expresadasen diferentes unidades.

(2e)

Ejemplo2. Un tren de juguete corre a 10/largo de una vía recta a velocidad constantey necesita 8 segundos para recorrer una dis-tancia de 20 Imetros. Encuentre su velocidad.

Solución. Aquí la distancia d.= 20 m y elintervalo de tiempo t = 8 seg, la velocidadserá:

20m mv = - = 2.5..:..-

8 seg seg

La respuesta es 2.5 mjseg. Para cambiaresta respuesta a centímetros por segundo, launidad 1 metro que está en el numerador, secambia por 100 cm, que es su equivalencia,y el resultado será:

m 100 cm cmv = 2.5- = 2.5- = 250-

seg seg seg

2.2 Distancia recorrida. Si se conoce lavelocidad de un cuerpo, se puede calcularla distancia recorrida en un tiempo dado.Para estos problemas se modifica la ecua-ción (2b) despejando d. Multiplicando losdos miembros de la ecuación por t, no sealtera la igualdad.

dtvt=-t

Suprimiendolas t del segundomiembrodela ecuación,obtenemosvt = d, o sea,

I d = vI I(2f)

Ejemplo 3. Si un cuerpo se mueve convelocidad de 45 mjseg, ¿a dónde llegará en2 min?

Solución. Usando la ecuación (2f), obte-nemos

cm . cmmind=45- X 2mm = 90-

seg seg

17

Para eliminar las unidades de tiempo enesta respuesta, deberán expresarse tiemposen las mismas unidades. Para ello se puedencambiar los minutos a segundos, como si-gue:

cmd = 45- X 120seg = 5400cm

seg

Nótese que los seg del numerador se anu-lan con los seg del denominador, dejandocm en la respuesta como unidades de lon-gitud. Esto nos ilustra una regla corrienteque se sigue, generalmente, al resolver to-dos los problemas. Las cantidades semejan-tes se expresan en las mismas unidades.

Dividiendo los dos miembros de la ecua-ción (2f), por v y suprimiendo las v enel segundo miembro de la ecuación, nosqueda

dt=-v (2g)

Una ecuación para obtener el tiempo delviaje en función de la distancia recorriday de la velocidad.

Ejemplo 4. Si un automóvil viaja con ve-locidad media de 30 kmjhora, ¿cuánto tar-dará en recorrer 175 km? .

Solución. U sando la ecuación (2g), obte-nemos

d 175 kmt = - = .= 5.83horas

v 30 km/hora

2.3 Vectoriales y escaIares. Casi todos losresultados de las medidas físicas puedenclasificarse en cantidades vectoriales y es-calares, sin importar la sencillez o comple-jidad de los aparatos con que se tomaronlas lecturas. Las cantidades medibles quetienen magnitud y dirección son llamadasvectoriales. Ejemplo de cantidades vectorÍa-les son desplazamiento, velocidad, acelera-ción y fuerza. Las cantidades mensurablesque tienen magnitud solamente, se llamanescalares. Como ejemplos de cantidades es-calares, están el volumen, el área, la den-sidad y la masa.

La importancia de esta distinción apa-rentemente trivial, entre cantidades que tie.

18

.

nen direcci6n y cantidades que no la tienen,se apreciará al resolver algunos problemas,en que haya que efectuar la adición de doso más cantidades semejantes.

Con las cantidades escalares no se en-cuentra dificultad, ya que tales cantidadesse suman algebraicamente. Por ejemplo, alsumar dos litros y tres litros, resultan cincolitros. Por otra parte, la :adición de dosvectores, es más complicada y requiere unproceso especial llamado composición devectores, que será tratado detalladamenteen el Capítulo 5.

2.4 Rapidez y velocidad. Los términos ra-pidez y velocidad, se usan con frecuenciacomo sinónimos. 'Hablando estrictamente,la rapidez es una cantidad escalary la ve-locidad una cantidad vectorial. Fue expli-cado, en la secci6n anterior, que las canti-dades vectoriales tienen magnitud y direc-ción, mientras que las escalares sólo tienenmagnitud.

La rapidez es el término aplicado. sólo ala magnitud de la velocidad, y no especi-fica la direcci6n del movimiento. Al mo-

verse a lo largo de una línea recíj1, losvalores numéricos de la rapidez y la velo-cidad, son iguales. Pero si la rapidez a lolargo de una trayectori,!-curva es constante,la velocidad no se considera uniforme, de-bido a que va cambiando de direcci6n.

Cuando se mueve un cuerp() con rapidezconstante a lo largo de una línea recta,cuya direcCiónes definida, se acostumbraa hablar de su velocidad. Al moverse a lolargo de una trayectoria recta o cmva dela cual no se.ha fijado dirección, lo correc~

FfslCA DESCRIPTIVA

to es hablar de su rapidez. La rapidez y lavelocidad tienen las dimensiones de longituddividida por tiempo.

Ejemplo 5. Convertir 30 millasjh en kil6-metros por hora.

Solución. En la tabla, vemos que 1 milla/hde la columna izquierda es (leyendo horizon-talmente .hasta la cuarta columna) igual a1.6093 km/h, por lo tanto,

km30 X 1.6093.= 48.279 h

Redondeando la respuesta a tres cifras sig-nificativas, será

30~ = 48.3~

El nudo es una unidad náutica de rapi-dez, cerca de un 85% mayor que la rapidezexpresada en kilómetros por hora. No escorrecto decir que la rapidez de un barcoes de 10 nudos/hora. Lo correcto es decirque su rapidez es de 10 nudos.

2.5 - Aceleración uniforme. Sielnpre quela rapidez o la velocidad de un cuerpo cam-bian, el movimiento se describe como movi-miento acelerado. La aceleración se definecomo la rapidez con que cambia la veloci-dad. Un automóvil "ganando" velocidad,tiene una aceleraci6n positiva.. mientras queotro que va "perdiendo" velocidad, tieneuna aceleraci6n negativa. Un automóvil es-tacionado o moviéndose con velocidad cons-tante, no tiene aceleraci6n.

Considérese la fig. 2B que ilustra el mo-vimiento unifonnemente acelerado de un

TABLA 2A. FACTORES DE CONVERSIÓN DE RAPIDEZ Y VELOCIDAD

Velocidad m{seg pié/seg km/h mi/h nudos

1 m/seg = 1 3.281 3.600 2.24ú 1.94ú

1. pie/seg = 0.30480 1 1.0973 0.6818 0.5921

1,km/h = 0.27778 0.9113 1 0.6214 0.5396

1 milla/h = 0.44704 1.4667 1.6093 1 0.8684

1 nudo = 0.51480 1.689 1.853 1.152 1

La respuesta es cinco metros por segun-do, por segundo,y signüica que la velocidadaumenta 5 m/seg en cada segundo de tiem-po.. Inicialmente la velocidad era de 20m/seg. Un aumento de 5 m/seg, significaque después de un segundo, la velocidadserá 25 m/seg; al cabo de dos segundos, esde 30 m/seg; al final de 3 segundos, es de35 m.jseg, y pasados 4 segundos es de 40m/seg (véase la fig 2C). Una aceleracióncOnstante es, pues, aquella en que el cam-bio de la velocidad tiene valores iguales en'cada segundo.

... 28 U 0 aceIracIodu MI Cuando un cuerpo va deteniéndose, la. . n 8 , I811URM. velocidad inicial es mayor que la velocidad

fmal y, por lo tanto, la aceleración dadapor la ecuación (2h), es negativa.

EjemPlo 7. Al subir Una loma, un auto-móvil disminuye de velocidad desde 60 km/ha 30 km/h en 2 min. Encuéntrese la acele-ración.

Solución. Sustituyendo en la ecuación(2h), obtenemos,

I .; = velofinal - vel. inicial 30 k Ih - 60 km/h kmace eraaon tion a = m = - 15-

po 2 min hmino algebraicamente como L"_..~ 1 1

.d d d.. 15 k /hL4aunces, a ve 0Cl a lsnunuye. m

~ cada mIn~ Durante el primer minuto bajaa = :-=-~

.(2h) de 60 km/h a 45 km/h, Y en el segundo mi-

t nuto, desciende de 45 kmfh a 30 km/h.

Ejemplo 6. Supongamos que en A, de la 2.6 Movimiento a partir del r~.lig. 2 B, la velocidad del automóvil ~ de Cuando un cuerpo empieza a moverse par-20 m/seg, que en B ha aumentado hasta tiendo del repa;o y sufre una aceleración

RAPIDEZ, VELOCIDAD- Y ACEI.ERACI6N

automóvil. Debido a que la fuerza constan-temente ejercida por el motor a través dela transmisión actúa sin inteITUpeión, elvehículo es acelerado constantemente al mo-verse a lo largo de la línea AB. .Al pasarpor A, tiene una velocidad relativamentebaja Vo, mientras que, al avanzar en la tra-yectoria hasta el punto B, ya se va movien-

~ v ,.

~t....

A~

8

do más aprisa y tiene una velocidad V. Lavelocidad inicial es llamada Voy la veloci-dad final, v.

Si el tieInpo necesario para ir de A a Bes t segundos, por la definición arriba men-cion~da, la aceleración se expresará nor-malmente de la siguiente nlanera.

Vo- --.~~1130 m/seg

~~20 m/seg

~25 mI seg

19

~35m/seg

y------~'.~

40 mi seg

..Fi,. 2(. 11aufo4Mvll del "'''''''0 6.

40 m/seg y que necesitó cuatro segundos para constante, la velocidad inicial Vo, dada enir desde A hasta B. ¿Qué ar.-eleracióntiene? la ecuación (2h), es cero; es decir, Vo== O,

SoltU:wn. Sustituyendo directamente en la entonces la aceleración a puede obtenerseecuaci6n (2h), obteneIIlOS, por esta ecuación más breve.

- 40 m/~ - 20 Inl seg - 20 mjsega -- - --~.4 seg 4 seg=,,~....

aegseg BJ (2i)

20

Despejando la velocidad, toma esta forma

v=at (2j)

EjemPlo 8. Un aeroplano que parte delpunto de reposo en un extremo de la pista,adquiere su velocidad de arranque de 100kmjh en 8 seg. ¿Qué aceleración tiene?

Solución. Aplicando la ecuación (2i), ob-tenemos,

100 kmJh kma= = 12.5-

8 seg h seg

La respuesta es 12.5 kilómetros por horapor segundo.

2.7 Aceleración de caída por un plano in-clinado. Puede hacerse con un Dlano incli-nado un estudio de la aceleració~, y la com-probación experimental de las fórmulasdadas anteriormente. En la fig. 2D se re-presenta una bola rodando por una ranuradesde la parte alta de un largo plano in-clinado. Conforme la bola baja con unarapidez continuamente creciente, se anotasu posición a cada oscilación de un metró-nomo o reloj de Péndulo. En el experimento

FÍSICA DESCRIPTIVA

representado aquí, el ángulo del plano seha ajustado de manera que la distancia re-corrida en el primer segundo sea de 20 cm.Después de 2 segundos, habrá recorrido unadistancia total que resulta ser de 80 cm. Entres segundos recorre 180 cm, etc. Al ta-bular estas mediciones para los primeroscinco segundos, se obtienen las dos primerascolumnas de la tabla 2B.

Para encontrar la velocidad obtenida al

final de cada segundo, se coloca un cortoriel horizontal, en las posiciones uno, dos,tres, cuatro, etc., sucesivamente. En cadauna de estas posiciones se mide la distanciarecorrida sobre el riel horizontal en un se-gundo, y esto nos da una medida directade la velocidad adquirida en el plano in-clinado. Así encontramos que después deun segundo, la velocidad es de 40 cm/seg;después de 2 seg; la velocidad es de 80 cm/seg, ete. Estos valores, medidos experimen-talmente, aparecen tabulados en la colum-na 3 de la tabla.

Un estudio cuidadoso de las columnasprimera y tercera, demuestran que la velo-

1=0

Flg. 2D. Experimento d. un plano Inclinado, Indicando la. dl.tancla. ..corrida. cada 1egundo poruna bola al descender rodando por el plano.

21RAPIDEZ, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

TABLA 2B. VALORES CALCULADOS y EXPERIMENTALES DETERMINADOS EN ELEXPERIMENTO DEL PLANO INCLINADO DE LA FIG. 2D.

cidad v es directamente proporcional altiempot.

v o: t.Para escribirlo en fonna de ecuación al-

gebraica, se reemplaza el signo de propor-cionalidad por una igualdad y una cons-tante k.

v = kt. (2k)

El valor de k puede determinarse, delexperimento anterior, en la fonna siguiente.Divídase cada valor de v, de la terceracolumna, por el valor con-espondiente det, de la primera columna, y se obtendrá40 cmjseg2 como resultado común.

Por tanto, k = 40 cmjseg2 y

v=40t

Refiriéndonos a la eco (2j), se ve que laconstante 40 no es otra cosa que la- acele-ración. En otras palabras, es el aumento develocidad en cada segundo. Cada segundoJ

(21)

la bola aumenta su velocidad en 40 cmjseg.Reemplazando este 40 en la ecuación (21)por a, obtenemos

v=at

que es la ecuación (2j).Para encontrar la relación que da la dis-

tancia recorrida a lo largo del plano incli-nado, se observa que d, en la segunda co-lumna, es proporcional al cuadrado de tanotado en la séptima columna.

d o: t2, Ó d = kt2

Para encontrar la constante de propor-cionalidad k, cada distancia d, se divideentre el valor con-espondiente de t2,dando20, como lo muestra la columna 6. Ya queesto es justamente la mitad de la acelera-ción, podemos escribir t a como el valorde la constante k, y obtener

I d = t al' I(2m)

PREGUNTAS Y PROBLEMAS

1. Definir o explicar brevemente los si-guientes términos: a) velocidad, b) rapidez,e) aceleración, d) vector, e) escalar, f) ace-leración negativa y g) nudo.

2. Definir los términos: a) vector y b) es-calar, y explicar su diferencia brevemente.Dar un ejemplo de cada uno.

3. Explicar brevemente la diferencia quehay entre rapidez y velocidad.

4. Hacer un diagrama y explicar breve-mente el experimento del plano inclinad9.

¿Qué cantidades se miden en este experi-mento y qué relaciones se derivan de él?

~n avión vuela 420 mi en 1 hora 20minutos. Encontrar su rapidez media. (Resp.315 mi/h.)

6. Un tren hace un viaje de Nueva Yorka Chicago, una distancia de 900 mi, en lahoras. Encontrar su rapidez media.

-r--U n vehículo viaja 146 mi en 3 h, 45minutos. Encontrar su rapidez media. (Resp.38.9 mi/h.)

Tiempo Distancia Velocidad I v dt2 iat2

t seg dcm v cm/segat

t2t

O O O - O - O O1 20 40 40 40 20 1 202 80 80 40 80 20 4- 803 180 120 40 120 20 9 1804 320 160 40 160 20 16 3205 500 200 40 200 20 25 500

22

8. Un.ban:o viaja a 118 nudos hacia elEste durante 16 h. ¿Cuántas millas ha reco-rrido?

~ auto de carreras viaja a 240 mi/hen una pista recta y a nivel. ¿Cuál es surapidez equivalente en km/h? (Resp. 386.2km/h. )

10. Si un barco tiene una rapidez de 32nudos, ¿'cuál es su rapidez en mi/h?

.JJ-:'Ú n barco tiene una rapidez de 26 nu-dos, ¿cuál es su rapidez en km/h? (Resp.48.2 km/h.)

12. Un aerotransporte 707 jet tiene unarapidez de 600 mi/h, ¿cuántos pies viajaen un segundo?

l.3:'i Cuánto tardará un avión jet viajandoa 580 mi/h para viajar de San Franciscoa Hawai, una distancia de 2200 mi? (Resp.3.79 h.)

14. ¿Cuánto tardará un auto a 45 mi/hen viajar una distancia de 3 000 mi?

~ Cuánto tardará un hombre en ca-minar 12 mi si su rapidez media al caminares de 3.2 mi/h? (Resp. 3 h, 45 min).

~ avión jet partiendo del reposo enel extremo de la pista adquiere su velocidadde despegue de 180 mifh en 60 seg. Encon-trar su aceleración en ft /seg2.

~ tren que iba con una rapidez de5 ftfseg recibe una aceleración constante. Sial final de 2 min tiene una rapidez de 20ft/seg, ¿cuál ha sido su aceleración? (Resp.0.1"25ft/seg2.)

FÍSICA DESCRIPTIVA

18. Un vehículo que parte del reposo, ad-quiere una rapidez de 40 mi/h en 20 seg,¿cuál es su aceleración en ft/seg2?

~rtiendo del reposo en ~í extremo deuna pista, un avión recibe una aceleraciónconstante de 3.5 ft/seg2. Encontrar su velo-cidad después de 8 seg. (ReoSp.28.0 ft/ seg.)

20. Un avión de pasajeros, parte del re-poso en el extremo de su pista de arranque ymantiene una aceleración constante de 4 ft/seg2, ¿cuál será su rapidez al final de 50 seg?

~rtiendo del reposo, un auto de ca-rreras adquiere una rapidez de 90 mi /hr en50 seg. Encontrar, a) la aceleración y b)la distancia recorrida. (Resp. a) 2.64 ftj'seg2;b) 3 300 ft.)

22. Un bote de motor parte del reposo yadquiere una rapidez de 30 mi/h en 10 seg.Encontrar, a) la aceleración y b) la distanciarecorrida durante este tiempo.

~ un auto, viajando a 60 mi/hr, sele aplican los frenos y se hace quedar en re-poso en 5 seg. Encontrar, a) la aceleracióny b) la distancia recorrida. (Resp. a) -17.6ft/seg2; b) 220 ft.)

24. A un tren, que va viajando a 45 mi/h,se le aplican los frenos y se detiene en 1 min,20 seg. Encontrar, a) la aceleración y b) ladistancia recorrida.

25. Se c.ae una caja de un camión niien-tras éste viaja a 60 mi/h. Si la caja se deslizapor el pavimento y acaba por pararse a ]os8 seg-,¿cuál es, a) la aceleración y b) la dis.tancia deslizada? (Resp. a) -11 ft/seg2;b) 352 ft.)

3LEYES DEL MOVIMIENTODE NEWTON

En el capítulo anterior se describieronlos movimientos de los cuerpos en funciónde su rapidez, su velocidad y su aceleración.Las definiciones de esas magnitudes, las le-yes y ecuaciones que las relacionan, se cIa-süican dentro de la parte de la mecánicallamada cinemJÍ1iCll.En este capítulo se vaa estudiar la causa del movimiento. Paraello se req6iere la introducción de los con-ceptos de masa y de fuerza y su aplicaciónen las ecuaciones ya presentadas.

Corresponde a lsaac Newton * el méritode haber sido el primero que introdujo sis-temáticamente estos conceptos en la mecá-nica y formuló las leyes que gobiernan el

* Isaac Newton (1642-1727), físico y matemá-tico inglés, nació el día de Navidad de 1642. Hizosus estudios en el Colegio de la Trinidad enCambridge, donde en 1665 recibió el título deMaestro en Arte. Poco después la, peste negralo obligó a retirarse a su vieja casa en Woolsthorpe,donde se desarrolló su genio en los años de 1665 y1666. En este período, inventó el cálculo, descubrió la composición de la luz blanca y concibió laidea de la gravitación universal. En los años si-guientes, publicó muchos de sus trabajos de ópticay desarrolló sus ideas sobre la gravitación, que fue-ron publicadas en 1687 en su libro Principia. A laedad de 50 años sufrió un colapso nervioso y nuncavolvió a hacer trabajos científicos extensos, perose dedicó a la Teología. Se volvió muy distraídoy descuidado de su apariencia personal. Su libroPrinciPia es considerado uno de los más grandesmonumentos del intelecto humano. Newton esta-blece en él las bases de la mecánica, que han sidosuficientemente amplias para contener todos susfuturos desenvolvimientos, y aplica la mecánica alos movimientos de los cuerpos celestes bajo lasleyes de gravitación. Fue elegido miembro del Par-lamento: fue presidente de la Real Sociedad Bri-tánica durante 25 años, en 1705 fue annadocaballero por la Reina Ana. La grandeza de estehombre modesto se ilustra por una frase que dijoen su lecho de muerte: "~i yo he visto más l~jgsque otros,ha-.§.ido P..9t<I!1~..p.,ude apoyarme -sób:relos hombros de .gig~n~s.': . '" - '" -

.

movimiento. tstas constituyenlos principiosfundamentales de la rama de la mecánicallamada dinámica, y se establecen en tresleyes conocidas generalmente c.omo las~-yes del movimientfL.4!. N ewtO;..n.

3.1 Primera Ley del Movimiento de New-ton. TJn CI1P.rpoen rejlas.o-1l.cfJ.1],mallim.ic_n-lo uniforme., segMirá,gn re..poso o con 11}t!p"i-miento y,nifor1!lfb f!..1!l§nos ~ue actúe sobre~l una tuerza extu.nlL.t Esta ley se puededemostrar por muchos experimentos senci-llos. En la fig. 3A, se representa el procesode quitar el mantel de la mesa por debajode la vajilla y los cubiertos, sin trastornarsu colocación. En la fig. 3B, se ilustra uncarro en libertad de moverse sobre una víarígida y lisa. Si los rieles son movidos rá-pidamente hacia la derecha o la izquierda,la~ ruedas del carro girarán, pero el carroen sí tenderá a seguir en reposo.

En ambos experimentos, la vajilla y elcarro están en reposo. Tienden a seguir enreposo porque el movimiento brusco de losobjetos sobre los que están apoyados, noejerce una fuerza grande durante un tiem-po apreciable. En realidad, la vajilla y elcarro se mueven ligeramente debido a laspequeñas fuerzas de fricción que hay entrelas partes móviles en contacto. La tenden-cia de.JQd<LQQkto 2.. ~jr_en.-reposD,-Se.debe a esa propiedad, común a -todoslos cuerpos materiales, llamada inercia. Lainercia de un cuerpo puede definirse como

t La primera Ley del Movimiento de Newtonviene dada en latín en su famoso libro P.rincipia:Lex 1. Corpus omne praservare m statu suo quie-sendi vel movendi uniformiter in directum, ni";quatenus illud a viribus impressis cogitur statum.fuum mutare.

23

24 FfsICA DESCRIPTIVA

Flg. 3A. Se p..8de sacar el mantel sin mover ola valllla y los cubiertos.

aquella prl?pie4...ad_4~,ucrpo _que tiende aoponem a-.f..1!~J..gtHer._cambia. de su estad!)d.!.J.P..PoJ~ de movimiento. La masa sedefine como la Jl!:!!!!iJa- cuantitaJiua-!ltLlain.er.cia. En el sistem--a-méttiCó, la masa semide en gramos o kilogramos.

Un tercer experimento, que compruebala inercia, y la primera ley de Newton, estáreprr.sentado en la fig. 3C. Una Pequeñamasa M de 1 000 gramos se suspende porun hilo delgado A, luego se tira hacia aba-jo, mediante otro pedazo B del mismo hilo.Si la fuerza F es de acción lenta y continua,el hilo se romperá en A.; mientras que sies un estiramiento brusco, siempre se rom-Perá en B. En el primer caso, la tensiónsufrida por la cuerda de arriba, es mayory equivale a la fuerza F más el peso de la

mil carro

~carril

31. Se pued.n mover rápldam~;.te los carrilessin conseguir que.. mueva el vehlculo.

abajo lo suficiente para estirar y romper elhilo superior. Lo que permite que se apli-que, por un instante, la fuerza F sólo alhilo de abajo, es la inercia de M.

Si al carro de la fig. 3B se le hace queempiece a rodar a lo largo de los rieles, laprimera ley de Newton establece que debeseguirse moviendo con la misma velocidad.Por supuesto que la ley desprecia la fric-ción, 'pues nosotros sabemos que si se dejaactuar al rozamiento, éste hará Que se de-

A

masa M. En el segundo caso, la fuerza Fes muy grande, momentáneamente, y hace

que- se rompa el hilo antes de que la m~ Flg. 3C. Un tirón bruscoen F rompeel hilo en 1; unM haya tenido tiempo de moverse hacIa tirón lento y continuo,lo rompe en A.

26

F.~ lb

a-' pie/seo

masa de 1- gJ;am~h-'e-produceuna acelera-cJi11.Jle 1- nn-l-sB&. En el sistema CGS(centímetro, gramo, segundo), las unidadesde la ecuación (3a), serán

ldina=lgX l~;Hay una preferencia creciente entre los

.;ientíficos y los profesores de física, por eluso del kilogramo y el metro en lugar delgramo y el centímetro como unidades demasa y longitud. Conforme al sistemaMKS (metro, kilogramo, segundo), la uni-dad de fuerza es llamada newton en honma Sir Isaac Newton. El newton s~..-tkti'PecOJ!!oJafuerza qu~al apl%carseq,!t1l41?!ll§ade 1 kilogramo, le produce una aceleraciónde 1 m/-selt. - - - - - - ~

En el sistemaMKS de unidades, la ecua-ción (3a), se convierte en

m1newton=lkgX 1~

~ ses

Ejemplc 2. DeteI'minar qué fuerza cons-tant.e en newtons, aplicada a una masa decuatro kilogramos, produce una aceleraciónde 3.8 m/seg2. Despreciar la fricción.'-Solución. Aplica:I}do la ecuación de la

fuerza, F = ma, obtenemos

m kgmF = 4 kg X 3.8 - = 15.2-

seg2 seg2= 15.2 newtons

La respuesta es una fuerza constante de15.2 newtons.

(3b)

La dina y el newton son unidádes abso-lutas de fuerza. Se obtienen de la ecuaciónde la fuerza cuando son usadas las unida-des absolutas de masa y de tiempo, comolo hicimos antes.

Ya que un kilogramo = 1 000 gramos,y un metro = 100 centímetros,

1 newton = 100 000 dinas.

:rfSICA DKSORIPTlVA

a-Im.lseg a - I cm./sea

3.3 El sistema de unidades para ingmie-ría. Los ingenieros de los ~ises de hablainglesa.-y de otros países que importan ma-quinaria producida allá, usan con frecuen-cia otro sistema distinto que el métrico, enel cual se miden las fuerzas en libras. Paraaplicar la Segunda Ley del Movimiento deNewton expresada por la ecuación de lafuerza F = ma, se necesita introducir una~dad de masa llamada el slMg.Verla fi-gura 3E. Un_~&. se define co_mola ma$aq~&GiIm-de-una--¡.uer-za-de l-lbrreciblJ...1!.n!1 a~ele1:ación de 1 ftl seg2.

llb = 1 slug X 1 ft/seg2. (3c)

LaJ1lasD.de..un -cuerpo -en slugs pu'edeobtenerse diuidiendo _su-peso en-libras.entr.e-~2.

Veremos en la Seco4.3 que el número 32se deriva de la aceleración de los cuerposen caída libre.

La diferencia entre la masa y el pesode un objeto se tratará en detalle en la Sec-ción 6.1.

Ejemplo 3. ¿Qué fuerza horizontal en li-bras producirá una aceleración de 6 ftjseg2a un pequeño carro que pese 176 libras?

Solución. Aplicando la segunda ley deNewton, la ecuación (3a), obtenemos,

176 ftF = -slugs X 6-

32 seg2

ftF = 5.5slugsX 6- = 33lb

seg2La respuesta es: Una fuerza constante de

33 lbs.

Para ilustrar lo digna de confianza quees siempre la segunda ley de Newton, con-sidérese la siguiente paradoja. Se coloca uncarrete de hilo sobre una mesa, como se in-dica en la fig. 3F, con el hilo saliendo

LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEW1"ON

de la parte de abajo del carrete. Si se apli-ca una fuerza F, se hará que se mueva elcarrete. ¿Para d6nde rodará? ¿Hacia la de-recha, enrollando el hilo, o hacia la izquier-

Flg. 3.. Al tirar" hU. hada la , ,.....dónde ruedael carme, a la del8Cha. la Izqulen88?

da, desenrollándolo? Se le deja al estudiantecomo problema, para que ejecute este ex~rimento y explique el resultado.

3.4 T.ercem.l&Ldel Movimiroto de New-~ De las tres leyes del movimiento deNewton, quizá la tercera es la menos com-prendida. Esto se debe probablemente alhecho de que se usa poco para resolverproblemas, y frecuentemente se aplica enfonna incorrecta. Esta ley establece que,_at;!!ialt~_erza de acción se opone una fuerza!guql y opuesta de reacción.*

El principio de la acción y la reacciónse puede ilustrar mediante un bate de béis-bol pegando a la pelota, fig. 3G. Duranteel impacto, el bate ejerce una fuerza F so-bre la pelota y ésta ejerce una fuerza Gigual Y opuesta actuando sobre el bate.

La fuerza F que está ejerciéndose sobrela pelota, le produce a ésta una aceleraciónhacia la derecha, mientras que la fuerza Gque se ejerce sobre el bate, le produce aéste una aceleración hacia la izquierda. Lapelota se acelera durante el impacto y ad-quiere una gran velocidad, mientras queen ese mismo espacio de tiempo,. el bate seretarda reduciendo su velocidad.

Considerando el segundo ejemplo, untrow de madera colgando de una cuerda,

* La Tercera Ley de Newton, como se public6en latín en su PrinciPia es: Lex 111. A.ctioni con-trariam semper et eequalem esse reactionem; sifleCQTpOru.m duorum actiones in se mutuo snnperesse eequales et in partes contrarias dirigí.

27

como se ilustra en la fig. 3H, el peso deltrozo de madera W es la fuerza. con quela Tierra lo atrae hacia abajo, mientrasque la fuena igual J contraria X, es la

f

,¡~;,

ao.. ,. - la -fueraa Isual ... "Itud , contrariaea dl..cd6n . la

'ueraa que elerce la pelota lob.. el bate.

fuerza hacia arriba ejercida por el trozo demadera actuando sobre la Tierra.

Además de este par de fuerzas, el trozode madera ejerce una fuerza hacia abajoG sobre la cuerda, mientras que la cuerdatira hacia arriba con la fuerza de reac-ci6n F. Estas fuerzas pueden causar con-

lF1c

g:~~{?>t::?t~g?j}.ri¡:::>:\':',//:ftj erra' i¡,~~~g~~:::tJ~;;':;;7::;z:t(:",::.

FI,. 3H. Tercera le, del movimiento de N.wton. La,fuerzaa exllten oiemp.. por paNO.

28

fusión a muchas personas; pero, para sutranquilidad, debe hacerse notar que el mis-mo Newton tuvo algunas dificultades alaplicar su tércera ley a determinados pro-blemas. La dificultad viene de que muchasveces se intenta la aplicación de las fuerzasde acción y reacción al mismo cuerpo, cuan-do realmente se deben aplicar a cuerposdiferentes. Es importante notar que la fuer-za de acción y la fuerza de reacción de latercera ler de Newton, actúan sobre cuerposdiferentes.

El estado de un cuerpo, ya esté en reposoo en movimiento, depende de las fuerzasque actúan Jobre este cuerpo, y no de lasfuerzas ejercidas por él sobre otros cuerpos.Por lo que respecta al cuerpo en estudio,estas últimas fuerzas no influyen en su mo-vimiento.

3.5 El, experilnento del trm y la vía. Elexperimento del tren y la vía, es otra ilus-tración de la tercera ley de N ewton. Lasruedas motrices del tren, empujan haciaatrás a los rieles con la tuerza B, y éstosempujan hacia adelante a las ruedas conla fuerza igual y opuesta F. Estas dos for-man un par de acción y reacción. El expe-.rimento. del tren y la vía se desarrolló parademostrar que existen ambas fuerzas.

s.. --Ft---+-f

Fig. 31. Tercera ley de Newton. Al avanzar el tren,los rieles retroceden, .sl están en libertad de hacerla.

FfsICA DESCRIPTIVA

En la fig. 31, los rieles están montadosen una gran rueda con Su eje de rotaciónen posición vertical. Teniendo libertad demoverse los rieles, ambas fuerzas parecenmuy reales. Los rieles se mueven hacia atrásy el tren hacia adelante. Los rieles se mue-ven hacia atrás, porque las ruedas ejercensobre ellos una fuerza B en esa dirección,y el tren se mueve hacia adelante, porquelos rieles ejercen sobre él una fuerza en di-rección opuesta. Si se corta la fuente deenergía cuando el tren tiene cierta veloci-dad, la fuerza F desaparece (lo mismo quela B) y el tren y los rieles siguen movién-dose con rapidez constante.

En la práctica nos encontramos con quelos rieles no sólo están fijos contra el suelo,sino que además hay cierta resistencia ,defricción que se opone al movimiento. De-bido a esta fricción, los rieles empujan ha-/cia atrás a las ruedas con una fuerza q,y las ruedas empujan .hacia adelante a 16srieles, con una fuerza igual pero opuesta f.

A fin de mantener en movimiento al ~rcncon rapidez constante, se debe proPOrc~onara las ruedas motrices de la locomotora, unafuerza B mínima, pero suficientementegrande para equilibrar la fricción. Las dosfuerzas qUe actúan sobre el tren serán, en-tonces, F y b, Y si son iguales y opuestas,tendrán una resultante cero. No habiendofuerza resultante, no habrá aceleración yel tren seguirá moviéndose con velocidadconstante.

F debe ser mayor que b para tener unaaceleración al iniciar el movimiento del tren.Bajo esas condiciones, por la segunda Leyde Newton, tenemos

F-b=ma

PREGUNTAS Y PROBLEMAS

fuerza = masa X aceleración

1. Expresar la primera ley del movimien-to de Newton y describir un experimentoque pueda ilustrar esta ley.

2. ExpreSar la segunda ley del movimientode Newton. Escribir la ecuación algebraica

que representa esta ley y señalar el signifi-cado de cada símbolo usado.

3. Expresar la tercera ley de Newton. Darun ejemplo, explicado brevemente, en funciónde las fuerzas que intervienen.

LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

4. Definir o explicar brevemente los si-guientes términos: a) n.ewton, b) dina, e)

slu~,~nercia y e) masa.,s:"Una masa de 5 kilogramos recibe una

aceleración de 3.4 m/seg2. Calcular la fuerzanecesaria a) en newtons y b) en dinas. (Resp.a) 17.0 newtons, b) 1 700 000 dinas.)

6. Una masa de 680 gramos recibe unaaceleración de 43 cmjseg2. Encontrar la fuer-za a~da a) en dinas y b) en newtons.

/( Un carro que pesa 4800 lb puede ace-lerarse a .1.8 ftj seg2.Encontrar la fuerza im-pulsora efectiva en libras. (Resp. 270 lb.)

8. Una fuerza de 260 lb se aplica a uncarro que pesa 4 000 lb. Encontrar a) lamasa del carro en slugs y b) la aceleración.

9. Un avión de pasajeros que pesa 1000. toneladas cortas es capaz de acelerarse 2.4(tjseg2. Calcular a) la masa del avión en~lugs y b) la fuerza que desarrolla en libras.(Resp. a) 62 500 slugs, b) 150 000 lb.)

10...Un auto de carreras tiene una masade 1600 kg. ¿Qué fuerza le dará una acele-ración de 0.5 mjseg2?

~U na fuerza de 12 newtons actúa sobreuna masa de 7.8 kg. Encontrar la acelera-ción. (Resp. 1.54 mj seg2.)

12. Se deja caer libremente una masa de64 kg bajo la atracción de la gravedad. En-contI:.arla aceleración.

13. Un tren de 2000 ton (cortas) partedel reposo y adquiere una rapidez de 60 mi/hen 4 min, 30 seg. Calcular a) la aceleracióny b) la fuerza ejercida en los rieles por lasruedas 'motrices. (Resp. a) 0.326 ftj~g2. b)40 740 lb.)

29

14. Se aplica una fuerza de 25 newtons auna masa de 8 kg. Encontrar a) la acelera-ción, b) la distancia recorrida en 18 seg ye) la velocidad al final de 12 seg.

.

j- iV'Se' apli~ ~~¡f';;;a de"4.2newtonsaluna masa de 20 kg. Encontrar: a) la acele- I

J ración, b) la distancia viajada en 15 seg y \:e) la velocidad adquirida al final de 24 seg. I(Resp. a) 2.1 mjseg2, .b) 236 m, e) 50.4 me- J

! tros por seg.)¡, - ... ..--- -

l~rtiendo del reposo en el extremo deuna pista de arranque, un avión de 3200 ton(cortas) adquiere su velocidad de despeguede 150 mijh en 70 seg. Encontrar: a) laaceleración, b) el empuje de los motores ye) la distancia recorrida hasta el despegue.

17. Un carro de 4 000 lb parte del re-poso y adquiere una rapidez de 60 mi/h en10 seg. Encontrar: a) la aceleración, b) lafuerza aplicada y e) la distancia recorrida.(Resp. a) 8.8 ft/seg2, b) 1100 lb, e) 440 ft.)

18. Una locomotora que pesa. 500 ton$(cortas) -parte del reposo y adquiere una ra-pidez de 45 mijhr en 16 seg. Encontrar:a) la aceleración, b) la fuerza y e) la dis-tancia recorrida.

/7'Una fuer: de 250-:ewtons, aplicada í

a una masa, le produce una aceleración de I\ 6.25 mjseg2. E.ncontrar: a) la masa, b) la '

vel~idad al final~e 8 seg y e) la distancia I

recorrida en 6 seg. (Resp. a) 40 kg, b) 50 J_metrosjseg,e) 112.5m.-:l - -- - I----

~na masa de 500 kg sufre una acele-ración de 4.8 mlseg2 durante 12 seg. Encon-trar: a) la fuerJ:a aplicada, b) la velocidadobtenida y e) la distancia recorrida.

4

CAlDA DE CUERPOS,PROYECTILESY LEY DE LA GRAVITACIONDE NEWTON

Todos los cuerpos, grandes o pequeños,caen con la misma aceleración, si despre-ciamos el rozamiento. Esta ley de la caídade los cuerpos, es una paradoja física por-que contradice la conclusión que, en gene-ral, obtiene a priori cualquier persona. Estono debe sorprendemos, ya que hace 'siglosd gran filósofo Aristóteles (384-322 I a.C)*enseñaba que los cuerpos pesadoscaían pro-porcionalmente más aprisa que los cuerposligeros.

Necesitó la humanidad cerca de 2000años para que apareciera alguien que re-futara las enseñanzas científicas de Aristó-teles. En el año' 1590, Galileo t se puso apensar en el problema de los cuerpos que

*Arist6teles (384--322 a. C.), famoso fil6sofo grie-go, 16gico, moralista, pensador político, bi6logo yfundador de la crítica literaria. En su juventud fuediscípulo y colaborador de Plat6n. Aunque actual-mente se sabe que casi todas las enseñanzas yprincipios físicos de Arist6teles fueron err6neas, sucontribuci6n en otros campos del conocimiento, lohan colocado muy alto entre los hombres de laantigua Grecia.

t Galileo Galilei (1564-1642), matemático, as-trónomo y físico experimental italiano. A la edadde 24 años, Galileo escribi6 un tratado sobre elcentro de gravedad de los s6lidos. Esto lo Uev6 alaño siguiente al puesto de profesor de matemáticasen la Universidad de Pisa. Habiéndose enterado deque un holandés, pulidor de lentes, había obser-vado que el uso de dos lentes juntas hacía quelos objetos distantes parecieran estar cerca, Gali-leo construye;. el primer telescopio. Mayores y mAspotentes telescopios, le permitieron observar porprimera vez las montañas de la Luna, los satélitesmás grandes de Júpiter y las manchas del Sol. Es-tando en Pisa, Galileo efectu6 muchos experim,en-tos y demostraciones públicas de los principio. queforman la base de la Meánica y 1aa leyes de loa~dIes y de la cafda de ')M CUerpol.

caían y encontró una contradicción apa-rente con las enseñanzas de Aristóteles. Se

dice que en sus pruebas dejó caer variosobjetos desde diferentes niveles de la torreinclinada dé Pisa; determinó la duraciónde la caída y midió las velocidades quealcanzaban.

Se cuenta. que, en una ocasión, Galileohabía reunido una gran multitud cerca dela torre inclinada, donde subió por las es-caleras hasta el campanario y desde unaventana abierta, lanzó dos piedras, unagrande y otra pequeña. E.stos dos cuerposcayeron juntos y pegaron en la tierra enel mismo momento, marcando el final deuna vieja hipótesis y el nacimiento de unanueva era de la ciencia.

Sea o no verdadero este episodio particu-lar, la importancia de los muchos experi-mentos auténticos de Galileo, no consistesólo en el hecho de que demostraron elerror del razonamiento aristotélico, sino enque presentaron al mundo un método cien:o:tífico nuevo y más digno de confianza, elmétodo experimental.

4.1 Gravitación. El principio de que to-dos los cuerpos caen con la misma acelera-ción, puede demostrarse de varias maneras.Una de ellas es la ilustrada en la fig. 4A,donde dos esferas de acero, una grande yotra pequeña, se sostienen en un trozo demadera a 4 u 8 metros encima del suelo.Cuando el trozo de madera es desplazado,tirando de la cuerda, las dos esferas caenjuntas, y negan al suelo al mismo tiempo.

31CAÚ>ADB CUERPOS, PROYECTILES Y LEY DB LA. ..

d=o -.. ':;:0

.. '0.30 ,

1.5m 1.22 T I T '/2seg

3m 2.76 ! IT '4seg

4.5 m

4.9 TI! 1seg

pluma oneda

41. U.. plUIIICI, una lIIOft8cIacaen con IgualfII. 4A. Todoslos cuerposti... caen 1 nf8por la acelerad'n en el vado, II8Ian luntas -lo.atraed," do la Tierra,caen 4.9 m en el primer...undo.

Cayendo desde una altura de 4.9 metros,tardarán un segundo exactamente en llegaral suelo. Los círculos sombreados de la fi-

gura, indican las posiciones de los dos cuer-pos después de cada cuarto de segundo.

Si las bolas de este experimento son re-emplazadas por dos esferas de igual tama-ño, una de acero y otra de madera, las doscaerán juntas y llegarán al suelo tambiéna la vez. En este caso, la esfera de aceropesa 15 veces más que la de madera. (Lamasa específica del acero, es 7.6 g/ cms;la masa específica de la madera es 0.5g/cm3. )

Generalmente se presenta ya el problemadel rozamiento del aire al hacer este último

experimento; si se observa con mucho cui-dado, se verá que la esfera de madera seatrasa siempre un poquito respecto a laesfera de acero. Este atraso, debido al ro-zamiento del aire, aumenta al caer de ma-yor altura, y es más pronunciado aún, cuan.

do se usan objetos más ligeros, una pluma,o una hoja de árbol, cayendo con la esferade acero. Debido a su gran superficie, ~pluma o la hoja caen revoloteando haciala. tiérra, detenidas por la gran cantidadde aire que deben ~pujar hacia los ladospara abrirse camino.

En la ausencia de aire, las pluma.C)cae-rán también con la misma aceleración quela esfera de acero. En la ligo 4B se muestraun experimento para demostrarlo. Un tubocilíndrico grande contiene una moneda yuna pluma, y mediante un tubo de hulese conecta a una bomba de vacío.. Si se in-vierte el tubo de vidrio. después de hacer elvacío, la pluma y la moneda caen juntos.Cuando se admite de nuevo aire dentrodel cilindro, la pluma volverá a caer revo-loteando lentamente hasta el fondo. En au-sencia del rozamiento del aire, todos loscuerpos caen con la misma aceleración.

En el resto de este capitul~, al tratar dela caida de los cuerpos,se despreciarád

32

rozamiento del aire. Las ecuadones que sepresenten y usen en los problemas, seránúnicamente, por tanto, aproximadas. En l~mayoría de los casos reales, los resultadoscalculados están tan cercanos a los obteni-dos experimentalmente, que las correccio-nes debidas al rozamiento sólo es necesariohacerlas cuando las distancias y las veloci-dades sean grandes.

4.2 Caída libre. Se pueden hacer muchosexperimentos de laboratorio para demostrarlas leyes de la caída libre de los cuefPOs.Uno de éstos, es el experimento del planoinclinado, descrito en el Capítulo 2. Si sehace que el ángulo que forma el plano conla horizontal aumente, la aceleración dela esfera que baja por el plano irá aumen-tando t~bién. Las velocidades y las dis-tancias recorridas, aumentarán en las pro-porciones correspondientes indicando que

d=O .8 t=o . y=O

4.9m . 1 seg 9.S'm!segt

19.5m . 2 seg 19.5 m/seg+

43.9 m ", 3 seg 29.2 m/seg

\

7S.0 m- . 4 seg 39.0 m/8eg

\

121.6m . 5 seg 48.S m/seg

l

flg. .fe. DI.tancla. y velocidad.. en 1.. prf ro. 5leaund.. de cafda lib.. dt un cuerpo.

FÍSICA DESCRIPTIVA

todas las ecuaciones agrupadas al. final delCapítulo 2, son válidas en general. Esto escierto también para el ángulo límite de 90Q.,cuando el plano inclinado queda completa-mente vertical y la esfera de acero cae librebajo la plena acción de la atracción de lagravedad.

Como se indica en la fig. 4C, la distan-cia a que cae un cuerpo es de 4.9 metros,en el primer segundo; 4 veces esa distan-cia, o sea 19.6 m, en dos segundos; nueveveces más, o sea 44.1 m, en tres segundos,etcétera. Si ponemos estas distancias en laecuación (2m), se encuentra la aceleraciónconstante con un valor como de 980 cmpor segundo cuadrado.

4.3 La aceleración producida por la gra-vedad. Los experimentos efectuados enmuchos puntos de la superficie terrestre, ha-cen ver que la aceleración producida porla gravedad no es la misma en todas par-tes, y está sujeta a ligeras variaciones. Estasvariaciones deben -tomarse en consideraciónaunque son pequeñas y no influyen en lamayoría de los problemas prácticos.

Los valores de la aceleración producidapor la gravedad, quedan, en general, entreun mínimo de 978.04 cmjseg2 (32.09 ftjseg~) en el Ecuador, hasta un máximo de983.21 cmjseg2 (32.26 ftjseg2) en los po-los terrestres. Al referimos aquí al ecuadory a los polos, estamos generalizando, puesni en todos los puntos del Ecuador tiene elvalor que se indica arriba, ni en todos lospuntos de una latitud determinada tienela aceleración de la gravedad el mismo va-lor. Las irregularidades de la estructura dela Tierra, producen diferencias pequeñase irregulares.

El Comité Internacional de Pesas y Me-didas ha adoptado como, valor normal,980.665 cmjseg2 (32.174 ftjseg2); pero,para usos prácticos se aC'ostumbra usar, ennúmeros redondos, 980 cmjseg2 (32 ftjseg2). En las fórmulas para la caída librese emplea la letra g en lugar de la a quese usa en las ecuaciones del Capítulo 2. Paralos cuefPOs que caen libremente, tenelnosentonces

í\

CAÍDA DE CUERPOS, PROYECTILES Y LEY DE LA

g = 980 cm/seg2, g = 9.80 m/seg2o

g= 32 ft/seg2

y la ecuación (2j ) queda

(4a)

mientras que la ecuación (2m)

Id tgl,1Ejemplo 1. Un 'muchacho parado encima

de un puente, suelta una piedra hacia elagua del río. Observando su reloj nota quela piedra necesitó 3 seg para caer.

Calcular: a) la velocidad de la piedra alllegar al 'agua, y b) la altura del puente.

Solución. Para encontrar su velocidad, con-viene usar la ecua,ción (4a) y sustituir lascantidades conocidas, g ,= 980 cm/seg2 y t =3 seg.

queda

(4b)

cm cmv = 980- X 3seg = 2940-

seg2 seg

Para encontrar la altura, se usa la eco (4b)Y se sustituyen las mismas cantidades comosigue:

1 cmd = - X 980- X 9 seg2 = 4410cm

2 seg2

Las respuestas ~on: a) la piedra llega alagua con una velocidad de 2 940 cmj'seg, yb) la altura del puente es de 4 410 cm.

4.4 Lanzamiento vertical hacia arriba.Cuando se lanza verticalmente hacia arri-ba un objeto, su velocidad disminuye rápi-damente -hasta que, en cierto punto, quedamomentáneamente en reposo y después caeotra vez hacia la tierra, adquiriendo de nue-vo la misma velocidad con que fue lanzadohacia arriba en el momento que llega devuelta al suelo. Experimentalmente, se de-muestra que el tiempo necesario para subirhasta el pun~o.-l!!ás alto de su trayectoria,es igual al ~iempo que tarda en caer desdeallí hasta el suelo. Esto implica que los mo-vimientos I!acia arIJ~~~on justamente igua-

2 seg 6 seg

7 seg

vo=39>20 mi seg8 seg

Fig. 4D. El movimiento de subida es Igual al de ba-jada si se desprecia el rozamiento del aire. Unapiedra lanzada hacia arriba, vuelve al suelo con la

misma velocidad.

les a los movimientos hacia abajo, peroen sentido inverso, y que el tiempo y velo-cidad en cualquier punto de la trayectoriaestán dados por las mismas ecuaciones de'la caída libre, ecuaciones (4a) y (4b).

En la fig. 4D se muestra una partículaproyectada hacia arriba, con una velocidadinicial de 3 920 cm/seg. Se encuentra que,después de cada segundo, la velocidad haciaarriba, o al subir, es la misma que la velo-cidad hacia abajo, o al regresar al mismonivel.

Ejemplo 2. Selanza una bola verticalmen-te hacia arriba con una velocidad inicial de3920 cm/seg. Despreciando la fricción, en-

34

contrar: a) el tiempo necesario para llegara lo más alto de su vuelo y b) la altura máxi-ma alcanzada.

Solución. Ya que el tiempo de subida esigual al tiempo de bajada, podemos aplicarla ecuaci6n (4a) para caída libre. Sustitu-yendo directamente en la ecuación v = el)obwnemos

cm QIl3920- = 980- X,

seg seg2

Despejando t en la ecuaci6ny eliminandolas unidades repetidas) encontramos

4)

3920~

t = seg = 4 seg980~

seg2

b) Aplicando la ecuaci6n (4b), obtenemos,por sustitución directa, lo siguiente:

cmd= i X 980- X (4seg)' = 7840cm

seg2

4.5 Proyectiles. Todos los objetos lanza-dos al aire, siguen una trayectoria de fonnaparabólica, pero sólo cuando el rozamientodel aire es insignificante. En los casos reales,el rozamiento se puede considerar despre-ciable sólo para cuerpos que se muevenlentamente y son de densidad elevada, ~o..mo piedras grandes, trozos de metal o es-feras sólidas. Los proyectiles a gran veloci-dad, son frenados continuamente por elaire y ello los hace caer. más pronto apar..tanda su trayectoria de la parábola, segúnse ilustra en la figura 4E.

La infonnación que interesa obtener delestudio de un proyectil, es su altura máxi..maJ su alcance y su tiempo de vuelo.

I~-""'" parábolaI ,I ,, ,I "I "

alcance

Fil. 41. Lo. proyectile. tienden a .eguir trayectorias,o"""lcos. El alm al frenados los hace caer antes de'

alcance calculado.

FfslCA DESCRIPTIVA

La altura m4xima, se define como la ma..vor altura vertical sobre el .sueloque alcan..za el proyectil. El alcance se define comola distancia h.orizontal desde el punto delanzamiento hasta el punto donde el pro..yedil regresa de nuevo al mismo nivel. El.tiempo de vuelo se define como el tiempoque necesita el proyectil para llegar nueva..mente al nivel desde el que fue lanzado.Experimentalmente se demuestra que estostres factores dependen de .dos cosas: pri-mero, de la velocidad inicial dada al pro-.yectil, y segundo, de su ángulo de lanza..miento. Este último siempre se mide a par"tir de la horizontal y se le llama ángulo deelevación.

En la ligo4F se muestran las trayectoriasdt varios proyectiles a los que se ha dadola misma velocidad inicial, pero diferent~ángulos de elevación. La elevaci6nmáximase obtiene cuando el lanzamiento es verticalhacia arriba y el máximo alcance cuandoel ángulo de elevación es de 45o. Estose puede probar experimentalmente conun pequeño chorro de agua lanzado por untubo flexibleprovisto de una boquilla. Cadagota de agua representa un proyectil.

Para proyectiles con gran velocidad, elángulo de elevación debe ser un poco ma-yor de 45o debidoal rozamientodel aire.Para objetos que se mueven lentamente,como balas, martillos, jabalinas, o saltado-res de longitud, en competencias atléticas,el ángulode 45o dará el máximoalcance.

Si v es la velocidad del proyectil y 8 esel ángulo de elevación, la elevación máxi-ma, el alcance y el tiempo de vuelo seránobtenidos por las ecuaciones que contiene

. la Tabla 4A.En la fig. 4F las distancias horizontal

y vertical fueron calculadas para proyectilesque tuvieran una velocidad inicial de 24m/seg. Para distintas velocidades iniciales,las trayectorias de los proyectiles tendránexactamente la misma forma que se ilustraen la figura, pero las distancias tendrán va-lores diferentes.

Si se.lanza un objeto con una velocidadv, subirá a su máxima altura en el mismo

CAioA DE CUERPOS, PROYECTILES Y LEY DE LA. . . 35

60.9

Fi8. 4.. Formal de 101 trayedoñal de obletol laMados a ~If ntel ángulol de .Ievación. Lal elc~las Ion para el COlO.Ipecial d. una velocidad inicial de 24 m/leg.

TABLA 4A. FÓRMULAS PARAPROYECTILES cando ambos lados de tia ecuación por g, seobtiene

tiempo que necesita para caer desde esaaltura hasta el suelo, despreciando la resis-tencia del aire. Como es de esperarse porla observación de la fig. 4F, el objeto lle-gará al suelo con la misma velocidad conque fue lanzado.

Ejemplo 3. En los Juegos Olímpicos de1948, efectuados en Londres, el lanzamientodel disco de 16 libras fue ganado por WilburThompson de los Estados Unidos, con unadistancia de 17.12 m. Suponiendo un ángulode elevación de 45° para el lanzamiento,calcular la velocidad inicial.

Solución. Ya que el ángulo de elevaciónse da como 45 ° Yse conoce el alcance, se usala tercera ecuación de la tercera columnade la tabla 4-A, es decir, d = v2Ig. Multipli-

V2 = gd

Sustituyendolas cantidades conocidas,ob-tenemos

m m2v2 = 9.8~ x-f7.12 m = 168-

seg2 seg2

Extrayendo la raíz cuadrada en ambosmiembros, obtenemos finalmente

v = 13.0~seg

4.6 Experimento del cazador y d mono.Un cazador apunta y dispara una flechahacia un mono que está aniba de un ár-bol. En el instante que la flecha sale delarco, el mono se deja caer de la rama enque estaba sentado. Los dos se encontraránen medio del aire, cualquiera que sea lavelocidad de la flecha. Si se pudiera elimi-nar la gravedad, la flecha viajaría en latrayectoria recta AM y el mono se queda-ría en M y sería encontrado por la flecha,como se ilustra en la fig. 4G. Actuando lagravedad, la flecha sigue la trayectoria ABCy el mono cae desde M hasta C. Durantecada fracción de segundo, indicada port = 1, 2, 3 y 4, ambos caen la mismadistancia a partir de la posición que ten-drían si estuvieran libres de la gravedad, y

Angulo de Altura Alcance Tiempo deelevo 6 máxima h d vuelo t

0° O O O

30° v2/8g 0.866v2 I g vlg

45° 2v2/8g v2/g 1.41vjg

60° 3V2/8g 0.866v2 I g 1.73u/g

90° 4V21.8g O 2vlg

36 FíSICA DESCRIPTIVA

Fig. 40. El experimento del cazador y el mono.

. de todas maneras se encuentran en C. Amayor velocidad del proyectil, más cortaserá la distancia MC.*

4.7 Ley de la Gravitación Universal, deNewton. Todos hemos oído el relato delepisodio en que cayó una manzana sobreel joven lsaac Newton, cuando estaba sen~tado a la sombra de un manzano. Este in~cidente puso a pensar a Newton en la caídade los cuerpos y le llevó, a la edad de 23años, al descubrimiento de la ley de la gra~vitación univers"al.

Con frecuencia se ha cometido la equi~vocación de decir que Newton descubrióla gravedad. Lo que Newton descubrió,

* El experimento del mono y el cazador puedeefectuarse lanzando una pequeña esfera de maderaa través de un tubo de unos 30 cm de largo. Elmono se representará por otra esfera que se dejarálibre en ~l punto M mediante el uso de un pe-queño electroimán. Un par de alambres delgadosde cobre completarán el circuito eléctrico, cruzadospor enfrente de la boca del tubo en A. Cuandopasa el proyectil por este punto, se interrumpe elcircuito y queda libre M. El cuerpo M se puedehacer de hierro, hueco o macizo y de cualquieraforma, o bien, púede ser un pequeño mono dejuguete, con un pedazo de hierro cosido en laparte superior de la cabeza para que sea atraídopor el electroimán.

fue la ley de la gravitación universal. Cual-quier par de cuerpos se atraen entre sí conuna fuerza directamente proporcional alproducto de sus masas e inversamente pro-porcional al cuadrado de la distancia quelos separa. Escrito con símbolos algebraicos,

Como lo ilustra la fig. 4H, F es la fuerzade atracción m1 y m2 son las dos masas, yd es la distancia que las separa. La masa

vd

Fig. 4H. Atracci6n gravitacional entre u~ cuerpo d.masa lnt y otro masa mo.

m1 atrae a la masa :m"2con una fuerza Fhacia la izquierda, y la masa m2 atra~ am1 con una fuerza igual F, hacia la dere~chao Para obtener una ecuación, a partirde estos sÍmbole I no se necesita nada más

CAÍDADE CUERPOS, PROYECTILES Y LEY DE LA. . . 37

6373 km

lunatierra

7.32 x 10221Cg 5.97 x 1024Kg

/"

Fig. 41. La atraed6n gravitacional mantiene a la Luna en IU 6rblta en tomo de la Tierra yolaTierra en su 6rblta alrededor del Sol.

que reemplazar la proporción por uri signo Solución. 'Por sustitución directa en la ecua-de igualdad e insertar una constante en ción (4c) obtenemos,cualquiera de los lados de la igualdad.

(4c)

Experimentalmente se demuestra que siF se mide en newtons, m1 y m2 en kilo-gramos y d en metros, la constante newto-niana de la gravitación G, tiene el valor

G ~ 0.0000000000666 knl:!

