47147153 experiencia laboral

8/17/2019 47147153 Experiencia Laboral

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INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

Fundamentos de la Investigación de Operaciones (I.O.)

1. Definición:Para iniciar el estudio de una nueva disciplina debemos saber sobre

que trata y cuál es su aplicación mediante una definición, pero dar

una definición de I.O. es bastante compleja, debido al lugar y al

tiempo ha cambiando; para la O!"

# $he Operations esearch !ociety of "merica % &'a I.O. concierne con

la decisión cient(fica de como dise)ar y operar el mejor sistema

hombre*máquina, usualmente bajo condiciones de asignar

óptimamente los recursos&.

2.- Fases en un estudio de I.O.+

a% Observar la realidad

b% efinir el problema #alcances, l(mites, restricciones, objetivos%.

c% -onstrucción o formulación del modelo #la realidad se epresa

en forma matemática%

d% ecojo de datos.

e% !olución del modelo #se utili/an diferentes algoritmos%.

f% 0alidación del modelo #valores posibles para dar un resultadoesperado%

g% Interpretar resultados..

!antiago 1ave/ 0alladares Página 1


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PROBLEMA

MODELO

SOLUCIONVALIDACION

RECOJODE

DATOSINTERPRETARRESULTADOS

OBSERVAR


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3.- !"#" $I%&O!I' D" ' I#"%&I*'+IO D" O,"!'+IO"%

1759 "%'/ + 2so de

3odelos Primitivos de

Programación

3atemática

4567 0'!'% + uso de

t8cnicas similares a 92:!"o?s>y

en 45@A y Bar>as en 4@C=.

3odelos inámicos

Probabilisticos+

3ar>ov a fines del siglo

pasado.

3odelos de inve ntarios, de

$iempo y 3ovimiento + en los

a)os DC del siglo EE.3odelos de "signación + Fonig

y :gervary en la segunda y

tercera d8cada del siglo EE.

:studios de las '(neas de

:speras+ :rlang a principios del

siglo EE.

$eor(a de 1uegos+ 0on e?man

en 4@=6.

$eor(a de Preferencias+

0on e?man con 3orgenstern.

3odelos de istribución+

Fantorovich en 4@=@.

urante la !egunda Guerra

3undial eist(an grupos que

asesoraban con relación a las

acciones b8licas a reali/ar+

"nálisis de estrategias de

bombardeo, defensa a8rea y



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programación de operaciones

log(sticas; en 4@=6

-ient(ficos ayudaron a detectaraeroplanos enemigos mediante

el radar. :n el verano de 4@74

se

estable una sección de

Operations esearch #O.,en

espa)ol Investigación deOperaciones o

# I.O.% en la "B#eal Buer/a

"8rea% de igual modo en la

Hritish



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9"rmy y la avy. :stos cient(ficos fueron conocidos como los O., por ser los primeros

investigadores operacionales. "l final de la guerra un grupo de ellos se dedica a la

industria y al gobierno, empe/ando la palabra I.O. para designar a aquellos cient(ficos que

se preocupaban por resolver los problemas que aparec(an en la administración.

!e le debe a Gran Hreta)a el haber iniciado la I.O. y a :stados 2nidos por el rápido

crecimiento de esta disciplina.

:l auge empie/a en 4@76 +

• 4@76 G:OG: "$IG+ :' 3J$OO !I3P':E. POG"3"-IO I"3I-"+ H:''3". POG"3"-IO O 'I:"'+ F2K < $2-F:. POG"3"-IO :$:"+ GO3O


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9

eneficios de la Investigación de Operaciones

:n la practica el uso de modelos basados en t8cnicas de investigación de Operaciones

generan soluciones a problemas de las organi/aciones tanto sociales, pol(ticas y

económicas. !e pueden definir algunos beneficios+

a% Genera la posibilidad de mejor toma de decisiones en toda organi/ación, uniendo

t8cnicas, grupos multidisciplinarios, soft?are, datos económicos, brindan una

mejor solución a problemas de gran inter8s a solucionarse.

b% Optimi/ar la coordinación entre los diferentes departamentos de las

organi/aciones, generando un mayor flujo de información con orden y haciendo

buen uso del tiempo para generar información importante para mejorar la toma de

decisiones.

c% !e genera mayor control de los procesos y recursos, teniendo controlada la

organi/ación para contribuir a lograr los objetivos planteados.

d% !e hace mejor uso de los factores económicos, disminuyendo costos y

aumentando las utilidades de las empresas.


