序　仰以觀於天文，俯以察於地理 曹亮吉 7

第 篇

緒篇 140.1 古代的宇宙圖像 17

0.2 托勒密的天地 19

第 篇

地球的大小 261.1 地是球形的 291.2 地球有多大？ 37

1.3 哥倫布西航 41

1.4 橘子還是檸檬？ 46

0

1

從天文地理 學數學

第 篇

星球的位置 582.1 太陽的起居活動 62

2.2 月亮的起居活動 67

2.3 相對遠近 73

2.4 太陽系的尺度 77

2.5 天文的三把標尺 84

2.6 視差法量距離 87

2.7 看星等定距離 93

2.8 哈伯定律 102

2

｜目錄｜

第 篇

行星的運動 1063.1 圓形的世界 109

3.2 橢圓形的世界 115

3.3 引力的世界 122

3.4 模型的世界 134

第 篇

旅者的方位 1404.1 地球的經緯 143

4.2 大圓 152

4.3 半球 159

4.4 球面三角 166

4.5 船長的抉擇 179

3

4

第 篇

地圖的繪製 1825.1 圖窮匕現 185

5.2 東西南北 189

5.3 三角化測量 194

5.4 頂天立地的巨人 202

5.5 為船長解困 213

5.6 不同的投影 216

5.7 投影法的選用 226

延伸閱讀 235

5

6 從天文地理 學數學

這是阿草系列中的一本書，強調用高中數學就可瞭解一些天文

與地理。數學教育的目的不只是要學會數學的基本內容，要訓練邏

輯思考，更要能體會在日常生活中，在各學門中，有許多需要數學

的地方，有需借助邏輯思考的時候，而且透過日常生活、其他學門

中有情境的思考，數學的基本內涵才能真正顯現其意義。

系列的第一本書《阿草的葫蘆》是就高中的數學內容，逐項談

其與人文、社會、自然、曆法、天文、地理等領域的關聯，也談及

數學教育的本身。第二本《阿草的曆史故事》（第二版更名為：從月曆學數學）

則專注於曆法，談及曆法與文化、歷史及數學的關聯。第三本《阿

草的數學聖杯》（第二版更名為：從生活學數學），則把數學降至國中程度，

隨手舉出日常生活及各學門的各種例子，使讀者感受到身邊到處都

有數學。

序　仰以觀於天文，俯以察於地理

7

序（第一版）

仰以觀於天文，俯以察於地理

曹亮吉

本書則專注於天文地理。先說天文。目前天文的熱門話題是大

霹靂、黑洞等，與宇宙本體論相關的議題，還有諸如火星大接近、

彗星撞木星、日月食等觀星活動，再就是太空船在太陽系的探險。

天文學通論的書籍很少，從數學的觀點介紹天文的書籍更是絕無僅

有。簡單的數學觀點可談大小、方位、距離、位置及模型，譬如地

球的大小，某顆星的方位、距離（因此位置），還有行星運動的模

型。

從大小、方位、距離、位置及模型的數學觀點，一樣可以談論

一些地理的問題。地球的大小是天文、地理共有的話題。地球上任

何一點都可以用經緯度來標定其位置，從一點到另一點有方位與距

離的問題。

地圖絕對無法忠實反映地球表面上的所有地理；地圖只是地表

的一種模型。地理學者發明各種投影法，製作各種模型地圖，來反

映地表上的某些特性。

8 從天文地理 學數學

從大小、方位、距離、位置及模型的數學觀點，天文、地理的

許多話題就可放在一起來談，況且談及這方面的地理，往往離不開

相關的天文。譬如方位的規範、地球的大小，及經緯度的確定等，

若只限於觀測地球本身，會有「不識廬山真面目，只緣身在此山中」

的困境，所以必須往外看，觀測天文才能解決問題。

《易》〈繫辭〉說「仰以觀於天文，俯以察於地理」，好像天文、

地理各幹各的。其實很多時候，先要「仰以觀於天文」，才能「俯以

察於地理」。

數學為什麼有用？

