ELEMENTOS PRE Y POSTENSADOS DE HORMIGON.DISEO DE VIGAS COMPUESTAS.SIMPLESYACTUALIZADO SEGN EL CODIGO ACI 318-2002. 2a Edicin.Jos Antonio Bellido de Luna del Rosario2005DISEO DE VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS.El punto ms importante en el diseo de estos elementos es la obtencin de la magnitud de las fuerzas artificialmente creadas, por ello a continuacin se explicar un mtodo de diseo para obtener dichas fuerzas artificiales.1.- CABLE MEDIO CABLE RESULTANTE.En casi todos los casos de pretensado y postensados se usan varios cables de alto lmite elstico, pero se daber suponer para el clculo de la fuerza artificial que se coloca un cable nico o cable terico denominado cable medio resultante. La fuerza artificial (P) y la excentricidad (e) del cable medio equivale a la suma de las acciones de todos los cables que se deben colocar en la viga. En la figura 3.1 se observa la disposicin de los cables con respecto al cable medio. ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80 000ffe20c584943435f50524f46494c4500010 100000c484c696e6f021000006d6e74725247 una viga pretensada, observando Figura 1.- Seccin transversal de 422058595a2007ce00020009000600310000 los tres pares de cables. 616373704d53465400000000494543207352 47420000000000000000000000000000f6d6 000100000000d32d48502020000000000000 000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000 000000000011637072740000015000000033 64657363000001840000006c777470740000 01f000000014626b70740000020400000014 7258595a00000218000000146758595a0000 022c000000146258595a0000024000000014 646d6e640000025400000070646d64640000 02c400000088767565640000034c00000086 76696577000003d4000000246c756d690000 03f8000000146d6561730000040c00000024 74656368000004300000000c725452430000 043c0000080c675452430000043c0000080c 625452430000043c0000080c746578740000 0000436f7079726967687420286329203139 3938204865776c6574742d5061636b617264 20436f6d70616e7900006465736300000000 00000012735247422049454336313936362d 322e31000000000000000000000012735247 422049454336313936362d322e3100000000 000000000000000000000000000000000000 0000000000La fuerza en el cable medio ser igual a: Pe = 2 ( P1e1, + P2e2 + P3e3 ) de donde: pe + pe + pe1122 33e= p+p+p123Las expresiones de P y de e pueden generalizarse para cualquier nmero de cables simtricamente dispuesto. Si los esfuerzos en todos los cables son iguales, se tiene que: e + e + e + ........ + e123 mP = 2mPo ; e = m Siendo: m : Nmero de pares de cables simtricamente dispuestos Po : Fuerza en cada cable considerada igual para todos los cables.2.- CONVENCIN DE SIGNOS.En la figura 2 se muestra la convencin de signos con la cual se rige la presente memoria:Figura 2.- Convencin de signos en una seccin transversal.ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c450001 0100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce0002000900060031000 0616373704d5346540000000049454320735247420000000000000000000000000000f6d 6000100000000d32d4850202000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000001163707274000001500000003 364657363000001840000006c77747074000001f000000014626b7074000002040000001 47258595a00000218000000146758595a0000022c000000146258595a000002400000001 4646d6e640000025400000070646d6464000002c400000088767565640000034c0000008 676696577000003d4000000246c756d69000003f8000000146d6561730000040c0000002 474656368000004300000000c725452430000043c0000080c675452430000043c0000080 c625452430000043c0000080c7465787400000000436f707972696768742028632920313 93938204865776c6574742d5061636b61726420436f6d70616e790000646573630000000 000000012735247422049454336313936362d322e3100000000000000000000001273524 7422049454336313936362d322e310000000000000000000000000000000000000000000 00000000000La fuerza de pretensado se denominar P, y siempre ser positiva. La excentricidad e, corresponde al cable medio, y se considera positiva cuando el punto A est por debajo del centride. Las tensiones normales se consideran positivas cuando son de traccin. El momento flector positivo (M) origina tensiones positivas en las fibras situadas en la parte inferior del centroide . La altura (h), se considera positiva cuando est por debajo del centro de gravedad de la viga o eje baricntrico .163.- TENSIONES DE UNA VIGA PRETENSADA.Las tensiones en el hormign se pueden determinar por las ecuaciones derivadas de la resistencia de materiales, siempre y cuando el elemento permanezca sin agrietarse, y las tensiones del acero y el hormign estn dentro de los rangos elsticos, la tensin normal b, est dada por: b = br + bc (1) Donde: br : Tensin debida a 1a accin del pretensado en cualquier fibra. bc : Tensin debida a la accin de las cargas externas en cualquier fibra. La tensin debida a la accin del pretensado puede ser evaluada por: P Pe br = h (2) AI Donde: P = Fuerza de pretensado. Pe = Momento flector de pretensado inducido por la excentricidad e. A = rea de la seccin transversal. h = Altura del centroide de la viga. I = Momento de inercia de la seccin transversal.1Campillay, Andrs. Santibez, Eduardo. Mtodo de diseo de vigas de entrepiso continuas y parcialmente pretensadas. Universidad Central de Chile. Santiago, 1999.En un elemento pretensado, la fuerza P no acta sola. Ya que el cable de pretensado est por debajo del centro de gravedad del elemento, por lo cual la viga se curvar hacia arriba en el instante de la transmisin de la fuerza artificial, esta curvatura hace que el elemento quede apoyado en sus extremos, por lo que comienza a actuar el peso propio de la viga. Este efecto puede ser evaluado por la siguiente expresin: Mc Mc bc = = h (3) WI Las ecuaciones anteriores son siempre las mismas, pero los trminos que en ella se sustituyen son los que llevan implcitos los signos. Reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la (1), podremos calcular la tensin normal en cualquier fibra del elemento, por lo cual se tiene: Mc 1e b = P W AW ffd8ffe000104a46494600010201006f00740000ffe20c58494343 5f50524f46494c4500010100000c484c696e6f021000006d6e7472 fue obtenida de La ecuacin anterior 5247422058595a2007ce00020009000600310000616373704d53 las expresiones de la4654000000004945432073524742000000000000000000000000 teora a flexin de vigas elsticas de0000f6d6000100000000d32d4850202000000000000000000000 la resistencia de 0000000000000000000000000000000000000000000000000000 materiales, en la cual0000000000000000000000116370727400000150000000336465 se debe cumplir la hiptesis de7363000001840000006c77747074000001f000000014626b7074 Navier00000204000000147258595a00000218000000146758595a0000 Bernoulli, En la022c000000146258595a0000024000000014646d6e6400000254 figura 3 se muestra una seccin00000070646d6464000002c400000088767565640000034c0000 infinitesimal de 008676696577000003d4000000246c756d69000003f800000014 una viga deformada: 6d6561730000040c0000002474656368000004300000000c7254 52430000043c0000080c675452430000043c0000080c62545243 Figura 3.- Seccin 0000043c0000080c7465787400000000436f70797269676874202 infinitesimal de una viga deformada. 863292031393938204865776c6574742d5061636b61726420436 f6d70616e7900006465736300000000000000127352474220494 54336313936362d322e310000000000000000000000127352474 22049454336313936362d322e310000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 (4) + De la cual se deduce la siguiente frmula: d 2h tgl 2 = = (5) l Rd Si se consideran pequeas deformaciones ( tg ), la deformacin unitaria est dada por: h b = b0 -(6) RSiendo: b : La elongacin de las fibras paralelas al eje baricntrico de ordenada h. R : Radio de curvatura del eje de la viga despus de deformado por la accin de las cargas. El material del elemento es elstico lineal, siendo vlida la ley de Hooke: b = Eb b (7) Por lo que existe proporcionalidad directa entre tensiones y deformaciones, siendo E b el mdulo de elasticidad del hormign. Esta expresin se aplica al hormign siempre que el valor absoluto de la tensin sea menor que 0,45 f`c de la resistencia a compresin (Condicin normada por Cdigo ACI 31899), Esta condicin se cumple siempre que se limite el valor de b a un determinado rango.4.- RANGO DE LAS TENSIONES ADMISIBLES.Se denominan ba y 'ba a las tensiones admisibles del hormign en traccin y comprensin, respectivamente. La tensin de trabajo b del hormign debe encontrarse en el rango de tensiones admisibles, que esta limitado por:-'ba b ba (8) La expresin anterior puede subdividirse en: b -'ba (8.1) b ba (8.2) Para una viga de hormign pretensado, las tensiones mximas se producen en las fibras mas alejadas al eje neutro. Si estas tensiones satisfacen las condiciones (8.1) y (8.2), se puede decir que las condiciones son satisfechas en toda la seccin de una viga. Llamando bs y bi a las tensiones en los puntos con ordenadas hs y hi respectivamente, las condiciones (8) se satisfacen para todo h, si se cumple:bs -'ba (9.1) bs ba (9.2) bi ba (9.3) bi -'ba (9.4) Estas cuatro condiciones se deben cumplir para que la tensin b en cualquier punto de la seccin se encuentre dentro del rango de tensiones admisibles. Y as lograr que las propiedades de una viga se mantengan inalterables bajo cualquier carga.5 CONDICIONES FUNDAMENTALES.Se llamar Mc1 (bc1)y Mc2 (bc2) a los momentos flectores producidos por las condiciones extremas de carga y se adoptar que siempre Mc1 ser mayor que Mc2, esta desigualdad puede tener tres casos posibles, es la que se nuestra a continuacin: ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f 46494c4500010100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2 Figura 4.-007ce00020009000600310000616373704d5346540000000049454320735 Situaciones posibles para Mc1 247420000000000000000000000000000f6d6000100000000d32d4850202 y Mc2. 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000001163707274000001500000003 El diagrama de tensiones que 364657363000001840000006c77747074000001f000000014626b7074000 a continuacin00204000000147258595a00000218000000146758595a0000022c0000001 se muestra de 46258595a0000024000000014646d6e640000025400000070646d6464000 una viga002c400000088767565640000034c0000008676696577000003d40000002 pretensada cualquiera es46c756d69000003f8000000146d6561730000040c0000002474656368000 producido 004300000000c725452430000043c0000080c675452430000043c0000080 por losc625452430000043c0000080c7465787400000000436f707972696768742 momentos flectores Mc1 y02863292031393938204865776c6574742d5061636b61726420436f6d706 Mc2. Las 16e790000646573630000000000000012735247422049454336313936362 tensiones d322e31000000000000000000000012735247422049454336313936362d3 totales son la 22e31000000000000000000000000000000000000000000000000000000 suma de las tensiones bc1, bc2 y br producidas por las cargas exteriores y la fuerza de pretensado respectivamente.ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c450001 0100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce0002000900060031000 Figura 5.-0616373704d5346540000000049454320735247420000000000000000000000000000f6d Diagrama 6000100000000d32d4850202000000000000000000000000000000000000000000000000 de tensiones de una viga 000000000000000000000000000000000000000000000001163707274000001500000003 pretensada 364657363000001840000006c77747074000001f000000014626b7074000002040000001 cualquiera. 