2.g scg

o en notación abreviada, según el Apéndi-ce VII,

mSG = 6.66 X 10-H

kg seg2

Si se mide F en libras, rTlty m2 en slugs yti en pies,

G 341 . .O-R ft'T= . . . X 1 l b 41 seg

EjemPlo 4. Dos locomotoras, con masade 60000 kg cada una, están una alIado dela otra, con sus centros a una distancia de 3metros. Calcular la fuerza de atracción gravi-taclonal que hay entre ellas.

(4d)

(4e)

F = 6.66 X 10-11'60000 X 60000

-= 0.00266 newtons

Esta fuerza de 0.00266 newtons es ex-tremadamente pequeña y sería difícil dedescubrir y, más aún, de medirse.

Si consideramos ahora la atracción quehay entre un cuerpo muy grande como laTierra y otro objeto como nuestro propiocuerpo, la fuerza resulta ser bastante gran-de y fácil de medir, ya que es nuestro pro-pio peso. Esta es la fuerza que nos man-tiene en contacto con la Tierra.

Si damos un paso más adelante, la fuer-za de atracción gravitacional es la que man-tiene a la Luna girando en su órbita entorno de la Tierra, y a la Tierra en su ór-bita alrededor del Sol. Estas fuerzas tienennlagnitudes de millones de millones <.lemi-llones de toneladas.

Las masas y algunas de las distanci~ ydimensiones asociadas con varios cuerposastronómicos, inclusive la Tierra, se pre-sentan en la fig 41.

PREGUNTAS Y PROBLEMAS

~finir o explicar brevemente lo St- po de vuelo y e) la constante newtoruanaguiente: a) alcance de un proyectil, b) tiem- de gravitación.

38

~Expresar la Ley de la Gravitación Uni-versal, de Newton. Escribir la ecuación alge-br~ca que representa esta ley. Dibujar undiagrama y señalar en él los diversos facto-res contenidos en la ecuación.

3. Explicar cuidadosamente el experimen-to del cazador y el mono, usando un dibujopara explicarlo.

4. Explicar por qué caen con la mismaaceleración una piedra de 5 kg y una piedrade .20 kg. (Nota: Usar la Segunda Ley delMovimiento de Newton y la Ley de la Gra-vitacym Universal.)

~ Una piedra pequeña se deja caer desdeun puente y llega al agua a los 4.8 seg. En-contrar la altura del puente en metros. (Resp.112.9 ID.)

~ Se cae una maceta del pretil de unaventana y llega al suelo a los 3.2 seg. Encon-trar la altura del pretil, en metros.

7. Se tira una piedra desde un puente a280 ft sobre el agua. a) ¿Cuánto tardará encaer? y b) ¿con qué velocidad llegará alagua? (Resp. a) 4.18 seg; b) 133.8 ftjseg.)

8. Una pelota, lanzada verticalmente ha-cia arriba, llega a una altura máxima de460 ft. a) ¿Cuánto tiempo estará en el aire?b) ¿Con qué velocidad llegará a la tierra?

9. Una flecha, disparada verticalmentehacia arriba, alcanza una altura de 520 ft.Encontrar: a) el tiempo total de vuelo yb) la velocidad con que llega a la tierra.(Resp. a) 11.4 seg; b) 182.4 ftjseg.)

10. Una flecha es disparada verticalmentearriba con una velocidad inicial de 34.3 me-trosjseg. Encontrar: a) la altura máximaalcanzada, y b) el tiempo total de vuelo.

!

~aae-JJ-éisb6l' qué éS batea~recto hacia arriba, es atrapada: 8 seg des-pués por el receptor. Encontrar: a) la alturamáxima alcanzada, y b) la velocidad inicial'hacia arriba. (Resp. a) 78.4 m; b) 39.2 me-trosjseg.) --/

12. Una jabalina es lanzada con un án-gulo de elevación de 45° a una distanciarécord de 280 ft. Encontrar: a) la velocidadinici~ y b) la altura máxima alcanzada.

18'. Una "bala" es lanzada con un ángulode elevación de 45° a una distancia record

- - - -- -- - - -..-

,FISICA DESCRIPTIVA

de 21.5 m. Encontrar: a) la velocidad inicial,y b) el tiempo de vuelo. (Resp. a) 14.5 me-trosjseg.; b) 2.09 seg.)

14. Se lanza una flecha verticalmente ha-cia arriba con una velocidad inicial de 96ftj seg. Dos segundos después se lanza otraflecha hacia arriba con la misma velocidad.¿A qué altura se cruzarán las dos flechas?(Nota: Haga una gráfica con la altura en eleje vertical y el tiempo en segundos en ejehorizontal. )

15. Se lanza una piedra con velocidad de80 ftj seg a un ángulo de elevación de 30°.Encontrar: a) la máxima altura alcanzada;b) el alcance, .ye) el tiempo de vuelo. (Resp.a) 25 ft; b) 173.2 ft; e) 2.5 seg.) .

16. En las Oiimpíadas de 1956, el lanza-miento del martillo de 16 libras fue ganadopor Harold Connolly, de los Estados Unidosde Norteamérica, con un lanzamiento de207.3 ft. Suponiendo un ángulo de elevaciónde 45° al lanzarlo, calcular: a) la alturamáxima alcanzada; b) la velocidad inicial,y e) el tiempo de vuelo.

yf. En las Olimpíadas de 1960, el lanza-mi~nto de jabalina fue ganado por VíktorTsibulenko, de Rusia, con un lanzamiento de277.7 ft. Suponiendo un ángulo de elevaciónde 45° al lanzarla, calcular: a) la máximaaltura alcanzada; b) la velocidad inicial, ye) el tiempo de vuelo. (Resp. a) 69.4 ft;b) 94.2 ftjseg; e) 4.16 seg.)

18. En las Olimpíadas de 1960, el lanza-miento de bala de 16 lb fue ganado porWil1iam Nieder, de los Estados Unidos deNorteamética, con un lanzamiento a 64.6 ft.Suponiendo un ángulo de lanzamiento de45°, encontrar: a) la máxima altura alcan-zada; b) la velocidad inicial, y e) el tiempode vuelo.

~ Una bola de béisbol lanzada con unángulo de elevación de 60°, llega a una al-tura de 200 ft. Encontrar: a) la velocidadinicial; b) el alcance, y e) el tiempo de vue-lo. (Resp. a) 130 ftjseg; b) 458 ft; c) 7.05segundos.)

20. Una granada, disparada con un ángu-lo de elevación de 30°, está 10 seg en elaire. Encontrar: a) la velocidad inicial enmjseg b) la altura máxima alcanzada enmetros, y e) el alcance en metros.

5

FUERZAS, VECTO~Sy CENTRO DE GRAVEDAD

Todos sabemos que, al pesamos, estamosmidiendo la fuerza que ejercemos haciaabajo sobre la plataforma de la balanza, yque esta fuerza hace que los mecanismosde la balanza indiquen nuestro peso. Cuan-to mayor es la fuerza hacia abajo, mayor esel peso indicado por la balanza (véase laligo 5A). No nos interesa aquí el mecanis-

La fig. SB ilustra las fuerzas gravitacio-nales que siempre actúan en la direcciónde una línea que une al cuerpo con el cen-tro de la Tierra y que, por lo tanto, esperpendicular a la superficie terrestre en ellugar donde está el cuerpo.

t

'19. 58. El peso .. debe a la atraed6n gravltaclonalFIl. 5A. El "10 el una fuerza hada abalo. La nena, actúa en la dlreecl6nde la Ifnea que une el obleto

atrae todos 101obietos hacia su centro. con el centro de la nerra.

mo de las palancas, pesas o resortes quetiene adentro la balanza, sino más bien lafuerza hacia abajo que nosotros llamamosel peso.

El peso, como 10 explicamos en el capí-tulo anterior, se debe a la atracción gra-vitacional de la Tierra sobre todos los cuer-pos.

El ténnino fuerza no se limita sólo a lospesos, sino a la acción de cualquier cuerposobre otro. Por ejemplo, al arrastrar un au-tomó,ril como se indica en la fig. SC, actúandos fuerzas: 1) una fuerza hacia abajo, de-bida a la gravedad, y 2) una fuerza hori-zontal, debida a la tracción ejercida sobrela cuerda o cadena con que se arrastra el

39

40

(o)

FisICA DESCRIPTIVA

Flg. 5'C. Dos 'uen:as Ind.ependlen"s, aduando sobre un mismo obleto.

man 900 entre sí, el baúl se mueve en ladirección señalada por la flecha punteada.Se puede encontrar la tuerza resultante porcomposición de vectores. Esta resultante, alocupar el lugar de las dos fuerzas origina-les, produce el mismo movimiento.

Cuando se determina esta resultante porcomposición de vectores, se encuentra quetiene una magnitud de 472 newtons y unadirección que forma un ángulo de 320 conla fuerza de 400 newtons.

Para ilustrar los métodos comunes quese usan para la composici6n de dos fuerzas,obsérvense las ilustraciones de la fig SE,donde dos fuerzas de 30 newtons y 50 new-tons, respectivamente, se aplican a un cuer-po en un mismo punto B, común para lasdos fuerzas. La dirección relativa de la fuer-za de 30 newtons, varía en cada uno delos tres casos. Hay dos métodos gráficos ge-nerales para obtener la resultante: primero,el método del paralelogramo¡ segundo, elmétodo del triángulo.

El método del paralelogramo para com-posición de vectores, se ilustra en la fig. 5F.Consideremos el diagrama (a). Pririlero sedibuja -una línea horizontal, DA, que re-

ción de vectores. Consideremos el diagra- presente a la fuerza de 50 newtons. La lon-ma de la fig. 5D que ilustra un ba~l pe- gitud de la línea se hace de 5 cm parasado, que está siendo arrastrado sobre el representar la magnitud de la fuerza, y lasuelo mediante dos cuerdas. Sometiéndolo punta de flecha se coloca en el extremo de-a dos tracciones continuas, de 400 y 250 recho para señalar su sentido. En formanewtons, ejercidas en direcciones Que for- semejante, se traza la línea DB, de 3 cm de

30 newtons

vehículo. Esta última fuerza es producidapor algún objeto o máquina ajena al auto-móvil.. Al empujar una cortadora qe césped,también hay dos fuerzas: 1) la fuerza ha-cia abajo, debida a la gravedad, y 2) unafuerza inclinada, F, debida a la presión quela persona que va moviendo la cortadorade césped ejerce.

Independientemente de la dirección enque pueda actuar la fuerza, su magnitudpuede expresarse en dinas, newtons o libras.

5.1 Las fuerzas se componen vectoriaI-mente. Ya que las fuerzas tienen magnitudy dirección, son cantidades vectoriales, y porello se someten a las reglas de la composi-

~o~v~\,0

f---~ l'Je~

. 4'"Ol'JoS'

Fig. SD. Dos 'uen:as aduando en distintas direccionesequivalen a una sola fuen:a aduando en una dlreccl6n

Intermedia.

~tons8

~50 newtons

\ / 30 newt~ns8 50 newfons8 50 newtons

Fig. SE. Dlagramas de dos fuerzas actuando sobre un obleto en distintas direcciones relativas.

FUERZAS. VECTORES y CENTRO DE GRAVEDAD 41

8~7>~aofZ¡~o ~ A ~ ~

(el) (b) (e)

Flg. 5'. M6todode. para'elogramo para eomponerv.d......

largo, con la dirección y sentidos asignadosrepresentando a la fuerza de 30 newtons.

Del extremo del vector qu~ representala fuerza de 50 newtons, se traza una líneapunteada, paralela. al vector de 30 newtons;y del extremo de este último vector, otra

.línea punteada paralela al de 50 newtons.Se traza la resultante, R, partiendo del ori-gen O llegando al punto P, donde se inter-ceptan las dos líneas punteadas. Usando lamisma escala para medir la resultante R,se puede encontrar directamente que vale35 newtons y el ángulo (J,que forma con lahorizontal, puede obtenerse con un trans-portador, y ver que vale 36°. En otras pa-

se deriva directamente del método delparalelogramo que acabamos de describir.Sólo se necesita díbujar la mitad del para..lelogramo.

Por ejemplo, en el diagrama (a) se dibu.ja a escala el vector de 50 newtons y luego,en la punta de l~ flecha del vector de 50newtons, se inida el vector de 30 newtons, yse dibuja en su verdadera dirección y gen..tido y con la misma escala. Finalmenw, setraza la resultante empezando en el origen~O, Yterminando. en el punto P, que es lapunta de la flecha del segundo vedar. Estemétodo del triángulo es preferible al delparalelogramo sólo por su brevedad.

p

~O 50A

R/1ao ~~ 5050

FIl. 50. M6tod. del trl6nlul. para componervedore..

labras, la longitud de R da la.magnitud dela fuerza resultante,. y la dirección de Rda la dirección de la fuerza.

Esta fuerza resultante produce exacta-mente el mismo efecto y equivale a las dosfuerzas originales cuando se aplica al ob-jeto. Hay que señalar que, cuando las fuer-zas tienen el mismosentidoo sentidosopues-tos, la resultante es igual a la suma o di-ferencia aritmética respectivamente. Por lotanto, la magnitud de R puede tener cual-quier valor .entre la diferencia aritmética,20 newtons, y la suma aritmética, 80 new-tons; dependiendo solamente de las direc-ciones relativas de las fuerzas originales.

El .método del triángulo, para composi-ción de vectoresque se ilustra en la fig. 5G,

5.2. Polígono de fuerzas. CUaildo actúansimultáneamente tres o más fuerzas sobreun cuerpo, se puede encontrar una fuerzaúnica resultante que, al actuar sobre elcuerpo, produzca el mismo efecto. Para en-contrar esta fuerza resultante, se usa fre-cuentemente el método del pollgono para lacomposiciónde vectores. En principio, éstese deriva del método del triángulo, y con-siste en colocar el origen de cada vectoren la punta del vector anterior, y continuarde esta manera hasta que se hayan agrega-do todos los vectores.

En la fig. 5H se da una ilustración delmétodo del polígono, aplicada a tinco fuer-zas. El diagrama de la izquierda muestralas fuerzas que actúan sobre el cuerpo en el

42(o)

70 newtons

80 newtons

40 newtons

diagrama en el espacio

J'fSICA DESCRIPTIVA

(b)o

f e

A 80 8

diagrama vectorlal

FIl, 5N. Compo.lclú,"'flea . cincofuerza. para encontrar.u Ntultante("","o .. polleono).

punto P, mientras que el diagrama de vec-tores de la derecha, indica la composiciónde vectores y la fuerza resultante, R. Setraza el vector AB de 8 cm de largo, par-tiendo del origen A y paralelo al vector de80 newtons del diagrama (a). En seguidase dibuja el vector BC de 7 cm.de largo.yparalelo al vector de 70 newtons. Este esseguido sucesivamentepor los vectores CD,DE y EF, respectivamente. Habiendo agre-gado los cinco vectores, puede encontrarsela resultante R, uniendo el origen, A, conla última punta de flecha, F.

Si el dibujo se hizo a escala, la longitudde R dará la magnitud de la fuerza resul-tante, y la medida del ángulo () dar-á ladirección en la cual actúa.

5.3 Condiciones de equilibrio. Cuandohay una o más fuerzas actuando sobre un-cuerpo que está en reposo y la resultante

Ag. 51. Un libro sOb.. la a, eatá en equilibrio.

de ellos no es nula, el cuerpo se pondráen movimiento. En esas condicionesse diceque hay una fuerza no equilibrada actuan-do sobre él y esta fuerza es la única que senecesita para determinar la aceleraci6n. Encambio, si la composici6n de los vectoresresulta igual a cero, el cuerpo estará enequilibrio, y seguirá en reposo. Si se invierteed~ afirmación. podemos decir que cual-

T

o

[

w

FIe. aJ. Una lámpara coleada del techo está, en eq....IIbrlo.

quier objeto que se conservaen reposo,estáen equilibrio, y la resultante de todas lasfuerzas que actúan sobre él es cero.

Si el cuerpo está en equilibrio bajo laacción de dos fuerzas únicamente, vemosque deberán ser iguales en magnitud yopuestas en sentido. Un libro puesto sobreuna ~esa o una lámPara colg~ldo del te-

FUERZAS, VECTORES y CENTRO DE GRAVEDAD

cho, son dos buenos ejemplos de equilibriobajo la acción de dos fuerzas (véanse lasfigs. 51 Y5J).

Las dos fuerzas que actúan sobre el li-bro, son: W, fuerza hacia abajo debida ala Tierra, llamada peso, y F, el sosténhaciaarriba producido por la mesa. Ya que ellibro está en equilibrio, la fuerza F es igualen magnitud al peso W. En el caso de lalámpara, la fuerza hacia abajo, o peso, estáequilibrada por la tensión hacia arriba pro-ducida por la cuerda. Aquí, también, lasfuerzas son iguales en magnitud y tienensentidos opuestos.

Un cuerPOque se mueve Cdn-velocidadconstante, está en equilibrio, ya que al nohaber fuerzas en desequilibrio, no hay ace-leración.En el juego con una cuerda, cuan-

+L10lXJO n.wton.

K&~ =s-~..

tO'-. nlWlon.

Flg. 5K. La 'en,16n de la cuerda e. de 10 000 new-ton..

do dos grupos opuestos tiran con fuerzasiguales, pero opuestas, de los extremos dela misma, existe una condición de equili-brio. Como se ilustra en la fig. 5K, la fuer-za F de 10 000 newtons que ~túa paratirar el nudo K hacia la derecha, F, estáequilibrada por una fuerza igual, pero con-traria., F de 10 000 newtons, tirando haciala izquierda.

w

((o)

43

Si las dos fuerzas se hacen desiguales,deja de existir el equilibrio, y el nudo Kse moverá en el sentido de la fuerza mayor.Debe notarse que, en el caso del equilibrio,la tensión de la cuerda es de 10 000 new-tons, y no de 20 000 newtons. Esta aparenteparadoja puede explicarse fácilmente; su-poniendo que un equipo amarra su extremode la cuerda a un poste, el otro equipo ti-rando con sus 10 000 newtons mantiene lamisma condición de equilibrio que antes,y al hacerlo, la tensión de la cuerda es de10 000 newtons. Puede ser eliminado unequipo y considerar que nada más se encar~ga de sostener la cuerda de la que estátirando el otro equipo.

5.4 Equilibrio de tres fuerzas. Cuandoun cuerpo está en equilibrio como conse-cuencia de la acción de tres fuerzas, laresultante de esas tres fuerzas debe ser cero.

En otras palabras, para estar en equilibrio,el polígono de fuerzas debe quedar cerrado.Este polígono tendrá solamente tres lados sinada más tenemos tres fuerzas y, por lotanto, será un triángulo.. Considérese el fa-rol suspendido de dos postes ilustrado enla figura 5L.

Las tres fuerzas que actúan en el puntocomún, O, son: W, el PeSOde la lámparade 50 newtons, actuando verticalmente ha-cia abajo; Fl, el tirón de una cuerda a 45° .hacia arriba, por la izquierd~, y F2, el t1.rónde la otra cuerda a 30° hacia arriba por

F.

w

50 newtons

W

(e)

Flg. 5L La 16mpara que cuella de da, cuerda., ..16 en equilibrio.

44

la derecha. En el diagrama (b) se' ilustrael polígono de fuerzas donde vectorialmen-te,

.... ....

W+F~+Fl=O (5a)

Al construir este diagrama, se aplican lascondiciones de equilibrio para determinarla magnitud de las fuerzas F 1 Y F2. Elprocedimiento gráfico es el siguiente: pri-mero se dibuja verticalmente hacia abajoun vector de 5 unidades de longitud pararepresentar a W, el peso del farol. En elextremo B del vector se traza una linea pun-teada BC paralela a la cuerda que ejercela fuerza F2. Desde el punto A, se trazaotra línea, AD, paralela a la cuerda queejerce la fuerza F1.. En el punto E, dondese cortan estas dos líneas, se determinan losvectores F1 y F~ Y se colocan las puntasde las flechas en las direcciones apropiadas.Al medir las lineas continuas 4E y BE, re-sultan tener'4.48 y 3.66 unidades dé lon-gitud y, por lo tanto, representan las fuerzasFl = 4.48 newtons y F2 = 3.66 newtonsrespectivamente.

5.5 Descomposición de una fuerza en suscomponentes. Muchos de los problemas defuerzas que se presentan en Mecánica, sonresueltos muy fácilmente por el método delas componentes. Para aplicar este métodoa problemas típicos, primero se necesita queveamos cómo se puede descomponer unvector en dos componentes. Considéreseuna fuerza conocida F, formando un án-

y

e A

xo 8

F19. 5M. Descomposlcl6n d. un vedor en dos compo-nente. perpendlcula.....

FÍSICA DESCRIPTIVA

gulo de 8 grados con el eje horizomal x,como se indica en la fig. 5M.

Bajando lineas perpendiculares desde elpunto A a los ejes x y )', se obtienen lasfuerzas componentes F<ey Fy. Estas doscomponentes equivalen a la fuerza originalF, ya que, sumándolas vectorialmente, da-rán como resultante a F.

Siendo Fq:y Fy perpendiculares entre sí,los triángulos OAB y OAG, son dos trián-gulos rectángulos con los lados correspon-dientes iguales FlI = BA Y Fz =. GA.

Consideremos el siguiente ejemplo de des-composición de una fuerza en dos compo-nentes rectangulares. Un muchacho vatirando de un carro pequeño de 400 new-tons, subiéndolo por una pendiente de 300/0ilustrada en la fig. 5N. Una pendiente de30% es aquella que, por cada 100 metrosrecorridos horizontalmente, tiene una ele-vación vertical de 30 metros. (No. es iguala un ángulo de 30°.)

Para encontrar con qué fuerza debe tirarel muchacho del carro, se descompone elpeso del carro en dos componentes, unaparalela al plano inclinado y la otra per-pendicular a éL El vector W, de 400 new-tons, se dibuja verticalmente hacia abajo,como se muestra en el diagrama (b). De~-pués se dibuja una línea paralela y otraperpendicular' al plano inclinado, una par-tiendo de un extremo del vector W y laotra a partir del otro extremo. El punto Q,donde se cortan las dos líneas, determinalos valores de los vectores componentes Fzy F1/.Cuando se miden las magnitudes deestas dos fuerzas, se encuentra que tienenvalores de 115 newtons para F.zy 383 new-tons para Fy. La fuerza Fy es la fuerza queejercen las ruedas del carro sobre el planoinclinado; y, siendo' perpendicular a éste,no ayuda ni estorba al movimiento. Paratirar del carro, el muchacho debe ejerceruna fuerza P, igual o mayor que 115 new-tons, la magnitud de la componente Fq:a10 largo del plano inclinado.

Para ilustrar cómo puede resolverse estemismo problema por medios matemáticos,notemos primero que el diagrama de fuer-

,FUERZAS, VECTORES y CENTRO DE ORAVEDAD

A100m

w

(o)

45

8

w

e -;\Q\\

FIg. 5N. Descomposición de un vedor en do. componente..

(b)

zas dibujado a la derecha y el plano incli-,nado de la izquierda, son triángulos seme-jantes (los lados de uno son perpendicula-res a los lados correspondientes del otro).Por lo tanto, podemos usar las proporcioneselementales de la geometría para los ladoscorrespondientes de triángulos semejantes.Podemos, entonces, escribir'

FIe BC

FIe : W=BC : AB, o W= AB

Para calcular Fz, debemos conocer la lon-gitud del lado AB. Ya que el triánguloARC es rectángulo, el cuadrado de la hi-potenusa será igual a la suma de los cua-drados de los catetos. Elevando al cuadradolos catetos, sumando esos cuadrados y sa-cando la raíz cuadrada, obtenemos 104.4.Introduciendo los valores conocidos en laecuación anterior, obtenemos como resul-tado.FIe 30 400 X 30

400 = 104.4 o sea: FIe'= 104.4

= 115newtons

Por una proporción semejante, puedecalcularse la componente F1Iy encontrar quevale 383 newtons.

5.6 El bote de vela. Un problema queintriga a muchas personas, principalmentea aquellas que tienen más o menos contactocon los botes de vela, es la posibilidad denavegar contra el viento. Este fenómeno,conocido comúnmente como navegar por

bordada o a bordada, es otra ilustración dela descomposición de una fuerza en suscomponentes rectangulares.

Como se ven en la fig. 50, el viento vie-ne del Este y el bote va hacia el Nordeste.Cuando se colocan corr(Ctamente las velas,

F

viento

Fig. 50. Un bote navegando hacia el viento. Elemplode la d..compo.lción de una fuerza, F, en dos com-

ponentes perpendiculares, P y B.

el viento presiona oblicuamente en la vela,yes desviado de. tal manera que ejerce unafuerza F, perpendicular a la superficie dela vela. Descomponiendo esta fuerza en doscomponentes rectangulares, una paralela yla otra perpendicular al bote, se encuen-tra la fuerza B que produce el movimientodel bote.

La otra componente, P, tiene poco, efectoen el bote, ya que es perpendicúlar a sumovimiento. Es una fuerza inútil que tien-de a voltear el barco y a moverlo de ladoa la deriva. Los barcos de vela están equi-

46

pados con una quilla suficientemente pro-funda para evitar que vuelquen o sean em-pujados lateralmente. Aumentando el án-gulo formado por la vela con la direccióndel viento, la fuerza F aumentará; pero lacomponente que hace avanzar el barco serámenor. Si al bote ~ le da una direcciónmás opuesta al viento, sin cambiar la posi-ci6n relativa de la vela, la componente útilB, también disminuirá. El más rápido avan-ce en contra del viento, se obtiene cuandoel viento y la quilla forman un ángulo de45o y las velasse colocande manera queel timón vaya paralelo a la quilla.

5.7 Centr()de masa. El ~entrode masade cualquierobjeto o sistemade objetos,8$ un punto tal que si se pasa cualquie.r

p----------

"" $P. El ~ntro de mota de dos obleto. ..t6 enalgOn punto d. lo I(nea que une s,,. cenfros.

plano por él, los momentos de masade unoy otro lado del plano son iguales. Conside-re, por ejemplo, las dos esferas de masa m~y ma ilustradas en la fig. 5P. El centro demasa P queda en la línea que une los cen-tros de los dos cuerpos y en una posicióntal que

(5b)

Para un plano vertical que pase por P,perpendicular al plano de la página, nhrles el momento de masa de m\ y n12r: esel momento de masa de m2.

EjemPlo 1. Encontrar el centro de masade dos cuerpos, mI = 2 g, Y ma = 5 g, sepa-rados una distancia de 14 cm.

Solución. Ya que la distancia r\ + Ta=14cm, obtenemos

1'2= 14 - TI (5e)

Sustituyendo todas las cantidades conocidasen la ecuación (5b), obtenemos

FislCA DESORlPTIVA

2T1 = 5(14 - (1),6 211= 70 - 5rl

que nos da

7r1 = 70, Ó rl = 10

Sustituyendo el valor de 11en la ecuaci6n(5c), encontramos

12 = 4cm

El centro de masa de todos los cuerposde .forma regular, como los ilustrados enla fig. 5Q, está en su centro geométrico.Un plano que pase a través del centro de...Fle. 50. C.ntrosd. malad. obl.tol d. forma Ngulor.

cualquiera de estas figuras, dividirá al cuer-po en dos partes iguales.

5.8 Rotaci6n en tomo al centro de masa.En la fig. 5R se ven dos masas, mI y m2,sostenidas en los extremos de una varilladelgada y girando unifonnemente alrede-dor de un eje que pasa por su centro de

m. , C ..-:-", -- - -1- m"",. ...

it~ .1" --- --~. -"~--. -- - -- ------------

Al. SR. Rotocl6n uniforme d. dos cuerpot en toMO aIU c.ntro de mCllo.

masa. Si se coloca el eje en cualquier otropunto (por ejemplo, a la mitad de la dis-tancia entre las dos masas) el experimen-tador sentirá una fuerza no equilibrada queactúa spbre su mano, tendiendo a produ-cir un bailoteo.

FUERZAS, VBOroRES y CENTRO DE GRAVEDAD

"" 5S. It c;entrod. 8ravedad de un cuerpo .u.,.""clldo, queda directamente d.balo del pun" de .u..

,.n.l6n.

Si el sistema de dos cuerpos se lanzagirando al aire, se observará que lo hacealrededor de su centro de masa, mientrasque éste sigue la trayectoria parabólica delos proyectiles. La rotación es unifonne al..rededor de este punto, porque las fuerzascentrífugas tienen magnitudes igu~es y sen..tidos opuestos. Teniendo sentidos opuestos,no ejercen ninguna fuena resultante sobreel eje.

5.9 Centro de gravftlad. El centro demtlSQde los dos cuerpos de la Hg. 5P, esel punto único en torno al cual pueden

47

equilibrarse los dos cuerpos ba10 la atrae..ci6n gravitacional de la Tierra. Más aún,una fuerza única, hacia arriba, aplicadaen P, igual en magnitud al peso de losdos cuerpos, mantendrá a éstos en equili-brio; el sistema no tiende a moverse enninguna direcci6n ni tiende a girar.

El centro de masa es, por ello, un puntoen el que se puede considerar concentradotodo el peso. Por esta razón, es frecuente-mente llamado &entrode gravedad.

El centro de gravedad de un cuerpo su-perficial de forma regular o irregular, dematerial uniforme o no unüorme en sudensidad, puede encontrarse suspendiéndo-lo de un punto y luego de otro, como seindica en I~ fig. SS. En cada suspensiónde un punto P cercano a la pcrüeria, elcuerpo colgará con su ~entr.ode gravedadprecisamente debajo del punto de suspen-si6n. La..C)líneas trazadas a lo largo del hilode la plomada en cada suspensión, se cru-zarán en un punto común, que es el centrode gravedad.

Si se coloca un eje en ese punto y se lehace girar o se le lanza girando al aire,la rotación será uniforme alrededor del cen-tro de gravedad. (NOTA: debido a que lafuerza de la gravedad disminuye con la al..titud, el centro de gravedad de un cuerpono está exactamente en el mismo punto queel centro de masa. La parte más baja de lamasa, por ejemplo, está más cerca del cen..tro de la Tierra y por ello tiene un mayorpeso por unidad de masa. Pero para losusos prácticos, se consideran sinónimos losdos términos,centrode gravedady centrode masa.)

PREGUNTAS Y PROBLEMAS

N ola: En los problemas siguilrntes,siempre ~aga un diagrama, mostrando la adi..que intervengan tÍrgulos, use un transporta.. ción vectorial de dos fuerzas, 5 newtons ydor y regla y construya diagramas a escala. 12 newtons respectivamente~ aplicadas en án-

.. . gulo recto una con otra. Encuentre la resul-~. Defl!la ~ exphque ..brevemente los 51- tante por: a) dibujo a escala, y b) cálculos.

gUlentes tenmnos: a) metodo del paralelo.. - ¿-gramo para componer vectores; b) polígono ~Vos fuerzas de 120 newtons y 160 new-de fuerzas; e) centro de masa; d) centro de tons, respectivamente, son aplicadas al mis-gravedad; e) componentes de una fuerza, y mo cuerpo. Si el ángulo entre sus direccionesf) equilibrio. es de 90°, encuentre: a) la magnitud, y.b) la

48

direcci6n de la resultante. (Resp. (!.)200 new-toDS;b) 37° con la fuerza de 160 newtóns.)

4. Dos fuerzas de 6 y 10 newtons, respec-tivamente, se ejercen simultáneamente sobreun objeto grande. Si estas dos fuerZas estánen ángulo recto entre ellas, cuál es su resul-tante?

~os fuerzas de 8 y 15 newtons, ~pec-tivamente) actúan en ángulo recto entre ellas.Encuentre su resultante y especifique su di-rección.. (Resp. 17 newtons a 28° de la fuerzade 15 newtons.)

6. Una fue~ vertical de 50 lb y.una ho-rizontal de 30 lb actúan sobre una roca pe-sada. Encontrar la fuerza resultante.

r:Dos fuerzas actúan simultáneamente so-bre un cuerpo. Las fuerzas son: .1) .25 new-tons directo al Oeste, y 2) 30 newtons enuna direcci6n de 300 al este del Norte. En-contrar: a) la fuerza resultante, y b) espe~cifique la direcci6n en que actúa. (Resp.a) 47.1 newtons; b) 33o norte del Este.

s: Tres fuerzas actúan simultáneamentesobre el mismo cuerpo. Estas fuerzas son:1) 5 lb a 45° al este del Norte; 2) 4 lb a30° oeste del Norté, y 3) 7 lb a 30° sur delEste. Encuentre la fuerza resultantp. y espe-cifi«iue su direcci6n, empleando el métodográflco del poUgoñO.

9. Las siguientes tres fuerzas actúan so-bre UIi cuerpo: 1) 12 newtons a 30° nortedel E!Jt~;2) 9 newtons a 45° oeste del Norte,y 3) 7 newtons a 30° oeste del Sul'. Encuen-tre su fuerza resultante por el método delpolígono y especifique la dirección. (Resp.7.78 newtoils a 6.5° oeste del Norte.)

10. Si la lámpara de la fig. 5L pesa 25 lbY los ángulos que las cuerdas fonnan con lahór~ntal son 38° y 48° en vez de 45° y30° respectivamente, encuentre la magnitudde F1 y F'é.

\ !J'. Si la lámpara de la fig. 5L pesa 120newtons y los ángulos de las cuerdas con lahorizontal son de 25° y 200 en vez de 45°y 301:)respectivamente, encontrar las magni..tudeB de Fl y F"'l' (Resp. F1 = 160 newtons;F"}.= 154 newtons.)

12. Un muchacho tira de un trineo de60 lb sobre una pendiente helada; la pen-

FfSICA DESCRIPTIVA

diente forma un ángulo de 15° con la hori-zontal. ¿Cuál es la fuerza que debe hacerparalela a la pendiente?

.~ Una caja ,grande, sobre ruedas, pe-sando 250 lb, es arrastrada sobre un tablón,para subirla a un cami6n. Si el tablón fOl'Inaun ángulo de 20° con la horizontal, encuen-tre la fuerza requerida, paralela al tablón.(Resp. 85.5 lb.)

14. Una caja, que pesa 200 lb, se apoyaen un tablón inc1in~o en un á.ngulo de 36°con la horizontal. Encontrar las dos compo-nentes de la fuerza ejercidas: ti) paralela,y b) perpendicular, respectivamente, al ta-bl6n.

11f. Un hombre ejerce una fuerza de 280newtons a lo largo de~ mango de un rodillode 200 kg. El mango forma un ángulo de38° con el suelo. Encuentre: a) la compo-nente horizontal, b) la vertical de esta fuer-za, y e) la fuerza total hacia abajo, ejercidapor el rodillo sobre el suelo. (Resp. a) 221newtons; b) 17.2newtons; e) 372 newtons.)

16. Un bote de vela está navegandoa 45° contra el viento. Si la fuerza resul-tante ejercida por el viento sobre la vela esde 450 newtons, y la vela fonna un ángulo de30° con la quilla, encuentre la fuerza quehace avanzar al bote.

.17. El viento ejerce una fuerza resultantede 75 lb sobre la vela de un bote. Si el án-gulo entre el viento y la quilla es de 45'°, Yel ángulo entre la vela y la quilIa es de 25°,encuentre la fuerza que hace avanzar al bote.(Resp. 31.71b.)

18. Dos cuerpos de 32 y 45 kg, r.-espectiva-mente, se encuentran a 5 m d~ Separación.Encontrar su centro de masa.

~ Dos pesos de 6 y 15 lbs, respectiva-mente, están colocados a 24 in de sepáración.Encuentre su centro de gravedad. (Resp. 6.9pulgadas de las 15 lb.)

20. Tres masas iguales, de 12 kg cadauna, están situadas en los vértic.es de un tri-ángul9 rectángulo, cuyos lacios son de 3, 4Y5 m, respectivamente. Localice el centro demasa,

6

TRABAJO, ENERGIA Y POTENCIA

Es indudable que la energía es el concep-to más importante en toda la naturaleza.Es importante, porque representa una enti-dad fundamental, común a todas las fonnasde la materia, en todo el mundo físico co-nocido. Asociado íntimatnente con la ener-gía, está otro concepto, el t1"abajo,términousado en la vida diaria para describir eluso de la energía que uno tiene acumuladao almacenada en el organismo. Debido aque la energía es más fácil de describir entérminos de trabajo, este último será estu-diado primero. Para definir el trabajo, de-bemos antes aclarar la diferencia entrepeso y masa.

6.1 Peso y masa. Cuando una masa mcae libremente, recibe una aceleración cons-tante, que es producida por la fuerza degravedad, que también es constante, al ac-tuar en dirección vertical, haci~ abajo. Sise aplica la segunda ley de Newton a estemovimiento (véase la' ecuación (3a ), lafuerza F no es otra cosa que el peso W delcuerpo, y la aceleración a, es la aceleracióndebida a la gravedad g. Para los cuerposque caen libremente, la ecuación F = ma,se escribe con otros símbolos:

(6a)

Peso= masa X aceleración

Como vimos en el capítulo anterior, elpeso y la fuerza tienen magnitud y direc-ción y, por lo tanto, son cantidades vecto-riales. La masa, por su parte, es una can-tidad escalar, ya .que sólo tiene magnitud.La diferencia entre peso y masa se puede

ilustrar imaginando un cuerpo en el espa-cio, muy alejado de otros cuerpos y de susatracciones gravitacionales.Allí, este cuerpoen reposo seguirá teniendo masa, pero yano tendrá peso. Puede demostrarse que estecuerpo tiene masa, si otra masa choca conél. Cuanto menor sea la masa del cuerpoque llega al encuentro, tanto menor seráel retroceso de la primera masa, como con-secuencia del impacto.

En la Tierra, el peso se debe a la atrac-ción de la gravedad ejercida sobre unamasa que esté sobre su superficie. En laecuación W = mg, podemos definir a gcomo el peso de la unidad de masa. W esla masa multiplicada por el peso de la uni-dad de masa.

EjemPlo 1. Calcular el peso de un cuer-po que tiene una masa de un kilQgI'amo.

Sulución. Sustituyendo directaínen.te en laecuación (6a), obtenemos

ID kgmW = 1kg X 9.80--; = 9.80~

seg seg'

= 9.80 newtons.

Esta respuesta nos dice que para levan-tar ulÍa masa de 1 kg, se necesita una fuer-za vertical hacia arriba de 9.80 newtons yque el peso y la masa difieren numérica-mente en el factor de la aceleración debidaa la gravedad. Por cálculos semejantes alanterior, se encuentra que la masa de ungramo pesa 980 dinas y que un slug demasa pesa 32 lbs. (Véase la figura 6A.)

Frecuentemente, se necesita convertir lasmasas, los pesos y las fuerzas conocidas, delsistema métrico al sistema inglés o viceversa.

49

50

w980 dlns8

9.80 newtons

32 /lb'.B

6A. El pelO el una fuerza 18u~1.n magnl'ud alproducto'" la mala por lo aceleracl6n de la gravedad.

W - m,.

Con este fin, se pueden usar los siguientesfactores de conversión.

1newton= 0.224 libras1dina = 0.00000224 libras1slug c::: 14.6kg

6.2 Trabajo. En su forma más sencilla,el trabajo mecánico es igual al productode la fuerza por la distancia, a lo largo dela cual actúa la fuerza.

trabajo = fuerza X distancia

En fonna algebraica

I trabajo=FX d I

(6b)

Consideremos el problema general delcálculo del trabajo hecho al levantar unamasa m hasta una altura d encima del sue-lo (véase la fig. 6B).

Por la ecuación (6a), la fuerza necesa-ria para levantar una masa m, es igual asu propio peso.

W=mg

Sustituyendo el peso mg por la fuerza F enla ecuación (6b) obtenemos:

trabajo hecho=mg X d (6c)

Para dar valores numéricos, supongamosque la masa es de 5 kg y se levanta verti-calmente a una distancia de 2 m. Por sus-titución directa en la- ecuación (6c) obte-nemos

FíSICA DESCRIPTIVA

trabajo realizadom kg mZ

=5kgX 9.8~X 2m=98~seg seg

Ya que la fuerza en newtons tiene lasunidades kg mi seg', la respuesta puedetambién escribirse asi:

trabo realizado = 98 newtons metros ( 6d )

El trabajo en el sistemaMKS tiene lasunidades absolutas kg m2/seg2, que soniguales a las unidades derivadas newton...metros. En el sistema CGS, las unidades

F

t

_:!~

F

f

c:J

$12 m

FI,. 61. Para levantar, verticalmente un cuerpo, .edebe hacer un trabalo contra la a.racel6n de la ,ra-

vedad.

fundamentales correspondientes son g cm2Iseg2 que son iguaJes a las unidades deriva-das dina-centímetros. En el sistema inglés,o de ingeniería, la unidad de trabajo es elpie-libra, abreviado ft-lb.

Ejemplo 2. Encuentre el trabajo hecho allevantar un peso de 5 lb a \ una altura de10 tt. i

Solución. Sustituyendo directamente en laecuación (6b), obtenemos

Trabajo = 5lb X 10 ft = 50 ft lb

6.3 Ergios y julios. En el sistema CGS,la dina cm, unidad de trabajo, recibe elnombre de erg (o ergio).

1 dina cm = 1 ergio (6e)

TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA

Una fuerza de 1 dina actuando a lo lar-go de una distancia de 1 cm en la mismadireccióri, realiza un trabajo de 1 ergio.

En el sistema M KS de unidades, unafuerza de 1 newton actuando a través deuna distancia de 1 metro en la misma di-rección, efectúa una cantidad de trabajode 1 julio.

11 newtonm= 1 julio I

Ya que el newton, como unidad de fuer-za = 1 kg X 1 m/seg2 = 1000 g X 100cm/seg2 = 105dinas, el newton-metro =105dinas X 100 cm = 107dinas cm. Enotras palabras,

1 julio = 107ergios (6g)

El julio, como unidad de trabajo, es, en-tonces, mucho mayor que el ergio y se leva a preferir en muchos problemas prác-ticos, porque así se manejarán númerosmenores en las operaciones aritméticas.

Ejemplo 3. Calcular el trabajo hecho allevantar una masa de 400 g a una altura de250 cm.

Solución. Las cantidades conocidas sonm = 400 g, d = 250 cm y g = 980 cmjseg2.Sustituyendo en la ecuación (6c), obtenemos

trabajo = 400 g X 980 cm X 250 cmseg2

2= 98000000 gcm

seg2

trabajo = 98 000 000 ergios

6.4 Trabajo realizado contra el rozamien-to. Al deslizar una masa de 5 kg por unplano horizontal, hasta una distancia de2 m, el trabajo no será tan grande comoel necesario para levantar verticalmente lamisma masa a dos metros.

Como se ve, en el ejemplo de la fig 6C,el peso de 1 kg de masa es suficientementegrande para vencer el rozamiento y deslizarla masa de 5 kg sobre la mesa. La sustitu-ción directa en la ecuación (6c) hace verque

51

trabajo realizadom kgm2

= 1kg X 9.8- X 2m= 19.6--;:2'seg2 se5

o sea, 19.6 newton-metros

Esto es sólo la quinta parte del trabajoque se necesita para levantar los mismos5 kg de masa a una altura vertical de 2 m

1Kg

Fig. 6C. Se debe trabalar contra el razamlento paradeslizar un cuerpo lobre un plano horizontal.

tvéase la ecuación 6d). Reduciendo el ro-zamiento entre el trozo de madera y elplano, la fuerza F puede reducirse más to-davía. Esta reducción se puede lograr pu-liendo y lubricando las superficies deslizan-tes, o, mejor aún, montando el trozo demadera sobre ruedas. Si se pudiera elimi-nar completamente el rozamiento, el trabajohecho al mover cualquier objeto en una di-rección horizontal, sería prácticamente cero,porque una vez iniciado el movimiento,seguiría moviéndose con velocidad constan-te. En cambio, un levantamiento verticalrequiere, por lo menos, una cantidad detrabajo igual al peso mg multiplicado porla altura d.

Cuando se aplica una fuerza a un objetode modo que la dirección de la fuerza for-me un ángulo con la dirección del movi-miento, sólo la componente de la fuerzaque tiene la dirección del movimiento seráefectiva para realizar el trabajo. Esto seilustra en la fig. 6D, donde se aplica unafuerza F a un baúl pesado para empujarlopor el piso. En el diagrama de la derecha,se descompone esta fuerza en' sus compo-nentes horizontal y vertical, Fz y Fy. Lafuerza hacia arriba, F1/, tiene un efecto ele-vador que ayuda a disminuir el rozamiento,

52

F

~f

Fy'-

~--- (I-

X

Fle. 6D. La fuerza que arraltra un ba"'. peladO sob..e. piso, .. analiza en sus componentes.

mientras que la fuerza horizontal, FtI:,esla que realiza el trabajo. Esta fuerza, mul-tiplicada por la distancia horizontal reco-rrida por el baúl, es igual al trabajo reali-zado.

trabajo realizado = F ti: X d

6.5 Energía potencial. La energía me-cánica se divide en dos clases: Energíapotencial y energía cinética. Se dice que uncuerpo tiene energía potencial si, debidoa su posi~ión o estado, es capaz de efectuarun trabajo. El agua en la parte alta de unacascada o la cuerda ~nrollada de un reloj,son ejemplos de objetos q:ue tienen energíapotencial. La cuerda del reloj puede man-tener a éste trabajando durante W1 cierto

energía potencial

mgd,

F=mg

d

r ,I II m II I

Fil. 6E. Un cuerpo tiene energía potendal deblda.asu poslel6n.

riSlCA DESCRIPTIVA

tiempo y.el agua puede, al caer, hacer giraruna rueda de aspas. La energía potencialse mide por la cantidad de trabajo que haydisponible; por lo tanto, se mide en ergios,julios o Pie libras.

Si se levanta una masa m a una altura

d, como se ilustra en la fig. 6E, tendrá en-tonces una energía potencial F X d comoconsecuenciade su posición ppr encima delnivel del suelo, del cual fue levantada. Eltrabajo realizado al elevarla, se ha almace-nado como energía potencial en el objeto.Esta energía se puede recuperar dejandocaer la masa hasta el suelo, pues al hacerlo,podrá efectuar algún trabajo. Por defini-ción,

energíapotencial= F X d (6h)

o bien,en unidadesde peso,segúnla ecua-ción (6a)

E.P.=mg X d.

Ejemplo 4. Una masa de 5 kg es levan-tada a una altura de 2.5 m sobre el suelo.Calcular su energía potencial.

Solución. Sustituyendo las cantidades co-nocidas en la ecuación (6h), obtenemos

m

E.P. ,= 5 kg X 9.8 seg2 X 2.5 m= 122.5 julios

Si se levanta un. cuerpo verticalmente,hacia arriba (se sube por una escalera o setira de él subiéndolo por un plano inclina-do) , la energía potencial se mide por el pesomultiplicado por la altura vertical a que selevanta.

El concepto de energía potencial positiva,nula y negativa, puede ilustrarse con la fi-gura 6F. Un cuerpo que está en cualquierpunto por encima del plano básico, tendráenergía potencial positiva, mientras que encualquier punto por debajo de ese planotendrá energía potencial negativa. Para le-vantar la masa m desde A hasta B, se haceun trabajo y la masa adquiere energía po-tencial hasta la cantidad de mgdl.

A! regresar de B a A, la masa pierdeenergÍa potencial, efectuando un trabajo =.mgdl sobre algún otro cuerpo. De modo

TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA

S.:y --r~!~!~~~

dI

AEP=Obase

Fig. 6F. La energia potencial puede ser positiva o ne-gativa, referida a un plano básico.

semejante al ir de A hasta C, el cuerpopierde energía y tennina en C con mgd2,energía menor que la que tenía en A. Paravolverlo a subir hasta A, se tendrá que apli-car al cuerpo una cantidad de trabajo iguala mgd2.

La selección del plano básico como nivelcero de energía, es puramente arbitraria.En la mayoría de las aplicaciones prácticas,se acostumbra a escoger como nivel ceroel punto más bajo a que pueda llegar elobjeto, de manera que, medidos desde allí,todos los desplazamientos sean positivos. Enel sistema de ingeniería de unidades, la ener-gía potencial, al igual que el trabajo, seexpresa en Pie libras, o sea, libras X piesde distancia vertical.

6.6 Energía cinética. La energía cinéticade un cuerpo en movimiento se define comola capacidad de realizar un trabajo debido

m

~!@1Y ~

flg. 6G. Un cuerpo en movimiento tiene energla eln6-tlca Y:zmv2,

53

al movimiento que tiene. Un automóvilque se mueve por una carretera, tiene ener-gía cinética de translación; y cualquier vo-lante que esté girando, tiene energía ciné-tica de rotación (ver fig. 6G). Para unamasa m, moviéndose en línea recta convelocidad constante v, la energía cinéticase obtiene por

energía. cinética = t inv2 (6i)

Ejemplo 5. Calcular la energía cinéticade una masa de 20 kg, moviéndose con unavelocidad de 4 mI seg.

Solución. Por sustitución directa en laecuación (6i), obtenemos

(m

)2 kgni2

E.C. =! X 20kg X 4- = 160~seg seg

Esta respuesta -tiene exactamente las di-mensiones del trabajo, y de la energía po-tencial, y puede escribirse en las mismasunidades derivadas.

energía cinética ==; 160 julios

Un cuerpo en movimiento tiene energía,ya que, para detenerlo, otro objeto debeejercer sobre él una fuerza F, y al actuaresta fuerza, a lo largo de una distancia d,efectúa un trabajo.

En otras palabras, un cuerpo en movi-miento puede realizar trabajo. Inversamen-te, por la aplicación de una fuerza hori-

vo= Ov-..

"~~~-:'//~~ F;::JE:.~--+-m

E.C. =O d E.C.= ímv2'ig. 6H. Un cuerpo 'iene energia cinética debido a su

movimiento.

zonta!, F, sobre un cuerpo de masa m, a lolargo de una distancia d, se le dará unaenergía cinética t mv2. (Véase la fig. 6H.)

I F X d = t mu' j(6j)

54

Esto se conoce como la "ecuación deltrabajo". En ella se desprecia completa-mente la fricción y se supone que el cuerpoparte del reposo.

Ejemplo 6. Una fuerza horizontal cons-tante de 25 newtonsse aplica a lo largo deuna distancia de 20 m a un pequeño auto-móvil de carreras de 2 500 newton~. Si sedesprecia la fricción, y el automóvil parte delreposo, ¿qué velocidad obtiene?

Solución. Los valores conocidos son F =25 newtons, d = 20 m y m = 2 500/9.8 kg.Al aplicar la ecuación (6j) a este problema,se trasladan todos los factores, excepto v2al otro lado de la ecuación, y entonces sehace la sustitución como sigue:

v2 = 2(F X d) =2(25 X 20) = 3.92 m2m 2500/9.8 seg2

mv = 1.98-

seg

Nótese que, al resolver este problema, sedebe considerar la masa m en kg, es decir,newtons de peso divididos por g en mi seg2.

6.7 Potencia. La potencia se define comola rapidez con que se efectúa el trabajo.

. trabajoPotenCia= .

tiempo

(6k)

Cuanto más rápidamente se hace un tra-bajo, mayor es la potencia. En otras pala-bras, cuanto menor sea el tiempo t en laecuación anterior, mayor será la fracciónF X dlt y la potencia P.

En la fig. 61 se da una buena ilustra-ción de la potencia. Un carro elevador conmasa m se levanta a una distancia d, enun tiempo definido t. Si se conocen estastres cantidades, sus valores sustituidos en laEc. (6k) darán la potencia que se estádesarrollando durante el tiempo de subida.

En el sistema métrico, donde el trabajose mide en ergios o julios, la potencia seexpresa en ergios por segundo ó en julios

FfSICA DESCRIPTIVA

¡-

1

--1I JI II IL- --J

d

Flg. 61. Demostración d. un elevador d. concreto. Verproblemas 5 y 15.

por segundo. Un julio por segundo se lla-ma vatio, unidad de potencia.

1 julioIseg= 1 vatio (61)El kilovatio es otra unidad unidad de

potencia, y es igual a 1 000 vatios.En el sistema de ingeniería, con el trabajo

medido en pie-libras, la potencia se expresaen Pie-libras por segundo, y en caballos depotencia (abrev. hp.)

1 hp=550 ft lb/seg (6m)

EjemPlo 7. Encuentre la potencia de unamáquina capaz de levantar '200lb a una al-tura de 55 ft en 10 seg.

Solución. Por sustitución directa en laecuación (6k), obtenemos

p = 200 l~oX 55 ft = 1100 ft lb/seg.seg

Dividiendo esta respuesta entre 550 paraobtener caballos, encontramos

1100550 = 2hp.

Si 550 ft lb/seg se cambia al ~istema métri-co (1 ft = 0.305 m y 1 lb = 0.454 kg), en-contramos

1 hp"= 746 julios/seg = 746 vatios (6n)

TRABAJO, ENEROfA y P<Y1'ENctA 55

PREGUNTASY PROBLEMAS

1. Defina o explique brevemente cada unode 108siguientes témtinos: a) energía ciné..tica; b) trabajo; e) vatio; d) ergio, ye) new-ton metro.

2. Defina o explique brevemente cada unode los siguientes térnrinos: a) energía poten-cial ; b) potencia; e) caballo de potencia;d) joule, y e) dina céndmetro.

3. Explique claramente la diferencia en-tre: a) energía y potencia; b) julio y vatio,y e) pie libra y caballo de potencia.

4. EI1«::uentreel trabajo hecho cuando unhombre de 150 lb escala una montaña hastauna altura de 1 milla.

5. Un elevador de concreto que pesa 620libras es levantado a una altura de 75 ft.Encuentre el tra.bajo hecho. Ver. fig. 61.(Resp. 46 500 ft lb.)

6. Una carga de 2 000 kg es levantada a24 m por una grúa. Encuentre el trabajoefectuado. .

7. Un carro elevador, de 28úO kg demasa, es levantado del primer piso de un edi-ficio al vigésimo piso. Si la distancia mediaentre pisos es de 4 m. ¿Cuánto trabajo sehace? (Resp. 2 085 000 julios.)

8. Una masa de 5 kg tiene una velocidadde 16 mI seg. ¿Cuál es su energía cinética?

9. Una bala de 15 g, disparada por unrifle de cacería, tiene una velocidad de sali-da de 650 m/seg.. Encuentre la energía ciné-tica en: a) ergios, y b) en julios. (Resp. a)3.17 X 1010 ergios; b) 3 170 julios.)

1Q. U n carro que pesa 2 tons (cortas) tie-ne una rapidez de 60 mi/h. Encuentre suenergía cinética en ft lb.

11. Una masa de 25 kg, cae librementedesde una altura de 220 m. Encuentre: a)la energía potencial antes de soltarla, y b) laenergía cinética en el momento en que vaa llegar al suelo. (Resp. a) 53900 julios;b) 53 900 julios.)

12r- Una bala de 16 lb es tirada desdeuna altura de 24 ft. Encuentre: a) la ener-gía potential antes de soltarla, y b) la energíaeinética en el momento que va a llegar alsuelo.

13. Un elevador, de masa 1500 kg, sube80 m en 14 seg. Encuentre la potencia enkilovatios. Ver fig. 61 (Resp. 84 kv.)

14. Un camión de 5 ton (cortas) sube poruna cuesta de 10% hasta una altura verticalde 900 tt en 15 mino Encuentre: a) la ener-gía potencial almacenada, y b) la potenciapromedio desarrollada.

15. Un elevador de concreto levanta unacarga de 150 kg a una altura vertical de 75metros en 8 seg. Encueritre la potencia usadaen kilovatios. Ver fig. 61. (Resp. 13.8 kv.)

16. Un camión de 3 600 kg de masa re-quiere una fuerza de 800 newtons para man-tenerse en movimiento en un camino rectoy a nivel, a razón de 15 m/seg. Encuentre:a) la energía cinética, -y b) la potencia desa-rrollada.

17. Una fuerza ascendente de 2 000 new-tons, y en un ángulo de 450 con la horizon-tal, es capaz de mover una caja pesada a6 m sobre el piso. Encuentre el trabajo he-chQ. (Resp. 8480 julios.)

18. Un globo, portador de instrumentosa grandes alturas, lleva una carga de 5.2 kga una altura de 12000 m en 30 mino En-cuentre: a) el trabajo hecho, y b) la poten-~ia desarrollada.

19. Se bombea agua de un río a un depó-sito, a una elevación total de 60 m, a razónde 5 m3/h. ¿Cuál es la potencia mínima ne-ce~aria? Un metro cúbico de agua tiene unamasa de 1000 kg. (Resp. 0.817 kv.)

20. ¿Cuántos metros cúbicos de agua pue-den bombearse en una hora de un río a untanque de agua por una bomba de 5 kv?Considere una elevación de 40 m. Un metrocúbico de agua tiene una masa de 1000 kg.

7

CONSERVACION DE LA ENERGIAY DE LA CANTIDADDE MOVIMIENTO

7.1 Conservación de la energía. La másimportante de todas las leyes de la Natura-leza es la de la conservaci6n de la energía.Aunque esta ley se ha establecido casi entantas formas diferentes como textos se hanescrito sobre el tema, todas \ ellas tienen enrealidad el mismo significado. Los tresejemplos siguientes son expresiones típicasde esta ley: 1) siempre se conserva la ener-gía al transformarse de una clase a otra;2) la energía no se puede crear ni destruir,o 3) la suma total de toda la energía deluniverso se mantiene constante.

Todos debemos damos cuenta del hechode que hay muchas formas de energía; ade-más de las dos formas de energía mecánica,ya definidas, hay energía calorífica, energíaeléctrica, energía química, energía luminosay energía atómica. En este capítulo, nosocupamos de la ley de la conservaci6n dela energía, aplicada 8610 a las dos formasde la energía mecánica, potencial y cinética.La ley de la conservación de la energía vol-verá a encontrarse en conexión con las otrasformas de energía en los capítulos que seestudian: calor, electricidad y estructuraat6mica.