本書用到的數學大致屬高中層級。我們用到一些平面幾何（地

月地日距離、恆星日月長度、潮汐週期、日照時間等）、圓錐曲線

（地球真正形狀、刻卜勒運動定律、萬有引力導出橢圓軌道等）、立

體幾何（球、大圓、恆向線、球面三角公式的導得、投影等）、三角

序　仰以觀於天文，俯以察於地理

9

（三角測量、三角化方法、球面三角等）、微積分的極限概念（刻卜

勒運動定律、緯帶面積、麥氏投影等）。用到、但用得較少的是對數

指數（星等）、向量（萬有引力到橢圓軌道）等。

另外是建立模型的觀點並重視其演變。關於地球，怎樣從地平

到地圓、怎樣量其大小；怎樣實證地是圓的，從哥倫布西航，到麥

哲倫環繞世界一周，到科學家怎樣決定地球的實際形狀，到太空人

得到地球實體的照片。

關於行星運動，早期認定以地球為中心，有圓模型、同心球模

型、本均輪模型；後來修正，以太陽為中心，而有刻卜勒運動定

律、牛頓萬有引力定律，及擾動運動模型。

瞭解建立模型的重要，並重視其過程，才有助於瞭解數學之應

用。這方面是現有高中課程最弱的地方。缺了這一環，高中數學教

育就成了純粹的數學技術訓練，無法瞭解數學為什麼有用，如何有

用。

10 從天文地理 學數學

本書的安排大致順著歷史的發展，可算是簡易版數學觀點的天

文地理學史。希望能對數學應用的瞭解有所助益，也希望增長吾人

之通識。

談到文獻，有沒有同樣目的的中文著作？應該沒有，否則我也

不必費心寫這一本。天文方面，美國著名科普作家艾西莫夫（Isaac

Asimov, 1920-1992）寫的《The Universe》（宇宙）一書算是最接近的

了，不過它的天文內容比較深，而數學用得沒那麼多——到底它不

是純從數學觀點談天文的。

中文又通識的一般天文書，可看王寶貫的《天與地》、牛頓出版

的《牛頓科學研習百科——宇宙》，及薩根（Carl Sagan, 1934-1996）著

的《Cosmos》，其中文版《宇宙．宇宙》由遠流出版。

序　仰以觀於天文，俯以察於地理

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劉步林著的《數學在天文學中的應用》一書，看起來似乎正好

是我們要的，不過它的天文並沒有系統介紹，用的數學又相當深，

只可做為進一步的參考。

至於地理方面，與本書旨趣相同的中文書，我想沒有。地圖發

展的歷史背景，可參考海野一隆著，王妙發譯的《地圖的文化史》

一書。織田武雄的《地圖の歷史——世界篇》也是很好的參考書，

可惜沒有中譯本。

數學與製圖的關係，市面上看不到這類書。我參考了The Times

的《Atlas of the World》（世界地圖集）中〈Map Projections〉（製圖

投影）那一節，以及台大總圖書館中關於製圖學（Cartography）的許

多書籍。

天下文化出版的譯作《宇宙的詩篇》及《毛起來說三角》兩書

也有值得參考的地方，譬如前者的〈知其不可測而測之〉、〈環繞地

球〉、〈回顧可觀測宇宙〉三篇文章，後者的〈量天度地〉、〈地圖

製作者的樂園〉兩篇文章。

12 從天文地理 學數學

時報公司譯自Gallimard出版社New Horizons系列的書，稱為

「發現之旅」系列的，有許多本與天文地理有關，譬如《牛頓》、

《星空》、《絲綢之路》、《哥倫布》、《南太平洋征旅》等，都值得

參考。

寫書最大的好處是看了許多書，把許多不很聚焦的印象弄清

楚，互相連結起來，編織成整體的觀感。我是本書的最大獲益者，

希望這也是您愛看的一本書。

2004年9月，寫於台北

序　仰以觀於天文，俯以察於地理

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