47258595a00000218000000146758595a0000022c000000146258595a000002400000001 4646d6e640000025400000070646d6464000002c400000088767565640000034c0000008 En el676696577000003d4000000246c756d69000003f8000000146d6561730000040c0000002 474656368000004300000000c725452430000043c0000080c675452430000043c0000080 figura 5.ac625452430000043c0000080c7465787400000000436f7079726967687420286329203139 3938204865776c6574742d5061636b61726420436f6d70616e7900006465736300000000 muestra el 00000012735247422049454336313936362d322e31000000000000000000000012735247 diagrama 422049454336313936362d322e3100000000000000000000000000000000000000000000 de 0000000000 tensiones debido a Mc1, en la figura 5.b se muestra el diagrama de tensiones debido al pretensado, y en la figura 5.c se muestra el diagrama de tensiones de Mc1 con las tensiones del pretensado. En el figura 5.d muestra el diagrama de tensiones debido a Mc2, en la figura 5.e se muestra el diagrama de tensiones debido al pretensado, y en la figura 5.f se muestra el diagrama de tensiones de Mc 2 con las tensiones del pretensado. Como se cumplen las condiciones (9), queda garantizado cuando acta M c1, como cuando lo hace Mc2, si se satisfacen las cuatro condiciones siguientes:bc1s + brs -'ba (10.1) bc2s + brs ba (10.2) bc1i + bri ba (10.3) bc2i + bri -'ba (10.4) Donde: b: Tensiones en el hormign c: Cargas exteriores r: Pretensado 1: Correspondiente a Mc1 2: Correspondiente a Mc2 s: Parte superior, con coordenadas hs < 0 i: Parte inferior, con coordenadas hi > 0 Si se cumplen las condiciones anteriores, se asegura que el diagrama de tensiones totales est dentro del rango de tensiones admisibles. Para obtener las cuatro condiciones fundamentales, hay que reemplazar la ecuacin (4) en la ecuacin (10):Mc1 1e hPs I AI + hs -'ba (1,s) (11.1)Mc2 1e hPs I AI + hs ba (2,s) (11.2)Mc1 1e hP + hi ba (1,i) (11.3)I AI M c2 1e ihP I AIi + hi -'ba (2,i) (11.4)6.- CONDICIONES NECESARIAS.Las condiciones fundamentales estn dadas por la combinacin de la condicin (2,s) con la (1,s) y la (1,i) con la (2,i) de las expresiones anteriores, para as obtener las siguientes condiciones:Mc1 Mc2 hs - (ba+'ba) (12.1) IMc2 Mc1 hi - (ba+'ba) (12.2) I Para que cumplan las condiciones fundamentales, primero deben cumplirse las condiciones necesarias. De las condiciones necesarias se deduce que las caractersticas geomtricas de la seccin dependen del rango de tensiones admisibles (ba + 'ba), de la diferencia de los momentos flectores (M c1 y Mc2) y no de los valores individuales de ellos en s. Cuando existe una mayor restriccin en el rango de tensiones admisibles se requieren vigas con una altura mayor. La tensin b0 al nivel del centroide de la viga est dada por:Mc2 Mc1 hhs b0 =ba s i (13)iI hhffd8ff ffd8ffe0 00104a4 e00010 6494600 4a4649 0102010 460001 0c800c8 020100 0000ffe2 c800c8 0c58494 0000ffe 3435f505 20c584 24f46494 943435 c450001 f50524 0100000 f46494 c484c69 c45000 6e6f0210 101000 00006d6 como: 00c484 La fuerza de pretensado se puede evaluar e747252 c696e6 4742205 f02100 8595a20 0006d6 P = b0A07ce000 (14) e74725 2000900 247422 0600310 058595 Sustituyendo la ecuacin (13) en (14), para0006163 mantener la convencin de signos, se a2007c ha incluido un signo negativo, la fuerza de73704d5 pretensado es: e00020 3465400 009000 0000004 600310 9454320 000616 7352474 Mc2 Mc1 hi 373704 hs P =2000000 -b0A = d53465 0000000 400000 0000000 000494 La fuerza de pretensado depende de la0000000 diferencia de543207 momentos flectores (Mc1 0f6d6000 y Mc2), y de la tensin admisible (ba), ya1000000 que las352474 caractersticas 200000 geomtricas dependen tambin de la00d32d4 diferencia de000000 Mc1 y Mc2. 8502020 000000 0000000 000000 Despejando la excentricidad e, en0000000 cualquiera de00000f las condiciones 0000000 fundamentales, y admitiendo que esta0000000 condicin se6d6000 cumple en el lmite; es 100000 decir, con el signo "igual" en lugar de0000000 "menor o000d32 igual". Se tiene que: 0000000 d48502 0000000 020000 0000000 000000 I 1 c1 10000000 M 000000 0000000 (16) i 000000 0000000 000000 e = h- 0000000 ba 000000 0000000 000000 0001163 hi A PI 000000 7072740 000000 0000150 000000 0000003 En esta ecuacin muestra que, la3646573 excentricidad e000000 depende solo de Mc1, y no 000000 de la diferencia de los momentos Mc1 y6300000 Mc2. 000000 1840000 000000 006c777 000000 4707400 000000 0001f000 011637 0000146 072740 26b7074 000015 0000020 000000 4000000 033646 1472585 573630 95a0000 000018 0218000 400000 00014677.-REPRESENTACIN FUNDAMENTALES.GRFICADELASCONDICIONESLas condiciones fundamentales quedan representadas en un plano cartesiano de abscisa "x" y ordenada "y", tal como indica la figura 6 ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20 c584943435f50524f46494c4500010100000c484c696 e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce00020 Figura 6.-Se muestra 009000600310000616373704d534654000000004945 grficamente las ecuaciones de las condiciones fundamentales. 4320735247420000000000000000000000000000f6d6 000100000000d32d485020200000000000000000000 En la figura anterior la0000000000000000000000000000000000000000000 zona achurada confirma 0000000000000000000000000000000011637072740 las soluciones de las00001500000003364657363000001840000006c7774 inecuaciones de las 7074000001f000000014626b70740000020400000014 fundamentales. condiciones Se 7258595a00000218000000146758595a0000022c0000 puede concluir que el00146258595a0000024000000014646d6e640000025 cumplimiento de las 400000070646d6464000002c4000000887675656400 fundamentales condiciones 00034c0000008676696577000003d4000000246c756 determina la existenciad69000003f8000000146d6561730000040c000000247 del paralelogramo representado en la figura 4656368000004300000000c725452430000043c0000 6; y de all, los valores 080c675452430000043c0000080c625452430000043c de P y Pe con los cuales0000080c7465787400000000436f7079726967687420 se cumplen las 2863292031393938204865776c6574742d5061636b6 fundamentales. condiciones 1726420436f6d70616e7900006465736300000000000 00012735247422049454336313936362d322e310000 Si se despeja la 0000000000000000001273524742204945433631393 excentricidad e de 6362d322e3100000000000000000000000000000000 cualquiera de las 0000000000000000000000 condiciones fundamentales, se observa que queda en funcin slo de P, por lo que las rectas correspondientes a la excentricidad constante pasan por el origen de coordenadas, y el valor de la excentricidad es la tangente del ngulo que dichas rectas forman con el eje P(16).En toda seccin transversal de una viga existe un valor mximo para la excentricidad (e lim), que corresponde a la posicin ms alejada del centroide en que es posible ubicar el cable medio. Este valor es calculado mediante la siguiente frmula: elim= hi - d' (17) Donde: hi : Distancia desde el centro de gravedad a la fibra extrema inferior. d' : Distancia desde la fibra extrema al centroide de los cables. En la siguiente figura se representa la excentricidad lmite que corta el paralelogramo, de ste solo es utilizable la zona que se encuentra debajo de la recta de elim. ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c45000 10100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce00020009000600310 Figura 000616373704d5346540000000049454320735247420000000000000000000000000000 f6d6000100000000d32d485020200000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000011637072740000015000 00003364657363000001840000006c77747074000001f000000014626b7074000002040 00000147258595a00000218000000146758595a0000022c000000146258595a00000240 00000014646d6e640000025400000070646d6464000002c400000088767565640000034 c0000008676696577000003d4000000246c756d69000003f8000000146d656173000004 0c0000002474656368000004300000000c725452430000043c0000080c6754524300000 43c0000080c625452430000043c0000080c7465787400000000436f7079726967687420 2863292031393938204865776c6574742d5061636b61726420436f6d70616e790000646 573630000000000000012735247422049454336313936362d322e310000000000000000 00000012735247422049454336313936362d322e3100000000000000000000000000000 0000000000000000000000000Representacin grfica de la excentricidad limite.7.-8.- NCLEO CENTRAL.Para que la accin del pretensado solo genere tensiones de compresin en la seccin transversal, la fuerza de pretensado se deber aplicar en una pequea seccin de la viga cerca del centroide (ncleo central). El radio de giro superior e inferior de los lmites del ncleo central son las pendientes de las rectas (1,s), (2,s) y (1,i), (2,i), tal como se muestra en la figura 8. Estas pendientes quedan definidos por: II Ki = Ks = hAs hAffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c4500010100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce0002 0009000600310000616373704d5346540000000049454320735247420000000000000000000000000000f6d6000100000000d32d4850202000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001163707274000001500000003364657363000001840000006c7 7747074000001f000000014626b707400000204000000147258595a00000218000000146758595a0000022c000000146258595a0000024000000014646d6e6400 00025400000070646d6464000002c400000088767565640000034c0000008676696577000003d4000000246c756d69000003f8000000146d6561730000040c000 0002474656368000004300000000c725452430000043c0000080c675452430000043c0000080c625452430000043c0000080c7465787400000000436f70797269 676874202863292031393938204865776c6574742d5061636b61726420436f6d70616e790000646573630000000000000012735247422049454336313936362d3 22e31000000000000000000000012735247422049454336313936362d322e31000000000000000000000000000000000000000000000000000000 iFigura 8.-Representacin grfica del ncleo central de una viga.9.- VERIFICACION DE LA SECCION TRANSVERSAL DE UNA VIGA ISOSTATICA.Dependiendo de la funcin que debe cumplir la viga y de los factores econmicos y estticos, se elige una seccin transversal y se calculan sus caractersticas geomtricas como rea (A), inercia (I), distancia a fibras superiores e inferiores (h s y hi). Con el peso propio de la viga y las cargas permanentes y temporales actuando, se trazan los diagramas de momentos, siendo conocidos como M c1 y Mc2 para la seccin en elegida. Con las caractersticas geomtricas y fijando las tensiones admisibles (ba, 'ba), se plantean las condiciones necesarias. Ahora si ambas satisfacen con demasiada holgura, la seccin se debe reducirse hasta que una de ellas lo haga en forma ajustada. Las coordenadas de los vrtices representan las rectas en el plano P v/s P e, en la cual origina el paralelogramo alargado, debido a que se cumplen ajustadamente las condiciones necesarias, luego se calcula el ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c450 elm, 0010100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce0002000900060 trazando su0310000616373704d5346540000000049454320735247420000000000000000000000 recta: 000000f6d6000100000000d32d4850202000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001163707274 Figura 9.