Considérese la energía que tiene la cas-cada representada en la fig. 7A. El aguaencima de la cascada tiene energía poten-cial, en virtud de su posición encima de l~base. Conforme cae. hacia abajo, con velo-cidad cada vez mayor, su energía cinética,i mu2, aumenta mientras la energía poten-cial disminuye.. Al final de la caída, la ener-gía potencial se acerca a cero y la energía

einética llega a su valor máximo. En laparte de arriba, la energía era casi todapotencial, mientras que cerca del fondo escasi toda cinética. Suponiendo que el aguaparte del reposo encima de la cascada y no

FlS. 7A. Encima d. la cascada, tocla la energ'a dis-ponible es potencial. Al pie de la cascada, todae.

clnética.

pierde energía al caer, la energía poten-cial, al comenzar la caída, será igual a laenergía cinética en el fondo.

E.P. arriba = E.C. en el fondo,

F X d = i mv2, (7a)

mgh = i mv2. (7b)

O suprimiendo la m en los dos miembros dela ecuación y despejando v,

u2=2gd 6 v="V2gd (7c)

Esta ecuación especial para la velocidadde los cuerpos que caen libremente, puedetambién derivarse de las ecuaciones (4a) y

56

CONSERVACIÓN DE LA ENERGfA Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 57

(4b ). Su derivación se déja a los estudian-tes como ejercicio (véase el problema 9).

Ejemplo 1. Una masa. de 25 kg se dejacaer desde una altura de 5 m. Encontrar laenergía cinética y la velocidad en el mo-mento en que llega a tierra. .

Soluci6n. Ya que la energía potencialarriba es equivalente a la ene~a cinéticaen el fondo.

mE.P. = 25kg X 9.8- X 5m

seg2= 1 225 julios = E.C.

La velocidad se encuentra por la Ec. (7c)

v = y2 X 9.8 X 5 = 9.9 m/seg

Cuando el cuerpo del problema antenor,está a medio camino, tiene algo de energía.potencial y algo de energía cinética. Suenergía total E será, pues, de dos clases,

. E = t mv" + mgd I (7 d)

En el instante en que el cuerpo llega alsuelo, es detenido bruscamente y toda suenergía se transforma rápidamente en ca-lor. La transformación de energía mecá-nica en calor, es demostrada con frec\,len-

hmg

Flg. 71. La energ'a potencial puede volvene dn'tlcaal balar una pendiente.

cia en el laboratorio de física por un expe-rimento en que son lanzadas unas esferasde plomo' desde una altura de varios metrosy se mide su temperatura antes y despuésde la caída. Dejando caer las esferas variasveces, se logran elevaciones de temperaturade varios grados.

Considerar el caso de un cuerpo que sedesliza bajando por un plano inclinado apartir del reposo. En la parte alta del planoinclinado, una masa m tiene una energíapotencial mgh y no tiene energía cinética.(Véase la fig." 7B.) Al llegar al fondo, laenergía potencial se ha reducido a cero, yla energía es toda cinética. Por la conserva-ción de la energía total, tenemos

E total arriba = E total abajo,

(E'.P.)1+ (E,C')1= (E.P.)rl + (E.C)2,(7e)

mgh + 0=0+ t mrrde donde

v= v'2gh (7f)

Esta es, precisamente, la velocidad ad-quirida por un cuerpo que cae librementedesde una altura h. (Véase la ecuación 7c.)Este resultado es interesante, porque hacever que la velocidad adquirida por un cuer-po, que se desliza sin rozamiento por unplano inclinado de cualquier ángulo (J,equi-vale en magnitud a la velocidad adquiridapor un cuerpo que cae libremente desde lamisma altura h. Debe notarse que, aunquela velocidad final es la misma, las acelera-ciones y los tiempos de caída son diferentes.

7.2 El péndulo simple. Se le puede darun planteamiento semejante al estudio de

e/"

/1/ 1

1 I/1 I

1 I1 I

/ I/

~~ I( ) + "'-./' ! ,¿Ir"-'

-~( ;.::::' - - -1 ';;v22

mg

Flg. 7C. En el iMndulo le convierte la energla poten-cial en clnétlca , nueva",ente en potencial.

58

la energía en la oscilación de un péndulosimple. En los extremos de su oscilación(véase la fig. 7e), la esfera queda momen..táneamente en reposo y la energía E es po-tencial toda ella y vale mgh. En la partemás baja de la oscilación, la energía E estoda. einética y vale t mv2.

El movimiento de la esfera del pénduloes como el de un cuerpo que se desliza sinrozamiento, bajando por un plano inclina..do de ángulo variable. La energía einética

e,IIIIII

~// I

/-v/ I-~-..( t------

~_..<.., 1'..1., ~_/-- -'1 .)-.-~'_/

FIg. 7D. La .sf.ra d.1 p'ndulo sub. halta la mismoaltura.

adquirida al bajar por un lado es justa..mente suficiente para hacerlo subir hastauna altura igual en el otro lado. Si se sujetael hilo con un alfiler en P, como se indicaen la fig. 7D, la esfera subirá hasta la mis-ma altura h.

7.3 Conservación de la cantidad de movi-miento. Cuando dos o más cuerpos cho-can entre sí, la can~dad de movimiento seconserva constante. La ley de la conserva-ción de la cantidad de movimiento se apli-ca. a todos los fenómenos de eolis~ón, y es-tahlece que la cantidad total de movimientoantes del impacto, es igual a la cantidadtotal de movimiento después del mismo.C<.msidértse como ejemplo el encuentro defrente de dos esferas, tal como se ilustra enla fig. 7E. Antes del impacto, la masa mIse mueve con una velocidad UI y tiene unacantidad de movimiento mlUI, mientras m'zse mueve con una velocidad U2y tiene unacantidad de movimiento mzuz. La cantidad

rfSICA DESCIUPttVA

de movimiento total antes del impacto seráentonces igual a la suma de las dos eanti..dades de movimiento mlUi + m'2U2.

Por un razonamiento semejante se veclaramente que, después del impacto, mIy ma, con sus nuevas ve10ddades VI y V2,

Fil. 11. La cantidad total de Movimiento d. dOI tu.*",pOI es Ilual untes y d..pu'. de ... "npacto.

tienen una cantidad de' movimiento totalmlVl ,+ irl-2V2.La ley de la conservaciónde la cantidad de movimiento requiere que

canto de mov. total antes= canto de mov. total después

(7g)

.Se producen dos fuerzas iguales, perocontrarias, entre los cuerpos, durante el im-pacto: una fuerza ejercida por ml sobre m2y la otra fuerza ejercida por m2 sobre mt.Estas dos fuerzas iguales, pero contrarias,son una acción y su reacción, como lo ex-plicamos en la tercera ley del movimientode Newton. Cada fuerza actúa durante elmismo intervalo de tiempo, dando el mismocambio a la cantidad de movimientQ deambos cuerpos. Un cuerpo gana tanta can-tidad de movimiento como la que el otropierde. En otras palabras, la cantidad demovimiento total se mantiene constante.

E jem plo 2. U na bola de marfil de 5 kgde masa, moviéndose con una velocidad de20 m/seg, choca con otra bola de marfilde la misma línea, con una velocidad de 10m/seg. Después del impacto, la primera masasigue moviéndose en la misma dirección, perocon una velocidad de sólo 8 m/seg. Calcularla velocidad de la segunda masa después delimpacio.

U1 U2 VI "2

.-... ..... ........ --

G O ()OmI m2 m1 tn2

IIntesF "F

despufJs

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 59

Solución. Por sustitución directa en laecuación (7g), obtenemos

(5 X 20) + (10 X 10) =(5X8)+(10XV2)

. 200 = 40 + 10V210v2= 160

V2= 16 m/seg.

La segunda masa tiene una velocidad de16 m/seg, después del impacto. Si en elejemplo anterior se calcula la energía ciné-tica total después del impacto y se com-para con la energía cinética total antes delmismo, se encuentra que no son igualeslas dos. Empleando la ecuación energía ci-nética = t mv2, tenemos

(E.C) 1= t (5 X 202) + t( 10 X 102)= 1 500 julios antes del impacto.

(E.C.)2 = t(5 X 82) + t( 10 X 162)= 1 440 julios después del impacto.

La diferencia en energía, 60 julios, hadesap.arecido como energía mecánica y seha convertido en calor. Las dos masas fue-ron deformadas ligeramente durante el im-pacto, como consecuencia de las fuerzasmutuas, y se genera una pequeña cantidadde calor interno. Este calor produce unaelevación de temperatura de los dos cuer-pos que chocan. Para que resulte correctala aplicación de la ley de conservación deenergía, es necesario sumar esfa energía ca-lorífica de 60 julios a la energía mecánicadespués del impacto.

Esta es otra forma de afirmar que, en ge-neral, las colisiones no son perfectamenteelásticas. Si fueran perfectamente elásticas,se lograría la conservación de la energíamecánica a la vez que la coriservación de la~antidad de movimiento. Los choques per-fectamente elásticos ocurren entre los áto-

mos y moléculas ultramicroscópicos de ungas, pero no entre los cuerpos macroscópicosque manejamos en la vida diaria. Cuantomenos elásticos sean los cuerpos que cho-can, 'más energía mecánica se transformaen calor. En el Capítulo 11 se estudiarála elasticidad y su aplicación en los pro-blemas de los choques.

Es importante hacer notar, en esta discu-sión del ejemplo 2, que para todos los pro-blemas de choques debe aplicarsela ley dela conservación de la cantidad de movi-miento y no la ley de la conservaciónde laenergía.

7.4 Experimentos. Se presenta en la fi-gura 7F un interesante experimento queilustra el principio de la conservación dela cantidad de movimiento. Dos carritosde masas iguales mI = m'2,se amarran en-tre sí con un resorte comprimido entre ellos.Cuando se quema la cuerda que los une,liberándose el resorte, saltan 10s dos carros,

~ v.m1 m2 !.

Fig. 7F. Concervaci6n de la cantidad d. movimiento.

I

alejándose con ",elocidades iguales. Loscarros estaban d~~&reposoantes de que sedejara libre el resorte, y la cantidad de mo-vimiento total sigue siendo cero, ya que lasdos velocidades tienen direcciones opuestas.Siendo vectoriales las cantidades de movi-miento

(7h)

Tomando como positivos los movimien-tos hacia la derecha, ~~2es positiva y VI esnegativa, y las dos cantidades de movimien-to se anulan mutuamente.

Si se repite ese mismo experimento conuno de los carros cargado, (h), salen losdos carros alejándose como antes, pero convelocidades distintas. El carro n1ás ligerose mueve con una velocidad mayor, mien-tra~ el carro con mayor masa se aleja conmenor velocidad. El producto 1121X lh, si-gue siendo igual al producto m2 ><V?, Yla suma de las dos cantidades de movj-miento e~ O.

60 FÍSICA DESCRIPTIVA

~

V2

Flg. 7G. Un p'ndulo ligero y otro pesado Ilustran la I.y d. la conservacl6n de la cantidad de mo-ylmlento.

---Flg. 7H. Experimento 'con bolas ele biliar, que Ilustra la conservacl6n de la cantidad de moylmlento.

///

////

////

/¡

,--{(Q \< /

1.-- ...............

----

flg. 71. Experimentocon bolas de boliche,que Ilustra la "leyd. la cons.rvacl6nde la cantidad demovimiento.

CONSERVACIÓN DE LA ENERGiA Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 61

Ejemplo 3. Se dispara un proyectil de60 kg con una velocidad inicial de 500 mj segcon un cañón de 2 000 kg. ¿Cuál es la velo-cidad inicial con que el cañón retrocede?

Solución. Aplicando la ecuación (7h), Ysustituyendo directamente las cantidades co-nocidas, obtenemos

60kg X 500mjseg + 2 OOOkgX V2'= O

30000 kg mjseg + 2 000 v~ kg = O

- 30,OOOkgmjseg - 15 /lf-2- - 2,000kg - - m seg.

El cañón retrocede con una velocidad de15mjseg.

Con los dos péndulos de la fig. 7G sehace un experimento que ilustra la veloci-dad de retroceso de Uha masa pesada, comola del ejemplo 3. Se fija un muelle en for-ma de U eQtre una bola pesada de hierro,m2, y una ligera de madera ml, compri-nliéndolo y amarrándolo con una cuerda K.Cuando se quema la cuerda K, se liberael muelle y saltan las dos masas alejándosecon cantidades de movimiento iguales yopuestas. La masa pequeña adquiere unagran velocidad y sube a una altura consi-derable, mientras que apenas se aprecia elmovimiento de la masa grande.

Puede efectuarse otro experiq1ento inte-resante, que ilustre' la conservación de lacantidad de movimiento, con 8 Ó 9 bolasde billar y una tabla acanalada como seindica en la fig. 7H. Cuando se lanza unabola y se hace pegar a las otras, se deten-drá por el choque con la primera bola y labola del extremo se moverá, alejándose casicon la misma velocidad. Si se lanzan dosbolas, como se indica en el diagrama, sal-drán también dos bolas en el otro extremo,y si se lanzan tres bolas, saldrán tres, etc.~ste experimento resulta mejor con bolitasde vidrio o balines de acero, ya que sonmuy elásticos; pero las bolas de billar pro-ducen un efecto más espectacular.

Pregunta. ¿ Por qué, al lanzar dos bolas,no sale una sola del otro lado con una velo-cidad doble, conservando la cantidad de mo-vimiento?

Respuesta. La respuesta a esta preguntacomprende la conservación de la energía,además de la conservación deJa cantidad demovimiento. Si saliera una sola bola con do-ble velocidad, su energía cinética sería dosveces mayor que la energía entregada por lasdos bolas que llegaron rodando.

Puede hacerse un experimento e~pecta-cular, de naturaleza semejante a éstos, sus-pendiendo 4 Ó 5 bolas grandes de bolichedesde el techo de la habitación, como seilustra en la fig. 71. Cuando se levanta unaboJa y luego se deja libre, será detenidapor las otras y al mismo tiempo la bola delextremo opuesto salta hacia afuera, con lamisma velQCidad aproximadamente. Si selanzan dos bolas, se hará que por el otrolado salten dos, etc.

L~. fuerza impulsora de un avión o co-hete de retropropulsión se deriva del prin-cipio de la conservación de la cantidad demovin1iento. Ver. fig. 7J.

v

m.....

I

-F +f

4 I .Fig. 1J. La conservación de la cantidad de movimientoiustifica la fuerza impulsora en un avión o cohete re-

tropropulsor.

Conforme se queman los gases dentro delas cámaras de combustión del motor, ejer-cen una gran fuerza hacia adelante, -F,sobre el avión, y otra fuerza igual y opues-ta, +F, sobre los gases que escapan. Comoconsecuencia de la fuerza hacia atrás, losgases adquieren una velocidad muy alta, v,y una cantidad de movimiento mv.Volandoa velocidad constante, el empuje hacia ade-lante, -F, equilibra la resistencia friccio-nal, f, del aire. Para relacionar el empuje

62

con la cantidad de movimiento del escape,escribimosla ecuación de la fuerza:

F=ma

Para movimiento uniformemente acele-rado, tenemos también

v=ató

a=v/tPor sustitucióndirectaen la ecuaciónde

la fuerzase tiene

Para aplicar ésta, la ecuación del impul-so, al motor cohete o retropropulsor, m re--presenta la masa del gas que escapa en unnúmero dado de segundos, t. El impulso,F X t, ejercido sobre los gases, es igual yopuesto al impulso -F X t, ejercido sobreel avión.

PREGUNTAS Y PROBLEMAS

1. Exprese la ley de la conservación de lacantidad de movimiento. Dé un ejemplo pormedio de un diagrama y explíquelo en de-talle.

2. Exprese la ley de la conservación de laenergía en sus propias palabras. Dé un ejem-plo en que la energía potencial se transformeen energía cinética.

3. Dé un ejemplo de su propia experien-cia en que la energía cinética se transformeen energía potencial.

4. ¿En qué punto de su trayectoria tienela lenteja de un péndulo: a) su máxima ra-pidez; b) cero velocidad; e) máxima acele-ración, y d) cero aceleración?

5. Cuando un carro baja una cuesta y seaplican los frenos para mantener su veloci-dad a 30 km/h, ¿qué ocurre con la energíapotencial? Explíquelo.

6. Una bala de 16 lb se suelta desde unaaltura de 100 ft. Encontrar: a) su energíapotencial antes de soltarla; b) su energía ci-nética 25 ft arriba del suelo, y e) la energíacinética máxima, adquirida antes de llegaral suelo.

7. Un pequeño motor cohete se monta enla popa de un bote chico, de 'modo que lancesu escape hacia atrás. Explique las fuerzasque intervienen, y Jos movimientos que se es-peran desde el encendido.

gía potencial inicial; b) su máxima energíacinética, y e) su máxima velocidad.

9. Un ciclista se desliza 200 m hacia aba-jo de una cuesta de 10%. Despreciando lafricción, ¿cuál será su velocidad al llegarabajo? (Resp. 19.8 m/seg.)

10. Una bala de 60 g, moviéndose conuna velocidad de 600 m, entra y se incrust;}en un trozo de madera de 4.5 kg. ¿Con quévelocidad retrocede el trozo si estaba en re-poso inicialmente?

11. Una pelota de boliche de 3 kg demasa, y moviéndose con velocidad constantede 5.4 m/seg, choca con otra bola de lamisma 'masa y moviéndose en la misma di-rección con una velocidad de 1.6 m/seg. Des-pués del impacto, la primera masa sigue mo-viéndose en la misma dirección con unavelocidad de 3.8 m/seg. Calcule la velocidadde la segunda masa. (Resp. 3.2 m/seg.)

12. Una masa pequeña, de 0.5 kg, mo-viéndose con una velocidad de 24 m/seg,choca de frente con una masa de 15 kg enreposo. Debido al impacto, la masa pesadase 'mueve con una velocidad de 30 cm/seg.Calcule la velocidad de la masa menor.

13. Un cañón de 500 kg, montado sobreruedas, dispara una bala de 1.~ kg con unavelocidad de salida de 650 m/seg. Calculela velocidad de retroceso del cañón. (Resfr.1.56 mj.seg.)

8 Una piedra de 5 kg es soltada desde 14. Una bala de 60 g, moviéndose conuna altura de 75 m. Encontrar: a) su ener- velocidad de 500 m/seg, pasa a través de un

FÍSICA DESCRIPTIVA

vF=m-

t

óI Ft = mv I (7i)

CONSE.RVACIÓN DE LA ENERGfA Y DE LA OANTIDAD DE MOVIMIENTO

paquete de masilla de 1.5 kg. que está ini..cialmente en reposo. Si la bala sale por elotro lado, con velocidad de 120 mi seg, ¿cuáles la velocidad con que va a moverse el pa-quete de masilla?

15. Un trozo de madera de 2 kg, apoyadoen una cerca, es golpeado por una bala derifle de 50 gm. Si la bala entra al trozo demadera con una velocidad de 580 m/seg ysale por el otro lado con una velocidad de160 rnlseg, encuentre: a) la velocidad deltrozo, y b) la energía perdida por la bala alpasar a través del trozo. (Resp. a) 10.5 miseg; b) 7 600 julios.)

16. Un vag6n de ferrocarril, de 50 tone-ladas (cortas), moviéndose a 16 ft/seg, topacon otro de 40 toneladas, que se mueve enla misma dirección, a 5 ft/seg. Si los carrosse enganchan al chocar, encuentre: a) su ve..

63

locidad resultante, y b) la energía. perdidadurante el impacto.

17. Un trozo de madera de 230 g, se c.o-loca directamente sobre el cañón de un riflede calibre 2'2. Se apunta el rifle verticalmen-te, hacia arriba, y se dispara. La madera,con la bala incrustada, sube a una altura de1.6 m. Si la masa de la bala es de 1.8 g,encuentre: a) la velocidad de salida del ma-dero, y b) la velocidad de disparo de la bala.(Resp. a) 5.60 m/seg; b) 721 m/seg.)

18. Un trozo de madera, de 4 kg, cuelgacomo péndulo de un cordel largo. Cuandose dispara una bala de 12 g, que se clavaen el trozo de madera y se queda incrustadaen él, esa madera oscila hasta una alturade 16 cm por encima de su posición de re.poso. Encuentre: a) la velocidad adquiridapor la madera, y b) la velocidad con quesalió disparada la bala.

8

MOVIMIENTO CIRCULAR

Cuando se pone en rotación un cuerporígido, su movimiento se describe general-mente con relación al eje en tomo al cualgira. El eje de rotaciónJ como se llamageneralmente, está a veces dentro del cuer-po y otras veces fuera de él. En el casode la mayoría de las ruedas de maquina-ria, por ejemplo, el eje de rotación es unalínea que pasa por el centro geométrico yen dirección perpendicular al plano de ro--tación. En cambio, para una piedra quegira en el extremo de una cuerda, el ejede rotación está en el otro extremo de ésta,el más alejado de la piedra.

8.1 Frecuencia. La 'velocidad con que uncuerpo gira, se expresa por su velocidad an-gularJ o mejor aún, por su frecuencia derotación. Este último término se refiere alnúmero de revolucionescompletas que efec-túa un cuerpo en unidad de tiempo, y seexpresa con la letra f.

f = número de revoluciones por seg. (8a )

Se puede decir, por ejemplo, que un vo-lante tiene una frecuencia de 10 revolucio-nes por segundo (abrev. 10 rps.) Esto equi-vale a una frecuencia de 600 revolucionespor minuto (abrev. 600 rpm), y a una fre-cuenCia de 36 000 revoluciones por hora(abrev. 36 000 rph).

Flg. 8A. Una mala, m, le mueve en un circulo ae ra-dio r con una rapidez uniforme v.

Considérese un cuerpo de masa m, atadoal extremo de una cuerda y girando en uncírculo de radio r. (Véase fig. BA.) Yaque v, la velocidad del cuerpo a lo largode su trayectoria se define como la distan-cia recorrida por unidad de tiempo, la rela-ción entre v y f, será:

v = 2'1Trf (8b)

La distancia recorrida en un segundo esigual a la circunferencia, 2'71"r,multiplicadapor el número de revoluciones por seg, f.Si r está en centímetros, la velocidad estáen centímetros por seg, y si r se da en me-tros, la velocidad v se obtiene en metros porsegundo.

Para -aplicar el término .velocidad a unmovimiento circular uniforme, debemos re-ferimos a la velocidad' instantánea. Estavelocidad, v, como.se indica en la fig. 8B,

eFig. 8B. La velocidad inltant6nea, v, de una masa m,que .igue una trayedoria curva, tiene siempre la di-

recci6n de la tangente a la curva en e.e punto.

tiene la misma magnitud que la rapidez v,y una dirección que en cualquier punto esla de la tangente al círculo. Si la rapidez.es constante, la magnitud de la velocidades constante, pero su dirección cambia con-tinuamente.

8.2 Fuerza centrípeta. Cuando se hacegirar una piedra en el extremo de una cuer-

64

MOVIMIENTO CJRCULAR

da, hay una fuerza hacia adentro ejercidapor la cuerda y actuando sobre la piedra.Esta fuerza se llama fuerza centrípeta. Porla tercera ley dtl movimiento de Newton,sabemos que la piedra ejerce una fuerzaigual pero contraria sobre la cuer~a. Éstase llama fuerza centrífuga. Ambas fuerzasse presentan en la fig. 8C. Ya que la únicafuerza que actúa spbre la piedra es haciadentro, la piedra no está en equilibrio, sino

c.ntriW~ ~centf1peta

Flg. 8C. La malam que le mueve en un circulo, tieneuna aceleración hacia .1 centro.

que continuamente es acelerada en la di-rección de esa fuerza, es decir, hacia elcentro.

Esto parece ser una paradoja física, por-que aquí hay un cuerpo que se mueve conrapidez constante en un círculo, y está sien-do acelerado hacia el centro del círculo sinque se acerque a él. Si se rompiera brusca-mente la cuerda, la piedra saldría volandoen una línea tangente, de acuerdo con laprimera ley del movimiento de Newton.

v

65

Para obtener una idea más clara de lafuerza centrípeta y de la aceleración haciael centro, se ilustra en la fig. 8D (c) elmovimiento circular comparado con el mo-vimiento de un proyectil acelerado haciaabajo por la atracci6n de la gravedad,como se vio en la fig. 4G. Debido a laatracci6n de la Tierra sobre todos los cuer-pos, un proyectil es acelerado continuamen-te hacia abajo, alejándolo de la línea rectaen que fue lanzado originalmente. En elmovimiento circular, la masa es aceleradacontinuamente hacia el centro, siempre enángulo recto con su velocidad instantáneay alejándola de la recta tangente, a lo lar-go de la cual viajaría si bruscamente se ledejase en libertad.

En el diagrama (a) de la fig. 8D, se in-dica la velocidad instantánea en dos pun-tos, A y B. Se ve que la velocidad indicadapor los vectores u, está cambiando de di-recci6n, pero conserva su misma magnitud.El diagrama (b) es un diagrama de velo-cidad indicando v' como el cambio de ve-locidades que tiene lugar al ir de A hastaB. Ya que el triángulo de velocidades essemejante al triángulo ABC de distanciasdel diagrama (a), los lados correspondien-tes son proporcionales entre sí y se puedeescribir lo siguiente:

8~v'=Ofv

(b)/('

II

,. v

Flg. 8D. Un cuerpo que recorreun circulo,l. acelera continuamentehacIa el centro.

¿.(o) .

'\ (e)\

\r

66

d Ú-t::=-r v

Como el cambio de velocidad ú se debea una aceleración, puede reemplazarse por41,conformea la ecuaciónv = atoDurante 6el tiempo t, se mueve el cuerpo desde Ahasta B recorriendo.una distanciad ~ vt.Para ángulos ,pequeños(}, la distancia me-dida a lo largo -del arco AB es aproximada-mente igual a la cuerda d, de manera quese puede reemplazar con bastante aproxi-mación d por vt. Estas dos sustituciones, he-chas en la ecuación anterior, nos dan,

vt at--r v

Suprimiendo la t en ambos miembros ydespejando a, obtenemos la relación

(Bc)

o sea, que la aceleración centrípeta se ob-tiene con v2/ r.

Conforme se hace más y más pequeñoel ángulo (} de la fig. 8D, la distancia d delarco se hace más y más cercana a la cuer-da, mientras que el cambio de velocidad v',que da la dirección de la aceleración, a, seva aproximando más a la perpendicular ala velocidad v. En el límite en que (Jse hacecero, la ecuación (8c) será exacta, y la ace-leración resulta perpendicular a v.

La fuerza centrípeta se define como lafuerza constante que, actuando continua-mente en ángulo recto con la dirección delmovinliento de una partícula, hace que éstase mueva en un círculo con rapidez cons-tante. Por la segunda ley del movimientode Newton, F = ma, la fuerza centrípetaestá dada por

I F=m ~ I

(8d)

Ejemplo 1. Una masa de 5 kg se mueveCon una rapidez de 6 m/seg en un círculode 2 m de radio. Encontrar la fuerza cen-trípeta.

FÍSICA DESCRIPTIVA

Solución. Pueden sustituirse las cantida-des conocidas, directamente en la eco (8d).

P = 5kg (6m/seg)2. 90kgm2 m seg2

F = 90 newtons

8.3 Demostración experimental de la fuer-za cenmpeta. Se pueden efectuar experi-mentos muy interesantes para ilustrar lafuerza cen~rí~ta. En la fig. 8E ~ .han pues-to mercuno yagua en un recIpIente y seha hecho gimr rápidamente éste en tomo aun eje vertical. Por la ecuación (8d ), seobserva que r y v serán los mismos para elagua y el mercurio y que m es diferente. Yaque el mercurio es 13.6 veces más pesado

Flg. 8E. Al girar agua y rcurlo luntos, .1 aguaqueda dentro del mercurio. La fuerza cent"peta, alIgual que ICIgravltaclonal, .s mayor para substancias

más densas.

que un volumen igual de agua, la fuerzacentrípeta, F, es 13.6 veces mayor para elmercurio. Por 10 tanto, el mercurio tomarála posición más alejada del eje.

Aunque con frecuencia se dice que laTierra es esférica, en realidad es un esfe-roide; es decir, una esfera ligeramente acha-.tada por los polos. Las mediciones másexactas del diámetro de la Tierra nos ense-ñan que el diáInetro ecuatorial es 4-5 kiló-metros más largo que el diámetro polar. La

MOVIMIENTO CIRCULAR

(a)

(b)

67

no llega a ser suficientem~nte gran,de; pero,cuando esto ocurre, salen disparadas por latangente, como se ilustra en la fig. 8G. Paraseguir adheridas Ia la rueda, se requiereque la fuerza centripeta necesaria seamenor que la fuerza de adhesión.

La abertura de un lazo, DÚeIitras se lehace girar y se lanza, se debe a la fuerzacentripeta (véase la fig. 8H). Cada peque-

Flg. 8H. Un lazo loma forma circular al tratar de salirFlg. 8F. El achatamiento en 101 polOl de la Tierra.. po, la tangen'" cada pedazo. La fuerza centrfpeta la

debe a la rotacl6n de '-fa en tomo a su .1.. mantiene en forma de clrcunf.rencla.

causa de este achatamiento se ilustra con lafig. 8F, usando dos cintas metálicas circu-lares. El diagrama (a) muestra las cintasredondas cuando están en reposo, mientrasque (b) las mueStra aplanadas, debido ala rotación rápida. El aplanamiento de laTierra se debe a su propia rotación a razónde una revolución completa cada 24 horas.La Tierra se comporta como si fuera dematerial suave y semiplástico debido a suenorme tamaño y a su relativa falta de ri-gidez.

El agua y el barro se adhieren a las rue-das de los automóviles mientras su velocidad

ña sección de la cuerda, actuando comouna masa ~dependiente, tiende a salir porla tangente debido a la rotación, y por ellose mantiene lo más lejos posible del centrode la misma.

La distancia media desde el centro a to-das las secciones de la cuerda será máximacuando el lazo tome la forma de un círculo,girando en tomo a un eje perPendicular alplano del lazo.

Si hacemos girar una cadena pequeña agran velocidad, usando un motor eléctricoy luego la dejamos libre, rodará a lo largodel piso como si fuera un anillo metálicorigido, como se ilustra en la fig. 81. Al brin...car sobreobstácul~~,podrá saltar al aire V

Flg. 8G. Elagua., el barro .. n.n por la tan- Flg. 81~ Una cadena, ¡.rando a lfan velocidad,rocIar6Sin" al Ilnar dt prisa I~ rueda. comouna ruoda"'Id..

68

volver a caer al suelo, reteniendo su formacircular mientras siga rodando. La rigidezde la cadena se debe a la enorme fuerzacentripeta producida por.la gran velocidadangular.

8.4 Energía cinética de rotación. Un cuer-po que está en rotación, posee energía ciné- .

tica. Posee esta energía debido a que, parallevarlo al reposo, tendrá que obligársele aefectuar un trabajo. Para calcular la can-tidad exacta de energía almacenada en uncuerpo que gira, se necesitará tener encuenta, no sólo la rapidez de' rotación, sinola distribución de la masa con respecto aleje de rotación. En otras palabras, en laecuación hay que tener en cuenta la formadel cuerpo. Al hacer esto, las ecuaciones queresultan son muy semejantes a las de laenergía cinética para el movimiento lineal,t mrr (véase la ecuación 6i).

8.5 Cantidad de movimiento angular. Asícomo una masa, m, moviéndose a lo largode una línea recta con velocidad v, tiene

Plg. aJ. Una bola de mala m, girando en un circuloatada a una cuerda, llene una canlldad de movimiento

angular mvr.

una cantidad de movimiento mv, tambiénuna masa m, moviéndose con una veloci-dad v en un circulo de radio 1, tiene unacantidad de movimiento angular mV1' (véa-se la fig. 8J).

t canto de movimíento angular = mvr ~ Be)

FíSICA DESCRIPTIVA

EjemPlo 2. Una masa de 3 kg, atada alextremo de una cuerda de 0.25 m de largo,se pone en rotación en un círculo como elde la fig. 8B. Si la frecuencia es de 4 rev/ seg,encontrar la cantidad de movimiento angu-lar.

Solución. Primero debemos encontrar lavelocidad v usando la ecuación (8b).

1u = 27trf = 2 X' 3.14 X 0.25 m X 4-,

segu = 6.28 mi seg.

Sustituyendo la ecuación (8e), obtenemos

Cantidad de movimiento angular = mur

. m=3kg X 6.28- X 0.25 mseg

= 4.70 kgmZseg

Las unidades son tan importantes y tannecesarias en esta respuesta como lo son losnúmeros que figuran con ellas, porque si secambian las unidades, tendrán que cam-biarse también los números.

8.6 Conservación de la cantidad de movi-miento angular. Así como hay una ley dela conservación de ~a cantidad de movi-

miento, para los cuerpos que se mueven enlínea recta, también hay una ley de la con-servación de la cantidad de movimiento an-

gular para los cuerpos que están en rota-ción. Esta ley puede ilustrarse muy bien porel experimento que se muestra en la fig. 8K.Dos masas iguales, m, montadas en una va-rilla AB, capaces de girar en tomo al ejevertical MN. Las cuerdas unidas a cadamasa y que pasan por las poleas P, van has-ta el anillo R y permiten que se pueda cam-biar el radio de rotación, desde rl en (a),hasta 12en (b), por un simple movimientode R. La articulación S evita que se tuer-zan las cuerdas. Cuando se pone a girar elsistema, como se ilustra en (a) 'con la ve-locidad Vi, la cantidad de movimiento an-gular de cada masa es mVJ.rl. Al tirar delanillo R se disminuye el radio a T2y la ra-pidez cambia a V2, siendo la cantidad demovimiento angular mV2T'2.

)fOVIMIEN1'O CIRCULAR

(a)

BA..

(b)

Fil. eK. Demoatraci6n experimental de la conservaciónd. la cantidad d. movimiento angular.

La conservación de la cantidad de movi-miento angular exige que

(8f)

Ya que la masa no se altera en su valor,la conservación de la cantidad de movi-miento angular exige que cualquier dismi-nución en r deba compensarse con un au-mento en rapidez.

Esto es necesario para que ambos miem-bros de la ecuación sigan siendo igualesentre sí.

La ecuación (8í) dice que, por ejemplo,si se reduce r a la mitad, la velocidad u debehacerse doble.

Con u doble y la circunferencia con lamitad de longitud, la velocidad angular seaumenta al cuádruplo.

69

Ejemplo 3. Supongamos en la fig. 8K quem = 10g, V1 = 20 cm/seg y r1.;= 16 cm.¿Cuál será la nueva rapidez si el radior 1 sereduce a la mitad de su valor, es decir, r2= 8 cm?

Solución. Por sustitución en la ecuación(8f), obtenemos

cm10g X 20- X 16cm

seg= 10 g X V2 X 8 cm,

cm3200- = 80V2

seg

U2= 40 cmseg

Se representa en la fig. 8L un experimen-to muy interesante, que ilustra este .mismoprincipio.

Dn observador se coloca de pie sobre unamesa giratoria con pesas en las dos manos.

~-...\, t_---I '\.'"---I J'-'"

,"-,\--:::::::.~-;-<( I,

Flg. eL Experl nto que Ilultra la conaervacl'n de lacantidad de movimiento angular.

Con los brazos c01npletamente extendidoshorizontalmente se le hace girar lentamen-te. Al acercar las manos y las pesas hacia elpecho, como se ilustra en trazo continuo,la velocidad angular aumenta considerable-mente. Este experimento se aprecia mejorpor el observador que está girando y quese siente él mismo acelerado, por lo que pa-rece ser una fuerza misteriosa.

La energía cinética de rotación, en cadauno de estos dos experimentos, aumenta

70

confonne-Ias masas se acercan hacia el cen~tro de rotación. Este aumento se debe a quese ha tenido que hacer trabajo, fuerza pordistancia, cuando se movieron hacia el cen-tro.

Este principio se usa mucho ~n las figurashechas por los patinadores sobre hielo. Em-piezan a girar con los brazos extendido~, ya veces una pierna también,>y luego acercanlos brazos y la pierna hacia el cuerpo, ob-teniendo \)Ila velocidad angular mucho ma-yor que la obtenida antes de acercar losbrazos. .

8.7 Estabilidad giroscópica. Si una ruedagiroscópica eq~ilibrada se monta sobre ani~Dos a la cardan, como se ¡nuestra en 'lafig. 8M, al hacerlo girar con alta velocidad.

~je vertical

....-ejegiro

eje horizontal

Fig. aM. Gi.vscopo montado sobre los anillos a lacardan para demostrar la estabilidad giroscópica.

exhibirá una propiedad llamada estabilidadgiroscópica. Cuando el giróscopo es levan~tado y movido de lugar, se puede fijar labase en cualquiera dirección sin que se logrealterar la dirección de su eje de rotaciónrespecto a la Tierra. En otras palabras, elplano del volante del giróscopo parece ha-ber tomado cierta rigidez en el espacio.

Para cambiar la dirección de] eje de girose necesita aplicar un momento de torsión

- -, ..

FfslCA DESCRIPTIVA

sobre el eje. El montaje sobre los anillos ala cardan tiene por objeto pennÍtir que semueva y gire la base en cualquier fonnasin ejercer ningún momento de torsión enel volante.

La Primera Ley del Movimiento deNewton, que se refiere a la inercia de uncuerpo, tiene su equivalencia en el experi-mento anterior.

A

IN. Un trompo tiene precesl6n en tomo a un elevell'tical.

Un cuerpo en rotación en torno a un ejefijo, seguirá girando en torno a ese eje conrapidez constante a menos que se le Ilpliqueun momento de torsión no equilibrado.

8.8 El trompo. Un trompo cornún, gi-rando cmno el que se ilustra en la fig 8N,da una buena demostración de la cantidadde movimiento angular. Es simplementeuna de las muchas formas del giróscopo.Al girar en tomo a su eje, el trompo tieneuna precesión, alrededor de su punta, alre-dedor de la cual gira con su línea AB des-cribiendo un cono invertido alrededor dela línea vertical A c. Si, visto desde arriba,el trompo gira como las manecillas del reloj,la dirección de su precesión será tambiéncomo giran las manecillas del reloj; si giracontra el reloj, la precesión será contra elreloj.

MOVIMIENTO CIRCULAR

PREGUNTASY PROBLEMAS

71

1. Definir o explicar brevemente 10 si-guiente: a) frecuencia de rotación; b) velo-cidad instantánea; e) fuerza centrípeta; d)fuerza centrífuga; e) aceleración centrlpeta;f) cantidad de movimiento angular, y g)energía cinética de rotación.

2. Puesto que la cuerda se mantieneabierta en una fonna más o menos circular,conforme a la fig. 8H, ¿qué ocurrió a lafuerza centripeta? Explicarlo.

3. Explicar cómo es que un satélite queestá en órbita puede ser ~elerado continua-mente hacia la Tierra y a la vez seguir a lamisma distancia por arriba de la superficiede ésta.

4. ¿Por qué no se cae un trompo que es-tá girando, /como el de la fig. 8N? Expli-carlo.

5. U r..a bola atada a la punta de unacuerda de 100 cm de largo está girando enuna circunferencia con una frecuencia de3 revIseg. Calcular la aceleración centrípe-ta. (Resp. 355 mi seg2.)

6. Un vehículo de 2 000 kg viaja a 30 miseg en torno a una curva de 400 m de radio.Calcule: a) la aceleración centrípeta, y b)la fuerza centrípeta.

7. Una masa de 500 g está atada al ex-tremo de una cuerda y gira en ünacircunfe-rencia de 120 cm de radio con una rapidezde 3 mjseg Calcule: a) la aceleración cen-

trípeta, Y b) la fuerza centrípeta. (Resp.a) 7.50 rn/seg2; b) 3.75 newtons.)

8. Un peso de 16 lb es fijado al extremode UÍ1alambre y girando en una circunfe-rencia de 5 ft de radio con rapidez de 24 ft/seg. Encontrar: a) la aceleración centrípeta,y b) la fuerza centrípeta.

9. Una piedra de 2 kg, en el extremo deun alambre delgado, gira en una circunfe-rencia de 75 cm de radio con una rapidez de6 m/seg. Calcule la cantidad de movimientoangular. (Resp. 9 kg m2/seg.)

10. Una masa de 4 kg gira a 5 rev/segen una circunferencia de 50 cm de radio.Calcule la 'cantidad de movimiento angular.

11. Dos piedras, de 4 lb cada una, estánatadas en los extremos de un alambre de't4-ft de largo. Este sistema es lanzado al airegirando con una frecuencia de 240 rev/min.Calcule la tensión sufrida por el alambre.(Resp. 158 lb.)

12. Calcule la a.celeración de un cuerpohacia el centro de la Tierra si se deja libredesde una nave espacial a 8 000 millas sobrela superficie de la Tierra. Tome el radio de laTierra como 4 000 mi.

13. Calcule la aceleración de la Luna ha-cia la Tierra suponiendo su distancia desdeel centro de la Tierra como '240000 ImÍ. To-me el radio de la Tierra de 4 000 mi. (Resp.0.00889 ft/seg2.)

9MOVIMIENTO PLANETARIOY SATELITES

Confonne con la historia de la astrono-

mía, fue el antiguo filósofo griego, PitágO-ras (530 (a.C.), quien dijo: "El mundoes redondo y cuelga en el espacio." "LaTierra -dijo él- no está quieta, sino quegira en tomo al fuego central, llamadoHestia. Este fuego no es el Sol, pues el Soles numinado, como los planetas, por losreflejos del Hestia."

Esta idea quedó adonnecida durante dosmil años, antes de que Copémico dijera, aprincipios del siglo XVI: "El Sol está quieto,y la Tierra y los planetas se mueven en ór-bitas que lo rodean." La prueba matemá-tica observada de que todos los planetasse mueven en órbitas elípticas fue presen-tada por primera vez, en 1609, cuando

John Kepler * publicó un libro que con-tenía dos de sus tres leyes conocidas ahoracomo las Leyes de Kepl~r del MovimientoPlanetario.

9.1 Primera Ley de Kepler. Los planetasse mueven en órbitas elípticas, con el Solen uno de sus focos.

* John Kepler (1571-1630), astrónomo y filó-sofo alemán, nacido en Weil en una pobre, peronoble familia, se educó en la Universidad de Maul-broon. Fue en su cargo de profesor de astronomía,en Gratz, donde primero se interesó en los planetas.Al enterarse de que Tycho Brahe había. registradogran cantidad de datos sobre los movimientos decientos de cuerpos estelares, Kepler fue a Praga.Allí se convirtió en un íntimo y leal amigo deTycho Brahe, y le prometió a este gran anciano queél tabularía y publicaría las observaciones realiza-das por él. En 1609, Kepler publicó sus Comen-tarios sobre Marte, en que se encuentran sus dosprimeras leyes del movimiento planetario. La ter-cera ley vino un poco después. Kepler, un hombrereligioso, estuvo enfermo la mayor parte de suvida, de 59 años. Se casó dos veces, pero nuncatuvo hijos. Murió sin un centavo.

Se puede construir una elipse fijando losdos extremos de un trozo de cuerda a dosclavos, Fl y Foz,como se ve en la fig. 9A.Manteniendo la cuerda tensa, y con un lápizen el punto P, se puede recorrer el arco

FIS. fA. Una ellple puede dlbulane con dOI clavol,una cuerda '1 un 16pl..

completo en derredor, de modo ~uy pare-cido a como se dibuja un círculo con uncompás.

Si la longitud de la cuerda se mantienesin cambios, y los focos Fl Y F2 se acercanuno a otro, los ejes menor CD y mayor ABse van pareciendo más entre sí y, en el lí-mite, cuando los focos coinciden, los ejesson igMales y la elipse se convierte en cir-cunferencia. Las órbitas reales de los plane-tas son tan cercanas a una circunferenciaque, si se dibujan con un compás, la elipsediferirla de la circunferencia por menos delo que tendrla de grueso la línea del lápiz.

72

MOVIMIENTO PLANETARIO Y SATÉLITES

La excentricidad e de una elipse (verfig. 9B) se define como la relación entrela distancia SQ y la A Q.

e=SQAQ

donde AQ es la mitad del eje mayor, a, ySQ es igual a ae. Con el Sol en un foco, la

(9a)

e

A

D

Flg. 91. Orblta eUptlca con una excentricidad, = 0.5.

distancia de mayor acercamiento AS se lla-ma perigeo, y la distancia máxima, ES,se llama apogeo. Un poco de estudio de lafig. 9B permitirá al lector encontrar que

apogeo = a(1+ e) (9b)perigeo=a(l-e) (9c)

semieje menor=ayl- e2 (9d)

9.2 Segunda Ley de Kepler. La línearecta que une al Sol Y cualquier planeta,barre. áreas iguales en intervalos de tiempoiguales.

Como se ve en la fig. 9C, la línea rectaa que se refiere, llamada el radio vector,varía su longitud desde el mínimo en el pe-rigeo hasta el máximo en el apogeo. Aun-que la órbita de la Tierra es casi unacircunferencia, los números 1, 2, 3, 4, etc.,corresponden a la posición de la Tierra alfinal de cada uno de doce meses iguales.

Para cubrir estas distancias desiguales enintmalos iguales de tiempo, la rapidez debe

3

"8Flg. 9C. Orblta eUptlca de un planeta o sa"lIte, mos-trando 6reas Iguales, barridas por el radio vedor en

Intervalos Iguales de tiempo.

tener un máximo en el perigeo y un mínimoen el apogeo, seis meses después. Durantelos períodos 1 a 2 y 7 a 8, por ejemplo, lasáreas barridas por la recta son iguales.

Conforme la Tierra se mueve a lo. largode su órbita en septiembre, octubre, no-viembre, etc., la fuerza de atracción delSol le hace que se acelere. Al llegar al pe-rigeo, a fines de diciembre, su rapidez esmáxima, y demasiada para mantenerse aesta distancia, T1,del Sol. Durante los mesesde marzo, abril, mayo, etc., la Tierra sealeja del Sol, y la fuerza de atracción deéste, le hace ir más despacio. Al llegar alapogeo, a fines de junio, su rapidez es mí-nima, y es demasiado lenta para conser-var la distancia, r2, del Sol. La distanciamedia del Sol es de 149 500 000 kilómetros(92 900 000 millas), mientras que la rapi-dez media de la Tierra es de 29.6 km/seg(18.5 mi/seg).

9..3 Tercera Ley de Kepler. El cua-drado del período orbital de los planetas.esproporcional al cubo de sus distancias me-dias al Sol.

El período T de un planeta, o satélite,se define como el tiempo que requiere paraefectuar un viaje completo en su órbita yla distancia media, r, es definida como ladistancia promedio medida desde el Sol. Se

74

TABLA 9A. CARACTERÍSTICAS MEDIDAS DE LOS PLANETAS

FÍSICA DESCRIPTIVA

proporcionan datos importantes sobre losocho planetas mayores del sistema solar enla Tabla 9A. La relación constante T21r3de la cuarta columna verifica la TerceraLey de Kepler.

Aunque las leyes de Kepler se derivaronoriginalmente de las cuidadosas obServacio-nes de Tycho Brahe, pueden derivarse di-

M r

flg. 9D. La fuerza gravltadonal d. atracciónF .s lafuerza centrlpetaque mantienea la Tierraen su ódalta,

casi cln:ular, en tomo al Sol.

rectamente de las leyes de la mecánica clá-"Slca.

Para mayor sencillez, vamos a considerarla órbita de la Tierra circular, como en lafig. 9D. En este diagrama, M es la masadel Sol, m es la masa de un planeta, comola Tierra, y r es la distanci", entre sus cen-

tros. La fuerza centrHuga, F, como la dala eco (8d), es precisamente la fuerza deatracción gravitacional dada por la ecua-ción (4c). Éstas S011:

v2

F=m-:¡ (ge)

:Fuerza centrípeta

F=G Mmr2 (9f)

Ley de Gravitación de Newton

donde

m m8

G=6.66 X 10-11 kgseg2

9.4 Vuelo en el espacio. Cuando un grancohete despega de la Tierra para llevar unvehículo al espacio, su dirección inicial dearranque es vertical, hacia arriba, como semuestra en la fig. 9E. Conforme' el cohetegana altura, se usan aletas o cohetes latera-les de control para hacerla girar lentamen-te hacia una trayectoria horizontal.

El primer norteamericano que fue lan-zado al espacio por un cohete fue trans-portado por un cohete Redstone desdeCabo Kennedy, Florida, el 5 de mayo de1961. El astronauta, Alan Shepard, tripulóla cápsula espacial a presión, en la cual fuelanzado.

PeríodoDistancia media T2 Radio medio Masa

NombreT (años) 1.8 (kgx 1024)

(mi X 106) (km X 106) (mi) (km)

Mercurio 0.241 36.0 57.9 1.245 1504.3 2421.1 0.3244Venus 0.615 67.1 108.1 1.252 3828.2 6161.0 4.861Tierra 1.000 92.9 149.5 1.247 3958.9 6371.0 5.975Marte 1.881 141.5 227.8 1.249 2070.5 3332.l 0.6387JÚpiter 11.862 483.3 777.8 1.246 43429.0 69892.0 1902.1Satumo 29.458 886.1 1426.0 1.247 35748.5 57532.0 569.4U rano 84.015 1783.0 2869.0 1.245 14727.0 23701.0 87.1Neptuno 164.790 2793.0 4496.0 1.246 13381.0 21535.0 103.1Plutón 247.700 3665.0 I 5899.0 1.246

1781.4 I

2867.0 0.5 ?I

MOVIMIENTO PLANETARIO Y SATÉLITES

apogeo

F /' G H retrocohetes disparados

~---'-t--~~# a 8=34°~ 17242kmlnr ~ "-

~ ~ controla astronaura ~ 1rcapsula se erección rumbo rorJadura orientado ~'"Y.;f separa yperiscopio parareingreso Je combustibleagotado

l

a 8050 km / hr ~ reingreso9 ges

t 3.5 ges 185 km ~ ..I~~K

Bi I 5':;:U;/~r.."

kA 111 Cabo Kennedy 485 km

en el océanoamortiguador de lanzamiento

75

Flg. 9E. Diagrama de la trayedoria d. vuelo Hgulda ,or el prl r astronauta no amerlcano lan-zado al espacio el 5 d. mayo de 1961.

Aunque los detalles de este acontecimien-to histórico no se darán aquí,* se presenta-rá el análisis de algunas de las fuerzas,velocidades y aceleraciones a que fueronsujetos el astronauta y su cohete en variospuntos de su vuelo. Los casos siguientesson típicos del vuelo espacial en general, ylas ecuaciones pueden aplicarse igualmente,bien a satélites en órbita o bien a futurosvuelos a la Luna o los planetas.

Ya que los valores de g en el vuelo deShepard disminuyeron menos del 5 % auna altura de 185 km, y su dirección cam-bió en menos de 5 grados en su. vuelo de485 km de alcance, se supondrá que, parauna primera aproximación, g se mantieneconstante durante todo el recorrido del vue-lo.

Caso A. Antes del lanzamiento vertical.

Cuando todo el montaje del cohete estáen reposo sobre el amortiguador de lanza-miento, un instante antes de despegar, to-das las velocidades y aceleraciones son ceroy todas las fuerzas están equilibradas. Verla fig. 9F. En este momento hay dos fuer-zas iguales actuando sobre el cohete, W

la atracción hacia abajo producida por laTierra. y P el empuje hacia arriba del amor-tiguador de lanzamiento. La fuerza haciaabajo es dada por

W=Mg

cápsulaMercurio-,

cohete IRedstone~

w

+tamortiguado

delcohete

(9g)

M

* Para detalles del vuelo espacial de Atan She-pard, ver el magazine Life de 12 y 19 de mayo I!lg.9F. DIagramad. un cohetey su c6,.ula ..paclalde 19.61 (o Life en Español, de fechas posteriores, contripulante,en ...pososobre su amortiguadorde Ian-pero pr6ximas.) zamlenloy lI~topara el arranque Y8rt1cat

p

Para levantar un cohete de la Tierra, P. debe ser mayor que W, y su resultante vec-

w = mg (91) torial, F, es la fuerza que produce la ace-p= mg (9j ) leración hacia arriba a.

Nótese que por cada kilogramo de masa F = Ma (91)de la estructura del cohete, o de su conte- Aplicando estos mismos principios al as-

tronauta dentro de la cápsula de la partesuperior de la fig. 9G, observamos que

f=P-w (9m)

donde p es el empuje de la cuna sobre elcuerpo del astronauta, y w es el tirón haciaabajo, que la Tierra ejerce sobre la mismamasa; la resultante f es la fuerza que da alastronauta la misma aceleración hacia arri-ba que tiene el cohete.

f = ma (9n)

Ejemplo 1. Un cohete de 25 toneladascortas y un astronauta de 160 libras a bordo,van subiendo verticalmente con una acele-ración de 96 ft/seg2. Encontrar la fuerza to-tal que hace la cuna sobre el cuerpo delhombre: a) en ges, y b) en libras.

Solución. Despejando en la eco (9m), ob-tenemos el empuje

p=w+f

76

donde .Al es la masa total del cohete y sucarga.

Tomando como positiva la dirección ha-cia arriba, g, la aceleración debida a lagravedad, es negativa, y también lo es W.Ya que la fuerza hacia arriba, P, es ejer-cida sobre M, la masa total debe ser igualen magnitud a W.

P=Mg (9h)

En modo semejante, las dos fuerzas igua-les y opuestas que actúan sobre el astro-nauta son w, la atracción hacia abajo pro-ducida por la Tierra, y el apoyo hacia arri-ba de su cuna de soporte. Estas fuerzas sondadas por

cápsula.

cohete-1 M

Fig. 90. Diagrama de fuerzas'" un cOhe" ., suDilotoastlOftautadurante el vuelo Y8rticcd,sufriendo..

Impute dll (OMIt.

FÍSICA DESCRIPTIVA

nido, la fuerza p es igual a 9.8 newtons, ypor cada slug de masa es de 32 libras. Bajoestas condiciones, el cohete y el astronautase dice que están soportando 1 g.

Caso B. Ascenso vertical. Cuando elcohete está acelerando verticalmente hacia

arriba, después del despegue (ver la figu-ra 9G), las dos fuerzas que actúan sobre lamasa total M son: P, el impulso hacia arri-ba de los motores del cohete, y W, el tirónhacia abajo, debido a la Tierra. La fuerzaresultante, F, que actúa sobre el cohete esdada por

F=P- W (9k)

y sustituyendo 'Ir¿gpor w de la eco (9i), yma por f de la eco (9n), obtenemos

p=mg+ma (90)

Tomando g = 32 ft/seg2, el astronauta tie-ne una aceleración hacia arriba de 96 ft/seg2,que es justamente 3 X g.

a = 3g (9p)

MOVIMIENTO PLANETARIO Y SATÉLITES

Por sustitución directa de 3 g por ti en laEc. (90), nos da para el empuje

p = mg + m(3g)ó

p = m(4g) (9q)

Resp. a) Se dice que el astronauta estásoportando 4 ges. Esto significa que todas laspartes de su cuerpo están sujetas a una fuer-za cuatro veces mayor que su peso nonnal.

Para encontrar el empuje en libras, la sus-titución directa en la eco (9q) nos da

160 lb

p = 32 ftjseg2 (4 X 32 ft/seg2)

p = 5 slugs X 128 ft/seg2

P = 640 lb

Resp. b) El PeSoaparente del astronautaes cuatro veces su peso nonnal.

Caso C. Cápsula libre después de impul-sarla con cohetes. Después de que la cáp-sula, llevando al astronauta, ha sido des-prendida. del cohete, como se ve en D dela fig. 9E, el vehículo se convierte en unproyectil libre. Desde el punto D al punto

Flg. 9H. Diagrama de una cápsula .spacla', despu6sd. lanzada al 1, vialando sin empule d. coh... a lo

largo de su ruta d. vuelo.

H, donde se disparan los retrocohetes, laatracción de la Tierra W hacia abajo, esla única fuerza que actúa sobre el cuerpo.Esta fuerza da origen a una aceleraciónhacia abajo, g, y es responsable por la con-tinua variación de dirección de la nave alir recorriendo su ruta de vuelo.

77

En el diagrama de velocidades, Fig. 9H(h), V1 representa la velocidad instantáneade la cápsula al pasar por ~l punto (1),v es el cambio de velocidad impartido porW durante el tiempo que tarda en llegaral punto (2), y V"les la velocidad instantá-nea al pasar por el punto (2).

v = gt

Ya que no hay empuje P de los motoresdel cohete durante esta parte del viaje, lacuna ejerce cero fuerza sobre el astronauta,y el astronauta ejerce cero fuerza sobre lacuna. Ya que la cápsula, el astronauta y lacuna caen con la misma aceleración g, elconcepto de ingravidez prevalece para todoel sistema en movimiento.

9.5 Satélites. Si la velocidad con que selanza una cápsula espacial es suficientemen-te grande, el vehículo se pondrá en órbitaen torno de la Tierra como un satélite. Paraencontrar la velocidad requerida para giraren tomo de la Tierra, considérense los de-talles de la fig. 91. Imagínese que todoslos vehículos son lanzados en dirección ho-rizontal desde ciert'o punto más arriba dela atmósfera terrestre. Con una velocidadinicial ba ja1 eJ proyectil seguirá la trayec..toria casi parabólica, mostrada como A.A una velocidad algo mayor, la trayectoria

p

,/ -{si/ ~ocket . I

/ /1/

/ 'vI \

I \I \I le\ :\ I\ I\ /\ I" /

, /" /./""' ".

Fig. 91. Lanzcído.n una direcci6n horizontal po' ....cima d. la superficie d. la TI.rra con una gran vel..cldad v, un v.hrculo .spaclal m la rodear6 d.scrlbl.nd~

una c:lrcunfortncla,

78

será la marcada como B. A una velocidadaún mayor, al caer el proyectil hacia laTierra, seguirá una ruta circular de radio r.Esta velocidad particular se llama velocidadorbital. A velocidades aún mayores, comola que se muestra en D, el proyectil segui-rá una trayectoria elíptica o escapará com-pletamente de la Tierra.

Por la Ley de Newton de la Gravitación,eco (4c), la fuerza F, ejercida por la Tierrasobre un satélite de masa m, es Ínversa-mente proporcional a r2, y por la SegundaLey del Movimiento de Newton, eco (3a),la fuerza es proporcional á. a. Se deduce,por lo tanto, que la a~eleración de una masam hacia la Tierra es inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia desde elcentro de la Tierra.