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9

SESION I

Introducción a la ,rogramación ineal

'os modelos lineales tienen una variedad de aplicaciones en la vida diaria, es por ello que

en esta sección vamos a dedicarnos a anali/ar algunos problemas aplicativos pero a la

ve/ didácticos para conocer lo potente que es esta herramienta.

Kablar de aplicaciones de modelos lineales es de nunca acabar, cada d(a aparecen

nuevas propuestas o modificaciones a los ya eistentes que hacen que cada modelo sea

adaptado a diferentes realidades, es entonces que en este marco, los siguientes modelos

a desarrollar tienen la finalidad de hacer una introducción a la formar de modelar y poder

ver en parte sus aplicaciones a sistemas reales.


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9

odelos de ,rogramación ineal

!e llama programación lineal al conjunto de t8cnicas matemáticas que pretenden

resolver la situación siguiente+

Optimi/ar #maimi/ar o minimi/ar% una función objetivo, función lineal de varias

variables, sujeta a+

una serie de restricciones, epresadas por inecuaciones lineales.

Función Oetivo#B.O.%+

Para seleccionar que función objetivo debe elegirse se debe tomar en cuenta lo siguiente+

a% !i vamos a encontrar situaciones en las cuales tendremos solo costos ya sea de

materia prima, costo de mano de obra, costo de uso de máquina, costos de transporte,

costos de depreciación ,etc. esto indica que indudablemente la B.O. será de

III4'+IO.

b% !i el enunciado solo da datos económicos de ganancia, precio de venta o dinero a

recibir por unidad producida la B.O. será de '5II4'+IO.

c% !i el enunciado nos da al mismo tiempo costos y ganancias restaremos de la siguiente

manera+

G""-I"! * -O!$O! 2$I'I", la que tendrá como B.O. 3"EI3I"-IO.

d% !i no nos dan ningn datos económico y solo se da tiempos, el tiempo se minimi/a, si

nos da solo producción, la producción se ha de maimi/ar, si el modelo corresponde a

contratar al personal, la función objetivo se minimi/a.

!estricciones:

:stas limitaciones o restricciones en los modelos lineales tienen sólo las siguientes

estructuras+ Q , R, .3uchos problemas tienen epresiones caracter(sticas que nos pueden anunciar que tipo

de restricción debemos usar, por ejemplo+

2sar Para epresiones como +Q -omo máimo, a lo más, disponibilidad, demanda

máima.R -omo m(nimo, por lo menos, al menos, demanda

m(nima. total, proporción,igualdad

Binalmente las restricciones deben tener las mismas unidades en tanto en su ladoi/quierdo como derecho.

'a no negatividad de algunas variables son muy importante para definir la solución de

algunos modelos, por lo tanto se dice que todas las variables son RC.


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9

'lgunas pautas para resolver odelos ineales

!e personalmente que la parte fundamental del curso es la del modelamiento, en algunas

partes se dice que es un arte, pero se que la constancia hace que sea más fácil esta parte

del curso, solo puedo pedirles lo siguiente+

a% Huena comprensión de lectura.

b) "tención a los datos de conversiones # horas a minutos, >ilogramos a libras, etc%.

c% Paciencia, no todo sale a la primera ve/, la constancia llevara al triunfo.

d% Preguntar lo mas que se pueda, de esa manera despejamos dudas.

,rogramación ineal

Formulación


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9

:n esta parte debemos considerar algo muy importante, hay una variedad de

aplicaciones de modelos lineales, en las siguientes paginas vamos a tratar de considerar

la mayor variedad de modelos lineales y sobre todo de mas aplicación al inicio del

aprendi/aje de formulación de modelos lineales.