- 000001500000003364657363000001840000006c77747074000001f000000014626b7 Grfico de las ecuaciones 07400000204000000147258595a00000218000000146758595a0000022c0000001462 58595a0000024000000014646d6e640000025400000070646d6464000002c40000008 8767565640000034c0000008676696577000003d4000000246c756d69000003f800000 0146d6561730000040c0000002474656368000004300000000c725452430000043c00 00080c675452430000043c0000080c625452430000043c0000080c7465787400000000 436f70797269676874202863292031393938204865776c6574742d5061636b6172642 0436f6d70616e79000064657363000000000000001273524742204945433631393636 2d322e31000000000000000000000012735247422049454336313936362d322e31000 000000000000000000000000000000000000000000000000000fundamentales de una viga isosttica.Si elim corta la recta (1,i) del paralelogramo, el menor valor de la fuerza de pretensado que adopta es Pmin, el cual corresponde a la proyeccin hacia la abscisa x del punto de interseccin de ambas rectas sealadas. Nuestra nueva ecuacin de P ser:M c1 hi ba I P = (18) 1 helimi+ ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494 c4500010100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce00020 009000600310000616373704d534654000000004945432073524742000000000 0000000000000000000f6d6000100000000d32d48502020000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000001163707274000001500000003364657363000001840000006c777 47074000001f000000014626b707400000204000000147258595a000002180000 00146758595a0000022c000000146258595a0000024000000014646d6e6400000 25400000070646d6464000002c400000088767565640000034c00000086766965 77000003d4000000246c756d69000003f8000000146d6561730000040c0000002 474656368000004300000000c725452430000043c0000080c675452430000043c 0000080c625452430000043c0000080c7465787400000000436f7079726967687 4202863292031393938204865776c6574742d5061636b61726420436f6d70616e 790000646573630000000000000012735247422049454336313936362d322e310 00000000000000000000012735247422049454336313936362d322e3100000000 0000000000000000000000000000000000000000000000 AI Puede suceder que la recta elim, pase por encima del paralelogramo, en este caso Pmin y la excentricidad , de la interseccin de las rectas (2,s) y (1,i).Figura 10.- Representacin grfica de la excentricidad lmite fuera del paralelogramo.Los valores de la interseccin son las coordenadas del vrtice C, dadas por: A hi hsPmin = (Mc2 Mc1) A ba (19)I hi hshi Mc1 hs Mc2 e = (20)hs hi (Mc2 Mc1) A ba (hi hs I ) Puede producirse tambin que la recta de excentricidad lmite elim, pasa por debajo del paralelogramo, como se muestra en la figura siguiente, la solucin para este caso es aumentar la altura de la viga para lograr la ocurrencia de alguno de los dos casos anteriores. ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ff e20c584943435f50524f46494c4500010100000c48 4c696e6f021000006d6e74725247422058595a200 7ce00020009000600310000616373704d53465400 0000004945432073524742000000000000000000 grfica de la excentricidad Figura 11.- Representacin lmite cuando est por debajo del 0000000000f6d6000100000000d32d48502020000 paralelogramo. 0000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000 10.- TRAZADO DE 0000000000011637072740000015000000033646 57363000001840000006c77747074000001f00000 0014626b707400000204000000147258595a00000 CABLES 10.1.- Clculo 218000000146758595a0000022c00000014625859 5a0000024000000014646d6e64000002540000007 0646d6464000002c400000088767565640000034c 0000008676696577000003d4000000246c756d690 del cable medio o huso 00003f8000000146d6561730000040c0000002474 656368000004300000000c725452430000043c000 0080c675452430000043c0000080c625452430000 limite. 043c0000080c7465787400000000436f707972696 76874202863292031393938204865776c6574742d 5061636b61726420436f6d70616e7900006465736 Ya sabiendo calcular la geometra del elemento, 3000000000000001273524742204945433631393 y a determinar la fuerza de 6362d322e31000000000000000000000012735247pretensado mnima (todo 422049454336313936362d322e310000000000000 calculado en el punto ms desfavorable), donde se 0000000000000000000000000000000000000000 0 producen las mximas solicitaciones.En la figura siguiente se muestra un esquema de una viga sometida a los estados lmites (a) y ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c45000101000 los 00c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce00020009000600310000616373704 d5346540000000049454320735247420000000000000000000000000000f6d6000100000000d3 2d48502020000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000116370727400000150000000336465736300000184000000 6c77747074000001f000000014626b707400000204000000147258595a0000021800000014675 8595a0000022c000000146258595a0000024000000014646d6e640000025400000070646d6464 000002c400000088767565640000034c0000008676696577000003d4000000246c756d6900000 3f8000000146d6561730000040c0000002474656368000004300000000c725452430000043c00 00080c675452430000043c0000080c625452430000043c0000080c7465787400000000436f707 97269676874202863292031393938204865776c6574742d5061636b61726420436f6d70616e79 0000646573630000000000000012735247422049454336313936362d322e31000000000000000 000000012735247422049454336313936362d322e310000000000000000000000000000000000 00000000000000000000 diagramas envolventes (b)Figura 12.- Trazado del huso lmite con su envolvente.La seccin ms comprometida es la zona central. Es en esta zona el cual se determinan la fuerza de pretensado y la excentricidad. Para una seccin cualquiera, como la seccin M-M, la representacin de las condiciones fundamentales ( figura 13). Con el valor de P previamente establecido, se determinan los puntos A y B trazando una paralela al eje Pe, y con ellos las excentricidades emax y emin . La excentricidad en la seccin M-M puede elegirse entre los valores emax y emin . El segmento comprendido entre estos valores se denomina segmento de paso, ya que basta que el cable medio lo atraviese para que se cumplan las cuatro condiciones fundamentales en la seccin.PFigura 13.- Representacin grficaffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000f fe20c584943435f50524f46494c4500010100000c Fijando la fuerza de 484c696e6f021000006d6e74725247422058595a pretensado P, las 2007ce00020009000600310000616373704d5346 caractersticas de la seccin 540000000049454320735247420000000000000 transversal y las 000000000000000f6d6000100000000d32d48502 determinacin analtica tensiones admisibles, la 020000000000000000000000000000000000000 del segmento de paso para 000000000000000000000000000000000000000 una seccin con 000000000000000000011637072740000015000 momento Mc1 y Mc2 se realiza calculando 00003364657363000001840000006c7774707400 (1) 0001f000000014626b7074000002040000001472 primeramente : 58595a00000218000000146758595a0000022c00 0000146258595a0000024000000014646d6e6400 e1,s 00025400000070646d6464000002c40000008876 = 7565640000034c0000008676696577000003d400 Mc P 1 0000246c756d69000003f8000000146d65617300 00040c0000002474656368000004300000000c72 I Ahs 5452430000043c0000080c675452430000043c00 + ? ' ba 00080c625452430000043c0000080c7465787400 I Phs 000000436f707972696768742028632920313939 (21.1) 38204865776c6574742d5061636b61726420436f e2,s 6d70616e79000064657363000000000000001273 = 5247422049454336313936362d322e3100000000 Mc P 2 000000000000001273524742204945433631393 6362d322e3100000000000000000000000000000 I Ahs 0000000000000000000000000 ? ba I Phs (21.2) e1,i = Mc P 1 I Ahi -? ba I Phi (21.3) e2,i = Mc P 2 I Ahi + ?' ba I Phi (21.4)de la seccin M-M.El valor de emax ser el menor de e2,s y e2,i , mientras que el valor de emin ser el mayor de e1,s y e1,i , tomando las excentricidades con su signo y dndole a los trminos mayor y menor su significado algebraico. En forma anloga se determinarn las dems zonas dentro de la cual es necesario ubicar el cable medio. Existen varios criterios respecto de la posicin que debe tener el cable medio dentro de dicha zona. Uno de ellos consiste en elegir la curva de e max ; y con ello, el trazado de menor curvatura a fin de reducir las prdidas en la fuerza de pretensado que, como veremos, se incrementan con la curvatura del cable. Con este criterio, la condicin (2,i ) se cumple en el lmite. Otro criterio es ubicar el cable medio con excentricidades que sean el promedio de emax y emin. De esta manera se consigue que las condiciones fundamentales se cumplan con cierta holgura bajo todos los estados posibles de carga en todas las secciones transversal, salvo la central N-N. 10.2.- Procedimiento para el trazado de cables en vigas isostticas. La variedad en la construccin de los cables y la posibilidad de realizar el pretensado por medio de un nmero mltiple de cables, permiten distribuir las armaduras en una pieza de forma que respondan, de una manera econmica, a las solicitaciones que tendr que soportar. En una viga simplemente apoyada, por ejemplo, los cables estn concentrados hacia la cara inferior en el centro de la viga, zona de momento flector mximo. Progresivamente se van levantando hacia los apoyos, en parte para resistir el esfuerzo cortante por la componente vertical de la fuerza ejercida por el cable en la parte inclinada y por otro lado para variar la excentricidad resultante y mantener de este modo, las tensiones del elemento dentro de los lmites permisibles . Por otra parte ocurre que los elementos pretensados tienen dimensiones menores que los elementos de hormign armado, mientras que las vainas y conductos por los que pasan los cables, tienen dimetros muy superiores a los de las armaduras ordinarias.(1)Los anclajes, que normalmente se ubican en los extremos de los elementos, tambin tienen dimensiones considerablemente grandes y debern adems permitir un acomodo correcto del gato que realizar el tensado . El trazado y posicionamiento de los cables a lo largo de la viga es todo un arte para el cual cada persona tiene su modo propio de hacer y nicamente la prctica y un estudio detallado del tema permitir realizar un trazado ptimo, que cumpla con los requerimientos tcnicos adecuados y adems sea econmico y viable . A continuacin se darn a conocer los recubrimientos y espaciamientos mnimos permisibles por el CEB FIP, que no contradicen los de la AASTHO y ACI. 1. Espaciamiento vertical permisible: E Para cables que su trayectoria es horizontal, su espaciamiento mnimo debe ser igual o mayor que el d dimetro del cable. Para cables que su trayectoria es con un cierto ngulo, su espaciamiento mnimo debe ser igual o mayor que el dimetro vertical del cable. 2 2. Espaciamiento Horizontal permisible: Para cables que su trayectoria es horizontal, su espaciamiento mnimo debe ser igual o mayor que el d dimetro del cable. Para cables que su trayectoria es con un cierto ngulo, su espaciamiento mnimo debe ser igual o mayor que el dimetro horizontal del cable. 3 3. Recubrimiento vertical: D Debe ser mayor o igual a 4 cm. P Para barras aisladas, el recubrimiento debe ser mayor o igual al dimetro de la barra. Para barras en grupo, el recubrimiento debe ser mayor o igual a dos veces el dimetro vertical de la barra.