Transformando esta relación en símbolosalgebraicos, POdemos escribir la siguienteproporcionalidad inversa con el cuadrado

a R2

g-;;-donde a es la aceleración, hacia adentro,de la masa m a cualquier distancia r, y ges su aceleración hacia adentro en la su-perficie de-la Tierra, R. Pasando g al otromiembro, obtenemos

Esta -aceleración hacia adentro de un sa-

télite en 6rbita es simplemente la acelera-ción centrípeta requerida para mantenerloen ella y evitar que se escape por la tan-gente. Por la eco (Bc), tenemos,

vaa=-

rIgualando estas dos relaciones, obtenemos

Ü' R2-= g-r r2

la cual al despejar v, resulta simplemente

~velocidad orbital

FÍSICA DESCRIPTIVA

Si la órbita es muy próxima a la super-ficie de la Tierra, podemos escribir, comoprimera aproximación, r = R, y la ecua-ción (9t) se vuelve

v= \/ gR (9u)(La aceleración debida a la gravedad,

-g = 9.8 m/seg2 es equivalente a 133,490km/h2. )

Para que escape un satélite de la Tierray nunca regrese, debe ser lanzado con una

. velocidad cerca del 400/0 mayor que la ne-cesaria para ponerlo en órbita. La veloci-dad de escape se da con

I v=v2iR I

(9v)

(9r)

velocidad de escape

Ejemplo 2. Si el radio de la Tierra es6 360 km, ¿qué velocidad horizontal debe im-partirse a un satélite para hacerlo orbitar enun círculo a 800 km (cerca de 500 mi) sobrela superficie terrestre?

Solución. Ya que la aceleración debida ala gravedad es g = 9.8 m/seg2, la sustitucióndirecta en la eco (9t) nos da

v = J9.8 X (6360 000) 2 m2., 7 160 000 seg2

r m2'v = ~55.4 X 106~, seg-

m2v = 7 450-seg2

Esto equivale a 25 920 km/h (16 700 mi-llasfh. )9.6 Modelo mecánico de pozo. Las sec-ciones anteriores de este capítulo muestraJ1que, hablando en modo figurado, en la su-perlicie de la Tierra estamos viviendo enel fondo de un pozo gravitacional, de milesde kilómetros de profundidad. Para llegara la Luna, los planetas, u otros mundos..debemos salir fuera del poro al plano hori-zontal que llamamos espacio libre sin gra-vedad.

Hemos visto en la Seco6.5 que el trabajohecho al levantar un c,uerpo de masa m a.una altura s lo da el producto de la fuerzapor la distancia,

trabajo=F X s

(98)

(9t)

MOVIMIEN,.TO PLANETARIO Y SATÉLITES 79

60,000r

40,000 20,000

Espacio Libre gravitacional

20,000or-...

40,000 60,000mi

Fig. 9J. Wflea'" rgla potencial, Ilustrando la analogla d.1 pozo para 01 campo gravltaclonalde la Tlorra.

donde F, la fuerza, es dada por la SegundaLey de Newton, F = mg,

trabajo = mgs (9w)

Además, debido a su posición sobre supunto de partida, un cuerpo ha ganadoenergía"potencial mgs.

E.P.=mgs (9x)

Al aplicar esta fórmula al levantamientode un cuerpo, se comprueba que la fuerza

------",,"

necesaria se mantiene constante. Esta supo.sición no se justifica a grandes distancias,ya que la atracción de la Tierra disminuyecon el cuadrado de la distancia. Ver ecua-ción: (9f).

Si usamos la Ley de Gravitación Vni.versal, de Newton, eco (9f), para la fuerzay obtenemos, mediante el cálculo, la energíapotencial de una masa m a distancia cre-ciente sobre la Tierra, obtenemos,

-r--r--I /' 6ibitacircu/;¡--- .....I ~ ,

Fil. 9K. MocIoIome.leo ... ,... para cIetnostrar101'''Ita, elfptlcasy circula...,.

, IFISICA DESCRIPTIVA

~-- -- 1, 382,000km Q! "--- I ~

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~\!J- w../ 11\ .

/ ~

(.

F18.9L Modelo I118c6nlcode pozo para la Tierra '1 la Luna.

E.P.= -G Mmr (9y)

donde M es la masa de la Tierra y r es ladistancia desde el centro de ella.

Al derivar esta ecuación, se supone queel plano base, o -de cero energía, desde don-de se mide la energía potencial, es el espa-cio libre sin gravitación a cientos de millo-nes de kilómetros (infinito) de la Tierra.El signo negativo significa que la energíapotencial es negativa con respecto al planobase.

Para ver por qué hablamos de un pozo,expresamos gráficamente la eco (9y) y ob-tendremos una gráfica de energía potencial,como se ve en la fig. 9J. La energía poten-cial E.P. se graficó verticalmente y la dis-tancia r, desde el centro de la Tierra, ho-rizontalmente. (Para r = 4 ()()()mi, CM mse estableció arbitrariamente en 64 000.)

Para una distancia r, que esté infinita-mente lejos, E.P. = O. A distancias meno-res cada vez, la E.P. aumenta, pero es ne-gativa. La curva roja del diagrama, bajahacia la superficie de la Tierra, donde rtiene el valor del radio de ella R.

El modelo mecánico de pozo para demos-trar las órbitas de satélites, se obtiene gi-

rando esta gráfica de energía potencial entomo a su eje vertical. Al hacer esto, lacurva describe una superficie parecida aun cono, como se muestra en la fig. 9K.Si hacemos un cuerpo sólido de algún ma-terial duro con la forma de la sección som-breada, una canica de vidrio o acero puederodarse en el interior del cono para quedescriba las órbitas de satélites.

Se pu~den generar una gran variedad deórbitas, simplemente variando la velocidadinicial de la canica. Cuando son vistas di-rectamente desde arriba, la mayoría de lasórbitas son elípticas o circulares. La distor-sión de las órbitas, producida por la fricciónal rodar, puede mantenerse en un m~imo,usando materiales duros con superficies ter-sas.

Si se desean órbitas que incluyan a laLuna, puede hacerse un pequeño cráter depotencial, retirado hacia la periferia del mo-delo de la Tierra. Ver la fig. 9L. El rodarde una canica hacia este cráter, lejos de laTierra, es análogo a la trayectoria de unsatélite lanzado de la Tierra en su viaje pro-yectado hacia la Luna o en torno de ella. Enel punto alto, Q, las atracciones gravita-cionales de la Tierra y la Luna son igualesy opuestas.

MOVIMIENTO PLANETARIO Y SATÉLITES 81

PREGUNTASY PROBLEMAS

1. Exprese la primera ley de Kepter, delmovimiento planetario. Dibuje una elipse condos alfileres y un trozo de cuerda y señaleel eje mayor, el eje menor, los focos, el peri-geo y el apogeo.

2. Exprese la segunda ley de Kepler, delmovimiento planetario. Dibuje una .elipsecondos alfileres y un trozo de cuerda y muestreel significado de la segunda ley medianteár~s sombreadas.

3. Exprese la tercera ley de Kepler, -delmovimiento planetario. Dibuje tres elipses me-diante dos alfileres y un trozo de cuerda. Usela misma longitud de cuerda, pero cambienla distancia entre los alfileres. ¿Qué puededecir acerca de las excentricidades?

4. Haga un diagrama a escala, mostrandouna cápsula espacial rodeando a la Tierra porun círculo a 1 600 kilómetros por encima desu superficie. Si se disparan retrocohetes parareducir levemente la velocidad, ¿cuál serála forma de la nueva órbita?

5. Trace una gráfica de la energía poten-cial de una masa m al salir del planetaMarte. Tome el radio del planeta como 2000mi y el producto GMm = 32000:

B: a) en ge,r;b) en libras, y e) en toneladas.(Resp. a) 4 ges; b) 200 000 lb, Ye) 100 ton.)

10. Un cohete de 30 ton cortas con unastronauta de 120 lb a bordo, va subiendo conuna aceleración de 144 ftjseg2. Calcular lafuerza total de la cuna sobre el cuerpo delhombre: a) en ges, y b) en libras.

11. Un cohete de '25000 kg, con un astro-nauta de t60 kg a bordo, está subiendo ver-ticalmente. Si el astronauta experimenta unpeso aparente cinco veces su peso normal~encontrar: a) la aceleración vertical; b) elempuje de los motores del cohete, y e) el pesoaparente del astrona4ta. (Resp. a) 39.2mj seg2; b) 1 225 000 newtons, y e) 2 940newtons. )

12. Un cohete de 20000 kg, con un as-tronauta de 70 kg a bordo, está sometido aun empuje total de sus motores con su ejeinclinado a un ángulo de 30° con la horizon-tal. Si el piloto encuentra que su peso apa-rente es dado por 5 ges, encontrar: a) el pesoreal del astronauta; b) el empuje de la cunacontra su cuerpo, y e) la dirección de la fuer-za resultante f, que actúa sobre el cuerpo delastronauta.

13. Si cuelga una masa grande de un6. Un satélite tiene un semieje mayor de alambre como un péndulo, dentro de la cáp-

10000 mi, y un semieje .~enor de 5000 mi. sula espacial de las figs. 9F, 9G y 9H, ¿enEncontrar: a) la excentncldad; b) el apogeo, qué dirección colgará en cada caso?y e) el perigeo.

7. Una cápsula espacial se mueve en unaórbita que tiene un semieje mayor de '20000km y un semieje menor de 10000 km. En-contrar: a) la excentricidad; b) el apogeo,yc) el perigeo. (Resp. a) 0.866; b) 37320krq, y e) 2680 km.)

8. Un cohete de 20 toneladas cortas, conun astronauta de 140 lb a bordo, va subien-do verticalmente, con una aceleración de112 ftjseg2. Encontrar: a) el empuje del co-hete en toneladas cortas, y la fuerza sufridapor el cuerpo del astronauta; b) en ges, ye) en libras.

9. Calcule el empuje total del motor delcohete del ejemplo 1 en la Sección 9.4, caso

14. Queremos que un satélite tome unaórbita a una altura de 141 mi. Calcular: a)su ré1;pidez,y b) su período de revolución enminutos.

15. Que~emos que un satélite tome unaórbita a 1 000 mi de la superficie de la Tie-rra. Calcular: a) su rapidez, y b) su períodode revolución en minutos. (Resp. a) 15800mijh, y b) 118.3 min.)

16. Un satélite viaja en órbita a 441 misobre la superficie de la Tierra. Encontrar:a) su rapidez, y b) su período en minutos.

17. a) ¿Cllál debe ser la rapidez de unsatélite si ha de tomar una órbita a 800 misobre la superficie de la Tierra?; b) ¿cuál ha

82 FfslCA DESCRIPTIVA

de ser su período? (Resp. a) 16200 mi/h; necesaria para ponerlo en órbita. (Resp.b) 111.6 min.) a) 8.47 X 109 julios; b) 26.64 X l()9 julios,

18 e , ta ' d be d . Y e) 35.11 X 1()9julios.). ¿ u~n energIa e arse a un pro-

yectil cohete de loo kg para llevarlo de la .superficie de la Tierra al espacio libre de 20. Encontrar la velocidad de escape paragravitación? un proyectil que abandone la superficie deMarte.

19. Se ha de poner un cohete de 1000 kgen órbita a 1000 km sobre .la superficie de 21. Encontrar la velocidad de escape dela Tierra. Calcular: a) su energía potencial; un proyectil que abandone la superficie deb) su energía cinética, y e) la energía total Júpiter. (Resp. 6.02 X 104 mjseg.)

10

TEORlA ATOMICADE LA MATERIA

Al estudiar las propiedades físicas de lamateria, es conveniente dividir a las subs--tandas en sus tres fonnas O estados: 1)el estado sólido, 2) el estado líquido, y 3)el estado gaseOJo. Se puede hacer que lamayoría de las substancias tomen cualquierade estos tr~s estados, simplemente por cam-bios de su temperatura.

La teoría atómica de la materia consi-

dera que toda la nlateria del tTniverso estáfonnada por cuerpos ultramicroscópicos,llamados átomos y que en todo momentoéstos están en rápido Inovimiento.. La natu-raJeza de e.ste movimiento y su actividaddependen de la temperatura y del estado dela nlateria. en cuestión, así como de la clasede átomos que la fonnan.

10.1 Clases de átomos. Aunqúe hay mi-llares de sustancias diferent~s conocidas enel mundo científico, se enc.ueutra que todasestán comp~estas de una o más clases deátomos, cuandp se descomponen en sus m,áspequeñas partes componentes. Una sus-tancia que contiene sólo átOInos de una. cla-se, se llama elemento, mientras que aque-llas que contiénen más de un.a clase deátomos, se denominan compuesto., o mez-clas. Son ejemplos de clernentos, el hieITo,cobre, aluminio, platino, mer.;:urio, hidró-geno y helio; mientras que el agua, sal,bronce, madera y aire, son ejemplos decompuestos y m.ezclas.

En la Tabla lOA se dan los nombrestécnicos y abreviaturas químicas de algunosde los elementos másconoddos, En el apén-dice se da una tabla cOlnpleta de los ele-

. mentas, que son casi un centenar.

Se acostumbra asignar dos números paracada elemento, uno llamado número atómi-co y el otro peso atómico. El númeroatónlico, dado a la izquierda de las tablas,

TABLA 1DA. ALGUNOS ELEMENTOS

QUÍMICOS

especifica la posición que ocupa el elementocon respecto a los demás, nlientras que elpeso atómico, dado a la derecha, nos pro-porciona el peso promedio de un átomo deese eIen"1t:ntoen relación con el de un átomode oxígeno, al éual se da el valor 16. Sobre

. .~ta base, el demento más ligero conocido,

33

_u

Núm. Elemento Símbolo Pesoatómico atómico

1 hidrógeno H 1.00782 helio He 4.004-3 lirio Li 6.9404 berilio Be 9.026 carbono e 12.017 nitrógeno N 14.018 oxígeno O 16.00010 noon Ñe 20.18313 aluminio Al 26.9726 hierro Fe 55.8429 cobre Cu 63.5747 plata Ag 107.8850 estaño Sn 118.7078 plati11,O Pt 195.2379 oro Au 197.280 mercurio Hg 200.61/82 plomo Pb 207.1888 radio Ra . 225.9592 uranio U 238.1794 plutonio Pu 239.18

34

el átomo de hidrógeno, tiene un peso pro-medio muy próximo a la unidad.

Para ilustrar la pequeñez de los átomos,veamos la masa en gramos y el diámetroaproximado en centímetros para el elemen-to más ligero, el hidrógeno, y para uno. delos más pesados, plutonio, y que son comosigue:

1. hidrógeno{~~a = 1.66 X 10-2; kgdlametro= 1 X 10-10 m

94. plutonio{~~a= 3.9 X 10-25kgdlametro= 6 X lO-lom

La masa de cualquier átomo en kilogra-mos se puede obtener multiplicando el p~soatómico de ese elemento por la mac;a atómi-ca unidad, 1.66 X 10-27 kg. (Nota: Parael sistema de potencias de 10, usado aquí,véase el Apéndice VI l. )

Por ahora no entraremos a considerarla estructura complicada de cada átomo,sino que consideraremos cada átomo comosi fuera una pequeña partícula esférica denlasa muy pequeña, aunque su estructura-

~ lHHmonoátomicas

w....... ..": ~. .~..

~~.;~JN N

o

o o oy-(ríatómicas

CH4

(ii1Iy

FÍSICA DESCRIPTIVA

desempeña un papel muy importante en sucomportamiento físico y químico. En capí-tulos posteriores, donde es más convenientehacerlo, consideraremos la estructura de losdiferentes átomos en detalle.

10.2 Moléculas. U na de las propiedadesmás importantes de los átomos es su capa-cidad de actuar unos sobre otros a ciertasdistancias. Algunos átomos ejercen entre síuna fuerza de atracción cuando se acercan,mientras que hay otros que ejercen unafuerza de repulsión. Cuando se produceatracción al acercarse dos o más átomos,éstos pueden combinarse para formar u~amolécula. Una vez que se ha formado lamolécula, ésta se moverá y ~e comportarácomo si fuera una partícula unida, bajodiversas condiciones físicas.

En general, las moléculas pueden conte-ner casi cualquier número de átomos. Aque-llas que tienen un sólo átomo se llamanmoléculas monoatómicas; las que tienendos, diátómicas, y aquéllas con tres, tri-atólnicas. En ei estado libre de un gas, al-gunos átomos, tales como los de helio, neón,

o~H O H

Fig. lOA. Dlagramas esquemáticos d. algunas moléculas comunes. Primera Unea: Hello, neón, hidró-geno, nltr6geno, oxígeno, monóxldo de carbono, ácido clorhídrico. Segunda Unea: Ozono, dióxido decarbono, agua, ácido cianhidrico. Tercera Unea: Metano, acetileno, etano, benceno, alcohol metllico y

alcohol etllico.

kriptón, prefieren existir solos, mientr.as queotros, como el hidrógeno, nitrógeno y oxí-geno, prefieren combinarse y moverse enparejas.

Corno ejemplo de moléculas monoatómi-cas, tenemos al helio (He), neón (Ne) ykriptón (Kr); de moléculas diatómicas, te-nemos al hidrógeno (H2), nitrógeno (N 2),oxígeno (02) Y monóxido de carbono(CO ), y de moléculas triatómicas, tenemos

al ozono (03), dióxido de carbono (C02), tagua (H20) Y ácido cianhídrico (HCN ) F

(véase la fig. 9A). Además de estos agre- ~gados atómicos sencillos, hay moléculas quecontienen muchos átomos. Desde -las molé-culas diatómicas en adelante, se llaman. mo-léculas poliatómicas.

En la fig. IDA se ve claramente que los Fig.10C. Gr6ficatlplcade fuerza!ent~ los dos oto-átomos de una molécula pueden ser todos mosde una moléculadlat6mlca.iguales' O bien ser diferent~. El caso deque algunos átomos se unan entre. sí en átomos diferentes, pero la posición de equi-pares y otros no lo hagan, está re1aclOnado librio E es aproximadamente 3 X 10-10con la estructura interna de los mismos metros.átomos. Si los diferentes átomos de una mo-lécula se acercan más entre sí que su sepa-ración nOI.:mal,entonces se rechazan unosa otros y se separan. Si son obligados a ale-jarse, las fuerzas pasan a ser de atracción.y tienden a reunirIos nuevamente. En otraspalabras, actúan como si estuvieran unidosmediante resortes, como se ilustra en lafig. 10B. Cuando se les hace estar más cer-

TEORÍA ATÓMICA DE LA MATERIA

Fig. 10B. Las fuerzas. entre las moléculas adúan comoresortes.

ca, O más lejos, tienden a moverse de nuevoa cierta distancia de equilibrio. Se dice quebuscan una posición de mínima energía po-tencial. Para hacer que estén más cercao más separados, se necesita efectuar untrabajo.

La:s fuerzas atómicas se debilitan muchoal aumentar la distancia, de manera quesi se separan por algún medio los átomos

85

de una molécula, quedarán completamenteindependientes, como átomos libres. En lafig. 1De se da una gráfica de las tuerzasentre los átomos.

La escala horizontal de la distancia r en--tre los átomos será ligeramente distinta para

6

4

2

O

2

4

repulsión

atracción

10.3 Peso molecular. El peso molecularde una sustancia se define como la sumade los pesos atómicos de los átomos queforman una molécula de esa sustancia.Por ejemplo, una molécula de dióxido decarbono, tiene dos átomos de oxígeno depeso 16 y un ~tomo de carbono de peso 12.El peso molecular del dióxido de carbonoes, por ello, 16.+ 16 + 12 = 44. De modosemejante, el peso molecular del nitrógenoes de 28, el del oxígeno, 32, y el del helio 4. .Para encontrar la masa en gramos de unamolécula, se debe multiplicar su peso mo-lecular por la unidad atómica de masa 1.66X 10-27 kg.

10.4 Los tres estados de la materia. Comoya dijimos, la materia puede existir en tresestados: 1) sólido, 2) líquido y 3) gaseoso.Si un sólido se calienta suficientemente,puede hacerse que se derrita y se licúe, ysi se continú~ calentando, hacerlo hervir oevaporar. Al convertirse en vapor, quedaen el estado gaseoso. Por otra parte, si ungas se enfría lo necesario, podrá conden-sarse y convertirse en líquido. El continuo

86

enfriamiento de un líquido hará que sesolidifique o congele. En el caso del agua,la Naturaleza efectúa estos cambios de es-tado: el hielo se derrite para convertirseen agua, y el agua se evapora para conver-tirse en vapor; el vapor de agua se con-densa en gotas que fonnan las nubes y caencomo lluvia, y la lluvia se congela paraconvertirse en hielo o granizo. Todas lassustancias se pueden transfonnar de un es-tado a otro, aunque a veces es necesarioun calentamiento o un enfriamiento ex-tremo.

10.5 El estado gaseoso. Cuando una sus-tancia está en el estado gaseoso, se encuen-tra en una condición de extremado enra-recimiento. La mayoría de los átomos seencuentran agrupados en moléculas, quenormalmente se .encuentran muy alejadasunas de otras. Estas moléculas no están enreposo sino que se mueven a velocidadesextremadamente elevadas, chocando 'mascon otras y con las paredes del recipiente.Estos golpes de los muchos millones de mo-léculas que pegan contra las paredes delrecipiente, son los que producen lo que lla-mamos la presión de los gases.

Cuando se bombea aire para llenar unacámara de automóvil o un balón de goma,.se está observando un buen ejemplo de lapresión del gas. Como por dentró hay mu-chas moléculas de aire bombardeando lasparedes de goma que por fuera, las paredesse mantienen finnes por dicho mayor bom-bardeo. Además de moverse linealmente, lasmoléculas gaseosas fonnadas por dos o másátomos, también vibran y giran en tomo asu centro de masa. Todos estos movimientosaumentan de velocidad al elevarse la tem-peratura del gas, produciendo un aumentode presión. Cuando se disminuye la tem-peratura, se hacen más lentos los movi-mientos de los átomos, lo cual hace dismi-nuir la presión.

El movimiento molecular puede ilustrarsepor medio de un modelo mecánico, \como~e ilustra en la fig. lODo Se colocan peque-ñas esferas de acero entre dos placas para-lelas de vidrio y se hacen rnover POI'medio

riSICA DESCRIPTIVA

(a)

v

110voltsc.a.

p

v S / vidrio

sC~:~.s(b)

Flg. 10D. Modelo mec6nlcG para explicar .1 moyimlCl!....lo al CI~ar d. 10$ moléculas de Lln gat.

de tiras nlctálic3.4Oivibrantes a los lacios.Cada tira se monta en el extremo de unpequeño muelle de acero y se le hace vi-brar por medio de los pequeños electroima-nes S. Cuando las esferas de acero chocancon estas cintas, rebotan a gran velocidad.En promedio) las esfera~ pequeñas se mue-ven considera.blemente más aprisa que lasgrandes. Esto es característic.o para las mo-léculas d~ diferentes tamaños) que hay enlas mezclas de dos gases diferentes, comoel heHo y el neón. Aumentando la vibra-ción. de las cintas de acero, se hace lnover

TEORÍA ATÓMICA DE LA MATERIA

más de prisa a las esferas. Esto es análogoal' efecto del calentamiento de un gas a unatemperátura más elevada.

10.6 El ffitado líquido. Cuando se enfnacontinuamente un gas, el movimiento mo-lectilar se hace cada vez más lento, hastaque, a cierta temperatura, el gas se con-

\ 17«;7 , '~ ¡'~1~ l/ry

Icaja d~ humo

F19.10E. Monta!. del expeñmento para observar .1mo'"imientobrownic;node la. partlculasd. humo.

densa en un vohnnen mucho menor y seconvierte en líquido. Aunque las moléculassiguen rnoviéndosc, no se mueven tan rápi-damente como Iv hacían en el f"..stadog-aseo-so. Por otra parte, por estar mucho máscerca, se atraen con fuerzas suficientementegTandes para hacer que su movimientoocurra en enjan1bres bastante con1pactos.

El vuelo libre de las abejas al volar en elaire, resulta coroparable a las moléculas deun gas, mientras que su agrupación al po-sarse en la rama de un árbol correspondecon bastante a.proximación a la condensa-ción en el estado Uquido.

10.7 1\foVÍlniento browniano. Aunque na-die ha visto nunca directamente el movi-miento irregular de las moléculas, se puedenobservar en un microscopio los movimien-tos resultantes de partículas mayores quesufren su continuo bombardeo. Este efectofue descubierto en 1827 por Robert Brown,00" botánico inglés que observó los movi-

87

mientos irregulares,pero de apariencia viva,de pequeñas partículas suspendidas en unliquido. Estas partículas microscópicaspa-recían eStar siendo agitadas continuamen-te, y dando una serie de saltos bruscos,primero en una dirección.y luego en otra.

FIl. 10F. Mod.lo. at6mlco. d. cñ.tale. corrl.n....la) laI coml1n,(b) hielo, le) calcita.

88

Se ilustra en la fig. 10D (b) la trayectoriade una sola partícula. Estos movimientos sehan llamado movimientos brownianos, enmemoria de su descubridor. El primero queexplicó estos movimientos fue Sir WilliamRamsey, en 1879, y se pueden observar enliquidos y en gases. Las pequeñas e invisi-bles moléculas de aire o de agua, se mue-ven a velocidades relativamente elevadasy bdmbardean vigorosamente a las partícu-las más grandes que sí pueden verse. Estebombardeo lo efectúan desde todas partes,y lanzan a estas partículas de un lado aotro. Las partículas más grandes tendránmovimientos brownianos más lentos.

En la fig. 10E se ilustra una forma deobservar el movimiento browniano en ungas. Mediante una pera de hule, se suecio-na el humo de una cerilla recién apagadahacia el interior de una pequeña caja. Elhaz de luz intensa de una lámpara de arcoque entra por un lado de la caja, a travésde una ventana de vidrio, ilumina las par-tículas de humo, permitiéndonos verlas des-de arriba con el microscopio de gran po-tencia que está encima de la caja. Laspequeñas partículas de humo parecen bri-llantes estrellitas disparadas de un lado aotro.

Para observar el movimiento brownianoen un líquido, se pone primero una peque..ña cantidad de gutagamba pulverizada(una goma natural de color amarillo-ana-

FÍSICA DESCRIYrIVA

ran jado ), en un poco de agua destilada,y se pone una gota de esta solución en elportaobjetos de un microscopio. Ilumina-das lateralmente con una luz fuerte, laspartículas microscópicas de gutagamba severán bailando dentro del agua al ser gol-peadas por las moléculas. de ésta. Si recor-damos que las partículas de gutagamba sonmiles de veces más pesadas que las molécu-las de agua, nos daremos cuenta de queéstas deben moverse con velocidades muvgrandes para producir los movimientos visi..bles de retroceso.

10.8 El estado sólido. Conforme se bajala temperatura de un líquido, disminuye suactividad rnolecular. Esto permite que lasmoléculas se acomoden más cerca entre sí

y explica la ligera contracción del líquidoal enfriarse y la correspondiente dilataciónal calentarse. Las moléculas disminuyen sutendencia a viajar de un lugar para otro,conforme se van acercando más entre sí. Si

se baja todavía más la temperatura, se llegafinalmente a un punto donde el líquido secongela y se convierte en sólido.

En el estado sólido, cada molécula seencuentra confinada a un pequeño espaciodefinido entre las moléculas vecinas. Estose ilustra en la fig lOF con modelos atómi-cos de cristales ultramicroscópicos. El mo-delo de la izquierda ilustra una estructuracúbica, vértices muy simples en que los

Flg. 10G. Fotograna de erlltalll de n¡ove mOltrando IU eltrudura hexagonal

TEOIÚA ATÓMICA DE LA MATERIA

átomos toman las posiciones de los vérticesde una serie de cubos. La sal común, consus dos clases de átomos, sodio y cloro, for-ma siempre esta estructura cúbica, alter-nando en las tres direcciones los diferentesátomos de una y otra clase, en el ordenNa, CI, Na, CI, Na, etc.

El segundo cristal es del tipo de capashexagonales en que la estructura principalpresenta agujeros hexagonales, paralelos através del cristal. El agua, al congelarse enforma de hielo o copos de nieve, 3e cristaliza

fis. 10H. Cristales naturales de cuarzo y calcita.

en esta forma (véase la fig. 10G). Nóteseque, dentro de la estructura atómica, cadaátomo de oxígeno está unida a cuatro áto-mos de hidrógeno, mientras que cada hi-drógeno está ligado a dos oxígenos. Losátomos de oxígeno y silicio que forman elcuarzo, de fórmula química Si02, tomanuna estructura bastante similar en su estado

..

89

natural y presentan también estructura he-xagona.! (véase la fig. 10H).

El tercer modelo de la fig. lOF presentala estructura atómica de un cristal de cal-

cita. La calcita, que químicamente es uncarbonato de calcio (CaCOa), es un cristaltransparente que se encuentra en la natu-raleza. Nótese cómo los átomos de carbono

y calcio forman los vértices de los paralelo-gramos, estando rodeado cada átomo decarbono por tres átomos de oxígeno.

Aunque algunos elementos y compuestosadoptan siempre la misma estructura cris-talina al solidificarse, se sabe que algunospueden tomar distintas formas de cristali-zación. Algunas de estas formas se encuen-tran en la naturaleza y otras se pueden pro-ducir en el laboratorio. .El diamante, quees una de las formas cristalinas que toma elcarbono, es un cristal estrechamente com-pacto que, hasta la fecha, ha desafiado to-dos los intentos de reproducción en ellabo-ratorio. Aunque algunos tipos de cristalespresentan estructuras más abiertas queotros, en los modelos se ha reducido el ta-maño a escala de los átomos, con el fin depermitir que se vean los átomos que estáncolocados detrás de ellos en la estructura.

Los metales, en general, al enfriarse des-pués de haberlos fundido, se solidificanencristales ultramicroscópicos, que se agrupande modo compacto para formar un mosaicotridimensional. En la fig. 101 se presentan

F19. 101. Fotograffas tomadas con microscopio eledrónlco, mostrando la estrudura cristalina de losmetales, (a) aluminio puro 5600x, (b), aleael6n de magneslo y aluminio 13000x, (c), acero pulido

14 OOOx, y (d), cobre pulido 14 OOOx.

Flg. 10J. Fotografla tomada con mlcrolcoplo .ledr6nlco de mo"culas de poll8ltlrano, mostrando sudjsposlci6n hexagonal. DI6metro 5 X 10-' cm.

buenas ilustraciones de esto, con fotografíastomadas con el microscopío electrónico. Nó-tese la estructura cúbica del aluminio puroque se ve muy claramente.

En realidad, los átomos de la mayoríade los líquidos empiezan a fomar agrega-dos cristalinos localizados, antes de llegara la solidificación; pero, debido al estadode rápida vibración atómica, cada zonacristalizada puede moverse con respecto alas demás. Por esto se puede consideraral estado líquido como un estado de transi-ción entre el gas, donde las moléculas exis-ten individualmente, y el estado sólidodonde los átomos vienen a formar partede una estructura cristalina en la que yanc se puede considerar a cada átomo comoparte de una lnolécu]a particular. En t.odosJos sólidos, ya sean crista1inos o aJ110rfOS,ladistancia media entre los átomos es del or-den de 2 X 10-8 cm.

En la fig. 10j se ve una fotografía enla que se muestra cÓlno las esferas unifor-m.es tienden a agruparse en forma hexa-g.onal.

Aunque los átomos y moléculas se en-cuentran limitados a un espacio defillidoen la estructura de los sólidos, todavía haynlovimiento dentro de dichos espacios li-nlitados. El movimiento se hace más y lnáslento confonne disminuye la temperatura,hasta que, en el cero absoluto, --273°C,cesan todos los movimientos moleculares.Se entiende como ITlOvimicnto molecularel movimiento de una molécula entera. Ala temperatura del cero absoluto, en cier-tos sóHdos, todavía hay alguna vibraciónde los átomos. Se sabe que esta energíaresidual de vibración es una propiedad in-herente de algunos sólidos y no se le puedequhar ni puede ser utilizada. .

PREGUNTAS Y PROBLEMAS

1. Definir o explicar brevemente cada unode los siguientes problemas: a) número ató-rn.i<'.o;b) peso atómic.o; e) peso molecular;d) molécula monoatómica, y e) molécula di.atómica.

2. ¿Qué es el movimiento browniano?¿ Cómo puede observarse?

3. Hacer un dia.grama y explicar los mo-vimientos atómicos y moleculares dentro de

un sólido. ¿ Cómo cambian estos movimien-tos con una elevación de temperatura?

4. Explique brevemente los movimientosatómicos y moleculares dentro de un líquido.¿Qué efectos tiene la temperatura sobre estosmovimientos?

5. ¿Cuáles son los tres estados de la ma-teria? ¿Cómo difieren entre sí estos tres esta-dos? En general, ¿cuál es el más compacto?

TEORÍA ATÓMICA DE LA MATERIA

6. ¿Cuántos elementos conocidos existen?¿Qué constituye un elemento?

7. Dar un ejemplo de: a) una moléculamonoatómica; b) una molécula diatómica;e) una molécula. triatómica, y d) una molé-cula poliatómica.

91

8. ¿Qué tratamiento general de la mayo-ría de los líquidos cambiará su estado a lí-quido o gas?

9. ¿Qué puede Ud. decir acerca del aco-.modo de los átomos en un sólido, como elhierro? ¿En un sólido, como la sal de mesa?

11

PROPIEDADES DE LOS SOLIDOS

Este capftuIo se limitará a la exposiciónde algunas de las principales propiedadesfísicas de los sólidos, y los capítulos si-guientes se ocuparán en fonna análoga delos líquidos y los gases. Una de las pro-piedades más importantes de los sólidos esla que se conoce como elasticidad. Hayvarios aspectos diferentes de elasticidad,como son, estiramiento, flexión, compresióny torsión.

11.1 Estiramiento de un resorte. Si unavarilla, alambre o resorte colocado verti-calmente, es sostenido rígidamente de suparte superior y se van agregando pesoscolgados de su extremo inferior, se estiray su alargamiento está en proporción conel peso que se le suspende. Esta relaciónes una sencilla ilustración del oomporta-miento de los cuerpos sólidos, estudiadaprimero por Hooke y es la base de la leyque lIe,va su nombre. La ley de Hooke es-tablece que, dentro de ciertos límites, ladeformación de un cuerpo sólido es pro-porcional a las fuerzas que se le aPlican.

En la fig. IIA se ve el estiramiento delresorte. Debido al peso W que se agregó,

el resorte se estira una distancia x. Si seagrega un segundo peso igual al anterior,la distancia total que se alarga será dobleque la señalada. Si se agrega un tercerpeso igual, la longitud total del estira-miento será tres veces mayor que la pri-mera vez, etc. Esto se representa en fonnagráfica a la derecha de la fig. IIA. Cadavalor de x está representado verticalmente,y los valores correspondientes de la cargaW se toman horizontalmente.

Para ser más exactos, cuando se agregael primer peso de 5 newtons, el estira-miento o elongación es de 2 cm. Con dospesas de 5 newtons, el alargamiento totales de 4 cm y con tres pesas de 5 newtons,x == 6 cm, etc. Si se continúa haciendoesto, se ve, como lo ilustra la parte dere-cha de la fig. IDA, que cada peso de5 newtons produce una elongación adicio-nal de 2 cm. Para ponerlo en forma deecuación, lo escribimos así:

(lla)

en donde k es una constante, que paraeste experimento vale 2.5 newtons/cm.Para cada valor de x se puede obtener elvalor correspondiente de W multiplicadopor 2.5. Cuando el resorte de la fig. IIAse estira una distáncia x, el resorte en síejerce una fuerza hacia arriba, F, igualy en dirección opuesta a W. Entonces,

25 Newt para el resorte,F = -kx

T Ox .+ 10-

20

cm.10

t:x

I 4

tF 2O

O 5 10 15 20-W~ (llb)

Fig. 11A. Estiramientod. un I'8sortepara UUltrarla El signo, negativo indica que x y F tie-ley d. Hook.. nen direcciones opuestas.

PROPIEDADES DE LOS SÓLIDOS

Esta ecuación St: menciona con frecuen-cia como la ley de Hooke. *

En este experimento, la constante deproporcionalidad k mide la rigidez del re-sorte. Su valor de 2.5 newtonsjcm signi-fica que se necesita una fuerza de 2.5newtons para estirar 1 centímetro la lon-gitud del resorte. Cuanto mayor es la fuer-

alambrede acero

escala----

L

3

2

wo

Fig. 118. El estiramiento de un alambre balo tensl6ncreciente, puede medirse con un nivel óptico.

za necesaria para estirar el resorte unadistancia unidad, tanto más rígido se diceque es el resorte.

11.2 El estiramiento de un alambre.Para poder comprobar la ley de Hooke,debe recurrirse a un método para medirlos cambio~ muy pequeños de longitud, yaque un alambre o una varilla no se alar-

* Robert Hooke (1635-1703), físico experimen-tal inglés, es conocido principalmente por su con-tribución a la teoría ondulatoria de la luz, la gra-vitación universal y la presión atmosférica. Dioorigen a muchas ideas físicas, pero sólo desarrollóalgunas de ellas. Si se hubiera limitado a estudiarmenor númerQ de temas, seguramente hubiera lo-grado mayores éxitos, y hubiera recibido mayor glo-ria. Tenía un genio irritable y lanzó muchos ataquesvirulentos a Newton y a otros científicos, reclaman-do que los trabajos que ellos publicaban se debíana él.

93

gan mucho, antes de llegar a su punto deruptura. Esto se hace frecuentelnente pormedio de un aparato conocido como nivelóptico. Como se ilustra en la fig. lOB,un haz de luz es reflejado por un pequeñoespejo, M, montado sobre una base de trespatas, dos de las cuales se apoyan en unaplataforma estacionaria y la tercera enuna pequeña grapa e, en el extremo in-ferior del alambre. Conforme el alambrese estira por la acción de los pesos W quese agregan, el espejo se inclina y el hazde luz se refleja más alto sobre la escaladonde se pueden tomar lecturas.

El estiramiento del alambre obedece laley de Hooke, al igual que el estiramientodel resorte descrito en la sección anterior.

El estiramiento es directamente propor-cional a la fuerza aplicada, y se representacon el tramo recto de la gráfica AB de lafig. llC. Si se quitan los pesos qUf" se

50

t 4030

10 50 6020 30 40W en newtons ----.

Flg. 1t C. Gráfica del estiramiento de un alambre, in-dicando la ley d. Hooke, el límite de elasticidad y el

punto de ruptura.

habían suspendido, el alambre volverá atener su longitud original. Si se van agre-gando sucesivamente más pesos, las fuer-zas a que está sometido el alambre termi-narán por ser demasiado grandes y ya nose cumple la ley de Hooke, puesto que laelongadón aumenta más rápidamente. Estaes la parte BP de la gráfica. Si vamos másallá, llegará a romperse el alambre. Elpunto B, en que deja de cumplirse la leyde Hooke, es llamado el límite de elasti-cidad. Si se estira el alambre más allá de

94

este punto, quedará alargado pennanente-mente y no volverá a tener su longitudoriginal, aun cuando se le quiten los pesos.

11.3 Esfuerzo wütario y deformación uni-taria. Cuando se aplica una fuerza decualquier magnitud a un cuerpo sólido, elcuerpo sólido se deforma. Ya sea grandeo pequeña la defonnación de una partedel cuerpo, se mueve con respecto a. laspartes inmediatas. Como consecuencia deeste desplazamiento, las fuerzas atómicasde atracción, producirán fuerzas restaura-doras que 'se oponen a la defomlación ytienden a hacer volver al cuerpo a su for-ma y medidas originales. Cuanto mayorsea la fuerza aplicada, mayor será la de-formación necesaria para crear esas fuerzasrestauradoras que lleven al equilibrio.

En ingeniería, se tiene la costUInbre dedescribir las fuerzas restauradoras de uncuerpo elástico defonnado conlO los esfuer-zos unitarios dando a este término la de-finición cuantitativa de fuerza por unidadde área. La deformación sufrida por elcuerpo a causa de las fuerzas aplicadas,produce un cambio geométrico llamadodeformación unitaria. La defonnación uni-taria se define como una medida cuanti-tativa de la magnitud de la defonnación.

1

11D.

FÍSICA DESCRIPTIVA

11.4 Compresión. Cuando se aplica una-carga F al extremo de una barra, paracomprimida, como se indica en la fig 11.D,la disminución de longitud, 1, tiene el mis-mo valor que la elongación que hubierasufrido si se aplicara esa misma carga comouna tensión. En otras palabras, la ley deHooke también se cumple en la compre-sión.

11.5 Flexión. Cuando una varilla o vigase somete a una fuerza que tiende adoblada, la cantidad de desplazamientotransversal que sufre, es proporcional a lafuerza aplicada. Esto se ilustra en la fi-gura l1E, donde el diagrama (a) n1ue.~tra

r l

/J 1:---1' ,..,¡.." x

L

1. l.

wFlg. 11E(a). La flexlón... un trampolfn"'ce la lo,de Hook.. (b) Laflexlónd. una viga obedecela ley de

Hoob.

una varilla fijada por un extremo y conun esfuerzo aplicado en el otro. El dia-grama (b) es una ilustración de una vari-lla semejante, sostenida sobre dos apoyo~P, en ambos extremos y con una cargaaplicada sobre el centro. La magnitud dela flexión medida en cada caso por la.distancia x, es proporcional a W. Ha-ciendo una gráfica de W con relación a x,se obtiene una línea recta, igual que enel caso del estiramiento mostrado en la fi-

PROPIEDADES DE LOS I?ÓLIOOS 95

~"", 1 ~ria" .:.", . l

~F

(J=~."úa4

FIg. 11F. La tonl'" .'una varilla ~"C8 a la ley de Hook..

gura 11A. Esta gráfica demuestra quela ley de Hooke es aplicable a la flexiónde una varilla o viga, y que el fenómenopuede representarse por una fónnula iguala la ecuación (lla).

11.6 Torsión. Es de mucha aplicaciónen el diseño de n1áquinas, el conocimientodetallado de los esfuerzos ,y deformacionestorsionales. Cuando se fija por un extremouna varilla o una barra y se aplica unmomento de torsión (par motor) por elotro extremo, se tuerce como 10 ilustrala Hg. 11F. Dentro de sus límites de elas-ticidad, el desplazamiento angular 8 esproporcional al momento de torsión apli-cado, L, donde L = F X r.

Si, por ejemplo, un cierto momento detorsión tuerce el extremo de la varilla enun ángulo de 5o, un momento doble tor-cerá el extremo de la varilla :un ángulo2 veces mayor, o sea 10°, y un momentotriple que el original torcerá la varilla tam-bién un ángulo triple, o sea 15o.

La fig. l1G ilustra una aplicación delos esfuerzos torsionales en la ortodoncia.

La ortodoncia (j la ortopedia dental, es la

;,¡¡ti"¡",I \

\\\\ '

larcO

anclaje

"l. 11G. Apllcacl6nthl ..fuerzo de lonl- pala .....derezar lo. dlen", en Orlodoncla.

rama de la odontología que principalmentese ocupa de enderezar los dientes que vancreciendo torcidos. Hay una técnica deortodoncia en que se acostumbra popersobre cada diente una banda lnetálicaque tiene una abrazadera. Cada abrazade-ra tiene una ranura rectangular, en lacual se sujeta un arco de alambre desección cuadrada.

Para hacer que el diente A sufra unarotación, como se indica a la derecha, seproduce una torcedura pennanente en elalambre cuadrado del arco entre ese diente'y el inmediato. Por este medio se produceun esfuerzo torsional sobre la inserción delalambre, y durante varias semanas ese es-fuerzo va disminuyendo gradualmente, de-bido a la torsión del diente. Para losdentistas es perfectamente conocida la po-sibilidad del movimiento de las raíces delos dientes d~ntro de las mandíbulas.

11.7 Impacto de cuerpos elásticos. Cuan-do chocan dos cuerpos entre sí, la ley deconservación de la cantidad de movimien-to establece que la, cantidad de movi-miento total, antes del impacto, es iguala la cantidad de movimiento total despuésdel mismo; pero esta l~y no es suficientepara determinar cuál será la velocidad de.cada uno de los cuerpos. Véanse las sec-ciones 7.3 Y 7.4.. Los distintos materialesse comportan en fonna diferente al chocary se separarán con velocidades distintas.

. Como .ilustración, consÍdérese el experi-mento de la fig. l1H.

Se dejan caer varias esferas de diferen-tes substancias, sucesivamente y desde lamisma altura, sobre la superficie tersa deun yunque y se deja que alcancen la má-

96 FfsICA DESCRIPTIVA

vidrio acero arcilla marfil hierro arce corcho cobre plomo'

[

- -- -1---8---'--- ~- --~---'---~---'-1008 8 I T 1 1 I II 1 1 1 1 I 1 I- -- - - - - - - - -- - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - 801 1 I I I I I I 1I I I 1 I I 1 I I'-

f1 1 1 8 1 1 1 1 1- 60I 1 1 I I I 1 1 ,

H I I I 1 1 1 , I

1

' 1 1 1 ' 8 1 ' 1- 40I 1 I 1 1 1 8 1 Ih I I I I I 1 1 1 1

!: : : : : : : : :- 20

v2 1 I I , 1 1 1 . .-- - --- 1 I I 1 I 1 1 Or =0.97 0.95 0.93 0.80 0.70 0.66 0.60 0.14 0.02

FIS. 11H. Experimento de rebote de .sferas para ilustrar la resistencia al choque.

xima altura en el rebote. Al contrario de

lo que sería de esperar, veremos que elvidrio y el acero rebotan a una mayoraltura que una bola de caucho de lamejor calidad. Una esfera de plomo, porotra parte, apenas s~ rebota.

En este experimento particular, los cuer-pos que chocan son las esferas y el yunque.Debido a su masa enorme, relativamentea las de las bolas, la velocidad de retrocesodel yunque es insignificante.

Como ilustración de la compresión quesufre un sólido durante el choque conotro sólido, obsérvese la deformación delas dos pelotas ilustradas en la fig. 111.Estas son fotografías instantáneas de (a),

una pelota de golf golpeada por el ba~tón,y (b), una pelota de tenis golpeada porla raqueta. Representan lo que se llama laresistencia al choque de la materia. La re-sistencia al choque se define como la capa-cidad de un cuer:po para sufrir una com-presión, o deformación rápida, sin que seproduzca una deformación permanente. Laresistencia al choque es opuesta a la fra-gilidad.

11.8 Coeficiente de restitución. El co-eficiente de restitución se define como elnúmero que expresa la relación que hayentre la velocidad con que dos cuerposse separan después de un choque}' la ve-

FIS. 111. Fotograffas de la), el Impado ent.. una pelota y un bastón de golf, y lb), el Impado ent..una pelota y una raClueta d, tenll.

PROPIEDADES DE LOS SÓLIDOS 97

locidad con que se aproximaron antes de (véase la ecuación 7c), y 2gH pued.e r~-la colisión. emplazar a lh y V2gh a V2 para darnos .

velocidad de separaciónr = velocidad de acercamiento (1Ic)

o,. como ecuación,

I ~=~ I

~ (lid)

Los valores de la constante r, para dife-rentes sustancias, pueden obtenerse del ex-perimento descrito arriba determinandola velocidad VI de la esfera, justamenteantes de llegar al yunque y la velocidad V:!,precisamente al empezar el rebote. Es másconveniente usar las leyes de caída libre ycalcular las velocidades a partir de lasalturas a que llega:! las esferas, que tratarde medir directamente las. velocidades. Ya

que V= y-2gh para los cuerpos que caen

V2ifir y2gH

ó

( 11e)

Como se ilustra en la fig. l1H, H esla ,altura de la cual cae la esfera, y h es laaltura hasta la que rebota. Para una sus-tapcia muy elástica, como el vidrio o elacero, chocando con acero, r tiene un va-lor de 0.95 o más, mientras que parasustancias muy poco elásticas, tales comoplomo, chocando con acero, r es extre-madamente pequeña. Se ve en la ecuación( 11e) que el valor mínimo de r es cero,mientras que el máximo es uno.

PREGUNTAS Y PROBLEMAS

1. ¿ Cómo se aplica la ley de Hooke a laflexión de un trampolín usado para lanzarsea una piscint;L?

2. Dibujar una gráfica, representando laley de Hooke tal como se aplica al estira-miento de un resorte heIicoidal. Considerarque un esfuerzo de 100 g alarga el resorteen 3.5 cm y extienda el eje de esfuerzos ensu gráfica hasta 1 kg.

3. Establezca la ley de Hooke en la formaque se aplica a la torsión de una varilla lar-ga de acero.

4. Definir o explicar brevemente el coe-ficiente de restitución. ¿Cuáles son los valo-res menor y mayor posibles de esta constan-te? ¿ Qué significan estos valores extremosal aplicarlos al impacto entre dos cuerpos?

5. Un resorte de acero de 30 cm de lar-go, se estira hasta una longitud de 35.6 cmcuando se suspende de su extremo inferioruna masa de 2 kg.. Encontrar la longitud delresorte cuando se agregan 500 g más a suextremo inferior. (Resp. 37.0 cm.)

6. Un alambre de bronce de 3 ft de largose alarga 0.01 in cuando se cuelga una cargade 5 lb de su extremo inferior. ¿Qué fuer-za se requiere para que se estire el alambreun total de 0.07'2 in?

7. U na fuerza de 10 lb comprime un re-sorte 2.6 in. ¿Qué fuerza lo estirará 1.8 in?(Resp. 6.92 lb.)

8. Un resorte de acero se alarga 3.2 cmcuando se somete a una tensión de 40 new-tons. Calcular la fuerza necesaria para com-primir el mismo resorte 2.5 cm.

9. El extremo libre de un trampolín enuna piscina queda a 55 cm por encima delagua: sí un hombre de 50 kg, parado sobreel extremo del tablón, lo hace bajar hasta35 cm del agua, ¿cuánta ha de ser la cargapara que baje hasta 5 oro del agua? (Resp.125 kg.)

10. Se tira una bola de golf desde unaaltura de 1 m, llega a un piso de cementoy rebota a una altura de 55 cm. Calcularel coeficiente de restitución.

98

11. Una bola de acero, tirada sobte unaplancha de acero desde una altura de 60 cm,rebota hasta una altura de 50 cm. Calcularel coeficiente de restitución. (Resp. 0.913.)

12. Una bola de marfil, cae sobre un yun-que de acero y rebota hasta una altura de30 cm. ¿Desde qué altura fue tirada si sucoeficiente de restituci6n es 0.76?

13. Si se tira una canica de vidrio, desdeuna altura de 25 cm, sobre un trozo gruesoy terso de vidrio, rebotará hasta una alturade 24 cm? ¿Cuál es el coeficiente de restitu-ción?, (Resp. 0.98.)

14. Se tira una bola de golf sobre un yun-que de acero y rebota a una altura de 12.5 in.Si el coeficiente de restitución es de 0.81,¿desde qué altura fue tirada?

FÍSICA DESCRIPTIVA

15. Una bola de 2 kg, moviéndose con ve-locidad de 5 m/seg, choca de frente con unabola de 3 kg en reposo. Después del choque,la bola de 2 kg tiene una velocidad de 0..5mI seg. a) Aplicando la ley de la conseIVa-ción de la cantidad de movimiento, encon-trar la velocidad de la bola de 3 kg despuésdel choque. b) Calcular el coeficiente de res-titución. (Resp. a) 3.0 m/seg; b) 0.50.)

16. Una masa de 15 kg, moviéndose conuna velocidad de 12 mi seg, choca de frentecon una 'masa de 6 kg en reposo. Despuésde la colisión, la masa de 6 kg retrocede conuna velocidad de 16 m/seg. a) Encontrar lavelocidad de retroceso de la bola más pesada.b) ¿Cuál es el coeficiente de restitución?

PROPIEDADESDE LOS liQUIDOS

Las propiedades de los sólidos, talescomo la flexión y la torsión, no existenen los líquidos. Pero los líquidos sí pue-den someterse a compresión y, colocadosen un recipiente completamente limpio,pueden someterse a muy grandes tensio-nes. Aunque estas propiedades son de in-terés considerable, hasta ahora no hantenido importancia práctica. Por otra par-te, hay propiedades físicas de los líquidosque se consideran de gran importancia.&tas son: la presión, el empuje haciaarriba, la tensión superficial y la capi-laridad. .

12.1 Presión. Para el estudio que hare-mos en seguida de las propiedades de loslíquidos, es necesario introducir el con-cepto de presión en contraste con lo quese entiende por fuerza total. La presiónse define como la fuerza por unidad deárea. Escrito en forma de ecuación,

presión - fuerza totalárea

(12a)

Como ilustración de la diferencia entrepresión y fuerza total, consideremos los dostrozos de metal de la fig. 12A. El trozo(a ) se apoya sobre su base, con un áreade 200 cm2, mientras que el trozo (b) seapoya sobre un lado con área de 400 cm2.Como los dos trozos pesan 5 000 newtonscada uno, ejercen separadamente la mismafuerza total hacia abajo. Apoyado sobreuna base como en (a ), la presión hacia

abajo está dada por la ecuación (12a ) ,como

., - 5,000 newtons - 25newtons

preslOn- c)fV\ 2 - 2cm cm

Esto se lee 25 newtons por centímetrocuadrado. Apoyado sobre un lado, comoen (b), la presión es solamente la mitad.

., - 5,000 newtons 125newtons

preslOn - 400 2 . 2cm cm

En el primer caso, hay una fuerza haciaabajo, equivalente a 25 newtons sobrecada cm2, mientras que en el segundo

/'"

(o) (b)

Flg. 12A. Un trozo d. taI, I.vantado sobro un ex.t..mo, .I-rce mayor ' 6n que apoyado s... un 1«Ido.

son 12.5 newtons. La presión en (a ) es,por tanto, el doble de la presión en (b),siendo la fuerza total hacia abajo la mis-ma.

Trasladando A al otro lado de la ecua-ción (12a ), obtenemos:

I F=PXA I

(12b)

La tuerza total es igual al producto dela presión ,por el área.

99

100

12.2 Presión de los líquidos. Con fre-cuencia, se necesita determinar la presiónque haya diferentes profundidades dentrode un líquido, y también la presión sobreel fondo o las paredes del recipiente que locontiene. La regla referente a la presiónestablece que el valor de la presión, a cual-quier profundidad, es igual al peso quetiene una columna de líquido, de secció71

T11

1

~ --r-------+- - +=-- I - ,-- - -- - 1 I -- : -, -- 1-'1 ¡--I - - r-I t 1----- --L- j; - r--. - - P¡ - + + - -

f I -L------ - I - -1-- I- --- -Im--

I 2 I

- -- - Lt~~~--_o - - - 12

cilindro

--------- - ----- -- --- _. -

- _.- ---

disco

FJg. 128. La p..,ión en el seno de un. Uquido e. Igualal peso d. la columna de Uquido, de área transvenal

unidad, que quede sobre el punto considerado.

transversal unidad, que llegue desde esepunto hasta la superficie libre del líquido.

A la profundidad ll, como se indica enla fig. 12B, la presión Pl está dada por elpeso de una columna de líquido de 1 cm2de sección transversal y de II cm de altura.A la profundidad' mayor, 12, la presión P2está dada por el peso de una columna de

FÍSICA DESCRIPTIVA

líquido de 1 cm 2 de sección transversal,y 12cm de altura.

Esto puede demostrarse con un cilindrode vidrio y un disco delgado y ligero,como se ilustra en la fig. 12B. El aguaque - rodea al cilindro vacío produce lafuerza f hacia arriba que sostiene al discofirmemente contra la boca del tubo. Si sellena gradualmente el tubo con agua, seejerce una fuerza creciente, lmcia abajo,sobre el disco. Justamente, cuando el. aguadel interior del tubo llega al nivel delagua de fuera, el disco cae del extremodel cilindro, demostrando que la fuerza ha-cia abajo y la fuerza hacia arriba se igua-lan en este punto y en este instante. Ade-más de comprobar por este experimentoque la presión en un punto dentro de unlíquido está determinada por el peso dellíquido que está encima del mismo, pode-mos también obtener la conclusión de quela presión en un punto es igual a la pre-sión en cualquier otro punto que esté almismo nivel dentro del líquido.

La presión ejercida por un líquido sedefine como la fuerza normal ejercida porel líquido en la unidad de área y se midegeneralmente en dinas por centímetro cua-drado, newtons por metro cuadrado o li-bras por pulgada cuadrada. Debido a susdimensiones, la presión no es vectorial.

12.3 La presión se ejerce en todas direc-ciones. En un líquido en reposo, la fuer-za ejercida por el líquido sobre cualquiersuperficie, es perpendicular a dicha super-fkie. La fuerza ejerdda en cualquier pun-to sobre un elemento de superficie esindependiente de la orientación de esa su-perficie. Esto se puede ilustrar de muchasmaneras. Por ejemplo, en la fig. 12C (a)se une una esfera hueca de acero B, porsu parte superior, con un tubo metálico T.Empujando el pistón P mediante el mangoH, se expulsa el agua por los tubos metá-licos ], que salen de los lados y del fondode la esfera. Los chorros de agua, subien-do hasta la misma altura al salir, hacenpatente la igualdad de las fuerzas ejercidasen todas direcciones.

. PROPIEDADES DE LOS LÍQUIDOSH

Fig. 12C. Experimentos para ilustrar la presión d. loslíquidos.

12.4 Masa específica y densidad. Lamasa específica de la materia, ya se tratedel estado sólido, líquido o gaseoso, sedefine como la masa de la unidad de vo-lumen. AIgebraicamente.

masamasa específica= volumen

I p' ~ I

(12c)

Generalmente se usa la letra griega p(ro) para representar la masa específica.En el sistema CGS, la masa específica seda en gramos por centímetro cúbico. Yaque el gramo se define como la masa deun centímetro cúbico de agua, la masaespecífica del agua es 1 gjcm3. En el sis-tema MKS, la masa específica se expresaen kilogram9s por metro cúbico.

Ejemplo 1. Si 25 cm3 de mercurio tienenuna masa de 340 g, ¿cuál es su masa espe-cífica?