,!O"' 1.1. PO2--IS : 'I:"

2na fábrica de carrocer(as de automóviles y camiones tiene dos departamentos. :n el

departamento ", para hacer la carrocer(a de un camión, se invierten 6 d(as*operario, para

fabricar la de un automóvil se precisan D d(as*operario. :n el departamento H se invierten

tres d(as operario tanto en carrocer(as de camión como de automóvil. Por limitaciones de

mano de obra y maquinaria, el departamento " dispone de =CC d(as operario, y el

departamento H de D6C d(as*operario. !i los beneficios que se obtienen por cada camión

son de TACCC y por cada automóvil TDCCC Ucuántas unidades de cada uno se deben

producir para maimi/ar las gananciasV #-onsidere que para la producción se debe

utili/ar ambos departamentos%.

%olución:

:n primer lugar ordenamos la información en la siguiente tabla

4. Definición de las variales de decisión:

i x + mero de veh(culos del tipo )(2,)(1 automóvil camióni = a producir.

-amió

n

"utomóvi

l

isponibilidad

epartamento " #(as*

operario%

6 D =CC

epartamento H #(as*

operario%

= = D6C

Heneficios #T% ACCC DCCC


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9M se usa un solo sub (ndice por que el sistema de producción es en l(nea.

D. "laoración de la función oetivo:

:l beneficio total se obtiene multiplicando el beneficio por el nmero de veh(culos

producidos. Obteniendo as(, un beneficio total de

automovil xautomovil camiones xcamion ))(/2(!))(/"(! 21 + . Binalmente

tenemos la siguiente función objetivo+

3aimi/ar 21 2" x x z +=

=. Formulación de las restricciones tecnológicas:

estricción de d(as*operario en el departamento ".

Podemos ver que, sólo disponemos de =CC d(as*operario en el departamento ";

pero para producir cada camión se necesita de 6 d(as*operario y para producir

cada automóvil se necesita de D d(as*operario. Por tanto la restricción de d(as*

operario en el departamento ", queda epresado como+ 327 21 ≤+ x x .

estricción de d(as*operario en el departamento H.

Podemos ver que, sólo disponemos de D6C d(as*operario en el departamento H;

pero para producir cada camión se necesita de = d(as*operario y para producir

cada automóvil se necesita de = d(as*operario. Por tanto la restricción de d(as*

operario en el departamento ", queda epresado como+ 273321

≤+ x x .

estricciones de no negatividad

ado que las variables de decisión sólo pueden tomar valores no negativos,

tenemos que 1 ≥ x , 2 ≥ x .

Problema D.*#Producción en l(nea%'a empresa :lit elabora yogurt y jugos a base de mango y dura/no, esta empresacompra su materia prima al precio de TC,NC por >ilogramo de mango y TC,=C por

>ilogramo de dura/no, las cantidades máimas que puede comprar es de 4ACC>ilogramos de mango y D4CC >ilogramos de dura/no.:l mercado de venta de yogurt es de @CCC botellas como máimo y para jugo nohay limite, el precio de venta del yogurt y de jugo es de TN y T= por cada botellarespectivamente; estos datos y otros se dan en la siguiente tabla+


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93ango D >gWbotella = >gWbotella 4ACC

>gTC.NCW>g

ura/no = >gWbotella 4 >gWbotella D4CC>g

TC.=CW>g

0enta Q@CCCbotellas

P.0enta TNWbotella T=Wbotella

:labore un modelo lineal para la empresa :lit.!olución+

%olución:

+omo el producto se elaora a ase de magno y dura6no7 esto permite 8acer

uso de la variale con un solo su-indice.


i x + -antidad de botellas de 2,1=i #yogurt y jugo respectivamente% a producir.


)(/1

)/3)(/3#(!

)))(/3()(/2)(/5#(!

))(/3(!))(/5(!$%&

2

1

21

21

botella xbotellakg

botella xbotellakg kg

botella xbotellakg botella xbotellakg kg

botella xbotellabotella xbotella z

+

−

+−

+=


estricción de la disponibilidad del mango.

kg botella xbotellakg botella xbotellakg 1"))(/3())(/2( 21 ≤+ .

estricción de la disponibilidad del dura/no.kg botella xbotellakg botella xbotellakg 21))(/1())(/3( 21 ≤+ .

estricción de la cantidad de botellas de yogurt.

botellabotella x 91 ≤ .



tenemos que , 21 ≥ x x .