(1) (1)4 4. Recubrimiento horizontal: D Debe ser mayor o igual a 4 cm. P Para barras aisladas, el recubrimiento debe ser mayor o igual al dimetro de la barra. Para barras en grupo, el recubrimiento debe ser mayor o igual a dos veces el dimetro horizontal de la barra. Estos recubrimientos mnimos debern respetarse a todo lo largo de la trayectoria del cable, deber tenerse sumo cuidado cuando existen cambios de trayectoria vertical y horizontal y muy especialmente en los puntos donde las vainas pasan del ala inferior al alma de la viga. Una vez concluido el trazado preliminar de los cables, deber comprobarse que en todas las secciones se cumplen las tensiones admisibles por las normas(25), para todos los estados de carga involucrados en eld diseo. Para ello se deben seguir los siguientes pasos. Determinar el centroide de los cables en cada uno de los puntos cuyas coordenadas fueron calculadas en e el paso anterior. Calcular la excentricidad, en cada uno de los puntos, con respecto al centroide del elemento. Lo que se d denomina como, Excentricidad del cable resultante. Calcular mediante las ecuaciones (21) las excentricidades mximas y mnimas que debe tener el cable resultante para que cumpla con las tensiones admisibles en todas las secciones y para todos los estados d de carga, con lo que se obtendr un grfico del huso lmite para cada estado de carga. S Se comprueba que la excentricidad del cable resultante se encuentra en el interior del huso lmite. De no cumplirse lo anterior pueden tomarse diversas medidas, como pueden ser: Variar la trayectoria del cable; Tensar en varias etapas; Bloquear cables en el caso del pretensado; Reforzar con acero ordinario algunas zonas no muy comprometidas y para estados de carga de muy corta duracin; Cambiar la geometra de la viga, y; Disear la viga con Pretensado Parcial.Como puede verse las medidas enunciadas anteriormente pueden ser muy simples o muy complejas en dependencia de cada caso particular de diseo, algunas de las cuales sobrepasan el nivel de decisin del calculista, por lo que debern ser analizadas con muchsimo cuidado.11.-DISEODEVIGASCOMPUESTASSIMPLEMENTEAPOYADAS.Los elementos compuestos son secciones estructurales que se constituye por dos o ms materiales de distinta resistencia o calidad. Tambin a aquellos elementos del mismo material pero con diferentes tipos de resistencias o etapas de construccin. En elementos pretensados, se obtiene una viga compuesta al unir una viga prefabricada pretensada con otro elemento ya sea prefabricado o elaborado in situ con o sin pretensado. En la siguiente figura se muestra una viga compuesta, constituida por una viga de entre piso pretensada con losetas prefabricada (pretensadas o no pretensadas), y adems con hormign in situ. Pudiendo ser las tres de distintas calidades y resistencias.Figura 14.- Seccin compuesta, constituida por una viga de entrepiso, una loseta prefabricada y hormign en sitio.Fotoffd8ffe000104a46494600010201005d005d0000ffe20c584943435f50524f46494c45000101 00000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce00020009000600310000616 1.373704d5346540000000049454320735247420000000000000000000000000000f6d600010 0000000d32d48502020000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000116370727400000150000000336465736 3000001840000006c77747074000001f000000014626b707400000204000000147258595a0 0000218000000146758595a0000022c000000146258595a0000024000000014646d6e64000 0025400000070646d6464000002c400000088767565640000034c000000867669657700000 3d4000000246c756d69000003f8000000146d6561730000040c00000024746563680000043 00000000c725452430000043c0000080c675452430000043c0000080c625452430000043c0 000080c7465787400000000436f70797269676874202863292031393938204865776c65747 42d5061636b61726420436f6d70616e7900006465736300000000000000127352474220494 54336313936362d322e31000000000000000000000012735247422049454336313936362d3 22e31000000000000000000000000000000000000000000000000000000Construccin estacionamiento, construido con Vigas de entrepiso y losetas prefabricadas.ffd8ffe000104a46494600010201005d005d0000ffe20c584943435f50524f46494c45000 10100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce00020009000600310 000616373704d5346540000000049454320735247420000000000000000000000000000 f6d6000100000000d32d485020200000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000011637072740000015000 00003364657363000001840000006c77747074000001f000000014626b7074000002040 00000147258595a00000218000000146758595a0000022c000000146258595a00000240 00000014646d6e640000025400000070646d6464000002c400000088767565640000034 c0000008676696577000003d4000000246c756d69000003f8000000146d656173000004 0c0000002474656368000004300000000c725452430000043c0000080c6754524300000 43c0000080c625452430000043c0000080c7465787400000000436f7079726967687420 2863292031393938204865776c6574742d5061636b61726420436f6d70616e790000646 573630000000000000012735247422049454336313936362d322e310000000000000000 00000012735247422049454336313936362d322e3100000000000000000000000000000 0000000000000000000000000Los elementos pretensadas fabricados en planta son dimensionados y calculados de tal forma que soportan su peso propio y el peso del hormign fresco que completa la seccin. Una vez endurecido el hormign vertido, entra en accin la seccin total, el cual debe soportar todas las cargas que an no han entrado en accin, como las cargas permanentes de la seccin compuesta, sobrecargas, etc. Debe existir una buena adherencia entre el elemento prefabricado y el vertido en sitio, para que la seccin se comporte como una viga compuesta. En la superficie de contacto de ambos elementos se desarrolla un esfuerzo de corte horizontal que produce la tendencia al deslizamiento a lo largo del plano que separa las dos partes. Para controlar este deslizamiento se debe colocar una armadura de amarre vertical, siendo esta necesaria solo en secciones compuesta, por su baja friccin que se produce entre ambas partes de la seccin. 11.1.- Estados de Carga. ESTADO 1.-Pretensin inicial inmediatamente despus de la transferencia (Pi), se producen tensiones de compresin mximas en las fibras inferiores, adems slo se han producido prdidas de tensin instantneas con lo que la fuerza de pretensado aplicada al elemento es mxima.Figura 15.- Diagrama de tensiones de una seccin cualquiera en su estado 1.ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c5849434 35f50524f46494c4500010100000c484c696e6f021000006d6e74 725247422058595a2007ce00020009000600310000616373704 d53465400000000494543207352474200000000000000000000 00000000f6d6000100000000d32d48502020000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000011637072740000015000000 03364657363000001840000006c77747074000001f000000014 626b707400000204000000147258595a0000021800000014675 8595a0000022c000000146258595a0000024000000014646d6e 640000025400000070646d6464000002c400000088767565640 000034c0000008676696577000003d4000000246c756d690000 03f8000000146d6561730000040c00000024746563680000043 00000000c725452430000043c0000080c675452430000043c00 00080c625452430000043c0000080c7465787400000000436f70 797269676874202863292031393938204865776c6574742d506 1636b61726420436f6d70616e79000064657363000000000000 0012735247422049454336313936362d322e310000000000000 00000000012735247422049454336313936362d322e31000000 000000000000000000000000000000000000000000000000ESTADO 2.-Aqu el peso propio comienza a actuar ms el pretensado inicial de una viga (P i + M C2), tambin la fuerza de pretensado es mxima ya que slo han ocurrido las prdidas instantneas. Pero las tensiones de compresin en las fibras inferiores son menores debido a las tensiones de traccin que genera el peso propio de la viga. En este estado se empiezan a producir las prdidas dependientes del tiempo,ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c4500010100000c484 c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce00020009000600310000616373704d5346540000 la fuerza de 000049454320735247420000000000000000000000000000f6d6000100000000d32d48502020000000 pretensado 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000001163707274000001500000003364657363000001840000006c77747074000001f000000014626 inicial pasarb707400000204000000147258595a00000218000000146758595a0000022c000000146258595a000002a 4000000014646d6e640000025400000070646d6464000002c400000088767565640000034c00000086 la fuerza de76696577000003d4000000246c756d69000003f8000000146d6561730000040c0000002474656368000 004300000000c725452430000043c0000080c675452430000043c0000080c625452430000043c000008 pretensado 0c7465787400000000436f70797269676874202863292031393938204865776c6574742d5061636b617 26420436f6d70616e790000646573630000000000000012735247422049454336313936362d322e3100 efectiva 0000000000000000000012735247422049454336313936362d322e3100000000000000000000000000 0000000000000000000000000000Ielcualser(gradualmente).Pretensado Peso propioFigura 16.-Diagrama de tensiones de una seccin cualquiera en su estado 2.ESTADO 3.-En este estado acta el peso propio ms el pretensado efectivo de una viga (Pe + M C2), aqu las tensiones obtenidas sern iguales a las finales de la etapa anterior, el diagrama de tensiones es similar a la figura 3.16. ESTADO 4.- En este estado acta el pretensado efectivo ms todas las cargas muertas, de la seccin no compuesta (Pe + M C1), estas solicitaciones generan traccin en las fibras inferiores que contrarrestan la compresin existente en los estados anteriores. La flexin en este estado se produce alrededor del centro de gravedad de la viga prefabricada G .I IIG=+ +Pretensado Peso propio Carga muerta e>0Figura 17.-Diagrama de tensiones de una seccin cualquiera en su estado 4. hiESTADO 5.- En ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f4 este estado acta el6494c4500010100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a20 07ce00020009000600310000616373704d534654000000004945432073524 pretensado 7420000000000000000000000000000f6d6000100000000d32d4850202000 efectivo ms las cargas000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 muertas 000000000000000000000000000000001163707274000001500000003364 tanto de la657363000001840000006c77747074000001f000000014626b70740000020 seccin no compuesta4000000147258595a00000218000000146758595a0000022c000000146258 como de 595a0000024000000014646d6e640000025400000070646d6464000002c40 la compuesta ms0000088767565640000034c0000008676696577000003d4000000246c756d las cargas 69000003f8000000146d6561730000040c000000247465636800000430000 vivas de servicio (Pe + 0000c725452430000043c0000080c675452430000043c0000080c62545243 I 0000043c0000080c7465787400000000436f7079726967687420286329203 M C1 + M). 1393938204865776c6574742d5061636b61726420436f6d70616e79000064 6573630000000000000012735247422049454336313936362d322e310000 00000000000000000012735247422049454336313936362d322e31000000 000000000000000000000000000000000000000000000000ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f4 6494c4500010100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a20 07ce00020009000600310000616373704d53465400000000494543207352 47420000000000000000000000000000f6d6000100000000d32d485020200 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000116370727400000150000000336 4657363000001840000006c77747074000001f000000014626b7074000002 04000000147258595a00000218000000146758595a0000022c0000001462 58595a0000024000000014646d6e640000025400000070646d6464000002 c400000088767565640000034c0000008676696577000003d4000000246c 756d69000003f8000000146d6561730000040c00000024746563680000043 00000000c725452430000043c0000080c675452430000043c0000080c6254 52430000043c0000080c7465787400000000436f707972696768742028632 92031393938204865776c6574742d5061636b61726420436f6d70616e7900 00646573630000000000000012735247422049454336313936362d322e31 000000000000000000000012735247422049454336313936362d322e3100 0000000000000000000000000000000000000000000000000000Pretensado mas peso Sobrecarga propio y carga mxima muerta losaFigura 19.