Solución. Por sustitución directa en laEc. (12c), obtenemos

= 340g = 13.6-Lp 25 cm3 cm3

Si se conocen el volumen y la masa espe-cífica de. un cuerpo, se puede encontrar lamasa con la ecuación (12c ) así :

M=VXp (12d)

101

La densidad es otro concepto frecuente-mente usado para expresar el peso relativode la materia. La densidad se define comola relación que ha'y entre el peso de uncierto volumen de una sustancia y el pesode un volumen igual de agua.

Densidad

peso de una sustancia=}J(So de igual vol. de agua

Conforme a esta definición, la densidadde una sustancia está dada por el mismovalor numérico que su masa específica enel sistema CGS. Siendo una relación entredos cantidades, la densidad no tiene di-mensiones y,. por lo tanto, es la ¡misma entodos los sistemas de unidades. Por ejem-

TABLA 12A. MASAS y PESOS ESPEcíFICOSDE ALGUNAS SUSTANCIAS COMUNES

(12e)

T -t- ,)-?- f) -.Jh2

J:.J

P. 1" 1,j P,

(o) (b)

Material

I

gm/cm3 I lb/ ftS

LíquidosAceite de olivo 0.918 57.3Agua (OOC) 1.000 62.4Alcohol (20°C) 0.79 49.3Bencina (OOC) 0.90 56.2Gasolina (OOC) 0.69 41.2Mercurio (20°C) 13.6

I849.

Sangre (37°C) 1.04 65.0

MetalesAluminio 2.7 168.7Bronce 8.5 530Cobre 8.9 556Estaño 7.3 456Oro 19.3 1205Zinc 7.1 446

MaderasArce

I O.62-ú.75

39-47Balsa 0.11-0.13 7-8Cedro . 0.49-0.57 30-35Corcho 0.22-0.26 14-16Roble 0.60-0.90 37-56

MisceláneaCuarzo

I

2.65

I

165Hielo 0.91 57.2Vidrio 2.4-2.8 150-175

102

plo, la densidad del aluminio es 2.7, locual significa que cualquier pieza sólidade aluminio pesa 2.7 veces más que unvolumen igual de agua.

Por comodidad solamente, algunos in-genieros y otras personas emPlean frecuen-

....-. - ..-1--- - .....--

- ---agua-- - . .

- ---- - --

Fig.12D. Untrozo'" modera.. IU_. .n .. aguahada qu. .1 .mpul. del agua hacia arriba iguale a

IU peso.

temente la cantidad llamada peso espe-cífico, que es el peso de la unidad devolumen de la sustancia considerada. Debe

r ' ¡:-l

FfslCA DESCRIPTIVA

12.5 Principio de Arquímedes. El prin-cipio de Arquímedes establece que uncuerpo que flota o se sumerge en un líqui-do, es empujado hacia arriba co-n unafuerza igual al peso del líquido desalojadopor el objeto. Por ejemplo, un trozo demadera, flotando en el agua, como indicala fig. 12D, es sostenido flotando por unafuerza F, que es igual al PesOdel aguadesalojada (correspondiente a la partesombreada) . Cuando se coloca el trozode madera en el agua, se .sumerge hastaque la fuerza F hacia arriba sea suficien-temente grande para igualar la fuerzahacia abajo, W, el Peso de la madera.

En la fig. 12E se ilustra una demostra-ción experimental del principio de Arquí-medes. Un vaso cilíndrico pequeño, quecontiene un cilindro metálico sólido, (it"cabe justamente en él, es equilibrado exac-tamente con pesas en una balanza de bra-zos iguales. La balanza no sufre ningúncambio cuando se saca el cilindro sólidodel vaso y se suspende del gancho que

(o) (b) (e) (d)

Fil. 12E. Los cuatro paIOI cIoI .xporl ..ve .muestra el principio'" A...u........

tenerse cuidado de no confundir el pesoespecífico con la masa específica definidaen la ecuación (12c).

peso específico - pesovolumen

Ipw ~I ( 12f)

tiene por debajo, tal como se ilustra en(b). En (c ) se ha colocado un vaso conagua, hasta que el cilindro queda sumer-gido completamente en ella. Ahora se hadestruido el equilibrio, porque hay un em-puje hacia arriba por acción del aguasobre el cilindro.

Si el principio de Arquímedes es co-rrecto, la fuerza hacia arriba es igual al

PROPIEDADES DE LOS ÚQUIOOS

peSOde un volumen de agua exactamenteigual al volumen del cilindro. Si se agregalentamente agua al recipiente, como 8eindica en (d), se restablece el equilibrioexactam~nte en el instante en que se llenael recipente. El equilibrio restablecido con-firma el principio de Arquímedes.

12.6 Medidas de la masa específica yde la densidad. El uso del principio deArquímedes es una de las formas más co-nocidas para medir la masa específica desólidos y líquidos. En la fig. 12F se indica

12F. El pule ... flotad"', UlClII8........rmlnar la masa clfica ... MUdo. Y UquidOl.

un experimento, con el cual se puede de-terminar la masa específica de un sólido(aluminio) y de un líquido (aceite deparafina) . Se pesa un cilindro sólidode aluminio en una balanza de resorte:(a ) en el aire, (b) en el agua y (c) enel aceite de parafina ( tractolina ) .

La prueba (a) nos da directamente lamasa del cilindro, que es de 1 400 gramos.Cuando se sumerge en agua, la balanzaindica una masa de 880 g únicamente. Ladiferencia 1400 - 880 = 520 g multipli-cada por 'g, es la fuerza hacia arriba y,por lo tanto, el peso del líquido despla-zado por el cilindro. Como la masa espe-cífica del agua es igual a 1 gfcm3, 520 gde agua ocuparán un volumen de 520 cm3.Por lo tanto, 520 cm3 es también el vo-lumen del cilindro. Por la ecuación (12c),la masa específica del cilindro de aluminioes

103

Sumergiendo en aceite de parafina, el ci-lindro pesa 1040 g, indicando una fuerzahacia arriba de í 400- 1040 = 360 g,multiplicados por g. Ya que el cilindrodesplaza su volumen de 520 cm3 de lí-quido tiene una masa de 360 g, la masaespecífica del aceite de parafina es

M 360 g gP=V-520cm3-O.69 cm3

12.1 Adhesión y cohesión. Toda la ma-teria está compuesta de átomos y molécu-las.. Como ya dijimos en el Capítulo 10,estas partículas ultramicroscópicas se atraenunas a otras con fuerzas que dependen dela clase de átomos o moléculas en cuestión,y de la distancia que las separe. Cuantomás cerca estén dos átomos o moléculas,mayor será la fuerza de atracción entreellas. La fuerzas de atracción entre dife-rentes clases de moléculas, es llamada ad-hesión, y la fuerza de atracción entre mo-léculas de la misma sustancia es llamadacohesión.

Aunque las fuerzas de atracción entredos moléculas son extremadamente peque-ñas, la atracción combinada de los milesde millones de moléculas contenidas en una

pequeña partícula de materia, es sorpren-den temen te grande. Un cable de acero,de 2.5 cm de diámetro transversal, podrásoportar una carga de más de 25 tonela-das sin romperse. Esta es una medida di-recta de las fuerzas de cohesión ejercidasentre los billones de átomos.

La diferencia entre la cohesión y laadhesión puede demostrarse por el expe-rimento ilustrado en la fig. 12G. Se 8OS-

agua

'28. que i'u.tra.. fuerzas... .....n'" .. vidrioy el agua.

104

tiene una placa de vidrio, G, suspendidadt:l brazo de una balanza. La. placa se poneen contacto con la superficie del agua, des-pués de haberla equilibrado con pesas enel otro platillo de la balanza. Después seagregan pesas suplementarias en W, hastaque la placa se desprende de la superficiedel agua. Si examinamos el vidrio, encon-tramos que hay agua adherida a su super-ficie, lo que nos hace ver que la separa-ción ocurrió entre las moléculas de agua.Las fuerzas de adhesión entre las moléculasde vidrio y las de agua, exceden, por lotanto, a las fuerzas de cohesión entre lasmoléculas de agua. El peso suplementarioque se agregó a este experimento, mediráestas fuerzas de cohesión.

Si en este experimento se sustituye elagua por mercurio, al aplicar pesas paraseparar el vidrio de la superficie del mer-curio, las pesas agregadas medirán la ad-hesión, la fuerza de atracción entre el vi-drio y el mercurio. Esto se sabe por elhecho de que no queda mercurio adheridoa la superficie de vidrio. La cohesión en-tre las moléculas de mercurio, en este caso,es mayor que la adhesión entre el mercurioy el vidrio.

12.8 Tensión superficial. En los líquidos,la cohesión de las moléculas da lugar a un

, fenómeno llamado tensión superficial. Des-de el punto de vista de la atracción mo-lecular, la superficie de los líquidos secomporta en todo momento como si exis-tiera. sobre ella una delgada membrana es-tirada, y como si esta membrana estuvierasometida a una tensión y tratara de con-traerse. A esto se debe que las gotas deneblina o de lluvia, burbujas de jabón, etc.,tengan forma esférica cuando caen por elaire. (La forma esférica es la que tienemínima superficie para un. determinadovolumen de materia, en comparación concualquier otra figura geométrica.)

La fig 12H (a) ilustra un experimentorealizado para observar la forma esferoi-dal de las gotas líquidas. Se vierten cuida-dosamente alcohol yagua en un vaso de

FÍSICA DESCRIPTIVA

alcohol

aceite deoliva

(b)

--

(e)

Flg. 12H. Experimentos para demostrar la tensl6n su-perficial: (a) Forma esferoidal de las gotas. (b) Agulade acero flotando sobre el agua. (e) Medida de la

tensi6n superficial.

vidrio, donde se forma una superficie deseparación entre ellos~ quedando el aguaen el fondo, debido a su mayor masa espe-cífica. Si entonces se agrega aceite de oli-va, que no es soluble ni en agua ni enalcohol, las gotas de aceite toman rápida-mente la forma esférica y, debido a sumasa específica intermedia, se asientan Ien-

PROPIEDÁDES DE LOS LÍQUIDOS 105

jabón

Flg. 121. Botecito de madera impulsado por la tensi6n superficial y la adhesl6n.

tamente en la superficie de separación,donde quedan suspendidas.

Otra ilustración de la tensión superfi-cial, es el experimento en que se hace flotaruna aguja de. acero. Se deja horizon-talmente una aguja común sobre la super..ficie del agua en un vaso abierto, y sequedará a flote, como se ve en la figu-ra 12H (b). (Si se pasa la aguja entrelos dedos, antes de ponerla en el agua, sedepositará en ella una delgada película degrasa, que hace más fácil la experiencia.La adhesión entre el agua y la grasaes muy pequeña.) Para que la aguja seabra camino a través de la superficie, ne-cesita separar entre sí las moléculas deagua, pero en vez de ello, la superficie sedeprime hasta producir una fuerza haciaarriba, -W, que, por el principio de Ar-químedes, es igual al peso del líquido des-

~h I:~

.-

.-

-.- - ---FI .rl~

agua ~--8--- :-.=: 1;1.:::tI= ::-.. -- -.--- --

(o)

plazado, y llega a igualar a la magnituddel peso de la aguja.

Se puede efectuar un experimento inte-resante adhiriendo un trozo de jabón a lapopa de un pequeño bote de madera, y

. colocando después el bote en la superficiede un tanque de agua, como lo indica lafig. 121. Conforme se va disolviendo el ja-bón, la tensión superficial del agua se debi-lita grandemente en la parte de atrás delbote, y la tensión superficial y la adhesiónde la parte del frente, tiran del bote haciaadelante. Tan pronto como la película dejabón cubre toda el agua, dejará de mo-verse el bote.

Hay otro experimento semejante, queconsiste en poner pedacitos de alcanfor enun vaso con agua. Cada hojuela de alcan-for es impulsada rápidamente sobre la su-perfiCie del agua, de modo semejante a

mercurio

(b)

Fig. 12J. El ascenso del agua y descenso del mercuño en los tubos capilares, se debe a la adhesi6n,la cohesi6n y la tensi6n superficial.

106

como fue impulsado el bote. El alcanfor,que se disuelve más rápidamente en laspartes agudas de la hojuela, reduce latensión superficial en mayor proporciónen esos puntos que en los demás.

En el laboratorio se mide generalmentela tensión superficial con un aparato se-mejante al ilustrado en la fig. 12H (c ) .Un pequeño marco de alambre de longi-tud 1, es sumergido en agua, y luego seva tirando hacia arriba lentamente. Como

. consecuencia de la cohesión y la adhesión,se forma una película delgada de aguaen el interior del marco. Esta película tiradel marco hacia abajo, con una fuerzaque se puede medir suspendiendo el mar-co de un brazo de una balan7.a. Se agre-gan lentamente las pesas necesarias al otrolado de la balanza, no dibujada en la fi-gura (ver fig. 12E), hasta que se rompala película del líquido. El peso máximo,agregado antes de que se rompa la película,mide directamente la tensión superficialdebida a la cohesión de la película.

La tensión superficial se define como lafuerza de contracción a lo largo de unalínea de longitud unidad, siendo perpen-

TABLA 12B. TENSIÓN SUPERFICIAL

DE ALGUNOS ÚQUIDOS

T en dinas/cmLíquidos

Acetona ......Agua .........Alcohol. . . . . .Bencina. . . . . .Mercurio. . . . .

26.375.624.031.5

508.0

diculares las direcciones de la fuerza y dela línea, y estando ambas .en la superficiedel líquido. Si F es la fuerza máxima apli-cada en el experimento anterior y 1 es lalongitud del marco de alambre, la tensiónsuperficial T, se obtiene con

F'T=21 (12g)

FÍSICA DESCRIPTIVA

El factor 2 se agrega porque en cual-quier película, por delgada que sea, haydos superficies, haciendo que la longitudefectiva sea equivalente al doble de sulongitud.

12.9 Capilaridad. Cuando se coloca untubo largo en un vaso con agua, como seilustra en la fig. 12J (a), el agua subedentro del tubo hasta llegar a una ciertaaltura, y ahí se detiene. Cuanto más finosea el calibre del tubo, más alto subiráel agua.

El agua sube en los tubos capilares, de-bido a que la fuerza de adhesión del vi-drio con el agua es mayor que la fuerzade cohesión del agua. Cuando se sumergeel extremo de un tubo de calibre fino en el

agua, las paredes del mismo que quedanun poco por encima de la superficie dellíquido, atraen a las moléculas del agua,levantándolas por cohesión. Este procesocontinúa, llenándose de líquido el espacioque queda abajo al subir el agua más ymás arriba. La tensión superficial, quetambién es consecuencia de la cohesión,evita que el agua vuelva a descender. Elagua sigue subiendo hasta que la tensiónsuperficial es equilibrada por el peso dellíquido que llena el tubo.

La altura a la que subirá el agua en untubo capilar, se obtiene con la siguienteecuación:

h= 2Trpg

(12h)

Las unidades con que se mide la ten-sión superficial, T, en el sistema CGS, sondinas por centímetro de longitud; r, es elradio de la sección del tubo en centíme-tros; p, la masa específica del líquido eng/cm3, y g, la aceleración debida a la gra-vedad, que vale 980 cm/seg2.

Ejemplo 2. Se coloca un t'xtremo de untubo capilar en un vaso con agua. Tomandola tensión superficial como 70 dinasj cm yel diámetro del orificio del tubo como 1 mm,encontrar la altura a que sube el agua.

20°C 50°C

23.7 19.972.7 19.822.3 25.028.9 445.0

480.0 67.9

PROPIEDADES DE LOS LÍQUIDOS

Solución. Por sustitución directa en laecuación (12h), obtenemos

2 X 70h = 0.05 X 1 X 980 = 2.86 cm

Metiendo un tubo de vidrio en mercu-rio, las potentes fuerzas de cohesión for-man una superficie convexa, tal como seve en la fig. 121 (b). Aquí la tensión su-perficial trata de aplanar. esta superficie,haciendo que el líquido descienda a un

107

nivel más bajo. La ecuación (12h), parael ascenso de un líquido en un tubo ca-pilar, puede aplicarse a.quí para medir eldescenso del mercurio o cualquier otro ñ~quido que no moje al tubo.

La tensión superficial es .la que regulaparcialmente el ascenso de la savia dentrode los árboles. Se ha demostrado con ex-perimentos efectuados cuidadosamente quepor tensión superficial se puede subir elagua a alturas de más de 30 metros.

PREGUNTASY PROBLEMAS

l. ¿ Cómo define la presión? ¿Cuáles sonlas unidades de presión en el sistema mks?¿ En el sistema de ingeniería o inglés?

2. ¿Cómo puede calcularse la presióndentro de un líquido a cualquier profundi-dad? ¿ Es una fuerza la presión? ¿ Es vecto-rial la presión?

3. Si conoce la presión sobre una superfi-cie plana dentro de un líquido, ¿cómo puedecalcular la fuerla ejercida sobre un área dadaen esa superficie?

4. Expresar el princIpio de Arquímedes.¿ Por qué flota un trozo de madera sobre elagua? ¿Por qué se sumerge un trozo sólidode Imetal?

5. ¿Cómo compara el peso de un trozo demetal en el aire con su peso aparente sumer-gido en agua?

6. ¿Cómo es que puede flotar en agua unbarco enteramente hecho de acero, mientrasque una esfera sólida se sumerge?

7. ¿Cuál es el peso aparente de un trozode madera flotando en agua?

8. ¿Cuál es la diferencia entre adhesión ycohesión? ¿Cómo resultan al compararse lasfuerzas de cohesión del mercurio con sus fuer-zas de adhesión con el vidrio?

11. ¿Cómo puede flotar una aguja o unahoja de rasurar de acero sobre el agua? ¿Quésostiene estas piezas de acero arriba?

12. Definir la tensión superficial. ¿Cómocambia la tensión superficial con la tempera-tura? ¿Cuál tiene mayor coeficiente, el mer-curio o el agua? ¿Qué influencia tendría estadiferencia con la rigidez de las gotas de aguao mercurio de igual tamaño

13. ¿Qué es la capilaridad? ¿Por qué subeel agua dentro de un tubo de vidrio?

14. Cuando se coloca un tubo de vidrio

dentro de mercurio, el líquido se deprime envez de elevarse. ¿A qué cree que se deba esto?

15. En un extremo de una piscina, el aguatiene 12 ft de profundidad. Encontrar la pre-sión sobre el fondo en lbJin2. (Resp. 5.20lb/in2. )

16. Encontrar la presión a una profundi-dad de 100 ft por debajo de la superficie delagua en un lago.

17. U n anillo de oro tiene una masa de33.0 g. ¿Cuál será su masa aparente cuandose determina bajo el agua? Para las masasespecíficas de las sustancias, ver la Tabla12A. (Re~'ip.31.29 g.)

18. Un cubo sólido de cobre tiene 3 cm9. ¿Cómo resultan al compararse las fuer- por. lado. Calcular su masa aparente en:

zas de cohesión de las moléculas de agua con a) aire; b) agua; c) gasolina, y d) mercurio.sus fuerzas de adhesión con el vidrio?

19. Se encuentra que el agua a 200C sube10. ¿Qué es la tensión superficial? ¿ Cuál a una altura de 6 cm en un tubo capi lar de

es el estado esferoidal? ¿Por qué toman for- vidrio. ¿ Cuál es el diámetro hueco del tubo?ma esférica las gotitas de un líquido? (Resp. 0.491 mm.)

108

20. Un tubo capilar tiene un diámetro in-terior de 0.10 rnm. ¿A qué altura subirá elagua en este tubo si está a una temperaturade 50° C?

21. Un tubo capilar de vidrio con un ori-ficio de 0.55 rnm de diáme~r.o,se coloca ver-ticalmente dentro de un plato con mercurio.Encontrar la depresión de la columna de mer-curio si la temperatura es de 20° C. (Resp.2.62 cm.)

22. Los tubos de agua en cierta calle semantienen a una presión de 45 Ib/in2. ¿Cuáles el nivel más alto a que el agua puede subiren un edificio de esa calJe? Considere quelos tubos están enterrados 5 ft debajo de lacalle.

FÍSICA DESCRIPTIVA

23. Un trozo de metal tiene una masa de260.0 g en el aire, 224.4 g en el agua y 231.9g en un líquido (aparentemente) . Encon-trar la 'masa específica de: a) el metal y b)del líquido; e) Identificar el metal y el lí-quido refiriéndose a la Tabla 12A. (Resp.a) 7.30 g/cm3; b) 0.79 g/cm3; e) estaño yalcohol. )

24. Una pieza de joyería tiene una masade 348.0 g, en el aire; de 308.9 g, en el agua,y de 321.0 g, en un líquido desconocido. En-contrar la masa específica de: a) la joya,y b) el líquido desconocido. e) Identificarel metal y el líquido refiriéndose a la Ta-bla 12A. .

13

PROPIEDADES DE LOS GASES

13.1 La atmósfera de la Tierra. Aunqueno nos demos cuenta de ello, en la super-ficie de la Tierra estamos sumergidos enun gran océano de aire, llamado atmós-fera. El aire, que en la Tierra es el gasmás común, es, en realidad, una mezclade varios gases bien conocidos: contieneun 77% de nitrógeno, 21% de oxígeno y1% de argón. El 1% restante comprendepequeñas cantidades de gases, tales comobióxido de carbono, hidrógeno, neón, crip-tón, helio, ozono y xenón.

La atmósfera tiene su máxima densidadal nivel del mar (ver la fig. 13A), y seextiende hacia arriba hasta alturas que va-rían entre 80 y varios cientos de kilóme-

FIg. 13A. El aire envuelve a la Tierra. Se ha exagera-do. la altura para destacar la dlsmlnucl6n de la den-sidad con la altitud. (SI se dibulara a escala, la at-m6sfera sería más delgada que la línea con que se

representa la superficie de la Tierra.)

tras. La aparente inseguridad de la alturaexacta de la atmósfera, no es real, porqueel aire se va haciendo cada vez más tenueconforme más alto se sube, y finalmentese diluye en el espacio interestelar. Porobservaciones, se ha probado que también

el espacio interestelar, que frecuentementese menciona como el más perfecto de losvacíos, contiene una pequ~ña, pero defi-nida, cantidad de materia en estado gaseo-so: teniendo aproximadamente una mo-lécula en cada centímetro cúbico.

La fig. I~B es una sección transversalesquemática de la atmósfera, hasta unaaltura de 4-0 kilómetros. Se aprecia, en ellado derecho del diagrama, que el 50%de la atmósfera queda debajo de los 5.5kilómetros y que el 99% está comprendidaen 32 km. Aunque la mayor parte de laatmósfera queda debajo de estos niveles,se sabe por experimentos con ondas deradio que todavía a varios cientos de kiló-metros de altura hay suficiente aire parareflejar las ondas de radio y regresarlas ala Tierra.

Como la mayoría de los humanos vivi-mos cerca del nivel del mar, nos encon-tramos continuamente sometidos a unaenorme presión, debida al peso del aireque está sobre nosotros. Aunque pareceincreíble, el aire ejerce una presión de casi10 newtons sobre cada cm2. La presión at-mosférica es el peso -de una columna deaire de 1 cm2 de sección transversal y unaaltura que llega desde el nivel del n1arhasta las últimas capas de la atmósfera.

Se define la presión de una atmósferacomo la presión atmosférica media al ni-vel del mar. Su valor se ha encontradoque es igual a 1 013000 dinas¡'cm2 Ó 14.7lb/in')..

presión atmosférica nonnal

= 1 013 000 dinas/cm2

109

110

~ Whlte 11962}---,.--95.9 km

0.2 cm Hg

-5200

~".Mur~ay (1954)27 km

---- 5200--

nSICA DES~PTlVA

42 km

'09lobos pilotos

O globos estátioos

32 km99% de laatmósfeta

8stevens y Anderson!

l' (1935) 22 km-'Piocard (1934) -17.5km-

~onaff(1934)14.5km .

10.

90% de laatmósfera

---

131. Datos Importa ... la Iroposfera., la 8IfraIoaf8ra., 1- alturas alcanzaclaapor .. .......en IlobOl ., -aeroplanaa.

13.2 La masa específica del aire. Se pue-de demostrar el-peso del aire por mediode uno de los más simples experimentosque existen. Una esfera de bronce hueca,con volumen de 1 litro (1 litro= 1 ()()()cm8), se pesa primero cuando está llenade aire y nuevamente cuando. se le hahecho el vacío (ver la fig. 13C). Se en-cuentra que, cuando se le hace el vacío,es 1.29 g más ligera que antes. Si seequilibra la balanza primero, cuando laesfera tiene hecho el vacío, y luego se per-mite entrar al aire, se deberá agregar una

masa de 1.29 g Para volver a restablecerel equilibrio. Ya que ésta es la masa de1000 cm3 de aire, la masa de 1 cm3 seráde 0.00129 g. tsta es la masa específicadel aire.

Si se repite el experimento anterior auna altura de' 8 km, el aire que llena elrecipiente de bronce, pesará sólo una ter-cera parte de lo que pesaba al nivel delmar. La razón de esto es que la presiónes menos a la altura de 8 km y sólo im-pulsa un tercio del aire para llenar el reci-piente, al que se le había hecho el vacío.

PROPIEDADES DE LOS GASES

Pot otra parte, si se bombea aire enuna esfera hueca, se puede hacer que au-mente considerablemente su peso, dándoleuna masa específica mayor. La masa espe-cífica de un gas es, por tanto, normalizaday definida como la masa.de 1 cm3 del gasmedido a la presión y temperatura nor-males. La presión normal se define comola presión de una atmósfera y la tempera-tura normal es de 0° C. En la Tabla 13A

Fil. 13C. Pe.ando el al...

se dan las masas específicas de algunos ga-ses comunes.

Es preciso expresar la temperatura, pues-to que los gases se dilatan con la eleva-ción de su temperatura. La presión normalde una atmósfera está dada en la ecua-ción (13b).

13.3 El barómetro de mercurio. El baró-

metro es un aparato que sirve para medir!a presión atmosférica. Se usan actual-mente dos tipos de barómetros, el baró-metro de mercurio y el barómetro aneroi-de. El barómetro de merCurio fue inven-tado por un físico italiano, EvangelistaTorricelli, hace unos 300 años. El experi-mento de Tonicelli se ilustra en la figu-ra 13D. Se llena con mercurio un tubolargo de vidrio, cerrado por un extremo,

111

h

(o) (b)

Flg. 13D. Experimentode Torrl~lIl. Montale . unbar6metro de mercurio.

colocando el dedo sobre la boca, como untapón, tal como se ilustra en el diagrama(a). Este tubo se invierte, y cuando suextremo abierto se sumerge en el mercurioque llena un vaso, se quita el dedo yqueda como se ilustra en el diagrama (b).En el instante en que se quita el dedo, elnivel del mercurio baja dentro del tubo,y se estabiliza a una altura h. El mercuriobaja hasta que la presión producida porsu propio peso dentro del tubo (al nivelP) es igual a la presión atmosférica ejer-cida fuera del mismo.

La altura a que se estabiliza la columnade mercurio, experimentando al nivel delmar, es de unos 76 cm, ó 30 in. Esta alturaserá la misma, sin importar el diámetrodel tubo o la longitud del espacio vacíoque queda por encima del mercurio. El

TABLA 13A. MASAS y PESOS ESPECÍFICOS DE SEIS GASES COMUNES

I Aire CO2 Helio Hidrógeno Nitrógeno Oxígeno

gm/ cm3 0.00129 0.00198 0.000178 0.00009 0.00125 0.00143

Ib/ft3 0.080 0.124 0.011 0.005 0.078 0.089

112

experimento de Torricelli demuestra queuna columna de aire de 1 cm:2 de áreatransversal y que llega al extremo supe-rior de la atmósfera, es igual, en peso, auna columna de mercurio de la mismasección transversal y 76 cm de altura.

BIas Pascal,* filósofo y matemático fran-cés, fue el pr'..mero que demostró que,cuando se lleva un barómetro de mercurioa una gran altura, como la cumbre deuna montaña, la altura de la columnade mercurio baja considerablemente. Des-ciende debido a que queda menos airepor encima de ese punto y por ello ejer-cerá una presión menor sobre la superficielibre del mercurio, fuera del tubo.

La fig. 13E es un diagrama de un ex-perimento para demostrar que la atmós-fera exterior es la que sostiene a la co-lumna de mercurio del interior del tubo,al presionar hacia abajo sobre la super-ficie libre exterior del mercurio y que noinfluye el vacío existente en el espacio porencima de ~icha columna. Se coloca un

barómetro c~mpleto dentro de un cilindroalto y se extrae el aire mediante una bom-ba de vacío. Conforme el aire sale lenta-mente, la columna de mercu.rio baja demanera uniforme. Cuando se hace un va-cío elevado en el cilindro, el nivel del mer-curio dentro del tubo es el mismo que enel recipiente exterior. Si se deja regresarel aire, su presión fuerza al mercurio otravez dentro del tubo y se le hace subirhasta la altura original h.

La altura del mercurio en el barómetro,mide directamente la presión atmosférica.Comúnmente, se acostumbra expresar lapresión atmosférica en centímetros de lacolumna de mercurio, en vez de dar elvalor de la presión en dinas /cm 2, ó lb/in 2

La presión expresada en centímetros demercurio (el símbolo químico del mercu-

'* BIas Pascal (1623-1662), filósofo religioso, fí-sico y matemático francés. Principalmente notablepor sus descubrimientos en matemática pura y por5').Sensayos con el barómetro. Sus experimentos y.S:).tratado sobre el equilibrio de los fluidos, hacenque se le. considere, j'unto con Galileo y Stevinus,como uno de los fundadores de la ciencia de lahidrostática y. la hidrodinámica.

FÍSICA DESCRIPTIVA

-altura normal

vacío parcial

Fig. 13E. Demostraci6n experimental de que la atm6s-fera es la que sos,tiene la columna de mercurio en el

bar6metro. Al extraene el aire, bala esa columna.

rio es Hg), se tiene a la izquierda de lafig 13B para intervalos de 8 km.

Si se construyera un barómetro que usa-ra agua en vez de mercurio, el tubo delmismo tendría que tener, por lo menos,una altura 13.6 veces mayor que la delbarómetro de mercurio, o sea, 10.34 m.Este instrumento sería demasiado incó-modo para aplicaciones prácticas.

13.4 El barómetro aneroide. La conve-niencia de tener un instrumento pequeñoy portátil para la medida de la presión,llevó al desarrollo del barómetro aneroide.Este aparato se usa frecuentemente comoaltímetro y barómetro combinados. En lafig. 13F se presenta una sección transver-sal del esquema de este aparato y en lafig. 13G (a) se reproduce una fotografíadel mismo. Es una caja metálica plana ypequeña, de tapa flexible, y a la que se hahecho el vacío, que en A se une a unsistema de palancas amplificadoras. El ex-tremo del sistema de palancas se conectaa un pequeño cable, C, que está enro-llado en torno a un eje, N, que lleva un

PROPIEDADES DE LOS GASES 113

altitud

8

Flg. 13F. Corte transversal esquemótico de un bar6metro anerolde.

indicador l. Si aumenta la presión atmos-férica P, ia tapa flexible es presionada ha-cia abajo en A. Esto hace bajar el extremodel sistema de palancas en By, gracias aleje D, hace subir el punto C. El cable seenrolla en tomo al eje N, haciendo girarel indicador 1 hacia la derecha de la es-cala, marcando una presión más alta. Laescala del barómetro aneroide se calibrapor comparación con un barómetro de

mercurio, de manera que la presión estásiempre dada en cm o en pulgadas de Hg.

Ya que la presión atmosférica disminuyeconforme uno sube a mayores altitudes,el barómetro se usa con frecuencia paradeterminar la elevación. De hecho, los ba-rómetros aneroides se construyen frecuen-temente con una escala de altitudes juntocon la de presiones. Estos instrumentos,llamados altímetros, se encuentran en el ta-

fig. 13G. (a) Bares tro an.roide usado para m.dlr tél presión atmos*,rica. (b) Barógrafo o baró...e-tro N,III...lo, auto...átlco an.,ol.le.

114 FfsICA DESCRIPTIVA

blero de instromentos de cualquier aero-plano o globo dirigible. Algunos de estosinstromentos son suficientemente pequeñospara POdersellevar en el bolsillo como sifueran un reloj, y hay otros que son tansensibles que pueden indicar cambios deelevaci6n de 30 cm. La escala de alturasgeneralmente tiene la marca de cero cerca

de la presi6n correspondiente al nivel delmar, como se ven en la fig. 13F.

La presión atmosférica varía, no sola-mente con la altitud, sino también con eltiempo. Aunque estas últimas variacionesson pequeñas y no siguen ninguna leyregular, se pueden usar, y de hecho sonusadas, por las estaciones metereol6gicas

......... A A

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A-..A A

Re. 1aH. ... d ".CO "pico. Nod....

PROPIEDADES DE LOS GASES

como ayuda para predecir las condicionesdel clima. 'Si en un cierto lugar se midecuidadosamente la altura exacta del bar6-metro, a lo largo del día y de las estacionesdel año, se observarán ligeros cambios.Cuando empieza a disminuir la presi6n ba-rométrica, se tiene una señal precisa de queva a cambiar el tiempo atmosférico. Sicontinúa bajando la presi6n, generalmente,se presenta la lluvia. Conforme pasa la tor-menta, el bar6metro vuelve a subir. Vemosque, por una cuidadosa observaci6n de loscambios de la presi6n barométrica, un ob-servador puede predecir el clima para eselugar.

13.5 La presión atmosférica normal. LapfP..si6natmosférica normal se define comola presi6n equivalente a una columna demercurio de 76 cm de altura, cuando latemperatura es de O°C (29.92 in a 32°F).Para calcular la presi6n equivalente endinas por centíme,trocuadrado, se multipli-ca esta altura por la masa especüica delmercurio y la aceleración debida a la gra-vedad.

76 X 13.6 X 980 = 1.013 X 10&

1 atmÓsfera = 1.013 X lQ6dinasjcm2.

( 13a)

En meteorología se acostumbra lnedir lapresi6n atmosférica en bares y milibares.

1bar = 1 000000 dinas/cm:J,

1milibar= 1000 dinasjcm2.

Y, por tanto,

1 atmósfera= 1 013 bares

= 1 013 milibares(13b)

Las oficinas meteorológicasgubernamen-tales obtienen registros diarios de la pre-si6n barométrica en nluchos lugares delpaís. Estos registros se obtienen automáti-camente en cada estación, por medio deun bar6grafo aneroide esPecial, como elque se ilustra en la fig. 13G (b). La preh

115

si6n se registra mediante el trazo que dejauna pluma movida por el barómetro yque va grabándose sobre un papel enro-llado en un tambor que gira lentamente,moYido por un mecanismo de relojeria.Todos esos registros se agrupan en laoficina meteorológica gubernamental y fre-cuentemente se publican mapas en que seseñalan las regiones de presi6n unifonneen el continente norteamericano y lugarescercanos. En la fig. 13H se presenta unode estos mapas, donde las líneas irregu-lares unen los puntos de igual presi6n. Losnúmeros con cuatro cifras significativas,que están en ~ líneas, indican la pre-sión en milibares (ver la ecuación 13b)

Las regiones de baja presi6n, que indi-can clima lluvioso, se mueven lentamentea través del mapa, a veces aumentandoen intensidad y otras rompiéndose y des-apareciendo. En este diagrama es especial-mente notable el área de baja presi6n queestá en la parte central al norte de losEstados Unidos. Alrededor de cada puntode muy baja presi6n, como éste, las masasde aire frío y caliente giran en direccióncontraria a las manecillas del reloj.

Conforme bajan de los polos frentes deau'e frío, tales como la línea AB, y avanzancontra las masas de aire caliente, como lalínea EF, que vienen de las regiones ecua-toriales, empujan dicho aire caliente pordelante de ellos y para arriba, hasta for-nlar un frente estacionario del tipo ilustra-do por cn. En ese lugar, el aire calienteque está arriba es enfriado por el aire fríoque queda debajo; y, al llegar a tempera-turas inferiores a la de saturación, se pro-duce la precipitación de lluVia o de nieve.Las áreas de alta presi6n son índice debuen tiempo.

13.6 Experimentos para observar la pre-sión atmosférica. La presión atmosféricanormal de 1 mill6n de dinas/ cm2 (másexactamente 1013000 dinas/cm2), noproduce la impresión de ser muy grandepara una persona corriente; pero, si laconsideramos actuando sobre una gran su-perficie, esta presión produce una fuerza

116p

,-+" a la bombade vacío

abierto

Ag. 131. Experimentos que ilustran la magnitud de lapresión atmosférica.

tremenda. Consideremos el bulbo al vacíode una lámpara incandescente de 8 cm dediámetro. Una esfera de este diámetro tie-ne un área aproximada de 200 cm2 y,por tanto, se ejerce una fuerza total de 200millones de dinas, o sea el peso aproxima-do de 200 'kilogramos, empujando haciadentro las paredes de la lámpara. Las pa-redes delgadas de vidrio, pueden resistiresta fuerza debido a que está distribuIdade manera uniforme en toda la superficie.Si se aplicara en un solo punto, segura-mente que rompería la lámpara. Un reci-piente esférico o cilíndrico puede tener pa-redes delgéi.dasy resistir enormes presiones,mientras que un recipiente de paredes pla-nas, no las resiste. Por esta razón los reci-pientes grandes usados para almacenarlíquidos o gases, tienen las paredes curvas,y no planas.

En la fig. 131 se presenta un experi-mento que ilustra la presión atmosférica.En el diagrama (a) hay una membranadelgada de goma elástica, atada sobre laboca de un frasco de vidrio. .

Cuando se coloca la goma, la presióndel aire dentro del frasco es la misma quefuera. Si ahora se suprime la fuerza inte-rior hacia arriba mediante una bomba devacío, la fuerza exterior empuja a la mem-brana hacia abajo, como se ilustra en eldiagrama (b). '

La fig 13J explica el principio de larespiración en el cuerpo humano. La con-tracción muscular que lleva hacia abajoel diafragma, reduce la presión en los pul-

. FÍSICA DESCRIPTIVA

mones y entonces la presión atmosféricaimpulsa el aire hacia dentro de ellos. Elregreso del diafragma hacia arriba, au-menta la presión y comprime los pulmo-nes, haciendo salir al aire mezclado conbióxido de carbono.

En la fig. 13K se presentan otros dosexperimentos. El primer diagrama repre-senta un cilindro y su pistón en posicióninvertida. Bombeando el aire de la cámara

del cilindro hacia fuera, la presión atmos.férica levanta el pistón con los PeSOs W,colgados. Con un pistón circular, de sólo12 cm de diámetro, se puede levantar unpeso total de 1 500 newtons. El segundodibujo representa lo que ocurre cuando sebebe agua de un vaso mediante una paja(popote). El agua no es extraída por me-dio de la paja, sino que es empujada desdeel exterior. La succión en el extremo su-

perior de la paja, extrae el aire y elloreduce la presión dentro de la misma; en-tonces la presión atmosférica en la super-

\1~ontra1a do aire

,1

bolsas de telahúmeda

Flg. l3J. Demo'tración experimental de cómo respirael cuerpo humano.

PROPIEDADES DE LOS GASES

fide libre del líquido del vaso, impulsa elagua por el interior de la paja hacia arri-ba, hasta la boca. En cierta fonna, fun-ciona de manera semejante al sifón.

13.7 Los hemisferiosde Magdeburgo. En1654 atto von Guericke* efectuó, eQ pre-

Fig. 13K. La presencia de la presión atmosférica y suacción en todas direcciones.

sencia del emperador Fernando 111, enRegensburgo, el famoso experimento de loshemisferios de M agdeburgo. Se juntaron

* Otto van Guericke (1602-1686), filósofo, abo-:gado, físico y magistrado alemán. Incitado por losdescubrimientos de Galileo, Pascal y Torricelli, pro-dujo la primera bomba de vacío. A él se debe,en astronomía, la predicción del regreso periódicode los cometas.

117

dos hemisferios ,de cobre de unos 60 cm dediámetro, para formar una esfera, tal comose ve en la fig. 13L. Se puso entre ellosun anillo de cuero empapado en aceite ycera para que fonnara un cierre hermé-tico. Después que se hizo el vacío dentrode la esfera, tiraron ocho caballos porlado, en sentidos opuestos de los hemjg...ferios sin lograr separarlos. No es de ad-mirar que esto sucediera, ya que la fuerzanecesaria para separarlos, que se puedecalcular fácilmente, llega a unas tres to-neladas.

Flg. 13L. Los hemisferios de Magdeburgo, diseñado.por Otto von Guericke.

paEGUNTASy PROBLEMAS

1. Definir o explicar brevemente cada uno será la columna de líquido si la presión at-de los siguientes elementos: a) masa específi- mosférica equivale a 76 cm de Hg? Ver laea de un gas;. b) presión atmosférica normal; Tabla 12A. (Resp. 13.1 m.)e) bar, y d) milibar.

2. Trazar una gráfica de la presión atmos-férica en centímetros de mercurio contra alti-tud en millas. Escala de millas de O a 25horizonta.mente y las presiones correspondien-tes en la escala vertical.

3. Explicar brevemente la construcción 'Yprincipios de un barómetro de mercurio.

4. Hacer un diagrama de un mapa cli-matológico de Norteamérica como se presen-taria en un día particular. ..Mostrar un áreade ALTApresión de 1 206 milibares en el cen-tro del mapa y una de BAJApresión de 1002en el noroeste sobre el estado de Wáshington.

5. Si se construye un barómetro usando al-cohol en vez de mercurio, ¿de qué altura

6. La pantalla circular de un cinescopiode TV tiene 20 in de diámetro. Ya que es-tos tubos tienen un vacío bastante completo:¿cuál es la fuerza total sobre la pantalla?Suponer que la superficie es plana y la pre-sión atmosférica es equivalente a 14.7 lb/in2.

7. Se hace el vacío a una esfera tmetálicahueca, de 10 cm de diámetro. Calcular lafuerza total hacia adentro sobre la superficiesi la presión atmosférica equivale a 76 cmde Hg. (Resp. 3 182 newtons.)

8. Si se hacen unos hemisferios Magde-burgo con un diámetro de 10 in, ¿cuál es lafuerza mínima necesaria para separados sise ha hecho un vacío completo. Adopte lapreSión atmosférica como 14.7 lb/in2.

118

9. ¿Cuál será la presión barométrica me-dia en millbares a una altura de 8 km sobre~I nivel d~1 mar? Ver la fig. 13B (Resp.360 milibares.)

10. A un bulbo de vidrio hueco, con undiámetro de 12 in, se le hace el vacío. ¿Cuán-tb -máspesará cuando esté lleno de aire a pre-si6n atmosférica normal y Oac? Ver la Ta..bla 13A.

11. Un avión cl)n cabina hermética man-tiene una presión interior de 10 lb/inl, cuan-do vuela a una .aItura de 16 km. Encontrarla fuena total hacia afuera, ejercida sobrecada. ventana rectangular de 12 in por 15 in.(Resp. 1521 lb.)

12. Encontrar la presión total, en lb/inl,sobre el fondo de una piscina donde el aguatiene 10ft de profwlClidad. Considere lapresi6n atmosférica nonnal actuando sobrela superfICie del agua.

13. Un globo esférico, Ueno con aire, tie-ne un diámetro de 60 ft. ¿Cuánto perderá depeso si se reemplaza el aire por helio? Con-sidere presion~6 atmosféricas normales y Oacde temperatura. (RArp. 7 804 lb.)

14. El cilindro y el pistón de la fig. 13Ktienen un diámetro interior de 15cm. ¿Cuál

riSICA 8ESCRlPTIVA

es la carga máxima en kg, que puede levantarel pistón cuando se hace el vacío en el cilin-dro? Considere la presión atmosférica equi-valente a 76 cm de Hg.

15. A un tubo cilíndrico de 12 in de diá-metro, con placas planas de vidrio en losextremos, se le hace el -vacío. ¿Cuál es lafuerza total hacia adentro -ejercida por elaire exterior sobre cada pl~ de los extre-mos? (Resp. 1693 lb.)

16. Si un bote cilíndrico de hojalata tiene4 in de diámetro y 4 in de alto y se le haceel vacío, ¿cuál será la fuerza. total sobre:(J) cada extremo, y b) la pared lateral?

17. Un hemisferio de Magdeburgo, de 22in de diámetro, tiene una placa de vidriogn1e8Qcolocada sobre su abertura y luegose le hace el vacío. Calcular la fuerza haciaadentro sufridat por el vidrio, suponiendouna presión atmosférica de 14.7 lb/ina. (Rasp.5587 lb.)

18. Si un barometro contiene agua, envez de mercurio, ¿a qué altura llegará la co-lumna de agua a una altitud de 16 km? Verla fig. 13B.

14

FLUIDOS EN MOVIMIENTO

El nombre de fluido se aplica a cual-quiec sustancia capaz de fl'Q.ir,y compren-de. tanto a los gases como a 100líquidos.Ya que todos los líquidos tienen masa, lasegunda ley del movimiento de Newton in-dica que se necesitan fuerzas no equilibra-das para ponerlos en movimiento. Por serde interés práctico, consideraremos variasmaneras de obtener y aplicar eStas fuerzasa los flúidos y qué factores regulan al mo-viiniento resultante. Conviene que el estu-diante recuerde en estas discusionesel he.cho de que los líquidos son prácticamenteincompresibles.14.1 Velocidad de salida por un orificio.En muchas ciudades, los sistemas de abas.-tecimiento almacenan agua en grandes de-pósitos, que se sitúan en lo alto de las co-linas o bien sobre una torre, y de allí se lle-va el agua por tuberías hasta las fábricas.comercios y hogares de toda la ciudad.Este modo de distribuir el agua se llamasistema por gravedad.

Cuando se abre un orificio en un ladode un recipiente que contiene un líquido,la velocidad con que fluye el líquido através del orificio es mayor cuanto másabajo está el punto donde se hace la aber-tura. Aquí, la fuerza no equilibrada quepone en movimiento al líquido, es la gra-\'edad a que actúa como la presión ejerci-da por el líquido. Ya hemos visto que lapresión, a ,una cierta profundidad) esla misma en todas direcciones. A una pro-fundidad hi (ver la fig. 14A), el líquidoejerce una presión Pl contra las paredesy éstas ejercen otra presión igual y opuestacontra el líquido.

En el instante que se hace una aberturaen el recipiente, la p~ión de la pared

desaparece en ese puríio y la presi6n inte-rior del líquido empuja a éste frente alagujero, dándole una aceleración haciaafuera perpendicular al plano de la aber....tura. Para encontrar la velocidad de salida,

14A. Lawloc de .anda del agua par .. ....fiel. lateral, au nta con la profuncllclacl.

considérese la energía potencial del líquidoque llena el recipiente cuando se abre elorificio;. y luego, un poco más tarde, cuan-do se ha escapado una pequeña cantidadde líquido, bajando el nivel de la superficielibre en una distancia t.

Por lo que se refiere a la energía, elcambio efectuado es equivalente al descen-so de la capa superior del agua una dis-tancia h, siendo convertida su energía po--tencial mgh en la energía cinética imv2de la corriente que sale. Por la ley de laconservación de la energía,

mgh.= imrr ( 14-3.)

Ya qne m es la misma en los dos ladosde la ecuación, puede suprimirse m y seobtiene:

119

120

I v V2gh I

el mismo resultado que dana la Jey de lacaída libre de los cuerpos. En otras pala-bras, la velocidad de salida de un líquidoa cualquier profundidad h, equivale a lavelocidad que adquiriría por caída libredesde esa misma altura. Esta relación fuedescubierta por Torricelli * y por ello seconoce como teorema de T omcelli.

Es interesante señalar-que la trayectoriaparabólica seguida por una corriente delíquido que sale a través de un orificio, estal que el máximo alcance horizontal R(véase el diagrama) se obtiene con unorificio que esté a la mitad de altura entreel fondo y la sUPerficielibre del líquido,y que los orificios equidistantes de él, porarriba o por debajo, de ese punto, tienen

(14b)

- --

---

------ - - --

flg. 148. Con frecuencia.. usa un tubo de Pitot paramedir la velocidad del agua en una corriente.

alcances iguales entre sí, pero menores queel primero. Se deja como problema para eJestudiante comprobar esta afirmación.

14.2 Medida de la velocidad de una co-rriente. Un método para medir las velo-cidades del agua en un arroyo o un no.

* Evangelista Torricelli (1608-1647), físico ymatemático italiano disdpulo de Galileo. Se le re-cuerda principalmente por sus articulos científicossobre el movimiento de los fluidoS) la teoría de losproyectiles y la 6ptica geométrica,

FfslCA DESCRIPTIVA

consiste en el uso de un tubo en forma deL, llamado tubo de Pitot . Ver la figura14B. Si el agua estuviera en reposo, subi-tia en el brazo vertical hasta la misma altu-ra del nivel de la superficieexterior.

La presión ejercida por la corriente enmovimiento, hace que el agua suba a unaaltura h por encima de aquel nivel. Severá que esto es el teorema de Torricellia la inversa: la altura h mide la velocidadde la corriente en movimiento, por mediode la eco (14a). Despejando h obtenemos:

(14c)

El segundo miembro rTj2g, se llama po-tencial de caída (altura dinámica) de lacorriente en movimiento.

El método más sencillo para medir lavelocidad de un chorro de agua es dirígir-lo verticalmente, hacia arriba, y calcularla velocidad a partir de la altura hasta laque sube, usando la ley de la caída librede los cuerpos (ecuación 14b).

14.3 Flujo a través de una tubería. Unode los factores que determinan el flujo delagtJ.él,aceite o gas a través de un conductoo el paso de la sangre a través de las ,ar-terias y venas del cuerpo, es la resistenciaque oponen a la corriente las paredes quelo limitan. Considérese el experimento ilus-trado en la fig. 14C; en que el agua de undep6sito vertical qúe está a la izquierdase hace fluir a través de un tubo horizon-tal de vidrio conectado al fondo. Mediantetubos verticales, se mide la presión en cin-co lugares a diferentes distancias del depó-sito, y se regula la velocidad de la c()orriente mediante la válvula del extremoderecho. Se mantiene la corriente de aguaalimentando el recipiente -y se tiene unvertedero abierto para que s~ nivel seafijo, obteniéndose así una presión constan-te, y por ello un flujo uniforme.

COQla válvula cerrada, el agua buscan..do su propio nivel, sube en todos los tubos

FLUIDOS EN MOVIMIENTO

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121

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e:.:' Dválvula

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v ,.

Flg. 14C. Flulo d. agua por un tubo indicando la carga d. velocidad h" la carga d. roza.rtiento hly la carga d. presi6n hp.

verticales hasta el mismo nivel sr. Estasalturas iguales indican presiones igualesen todos los puntos a lo largo del tubo,desde A hasta E. Cuando se abre parcial':mente la válvula y se obtiene una corrientecontinua, el agua de cada tubo verticalbaja a distinto nivel en situación semejantea la ilustrada. Cuanto más se abre la vál-vula, más rápido es el flujo y más inclina-da la pendiente de la recta abcde.

Como las alturas de las columnas aA,

bB, cC, dD Y eE miden en todo momentolas presiones que hay en los puntos A, B,C, D y E, respectivamente, la línea rectaae indica un descenso uniforme a todo lolargo del tubo AE. Este descenso de pre-sión, indicado en la figura con k, se debeal rozamiento del fluido dentro del tubo yse le llama Pérdida de carga por rozamien-to. Midiendo la pérdida de presión condiferentes velocidades de la corriente, pue-de verse por comparación de los resultados,que k, es exactamente proporcional al cua-drado de la velocidad v. Esto puede ex-presarse en una ecuación.

k, = Klf (14d)

donde K es la constante de proporciona-lidad.

La caída de nivel desde s, en el depósito,hasta a, en el primer. tubo vertical, midela pérdida de presión en A, donde el aguaestá prácticamente en reposo en el recipien-te y se le va a dar velocidad hasta un ciertovalor v, al entrar en el tubo. Según dice elteorema de Torricelli, la pérdida de energíapotencial de s hasta a, se convierte en ener-gía cinética de la corriente, y por las ecua-dones (14b) Ó (14c).

kv= zr/2g (14e)

Aquí.kv es igual a sa y es el potencialde caída (carga por velocidad). .

La presión final en el punto E, dondeel agua está saliendo del tubo, se mide di-rectamente por la altura de la columna delíquido Ee, y se le llama carga de presiónk". Resulta que la presión total k dispo-nible en el depósito, se descompone, prime-ro en una pérdida de carga por velocidad

1'22

k", luego en una pérdida de carga por ro-zamiento h" dando como presi6n finalh"= h - h"- h,. Para todoslospuntosalo largo de un tubo unüorme, la pérdidade carga por velocidad es constante, mien-tras que la pérdida por rozamiento au-menta proporcionalmente con la distanciaque se ha recorrido desde la entrada dellíquido.

Las ecuacionesanteriores se aplican tam-bién al flujo de los gases por tuberías,cuandó la presión es relativamente peque-ña. Si la presión es com~iderable,debenmodüicarse las ecuaciones para tomar enconsideración la compresibilidad de los ga-ses.

14.4 V1Sd>sidadde los líqmdos. Si sesomete a presión un jarabe espeso o unaceite pesado y se le hace fluir a través deun tubo, no se obtendrá una rapidez deflujo tan grande como cuando se mandagasolina o agua por el mismo conductocon la misma presión total. Esta diferenciaen la rapidez del flujo, se debe a la resis-tencia interna del fluido llamada viscosi-dad. En ciertos aspectos, la viscosidad secomporta ~ forma parecida al rozamientoentre los sólidos,Pero en otros aspectos,encambio, es bien düerente.

Considere el flujo lento y continuo delagua - sobre el lecho arenoso de un do -oarroyo. Vea la fig. 14D. Se encuentra

:..~-: ~ .. .

Flg. 14D. El qgua d. un ,10 fluye mál aprlla en laluperflcle.

que la velocidad del flujo es máxima enla capa superficial del líquido y disminuyea ma.yor profundidad, llegando a ser apro-ximadamente cero en el fondo.

Si imaginamos el agua dividida en ca-pas delgadas, como se indica en la figura,

FíSICA DESCRIPTIVA

verá que el movimiento es tal que lascapa~ se deslizan una respecto a otra. De-bido a las fuerzas de atracción interma-lecular; el lecho arenoso del lio tiende adetener la capa sobre el fondo y evitar quese mueva; la capa líquida sobre el fondo,a su vez, tiende a detener a la segundacapa, y esta segunda capa detiene a la ter-cera, ete. Ya que la división en capas esarbitraria, vemos que debe haber fuerzasde rozamien~ en todo el líquido que tien-den a oponerse a su movimiento relativo.Cuanto mayor es la resistencia al movi-miento, más grande es la viscosidad.

Se ilustra en la fig. 14E una demostra-ción sencilla-del efecto de la visco6idadenel flujo de un líquido en tomo a un obs-táculo. Dos pesos idálticos se sueltan si-

glicerina agua

141. La ra con ti- cae un pelO al fondo,da una -mediR'" la "'Icolldad.

multáneamente, uno en agua y otro en gli-cerina. El peso que está en el agua se vamás rápidamente al fondo, mientras queen la glicerina el descenso es muy lento.

En la fig. 14F, se .señala una demostra-ción de la viscosidad de los gases. Se sus-pende por el centro un diSco de cartónmediante un hilo, colocáI!dolo cerca deotro disco de madera, pero sin tocado.Cuando este último se pqne en rotaci6nrápida, el disco de cartón empieza a girar

I'LtJJDOS EN MOVIMIENTO

cartón

madera

14P. D8Wdoa la vlHOIIcIad.. al.., el disco.earNn .. arrastradopor el discoque lira debalo de 61.

en la misma dirección y gradualmente 'vaganando velocidad.

14.5 Medida de la viscosidad. El mé-todo más corriente para medir el coefi-ciente de viscosidad de los líquidos, es de-terminar la rapidez del flujo del líquido através de un tubo de orificio relativamenteestrecho (véase la fig. 14G). El rozamiento

- -----.--.-----

- --

Ab

liiIQFIS. 14G. La viscosidad de un liquido.. mide por la

rapidez con que ftuye por un tubo e.trecho.

123

entre las secciones próximas del liquido ylas paredes del tubo, tienden a detener elliquido.

Si imaginamos al líquido dividido en ci-lindros concéntricos, cada cilindro se irádeslizando longitudinalmente por dentrodel otro, siendo máxima la velocidad delflujo en el centro y disminuyendo al alejar-se del mismo para hacerse cero junto a lasparedes del tubo. Este movimiento tienecierta semejanza con el deslizamiento delas seccionestubulares que forman un te-lescopio plegadizo.

14.6 Principio de Bemoulli. Cuando unrío corre por una llanura, el agua fluyelentaInente; pero cuando pasa por una ca-ñada estrecha, su velocidad aumenta. Demodo semejante, cuando corre un líquidoo un gas a través de un tubo y llega a unasección reducida, su velocidad aumenta alentrar en dicha angostura y disminuye denuevo al salir por el otro extremo del pasoestrecho. Esto se ilustra por el experimentopresentado eñ la fig. 14H.

La instalación es igual a la que usamosen la fig. 14C, excepto por el hecho de queel tubo horizontal contiene una secciónDEcon la mitaq de área transversal que elresto de la tu1(>ería.Cuando se abre la vál-vula y se produce una corriente continua,el agua de los tubo verticales habrá bajadode sr a los nuevos niveles a, b, d, etc., quese indican. Se debe notar que, cuando elagua entra al estrechamiento C, la.veloci-dad del flujo aumenta y la presi6n dis-minuye de c a l. Más adelante, al salirdel tubo estrecho en F, la velocidad dis-minuye y la prr.sión sub~ de f a k.