-Diagrama de tensiones de una seccin cualquiera en su estado 6.ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f464 94c4500010100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce 11.2.-00020009000600310000616373704d5346540000000049454320735247420 ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46 000000000000000000000000000f6d6000100000000d32d485020200000000 494c4500010100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007c e00020009000600310000616373704d5346540000000049454320735247420 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000f6d6000100000000d32d485020200000000 0000000000000000000000000011637072740000015000000033646573630 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00001840000006c77747074000001f000000014626b7074000002040000001 00000000000000000000000001163707274000001500000003364657363000 47258595a00000218000000146758595a0000022c000000146258595a00000 001840000006c77747074000001f000000014626b707400000204000000147 24000000014646d6e640000025400000070646d6464000002c400000088767 258595a00000218000000146758595a0000022c000000146258595a0000024 565640000034c0000008676696577000003d4000000246c756d69000003f80 000000014646d6e640000025400000070646d6464000002c40000008876756 00000146d6561730000040c0000002474656368000004300000000c7254524 5640000034c0000008676696577000003d4000000246c756d69000003f8000 30000043c0000080c675452430000043c0000080c625452430000043c00000 000146d6561730000040c0000002474656368000004300000000c725452430 80c7465787400000000436f707972696768742028632920313939382048657 000043c0000080c675452430000043c0000080c625452430000043c0000080 76c6574742d5061636b61726420436f6d70616e79000064657363000000000 c7465787400000000436f70797269676874202863292031393938204865776 0000012735247422049454336313936362d322e3100000000000000000000 c6574742d5061636b61726420436f6d70616e7900006465736300000000000 0012735247422049454336313936362d322e3100000000000000000000000 00012735247422049454336313936362d322e3100000000000000000000001 0000000000000000000000000000000 2735247422049454336313936362d322e31000000000000000000000000000 Clculo y 000000000000000000000000000 Diseo.El mtodo que a continuacin se explicar es una prolongacin del mtodo del clculo a flexin de estructuras isostticas. 11.2.1.- Propiedades geomtricas.Para el clculo y diseo de vigas compuestas se deben diferenciar dos etapas, la primera etapa es aquella en que la viga prefabricada pretensada es el nico elemento resistente que resiste las cargas externas, a esta etapa la llamaremos ETAPA I. La segunda etapa se considera la seccin compuesta (Viga prefabricada pretensada, Losas prefabricadas, hormign in situ, etc.), como un solo elemento, a esta etapa la llamaremos ETAPA II. En la siguiente figura se muestran la notacin a usar tanto para la etapa I (a), como para la etapa II (b).IIhs*Ihs hsGIIGIabFigur a 20.e>0e>0 Propi I edade hi hi s de las seccio nes:GIIIa) Prefabr icadas, y b) compue sta.En donde: A = Area de la seccin prefabricada. AII = Area de la seccin compuesta. e = Excentricidad. I G = Centro de gravedad de la seccin prefabricada. II G = Centro de gravedad de la seccin compuesta.I Ihi = Distancia desde el centro de gravedad a la fibra extrema inferior de la seccin prefabricada.Ihs = Distancia desde el centro de gravedad a la fibra extrema superior de la seccin prefabricada.IIhi = Distancia desde el centro de gravedad a la fibra extrema inferior de la seccin compuesta.IIhs = Distancia desde el centro de gravedad de la seccin compuesta a la fibra extrema superior de la seccin compuesta.hs = Distancia desde el centro de gravedad de la seccin compuesta a la fibra extrema superior de la seccin prefabricada.M I h Ic1 I I s ? P 1 AI ? ?? + e II hI s ? ?? ? -?' ba I (1,s)I (22.1) M I Ic2 I hI s ? P 1 AI ? ?? + e II I El menor momento flector (M c2), el cual hI s ? ?? ? ?ba I al peso propio de la viga prefabricada. El corresponder (2,s)I I momento flector debido al peso propio de la seccin compuesta (M c1). El momento producido por las (22.2) M I h Ic1 I I i cargas permanentes de la seccin compuesta y las sobrecargas de uso, se denominar como M. ? P 1 AI ? ?? + El ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c4500010100000c484 e II c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce00020009000600310000616373704d5346540000 hI i ? ?? ? ?ba I 000049454320735247420000000000000000000000000000f6d6000100000000d32d485020200000000 (1,i)I 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 (22.3) 000001163707274000001500000003364657363000001840000006c77747074000001f000000014626b M I Ic2 I 707400000204000000147258595a00000218000000146758595a0000022c000000146258595a0000024 hI i 000000014646d6e640000025400000070646d6464000002c400000088767565640000034c0000008676 ? 696577000003d4000000246c756d69000003f8000000146d6561730000040c000000247465636800000 P 1 AI ? ?? 4300000000c725452430000043c0000080c675452430000043c0000080c625452430000043c0000080c + 7465787400000000436f70797269676874202863292031393938204865776c6574742d5061636b61726 e II 420436f6d70616e790000646573630000000000000012735247422049454336313936362d322e310000 hI i ? ?? ? -?' ba I 00000000000000000012735247422049454336313936362d322e3100000000000000000000000000000 (2,i)I 0000000000000000000000000 (22.4) diagrama de tensiones de la etapa I se muestra en la siguiente figura:Figura 21.- Diagrama de tensiones para distintos estados de cargas de una viga pretensada.En la figura se puede observar la seccin transversal, el diagrama por peso propio (a), a la que corresponde al pretensado (b), tambin la resultante del pretensado ms el peso propio (f1), a la carga muerta debido a la losa (c), y a la segunda resultante debido al pretensado ms el peso propio (f2). Estos diagramas deben encontrarse dentro del rango de tensiones admisibles deIcompresin ('ba), y de traccin ( ba) de la etapa I. Por lo tanto, deben cumplirse para las propiedades adoptadas en la etapa I las condiciones fundamentales, es decir: En la siguiente figura se muestra la seccin de una viga compuesta (etapa II). En ella, la viga pretensada prefabricada y la losa de hormign vertido en sitio que ya ha fraguado y adquirido la resistencia deseada.IEl diagrama de tensiones de la etapa I debe estar comprendido dentro del rango deIItensiones admisibles limitados por 'bay ba, Por lo cual deben cumplirse las condiciones fundamentales referidas a las propiedades de la seccin de la etapa II. Las condiciones fundamentales para la etapa II, quedan determinadas por:IIM c1 I 1eI M II II I hs P I + Ih s + II hs -'ba (1,s) (23.1)*II AIIffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494 I M c c4500010100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce0002 1 I 0009000600310000616373704d53465400000000494543207352474200000000 00000000000000000000f6d6000100000000d32d485020200000000000000000 1e 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000001163707274000001500000003364657363000001840000006c II 77747074000001f000000014626b707400000204000000147258595a00000218 I 000000146758595a0000022c000000146258595a0000024000000014646d6e64 h 0000025400000070646d6464000002c400000088767565640000034c00000086 s 76696577000003d4000000246c756d69000003f8000000146d6561730000040c 0000002474656368000004300000000c725452430000043c0000080c67545243 P 0000043c0000080c625452430000043c0000080c7465787400000000436f70797 269676874202863292031393938204865776c6574742d5061636b61726420436 f6d70616e7900006465736300000000000000127352474220494543363139363 I 62d322e31000000000000000000000012735247422049454336313936362d322 + e31000000000000000000000000000000000000000000000000000000 II I I h s ba (2,s) (23.2) I AIM c1 I 1eI M IIIIIhi P+ hi + hi ba (1,i) (23.3)I II IIIII AI IMIc1 1e I IIIIhi P + h i -'ba (2,i) (23.4) I I III AIGeneralmente las tensiones en el borde superior de la viga estn ms cerca del rango de tensiones admisibles que las tensiones en el borde superior de la losa. Ahora si las tensiones en el borde superior de la losa fueran mayores (en valor absoluto), que las del borde superior de la viga prefabricada, se deber plantear nuevas condiciones a fin de garantizar que las tensiones en el borde superior de la losa tambin estn comprendidas dentro del rango de tensiones admisibles. Las tensiones admisibles en la etapa II son ms restrictivas que en la etapa I, ya que sta corresponde a una situacin transitoria durante su construccin, donde puede admitirse un mayor riesgo, que en la etapa II que es la del estado definitivo de la estructura terminada.11.2.2.- Condiciones necesarias Las condiciones fundamentales para las etapas I y II, en las inecuaciones (22) y (23) se reemplazan los signos "mayor o igual" o "menor o igual" por el signo igual, en el cual se convierten en ecuaciones que pueden ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c45 representar 00010100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce0002000900 en un plano P v/s0600310000616373704d53465400000000494543207352474200000000000000000 Pe, 00000000000f6d6000100000000d32d4850202000000000000000000000000000000 como se0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011 muestra 63707274000001500000003364657363000001840000006c77747074000001f00000 a 0014626b707400000204000000147258595a00000218000000146758595a0000022c 000000146258595a0000024000000014646d6e640000025400000070646d6464000 002c400000088767565640000034c0000008676696577000003d4000000246c756d6 9000003f8000000146d6561730000040c0000002474656368000004300000000c725 452430000043c0000080c675452430000043c0000080c625452430000043c0000080 c7465787400000000436f70797269676874202863292031393938204865776c65747 42d5061636b61726420436f6d70616e7900006465736300000000000000127352474 22049454336313936362d322e310000000000000000000000127352474220494543 36313936362d322e310000000000000000000000000000000000000000000000000 00000 continuacin:Figura 23.- Representacin en el plano de las condiciones fundamentales tanto de la etapa I, como de la etapa II.seEn la figura anterior existe una zona achurada, la cual representa una zona en comn, esto quiere decir, que en esta zona se satisfacen las ocho condiciones fundamentales simultneamente. Si una o ms condiciones fundamentales no la satisface, entonces hay que modificar las dimensiones de la seccin transversal.Combinando las condiciones fundamentales de ambas etapas, se obtienen las seis siguientes condiciones necesarias: (1,s) - (2,s)I IMc1 Mc2I (2,i) - (1,i)I IIIhs -( ' ba +ba ) (24.1) IIMc2 Mc1IIII h i -( ' ba +ba ) (24.2) I (1,s) - (2,s) M* II II IIIIIIhs -(' ba +ba ) (24.3)II III (2,i) - (1,i) M IIII IIhi ( ' ba +ba ) (24.4) III (2,s) - (1,i)I IIMc1 Mc2I M*II Ihs -( ' ba +ba )-h s (24.5) II III (2,i) - (1,i)I IIMc2 Mc1I M II I hi -( 'ba +ba)+ II h i (24.6)I IIII Si se cumplen las dos primeras condiciones, significa que existe el paralelogramo de la etapa I, las condiciones tres y cuatro, garantizan el paralelogramo de la etapa II, y las ltimas dos condiciones, es el de la zona comn a dichos paralelogramos.Una vez comprobada las seis condiciones necesarias, se calcula la excentricidad lmite, que esta dada por: elim= hi - d' (25)IDonde: d' = Recubrimiento adoptado, medido desde la fibra extrema inferior al centroide de los cables. Siendo: d = 0,05 m para pretensado. d = 0,1 m para postensado. hi = Distancia desde el centro de gravedad hasta la fibra extrema inferior. Luego de obtenida la seccin transversal que satisfaga en la forma ms ajustada posible las seis condiciones necesarias, se realiza la representacin grfica de las ocho ecuaciones fundamentales, trazando adems la recta de la excentricidad obtenida:IFigura 24.