Esto ilustra el principio de Bernoulli, quese puede expresar como sigue: en los lu-gares donde la velocidad del fluido es gran-de, su presión es baja, y donde la velocidaddel fluido es pequeña, la preswn es alta.Las caídas de presión de a a b, d a e yg a h, representan las cargas por rozamien-to correspondientes a las seccionesde tuboAB, DE y GH respectivamente. La caídade s a a, da directamente la carga porvelocidad U12/2g para las secciones del

124 FÍSICA DESCRIPTIVA

((, ~alimentación de agua

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IIII

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vilvula

-

Fig. 14H. Al aumentar la vetocldad del fluido, aumenta la pérdida de presl6n; y, donde la veloci-dad disminuye, la presl6n se eleva.

tubo AB Y GH, Y a ella se debe agregarla caída de e a 1 para obtener la cargade velocidad V22j2g en la sección del tuboDE. Se puede confinnar por simples me-didas de laboratorio, que el resultado de lareducción del área transversal del tubo a

la mitad, dobla la velocidad y cuadruplicala carga .de velocidad.

14.7E~mentos para ilustrar el prin-cipio de Bemoulli. El principio de Ber-noulli es mencionado 'con frecuencia comouna paradoja física, y es la base de mu-

aire¡ P1

A..!1li. B

C-nTDP1

(o) (b)

chos fenómenos interesantes. Se describenen seguida varios experimentos en que in-terviene este principio. En la ilustración141 (a), se lanza el chorro de aire de unaboquilla entre dos hojas de cartón suspen-didas a unos 7 Crfl de separación y soste-

(o)

(b)

FIg. 14J. Experimentos que Indican las fuerzas quelevantan el techo y el ala de un avión cuando sopla

Fil. 141. Demostraclone. del principio de Bemoulli. una corriente r6plda de aire lobre IU cara luperfor.

FLUIDOS EN MOVIMIENTO

nidas mediante cuerdas. En lugar de quesean separados los cartones, como pudieraesperarse, se acercan uno al otro. La razónde esta acción, es que entre las dos hojasde cartón donde la velocidad del aire esgrande, la presión p= es pequeña. En lassuperficies exteriores donde el aire no estáen movimiento, la presión Pl (presión at-mosférica) es grande y empuja las hojasde cartón una hacia la otra.

En el segundo diagrama 141 (b ), sesopla aire a través de un orificio en elcentro de un disco AB. Cuando se colocauna pieza de papel CD cerca de la aber-tura, no resulta empujado por el chorrode aire, sino que es atraído hacia el disco.Donde la velocidad del aire entre el disco

(o) (b)

Fig. 14K. Demostraciones relacionadas con el principiode 8emoulli.

y el papel es grande, :3. presión es baja,y la mayor presión Pl de la cara inferiordel papel lo empuja contra el disco.

Con frecuencia se oye decir que, duran-te una tormenta, ciclón o huracán, sonlevantados los techos de algunas casas sinque sufra ningún otro daño la ~. Estono es un accidente tan extraño como pu-diera pensarse, ya que tiene una explica-ción sencilla. Un viento a gran velocidad,soplando sobre el techo, crea sobre ésteuna baja presión y la presión atmosféricadentro de la casa, donde no sopla el viento,levanta el techo y lo desprende. En la fi-gura 14} se ilustra un excelente experi.mento para explicar este fenómeno. Sesopla un chorro de aire comprimido sobrela superficie de una tabla, en la cual seha colocado un modelo de madera ligerasimulando el techo de una casa o el alade un avión fijo con bisagras contra lasuperficie de la tabla.

125

El diagrama (a) de la fig. 14K, repre-seQta un tipo corriente de pulverizador deperfumes. Al apretarse la perilla de goma,pasa una corriente de aire por el tubo cen-tral, creando una baja presión /Jr¿ dentrode la conexión. La presión atmosférica Plsobre la superficie del líquido, empuja allíquido y lo hace subir por el tubo verticalpara ser arrastrado hacia la derecha porla corriente de aire.

La mayoría de las pelotas tiradas por ellanzador en el juego de béisbol, describentrayectorias curvas, algunas hacia arriba oabajo, y otras haCia la izquierda o la dere-

<::9- <B>t t t

agua

Flg. 14L. Demostraciones relacionadas con el principiod. Bemoulli.

chao Este es un arte logrado al lanzar laspelotas girando rápidamente en tomo adeterminado eje. Para producir una curvahacia abajo, se le da a la pelota una rota-ción en el mismo sentido del avance, talcomo se indica en el diagrama (b) figu-ra 14K. Para entender más fácilmente estailustración, podemos imaginar que, en vezde avanzar la pelota hacia la derecha, lasuponemos detenida; pero todavía girandoen tomo a cierto eje y en medio de una

Fig. 14M. Montale experimental d. 101 manómetrosde mercurio para medir la presión del aire en varios

pun'os d.1 ala d. un avi6n.

126

corriente de aire que va de derecha a iz-quierda..

En la superficie superior, donde el vien-to y la pelota se mueven en sentidos opues-tos, el aire es retardado por el rozamiento,dando lugar a una región de alta presión.En la superficie inferior que se -muevepara donde va el viento, éste mantiene altasu velocidad y crea una zona de baja pre-si6n. La fuena resultante hacia abajo haráque la Pelota caiga más aprisa de lo nor-mal.

Si se coloca una Pequeña pelota de pingpang en una corriente vertical de aire ode agua, subirá hasta cierta altura porendma de la boquilla y seguirá a esenivel, girando y brincando sin caer. Si lapelota se va hacia un lado como se ilustraen la fig. 14L, el fluido que va por ellado izquierdo hace que la pelota gire se-gún se indica en la figura. Siendo máselevada la velocidad en el lado izquierdo,se produce una baja presión. La alta pre-si6n del lado derecho, donde 1&velocidades más lenia, empUja a la pelota otra vezal centro de la corriente de fluido.

Este mismo principio se ha aplicado a lanave Fletner(de rotores, que, en lugar deusar velas, emplea dos altos cilindros gira-torios accionados por motores. Como seilustra en el esquema visto desde arriba(fig. 14L), cuando el viento incida late-ralmente al barco, se obtendrá un impu1so

IiSICA DESCRIPTIVA

hacia adelante. Hace unos pocos años atra-vesó el Atlántico una nave de este tipo,llevando cargamento. Aunque tuvo éxitoen sus viajes, la incertidumbre de contarcon vientos fuertes impidió que se confiaraen barcos de este tipo.

14.8 El efecto de sostén producido en elala de Wl aeroplano. La m~yor parte delefecto de sostén del ala de un aeroplano,se debe a su supedicie superior. Este des-cubrimiento fue hecho en túneles aerodiná-micos de laboratorio, montando seccionesde ala en corrientes Ii;pidas de aire y mi-diendo la presión de distintos puntos de lasuperficie, mediante manómetros. La figu-ra 14M nos indica cómo se puede haceresto con man6metros de mercurio conec-tados mediante tubos largos a los pequeñosorificios de las superficies superior e infe-rior del ala.

Cuando el aire está quieto, todos lostubos de los man6metros marcan la mismaaltura en sus dos ranlas y se tiene la pre-sión atmosférica normal po en todos lospuntos dentro del ala hueca y tambiénfuera de ella. Cuando se pone en movi-miento la corriente de aire, los manóme-tras conectados a la superficie superiorindican un descenso por debajo de la pre-sión atmosférica, mientras que los queestán en la superficie inferior indican unaumento de presioo. Ya que la presión

~~ _-:

--~~-~~~. 1.1 I

I II I II II~ I

1IIIIII

Flg.14N.DlCIII'CIIIMII. l. . , . la, IJ.. .... - ano.An8IIe. . 10.

FLUIDOS EN MOVIMIENTO

atmosférica en la st,lperficie exterior estabaequilibrada antes en todos los puntos porla presión atmosférica del interior del alahueca, las lecturas manométricas k1. y ~{J-m directamente las presiones resultantessobre las cubiertas del ala en ambas super-ficies.

127

En la fig. 14N se da una. representacióngráfica de las presion~ manométricas. Nó-tese el gran efecto que tiene en la super-ficie superior comp~do con la inferior,principalmente en los puntos cercanos alborde delantero.

PREGUNTASY PROBLEMAS

1. Se produce un agujero en la pared deuna torre dep6~ito de 20 ft por debajo dela superficie libre del agua. ¿Cuál será lavelocidad con que sale el agua por el agu-jero. (Resp. 35.8 ftlseg.)

2. Se. perfora un agujero en la pared deun tanque de agua 2.5 m por debajo de lasuperficie libre del agua. Encontrar la velo-cidad del agua que escapa por el agujero.

3. Se conecta un tubo horizontal corto álexterior de un tanque de agua a 8 ft porqebajo de la superficie libre del agu'a. Si sehace un agujero por la superficie de arribadel tubo, a) ¿con qué rapidez escapará elagua?; b) ¿a qué altura llegará a subir e]chorro? (Resp. a) 22.6 ftlseg; b) 8.0 ft.)

4. Definir o explicar brevemente cada tér-mino de los siguient~s: a) carga por veloci-dad; b) ca1W1por fricción, y e) carga depresión.

5. Exprese el teorema de Torricelli y tra-ce un diagrama que ilustre los principios qtteintervienen en dicho teorema.

6. Exprese el principio de Bernoulli y dealgunos ejemplos prácticos de su aplicación.

7. Hacer un diagrama y explicar la di..rección en que debe girar una bola de béis-bol si el lanzador la hace curvar hacia unbateador derecho.

8. Haga un diagrama y explique por quéla forma de la superficie de encima del alade un avión es de importancia para deter-minar su capacidad elevadora.

9. ¿Por qué es tan fácil que se levante eltecho de una casa cuando ocurre un venta.-rrón de gran velocidad?

10. Hacer un diagrama y explicar losprincipios I que intervienen en el funciona-miento de un pulverizador de perlume.

15

TEMPERATURA Y DILATACION

La temperatura es una cantidad relativay, al igual que el tiempo, es difícil de de-finir en términos sencillos. La palabra tem-peratura significa la intensidad del calor,y puede definirse como un número medidoen una escala. Para ser más precisos, latemperatura absoluta de un cuerpo es pro-

flg. "15A. El aire .. dilata al calentane y empula alagua hacia abalo. Al enfrlane, .. contrae y sube

el agua.

porcional a la energía media de las mo-léculas que componen el cuerpo.

15.1 Termómetros. El primer registroauténtico de un termómetro se remonta ala época de Galileo. El termómetro de Ga-lileo que se representa en la fig. 15A, con-siste en un tubo estrecho de vidrio, conuna abertura en un extremo y un bulboen el otro. El extremo abierto del tubo sellena con agua coloreada y se invierte den-tro de un vaso con agua. Cuando sube latemperatura del aire que rodea al termó-metro, el aire de dentro del bulbo se dilatay fuerza al agua hacia abajo. Si se enfríael bulbo, el aire interior se contrae hacien-do subir agua por el tubo (para más pre-cisión, la presión atmosférica del exteriorempuja al agua hacia arriba). Se puedeagregar al tubo estrecho una escala gra-duada con cualquier escala de temperatu-ras, quedando las temperaturas bajas en laparte superior y las temperaturas altas enla parte inferior del tubo.

El más común de los aparatos medido-res de temperatura, es el termómetro demercurio. El termómetro de mercurio,como se ve en la fig. 15B, consiste en untubo delgado de vidrio (tubo capilar), uni-do en su extremo inferior a un pequeñobulbo que tiene su extremo superior ce-rrado. El bulbo y una parte del tubo capi-lar se llenan de mercurio y se hace elvacío en la parte restante del tubo. Cuan-do sube la temperatura, el mercurio v eltubo de vidrio se dilatan. Como el mer-

curio se dilata más que el vidrio, subea un nivel más alto dentro del tubo capi-lar. En el vidrio del tubo se graba unaescala para leer las temperaturas.

128

o

10 11 11 termómetro de

201::11 11 aire de Galileo

30

40

50

60

70

80

90

100

110

1I0

~10090

80'70

605040

30

2010O

vacío

termómetrode mercurio

;' mercurio

fig. 158. El mercurio del term6metro se dilata másque el tubo de vidrio y sube de nivel.

15.2 Escalas de temperatura. Actual-mente se usan tres escalas diferentes detemperatura que son: la centígrada, lade Kelvin o absoluta, la de Rankine y la deFahrenhcit. Las tres escalas se indican enla fig. 1SC. Los termómetros se fabricande forma idéntica, aunque tengan diferen-~e esc:ala. Las escalas centígrada y de Kd-

Fahrenheit

temperatura de

ebullición del agua212°F-----200

150

100

temperatura defusión de hielo

129

vin 'o absoluta, son usadas en todo elmundo para medidas científicas, y en laEuropa continental y los países iberoame-ricanos, también se usan en la vida dia-ria. La escala Fahrenheit se usa en la vidadiaria, en los Estados Unidos de Américay los países del Reino Unido, así como laRankine en las mediciones de ingeniería.

Todos los termómetros que se encuen-tran en el comercio tienen grabada en eltubo una de estas escalas, y algunos dosde ellas.

Para graduar un termómetro, primerose pone el bulbo dentro de una mezcla dehielo yagua y se marca en el tubo laaltura a que llega el mercurio. Despuésse coloca en vapor que se desprende deagua hirviendo y se señala el nuevo nivel.Estas dos marcas determinan los puntosfijos de la escala, que se vaya a usar des-pués.

Entre la temperatura de fusión del hielo. y la de ebullición del agua, hay un inter-valo de 100 grados en las escalas centí-gradas y Kelvin y de 180 grados en lasescalas Fahrenheit y Rankine. La relaciónde estos números es de S: 9, lo cual noshace ver que un aumento de temperatura

Rankine Kelvinoabsoluta

Centígrado

672°R----650

100°C - - - - -

350

600

50

300

/'.1"

FIg. 15C. Termómetros de mercúrio, iluF.trando las tres escalas de temperaturas.

La elevación de temperatura hace que laamper/metro resistencia del ~laI?bre de plat~o aumente

y, por tanto, dlSmmuya la corrIente. Cuan-do el alambre de platino toma la tempera-tura del horno, su resistencia permaneceen un valor constante y la aguja del am-perímetro indica un valor fijo de la co-rriente. En muchos casos, la escala delamperímetro se gradúa para que dé direc-Flg. 15D. T.nnómetro d. Ist.ncla .I'drl~ con las 1 dconexionesent... la bobinade alambred. platino la tamente a temperatura en gra os.

bater(ay el amp.rimetro. ' En la fig. 15E se ve otro tipo de termó-metro eléctrico, llamado par termoeléctrico( termocuple o termopar) . Este aparatoregistrador de temperaturas, se basa en unprincipio descubierto en 1821 por Seebeck,conocido como el efecto termoeléctrico. Seunen por sus extremos dos piezas de alam-bre, una de cobre y otra de hierro, paraformar una espira cerrada. Cuando unade las uniones se calienta y la otra semantiene frí~, fluye una corriente por laespira, en la dirección indicada por lasflechas. Cuanto mayor es la diferencia

130

de 5o C ó 5o K equivalea una elevaciónde 90 F ó 90 R.

La temperatw.a más baja que se halogrado alcanzar, es aproximadamente-273.160 C ó -459.690 F. Por razonesteóricas que daremos más adelante, esta esla temperatura más baja que se podrá lle-gar a obtene~. Las escalas Kelvin y Ranki-ne empiezan con esta temperatura, la másbaja posible, considerada como el cero ab-soluto. El punto de congelación del aguaviene quedando en números enteros, en2730 K ó 4920 R y la temperatura de ebu-llición del agua, en 3730 K ó 6720 R.

Con frecuencia se necesita transformarlas lecturas de temperaturas de una escalaa otra. En vez de desarrollar fónnulas paratales cambios, es más conveniente hacerlas conversiones matemáticas guiándose porel diagrama de la fig. 1SC.

15.3 Termómetros déctricos. Si se va amedir una temperatura muy baja o muyalta, deben emplearse otros termómetrosdistintos al de mercurio. A temperaturasinferiores a -390 C, el mercurio se solidi-fica, y a temperat.uras altas, se funde el

carrete de sI/ice

/

vidrio. Para estas ten1peraturas extremas,se usan comúnmente termómetros eléctri-cos. Este instrumento opera basándose enel principio de que la resistencia que unalambre opone al paso de la corrienteeléctrica a través de él, varía con la tem-peratura. A más alta temperatura, la re-sistencia es mayor.

En la fig. 15D se presenta el esquemade un termómetro eléctrico. Se enrolla untrozo de alambre de platino delgado en

FfsICA DESCRIPTIVA

un pequeño carrete de sílice. Los extremosde este alambre se conectan a una bateríay a un amperímetro. La batería tiene porobjeto dar corriente eléctrica y el amperí-metro determinar el valor exacto de lacorriente. Cuando se va a medIr la tem-peratura de un cuerpo caliente, por ejem-plo un horno, se coloca dentro del hornoel carrete con alambre de platino, y sedeja afuera la batería y el amperímetro.

alambre de hierro

alambre de cobre

Flg. 151. Un t.nnopar.

TEMPERATURA Y DILATACIÓN

de temperaturas entre las dos uniones, másgrande es la corriente eléctrica.

El diagrama de la fig. 15F representaun termopar conectado a un amperímetro.Si la unión del termopar se coloca primero

escala detemperaturas

par termoeléctrico~

Fig. 15F. Un termómetro d. termopar.

en hielo fundente y después en agua hir-viendo, se pueden marcar las lecturas delamperímetro, como 00 C y 1000 C. Estocalibra el instrumento, dándonos un ter-mómetro de lecturas directas.

Los termopares pueden ser de otros me-tales distintos. Cualquier par de metalesque se pongan en conta~to, presentarán elefecto termoeléctrico. Hay algunos paresde metales que producen corrientes másintensas. Cuando se van a medir tempe-raturas muy altas, se usan pares de platinoy platino-iridio, debido a su alta tempera-tura de fusión.

Si se conecta un grupo de termoparescomo se indica en la fig. 15G, forman lo

131

que es, en general, llamada una termoPila.Se unen pequeñas barras de dos metalesdiferentes colocadas alternadamente comose ve en el diagrama (b). Un grupo deuniones queda protegido poniéndolo en laparte de atrás de una pequeña caja, yel otro grupo de uniones se expone a losrayos caloríficos, a través del frente quese deja abierto. Mediante un reflector deforma. cónica, para recoger más rayos ca-loríficos de un objeto distante, se aumentael valor de la corriente eléctrica. Las ter-

mopilas que tienen varios cientos de ele-mentos, Se pueden hacer tan sensibles quedetecten el calor de la llama de una velaa varios cientos de metros de distancia.

15.4 Dilatación térmica de los sólidos.Cuando un objeto se calienta, ya sea só-lido, líquido o gaseoso, en general se dila-ta. Hay muy pocas excepciones a estaregla. Puede demostrarse la dilatación deun sólido con la elevación de temperaturapor el calentamiento de un alambre largoy la medida de su alargamiento tctal. Enla fig. 15H se ve un dispositivo experi-mental para demostrar esto. Un alambrede hierro de unos 2 m de longitud se unea un gancho A por un extremo, y a un .

peso W por el otro extremo. Entre estosdos puntos se pasa el alambre por variaspoleas B, e y D. Haciendo pasar una co-rriente a través del alambre, y procedentede una batería, se consigue que éste secaliente.

El alambre se alarga conforme se ca-lienta y el peso baja lentamente, haciendo

(b)(o)

~Icaloríficos

8

A

Fig. 150. Sección tranlvenal de una termopila para medir la radiación térmica d. cuerpos calient...

132

alambre de hierro,

escala 1/ , 1

A

F19.15H. Dllatad6n de un alambre debida ~ una ....vaci6n de la temperatura.

girar las poleas y la aguja indicadora P.Abriendo el interruptor se quita la corrien-te; el alambre se enfría y al mismo tiempose contrae a su longitud original. Las me-didas precisas de los cambios de tempera-tura y de los alargamientos de varillas só-lidas, son realizadas en laboratorios bienequipados. La gráfica de la fig. 151, re-presenta la relación rectilínea que hay en-tre la elevación de la temperatura y elalargamiento. Se entiende por alargamien-to o elongación, el aumento de longitud y

alambre de hierro 2m de largo

c: 3'0'(3~2c:~Q)

4mm 1..::-

oooe 1000e

temperatura

Fig. 151. Gr6fica de la dllatad6n de un alambre.

FÍSICA DESCRIPTIVA

no la longitud total del alambre. Para unalambre de hierro de 2 m de largo, unaelevación de temperatura de 50° e pro-duce un alargamiento de 1 mm; 100° eproducen un alargamiento de 2 mm; 150°centígrados, un alargamiento de 3 mm, et-cétera. La línea recta significa qu~ la elon-gación es directamente proporcional alcambio de temperatura.

Hay muchos casos en los trabajos deingeniería, donde la dilatación de los só-lidos es un factor de importancia en eldiseño y construcción de máquinas o edi-ficios. Esto es particularmente cierto en laconstrucción. de puentes colgantes y de víasde ferrocarril. Cuando fueron colocados losrieles de acero para las vías de los pri-meros ferrocarriles, se dejaron pequeñosintervalos en cada unión. La razón de ello

es que en el verano los rieles se dilatan alsubir la temperatura y cierran estos hue-cos. Si los intervalos no son suficientementegrandes en el invierno, el riel se podrádeformar al llegar el verano y provocarserios .accidentes. Cuando los rieles se con-traen en el invierno yesos espacios se ha-cén más anchos, producen bastante ruidoal pasar sobre ellos el tren.

No todas las sustancias se dilatan enla misma proporción cuando se calientan

TABLA 1S.A. COEFICIENTES LINEALES DE

DILATACIÓN TÉRMICA

(en grados centígrados)

Material a por °C

Aluminio o.............Acero oo. . . . . o oooo. . . o .Bronce o o. . .Cobre o o. . . o . . .Cuarzo. . o. . . . . . . . . . . . .Hierro. . . . . . . . . . . . . . . .Oro .Pino (veta a lo largo) ..Pino (veta cruzada) ....Platino o o , . . o o o . o' o . o o . .

Vidrio común o,.. o . o o . 0

1

Vidrio pyrex o. . .

25 X 10-618 X 10-617 X 10-'117 X 10-63 X 10-6

14 X 10-611 X 10-69 X 10-6

11 X 10-60.4 X 10-'6

5 X' 10-630 X 10-6

TEMPERATURA Y DILATACIÓN

a una misma diferencia -de temperaturas.Esto es señalado por los coefiCientes linea-les de dilatación térmica que se dan en laTabla 15A.

El coeficiente lineal de dilatación térmi-ca «, se define como el cambio de longitudde la unidad de longitud original de unasustancia por cada grado de elevación desu temperatura. Una vez conocida estaconstante, puede calcularse la dilataciónlineal de cualquier objeto hecho del mismomaterial, para cualquier cambio de tem-peratura, usando la fórmula siguiente:

elonga.ción= a X longitud X elevación de temp.

I e=aL(t.-tl); (15a)

En esta ecuación, tI es la temperaturaoriginal del cuerpo, tl2la temperatura a laque se lleva, y L es la longitud original.*

Ejemplo 1. Se corta y pule una varillade vidrio pyrex a una longitud de 10 cmcuando Ja temperatura ambiente es de 200€.Si se calienta esta varilla a una temperaturade 420°C, ¿cuánto se alargará?

Solución. Usando la ecuación anterior,obtenemos :

e = 3 X 10-6 X 10 X (420 - 20)= 3 X 10-6 X 10 X 400:= 0.012cm

. La varilla se alarga sólo 0.012 cm paradar una longitud total de 10.012 cm. Debe

* En las ecuaciones se acostumbra usar laletra t para las temperaturas en la escala centi-grada o Fahrenheit. Cuando se usan temperaturasabsolutas, se emplea la letra mayúscula T.

aluminio.

L...,-hierro

(o)

133

notarse que, si la longitud de la varilla sehubiera dado como 10 in, el alargamientohubiera sido 0.012 in. En otras palabras,e y L están siempre en las mismas unida-des, de manera que el coeficiente lineal dedilatación térmica es válido en el sistemamétrico de unidades y también en el sis-tema inglés. Los coefici~tes dados en laTabla 15A son para temperaturas medidasen la escala centígrada. Si la temperaturaestá en grados Fahrenheit, se debe hacerantes la conversión de temperaturas a laescala centígrada.

15.5 Dilatación düerenciaI. En la sec-ción anterior se estableció que todas la:sustancias tienen diferenté dilatación. Algunos metales, como el bronce y el aluminio, se dilatan dos veces más que otroscomo el hierro y el platino (ver la Tablc:15A). Esta diferencia de dilatación '-se de-termina por el calentamiento de una cintabimetálica como se muestra en la figu-ra 15.1 (a). Se colocan dos cintas delgadasde diferentes metales, una junto a la otra,y se sueldan a todo lo largo. Cuando secalientan, un metal se dilata más que elotro, haciendo que la cinta se flexione.Cuanto más se calientan, mayor es su fle-xión. Cuando se enfrían hasta su tempera-tura original, la cinta vuelve a quedarrecta y si se enfría más, se flexiona en.la dirección opuesta.

La dilatación diferencial observada eneste experimento, tiene muchas aplicacio-nes prácticas en la industria. Las cintasbimetálicas son usadas, por ejemplo, en laconstrucción de volantes para relojes finosy para los termostatos de los refrigerado-

~

1

'1?,1I ~:

,8 :

(b) (e)

Fig. 15J. Las sustancias diferentes se dilatan en proporción diversa. (a) cinta blmet6lica, (b) volantede relol, (e) termoatClto.

134

res, calentadores de agua y radiadores deautomóvil. En un día caliente, los radiosdel volante del reloj se dilatan, por locual la mac;a de la rueda se aleja del cen-tro, haciendo que el volante oscile máslentamente. Si la rueda está formada purcinta bimetálica, se compensa esto, comose ve en la fig 15J (b). Con la elevaciónde la temperatura, los extremos de los ra-dios S se alejan del centro y los extremoslibres, R, de la cinta bimetálica, se flexio-nan más cerca del eje de rotación. Unadilatación compensa a la otra y logra queel reloj siga moviéndose al mismo paso.

Actualmente es muy común el empleode los termostatos en aparatos eléctricos, ypor eso explicaremos aquí su funciona-miento. Un termostato eléctrico es un in..terruptor eléctrico automático que se cierracuando la temperatura llega a un ciertogrado, y se abre cuando llega a otro. Enla fig. 15J (c) se ve uno de estos inter-ruptores. Si la temperatura es baja, la cin-ta bimetálica está recta y conecta los pun-tos A y B. Esto hace trabajar un aparatoeléctrico que, por ejemplo, puede abriruna válvula de gas y prender un calenta-dor en el sótano de la casa.. Cuando elaire de la casa llega a la temperatura de-seada, la cinta bimetálica se flexiona losuficiente para interrumpir el contactoeléctrico entre A y B Y apagar el calen-tador. Cuando el aire vuelve a enfriarse.la cinta se endereza y hace contacto, vol:viendo a encender el calentador.

15.6 Dilatación de superficie y de volu-men. Cuando se eleva la temperatura deun alambre, no sólo aumenta de longitud,sino que también aumentan su diámetroy sección transversal. Cuando se calientaun disco, aumenta de radio y área, mien-tras que una esfera o un cubo aumentande volumen. En las sustancias isótropas,como el cobre, la dilatación lineal tienelugar del mismo modo en todas direccio-nes. En las sustancias anisótropas, comola madera, la dilatación perpendicular ala veta es muy diferente a la dilataciónparalela a la misma (ver la tabla 15A).

FÍSICA DESCRIPTIVA

Para encontrar el aumento de área o devolumen de estos materiales debe aplicarseen cada dirección por separado la fórmulade la dilatación lineal, ecuación ( 15a)(ver la fig. 15K) . Se puede aplicar el

'¡I+e2

Flg. 15K. Dilataci6n térmica d. una superficie.

mismo procedimiento a las sustancias iso-trópicas, pero se pueden hacer cálculos másrápidos con las ecuaciones siguientes.

Para la dilatación de área de un medioisotrópico.

r a = 2aA ( lo - t,) I

( 15b)

donde A es el área original de la superfi-cie; a, el aumento de área debido a la di-latación; a, el coeficiente lineal de dilata-ción, y tl2-tl el aumento de temperatura.

Para la dilatación cúbica de un medioisotrópico~

IV=3aV(1o - 1,) 1

(15c)

donde V es el volwnen original del sólido,v el aumento de volumen, y los símbolosrestantes son los mismos usados ante8.

La cavidad de una esfera hueca o decualquier recipiente, se dilata como si fuerauna pieza sólida del mismo material. Porejemplo, un vaso de platino que tenga unacapacidad de 1 000 cms a 00 C, al calen-tarse a 1000 C, tendrá el siguiente aumen-to de capacidad:

v=3X9X10-6Xl000X (100- O)= 2.7 cm3

Su nueva capacidad será 1 002.7 cmS

TEMPERATURA Y DILATACIÓN

C')e 1.05()

¡ 1.04.g'Si1.03.S::; 1.02"t)¡ 1.01e~1.00s 0°e S()Pe

temperatura(o)

135

volumen

~:~~~:g1.0008 'I;~~'I;1.0004

1.0000100°C O 4 8 12 1620°C

temperatura(b)

FJg. 15L Gráfica volum mp.ratura para 'a dllatacl6n "rmlca d. Uquldos.

La siguiente pregunta se deja como pro-blema para que la conteste el estudiante.Si se eleva la temperatura de una arandelade cobre, es decir, un disco de cobre quetiene un agujero en el centro, el agujerodel centro ¿se hace mayor o menor?

15.7 Dilatación ténnica de los líquidos.La medida exacta de la dilatación de los

líquidos con la ele\:"ación de la tempera-tura, se hacía difícil por la dilatación si-multánea del recipiente que contiene allíquido. Se puede vencer esta dificultad, yentonces se encuentra que la mayoría delos líquidos, al igual que los sólidos, sedilatan en una cantidad qut" es proporcio-nal a la elevación de temperatura. Esto seilustra por las gráficas rectilíneas del al-cohol y del mercurio en la fig. 15L.

Aquí las gráficas rectilíneas significanque, con cada grado de elevación de tem-peratura~ el aumento de volumen debidoa la dilatación es exactamente el mismo.Si 1 cm3 de mercurio a 0° C es calentadoa una temperatura de 1° C, su volumenserá 1.00018 cm3, o sea un aumento de0.00018 cm3. A los 10°, el aumento será10 veces mayor, o sea, 0.0018 cm3. En-tonces, a cada grado de elevación de tem-peratura, el volumen aumenta en la mismacantidad de 0.00018. Este número se llamacoeficiente volumétrico de dilatación térmi-ca del mercurio. Para el alcohol, este co-eficiente vale 0.0011 por cada grado centí-grado.

TABLA 15B. COEFICIENTE VOLUMÉTRICO

DE DILATACIÓNDE LÍQUIDOS

Líquido por °C

Alcohol. . . . .. 11.0 X 10-4 6.6 X 10-.Glicerina. . . . . 5.3 X 10-4 2.9 X 10-4Mercurio. . . . . 1.8 X 10-4 1.0 X 10-4Trementina.. 10.5 X 10-4 5.8 X 10-4

La dilatación cúbica de los líquidos deltipo del mercurio o del alcohol, se obtienecon una ecuación que tiene la misma for..ma que la usada para los sólidos (verla eco 15a).

U=f3V(tr¿ - tl} (15d)

donde v es el cambio de volumen; P elcoeficiente volumétrico de dilatación térmi-ca; V el volumen original, y tl2- tl elcambio de temperatura.

15.8 Dilatación anormal del agua. En-tre límites de temperatura muy separados,los líquidos no se dilatan siguiendo una leylineal. En realidad, su gráfica se desvíaligeramente hacia arriba, indicando unaumento más rápido de volumen a altast.emperaturas. Para diferentes líquiqos, elalejamiento de su gráfica de la forma rec-tilínea es muy diferente. A 100° C, porejemplo, el alcohol se dilata un 20% máspara cada grado de aumento de tempera-tura que lo que se dilata a 0° C. Por otraparte, el mercurio varía en menos de un

136

c~ntéslIliode un 1% y pu~de cúnsid~ra.rsecasi lirteal mire las dos temperaturas, 0°y 100°.

EtnPézando ~n la temperatura. de con-gela.d6n del agua a 0° C, y calentátidolalentam~te, el agua ~ cohtrae hasti quellega a la temperatura de 4o C y lueguse dilata. A 4° C, en que llega a su vo..lwnen mmitno, alcanza su m"'ima den..sidad. s~ debe considerar cdrtlo una cir-cUtlStanciamuy afortunada que el agua sedilate al ser enfriada de 4° e á 0° C. Sino fuera asi, y se contra.jera como sucedecon la mayorla de los llquidos, el hieloeII1pezana.a fOnnal8e del fondo de los la..

. goshacia arriba, en vez de congelarsedes-de la superficie, como ocurre.

Cuand() un estanque se enEriatendiendoa la temperatura de congelaci6n, se enfría

FfsIdA nttsCRtP'tIVA

primero la superficie del agua que est&ett contacto con el aire fria. Habiéndoseenfriado y contraído, tendrá mayor densi..dad que el agua que está debajo de ellay se irá al fondo. Este proceso continúahasta que toda el agua llega,a 40 e; perocuando el agua de la superficie se enfríaa más de 4°C, se dilata y se hace menosdensa, y por ello se queda arriba. El aguade la superficie puede llegar a Oo e ycongelarse antes que el agua de abajo.El agua se dilata más aún al congelar-se para convertirse en hielo. El hieloflota sobre el agua porque su densidades menor que la del agua. Cuando 1 cmSde agua a 4° e se enfría hasta 0° ey se congela, se dilata un 9%. Su nue..vo volumen como sólido, a 0° C, es de1.09 cmS.

PREGUNTASY PROBLEMAS

1. Explicar brevemente los principios deun rennopar. Hacer un diagrama.

2. Explicar brevemente los principios deun tenn6metro eléctrico de resistencia. Ha-cer un diagrama.

3. Nombre e ilustre en un diagrama lascuatro escalas tennométricas comunes.

4. Explique la dilataci6n diferencial.¿Qué usos prácticos se han hecho de la dila-taci6n diferencial? Hacer una diagrama deuna aplicación.

5. Un term6metro centígrado muestrauna temperatura de 75° C. ¿Cuál debe serla lectura Fahrenheit en el mismo lugar?(Resp. 1670F.)

6. Si un term6m~t~o centígrado muestrauna temperatura de 25° C, ¿cuál es su tem-peratura equivalente en la escala Rankine?

7. ¿Qué temperatura centígrada equivalea cada una de las siguientes: a) 86° F; b)122° F; e) 158° F; d) 176° F, ye) -22'° F?(Resp. a) 30° C; b) 50° C; e) 70° C; iJ)80° C, y e) -30° C.)

8. ¿Qué temperatura de la escala Fah-renheit equivale a cada una de las siguien-

teso a) 25° C. b) 30° C. e) 75° C. d. , , J ,150° C, y e) 3800 C?

9. Los rieles de hierro de un tranvía sonde 40 ft de largo. Si al tiempo que son cla-vados en su lugar la temperatura es de55° C, ¿cuán grandes serán los huecos entrelos extremos de los rieles cuando la tempe-ratura baje a 20° C? (Resp. 0.185 in.)

10. Una torre de acero es de 500 ft dealto. ¿Cuál ~ la variaci6n de altura entrelas temperaturas de 0° C y 40° C?

11. Una cinta de acero mide 100 ft delargo cuando la temperatura es de 27° C.Encontrar su cambio de longitud si la tem-peratura baja a 10° C. (Resp. 0.224 in.)

12. Un autom6vil mide 18 ft de largo.Suponiendo que fuera todo de hierro, en-contrar su cambio de longitud cuando latemperatura sube de 20° F a 110° F.

13. Una botella grande de vidrio común,contiene 5 galones de trementina cuando latemperatura es de 95° F. Encontrar la pér-dida aparente de volumen cuando la tem-peratura baja a la de congelación del agua.(Resp. 0.174 gal.)

TEMPERATURA Y DILATACIÓN

14. Un tanque de almacenamiento con-tiene 220 galonesde alcohol cuando la tem..peratura es de 15°C. Encontrar el aumentode volumen cuando la temperatura subea 42óC.

15. Un tanque de acero completamentelleno a 20° e contiene 450 galones de alco-hol. Si la temperatura sube a 40° C, ¿cuán-tos galones de alcohol se derramarán? (Resp.9.60 gal.)

137

¿cuánta trementina extra se necesitará parallenar el tanque?

17. Una cubierta de mesa de pino mide10ft de largo y 3 ft de ancho. Si la fibrava a lo largo de la mesa, encontrar el au-mento de área correspondiente a una eleva-ción de temperatura de 30° C. (Resp. 4.54in'2.)

18. Se hace un agujero circular de 10 cm16. Un tanque de aluminio completa- de diámetro en una -hoja de aluminio a

mente lleno a 30° C contiene 6 m8 de tre- 10° C. Encontrar el diámetro del agujeromentina. Si la temperatura baja a OOC, cuando la tempe~atura sube a 280° C.

16

CAPACIDAD TERMICAy TRANSMISION DEL CALOR

Confonne a la teoría emética de la ma-teria, los diferentes átomos de que estánconstituidas todas las sustancias, se en-cuentran en rápido movimiento. Cuandoun cuerPO se calienta a más alta tempe-ratura, ese movimiento atómico aumentay el cuerpo se dilata. Cuando el cuerpose enfría, el movimiento atómico disminuyey el cuerpo se contrae. El Conde de Rumo.ford, '* a fines del siglo XVIII,fue el primeroen proponer la teoría de que el calor esuna fonna de energía y es debido a laenergía cinética dtl movimiento molecuIar.

No siempre está claro para un estudian-te novel que la temperatura y la cantidadde calor, son cantidades diferentes. Se pue-de ilustrar la diferencia entre las dos ca-lentando dos recipientes con agua. Se ten-drá que quemar mayor cantidad de com-bustible para calentar un recipiente grandede agua que para uno pequeño. Aunquelos dos empiecen a la misma temperaturay los dos se eleven a una temPeraturaigual de ebullición, 100° C, el recipientemayor habrá necesitado mayor energía ca-lorífica, o sea, mayor cantidad de calor.

* Benjamín Thompson nació en Rumford, Nue-va Hampshire, E. U: A., en 1753. Pasó la mayorparte de su vida adulta en Alemania, donde, en-tre otras cosas, administró una fábrica de armas.Por sus observaciones sobre el calor producido altaladrar los cañones, pudo demostrar que el calorno es un fluido penetrante, sino una forma deenergía interna de los átomos o las moléculas quefonnan las sustancias. Su expresión fue que elcalor era una forma de movimiento de estas par-tículas. Por estos y otros servicios, el emperadorle confirió un título de nobleza, y Thompson es-cogió el nombre de su lugar de nacimiento, Rum-ford (ahora Concord, New Hampshire) para su~í~ulO".

16.1 La caloría. La diferencia entre latemperatura y la cantidad de calor se ilus-tra muy bien por el siguiente experimento(ver la fig. 16A). Cinco esferas, todasdel mismo tamaño, pero de diferentes ma-teriales, se calientan en agua hirviendo ala temPeratura de 100° C. En detennina-

plomo vidrio zinc bronce hierro

(a)

vidrio

\

zinc

Q bronce hierro'U(b)

Flg. 16A. Experimento que mu.stra la dlf.rencla d. lascapacldad.s térmicas de distintas su.tancias de Igual

tamaño.

do momento, se las coloca sobre una placade parafina de unos 0.5 cm de espesor, yse deja que se abran camino derritiendola parafina. Las esferas de hierro y broncecaen pronto a través de la parafina, perolas esferas de plomo y de vidrio nuncallegan a atravesarla. Esto ilustra el hechode que. el contenido de calor de las bolasde hierro o del bronce, aunque estén a la

138

CAPACIDAD TÉRMICA Y TRANSMISIÓN DEL CALOR

misma temperatura que las otras, es con-siderablemente mayor que el contenido decalor de las de vidrio o plomo.

A fin de determinar la capacidad tér-mica exacta de una sustancia, deberemosprimero definir las unidades de calor: lacaloría y el Btu. La cantidad de calor ne-oesaria para elevar la temperatura de 1gramo de agua, ]0 C, se llama caloría(abreviatura, cal). La cantidad de calornecesaria para elevar 1° F la temperaturade 1 lb de agua se llama Btu (unidad tér-mica británica). La relación entre estas dosunidades se puede calcular rápidamente,y es

1 Btu t= 252 cal (16a)

Una vez que se ha definido la calona,puede calcularse la cantidad de calor nece-saria para llevar una cantidad dada deagua desde una temperatura hasta otra,por la simple multiplicación de la masadel agua y la diferencia de temperaturas.Por ejemplo, para elevar 25 g de agua de10° C a 50° C, se requieren 25 X 40=1 000 cal, o para elevar 6 lb de agua de32° F a 60° F se requieren 6 X 28 =168 Btu.

Aunque una calona pueda elevar 1 gra-do centígrado a 1 gramo de agua, se nece-sitará un número diferente de calonas paraelevar un grado centígrado la temperaturade 1 gramo de otras sustancias. Por ejem-plo, para elevar 1 grado centígrado la tem-peratura de 1 gramo de hierro, se requieresólo una décima parte de calona, y paraelevar un grado centígrado la temperaturade 1 gramo de plomo, se requ~ere sólo unatreintava parte de caloría. En otras pala-bras, tiene diferente valor la capacidadtérmica de masas iguales de materiales di-ferentes.

La capacidad térmica de una sustanciase define como el número de calorías ne-cesarias para elevar 1° e la temperaturade 1 gramo de la sustancia. La relaciónentre la capacídad térmica de una sustan-cia y la capacidad térmica del agua, sellama calor específico. Numéricamente, elcalor específico tiene el mismo valor que

139

la capacidad térmica y, siendo una pro-porción, como en el caso de la densidad,no tiene dimensiones.

En la Tabla 16A se dan los calores es-pecíficos o capacidades térmicas de unascuantas sustanciasconocidas.

TABLA 16A. CALORES ESPECÍFICOS

Para mostrar el uso de esta tabla, consi-dérese el cálculo del contenido de calor delas esferas usadas en el experimento ante-rior. Las masas medidas de cada esfera,están dadas en la segunda columna de latabla siguiente (tabla 16B) Y las corres-pondientes capacidades térmicas en la si-guiente columna. Los productos de estasdos cantidades dan los valores indicados enla cuarta columna que representan lascantidades de calor necesarias para elevar1° C cada esfera. Ya que todas las esferas

TABLA 16B. RESULTADOS DEL'EXPERIMENTO DE LAS ESFERAS

fueron llevadas desde la temneratura am-biente de 20° C a la temper;tura de ebu-llición del agua, 100° C, el valor de lacuarta columna tiene que ser multiplicado

Sustancia c Sustancia c

Aluminio. . 0.220 Mercurio. . 0.033Bronce. . . . 0.092 Oro . . . . . . 0.031Cobre. . . . . 0.093 Plata . . . . . 0.056Glicerina. . 0.60 Plomo . . . . 0.031Hielo . . . . . 0.50 Vidrio . . . . 0.160Hierro ... lo. 0.105 Zinc..... . 0.092

H HEfera m (g) c para para

1° C BOoC

Plomo 45 0.031 1.39 111

Vidrio 10 0.160 1.60 128

Zinc 24 0.092 2.20 176

Bronce 30 0.092 2.76 221

Hierro 28 0.105 2.94 235

140

por el cambio de temperatura, 800 C, paraobtener el valor total del calor que da laquinta columna.

Estos. números indican claramente que,en este experimento, el hierro y el broncedeben pasar primero derritiendo la paraf~-na: tienen mayores cantidades de energíacalorífica almacenada, 235 y 221 caloríasrespectivamente.

La definición de la capacidad térmicay el cálculo del contenido total de calor, °Cpueden compendiarse en una fórmula deuso general de la siguiente forma:

I H = me ( lo - t,) I

(16b)

H representa la cantidad total de caloren calorías, o Btu; m la masa del cuerpoa que se le está dando el calor; c la ca-

. pacidad térmica, y t~- tl la elevación detemperatura.

16.2 Cambio de estado. La continuaadición de calor a una masa sólida o lí-quida puede llevarla a un cambio de es-tado. El comportamiento general de mu-chas sustancias puede ser ilustrado poruna descripción detallada de los cambiosque ocurren al más corriente de los líqui-dos, el agua. Si un trozo de hielo a latemperatura de -100 e se coloca en unvaso y se pone en una estufa para calen-tarlo, su temperatura subirá lentamentehasta llegar a 00 C.

A 00 e la temperatura deja de subir yd hielo empieza a derretirse. El hielo sederrite cada vez más al seguir calentando,pero la temperatura no vuelve a subir, has-ta que todo el hielo se ha convertido enlíquido. Entonces el agua se calienta másy más y llega a la temperatura de 1000 C,donde se produce una vigorosa ebullición.Aquí vuelve a detenerse la elevación detemperatura y, al agregarse calor, se con-vierte en vapor más agua. Por último,cuando toda el agua se ha transformadoen vapor a 1000C~ empieza a subir nue-vamente la temperatura.

FíSICA DESCRIPTIVA

Todos estos cambios de estado, estánrepresentados en la gráfica de la fig. 16B.Los tramos horizontales representan loscambios de estado donde no hay variaciónde temperatura1 mientras que las secciones

150

100evaporación

50

o

540 calorías100

Flg. 1~B. Gr6flca de calo...temperatura de un gramode hielo, partiendo -500 e, ilustrando los calores d.

fusión y de evaporación.

inclinadas representan las variaciones detemperatura sin cambios bruscos de es-tado.

16.3 Transmisión dd calor. Hay mu-chos métodos para transmitir calor de unlugar a otro. Algunos de estos métodosson lentos e indirectos mientras que otrosson muy rápidos y directos. Un estudiocuidadoso de todos los métodos conocidos

ha llevado a confirmar que hay sólo tresmodos de transmitir el calor. Estos son:conducción, convección y radiación. Laconducción es un proceso lento por elcual se transmite calor a través de unasustancia por actividad molecular. La con-vección es un proceso más rápido en queinterviene el propio movimiento de un sitioa otro de la materia calentada. La radia-ción de calor entre dos lugares, se realiza enla misma forma y con la misma rapidezcon que se propaga la luz~300 000 km/seg.

16.4 Conducción. No todos los cuerposson buenos conductores del calor Los me-tales como el cobre y la plata son muchomejores al respecto que otras sustancias,como la madera, el vidrio, el papel o elagua. La capacidad de una sustancia de-

CAPACIDAD TÉRMICA Y TRANSMISIÓN DEL CALOR 141

terminada para conducir el calor, se midepor la llamada conductiuidad térmica.

Las condllctividades relativas de diferen-tes sustancias, se pueden demostrar conun experimento que se efectúa como sigue:se cubren con una pintura especial ama-rilla seis varillas semejantes de diferentesmetales: cobre, aluminio, bronce, estaño,plata alemana y plomo, y se montan comose ve en la fig. 16C. Los extremos infe-

Cu Al Sr Sn GAP Pb

Fig. 16C. Conductividad térmica de ,.i, metale, da,.....nte,: cobre, aluminio, bronce, e.taño, plata alemana

y plomo.

iiores de las varillas se encajan en taponesde goma que entran en los agujeros per-forados en un tubo metálico, donde dichosextremos son calentados hasta 10Qo C conel vapor de agua que circula por el tubo.Conforme el calor sube lentamente porcada varilla, la pintura amarilla se vuelveroja. Después de 5 ó 10 minutos de estarpasando vapor, las alturas a que se ha-cambiado el color de la pintura, son apro-ximadamente las que se indican en el di-bujo con las áreas obscurecidas. Se ob-'serva que el cobre es el mejor conductory el plomo el peor entre estos seis me-tales.

A fin de calentar un objeto, se acos-tumbra a ponerlo en contacto con otrocuerpo que está a temperatura más alta.Un recipiente con agua, pór ejemplo, secalienta, generalmente, poniéndolo sobreuna llama. La combustión del gas impri-me un estado de rápido movimiento alas moléculas del mismo. Dichas molécu-las chocan en el fondo del recipiente yhacen que las del metal de éste aumenten:sus vibraciones. Estas últimaS, a su vez,

golpean a otras moléculas metálicas, trans-mitiendo el movimiento hasta el interior

del recipiente. Esto se llama conducciónde calor. Las moléculas del metal hacenque la primera capa de moléculas de aguase muevan más rápidamente y éstas, a suvez, aumentan progresivamente el movi-miento de las demás. Así es como el m()..vimiento molecular, llamado calor, se llevaa la masa del agua.

Experimentalmente se ,demuestra quela cantidad de calor que fluye a lo largode una varilla es proporcional al tiempo,al área transversal de la varilla y a ladiferencia de temperaturas entre sus ex-tremos, e inversamente proporcional a sulongitud.

Usando símbolos apropiados para cadauno de estos factores y añadiendo unaconstante de proporcionalidad, se obtienela siguiente ecuación:

(16c)

H es la cantidad de calor que fluye através del cuerpo de longitud L y seccióntransversal A; k la conductividad térmica;T la duración del flujo calorífico; t2 latemperatura del extremo caliente, y t1la temperatura del extremo frio. Se ve muyclaramente que, si son aumentadas la di-ferencia de temperaturas t2 ~ t1 o el áreaA (ver la fig. 16D), se ~umenta la can-

caliente.

tC:4.flujo de calor

~

frío

)t,L

Fig. 16D. F~dore' medible, que determinan la canH.dad de calor que fluye por conducción a través de un

obleto.

tidad de calor que pasa por la varilla. Noes tan evidente, en cambio, que el aumen-to de longitud L haga disminuir el flujode calor, o que una disminución de lon-gitud produzca un aumento de dicho flu-

142

jo. Esto último se ilustrará con dos expe-rimentos.

Aunque el papel es un mal conductor,el flujo de calor a través de él se puedehacer muy grande, aumentando A, el áreatransversal, y disminuyendo L, la distanciaque debe recorrer el calor. El diagrama(a) de la fig. 16E, muestra la conducti-

cobre papel madera

Flg. 16E. Conducción d. calor a frav- dal palMl.

vidad térmica, haciendo hervir agua den-tro de un vaso de papel. Aunque la flamadel gas da directamente en la superficiedel papel, el vaso no se quema. La rai.Ónde esto es que el calor que recibe la super-ficie inferior del papel, se transmite a tra-vés de él hasta el agua, con suficiente ra-pidez para que la temperatura del papelsiga quedando por debajo de su tempera-tura de combustión. Si el papel es grueso,se quemará su superficie inferior. Aunqueparezca extraño, cuanto más delgado es elpapel, menor es el riesgo de que arda.

En el diagrama (b) de la fig. 16E seenrolla una capa de papel delgado alre-dedor de una varilla, que es la mitad demadera y la mitad de cobre. Cuando seacerca la llama, como se ilustra en la fi-gura, el papel se quema sólo en la parteque está en contacto con la madera, y noarde en absoluto, en donde está en con-tacto con el cobre. Siendo el cobre unbuen conductor, transmite el calor al in-terior del metal y lo aleja de la superficiede éste. Al contrario, siendo la maderaun mal conductor, no puede transmitir elcalor alejándolo de la superficie con ra-pidez suficiente, y el papel se calienta ypronto se quema.

Las conductividades térmicas de algunassustancias se dan en la tabla 16C.

FÍSICA DESCRIPTIVA

TABLA 16C. CONDUCTIVIDADES TÉRMICAS

k, EN CAL/SECo CM °C

El número k es la cantidad de calor,medida en calorías, que pasa en un segun-do a través de un cubo de un centímetrode lado cuando sus dos caras opuestas semantienen a una diferencia de temperaturade 1o C. Conociendoel valor de k paracierta sustancia, se puede calcular median-te la ecuación (16c), la cantidad de calorque fluye a través de un objeto de dichomaterial de cualquier medida.

Ejemplo. Un extremo de una varilla dealuminio de 40 cm de largo y 5 cm2 de sec-ción transversal se mantiene a una tempera-tura de 100° e y el otro extremo a 20° C.Encontrar la cantidad de calor que fluye através de la varilla en 2 mino

Solución. Sustituyendo en la eco (16c),obtenemos

H = 0.50 5(100. ~ 20) 120 = 600 cal.

16.5 Convección. ¿Por qué una sustan-cia tan mala conductora del calor comoel agua, se puede calentar tan rápidamentecuando se coloca en un recipiente sobreuna llama? Ello se debe a la segunda for-ma de transmisión del calor, conocidacomo convección. El agua del fondo delrecipiente se calienta primero. Debido a suelevación de temperatura, se dilata. Siendomás ligera el agua caliente que la fríaque está sobre ella, subirá a la parte supe-rior permitiendo que el agua fría baje aJ.fondo por los lados del vaso. Esta acciónproduce un flujo de agua llamado corrien-te de conveccwn que mantiene el agua en

Sustancia k I Sustancia k

Agua ...... 0.0014 Madera. . . 0.0005Aluminio. . 0.50 Mercurio. . 0.02Azulejo . . . 0.0020 Papel. . . . . 0.0003Bronce. . . . 0.26 Plata. . . . . . 0.97Cobre. .. .. 0.92 "alemana. 0.08Cuero. . . . . 0.0004 Plomo. . . . . 0.08Hierro. . . . 0.16 Vidrio . . . . 0.0025

CAPACIDAD TÉRMICA Y TRANSMISIÓN DEL CALOR

agitación hasta que se calienta toda (verla fig. 16F).

En la fig. 16G se ven las corrientes deconvección producidas por el calentamien-to de un recipiente con agua. Se llena

Flg. 16F. Corrlent.. d. convecclónal caaentar aguasobre una estufa.

con agua un tubo de vidrio en fonna deO y luego se calienta en una de las esqui-nas inferiores, como se indica en la figura.Si se agrega una gota de tinta en la aber-tura superior, se mezcla ésta con el aguay rápidamente fluye alrededor del tubo,

Flg. 16G. Conwcclónd. calor por circulaciónde aguapor una tuber(a.

en un sentido contrario al avance de lasmanecillas del reloj. Esta circulación es labase de los sistemas de calefacción conagua caliente usados en algunas casas.Como se ilustra en la fig. 16H, el aguacaliente de un depósito de abastecimientoque está en un cuarto inferior o en el só-

143

/-,/ '\

I \( radiador

I"

calentadorFig. 16H. Corrientes de convección d. agua en lal tu-

bedal, y de aire en 101cuartol.

tano, sube y fluye a través de varios radia-dores para regresar de nuevo al depósito,donde vuelve a recalentarse.

Muy semejante es la acción de los siste-mas de calefacción con aire caliente usa-dos en otras casas. El aire se calienta en

un horno que está en el sótano y sube poruna salida que está en el suelo o cercade él, como se ve en la fig. 161. Asciendepor un lado del cuarto hasta el techo, re-corre éste y baja después por el otro ladoy, pasando a, través del piso por otra aber-tura, regresa al horno.

En la atmósfera, las corrientes de con-vección son considerables y originan elviento. En las costas, el aire fresco delocéano viene hacia la tierra como brisamarina, debido a la convección. Los rayosdel Sol son absorbidos más rápidamentepor la tierra que por el agua, y el airecalentado por la tierra sube, mientras queel .aire más frío del océano llega a ocu-par su lugar. En la noche, la tierra se en-fría rápidamente por la radiación haciael cielo frío, y pronto el aire de encima delagua se encuentra más caliente y sube pro-vocando un movimiento de regreso delaire y entonces el viento sopla de la tierrahacia el mar. Estas corrientes de aire son

144

~C

F

sótano

h(.'tne:'~alentador de aire

Flg. 161. Corraent'. de convecclón de .,.1,. call.nl,producida. por calefacción.

fácilmente observables siguiendo el humode una fogata hecha en la playa. Duranteel día, el humo sopla hacia la tierra yen la noche sopla hacia el mar.

Los aviadores están bien informados. delas corrientes ascendentes del aire sobr(.ciertas zonas del suelo. Siendo la radiaciónsolar mejor absorbida por un terreno re-cientemente arado, por ejemplo, el aire secalienta lo suficiente para producir c<r.rrientes de convección. Al volar un aero-plano sobre estas corrientes ascendentes deaire, recibe Qn brusco levantamiento. Du-rante ciertas estaciones del año, estas cerrrientes ascel).dentes de air~ caliente sonenfriadas por las capas de aire que estánsobre de eUas, oondel).sándose su vapor enforma de nubes.

16.6 Radiación. Cuando el Sol sale porel horizonte en la mañana, se puede perci-bir el calor tan prOI¡to como se hace visi-ble. Este calor, llamado calor radiante, via..ja a la velocidad de la luz. o sea, 300 000km/seg.

El calor radiante simplemente 'es una delas muchas formas de energía y es fácil-mente localizada por medio de un radió-

fíSICA DE,SCIUPTIVA

metro, termopar, termistor, termómetro,etcétera. Un radiómetro de Crooke, mas..trado en la fig. 16J, se encuentra confrecuencia en los aparadores de joyerías oferreterías. Bajo la luz del día o una lám-para brillante, se pondt'á a girar la veleta.con aletas de mica mQY delgada como siestuviera en movimiento perpetuo.

Cada aleta del radiómetro tiene unacara brillante y negra por la otra. La. caranegra absorbe mejor el calor radiante quela cara brillante y calienta el aire adya...cente. El rápido impacto de las moléculasde aire calentado ejerce entonces una fuer-za mayor sobre la cara negra empujándolay haciéndola girar.

Si el radiómetro estuviera en un vacío

tan perf~cto que hubiese poco aire resi-dual dentro del bulbo, las ondas de luzal reflejarse en la cara brillante ejercerían

Flg. 16J. IJn radlómetro de Crooke.

dos veces más fuerza que las absorbidaspor la cara negra y entonces la veleta gi-raría en dirección contraria.

El calor radiante, u ondas caloríficas,son ondas electromagnéticas que tienen to-das las propiedades generales conocidas dela luz visible. La diferencia esencial entrelas dos es que los rayos de calor, a vecesllamados rayos infrarrojos, tienen una lon-gjtud de onda un poco mayor y no' sonvisibles al ojo humano.

Una demostración de la reflexión de losrayos infrarr~jos se ilustra en la fig 16K.Una bujía (o vela) que actúa como fuen-te en F, emite rayos de luz y de calor

CAPACIDAD TÉRMICA Y TRANSMISIÓN DEL CALOR

reflector

tf!rmoparT

~p

145reflector

vela

amperímetro

Flg. 16K. Reflexiónd. los rayos de calor en espelos cóncavos.

en todas direcciones. De estos rayos, losque llegan al espejo cóncavo MI, se refle..jan en un haz paralelo que al llegar alsegundo espejo M2, vuelven a ser refleja-dos, reuniéndose en un foco sobre lasuniones expuestas de la termopila T. Con-forme se calientan la$ uniones de la ter-mopila, se produce una corriente eléctrica,que hace que la aguja P del amperímetrose mueva a la derecha. Cuando se quita lavela, la aguja regresa al cero.

En todas las casas donde se tiene unachimenea como medio de calefacción, hay,aire caliente

1{ I

chiminea

1uego

un ejemplo práctico de la radiación delcalor. El calor que recibe la habitacióndesde la chimenea, llega casi todo en for-ma de rayos infrarrojos que se origiRan enlas llamas, las brasas y en las paredes

superficiesplateadas

vacío

vidrio

Fig. 16L. El hogar calienta por la radiación de lasllamas, del carbón y de las paredes. Las corrientes de FIg. 16M. El frasco de Dewar o termos reduce alconvecclón forman un tiro que saca el ai.. caliente minimo la conducción por ser de vldño, la convecclón

y el humo por la chimenea. por el vado y la radiacl6n por el plateado.

146

calientes de piedra y ladrillo. El aire quese calienta en el hogar no circula en lahabitación sino que sale por la chimeneaen una corriente de convección. Ver lafig. 16L. Esta corriente de aire ascenden-te, hace entrar aire fresco al local pro-porcionando al fuego el oxígeno necesariopara quemar la leña o el carbón.

Un frasco de Dewar, o termo, es unpráctico aparato en que se han reducidoal mínimo la conducción, la convecci6n yla radiación del calor. Como se ve en lasección transversal de la fig. 16M, Wl ter-mo consiste en un recipiente de vidrio de

FÍSICA DESCRIPTIVA

doble pared, plateado por la cara interior.El propósito del plateado es reflejar todoel calor radiante que trata de entrar osalir del frasco. Al espacio que queda entrelas dobles paredes se le hace un alto vacío,para evitar las corrientes de convección, ysiendo mal conductor el vidrio, se hacemínima la conducción a través de las pa-redes del cuello de la botella. Con la ex-cepción del espacio vacío entre las paredes,los calorímetros usados comúnmente en loslaboratorios son muy semejantes al frascode Dewar.

PREGUNTASY PROBLEMAS

1. Definir o explicar brevemente lo si- rápidamente sobre una parrilla o mechero.guiente: a) unidad térmica británica; b) ¿Por qué? ¿Interviene la conducción? ¿In-caloría; e) capacidad térmica, y d) calor es- texviene la convección?pecífico.

11. Hacer un diagrama y explicar breve-2. ¿Qué se entiende por transmisión del mente el proceso de calentamiento por me-

calor ¿Cuáles son las formas de transmitir dio de una chimenea.el calor?

12. Hacer un diagrama de un frasco de3. Nombrar tres sustancias buenas con- de Dewar o termo y explicar por qué puede

ductoras del calor. Nombrar tres sustancias consexvar calientes los líquidos por un tiempomalas conductoras del calor. largo.

4. ¿Cuál es el proceso por el cual se 13. Encontrar el número de calorlas queconduce el calor a través de un sólido? ¿Es se necesitan para elevar la temperatura deéste un método rápido de transmitir calor? 20 kg de hierro de 20° Cal 220° C. (Resp.

5 Dese.b

'b

.t 2.52 X 106 cal.) .. n ir revemente un expenmen o

realizable para ilustrar la diferencia en con- 14. ¿ Cuántos Btu se necesitan para llevarductividad térmica entre diversos metales. la temperatura de 20 lb de cobre de 40° F

6. ¿De qué factores depende la cantidad a 480° F?de calor conducida a través de una varilla?Escribir la fórmula.

7. ¿Qué es la convección? ¿Es la con-vección más rápida que la conducción comométodo para transmitir calor? ¿Por qué?

8. Hacer el diagrama de un experimentoque ilustre las corrientes d~ convección enun líquido.

15. ¿Cuánto calor se necesita para elevarla temperatura de 25 lb de plomo de 50° Fa 500° F? (Resp. 349 Btu.)

16. Calcular la cantidad de calor necesa-ria para subir la temperatura de 6 kg dealuminio de 20° C a 5500 c.

17. ¿Cuántas calorías se necesitan paraelevar 20 kg de hielo de 0° C a agua a la..

9. ¿Qué detennma las corrientes de con- temperatura de ebullición? (Resp. 3.60 Xvección en el aire o en el agua al calentar- 106 cal.)los?

18. ¿Cuánto calor se necesita para cam-10. Aunque el agua es mala conductora biar 30 kg de agua a 20° C en vapor a

del calor, una vasija con agua se calienta 100° C?

CAJ>ACIDAD TÉRMICA Y TRANSMISIÓN DEL CALOR 147

19. Calcular la cantidad de calor nece-saria para convertir 5 kg de hielo a - 400 Cen vapor a 100° C. (Anotar de la Tabla 16Ael calor específico del hielo de 0.5.) (Resp.3.70 X 106 cal.)

20. Un extremo de una varilla de cobrede 30 cm de largo y un área transversal de2 cm2 se mantiene a 12° e y el otro a 85°centígrados. ¿Cuánto calor fluirá a 10 largode la varilla en 3 min?

21. Una variJIa de bronce mide 25 cmde largo y tiene un área transversal de 4cm2. ¿Cuánto calor fluirá por la varilla en5 min si un extremo se mantiene a 10° Cy el otro a 95° C? (Resp. 1061 cal.)

22. El mango de madera de una sarténtiene 4.0 cm de diámetro y 20 cm de largo.Si la temperatura de la sartén es de 360° Cy el extremo libre del mango se mantienea 35° C, ¿cuánto calor fluirá por el mangoen 10 min?

23. El fondo de una oJIa de cobre es de0.20 cm de grueso y tiene un área de 500cm2. Si la !;upe¡ficie superior está a 90° Cy la inferior a 95° C por el calentamiento

de la llama, ¿cuánto calor fluirá. a travésdel fondo en 15 min? (Resp. 1.035 X lorcalorías.)

24. Una varilla de bronce es de 25 cm delargo y 4 cm de diámetro. ¿Cuánto calorfluirá por esta varilla en 5 min si un extre-mo se mantiene a 10° C y el otro a 80° C?

25. Un extremo de una varilla de alumi-nio de 20 cm de largo y área transversalde 4 cm2 se mantiene a 15° e y el otro ex-tremo a 185° C. ¿Cuánto calor fluirá porla varilla en 5 min? (Resp. 5 100 cal.)

26. Una barra de hierro con seccióntransversal cuadrada de 1.5 cm por lado tie-ne una longitud de 25 cm. ¿Cuánto fluirápor la barra en 10 min si un extremo semantiene a 280° C y el otro a 50° C?

27. La suela de un ~pato tiene 6 mmde grueGO y tiene un área de 230 cm2.¿Cuánto calor fluirá por las suelas en unahora si la' persona que usa el par de zapatosestá parada sobre la nieve? Tomar la tem-peratura del cuerpo humano como 37° C yla de la nieve como -10° C. (Resp. 25900calorías.)

17

CAMBIOS DE ESTADOY BAJAS TEMPERATURAS

17.1 Dilatación y contracción en la fu-sión. Cuando los metales fundidos se va-cían en un molde para hacer piezas cola-das, el metal se puede contraer o dilataral solidificarse, y después, cuando se enfríaa la temperatura ambiente, contraerse odilatarse, de acuerdo con su coeficiente dedilatación ténnica. El hierro colado, porejemplo, es una sustancia, que, al solidi-ficarse, se dilata ligeramente, per<?después,al enfriarse a la temperatura ambiente, secontrae cerca de 1% de su longitud. Porello, es apropiado para el moldeo, ya quela ligera dilatación al solidificarse, ayudaa que reproduzca todos los detalles delmolde. Para dar margen al acortamientoproducido al enfriarse, los modelos con losque se fonnan los m01des deben hacerseun 1% mayores que las medidas definiti-vas que deberá tener la pieza de hierro.

La fig. 17A presenta un experimentoque ilustra la enonne fuerza de dilatacióndel agua al congelarse. Una pequeña es-fera de hierro colado de unos 5 cm dediámetro y 3 mm de grueso, se llena com-

pletamente con agua a una temperaturacercana a 0° C. Después de atornillar fuer-temente el tapón de hierro, se la colocaen una mez~la frigorífica de hielo picadoy sal. Después de algunos minutos, se con-gela el agua y hace estallar la bomba conun golpe sordo.

17.2 Enfriamiento por evaporación. Aldejar agua en un vaso abierto, se evaporalentamente, es decir, va pasando espon-táneamente al estado gaseoso. Por esto seconsidera que la evaporación es una dila-tación libre, y esta última siempre apareceacompañada de enfriamiento. Este fenó-meno de enfriamiento por evaporación,que es tan importante por sus muchas apli-caciones comerciales, se puede explicar porla teoría cinética de la materia.

Debido a los movimientos irregulareSde las moléculas de un líquido, algunas deellas obtienen momentáneamente una ve-locidad muy grande.

Si una molécula superficial logra unagran velocidad hacia arriba, puede esca-parse al aire por encima del líquido. Al-gunas de estas moléculas que se escapan,regresan otra vez al líquido por los cho-

Flg. 178. La evaporacl6n del agua de un vaso abiertoFlg. 17A. Al congelarse el agua dentro de la bomba, se debe- al movimiento r6pido de las moléculas dela dilatacl6n revienta las p~,...des de hierro colado. agua y su ocasional escape al aire.

148

CAMBIOS DE ESTADO Y BAJAS TEMPERATURAS

ques fortuitos con las moléculas de aire queestán por encima de la superficie, peromuchas de ellas no regresan (ver la fi-gura 17B ). Puede acelerarse el escape ac-cidental de las moléculas haciendo circularaire sobre la superficie del líquido. El airese lleva las moléculas recién evaporadasantes de que tengan oportunidad de re-gresar.

En virtud de la gran velocidad de lasmoléculas que escapan de la superficie deun líquido, se pierde con ellas una can-tidad de energía cinética considerablemen-te mayor que la promedia. La disminu-ción de la energía cinética media de lasmoléculas restantes en el líquido significaun descenso de la temperatura. Cuantomás rápida es la evaporación, más rápidoserá el enfriamiento. Esto se demuestrapalpablemente vaciando una pequeña can-tidad de éter o alcohol. Cualquiera de es-tos líquidos, y en especial el éter, se eva-pora muy rápidamente, enfriando la su-

-

..-agua

f9~Fig. 17C. Enfriamiento producido por la evaporación

del éter.

149

perficie del dedo. Los cirujanos, basándoseen esto, usan con frecuencia el éter enlugar de anestésico, para congelar porcio-nes limitadas del cuerpo antes de iniciaralguna pequeña operación.

El enfriamiento por evaporación se pue-de demostrar ante un auditorio vaciando

una pequeña cantidad de éter sobre elbulbo de un termómetro de aire, como seilustra en la fig. 17C. Debido al enfria-miento del bulbo de vidrio, el aire interiorse contrae levantando más agua por eltubo del termómetro.

17.3 Humedad. Cuando las moléculas

de agua se escapan de la superficie li1?redel líquido por evaporación, se mezclancon las moléculas del aire que está encima.Si el espacio que está sobre la superficiedel líquido se encuentra cerrado, como seve en la fig. 17D, esta mezcla no puede

agua

Fig. 17D. Saturación del aire con vapor de agua.

escapar. En estas circunstancias, el aguacontinúa evaporándose hasta que el airepor encima de ellas se satura con yaporde agua, es decir, hasta que ya no puedeaceptar más vapor. Cuando se llega a estasituación, regresarán al líquido tantas mo-léculas de agua como las que se logrenescapar de él cada segundo.

La cantidad máxima de agua que elaire puede retener en estado de vapor de.-pende de la temperatura, y en parte tam-bién de la presión del aire. Esto se ilustra

150

por los valores dados en la tabla 17A.La temperatura del aire está dada en unacolumna, y en la otra se da la cantidadmáxima de vapor de agua que puedeexistir en un metro cúbico de aire, a dichatemperatura.

TABLA 17A. MASA DE VAPOR DE AGUA ENUN METRO CÚBICO DE AIRE SATURADO

Temperatura Agua de vapor

0° e ó 32'°F5°e " 41° F

10°e " 50° F15°e " 59° F20° e " 68° F25° e " 77° e30° e " 86° F35° e " 95° F

4.8g6.8g9.3 g

12.7'g17.1g22.8g30.0g39.2 g

Por la tabla se ve claramente que cuantomás caliente está el aire, mayor es la can-tidad de vapor de agua que puede retener.

La atmósfera que podemos considerarcomo aire libre, no está siempre saturadacon vapor' de agua. Decimos que el aireestá seco si contiene muy poco o ningúnvapor de agua. Si contiene mucho vapor,decimos que- está húmedo.

La cantidad de vapor de agua presenteen un metro cúbico de aire, se llama hu-medad absoluta. Se mide por el númerode gramos de vapor de agua presentes enun metro cúbico de aire. Por ejemplo, lahumedad absoluta puede decirse que es de14 g/m3.

Al hablar de la humedad del aire, seacostumbra más frecuentemente expresarlaen humedad relativa en vez de humedadabsoluta. La humedad relativa se' definecomo la relación entre la cantidad de va-por de agua presente en un volumen dadode aire y la cantidad requerida de vaporpara saturar dicho volumen de aire a lamisma temperatura. Supongamos, parailustrarlo, que el aire contiene en este mo-mento 5.7 g/m3 de vapor de agua y latemperatura es 25° C. Si el aire estuvierasaturado a esta temperatura (ver la Ta-

FÍSICA DESCtuPTIVA

bla 17A), contendría 22.8 g/m3. Por lotanto,

humedadrelativa= 5.7/22.8 = 0.25

Se acostumbra expresar esta respuestaen tantos por ciento y decir que la hume-dad relativa en este caso es de 25%.

Si se baja la temperatura del aire queestá saturado con vapor de agua, puedecondensarse algo de dicho vapor al estadolíquido. Estas son las condiciones en quese forma la lluvia y la neblina. La razónde esta condensación es que a más bajatemperaturé:\ debe existir menos vapor deagua para seguir saturado el aire. Si elaire se enfría' sin la formación de lluvia oniebla, se encontrará en un estado inesta-ble de sobresaturación.

17.4 Tensión del vapor. La presenciadel vapor de agua en el aire aumenta lapresión atmosférica. Para explicar por quéocurre esto, considérese de nuevo la fi-gura 17D. Conforme se evapora más aguaal aire de encima, se hace mayor cada vezla presión, debido al bombardeo de lasparedes por las moléculas de agua, llegan-do al máximo en la saturación. Lasmoléculas de agua ejercen presión y tam-bién las moléculas de aire la ejercen, inde-pendientemente unas de las otras.

300

b)

:t: 200el)

"ti

5 150e::el)

:~ 100ti)

~Q.

30 /bj;n.2líquido

50

Fig. 17E. Curva de temperaturas de ebullici6n deagua a diferentes presiones.

CAMBIOS DE ESTADO Y BAJAS TEMPERATURAS

La tensión (presión) del vapor se ex-presa generalmente en centímetros de mer-curio, y al llegar a la saturación se llamatensión del vapor saturado. La fig. 17E esuna gráfica de las tensiones del vapor sa-turado. Esta gráfica indica que a altaspresiones el aire se satura a más alta tem-peratura.

17.5 Ebullición. La ebullición de un lí-quido no es más que un caso de evapora-ción rápida. Conforme se eleva la tempe-ratura del agua, se aumenta la rapidezde la evaporación hasta que al llegar a latemperatura de ebullición, llega a un má-ximo. Más allá de esta t~mperatura, elagua sólo puede existir en el estado devapor.

Cuando bierve el agua a la presión at-mosférica normal, se produce la evapora-ción en todo el líquido al mismo tiempoque 'en la superficie. Son prueba de ellolas burbu jas de vapor saturado que seforman cerca del fondo y que aumentande tamaño conforme van subiendo hasta lasuperficie. Las burbujas se pueden formargracias a que la presión de vapor a 100° Ces de 76 cm de mercurio y es igual a lapresión exterior de la atmósfera. A menosque la tensión del vapor sea igual o lige-ramente mayor que la presión que hay enun punto del líquido, no puede haber ebu-llición en dicho punto.

Si en el proceso de ebullición del agua,se aumenta la presión ejercida sobre ellíquido mientras se están formando burbu-jas dentro de él, las burbujas dejarán deformarse y el líquido dejará de hervir. Sepuede iniciar nuevamente la ebullición aesta presión mayor agregando más calory elevandc la temperatura a un valor másalto. En otras palabras, cuanto más altaes la presión a que está un líquido, másalta será su temperatura de ebullición. Re-cíprocamente, cuanto más baja es la pre-sión a que está sometido un líquido, másbaja es la temperatura requerida para ha-cerlo hervir.

En la fig. 17E se tiene una gráfica delos puntos de ebullición del agua conforme

151

varía la presión. Nótese que a la presiónatmosférica nonnal de 76 cm de Hg, quevale 1 013000 dinas/cm2 (15 Ib/in2), elagua hierve a 1000 C.oA una presión do-ble, se debe llegar a una temperatura de1200 C, etc.

Consideremos, por ejemplo, el agua hir-viendo dentro de una olla a presión cuandoel medidor de seguridad marca 15 Ib/in2.(Usamos aquí unidades inglesas por ser tancomún su uso en las ollas de presión quese encuentran en el mercado, 15 Ib/in2 esaproximadamente el valor de una atmósfe-ra normal. Ver la fig. 17F. ) Conforme

Fig. 17F. En una olla de presión que marta 15 lb/in',el agua hierve a 120 o c.

se va calentando más el agua dentru de laolla, se evapora algo de' ella, y aumentala presión. Esta presión continua subiendohasta que llega a 15 lb/in:': encima de lapresión exterior. En este punto, la válvulade seguridad se abre ligeramente y evitaque la presión interior supere este valor.En estas condiciones, la presión fuera dela olla, es 1 atm., mientras o'..ie la presióndentro de ella de 1 atm. nJás, o sea, 30Ib/in2. En la gráfica vemos que ahora elagua dentro de la olla deberá llegar a1200 C para hervir. Esta temperatura másalta hace que los alimentos se cuezan másrápidamente. En una olla abierta, el aguahierve a 1000 C, y su temperatura nopasará de este valor.

152

Fil. 17G. Dlalrama d. un lél..r como El Viejo Fieldel Parque Nacional de V.Uow.tone.

17.6 Los géiseres. Una de las grandesmaravillas del mundo occidental es la erup-ción espontánea del gigantesco géiser El'Viejo Fiel del Parque Nacional de Yellow-stone, en los Estados U nidos. La explica-ción siguiente de la actividad .del géiser,fue dada por primera vez por Bunsen en1847 Y se basa en el fenómeno de ebulli-ción descrito anteriormente.

El agua de algún arroyo cercano se cuelaen una grieta o agujero vertical, y ahí,debidq al calor volcánico interior, se ca-lienta gradualmente, hasta la temperaturade ebullición (ver la fig. 17G). A causade que el agua se calienta desde abajo, yque las corrientes de convección son de-tenidas debido a lo estrecho de la grieta,se llegará a una temperatura considera-

FisICA DESCRIPTIVA

blemente. más alta que 100° C antes deque el agua del fondo pueda hervir.Ya que se está ejerciendo la presión at-mosférica en la superficie libre superior, elagua hervirá a 100° C. Dentro de la grie-ta, la presión adicional de unos 20 m deagua requiere una temperatura de 130° Cpara producir la ebullición. Debido a queel agua se calienta por abajo, esta tempera-tura más alta se logra cerca del fondo y laebullición empieza allí antes de presentarseen la parte superior. Cuando se llega a unatemperatura suficientemente elevada, lapresión del vapor, allá en el fondo, excedea la presión debida al aire y a la columnade agua sobre ella, y produce numerosasburbujas que empujan la columna de aguaque está encima e inician la erupción. Alllegar a la superficie el agua sobrecalen-tada, su presión de vapor es tan grandeque empuja con fuerza gran parte delagua hacia afuera.

Se puede efectuar una demostración ex-celente de estos principios con un géiserexperimental de la forma ilustrada en lafig. 17H. Estos modelos se pueden hacercasi de cualquier tamaño, desde 30 cmhasta más de 3 m de altura. El período de

-.

---

Fi" 17H. Gél..r experimental que hará erupción 1M-rlódlcamente.

CAMBIOS DE ESTAOO y BAJAS TEMPERATURAS

erupción depende del tamaño y de la can-tidad de calor aplicada.

17.7 Ebullición a temperaturas bajas.Así como se puede hacer que el agua hier-va a temperaturas más altas que 100° Cpor aumento de la presión, también sepuede hacerla hervir a temperaturas infe-riores a 100° C reduciendo la presión at-mosférica. Por razón de la importanciapráctica, que tiene este hecho¡ básico, sedará una explicación detallada. La figu-ra 17E es la gráfica de las tensiones delvapor de agua saturado, y representa las~ondiciones en las cuales el agua y el vaporsaturado pueden existir juntos én estado deequilibrio.

Ya que la ebullición en la superficie delagua tiene lugar cuando la tensión delvapor saturado se hace igual a la presiónatmosférica, se deduce que, al disminuiresa presión, se podrá llegar a la ebullicióncon una tensión de vapor más baja. Lalínea curva de la gráfica, por lo tanto,servirá como curva de los puntos de ebu-llición; todas las presiones y temperaturasa la derecha, representan el estado de va-por o gas, y todos los puntos a la izquier-da, el estado líquido.

Consideremos, por ejempÍo, el agua asu temperatura de ebullición pormal de100° C y a la presión de 76 cm de Hg.Para elevar su temperatura sin elevar lapresión, debe agregarse calor para vapori-zar el agua y producir vapor. Para bajarsu temperatura, se debe perder calor paralicuar el vapor y se debe quitar despuésmás calor para bajar la temperatura detoda el agua.

Para ir un poco más adelante, supon-gamos que se pone agua a la temperaturaambiente de 30° C en una campana devacío como se ve en la fig. 171, Y que sereduce lentamente la presión mediante unabomba de vacío. Empezando en el puntoA de la gráfica 17E, se disminuye la pre-sión hasta llegar a B, cerca de 3.18 cmde Hg, donde empezarán a formarse bur-bujas, y comenzará a hervir el agua. Paraevaporarla. ~e requiere calor, éste se obtie-

153

-+- bomba de vacío

Fig. 171. La temperatura de ebullición bala al dlsml.nuir la p..sión atmosférica. El agua hierve y se con-

gela simultáneamente en el vado.

ne del agua restante, enfriándola a unatemperatura más baja. La reducción con-tinuada de la presión, produce la ebulli-ción Permanente y una continua reducciónde la temperatura hasta que se alcanzafinalmente el punto de congelación a 0° C.La evaporación continua enfría la super-fice hasta que se forma hielo sobre lasuperficie del agua hirviendo. Aquí estamosen una condición en que el agua hierve yse congela al mismo tiempo y a 0° C.(El pequeño vaso con ácido sulfúrico,H2S04, puesto dentro de la cámara devacío, absorbe el vapor de agua, ayudandoa la bomba a mantener la presión sufi-cientemente baja.)

Aunque el agua al nivel del mar, a lapresión atmosférica normal, hierve a 100°centígrados, a mayores altitudes hierve atemperaturas más bajas. La prueba deeste hecho es bien conocida de aquellosque hacen excursiones a las montañas al-tas. Allí, donde la presión atmosférica esmenor, se necesita más tiempo de lo nor-mal para cocinar alimentos. Las tempera-turas. de ebullición dadas en la Tabla 17B,marcan los valores específicos a diferenteselevaciones.

Al volar a grandes alturas, el agua delos motores enfriados por agua hierve atemperaturas má.$ bajas. A una altura de10 km, la gasolina hierve a la temperaturade 65 ° C. A 20 km de elevación, la san-gre del cuerpo humano hierve a la tem-peratura de 37° C.

154 FÍSICA DESCRIPTIVA

TABLA 17B. PRESIÓN ATMOSFÉRICA Y TEMPERATURAS DE EiJULLICIÓN A VARIOS

NIVELES POR ENCIMA Y DEBAJO DEL NIVEL DEL MAR

17.8 Licuefacción del aire. Este métodode licuar el aire y otros gases, se basa enel principio del enfriamiento por dilata-ción. Éste fue el método por el cualDewar * licuó oxígeno por primera vez

* Sir James Dewar (1842-1923), químico y'físico inglés, notable principalmente por sus expe-rimentos sobre la licuefacción de los llamadosgases permanentes. De niño fue muy aficionadoa la música y cuando no pudo seguir tocandola flauta debido a un accidente, se puso a fabri-car violines. En este trabajo desarrolló una des-

. treza que le. resultó muy útil en años posteriores.Educado en la Universidad de Edimburgo, tuvovarios puestos de profesor. En 1891, Dewar ob-tuvo éxito en la licuación del oxígeno por primeravez. Le confirieron la Medalla Rumford de laReal Sociedad Británica en 1894 y fue armadocaballero en 1904. Construyó una gran fábricade refrigeración en la Institución Real de L<:>ndres,con la cual se licuó por primera vez el hidrógenoa la' temperatura de -2520 C, en 1898, y se soli-

en 1891, Y Linde licuó el aire en 1895. Eloxígeno se convierte en líquido a la tem-peratura extremadamente baja de -1840centígrados y el aire a -191 ° C. El) laescala Fahrenheit corresponden a-300° FY -312°F, respectivamente.

En la máquina de aire líquido de lafig. 17J, se comprime aire mediante unabomba a una presión de unas 20 atmós-feras. Debido a la compresión, se calientael aire a una temperatura bastante eleva-da. Por esto, debe ser enfriado haciéndolopasar por el depósito refrigerador. Este

dificó el hidrógeno a temperatura todavía másbaja, en 1899. Para sus colaboradores, fue cono-cido como un experimentador de habilidad extra-

. ordinaria. y un conferenciante de notable elo-cuencia.

Altura en el aire Temp. de Presión atmosféricaebullición

ft metros °e cm de Hg newtonsJcm2 IbJin2

1()()000 30490 9.8 0.82 0.11 0.1650 000 15 240 48.9 8.75 1.18 1.740 000 12 190 58.8 14.1 1.87 2.730 000 9140 69.2 22.5 3.04 4.420000 6100 79.6 35.0 4.68 6.715000 4570 84.4 42.4 5.66 8.210000 3050 89.8 52.2 7.00 10.18000 2 440 92.1 56.8 7.60 11.06000 1830 94.0 61.0 8.15 11.84000 1220 96.0 65.6 8.76 12.72000 600 98.0 70.2 9.40 13.7

Nivel del mar 100.0 76.0 10.13 14.7

-20 -6.5 113.7 121.0 16.20 23.4-40 -13.0 123.3 165.0 22.10 32.0-60 -20.0 131.2 210.0 28.20 40.7-80 .- 26.0 138.0 255.0 34.20 49.4

-100 -30.0 144.0 300.0 40.30 58.0-120 -36.5 149.0 345.0 46.30 66.7

ft metros °e cm de Hg newtonsJcm2 lbJin2

Profundidad bajo el agua Temp. de Presión totalebullición atmósfera + agua

CAMBIOS DE ESTADO Y BAJAS TEMPERATURAS 155

aire frío y. comprimido, pasa a través deltubo interior de un serpentín de doJ:>lepa-red, B, y escapa a través de la aberturaestrecha de una válvula de aguja, A. Elaire que escapa se dilata tanto que sutemperatura llega a ser considerablemente

tanque enfriador, para recorrer de nuevoel circuito. El ciclo se repite hasta que enla región V. la temperatura es tan bajaque se forman gotas de aire líquido en elchorro que sale de la válvula de aguja.Estas gotas caen en un fra~o Dewar y

tanque enfriador B-

válvula válvula

aire líquido

aislante térmico

Flg. 17J. Corte transversal de una máquina para licuar aire.

inferior a la del ambiente. El continuobombeo del compresor saca este aire a tra-vés del tubo exterior del serpentín, lo cualenfría el aire comprimido que va entran-do hacia la válvula de aguja. Este aire;vuelve a comprimirse y a enfriarse en el

se acumulan allí para ser apartadas poste-riormente.

17.9 La licuefacción del hidrógeno y elhelio. El hidrógeno fue licuado por pri-mera vez por Dewar, a la temperatura

156

de -252° C, en 1898, y el helio fue li-cuado por primera vez por Onnes,* a latemperatura de -268° C, en 1908.

La producción de hidrógeno líquido, ne-cesita de grandes cantidades de aire líqui-do. Primero se comprime el hidrógeno auna presión muy alta, y luego se enfríamediante el aire líquido. Después se le per-mite expandirse en un intercambiador se-mejante al usado para licuar el aire en lafig. 17J. Para licuar el helio, también serequiere una cantidad considerable de hi-drógeno líquido. Se comprime el gas, seenfría mediante el hidrógeno líquido y lue-go se le deja dilatar.

Haciendo hervir helio en un vacío par-cial, Onnes enfrió helio líquido a una tem-peratura de sólo 0.82° C por encima delcero absoluto.

17".10 Experimentos con aire líquido. Atemperaturas extremadamente bajas, laspropiedades físicas de la materia son muydiferentes de sus propiedades a la tempe-ratura ambiente. Esto puede demostrarsepor varios experimentos con pequeñas can-tidades de aire líquido. El aire líquidotiene la misma apariencia y densidad queel agua. Cuando se vacía en un frasco deDewar, hierve vigorosamente hasta que elrecipiente se enfría a la temperatura delaire líquido. Una pequeña espiral de alam-bre de plomo enfriada en aire líquido, sehace elástica y trabaja como un resorte.Un tubo de goma o los pétalos de unaflor, se hacen duros y quebradizos comosi fueran de vidrio. Una pelota hueca degoma no rebota, sino que se rompe enpedacitos la primera vez que choca conel suelo. Un racimo de uvas, un huevoo un trozo de carne, presentan la mismadureza y se quiebran como vidrio.

El mercurio y la gasolina se congelancuando son enfriados en aire líquido. Por

* Kammerlingh Onnes (1852-1926), físico ex-perimental holandés, principalmente notable porsus experimentos efectuados con sustancias a muybajas temperaturas y por su descubrimiento de lasuperconductividad. En 1908 logró por primeravt:z licuar el helio. En 1913 se le concedió elPremio Nobel de Física.

FÍSICA -DESCRIPTIVA

ejemplo, se puede hacer un martillo paraclavos, vaciando mercurio en un pequeñovaso rectangUlar de papel que tenga unmango de m.adera y luego congelándolo.Ver la figura 17K.

mango de madera

vaso

aire líquido

Fil. 17K. Cómo hacer un martillo de mercurio.

Una campanilla de plomo, golpeada conun badajo de acero produce un tono sordocuando está a temperatura normal, pero sise baja la temperatura a la del aire lí-quido, producirá un tono tintineante algolpearla el mismo badajo. Ver la figu-ra 17L.

Fig. 17L. Una campana de plomo enfriada a la tem-peratura del aire líquido da un tono metálico.

Si el aire líquido se deja en reposo poralgún tiempo, el nitrógeno empezará a her-vir dejando oxígeno casi puro en la faselíquida. Los cigarrillos o cigarros empapa-dos por unos s~gundos en oxígeno líquidoy luego encendidos con una cerilla., arde-

CAMBIOS DE ESTADO Y BAJAS TEMPERATURAS

rán rápidamente como si fueran fuegosartificiales. Una viruta de lana o algodónpresentará d mismo efecto, pero se in-cendiará en forma aún más explosiva. Sepueden usar cartuchos que contengan pol-vo de madera o corcho carbonizado, em-

157

papados de oxígeno líquido, para producirexplosiones y mover grandes cantidades detierra, para ello, el cartucho, ya empapadoen oxígeno líquido, es metido dentro de laroca por un orificio, y se incendia pormedio de un fusible o una chispa eléctrica.

PREGUNTASY PROBLEMAS

1. ¿Depende de la presión la temperaturade ebullición de un líquido? De ser así,¿por qué?

2. ¿Cuáles son los principios del funcio-namiento de las ollas de presión? ¿Llega elagua a una temperatura mayor?

3. ¿Cuáles son los principios de opera-ción de un géiser como El vieja fiel del Par-que Nacional de Yellowstone?

4. Definir o explicar brevemente lo si-guiente: a) humedad absoluta, y b) hume-dad relativa.

11. ¿A qué temperatura hervirá el aguaa una altitud de 13000 ft? Use la Tabla17B y la fig. 17E. (Resp. 86.5° C.)

12. ¿A qué altura hervirá el agua a 85°centígrados? Use la Tabla 17B y la fig. 17E.

13. Si la humedad r~lativa es de 25%cuando la temperatura del aire es de 30° C,¿cuál es la humedad absoluta? (Resp. 7.5g/m3.)

14. La humedad absoluta es de 12.5 g/m3 cierto día, cuando la temperatura es de25° C. ¿Cuál es la humedad relativa?

15. Si la humedad absoluta es de 14.2g/m3 en un día en que la temperatura esde 32° C, ¿cuál es la humedad relativa?(Resp. 42.8%.)

5. Explicar por qué la evaporación de unlíquido produce el enfriamiento del líquidoresidual.

6. ¿Puede el agua hervir a 90° C de tem-peratura? ¿Puede el agua hervir a la tempe- 16. Si la humedad relativa es de 60%ratura ambiente de 25° C? ¿Puede el agua cuando la temperatura es de 86° F, ¿cuálhervir a su temperatura de congelación? es la humedad absoluta?

7. ¿ Varia la temperatura de ebullicióndel agua con la altitud? ¿ Cuánto baja latemperatura de ebullición del agua por cada1 000 ft de elevación?

. 8. ¿ Por qué se cuece más lentamente la-comida en lo alto de las montañas? ¿Podríaacelerarse el cocimiento de los alimentos conuna olla de presión en lo alto de las mon-tañas ?

9. Hacer un diagrama de una máquinade aire líquido. Describa brevemente cómoproduce aire líquido.

10. Usando los valores dados en la Ta-bla 17B, hacer una gráfica de la altitud con-tra el punto de ebullición del agua. Hacerla gráfica hasta 6 100m. De esta gráficaencuentre el punto de ebullición del agua auna altitud de uno y dos kilómetrps.

17. Cuando la temperatura es de 95° F,se encuentra que la humedad relativa es de40%. ¿Cuál es la humedad absoluta? (Resp.15.7 g/m3.)

18. ¿Cuál es la temperatura del hidróge-no líquido y del helio líquido en grados Fah-renheit ?

19. Si al nivel del mar el medidor deuna olla de presión indica 15 lb/in2, ¿cuáles la temperatura del agua que está hirvien-do dentro de ella ? Ver la fig. 17E y la Ta-bla 17B. (Resp. 1'20°C).

20. ¿A qué presión manométrica debemantenerse una olla de presión si se quieremantener en su interior el agua hirviendoa 110° C? Ver la fig 17E.

21. Si un metro cúbico de aire contiene22g de vapor de agua y la temperatura es

158

de 95° F, ¿cuál es la humedad relativa?(Resp. 56.1,%.)

22. Si la humedad absoluta es de 14 gde vapor de agua por metro cúbico de airey la humedad relativa es de 60%, ¿cuál esla temperatura?

23. Cuando la humedad relativa ciertodía es de' 55"%, se encuentra que la hume-dad absoluta es de 12.5 g de vapor de aguapor metro cúbico de aire. ¿Cuál es la tem-peratura? (Resp. 77° F.)

FÍSICA DESCRIPTIVA

24. ¿A qué profundidad en el interior deun géiser hervirá el agua a 130° C ? Ver laTabla 17B para la presión necesaria.

25. ¿A qué profundidad dentro de ungéiser hervirá el agua a 1250 C? Ver laTabla 17B. (Resp. 13.5 m ó 44.3 ft.)

26. La abertura de un tubo en la tapade una olla de presión tiene" un área de0.10 c.m2,¿qué fuerza en newtons debe ejer-cerse sobre esta abertura si la temPeraturade ebullición del agua en el interior es de1300C? Ver la fig. 17F Y la Tabla 17B.

~ _.- -- . --

18

VIBRACIONESY ONDAS

18.1 Movimiento annónico simple. Cual-quier movimiento, simple o complejo, sise repite en intervalos iguales de tiempo,se llama movimiento periódico. Hay mu-chos ejemplos en la vida diaria que danorigen a un tipo especial de movimientoperiódico que se llama movimiento armó-nico simple~ El balanceo del péndulo deun reloj o la vibración de un diapasón,son buenos ejemplos del movimiento ar-mónico simple. Se les aplica el nombrede movimiento armónico simple porquecada uno de ellos puede describirse enfunción del movimiento más simple de to-dos los movimientos periódicos, el movi-miento circular uniforme. .

El movimie1fto armónico simPle se de-fine como la pY()'yección sobre cualquierdiámetro, AB, de un punto que reco"e,v,., "./ ~

// ~/ I \

Ir: \I I \f I \

Al c~, 'P lB\ x I\ I\ /, //, /" -"'- ./'"

Flg. 18A. Movimiento armónico Ilmple a lo largo d.un diámetro Al.

una circunferencia con rapidez uniforme.Esto se ilustra en la fig. 18A. El puntoP se. mueve recorriendo la circunferenciade radio r con una rapidez uniforme v.Si en cada instante se traza una perpen-dicular del punto p al diámetro AB, la in-

tersección P tendrá un movimiento armó-nico simple. Al moverse atrás y a4elantea lo largo del diámetro AB, cambia con-tinuamente la velocidad Vt:del punto P.En el punto e tiene su valor máximo,mientras que en los puntos A Y B llegamomentáneamente al reposo. Partiendo decualquier extremo de su trayectoria, la ve-locidad aumenta hasta llegar a C, desdeallí disminuye. volviendo al reposo en elextremo opuesto de la trayectona.

El desplazamiento de un movimientoarmónico simple, se define como la distan-cia desde el centro C hasta el punto P.Como se ve en la fig. 18A, el desplaza-miento x varía en magnitud desde ceroen C, hasta r, el radio del círculo de re-ferencia, en A o en B.

La amPlitud r se define como el valormáximo del desplazamiento X,y el períodose define como el. .tiempo necesario paraefectuar una vibración comPleta.

Si se inicia una vibración en A, no secompleta hasta que el punto vuelve otravez a A, habiendo pasado por B. Si seinicia en C y se mueve hacia B y vuelvea C, sólo ha efectuado media vibración.La amplitud r se mide generalmente encentímetros y el período T en segundos.

La frecuencia del movimiento armónicose define como el número de vibracionescompletas efectuadas en un segundo. Porejemplo, si un objeto vibrante en particu-lar, efectúa una vibración en medio se-gundo (el período, T = 1/2 seg), enton-ces realizará dos vibraciones completas enun segundo (la frecuencia, n = 2 vib/seg) ..Si ahora el cuerpo completa una vibra-ción en un décimo de segundo, T = 1/10seg, efectuará 10 vibraciones en 1 seg~

160

n = 10 vib/seg. En otras palabras, n yT son recíprocas entre sí.

1período = frecuencia

ó ( I8a )1

frecuencia = periodo

Expresado algebraicamente,

T=!.n ' (18b)

Puede obtenerse un ejemplo de un cuer-po móvil con movimiento armónico sim-ple, con una masa fijada al extremo deun resorte como se ve en la fig. 18B. En

fI,. 18B. La masa en el extre~o del resorte e'edúamovimiento armónico simple.

el diagrama (a) el resorte S y la masa mcuelgan en su posición de equilibrio. En(b) se ha aplicado una fuerza F para\ es-tirar el resorte desplazando la masa a unadistancia a. Desde que se deja libre, lamasa se mueve hacia arriba y abajo conmovimiento armónico simple. En el dia-grama (c) se presenta el resorte compri-mido por la masa m en el punto más altode la vibración.

18.2 Varillas vibrantes. Si se fija firme-mente por un extremo una varilla de ma-dera o de metal, como se ve en la figura18G, se la puede poner en un estado natu-

FÍSICA DESCRIPTIVA

ral de vibración. Desplazando hacia un la-do y dejando después en libertad el extre-mo libre de la varilla, se moverá a uno yotro lado con movimiento armónico sim-

ple. Si se aumenta la masa m que se fijóen el extremo libre de la varilla, disminui-rá la frefuencia de las vibraciones, mien-

, I(>'\ 11\ ,) LTJy-( I

\ I\ I\ I\ I\ I\ I\ I\ I\ I '\ I\ I\I\1

II111111

11

11

11

11

U

II

r

¡

\ ,\1\\\\1\'

m

fig. 18C. Vibraci6n de, (a) una varilla fila por unextremo y cargada en el otro y (b) los brazos de

un diapasón. .

tras que si se hace más rígida la varilla,ya sea aumentando su grueso o disminu-yendo su longitud, la frecuencia aumen-tará.

En el diagrama (b) se presenta un dia-pasón como los que usan los músicos paraafinar sus instrumentos. Golpeando un bra-zo del diapasón contra cualquier objeto,se produce la vibración simultánea de losdos brazos en direcciones opuestas. Cuantomás delgados sean los brazos del diapasón,más baja será la. frecuencia de la vibra-ción. Cuanto más cortos sean los brazos,mayor será dicha frecuencia.

cuerda A. _pulso simple de onda(o) ~

-tren de ondas- ~

(b) tu -- ._u- ifig. 180. Elemplos d. ondas 'ranlvenale. producidas

a lo largo d. una cuerda.

r-"- - - ..

VIBRACIONES Y ONDAS

8-----

A

161

4t

H

Fig. 18E. Máquina de onda. demostrando la. onda. tran.versale..,

Los diapasones son usados con finesciéntíficos, además de usarlos los músicoscomo modelos de tono. Como instrumen-tos científicos, desempeñan una funciónn1UYútil marcando intervalos de tiempo,cortos e iguales. El diapasón común usadocon este propósito, suele tener una fre-cuencia de mil vibraciones por segundo,n = 1 000 vib/seg, y se mantiene vibran-do por medio de un circuito eléctrico se-mejante al de los timbres.

18.3 Fuentes productoras de ondas. Sepuede considerar como fuente. productorade ondas al movimiento de cualquier ob-jeto material. Una tabla que golpea elagua, el chasquido de los dedos o una

A--

eB

cuerda de. violínejemplos de ello.

Supon~amos que d extremo lejano deuna cuerda se fija a un poste, como se veen 'la fig. 18D (í(), Y que el otro extre-mo (h), que se tiene en la mano, reciheun hrusco movimiento hacia arriba- y ahajo.La perturhación enviada a 10 largo de lacuerda viaja hasta lleg-ar al poste, comose ve c'n la fig-ura, y se reCleja despuésvolviendo hacia la mano. Este tipo deonda se llama imJmLJo .rim/J!e de onda.Si en lugar de un impulso hrusco se mue-ve la mano hacia arriha y ahajo con mo-vimiento armónico simple, viajará un trende ollda.r, c.omo se ve en el di,t~rama. l h).

Cuando se hacen vil ifar los brazos de

un diapéL<;ón,producen un movimiento ar-

.rotada, son huenos

D--

E

Flg. 18F. Máquina de ondas demostrando ondas tongitudlnale..

....... . 4 . . 4. 4t4 . t 04.044 nI

I

-

;;;;;;

162

mónico simple en el aire que los rodea.Cada brazo golpea periódicamente a lasmoléculas de aire inmediatas; estas mo-léculas, a su vez, golpean a otras, trans-mitiendo más allá. la perturbación. Alprogresar hacia afuera en todas direccio-nes, estas perturbaciones constituyen lasondas sonoras.

nSICA DESCRIPTIVA

la derecha, conservando siempre sus mis-mas distancias relativas.

Las ondas sonoras en el aire son unejemplo de ondas longitudinales. Cada mo-lécula de aire vibra hacia atrás y adelantea partir de cierta posición de equilibriocuando el tren de ondas pasa por esepunto.

18.6 Ondas en el agua. El movimientode la superficie del agua cuando pasa unaola, es una combinación de ondas trans-versales y longitudinales. Las moléculas deagua se mueven para atrás y adelante yal mismo tiempo hacia arriba y abajo, esdecir, en círculos o elipses. Como se ilus-tra en la fig. l8G, cada molécula se mueveen un círculo vertical para formar lascrestas A, C y E, Y los valles B y D quese van moviendo horizontalmente. Un pe-queño corcho colocado sobre la superficiedel agua y observado por un lado, exhibiráeste movimiento circular. Cuando una per-sona nada en el mar picado y se le acercala cresta de una ola, primero es arras-trado hacia arriba y adelante en la direc-ción en que avanza la ola; después queha pasado la cresta, cae y es arrastradohacia atrás.

18.4 Ondas transversales. Las ondastransversales son aquellas en que cada par-tícula se mueve en una línea perpendicu-lar a la dirección en que se propaga laonda. Todas las partículas vibran dentrode un solo plano a lo largo de una líneade transmisión. En la fig. 18E se ilustranestas ondas por medio de una máquinacreadora de ondas, diseñada con este pro-pósito. Conforme se hace girar el mangoH a un lado o al otro, las pequeñas esfe-ras superiores se mueven subiendo y ba-jando con movimiento armónico simple.Mientras se mueven hacia arriba y abajo,cada una de ellas en su propia línea ver-tical, la onda ABCDEF se moverá haciala derecha o hacia la izquierda. La luz esotro ejemplo de movimiento ondulatoriotransversal.

18.5 Ondas longitudinales. Las ondaslongitudinales son .aquellas en las que la 18.7 Ondas estacionarias. Casi todos losvibración de cada partícula tiene lugar sonidos producidos por instrumentos musi-

A B e D E-- ~ ---..

-~ ". - _.-".., ,

Flg. 18G. Ondas en 01 agua (olas). Cada molt\cula describe un cfrculo o elipse al pasar la onda. E.una combinación de ondas longitudinales y transvenales.

a lo largo de una línea recta paralela ala dirección en que se propaga la onda.Este tipo de onda se ilustra en la fig. 18F,con otra máquina productora de ondas.Conforme se hace girar el mango H, cadapequeña esfera se mueve horizontalmenteen el plano del dibujo, con movimientoarmónico simple. Al hacer esto, las zonasB y D de enrarecimiento y las zonas decondensación A, C y E, se mueven hacia

cales son el resultado de ondas estaciona-rias. Las ondas estacionarias pueden pro-ducirse en cualquier sustancia, ya sea só-lido, líquido o gas, mediante dos trenesde ondas de la misma frecuencia queviajen en el mismo medio en direccionesopuestas. En la fig. 18H se ve una de lasformas de conseguirlo. Se fija un extremode la. cuerda a un poste y el otro extremo,que se mantiene tirante, se mueve hacia

VIBRACIONES Y ONDAS

LI

-163

Fig. 18H. Ondas estacionarias producidas al reflelane un tren de ondas transversales en el ."lemod. una cuerda.

arriba y abajo con un movimiento annó-nico simple. Confonne llegan la~ ondas alextremo fijo de la cuerda, son reflejadasy al regreso encuentran a las ondas quevienen detrás de ellas. Si las ondas tienenla frecuencia apropiada, la cuerda sopor-tará los dos trenes de ondas dividiéndoseen secciones, como se ve en la figura. Lospuntos Ll a Ls, donde la cuerda tienemáximo movimiento hacia arriba y abajo,son llamados antinodos, y los puntos sinmovimiento que quedan entre ellos son

la fig. 181 (a). Se fija el extremo derechodel resorte y el extremo izquierdo se mue-ve hacia adelante y atrás con movimientoannónico simple. Si las vibraciones produ-cidas tienen la frecuencia apropiada, lasondas que avanzan hacia la derecha en-cuentran a las ondas reflejadas que regre-san hacia la izquierda, producirán nodosy antinodos. Los nodos, N, correspondena puntos donde no hay movimiento, y losantinodos, L, a puntos donde el movimien-to es máximo. Los puntos del diagrama

/ (a)

I - - I ,2 wT t. . .- - '. ~;

3 .11 I... . . . . ... fI .¿11.T.. . . 9¿..., IT.L .~4 -- - ~

5 . ... .¡' ~ l' .. . . . . ."t" i TI". . . ~ I . . r t . . . . .; . . t t t . . . . . . . . ~'. 1;.,. . . . . ~ . . . ., . . .,..~. JJ. . . 11~ . . . . t . .r ~., . . . . . . . . . . . '. .~11... . . . .8'1'-.1.8. . . ~

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t- - - ~ 1-- - t- - -~; - - t- - - . - - - t- - - .- - - t- - - .- - - t- - - . (e)L1 L~

Fig. 181. Ondas estacionarias producidas por: (a) las ondas longitudinales de un resorte, (b) las ondaslongitu~inales del sonido en .1 aire y (d) las ondas transvenales de una cuerda; (e) y (e) indican la

dirección de la vibración en los antinodos.

Uamadosnodos. La línea gruesa representala cuerda en cierto instante y las otraslíneas la representan en ptrcs momentos.

Las ondas estacionarias de vibracioneslong¡tudinaleg ~ pueden demostrar con unresorte flexible y largo, como se ve en

(b) indican las posiciones y movimientos"'clativos de cada espira individual del re-sorte en nueve momentos diferentes duran-te una vibración completa. Los puntos delos nodos se mantienen fijos en todo mo-mento, mientras que los de los antinodos

164

se mueven para delante y atrás como se-ñalan las flechas del diagrama (c). En elinstante (3), se forman compresiones enlos nodos nones N 1, N 3 Y N 5 Y enrare€;i-mientos en los nodos pares N 2, N 4, N 6.Media vibración más tarde, en (7 ), seintercambian quedando los nodos de com-presión convertidos en nodos de enrareci-miento y viceversa.

En los diagramas (b), (c), (d ) Y (e)de la fig. 181, se presenta una compara-ción directa de las onda.c; estacionariastransversales y longitudinales. Los núme-ros 1, 2, 3, etcétera, indican los estadoscorrespondientes de las vibraciones de unoy otro. El diagrama (c) indica las ampli-

FÍSICA DESCRIPTIVA

18.8 Longitud de onda. Cuando un ob-jeto vibrante produce ondas en un mediohomogéneo, las ondas avanzan con veloci-dad constante. Si la fuente vibra con mo-vimiento armónico simple y las ondas sontransversales, tendrán la apariencia de lasondas dibujadas en la fig. 18J. La longi-tud de onda se define como la distanciaentre los puntos semejantes de dos ondasconsecutivas, y se representa con la letr¡griega lambda, A. La distancia entre lascrestas de ondas consecutivas, por ejemplo,es igual a una longitud de onda.

La amplitud de la onda se define comoel valor máximo del desplazamiento. Estose representa con r en la fig. 18J; la am-

1-

fig. 1eJ. La ~ongitud de onda X es la distancia entre los puntos correspondientes de dos ondas suce.sivas, y la amplitud r es el m6ximo del desplazamiento.

tudes de los movimientos longitudinales delos antinodos del resorte, y el diagrama(e ) los movimientos transversales de losantinodos de la cuerda.

Debe explicarse que los puntos del dia-grama (b) también representan los movi-mientos de las moléculas de aire, cuandose reflejan las ondas sonoras en una paredplana, regresando sobre ellas mismas paraproducir ondas estacionarias. Como vere-mos en el siguiente capítulo, así son lasvibr~ciones de .aire producidas dentro deun tubo de órgano, una flauta y otros ins-trumentos musicales de viento.

Aunque las ondas sonoras en el aire sonvibraciones longitudinales, por convenien-cia se acostumbra dibu jarlaS como ondastransversales. Por esto era necesario quehiciéramos la comparación de la fig. 181.En los dos capítulos siguientes dibujaremoslas ondas sonoras como si fueran ondastransversales.

plitud de la onda es igual a la an1plitudde la vibración, de la fuente. La frecuen-cia de un tren de ondas se define como elnúmero de ondas que pasan po?"1.mpuntodado en un segundo. Es igual a la frecuen-cia de la vibración de la fuente y se re-presenta en general con la letra n. Seacostumbra expresar la frecuencia en vi-braciones por segundo o ciclos por segundo.

De la definición de la velocidad, fre-cuencia y longitud de onda, vemos queexiste una relación muy simple entre ellas:

EJ ( 18c)

La longitud de una onda A, multiplicada.por. el número de ondas por segundo, n,es igual a la distancia total recorrida enun segundo, V.

Ya. que el período se define como el. tiempo necesario para que pase una onda

VIBRACIONES Y ONDAS

por un punto dado, también se aplica alas ondas la relación entre la frecuenciay el período que dimos para las fuentes devibración en la ecuación (18b).

EjemPlo. Si se mueve un tren de ondasa lo largo de una cuerda con una velocidadde 100 cm/seg y la onda tiene una longitudde 20 cm, ¿cuál es la frecuencia y cuál elperíodo de la fuente?

Solución.- Sustituyendo estos valores en ellugar apropiado de la ecuación 18(c), obte-nemos

165

100cm/seg = n X 20 cm

o sea,

n = 100/20= 5vib/seg

Por la ecuación (18b), obtenemos

T = 1/5 = 0.2seg

La frecuencia es de 5 vib/seg, y el períodode 0.2 seg.

,PREGUNTAS Y PROBLEMAS

1. Hacer un diagrama y explicar breve-mente cada una de las siguientes clases demovimientos ondulatorios: a) ondas trans-versales; b) ondas transversales estacionarias.

2. Hacer un diagrama y explicar breve-mente las siguientes clases de movimientosondulatorios: a) ondas longitudinales, y b)ondas estacionarias longitudinales.

3. Explicar brevemente la relación entrefrecuencia, período, velocidad y longitud deonda.

4. Definir o explicar brevemente cadauno de los siguientes: a) movimiento armó-nico simple; b) desplazamiento, y e) am-plitud.

5. Definir o explicar brevemente cadauno de los conceptos siguientes: a) frecuen-cia; b) período, y e) longitud de onda.

6. Un extremo de un resorte se fija a unsoporte rígido y el otro se mueve haciaatrás y adelante para establecer una ondalongitudinal estacionaria como se ve en lafig. 181 (a ). Si la frecuencia es de 5 vibIseg y la distancia entre nodos es de 30 in,encontrar la velocidad de las ondas.

7. Se producen ondas longitudinales es-tacionarias en un resorte como en la figura181 (a). Si la velocidad de las ondas es de32 ftlseg y la distancia. entre nodos esde 12 in, ¿cuál es la frecuencia de: a) lafuente, y b) las ondas? (Resp. a) 16 vib/seg, y b) 16 vib/seg.)

8. Se ata el extremo de una cuerda larga.a uno de los brazos de un diapasón y el

otro a un soporte rígido. Si el diapasón vibracon una frecuencia de 264 vib/seg, envian-do ondas a lo largo de -la cuerda con unarapidez de 8 m/ seg, encontrar la longitudde onda.

9. Un diapasón con una frecuencia de396 vib/seg manda ondas de sonido quetienen una longitud de onda de 36 in. En-contrar la rapidez de las ondas en ft/seg.(Resp. 1 188 ft/seg.)

10. Unas ondas transversales, viajandopor una cuerda tensa con una rapidez de42 ft/seg, tienen una longitud de onda de4.2 in. Calcular la frecuencia.

11. Unas ondas sonoras que viajan porel aire con rapidez de 1 140 ftj'seg tienenuna longitud de onda de 33 in. Encontrarla frecuencia. (Resp. 415 Vib/seg.)

12. Unas ondas sonoras, de un diapasón,con frecuencia de 480 vib/seg, viajan porel aire con rapiqez de 356 m/seg. Encontrarla longitud de onda.

13. Una cuerda de 60 ft cuelga de lacampana de una torre. Si la punta inferiores movida para atrás y adelante cuatroveces en un segundo, mandando cuatro on-das completas hacia arriba por la cuerda,las ondas se reflejan arriba y regresan a lapunta inferior en un tiempo total transcu-rrido de 2.8 seg. ¿Cuál es: a) la velocidadde las ondas, y b) la longitud de onda?(Resp. a) 42.9 ft/seg, y b) 10.7 ft.)

14. Una punta de una cuerda de 100 ftse fija a la cornisa de una torre alta y la

166

otra punta cuelga libre. Si se mueve la pun-ta inferior para atrás y adelante cinco vecespor segundo, viajan cinco ondas subiendopor la cuerda y regresan abajo en 4.6 seg.Encontrar: a) la velocidad de la onda, yb) la longitud de la onda.

15. Se producen ondas transversales esta-cionarias en una cuerda como se ilustran enla fig. 18H. Si la frecuencia de la fuentees de 12 vib/seg Y la distancia entre nodos

nSICA DESCRIPTIVA

es de 2.5 ft. ¿Cuál es la rapidez de las on-das a lo largo de la cuerda? (Resp. 60 piespor segundo.)

16. Se producen ondas estacionarias trans.versales en una cuerda moviendo una puntaarriba y abajo con movimiento armónicosimple. Ver la fig. 18H. Si la distancia entrelos nodos es de 28 in y la frecuencia es de30 vib/seg. ¿Cuál es la velocidad de lasondas en pies por segundo?

- - --- -. ..- - -- - -

19

SONIDO

19.1 Transmisión del sonido. La trans-misión del sonido de un lugar a otro, dela fuente al receptor, requiere de un mediomaterial por el cual pueda avanzar. Debenotarse el contraste con la luz, que viajamejor a través del vacío.

Puede demostrarse que el sonido se- transmite por el aire o cualquier gas colo-

cando una pequeña campana dentro deuna cámara de vacío, como se representaen la fig. 19A. Conforme se va eliminando

vacío

bomba devacío

FIS. 19A. Afuera no .e oye la campana cuando .....na en el vado.

lentamente el aire de la cámara, se vahaciendo más y más tenue el sonido dela campana hasta que, a un vacío elevado,no se oye nada. Tan pronto como se ad-mite de nuevo el aire, vuelve a oírse cla-ramente el sonido de la campana. tsta,al vibrar, golpea las moléculas de aire,arrojándolas lejos de la superficie metá-lica. Estas moléculas en rápido movimien-

to golpean ~ otras moléculas de aire con-tiguas y éstas a su vez golpean a otras.Al llegar a la pared de la cámara, lasparedes de vidrio son bombardeadas pe-riódicamente por las moléculas de aire,haciéndolas vibrar. Las paredes a su vezponen en vibración al aire exterior. Alllegar al oído del observador, esta pertur-bación golpea el tímpano y hace que tam-bién se mueva. Si no hubiera aire paratransmitir las vibraciones de la campana alas paredes de la cámara de vacío, nuncapodría salir de esta cámara.