- Representacin grfica de los paralelogramos y su interseccin con la recta elm.ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c450001010 Cuando la0000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce0002000900060031000061637 3704d5346540000000049454320735247420000000000000000000000000000f6d600010000 recta elim0000d32d4850202000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 corte el000000000000000000000000000000000001163707274000001500000003364657363000001 840000006c77747074000001f000000014626b707400000204000000147258595a000002180 00000146758595a0000022c000000146258595a0000024000000014646d6e64000002540000 0070646d6464000002c400000088767565640000034c0000008676696577000003d40000002 46c756d69000003f8000000146d6561730000040c0000002474656368000004300000000c725 452430000043c0000080c675452430000043c0000080c625452430000043c0000080c7465787 400000000436f70797269676874202863292031393938204865776c6574742d5061636b6172 6420436f6d70616e790000646573630000000000000012735247422049454336313936362d3 22e31000000000000000000000012735247422049454336313936362d322e31000000000000 000000000000000000000000000000000000000000 paralelogramo nos arrojar un determinado P, el cual lo llamaremos Pmn (segn el criterio de las vigas isostticas comunes). En la figura anterior se muestra el caso ideal, cuando la recta elim corta al paralelogramo de interseccin. En este caso, el valor de Pmin queda determinado por:I IIhi Mhi II Mc1 I + II ba II Pmin = I (26)1 hi + elim AI II ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c45000101 00000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce00020009000600310000616 373704d5346540000000049454320735247420000000000000000000000000000f6d600010 0000000d32d48502020000000000000000000000000000000000000000000000000000000 En la0000000000000000000000000000000000000000116370727400000150000000336465736 3000001840000006c77747074000001f000000014626b707400000204000000147258595a0 0000218000000146758595a0000022c000000146258595a0000024000000014646d6e64000 0025400000070646d6464000002c400000088767565640000034c000000867669657700000 3d4000000246c756d69000003f8000000146d6561730000040c00000024746563680000043 00000000c725452430000043c0000080c675452430000043c0000080c625452430000043c0 000080c7465787400000000436f70797269676874202863292031393938204865776c65747 42d5061636b61726420436f6d70616e7900006465736300000000000000127352474220494 54336313936362d322e31000000000000000000000012735247422049454336313936362d3 22e31000000000000000000000000000000000000000000000000000000 siguiente figura se muestra cundo la recta elm pasa por encima del paralelogramo:Figura 25.- Representacin grfica del caso en que la recta elm est por encima del paralelogramo.Si ocurre lo indicado en la figura anterior, Pmn ser la proyeccin del punto de interseccin de las rectas (1,i) y (2,s) hacia el eje x. Lo cual el valor de Pmin ser:II III II hi hshi II II hs ba ba + M Mc2 + Mc1 I IIII hs III I() IPmin = Mc2 ba A (27)I II I hi hs y el valor de la excentricidad para este caso queda definido por la siguiente ecuacin:II III hi hshi II II(ba ba )+ M Mc2 + Mc1 II I I II I I Ihi hs e = (28)III I I I IIhi hs hi hs ba ba + M Mc2 + Mc1 I III I III hs I I Mc2 ba A I II() I hi hs Ahora existe una tercera posibilidad, la cual es que la recta elm pase por debajo del paralelogramo de interseccin, como se muestra en la siguiente figura:Figura 26.-Representacin grfica donde la recta elm pasa por debajo del paralelogramo.Para este caso, hay que modificar la seccin transversal de la viga compuesta, de modo que existan valores de P y Pe, con e elim, que satisfaga las ocho condiciones fundamentales, y se produzca con esto alguno de los dos casos anteriormente descritos.ffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c450001 0100000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce000200090006003100 00616373704d5346540000000049454320735247420000000000000000000000000000f6 d6000100000000d32d48502020000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000001163707274000001500000 003364657363000001840000006c77747074000001f000000014626b7074000002040000 00147258595a00000218000000146758595a0000022c000000146258595a000002400000 0014646d6e640000025400000070646d6464000002c400000088767565640000034c0000 008676696577000003d4000000246c756d69000003f8000000146d6561730000040c0000 002474656368000004300000000c725452430000043c0000080c675452430000043c0000 080c625452430000043c0000080c7465787400000000436f707972696768742028632920 31393938204865776c6574742d5061636b61726420436f6d70616e790000646573630000 000000000012735247422049454336313936362d322e310000000000000000000000127 35247422049454336313936362d322e3100000000000000000000000000000000000000 000000000000000011.2.3.- Seccin Transformada.En los elementos prefabricados estn compuestos de hormign de mejor calidad que los elementos de hormign in situ, lo que es afectado en las tensiones por la diferencia de rigidez de ambos hormigones. Tambin la existencia de materiales de distintos mdulos de elasticidad, como lo es el hormign con el acero de alto lmite elstico. Para soslayar esta diferencia en los clculos se puede usar el concepto de la seccin transformada, que consiste en transformar la seccin transversal constituida por materiales de diferente calidad y rigidez, en una seccin equivalente compuesta de un solo material con calidad y rigidez homognea. Cuando se transforma dos o ms materiales de distintas calidades o rigideces en una sola, esta nueva seccin debe cumplir la hiptesis de conservacin de las secciones planas (Navier - Bernoulli), de modo que las deformaciones del hormign en una fibra cualquiera situada a una distancia "y" del centro de gravedad de la seccin compuesta, deben satisfacer la condicin de idntica deformacin dada por:b, eq b, real x =cy == Ex Ey Ey b, real = b, eq = b, eqEx Donde: E c1 = Para estructuras compuestas de diferentes resistencias, el cual oscila E c2 entre 1,2 y 1,7. Es = Para estructuras compuestas de diferentes mdulos de elasticidad, el ECcual oscila entre 7 y 15.siendo: = Relacin modular de los hormigones. b,real = Tensin en el hormign en la seccin real. b,eq = Tensin en el hormign en la seccin equivalente. Despus de esta sustitucin, pueden hallarse las propiedades de la seccin como si la viga estuviera hecha de un solo tipo de hormign. En la siguiente figura se muestra una viga con diferentes tipos de calidades de hormigones (a), y la misma viga en seccin transformada (b).b beqdy dy y y231ab1.- Hormign prefabricado 2.Hormign elaborado en sitio 3.Hormign equivalenteFigura 27.- Seccin transformada, a) Seccin real; b) Seccin Transformada.12.- DETERMINACIN DEL MOMENTO DE LA VIGA COMPUESTA M.El momento M es producido por las cargas permanentes y las sobrecargas de uso en la viga compuesta, por lo cual es necesario observar el comportamiento que ste produce en los paralelogramos de ambas etapas, ya que segn sea la magnitud que este momento, se ver si el diseo se hace por pretensado total o pretensado parcial. El anlisis de esta magnitud nos puede llevar a las siguientes alternativas:1Si el valor de M permite el cumplimiento de las condiciones necesarias (24), por ende existe elparalelogramo de interseccin, en lo cual obtendremos el valor de Pmin y la excentricidad ser menor a la elim, las cuales deben cumplir con las tensiones admisibles impuestas en el diseo, en este caso se disear por pretensado total. 2Si el valor de M es mayor que el mximo permitido para que se cumplan con las condiciones necesarias (24), en este caso no existe el paralelogramo de interseccin, y por esta razn tampoco existir una fuerza de pretensado P necesaria para absorber todas las tensiones producidas por la sobrecarga actuante en la viga compuesta, para esto tenemos dos soluciones: -Se puede aumentar la seccin transversal de la viga, y con esto lograr que exista un paralelogramo de interseccin, con lo cual llegamos al diseo del punto 1, es decir, un diseo por pretensado total. -Tambin se puede encontrar un valor de M necesario que ser menor al M, con lo cual permite el cumplimiento de las seis condiciones necesarias (24), y con ello la obtencin de la fuerza de pretensado. La diferencia que existe entre M y el M necesario se denominar Mx, el cual es absorbido por el acero ordinario. Para este tipo de solucin se necesitar un diseo por pretensado parcial. Cuando se determinan las condiciones de apoyo de una viga, la cantidad de tramos y solicitacin de carga definidas para el diseo; se elige aquella en que se produce la combinacin de la situacin de carga ms desfavorable, y se superponen en ella la accin de las cargas permanentes de la viga compuesta. Si el valor de M es mayor que el mximo permitido para el cumplimiento de las condiciones necesarias (24), no s esta produciendo la interseccin entre los paralelogramos s la etapa I y etapa II, por lo que deber determinar un valor Mnecesariomenor que M, el cual permita el cumplimiento de las seis condiciones necesarias, con lo cual se interceptarn los paralelogramos.12.1.- Determinacin del Momento Mnecesario.Considerando las condiciones fundamentales (24) en sus lmites, es decir, con signos "igual", adems se debe respetar el sentido de las desigualdades, se obtiene el valor mximo necesario para lograr que los paralelogramos se intercepten, viene dado por el menor valor de las siguientes ecuaciones:II Mc2 Mc1I I II I Mnecesario = I hi + 'ba +ba II (29,1) I hi c2 Mc1 I M I IIIIIIMnecesario = hs ( 'ba +ba ) (29,2) I hs 12.2.- Grado de Pretensado (GP).xEl grado de pretensado es un ndice que caracteriza la magnitud del pretensado parcial, y se calcula una vez obtenido el valor de Mnecesario, el cual viene dado por el cuociente entre el momento de descompresin del elemento y el momento total actuante debido a las cargas permanentes y a la sobrecarga accidental, es decir: Momento de Descompresin GP = Momento Total Donde:-Momento de Descompresin: Es el momento que anula la compresin en la fibra extrema inferior, es decir, es el momento que provoca la descompresin de la viga. M = M +Mdes C1 red-Momento Total: es el momento producido por todas las cargas actuantes, tanto en la seccin compuesta como en la viga prefabricada (MCp + MSC).M = M +MTotal C1 inicialEl grado de pretensado representa el porcentaje del total de la carga que toma el acero de alto lmite elstico, por ejemplo, si un elemento tiene un grado de pretensado de 0,6 significa que el 60% del total de las solicitaciones esta siendo tomado con acero de alto lmite elstico, y el restante 40% lo est tomando el acero ordinario. Si las condiciones necesarias se cumplen, el Grado de Pretensado resultante ser igual a uno, lo que significa que la geometra de la viga proyectada permite su diseo en pretensado total, pero si se desea hacer una reduccin, se puede hacer, teniendo presente que existe un rango para el Grado de Pretensado, el cual se explicar a continuacin: a. Grado de Pretensado Mximo (GPMx): MDes,MxGPMx = (30)MTotalCon: M Des,Mx = Mc1 +MnecesarioEl Mnecesario va a hacer el mximo M que se le puede dar a la viga, para que se cumplan las tensiones admisibles. b. Grado de Pretensado Mnimo (GPMn): El Grado de Pretensado Mnimo va a hacer el mnimo valor para que el Mreducido no sea negativo, por lo tanto: Mc +M1 reducidoGP = Mc +M1 inicialDespejando Mreducido , se tiene que:M = GP (Mc +M ) Mc (31)reducido 1 inicial 1En la ecuacin anterior se obtiene analticamente el M reducido para cualquier Grado de Pretensado que uno se de. Para obtener el Grado de Pretensado Mnimo, se debe reemplazar el M reducido por su menor valor, que es cero.0 = GPMn (Mc1 +M inicial ) Mc1 Despejando GPmn, se tiene: Mc1 GPmn = (32) Mc1 +Minicial Es importante sealar que el valor del grado de pretensado obtenido de acuerdo con la ecuacin (30), ser el mximo posible a asumir en el diseo del elemento parcialmente pretensado, y de la ecuacin (32), ser el mnimo posible a asumir en el diseo, por lo tanto se debe elegir el Grado de Pretensado que est dentro del rango anterior y adems hay que considerar el criterio de la experiencia del IngenieroCalculista.12.3.- Diseo del Refuerzo de armadura no Pretensada.El diseo del refuerzo de armadura no pretensada es aquel que requiere asumir las tracciones producidas por la magnitud de la diferencia de momentos (M -Mnecesario = Mx), ser determinado por la teora de resistencia de materiales por medio del mtodo de las tensiones admisibles. Para obtener el estado de tensiones se procede generalmente a dos etapas, la primera se corta la pieza en varias secciones, calculndose las solicitaciones que actan en cada seccin (clculo de esfuerzo). La segunda se obtiene, a partir de los esfuerzos, las tensiones en todas las fibras de hormign y en las armaduras de la seccin (clculo de secciones). En el diseo por tensiones admisibles del acero ordinario, se supone una relacin lineal tensindeformacin, asegurndose que bajo cargas de servicio tanto el acero como el hormign no excedern las tensiones de trabajo. Las tensiones permitidas se determinan en proporcin a la resistencia ltima y/o a la resistencia de fluencia de ambos materiales. Los valores recomendados se sealan a continuacin: Tensiones admisibles para el hormign segn el Cdigo ACI 318-63Tabla 1.- Tensiones admisibles segn el Cdigo ACI 318-63MATERIAL Y FORMA DE TRABAJO CAMPO DE APLICACION TENSION ADMISIBLE Hormig?n a compresi?n Vigas y elementos sometidos a flexi?n....... ?c,adm= 0.45f'c Hormig?n a tracci?n Hormig?n en masa, muros y zapatas.......... ?ct,adm= 0.424 cf ' Armaduras en tracci?n Barras corrugadas con l?mite el?stico fy ? 4200 kg/cm2 cuyo di?metro no supere a 35 mm. ?s,adm= 0.60fy ?s,adm ? 2520 Ecuacin de equilibrio de una seccin cualquiera.Figuraffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c450001010 28.0000c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce0002000900060031000061637 3704d5346540000000049454320735247420000000000000000000000000000f6d600010000 0000d32d4850202000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000001163707274000001500000003364657363000001 840000006c77747074000001f000000014626b707400000204000000147258595a000002180 00000146758595a0000022c000000146258595a0000024000000014646d6e64000002540000 0070646d6464000002c400000088767565640000034c0000008676696577000003d40000002 46c756d69000003f8000000146d6561730000040c0000002474656368000004300000000c725 452430000043c0000080c675452430000043c0000080c625452430000043c0000080c7465787 400000000436f70797269676874202863292031393938204865776c6574742d5061636b6172 6420436f6d70616e790000646573630000000000000012735247422049454336313936362d3 22e31000000000000000000000012735247422049454336313936362d322e31000000000000 000000000000000000000000000000000000000000Seccin transversal cualquiera.En una seccin cualquiera con un eje de simetra y una armadura de traccin (A) y de compresin (A'), como se muestra en la figura 24, que se encuentra sometida a un momento flector M = Mx (solicitacin de servicio), las ecuaciones de equilibrio entre las tensiones y las solicitaciones pueden establecerse como se indica: En un elemento de seccin de rea by dy , la tensin del hormign ser y y la resultante lineal ser y. by dy . Integrando para toda la zona del hormign comprimido y aadiendo la contribucin de las armaduras, se obtienen las ecuaciones que expresan el equilibrio de esfuerzos normales y momentos(16):by y dy + A's'+A s = 0x(33)0 by y y dy + A's'(x d') + A s (d x) =Mx (34)x0Sabiendo que la ley de deformaciones y la de tensiones es recta, resulta: y 21 c= == (35) yn (x d ') n (d x) x Luego la tensin en el hormign en la fibra extrema es el siguiente: Mx C = (36) Ie1 Comprobacin de la seccin cualquiera. Para tener la certeza de que la seccin y en este caso la armadura ordinaria no supera las tensiones admisibles impuestas en el diseo debe cumplirse que: x d' d-x s'= n c s= n c (37) xx Dimensionamiento de una seccin cualquiera. el gran problema es cuantificar la armadura necesaria, conociendo la seccin, el momento flector (de Servicio) y las tensiones admisibles. En una seccin sin armadura de compresin, se llamar Momento crtico (M critico) el que sea capaz de resistir la pieza en el supuesto de que tanto el hormign como la armadura en traccin alcancen sus respectivas tensiones admisibles. Al ser conocida la distribucin de tensiones puede calcularsefcilmente dicho momento crtico. Una vez conocida pueden ocurrir dos situaciones:a) Si el momento dado M = Mx es menor que el momento crtico, es decir, Mcritico > Mx, significa que la seccin no necesita armadura de compresin, y la de traccin se calcula para que trabaje a su mxima tensin admisible. En este caso el hormign no alcanzar su mxima tensin admisible, siendo las incgnitas del problema x, A, y c. b) Si el momento dado M = Mx es mayor que el momento crtico, es decir, Mcritico > Mx, se trabajar con la distribucin de tensiones correspondiente al momento crtico, colocando la armadura de compresin que sea necesaria para tomar el valor de la diferencia entre M critico -Mx. Ecuaciones de equilibrio de una seccin rectangular. Las secciones rectangulares son las ms comunes en el clculo de las vigas compuestas, es aquel, en que la armadura ordinaria debe calcularse cuando la seccin de la viga elegida funciona como rectangular, a continuacin se resumen las ecuaciones necesarias para el diseo del mencionado refuerzo debido a la solicitacin de servicio Mx.Figura 29.-Viga rectangularffd8ffe000104a4649460001020100c800c80000ffe20c584943435f50524f46494c450001010000 0c484c696e6f021000006d6e74725247422058595a2007ce00020009000600310000616373704d5 346540000000049454320735247420000000000000000000000000000f6d6000100000000d32d4 850202000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000001163707274000001500000003364657363000001840000006c77747 074000001f000000014626b707400000204000000147258595a00000218000000146758595a000 0022c000000146258595a0000024000000014646d6e640000025400000070646d6464000002c40 0000088767565640000034c0000008676696577000003d4000000246c756d69000003f80000001 46d6561730000040c0000002474656368000004300000000c725452430000043c0000080c67545 2430000043c0000080c625452430000043c0000080c7465787400000000436f707972696768742 02863292031393938204865776c6574742d5061636b61726420436f6d70616e790000646573630 000000000000012735247422049454336313936362d322e3100000000000000000000001273524 7422049454336313936362d322e310000000000000000000000000000000000000000000000000 00000La ecuacin de equilibrio entre tensiones, para el caso de una viga es el siguiente: d-x s = n c , (38) x De donde se puede obtener x. Conocido x, se hace sumatoria de fuerzas, de donde: x cb =As (39) 2 Haciendo sumatoria de momento en torno al acero de traccin se tiene que:xx M crtico=cb d(40) 2 3 El valor de Mcritico calculado, se compara con el valor de Mx, s: a) Si el momento Mx es menor que el momento crtico, es decir, Mx < Mcritico, se tiene que A' = 0 y el rea de acero de traccin A se reducen a un valor que sea necesario para que trabaje a su mxima tensin admisible y resista slo el momento Mx. b) Si el momento Mx es mayor que el momento crtico, es decir, Mx > Mcritico, el rea de acero de traccin A, ser la calculada por la ecuacin (46), y la diferencia de M x -Mcritico, ser asumida por acero de compresin A' por medio de la ecuacin: Mx Mcritico A'= (41)ds'13.- PERDIDAS EN ELEMENTOS DE HORMIGON PRETENSADO.Las prdidas de los elementos pretensados empiezan a actuar desde que el gato empieza a ejercer su tensin. Existen dos tipos de perdidas; a) Prdidas instantneas (iniciales), y; b) Prdidas diferidas (dependientes del tiempo).13.1.- Prdidas Instantneas. Se definen las prdidas instantneas como aquellas prdidas que ocurren durante el proceso de tensado e inmediatamente despus del anclaje de las armaduras, es decir, en el momento de transferir la fuerza al hormign. Las prdidas instantneas las podemos clasificar en: 13.1.1.- Prdidas por Penetracin de Cuas (deformacin del anclaje), sin Considerar Rozamiento.Al anclar un cable sometido a una tensin impuesta en su extremo por un gato, esta tensin se transfiere al anclaje y lo deforma, su magnitud depende del tipo de gato que se emplee. En los gatos monotorones tienen una menor prdida que los gatos multitorones, debido a que poseen un dispositivo de anclaje de las cuas a la viga. La prdida queda entonces definida por: 2 : Prdida de tensin por penetracin de las cuas en el anclaje (Kg/cm ). : Penetracin de la cua (cm.). E?? = Ea L ? de elasticidad del acero de alto lmite a : Mdulo 2 (42) elstico (Kg/cm ). Donde:13.1.2.- Prdidas de tensin debidas al estiramiento no simultneo de los cables y por Acortamiento Elstico del Hormign. La fuerza de pretensado se ejerce por varios cables que no son tensados simultneamente, de suerte que cada uno de ellos se acorta debido a la deformacin instantnea del hormign producida por la fuerza impuesta a los cables tensados (postensado), y por deformacin de los anclajes en los cabezales (pretensado). La prdida por estiramiento no simultneo de los cables y la que se produce por acortamiento elstico del hormign se relacionan, con lo cual pueden ser evaluadas por la siguiente frmula:Ea ES = Kes fcir (43) Eci Donde: ES: Prdida de tensin en los cables debido al estiramiento no simultneo y por el acortamiento elstico del hormign (Kg/cm ). Kes : Constante que depende del tipo de tensado => para pretensado = 1,0 => para postensado = 0,5 Ea : Mdulo de elasticidad del acero pretensado (Kg/cm ). Eci : Mdulo de elasticidad del hormign en el momento del tensado. Se recomienda usar el siguiente valor: Eci =15100 2 2ffd8ffe00010 4a4649460001 020100c800c8 0000ffe20c584 943435f50524 f46494c45000 10100000c484 c696e6f02100 0006d6e74725 247422058595 a2007ce00020 009000600310 fci = Resistencia cilndrica caracterstica del hormign en el momento del tensado 000616373704 2 d53465400000 (Kg/cm ). 