Debe hacerse notar en este punto quelas ondas sonoras son vibraciones longitu-dinales. Las esferitas movibles de la má-

quina de ondas de la fig. 18F representanel movimiento molecular ~uperpuesto a losmovimientos irregulares de origen térmicode las moléculas de aire.

La transmisión del sonido a través delos líquidos, puede ilustrarse con el expe-rimento de la fig. 19B (a). Un diapasón,con un disco unido a su base, se hacevibrar y luego se pone en contacto con lasuperficie del agua de un recipiente. Lasvibraciones del diapasón y del disco viajana través del agua hasta el fondo del reci-piente y a la tabla de la masa. tsta esobligada a vibrar COIl la misma frecuen-cia del diapasón, actuando -como caja deresonancia para hacer más intenso el so-nido.

La transmisión del sonido en los sólidos,se muestra en el diagrama (b). Un diapa-són vibrante se pone en contacto con elextremo de una barra larga de madera.Las vibraciones longitudinales viajan atodo lo largo de la barra, haciendo quevibre la caja hueca de madera en el otro

168

caja hueca de resonancia

barra larga de madera

Fls. 19B. Demostraclon..de la transmision del so-nido: (a) por los IIquidos, como el agua; y (b) por 101

sólidos, como la madera.

extremo. Se oye claramente el sonido quesale de la caja.

19.2 Velocidad del sonido. Aunque laluz y el sonido viajan con velocidades de-finidas, la velocidad de la luz es tan gran-de en comparación con la del sonido queun destello instantáneo puede considerarseque no necesita tiempo para viajar mu-chos kilómetros. Cuando vemos la luz deun rayo que cae lejos y oímos despuésel trueno, sabemos que la diferencia detiempo se debe a la velocidad relativa-mente lenta del sonido. Sabiendo que elsonido necesita un segundo para viajar330 m aproximadamente, se puede calcu-lar la distancia donde cae la tormenta, conel segundero de un reloj. De modo seme-jante, cuando arranca un tren a distanciay nosotros vemos la primera nube de humoal arrancar, no se recibe el sonido corres-pondiente sino hasta después de un tiempoapreciable.

Las primeras medidas de la velocidaddel sonido, fueron hechas en 1640 porMarin Mersenne, un físico francés, y en1656 por Giovanni BoreIli y Vincenw Vi-

FÍSICA DESCRIPTIVA

viani, físicos italianos. Desde entonces, mu-chos experimentadores han mejorado estasprimeras medidas usando diferentes méto-dos y aparatos. Las mediciones más recien-tes, y probablemente más exactas, son lasque hizo en 1934 Miller.* Usando los ca-ñones de la defensa costera de Norteamé-rica como fuente de sonido y poniendoreceptores colocados a ciertas distanciasentre sí, hizo determinaciones muy exactasde velocidad. Los resultados le dieron unavelocidad de 331 m/seg a la temperaturade 0° C. Esto equivale a 1 087 ft/seg.

Como. regla general, el sonido viajaen los sólidos y liquidos más aprisa que enlos gases. Esto puede ilustrarse por lasvelocidades medidas en unas cuantas sus-

tancias comunes, que se dan en la Ta-bla 19A.

TABLA 19A. VELOCIDAD DEL SONIDOEN DIFERENTES SUSTANCIAS

Es bien sabido que la temperatura tieneun efecto pequeño, pero medible, sobre lavelocidad del sonido. Por cada grado cen-tígrado de aumento en la temperatura, lavelocidad del sonido en el aire aumentaen 61 cm/seg. Escrito como ecuación,

I V=V.+O.61t I (19a)

* Dayton c. Miller (1866-1940), físico america-no, famoso por sus experimentos sobre -la calidadde los sonidos musicales. Formó la más grandecolecci6n de flautas del mundo. Estos instrumen-tos los dej6 al Instituto Smithsoniano de Wásh-ington, donde se exhíben actualmente. Fue miem-bro de la Academia Nacional de Ciencias de Nor-teamérica, y presidente de la Sociedad FísicaAmericana; recibi6 la Medalla Elli()~ Cresson y laMedalla de Servicio Distinguido de Cleveland.

Sustancia Velocidad Velocidaden mI seg en ftlseg

Aire (a O°C) .. 331 1087Hidrógeno. . . . . 1269 4165Agua ......... 1435 4708Alcohol. . . . . . . 1 213 3890Hierro. . . . . . . . 5130 16820Vidrio. . . . . . . . 5000 16 140

SONIDO

donde Vo es la velocidad en metros porsegundo a 0° C, y t la temperatura engrados centígrados.

Por cada grado Fahrenheit que suba latemperatura la velocidad en el aire au-menta 1.1 ftjseg. Si la velocidad Vo estáen ftjseg a 32° F, Y t es el cambio detemperatura en °F desde 32°, la velocidadV es dada por

I V=V.+ 1.11 I

Una velocidad de 1087 ft/seg equivalea 741 mi/ih. En las partes altas de la es-tratósfera, donde la temperatura en el diasube a 200° F, la rapidez del sonido au-menta en 185 ftjseg. Allá, la velocidad esde 1 272 ft/seg, que equivale a 867 millaspor hora.

(19b)

19.3 Tono. El tono de una nota musi-cal se refiere a su posición en la escala mu-sical, y se determina principalmente por lafrecuencia de los impulsos de sonido pro-ducidos por la fuente vibrante. Se puede

(o)

169

produciendo una nota musical. Conformela rueda gira lentamente, la frecuencia devibración de la tarjeta disminuye y la notabaja de tono.

El diagrama (b) es el de una sirena se-mejante a las usadas en los silbatos de fá-bricas y en los vehículos de bomberos. Laenergía de movimiento y el sonido provie-nen del aire comprimido que sopla a tra-vés de los pequeños agujeros del recipientehueco c. El aire que sale de estos agu je-ros pasa a través de los agujeros similaresdel disco giratorio W. Estando los agujerosperforados a un cierto ángulo contrapuesto,como se ilustra en el detalle (d), los cho';'rros de aire que salen de los agujerosestacionarios, ejercen una fuerza sobrelos lados de los agu jeros del disco mó-vil W. Conforme gira el disco, cada chorrode aire es interrumpido momentáneamentehasta que el siguiente agujero queda sobrede él. Los impulsos intermitentes de aireproducidos por el disco forman una notamusical.

El diagrama (c) de la fig. 19C, repre-senta una sirena en la que un chorro de aire

(b) (e)

Flg. 19C. Demostraclonel aWltlcCII de la relael6n que hay entre el tono y la 'recuencla.

demostrar en muchas formas que el tonodepende de la frecuencia. La fig. 19C re-presenta en el diagrama (a ) una ruedadentada (llamada rueda de Savart), gi-rando a alta velocidad. Una pequeña tar-jeta de cartulina sostenida contra los dien-tes de la rueda, se pone en vibración

es interrumpido por un disco giratorio convarios anillos de agujeros. Cuando se soplael aire a través de un anillo de agujeros,los impulsos de aire que salen del ladoopuesto producirán una nota cuya frecuen-cia depende del número de agujeros quetiene d anillo y de la rapidez con que gire

170

la rueda. Ya que cada anillo puede conte-ner diferente número de agujeros, se puedecrear una escala musical y hacerla. sonarponiendo el tubo de salida del aire frentea los diferentes anillos en la sucesión apro-piada.

Experimentos detallados realizados conobservadores entrenados y no entrenados,hace ver que el tono y la frecuencia no sonidénticos. El tono es una medida subjetiva,por tanto, una magnitud sensorial quedepende del individuo, mientras que lafrecuencia es una medición física del nú-mero de vibjseg. Por ejemplo, si se aumen-ta la intensidad de un tono puro de 300vibjseg, .parecerá a la mayoría de los ob-servadores que cambia su calidad y al mis-mo tiempo disminuye ligeramente el. tono.Inversamente, a una alta frecuencia, losaumentos de intensidad parecen elevar eltono.

19.4 Rdracción de las ondas sonóras.La desviación de las ondas sonoras en lascapas de aire de diferentes temperaturas,recibe el nombre de refracción. Este fenó-meno puede observarse en varias formasy se debe a la mayor velocidad del sonidoen el aire caliente, comparada con su ve-locidad en el aire frío (ver la Sección19.2).

Se encuentra una buena demostraciónde esto en la observación que Se puedehacer al navegar en un lago o río cuandose puede oír música de un radio o fonó-grafo bastante alejado, en la noche, y noes posible oírlo en el día. La razón de estose explica en l~ fig. 19D. En la noche, el

airefrío "~-=------------ - - ----- noche

FÍSICA DESCRIPTIVA

aire cercano al agua está más frío que elaire de las capas. superiores y la velocidadmayor dei sonido en el aire caliente, des-vía las ondas hacia abajo. Durante el día,el aire que está cerca de~ agua está máscaliente y entonces las ondas son desviadashacia arriba alejándolas del agua.

Las experiencias recientes de este tipo,han sido efectuadas con sonidos muy fuer...tes producidos por cañones. Las ondas so-noras refractadas en las capas superioresde la estratósfera indican, con cierta segu-ridad, la existencia de capas muy calientesde aire a alturas de 40 a 65 km. En estoscasos la refracción es semejante a la re-flexión producida en la superficie de unespejo, ya que las ondas viajan en líneasmás o menos rectas hacia arriba y luegosufren una flexión repentina cuando entranmás o menos bruscamente a una capa máscaliente.

19.5 El oído humano. El oído es el re-ceptor de sonido más importante y uni-versal. Tiene una enorme amplitud de fre-cuencias y sensibilidad y puede distinguirentre tonos musicales cuyas frecuencias di-fieren por menos del 1 por ciento. Ademásde esto, puede analizar algunos sonidos ensus notas componentes y concentrarseen estas notas una por una separadamente.

El proceso de la. audición ha sido discu-tido durante mucho tiempo por hombresde muy diversas ramas científicas. Aunquela mayoría de los expertos concuerdanen la estructura general y en los movi-mientos mecánicos que ocurren dentro deloído, todavía existen V;¡."~q rnntmvP~ias

aire frío ~~~~~~~

S. \",,\\\\\,\. aire cálido-- UlHII' U,"~ ." --

-- -- .----- - ----- - día - -

FIt8.19D. 1.0mayor veloddacl del sonlelo en el aire caliente reftacta las onda. sonora. hacia abato enla noche y hacia arriba en el dIo.

SONIDO 171

Fig. 19E. Corte transvenal del oldo humano.

respecto a las fUDe.ones de ciertas partes.Todo el mecanismo de audición se divideen tres partes: El oído externo, el oídomedio y el oído interno (ver la figura19E) .

El oído externo consiste en el pabellóndel oído, F, que sirve para recoger lasondas sonoras del exterior, y el canal deloído M, que lleva las ondas hasta el tím-pano D. El oído medio contiene tres Pe-queños huesos, H, A Y B, llamados el mar-tillo, el yunque y el estribo, respectivamen-te y están conectados a la cavidad nasal,y por ahí, con el aire exterior, por mediode un pequeño canal llamado trompa deEustaquio, E. La función de estos tres hue-sos es transmitir las vibraciones del tímpanoa la ventana oval del oído interno. El oídointerno consiste en dos partes esenciales:el caracol e (cóclea) y los canales semi-circulares P, L Y S. En el caracol se en-cuentran las terminales nerviosas que sonestim1,1ladaspor las vibraciones sonoras yproducen el sentido de la audiCión, y en

los canales semicirculares están las tenni-nales nerviosas que producen el sentido delequilibrio.

Todo el oído interno está contenido den-tro de una cavidad de la estructura óseasólida, a veces llamada el labe.rinto óseo.Este laberinto está completamente lleno deun líquido acuoso a través del cual setransmiten las vibraciones sonoras desde elexterior a las membranas sensibles del ca-racol. El caracol consiste en dos vueltas ymedia de una cavidad espiral en formade caracol y dividida a lo largo en trespartes, por la lámina espiral y la membra-na de Reissner. En la fig.. 19F se ven sec-ciones transversales del caracol. El diagra-ma (a) representa una sección transversalcortando una vuelta de la espiral, y eldiagrama (b ), una sección longitudinal,como se vería si el caracQl fuera desarro-llado en línea recta.

A todo lo largo de la membrana ba.~ilar,que tiene un poco más de 3 cm de largo,hay cerca de 30000 terminales nerviosas.

172

rampa del vestíbulo

lámina espiral

nervio auditivo

martillo

(b)

o

l' , , I I , ,O

FfslCA D$SCRlPTIV A

membrana tectórea

canal del caracol

fibras de corti',"-membrana basilar

I " , I lit

1 .'2 In.

2 cm~

3 cmI I I I I I I I I

I

1 in.

Flg. 19F. Detalle del caracol del oldo humano; (a) corte transvenal tlpleo '1 (b) caracol redlfleadoIlustrando las distintas reglon.. d. la lámina ..piral s.nsibl.s a los sonidos d. di"ren... frecuencias.

Esto da 1 000 nervios por milímetro delongitud, que deben pasar a través de lalámina espiral ósea y entrar al nervioauditivo que va al cerebro. El trabajo demuchos experimentadores demuestra quelas terminales, nerviosas más cercanas a la.ventana oval, donde las vibraciones entrana la rampa del vestíbulo, responden a lasnotas de tono más agudo, mientras queaquellas que están en el extremo más dis-tante, responden a los tonos más bajos.Se ven en el diagrama las regiones queresponden a cada frecuencia de la escala.

El tímpano y los huesos del oído medioactúan como un 'mecanismo de palancaspara dismUiuir la amplitud de las vibracio-nes del aire, un medio, más ligero; a lasdel líquido, un medio mucho más denso.Esta reducción del movimiento produceuna presión en el estribo que es de 30 a50 veces mayor que la ejercida en el tím-pano. Conforme el estribo se mueve paraadentro y para afuera con una frecuenciabaja, se pone en vibracián toda la columnalíquida, desde la ventana oval pasando por

la rampa del vestíbulo a la helicotrema,y regresando por la rampa del tímpanohasta la ventana redonda. Ya que los lí-quidos son prácticamente incompresibles,la ventana redonda se mueve hacia afueracuando la ventana oval y el estribo semueven hacia adentro y viceversa.

Cuando se hace sonar una frecuenciaalta, de unas 2000 vibjseg, las vibracionesdel líquido puesto en movimiento por' elestribo en la ventana oval, avanzan porla trayectoria marcada con línea punteadaen la fig. 19F, diagrama (b). Conformelas ondas progresan a través de la delgadamembrana de Reissner y cruZ~n la orillade la lámina espiral, se produce un movi-miento relativo entre la membrana basüar

y la membrana tectórea, que hace que lasfibras (varillas) de Corti locales estimulenlas terminales nerviosas en su ba~e. Enalgún punto de dicha estimutación y mo-vimiento, una parte de la energía se trans-forma en impulsos eléctricos, que marchanpor el canal del nervio auditivo hasta elcerebro.

SONIDO 173

19.7 Notas de pulsación. Cuando se ha-cen sonar juntas dos notas de tonos lige-ramente distintos, se oyen pulsaciones. Estefenómeno se usa en los tubos de órganopara producir el efecto llamado vibrato.Se usan para cada nota dos tubos afinadoscon frecuencias ligeramente diferentes.

El fenómeno de las pulsaciones puededemostrarse con dos diapasones montadoscomo en la fig. 19G. Se hace que un dia-.pasón esté ligeramente desentonado conel otro, atándole fuertemente unas ligasde goma alrededor de las puntas. Si sehacen sonar directamente los dos diapaso-nes, la intensidad del sonido sube y bajaperiódicamente. Esto se i1u..~trapor mediode las gráficas de vibraciones de la figu-ra 19H. La curva superior representa lasvibraciones sonoras de un diapasón que

fig. 19G. Diapasonesmontadosen calas ..sonantes llegan al oído, y la segunda curva laspara demostrarla resonancia. vibraciones del otro. Las dos ondas llegan

al oído, primero en fase, es decir, con el

sanes con el mismo tono exacto son mon- mismo paso una y otrB¡, y luego fuera de

tados en dos .cajas huecas separadas, como fase; vuelven a estar en fase, otra vez fue-se ve en la fIgura. Primero se hac

.b ra de fase, etc.

. eV1rar L ., 1el dIapasón A por un momento y luego se a aCClOnresu tante de estas dos ondasdetiene tocando sus puntas co~ los dedos. sobre el, tímpano, es representada por laEntonces se encuentra que está vibrando tercera lmea. Cuando las ondas están en-el.diapasón B. Teniendo en cuenta las fase, la. resultante tiene una amplitudeaJas huecas, cuyo propósito es actuar grande Igual a la suma de las amplitudes.co~o cajas de resonancia e mtensificar el de las o?das. ~u~do están fuera de fase,~onIdo, la explicación es bien simple. Cada su amphtud d~mmuye hasta cero. El nú-I~pulso acústico que sale de la caja que mero de p~lsaclOnes cada .segun~o, N, pue-vIbra .con el diapasón A, entra a la otra de determmal'Se por la dIfer~ncIa entre n2e~puJando los lados en el moment.o apro- y nI, que son las frecuencIas respectivas.pIado para hacer que los brazos del dia- de las dos fuentes productores de sonido.

pasón B se mue;an ~n el mismo sentido frecuencia de pulsacionesque cuando llego el Impulso anterior N - (19 ). - n2 - nI C

ni ~~~", . ' : m, . , , 56 .ib /88g

I II I I i I

19.6 Resonancia o vibraciones por sim-patía. Si se afinan dos cuerdas de violíncon la misma frecuencia y se hace vibraruna de ellas, la otra colocada a: algunadistancia, recogerá las vibraciones y repro-ducirá la misma nota. Este es un casode resonancia, fenómeno que ocurre sólocuando dos objetos tienen la misma fre-cuencia natural de vibración.

En la fig. 1-9G se ve una demostraciónexperimental de la resonancia. Dos diapa-

N

FIg. 19N. Las..notas de pulsacl6n Ion producidas por dos fAlcuenciae difsrentlts.

-1 seg

174

fig. 191. Ondas con céntricas extendiéndose desde unafuente única S.

Cuando la frecuencia de pulsacionesqueda entre 1 y 6 vib/seg, el oído percibeun intertono que queda intermedio entrelos dos sonidos, pero que periódicamenteaumenta y disminuye de intensidad. Cuan-do la frecuencia de pulsaciones aumenta,el subir y bajar es reemplazado por unasucesión de impulsos, luego por una sen-sación de aspereza y, finalmente, por dostonos que se perciben claramente separa-dos.

19.8 Interferencia y ondas sonoras. To-dos hemos tirado una piedra a un estan-

FÍSICA DESCRIPTIVA

que alguna vez y observado las ondas quese extienden en círculos crecientes. Estasondas se representan con círculos concén-tricos, como en la fig. 191. Las líneascontinuas representan las crestas de las on-das y, por tanto, están separadas unalongitud de onda, mientras que las líneaspunteadas representan los valles de las on~das y también están a una longitud deonda una de otra.

Si se tiran dos piedras simultáneamen-te al agua, se extienden dos juegos deondas, como en la fig. 19J. Al cruzarseestas ondas unas con otras actúan entre síproduciendo lo que se llama un diagramade interferencia. Donde se juntan las cres-tas de dos ondas en las intersecciones pun-teadas, se encuentran en fase, y se aumen-ta la elevación de la superficie del agua.Donde la cresta de una onda y el vallede la otra se reúnen, se encuentran fuerade fase, y la elevación de la superficie delagua se reduce. La~ regiones en fase se

Flg. 19K. Fotograf(a de un tanque de ondas con '0Flg. 19J. Ondas concéntrlcas saUendo de una 'uente Interferencia de las ond~. de agua de dos 'uentes.doble y produciendo un diagrama de Interferencia. (Cortel(a del Proyedo P.5.5.C.)

SONIDO 175

J)))))D

Flg. 19L. Experimento para demostrar la Interferencia de las ondas sonoras de dos 'fuentes.

mueven hacia afuera a lo largo de las ñ-neas punteadas como x, y y z y formandolo que se llama interferencia constructiva.Las regiones fuera de fase se mueven haciaafuera por las líneas continuas como a y bY ahí tenemos lo que se llama una inter-ferencia deJtructiva.

Una fotografía instantánea de este dia-grama de ondas se muestra en la fig. 19K.Nótese lo claramente que destacan lasregiones de interferencia de las ondas. Las

fotos de este tipo, así como la observacióndirecta de estos diagramas de ondas, pue-den hacerse fácilmente como sigue: Sepuede hacer un tanque que contenga. aguapoco profunda con un pedazo de vidrio deventana y un marco de madera. Se usacomo fuente una cinta delgada de metalfija por un extremo y puesta en vibraciónhacia arriba y abajo sobre el agua. Untrozo de alambre fijo a la punta vibrantede la cinta puede tener una punta tocando

, ::

Flg. 19M. Diagrama que muestra los puntos donde las ondas llegan en fa.. y fuera de fa...

176

el agua para dar una fuente sola y conlas dos puntas en el agua para dar unafuente doble. Viendo en fonna intennitentelas ondas a través de un disco ranurado,o iluminadas con una lámpara estrobos-cópica, puede uno hacer que el diagramade ondas aparezca estacionario, o avancecon movimiento retardado.

En la fig. 19L se muestra un experi-mento para demostrar la interferencia deondas sonoras. Dos pequeños magnavocesde radio SI y S2 se montan a unos 150 cmde separación en una caja hueca. La cajapuede girar en torno a un eje vertical co-locado a la mitad entre los centros de losmagnavoces. Cuando los dos magnavocesson conectados a un generador sonoro elec-trónico, G, vibran en fase y mandan ondasidénticas al aire que los rodea. A unos dosmetros de distancia, un micrófono, M, sir-ve como un excelente detector, y un osci-loscopio conectado a él indicará las am-plitudes relativas de las ondas sonoras resul-tantes que llegan a M. Al girar lentamentela caja en una dirección, la amplitud de lasseñales P del osciloscopio suben y bajanperiódicamente indicando interferenciasconstructivas y destructivas. Al girarlo len-tamente de regreso, se vuelven a observarmáximos y mínimos en las mismas posi-ciones angulares.

Un diagrama instructivo, mostrando lallegada de pares de ondas al micrófonopara las respuestas máximas y mínimas,se presenta en la fig. 19M. Los puntosx, y y z corresponden a los puntos x, yy z de la fig. 19J, donde las ondas lleganen fase, mientras que los puntos a y bcorresponden a aquellos en que llegan fue-ra de fase.

Midiendo los ángulos en que se presentala máxima respuesta en el experimentode la fig. 19L, así como la distancia entre

FÍSICA DESCRIPTIVA

S 1 YS, Y la distancia D, puede calcularsela longitud de onda de las ondas sonoras.En la fig. 19N se muestra esta relacióngeométrica.

Cuando la línea que une a las dos boci-nas fonna un ángulo recto con la perpen-dicular bisectriz D, las fuentes están equi-

51

Fig. 19N. Relaciones geom'tricas para encontrar lalongitud de onda de las ondas sonoras de una fuente

doble.

distantes de M, las ondas llegan en fase ytenemos el punto y de las figs. 19J Y 19M,Cuando las fuentes se giran a la posiciónz, la línea de los magnavotes se ha giradoun ángulo O, las ondas llegan de nuevoen fase; pero el camino Xl es exactarnenteuna longitud de onda más largo que elcamino X2. Con un ángulo O mayor, elcamino Xl puede hacerse exactamente doslongitudes de onda más largo que x2, y aun ángulo mayor aún se le pueden hacertres longitudes' de onda más largo, ctc.Para todos estos ángulos especiales, dondelas ondas están en fase, podemos escribirla misma ecuación

X2-XI=nÁ (19d)donde

n = O,1, 2, 3, . . .

Midiendo las distancias X2 y Xl para lasdiferentes posiciones de igualdad de fase,se puede calcular la longitud de onda delas ondas sonoras con la eco (L9d) .

PREGUNTASY PROBLEMAS

1. Describir brevemente el fenómeno de 2. Hacer un diagrama del oído humano.la refracción de ondas sonoras. Dar un ejem- Mostr:ar los tímpanos interno y externo; elplo y hacer un diagrama. . martillo, yunque y estribo; la trompa de

SONIDO

Eustaquio; el caracol, los canales semlcircu-lares )Cel pabellón.

3. Explicar y hacer un diagrama de unexperimento con que pueda demostrarse laresonancia.

4. ¿Qué son las notas de pulsación?¿Cómo se producen? Hacer un diagramaque muestre la forma de las ondas ionorascuando se producen las pulsaciones.

5. Definir o explicar brevemente 'cadauno de los siguientes elementos: a) tono;b) resonancia, y e) nOtas de pulsación.

6. Hacer un diagrama y explicar breve-mente un experimento que pueda realizarsepara demostrar que las ondas de sonido setransmi ten en: a) g.ases; b) líquidos, y e)sólidos.

7. Encontrar la rapidez del sonido en elaire cuando la temperatura es de 30° C.(Resp. 349.3 m/seg.)

8. Si la temperatura del aire fuera de24°C, ¿cuál será la rapidez del sonido enel aire?

177

13. Si un barco de guerra a 30 mi de lacosta dispara sus cañones, ¿cuánto tardaráel sonido en ser oído en la costa? Considereuna temperatura de 84° F. (Resp. 2 min,18 seg.)

14. ¿Cuánto tiempo después de ver laprimera bocanada de humo de una locomo-tora que empieza a trabajar, oirá su ruidoun observador desde una loma a un kiló-metro de distancia? Considere una temperratura de 25° C.

15. Un observador militar ve up cañónenemigo en el momento de disparar. Ob-servando su reloj determina que el inter-valo de tiempo entre el relámpago luminosoy el sonido es de 10 seg. ¿Cuántas y~rdasde distancia debe reportar para dár la posi-ción del cañón si la temperatura es de 68°Fahrenheit? (Resp. 3 760 yd.)

16. Tres diapasones tienen frecuencias de352, 495 Y 528 vib/seg, respectivamente. En-contrar las frecuencias de ]as notas de pul-sación que pueden producirse sonando lostres diapasones por pares.

17. Encontrar la rapidez del sonido en el9. Si la velocidad del sonido en el aire aire al nivel del mar si la temperatura es

es de 1120 ft/seg, ¿cuál es la temperatura de 00 F. (Resp. 1052 ft/seg.)del aire en la escala Fahrenheit? (Resp62° F.)

10. -Se observan los fuegos' artificiales deun parque público desde una loma a 15 mide distancia. Cuando estalla un cohete en elaire, ¿cuánto tardará en oírse el ruido des-pués de haber visto las brillantes luces porprimera vez? Considere que la luz se veen el instante que estalla el cohete y quela temperatura del aire es de 9'2o F.

11. Un hombre fija unos rieles a losdurmientes con clavos y da los martilazoscon intervalos de 3 segundos. ¿Cuántos mar-tillazos de atraso tendrá el sonido cuandollega a un observador que lo mira por untelescopio desde un punto a 2 mi de distan-cia? Considere la temperatura del aire a111°F. (Resp. 3 martillazos.)

12. Calcular la rapidez del sonido en elaire en un día caluroso en que la tempe-ratura es de 1020 F.

18. La rapidez del sonido en el aire enun día caliente resulta ser de 1 190 ft/seg.Calcular la temperatura.

19. Dos cuerdas adyacentes de 'Un pianotienen las frecuencias de 460.4 y 492.7 vib/seg, respectivamente. ¿ Cuál es la frecuenciade la nota de pulsación que producen cuan-do se tocan simultáneamente.? (Resp. 32.3vib/seg. )

20. La. rapidez del sonido en el aire enun día caluroso resulta ser de 1 164 ft/seg.Calcular la temperatura.

21. Dos cuerdas vecinas en un piano tie-nen frecuencias de 392 y 440 vib/seg, res-pectivamente. ¿Cuál es la frecuencia de lanota de pulsación. que producen cuando setocan simultáneamente? (Resp. 48 vib/seg.)

22. Tres diapasones tienen frecuencias de264, 358 y 440 vib/seg, respectivamente. En-

178 FÍSICA DESCRIPTIVA

contrar las frecuencias de las notas de pul- 24. Calcular la rapidez del sonido en elsación que pueden producirse sonando los aire en un día caluroso cuando la tempe-diapasones por pares. ratura es de 98° F.

25. Si un acorazado a 12 mi adentro del23. Encoptrar la rapidez del sonido en mar dispara sus cañones, ¿cuánto tardará

el aire si la temperatura es de 54° C al nivel el sonido en oírse en la costa? Considere unadel mar. (Resp. 364 m/seg.) temperatura de 68° F. (Resp. 56.2 seg.)

20

INSTRUMENTOS MUSICALES

20.1 Instrumentos de cuerda. Hay dosrazones principales para que los instrumen-tos de cuerda de diferentes tipos tengansonidos distintos en lo que se refiere a lacalidad del tono: primero, el tavnaño yfonna del instrumento, y segundo, la fonna

N N

.: s.oñ~~~,y=aFlg.20A.Una cuerda vibrando con su frecuencia

fundomenfot

en que se hacen vibrar las cuerdas. En elviolín y el violoncelo se hacen vibrar conarcos fonnados por cerdas estiradas fuer-temen te; en el arpa y la guitarra se ha-cen vibrar rasgueándolas con la uña, yen el piano las cuerdas son golpeadas conligeros mazos de fieltro.

En condiciones IllUYespeciales, se puedehacer que una cuerda vibre con nodos

en ambos extremos de la cuerda, como seve en la fig. 20A. En esta fonna de mo-vimiento, la cuerda produce su nota másbaja posible, y se dice que está vibrandocon su frecuencia fundamental.

Todos los músicos saben que una cuer-da gruesa y pesada tiene un tono naturalmás bajo que una cuerda delgada, quelas cuerdas cortas tienen un tono más agu-do que las cuerdas largas, y que, cuantomás tensa esté la cuerda, más agudo essu tono. La cuerda de sol de un violín,por ejemplo, es más gruesa y pesada quela cuerda más aguda de mi, y las cuerdasde los tonos bajos del piano, son más lar-gas y más gruesas que las de los agudos.

20.2 Annónicos y sobretoDos. Cuandoun violinista profesional toca en armónicos,toca ligeramente las cuerdas en varios pun-tos y pone a vibrar cada una en dos omás segmentos, como se ilustra en la fi-

>c fund~me~t~'1er. armon/co

2n~

3n=:J~ - ._r<

4n~ 5

~ 20. armónico

- ~ 40. arnJónico

6n =:J~ = ~..c... ...c.-~ 80.armónicoFig. 20B. Modos de vlbracl6n de las cuerdas de los Instrumentos musicales.

179

180

gura 20B. Si se toca una cuerda en e1centro, se forma en ese punto un nodoy la frecuencia de la vibración se hacedoble que la fundamental. Si se tocaligeramente una cuerda en un punto aun tercio de distancia de su extremo, vi-brará en tres secciones y tendrá una fre-cuencia triple de la básica.

En la teoría elementil de los instru-mentos de cuerda, se admite que las cuer-das son delgadas, uniformes, altamenteflexibles y que vibran con amplitud peque-ña entre dos soportes rígidos. Para estacuerda ideal, los nodos de vibración men-ciona~os antes, llamados modos naturales,tienen frecuencias exactamente iguales alos múltiplos enteros de la frecuencia fun-damental n, y son llamados armónicos.Para hacer ver lo cercanas que están lascuerdas reales a estas condiciones ideales,se dan en la Tabla 20 A las frecuenciasmedidas en una cuerda de piano, cuyafrecuencia fundamental es de 32.70 vib/seg.*

FÍSICA DESCRIPTIVA

con frecuencia 2n, también se m.ueve ha-cia arriba y abajo como un solo tramo,con lá frecuencia fundamental n.

La onda sonora producida por esta cuer-da vibrante, está compuesta de dos frecuen-cias, la fundamental o primer armónicode frecuencia n., y e! segundo armónico oprimer sobretono con frecuencia 2n.

En la fig. 20D se ilustra un interesanteexperimento he.cho con cuerdas. vibrantes.La luz de una lámpara de arco es enfocadaen la sección central de una cuerda de~cero tensada, que, salvo por una pequeñaranura vertical, queda cubierta por unapantalla. Mediante un segundo lente, seenfoca una imagen de la ranura y de lasección visible de la cuerda, que se pro-yecta sobre una pantalla después de refle-jarla sobre un espej~ giratorio. Conformevibra la cuerda hacia arriba y hacia aba-jo, sólo se ve una imagen borrosa de lasección de la cuerda; pero cuando se hacegirar e! espejo, dicha sección traza clara-mente una curva visible, W.

TABLA 20.A. FRECUENCIAS ARMÓNICAS D E UNA CUERDA DE PIANO

3

98.3998.103.008

No es difícil hacer que una cuerda vibrecon su tono fundamental y con varios so-bretonos al mismo tiempo. Esto se lograrasgueándola o frotándola con e! arco vi-gorosamente. La fig. 20C ilustra un dia-

FiS. 20C. tuerda vibrando simultáneamente con sufrecuencia fundamental y el primer sobretono.

grama de una cuerda ideal vibrando endos formas normales al mismo tiempo.Conforme la cuerda vibra en dos tramos

4-

131.4130.84.018

5

164.7163.55.038

7

232.4-228.97.106

6

198.4196.26.066

8

266.8261.68J59

Si la cuerda se rasguea suavemente cer-ca de! centro, se forma una onda regu-lar (a) en la pantalla; pero si se rasgueafuerte y cerca de un extremo para pro-ducir una nota de sonido áspero, la ondaque se forma es más compleja, como seilustra en (b). En e! primer caso, de lacuerda está vibrando sólo con su tonofundamental, mientras que en e! segundoestán también presentes varios sobretonos.

Cuando una cuerda vibra con ondastransversales, golpea las moléculas de airealrededor de ella, lanzando por e! aire im-pulsos periódicos de ondas longitudinales.

* Ver R. W. Young, American Journal o/ 20.3 Ins~mentos ~e. viento. Los instru-Phy.rics,vol. 20, pág. 177, 1952. mentos musIcales claslÍlcados frecuentemen-

Modo número 1 2

Free. media 32.70 65.52Free. ann6nica 32.70 65.40Relación 1.000 2.003

INSTRUMENTOS MUSICALES 1g J.

Fig. 20D. Observación detallada d. las ...ibloti(,.n~$de una cuerda &"Ii,o¿o.

te como instrumentos de viento o de alientose dividen generalmente en dos subclases,de madera y de latón. Entre los primeros,encontramos instrumcntOs como la flauta,el flautín, el clarinete, el clarinete bajo, elsaxófono, el fagot y el contrajagot, y entrelos segundos, encontramos el corno, la cor-neta, la trompeta, el trombón tenor, eltrombón bajo y la tuba. ".

En la fjg. 20E se indica un experimentoen que se demuestran los principios fun-damentales que intervienen en la vibraciónde una columna de aire. Se usa un diapa-sÓn como fuente productora de ondas so-noras y se sostiene frente a la boca abiertade un tubo hueco largo que contiene agua.Al avanzar hacia abajo por el tubo con lavelocidad del sonido, cada tren de ondases rcflejado en la superficie del agua, re-gresando luego hasta arriba. Si se subeo baja el agua hasta un nivel apropiado,se producirán ondas estacionaria e; en lacolumna de aire, al establecerse resonancia

con la frecuencia del sonido producidopor el diapasón.

La primera resonancia se presenta enN1, cuando el nivel del agua está a muycorta distancia de la boca del tubo. Lasegunda resonancia se presenta en N2, auna distancia de la boca del tubo tres ve-ces mayor que NI, y la tercera resonanciaviene cn N3, que está a 5 veces la distan-cia de NI, etc. La razón de est~ fraccio-nes impares, es que en el extremo cerradodel tubo sólo se pueden fonnar nodos, esdecir, en la superficie del agua, mientrasque en la boca abierta del tubo se fonnanantinodos.

Las ondas estacionarias en el aire tienennaturaleza longitudinal, y son difíciles derepresen tar con dihu jos (véase la fig. 181).Por pura conveniencia, es muy comúnindicar las posiciones de los nodos y losantinodos, como si fueran onda~ transver-sales estacionariac; (líneas punteadas en eldiagrama). Si se conoce la frecuencia dd

182

o

- agua

Flg. .20E. Las ondas sonoras de un dlapas6n producenondas e.taclonarias en una columna de aire alustadas

a una IOl'jgltudapropiada.

diapasón usado en el experimento anterior,puede calcularse la velocidad del sonidoen el aire. La distancia entre dos. nodosconsecutivos es igual a media longitud deonda, así que ,\ es igual a la longitud de2 segmentos Ns - Nl, N4 - N2 o Ns-N s, como se indica en el diagrama. En W1experimento real, en que la temperaturaes de. 27 o e y el diapasón produce 512vibjseg, los nadas está11 separados unadistancia de 33.8 cm. Sustituyendo estosvalores en la ecuación de la onda (18c),nos da

V = n'\ = 512 X 67.6 = 34,611 cmjsegDividiendo entre 110, da

. V = 346.11 mjseg.

FfsICA DESCRIPTIVA

" ::: ;::::.--o:=;

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4" ~.,./ ..... "'x""" .....

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Flg. 20F. Columnas de aire resonantes, mostrando ¡osnodo. y antinodos.

20.4 Columnas vibrantes de aire. En lafig. 20F se ven los modos en que puedenvibrar las columnas de aire de tubos ce-rrados o abiertos. Empezando por la iz-quierda, el tubo abierto por los dos extre-mos puede vibrar con: 1) un solo nodoen medio y un antinodo en cada extremo;2 ) dos nodos y tres antinodos, o 3) contres nadas y cuatro antinodos, etc. Por otraparte, un tubo cerrado en un extremo yabierto en el otro, puede vibrar con: 1")un nodo y un antinodo; 2) dos nadas. ydos antinodos, o 3) tres nodos y tres anti-nodos, etc. En todas las columnas vibran-tes de aire debe formarse siempre un an-tinodo en los extremos abiertos y un nodoen los extremos cerrados.

Las frecuencias con que puede resonarun tubo son de valores definidos y fijos,dependiendo sólo de la longitud del tuboy de la velocidad del sonido en el aire.Si, por ejemplo, los tubos de la fig. 20Fson todos de 60 cm de largo y el sonidoen el aire tiene una velocidad de 336 mjseg, la ecua(:ión (18c), V:-= nÁ, nos diceque vibrará con las siguientes frecuencias:

n 2n

560 140 420 700

3n

840

3n'n' 5n'

280

INSTRUMENTOS MUSICALES

gas delumbrado~

N L N

183

tubo de ólgano

L L LN N

Fig. 20G. Ondas estacionarias en 1In tubo lleno de gas combustible.

Con un tubo abierto, la frecuencia másbaja posible recibe el nombre de funda-mental, y las otras, con frecuencias múlti-ples enteras de la frecuencia fundamental,211.,311.,411.,etc., son llamadas armónicos.Con los tubos cerrados, la más baja fre-cuencia es de nuevo la fundamental y lasotras con frecuencias múltiplos enteros im-pares, 311.',511.',711.',etc., son los armóni-cos. Todas estas formas de vibración seconsideran formas naturales de vibración,y sus frecuencias correspondientes son lasfrecuencias naturales. Al tono fundamentaltambién se le llama primer armónico.

Se puede demostrar la existencia de on-das estacionarias en una columna reso-nante de aire, mediante un tubo huecolargo alimentado con gas combustible,como se ve en la fig. 20G, como .un me;,chero múltiple. El gas que entra atrave-sando un pistón por el lado izquierdo, salepor los pequeños agujeros espaciados aintervalos regulares, perforados en la partesuperior del tubo. Las ondas sonoras deun tubo de órgano actúan a la columnade gas poniendo antes en vibración unahoja de papel delgado colocada estiradasobre el extremo derecho. Cuando se lograla resonancia al colocar el pistón movibleen una posición conveniente, las pequeñasllamc¡,sdel gas presentarán la distribuciónilustrada en la figura. Donde se presentannodos e:'1 la columna vibrante de gas, lasmoléculas de gas no se mueven (véase lafig. 181 (b); en estos puntos la presión es

grande y las llamas son más altas. A lamitad entre estos puntos están los antina-dos, regiones donde las moléculas vibranpara atrás y adelante con amplitudes gran-des, y las llamas S..1 bajas. El principiode Bernoulli, es el principal motivo por.el cual se. producen diferencias de presión(véase la Sección 14.6) , ya que dondela velocidad de las moléculas es grande,la presión es pequeña, y donde la veloci-dad es baja, la presión es elevada. -

En muchos de los instrumentos de vien-to de las orquestas, nó son del todo uni-formes las columnas vibrantes de aire, y elextremo abierto está considerablemente

acampanado. Debido a esta irregularidad,los nodos no están espaciados uniforme-mente, las frecuencias posibles no son ar-

e

El

do re

Fig. 20H. Tubos de órgano formando la escala musi-cal. A tubo más lal'9O, frecuencia y tono más balos.La columna vibrante de aire en la flauta se corta envarios puntos por las aberturas a lo largo del tubo.

184

mónicos exactos del fundamental. Comoilust.ración de lo cercanos que son los va-lores de los nodos normales de vibración alos verdaderos amlónicos de4tuno nota fun-datnental, se dan en la Tabla 20B lasfrecuencias media') de las notas abiertas

FÍSICA DESCRIPTIVA

tipo del saxótono o clarinete, oboe y fagot,se sopla el aire contra una laminilla del-gada de madera, llamad'} lengüeta, ha..ciéndola vibrar. En la mayoría de los ins-trumentos de latón los labios dd músicose hacen vibrar con la frecuencia necesa..

TABLA 20B. FRECUENCIAS ARMÓNICAS ;)E UNA CORNETA

Las notas abiertas son aquellas paralas que todas las. válvulas se dejan abiertasy vibra toda la columna de aire.

20.5 Teoria de las columnas vibrantes deaire. Las notas producidas por la mayo-ría de los instrumentos de viento, se lo-gran variando la longitud de la columnavibrante de aire. Esto se ilustra con lostubos de órgano de la figura 20H. Cuantomá') largo es el tubo, más baja es la fre-cuencia fundamental o el tono de la nota.En un órgano de concierto regular, lostubos varían de 10ng"Ítud desde unos 15cm para las notas más agudas, hasta 4.85metros para las más graves. Para la octavamedia de la escala musical, los tubos deboca abierta varían de 60 cm para el do,hasta 30 cm para el do una octava másalto. En los instrumentos de madera, comola flauta, la longitud de la columna sevaría con orificios que tiene a lo largo; yen muchos de los de latón, como la trom-peta, se usan válvulas. Una válvula es unpistón que ah'Tega una longitud adicionalal tubo cuando se la presiona.

20.6 Tonos de bordes vibrantes. Aunqueel tono de la nota producida por cualquierinstrumento de viento es determinada porla vihración de una columna de aire, deacuerdo con los principios de la resonan-cia, el método seguido para producir dichavibración varía notahlemente de un ins-trumento a otro. En los instrumentos dd

ría, mientras que en algunos de maderadel tipo de la flauta y el flautín, y los tubosde órgano y silbatos, el aire ~ sopla contrael filo de una abertura ceTClULaa un ex-tremo del inslrumento~ hacienoo que elaire vibre. Por eso es importan;e haceraquí una breve discusión de estas fuentesde vibración.

Cuando el viento o una corriente de aireencuentran un ohstáculo pequeño, se for-man pequeños remolinos en la corriente deaire detrás del obstáculo. Esto se ilustraen- la fig. 201 con la sección transversalde un tubo de órgano. Lo mismo si elobstáculo es un objeto alargado como sies pequeño y redondo, los remolinos se for-man altern ados en los dos lados como semuestra. La. corriente de aire en BJ oscilahacia atrás y hacia adelante mandandoimpulsos de aire, primero por un lado ydespués por el otro. Aunque el a.ire soplea través de la abertura .tÍ como una co-rriente continua, los remolinos separadosque van subiendo a uno y otro lado delobstáculo, producen golpes periódicos sonreel aire que los rodea. Estos impulsos quese producen a intervalos perfectamente re-gulares, producen una nota musical.

El número de remolinos formados cadasegundo, y, por tanto, el tono de la notaproducida aumenta con la velocidad delaire. Cuando éste sopla entre los árboles,el tono de las nota') producidas .sube yhaja~ dependiendo su ,frecuencia de la ve-locidad del mismo, los objetos más pequc-

Ñlodo número 2 3 4 5 6 H

Free. media 23°3.4 349.9 467.5 587.7 706.2 498.6Free. armónica 233.4 350.1 466.8 583.5 700.2 933.GRelación 2.000 2.998 4.007 5.037 6.058 8.130

INSTRUMENTOS MUSICALES

tubo

.' ..". .. ., .".

.:'é:ft>.I::i. ....

~iAf.

[l.1

t aire

Flg. 201. Una corriente continua da aire que da en ellabiet de un tubo de órgano, produce r-unolinos en los

dos lados del obstáculo.

ños producen nota') más agudas. Un alam-bre o una liga de goma estirada puestaen una ventana abierta o en medio del,'i~nto, vibra- y produce una nota musical.Cada remolino del aire produce una re-acción del obstáculo (el alambre o la ligade goma), empujándolo pFimero haciaun lado y después hacia el otro. Estosempujones son los que hacen que la cuerdadel a<;ta de una bandera golpee periódica-mente con la brisa, y las ondulaciones dela handera arriba nos hacen ver los re-molinos que se suceden alternativamentea cada lado.

La cc'umna de aire, dentro de un tubode órgano, flauta o flautín, tiene su propiafrecuencia natural de vibración, que puede

185

coincidir, o no, con la frecuencia de 'lanota producida en el borde. Si coincide,se produce resonancia, y la columna deaire vibra con una gran amplitud y losimpulsos de aire que regresan por dentrodel tubo con cada vibración, fuerzan a lacorriente de aire hacia afuera en el mo-ITlento apropiado, ayudando a reforzar lafrecuencia natural del tubo. Si el. tono

producido por la vibración en el bordetiene una frecuencia diferente de la fun-damental de la columna de aire, se pro-ducen vibraciones pero no son tan intensascomo antes. Si, por ejemplo, la nota pro-ducida en la entrada del tubo de órgano,se acerca al doble de la fundamental deltubo, y se puede obtener esta nota poruna corriente de aire más fuerte, el tuboresonará con frecuencia doble de su fun-damental y producirá una nota intensa yuna octava más aguda.

Soplando más fuerte en la bot::a de unflautín o flauta, se puede subir toda laescala de notas una octava por encima delnivel en que toca nOITIlalmente el instru-mento. En todos los instrumentos mencio-nados arriba, donde se sopla aire a travésdel borde agudo de una abertura para ha-cedos sonar se fonna un antinodo' en eseextremo, igual que en el tubo de órganode la fig. 201. En el otro extremo se pro-ducirá un antinodo o un nodo, dependien-do de que esté abierto o cerrado.

20.7 Instn1mentos de percusión. Barrasvibrantes. Si se dejan caer sobre el suelovarios pedazos de madera, se produce unsonido que se describe como ruido. Si sedeja caer un solo pedazo de madera, elsonido se aprecia también como ruido,a menos que se escojan pedazos de maderade longitud apropiada y se dejen caer enun orden conveniente. Si se hace esto, seobserva que cada pedazo de madera pro-duce una nota bien definida y que puedenseleccionar;e los pedazos de manera quefonnen una escala musica1. El uso de lasvarillas vibrantes en un jnstrumento demúsica, se encuentra en eJ xilófono) lamarimba y el triángulo. Se pueden producir

186

ondas estacionarias en las barras, al igualque en las cuerdas tensas, y pueden serde tres clases: transversales, longitudinaleso de torsión. Sólo trataremos ahora de losdos primeros modos de vibración.

Las ondas tranversales de una barra vi-brante, generalmente se producen soste-niendo la barra en puntos cercanos a susextremos y golpeándola cerca del centro.Como se ve en la fig. 20j (a), el centroy los extremos de la barra se mueven para

FÍSICA DESCRIPTIVA

de aire encerrada esté en resonancia conlas ondas sonoras producidas por la barrapor la barra que tiene encima. Cada tuboresonador, abierto en los dos extremos,forma un nodo en su centro.

El diapasón produce sónidos cuyo tonodepende de las vibraciones transversalesde una barra. Cuando produce un tonofundamental, como se ilustra en la figu-ra 20K, forma antinodos en los dos extre-

tlg. 20J. (a) Vibraciones transversales de uncl barrauniforme. lb) Diagrama de las barras y tubos de una

marimba.

arriba y para abajo, formando nodos enlos dos soportes. Cuanto más corta es labarra, más agudo es el tono; y cuanto máslarga y pesada es la barra, más baja esla frecuencia de vibración y el tono pro-ducido, tal como ocurre en las cuerdas.

El xilófono es un instrumento musicalbasado en las vibraciones transversales delas barras de madera de diferentes longi-tudes. Montadas como se ilustra en la fi-gura 20j (b), las .barras más largas prC?-ducen las notas graves y las barras .máscortas producen las notas agudas. La ma-rimba. es esencialmente un xilófono conun tubo largo y hueco suspendido vertical-ment~ debajo de cada barra. Cada tubose corta de tal longitud que la columna

(o) (b)

Fig. 20K. Los nodo. de la vibrací6n de un diapal6nproduciendo (a) el tono fundamental y lb) el primer

sobretono;

mos. Debido al doblez del centro, los dosnodos están más cerca entre sí que en unabarra recta, y el antinodo del centro trans-mite a través del mango vibraciones for-zadas de pequeña amplitud a cualquiersuperficie en que se apoye.

20.8 Placas vibrantes. Aunque es difícilconsiderar como instrumentos musicales altambor y a los címbalos (platillos), se lesclasifica como tales y se les usa en casitodas las orquestas y bandas important~.El ruido producido por el cuero de untambor o los platillos de un címbalo, esdebido en general a la alta intensidad deciertos sobretonos característicos. Estos so-bretonos se deben a su vez a las formasmuy complicadas en que vibra la fuentedel ~onido.

Los címbalos consisten en dos discosmetálicos delgados, con agarraderas en sus

!

1

'11 \1/I I , \,---------

1

1 II I I I ,

--- --I '

/

c::,=---- - ---" ---JI I

111 11

l' l'I , , JtI1 I II

INSTRUMENTOS MUSICALES

(o)

187

(b)

~ 20L. Lal flgural d. arena d. Chladnl, seiialan los nodas y antlnodol de, (á) un tambor (filo por101bordes) y de, (b) un platillo d. dmbalo (filo por .1 centro).

centros. Cuando se golpean uno contraotro, vibran sus bordes con un chasquido.Por otra parte, el cuero del tambor esuna membrana tensa de cuero, que semantiene fija en la periferia, y que se hacevibrar golpeándola en el centro o cercade él.

Para ilustrar la complejidad de las vi-braciones de una placa circular se presen-tan en la fig. 20L dos diseños típicos pro-ducidos con arena. El método de 'diseñoscon arena para el estudio de los movimien-tos de las placas, fue inventado en el si-glo xvm por Chladni, un físico alemán. Se

(a)

fija una placa metálica circular por elcentro, C, y su cara superior se rocía conarena. Después, mientras se detiene el bor-de de la placa en dos puntos, NI Y N 2, sefrota el borde con un arco de violonceloen el punto L. Se forman nodos en lospuntos estacionarios NI y N2 Y antinodosen las regÍ@flessin movimiento. En un ins-tante dado, las regiones marcaradas con(+) se mueven todas hacia arriba, mien-tras que las regiones marcadas con (-)se mueven hacia abajo. Media vibraciónmás tarde, las regiones (+) se muevenhacia abajo y l~ regiones (-) hacia arri-

F19. 20M. El borde cS. una campana o una co.pa vibra produciendo nodol y antlnodol.

(b)

188

bao Estos diagramas son llamados figurasde arena de Chladni.

A los platillos del címbalo fijos finne-mente por el centro mediante su mango,se les forma siempre allí un nodo y en laperiferia los antinodos. Por su parte, eltambor siempre 'forma en la periferia unnodo y en el centro a veces, aunque nosiempre, un antinodo.

20.9 Campanas. Las campanas son enciertos aspectos como los platillos del cím-balo, porque son golpeados con el badajo;se hace vibrar principalmente su borde,con nadas y antinodos distribuidos en unaforma simétrica en toda la superficie. Lavibración del borde se expone en la figu-ra 20M (a) y el experin1ento es presen-

FÍSICA DESCRIPTIV A

tado en (b). Se cuelgan esferilla~ de cor-cho alrededor del borde de una copa gran-ode de vidrio, tocándolo apenas. Se frotaun arco de violín contra dicho borde, locual hace que éste vibre con sus nodos yantinodos en determinados puntos de laperiferia. Los nadas siempre se presentanen número par, como ocurre en los plati-llos del címbalo y en el tanlbor, y losantinodos se mueven alternativamente ha-cia dentro y hacia afuera.

Estrictamente hablando, la campana noes un instrumento muy musical. Esto sedebe a que las vibraciones de la superficiede la campana son muy complejas, pro-duciendo muchos sobretonos intensos. Al-gunos de estos últimos son armónicos delfundamental, pero otros no lo son.

PREGUNTASY PROBLEMAS

11. La frecuencia fundamental de unclarín es de 66 vib¡scg. Todas la5 demásnotas producidas en este instrumento son ar-mónicos supel;ores de esta frecuencia. E!)-contrar las frecuencias de 2\1, 3"', 4.(\ 5(1Y 6°armónico. (Resp. 132, 198, 264, 330 Y 396vib/seg. )

12. La nota más baja de un flautín tieneuna frecuenc.ia fundamental de 528 vibjseg.

6. Hacer un diagrama de un tubo recto Encontrar las frecuencias dd 2", 3',' Y 4(1ar-abierto por los dos extremos y vibrando con: mónico de esta nota.a) su tono fundamental; b) su 4\1armónico,y e) su 7\1armónico.

1. ¿Cuántas frecuencias naturales de vi-bración puede tener una sola cuerda? ¿Cómose les llama? ¿Cómo están relacionadas esasfrecuencias?

2. ¿Cómo se producen diferentes notasde la escala musical? ¿Cuál es la frecuen-cia más baja de una cuerda?

3. ¿Cuáles' són los tres factores de quedepende .la frecuencia de llna cuerda? Es-'cribir la ecuación.

4. Hacer un diagrama de una cuerda vi-brando con: a) su 7\1 armónico; b) su 1'2\1armónico y su 1\1Y 4\1armónicos simultánea-mente.

5. Hacer un diagrama que muestre lacolumna de aire 1y;ibrante de un tubo cerrado

solamente por un extremo y produciendo:a) su 2\1 armónico y b) su 7\1 armónico je) ¿ Qué clase de ondas son?

7. ¿ Qué son los tonos de bordes vibran-tes? Explique con ayuda de un diagrama.

8. Hacer un diagrama mostrando una ba-rra de xilófono vibrando con su 3('r armbni.co. ¿ Qué clase de ondas son?

9. ¿Cuáles son las diferencias entre la-",cuerdas agudas y bajas de un piano? ¿ Porqué las cuerdas bajas se ven como resorte'!;espirales?

10. ¿ Qué clase de ondas intervienen enlos instrumentos de viento? ¿ Qué formasdiferentes han de poner en movimiento lascolumnas de airf' en los instrumentos deviento?

13. Se efectúa un cxpcriuwnto como elde la fig. 20E con un diapas511 que tieneuna frecuencia de 660 vibjseg. Si los nodasse encuentran a 26.6 cm de separación, ¿cuál

- -- --- ----

INSTRUMENTOS MUSICALES

es la rapidez del sonido? (Resp. 351.1 me-tros por segundo.)

14. La cuerda de un violín tiene una fre-cuencia de 440 vibjseg. Calcular la freCl1en-da de esta cuerda cuando está producien-do: a) su 3er armónico; b) su 69 armónico,y e) su 109 armónico.

15. Una cuerda de piano tiene una fre-cuencia fundamental de 264 vibjseg. En-contrar la frecuencia de vibración de estacuerda cuando produce: a) su 3er armóni-co; b) su 79 armónico, y e) su 11'.' armónico.(Resp. a) 792 vib/seg; b) 1 848 vib/scg, ye) 2904 vib/seg.)

16. Una de las cuerdas de un instrumen-to musical tiene una frecuencia fundamentalde 395 vibjseg, y tiene 32 cm de largo.Encontrar la rapidez de las ondas en estacuerda cuando está vibrando con: a) su 1erarmónico, y b) su 29 annónico.

17. Las cuerdas que producen ci_erta notaen un piano son de 9:) cm de largo y tie-nen una frecuencia de 198 vibjseg. ¿Cuáies la rapidez de las ndas en esta cuerda?/ Resp. 356 mi seg. )

189

18. Un órgano muy grande tiene un tubode 16 ft de largo. ¿Cuál es la frecuenciafundamental de este tubo a 78'°F? Consi-dere que el tubo está abierto por los dosextremos.

19. Si la cuerda de piano, usada en lasmediciones dadas en la Tabla 20A, tieneuna longitud de 95 cm, ¿cuál es la veloci-dad de las ondas a lo largo de esta cuerda?(Resp. 62.1 m/seg.)

20. La nota musical d03 de un piano tie-ne una longitud de sólo 8.2 cm y una fre-cuencia fundamental de 2093 vibjseg. En-contrar la rapidez de las ondas en esta cuer-

- da cuando vibra con su frecuencia funda-mental.

21. Usando un diapasón con frecuenciade 264 vibjseg, los nodos formados en unacolumna de aire (ver la fig. 20E) se en-cuentran a 25.4 in de distancia. Calcularla rapidez del sonido. (Resp. 1118 ftjseg.)

22. De la densidad del gas clióxido decarbono (C02) de la Tabla.. 13A, calcularla rapidez del sonido en este gas. Considereel gas a una presiÓn nom1al.