000494543207 352474200000 000000000000 00000000000f 6d6000100000 000d32d48502 020000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 011637072740 000015000000 033646573630 000018400000 06c777470740 00001f000000 014626b70740 000020400000 0147258595a0 000021800000 0146758595a0 000022c00000 0146258595a0 000024000000 014646d6e640 000025400000 070646d64640 00002c400000 088767565640 000034c00000 086766965770 00003d400000 0246c756d690 00003f800000 0146d6561730 000040c00000 024746563680 000043000000 00c725452430 000043c00000 80c675452430 000043c00000 80c625452430 000043c00000 80c746578740fcir : Tensin en el centro de gravedad de los cables inmediatamente despus de que ocurran las prdidas instantneas por rozamiento, y por penetracin de las cuas en el anclaje. Se recomienda usar la siguiente expresin: PiP M' c2 i(44) fcir= Kcir + AIgIg Donde: Pi : Fuerza de pretensado inicial, despus de que han ocurrido las prdidas instantneas (ton). e : Excentricidad de los cables (m). A : Area de la seccin de hormign en el momento del tensado (m ). Ig : Inercia de la seccin de hormign en el momento del tensado (m ). M c2 : Momento flector correspondiente al peso propio de la viga en el momento del tensado (ton-m). El valor de Kes es el doble en el pretensado que en el postensado, lo que explica que en el pretensado hay dos momentos en los que se produce esta prdida, al momento de anclar los cables al cabezal de anclaje y al realizar la transmisin de fuerza de los cabes al hormign cuando este ya fragu. Se observa que el valor de fcir se toma en el centroide de los cables, con lo cual, se deber primero determinar la tensin en las fibras extremas (mediante las frmulas de Navier), y despus trasladarla al4 I 2centroide de los cables. Un mtodo muy sencillo para proceder es el siguiente: 1.- Se parte de la fuerza inicial determinada segn el procedimiento de diseo. 2.- Se determinan las prdidas por rozamiento y por penetracin del anclaje.3.- Se calcula fcir por medio de la siguiente formula: Pi Pi e2 Mg e f cir = K cir + (45) A Ig Ig Donde: Pretensado => Kcir = 0,9 Postensado => Kcir = 0,85 4.- Con el valor de fcir se determina ES, mediante la frmula (42). En elementos postensados los valores de A y de Ig se determina considerando los conductos vacos, sin inyectar. 13.1.3.-Prdidas de tensin por rozamiento en el gato. La fuerza terica que ejerce el gato es: F = M A (46) donde: M = es la presin del lquido leda en el manmetro. A = es el rea del pistn del gato. La expresin anterior debera de tener un factor de correccin, por efecto de que tambin existe un rozamiento entre las empaquetaduras del pistn y el cilindro, resistencias viscosas, etc. Este tipo de prdidas es despreciable para el calculista, por que, debe existir una correcta calibracin del manmetro de lectura.13.1.4.- Prdidas de tensin por rozamiento entre los cables y el anclaje a la salida del anclaje. Este tipo de prdidas depende del tipo o sistema de anclaje empleado y su valor deber obtenerse por experiencias adecuadas o recomendaciones del fabricante. 13.1.5.- Prdidas de tensin por rozamiento entre las armaduras de pretensado (cables, alambres, barras, etc.) y las vainas o conductos. La determinacin de este tipo de prdidas es el nico que se encuentra normado, y los valores son coincidentes de una norma a otra. Segn ACI, AASHTO y la Norma Chilena de Hormign (NCh 430), el efecto de las prdidas por friccin en los cables postensados debe calcularse por medio de la siguiente frmula:(KlX + )Ps = PX e (47) Donde: PS : Fuerza del cable aplicada a la salida del gato. PX : Fuerza del cable en cualquier punto x. e : Nmero de Euler. : coeficiente de rozamiento entre el cable y la vaina en curvas. K : coeficiente de rozamientos parsitos entre el cable y la vaina en rectas : Variacin angular de la trayectoria del cable en radianes, desde el extremo del gato, hasta el punto donde se calcula la prdida. lx : longitud del cable desde el extremo del gato hasta donde se calcula la prdida. El coeficiente depende del estado, naturaleza y rigidez de la vaina; del cable o alambre y de su estado (oxidado o no). Depende, adems, del cuidado en la colocacinde la vaina y ejecucin posterior (vertido y vibrado del hormign) y de s el conducto se encuentra lubricado o no. Cuando (KlX + ) no es mayor que 0,3, se permite calcular el efecto de la prdida por medio de la siguiente frmula: P = P (1+ Kl + ) (48) SX XLos coeficientes incluidos en la tabla 3.2 dan un rango de valores que normalmente puede esperarse, debido a la gran cantidad de ductos, cables y materiales disponibles para el recubrimiento de estos. Cuando se usan conductos rgidos el coeficiente de curvatura accidental K puede considerarse igual a cero, al igual para los cables grandes dentro de conductos semirgidos. Los valores de los coeficientes que se deben usar para los cables y conductos del tipo especial debe obtenerse de los fabricantes.Tabla 2.- Coeficientes de friccin para cables postensados.Coeficiente de curvatura accidental, K Coeficiente de Curvatura ? Cables de alambre Barras de altas resistencia Torones de 7 alambres 0.0033 0.0049 0.0003 0.0020 0.0016 0.0060 0.15 0.25 0.08 0.30 0.15 0.25 Cable no adherido Cubierto con mastic Cables de alambre Torones de 7 alambres 0.0033 0.0066 0.0033 0.0066 0.05 0.15 0.05 0.15 Cables no adheridos pre-engrasados Cables de alambres Torones de 7 alambres 0.0010 0.0066 0.0010 0.0066 0.05 - 0.15 0.05 0.1513.1.6.- Prdidas de tensin debidas a la deformacin del anclaje y eventual resbalamiento de las armaduras. La deformacin del anclaje se produce por la transmisin de la fuerza desde el cable. Tambin se pueden producir eventuales deslizamientos de los cables, con lo que conlleva a una disminucin de la tensin, esta magnitud depende del sistema de tensado y del tipo de gato a usar. En los gatos multitorones el deslizamiento es mayor. Si no se consideran las resistencias por rozamiento, la prdida de tensin ser la siguiente: = Ea (49) L Donde: = Prdida de tensin por penetracin de las cuas en el anclaje (Kg/cm ). = Penetracin de la cua (cm). Ea = Mdulo de elasticidad del acero (Kg/cm ). La disminucin de tensiones es afectada en 1020100c800c80000ffe20c5todo el cable. En el cual la tensin disminuye84943435f50524f46494c45 ffd8ffe000104a46494600022enelanclaje nopor efecto est afectadadedicha00010100000c484c696e6f0 deformacin, y aumenta a medida que el 21000006d6e74725247422058595a2007ce00020009000 2474200000000000000000 0000d32d48502020000000 0000000000000000000000 0033646573630000018400cable se interna en el elemento, la600310000616373704d534 variacin de la tensin en el interior del 6540000000049454320735 elemento por la00000000000f6d600010000 deformacin del anclaje, este fenmeno ocurre por la presencia de la fuerza de 0000000000000000000000 friccin entre el cable y la vaina. Para 0000000000000000000000 calcular si la prdida afecta en todo el0000000000000000000000 largo del elemento , se calcular, la longitud 1163707274000001500000 en que afecta la penetracin de la cua, la00006c77747074000001f00 expresin es la que sigue: 0000014626b70740000020 Donde: L? = 4000000147258595a000002 Longitud de la viga afectada por el deslizamiento de la cu?a. 18000000146758595a00000 22c000000146258595a0000 Es = 024000000014646d6e64000 L= M?dulo de elasticidad de los 0025400000070646d64640 cables de acero (1,97 x 106 Kg/cm2). 00002c40000008876756564 (50) 0000034c000000867669657 ?= 7000003d4000000246c756d 69000003f8000000146d656 P?rdida de tensi?n debido al rozamiento por unidad de longitud. 1730000040c000000247465 c = 6368000004300000000c725 452430000043c0000080c67 Asentamiento de la cu?a. 3mm para monotor?n. 8mm multitor?n. 5452430000043c0000080c625452430000043c0000080c 7465787400000000436f707 9726967687420286329203 1393938204865776c657474 2d5061636b61726420436f6 d70616e7900006465736300 0000000000001273524742 2049454336313936362d32 2e310000000000000000000 0001273524742204945433 6313936362d322e31000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000c'EsSi el clculo de L es menor que el centro de la viga, la penetracin de la cua no afecta, en caso contrario el valor de la prdida se calcular como sigue: L AN = 2 (51) 2 Donde: AN = Prdida de tensin por asentamiento de la cua. L 13.2.- Prdidas dependientes del tiempo. 13.2.1.- Prdidas de tensin por retraccin hormign. Despus de fraguado el hormign, este experimenta variaciones en sus dimensiones (dilataciones o contracciones), estas deformaciones se llaman entumecimiento y retraccin. Esta ltima es la que ms interesa, ya que produce el acortamiento del hormign y por lo tanto reduce las tensiones en las armaduras. La retraccin es un fenmeno relativamente rpido en un comienzo, para elementos usuales, se produce un 25, 50 y 75% de deformacin final por retraccin a los 7, 30 y 180 das, respectivamente. Estos valores son importantes para conocer que parte de la retraccin queda por producirse despus del tensado, que en definitiva es la que influye en el acortamiento de las armaduras. En los elementos pretensados deber considerarse la totalidad de la retraccin. La prdida por compresin en el hormign debido a la retraccin puede evaluarse como: SH = K SH (1195 10.55RH) (52)Donde: SH : Prdida de tensin en los cables por retraccin del hormign (Kg/cm ). RH : Humedad relativa media anual (%). Ksh : Coeficiente de prdida por retraccin => pretensado =1. => postensado = 0,8 13.2.2.- Prdidas de tensin por fluencia lenta del hormign. Existen diferentes frmulas empricas para obtener el valor de la fluencia del hormign, se asumir la que se seala a continuacin: EaCRc = Kcr ( fcir fcds)Ec Donde: CRc : Prdidas de tensin debida a la fluencia lenta del hormign. Kcr : Coeficiente de prdida por fluencia lenta. fcds : Tensin en el hormign al nivel del centro de gravedad de los cables debido a todas las cargas muertas que actan con posterioridad al tensado de los cables. 13.2.3.- Prdidas de tensin por relajacin de los cables de acero. La relajacin es la prdida de tensin que experimenta un cable despus de transcurrido un cierto periodo de tiempo desde que fue tensado, bajo condiciones de longitud y temperatura constante. El fabricante del cable deber brindar el valor promedio de relajacin as como la temperatura y la carga a la que fue obtenido el valor entregado, no obstante en el proceso de clculo an no se posee el dato que este brindar y se podr determinar la prdida por relajamiento del acero segn las siguientes frmulas empricas:2Para elementos pretensados: 1.- Cables de relajacin normal CRs = 1046 2 - 0.4 ES - 0.2(SH + CRc) 2.- Cables de baja relajacin CRs = 352 2 - 0.1 ES - 0.05(SH+ CRc) Para elementos postensados: 1.Cables de relajacin normal CRs = 1046 2 -0,3 FR 0,4 ES 0,2(SH + CRc) 2.- Cables de baja relajacin CRs = 352 2 - 0,07 FR 0,1 ES 0.05 (SH + CRC) Donde: S ES, SH, CRc = P?rdidas de tensi?n por 2acortamiento el?stico, retra = cci?n 0,7 f PU y S = Tensin de lo