Problema =.* #3:-'"%2sted a decidido entrar en el negocio de los dulces. :stá considerando producir dos tiposde dulces+ :asy Out -andy y !lugger -andy , que se componen solamente de a/car,nueces y chocolate. "ctualmente, tiene en bodega 4CC on/as de a/car, DC o/ de nuecesy =C o/ de chocolate. 'a me/cla para producir :asy Out -andy tiene que contener por lomenos DCX de nueces.'a me/cla para producir !lugger -andy tiene que contener por lo menos 4CX de nueces ypor lo menos 4CX de chocolate. -ada on/a de :asy Out -andy se vende a DN


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9centavos#de dólar%, y una on/a de !lugger -andy a DC centavos. Bormule un P' que lepermita maimi/ar sus ingresos por la venta de dulces.

!olución+:asy Out -andy !lugger -andy isponibl

e"/car 4CC on/asueces Por lo menos

DCXPor lo menos

4CXDC on/as

-hocolate Por lo menos4CX

=C on/as

Precio de0enta

TC,DN TC.DC


ij x + -antidad de on/as usadas del ingrediente 3,2,1=i #a/car, nueces y chocolate

respectivamente% para elaborar el tipo de dulce 2,1= j #:asy Out -andy y

!lugger -andy respectivamente%.


3aimi/ar oz x x xoz oz x x xoz z ))(/2#(!))(/25#(! 322212312111 +++++=


estricción de la disponibilidad del a/car.

oz oz xoz x 11211 ≤+ .

estricción de la disponibilidad de las nueces.

oz oz xoz x 22221 ≤+ .

estricción de la disponibilidad de chocolates.

oz oz xoz x 33231 ≤+ .

Porcentaje de nueces en :asy Out -andy+

oz x x xoz x )(2# 31211121 ++≥

Porcentaje de nueces en !lugger -andy+

oz x x xoz x )(1# 32221222 ++≥

Porcentaje de chocolate en !lugger -andy+

oz x x xoz x )(1# 32221232 ++≥



tenemos que 2,1,3,2,1' =∀=∀≥ ji xij .

Problema 7.*#3e/cla+componentes indivisibles%


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9Pearce ears, un antiguo entrenador de grupos de choque, se ha convertido en avicultor.esea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus necesidades de nutricióna un costo m(nimo. Pearce está estudiando el uso de ma(/, soya, avena y alfalfa. :n lafigura se muestra la información diet8tica importante por libra de grano #por ejemplo, 4libra de ma(/ proporciona 4N miligramos de prote(na%. :labore un modelo de P' paradeterminar la me/cla diet8tica que satisfará los requisitos diarios a un costo m(nimo.

utrientes por libra de grano

utriente#mg%

3a(/ !oya "vena

"lfalf a

ecesidades#mg%

Prote(nas 4N =C 4N 6 3(nimo NC-alcio 7C 4C 7C 7N 3(nimo 4NCGrasas DC NC 5 DN 3áimo4DC

y 3(nimo DN-alor(as 5NC 4NC

C4DCC 7CCC 3(nimo NCCC

-osto porlibra

6C 7N 7C @C

%olución:


i x + mero de libras de 4,3,2,1=i #ma(/, soya, avena y alfalfa respectivamente%

a comprar.


:l costo total se obtiene multiplicando el costo de cada libra con la cantidad de libras

compradas. Obteniendo as(, un costo total delb xlblb xlblb xlblb xlb ))(/9(!))(/4(!))(/45(!))(/7(! 4321 +++ . Binalmente


3inimi/ar 794457 4321 x x x x z +++=


estricción de prote(nas.

5715315 4321 ≥+++ x x x x .

estricción de calcio.

1545414 4321 ≥+++ x x x x .estricción de grasas.

252552 4321 ≥+++ x x x x .

122552 4321 ≤+++ x x x x .

estricción de calor(as.

5412155 4321 ≥+++ x x x x .


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9estricciones de no negatividad


tenemos que ,,, 4321 ≥ x x x x .

Problema N.*#Producción%Ginno Pi//a fabrica pi//as congeladas. 'a compa)(a obtiene una utilidad de TD.CC por

cada pi//a normal que fabrica y T=.CC por cada pi//a de lujo. -ada art(culo incluye unacombinación de me/cla de masa y de me/cla de adere/o. :n estos momentos, laempresa tiene =DC libras de masa y DCC libras de adere/o. -ada pi//a normal utili/a unalibra de masa y A libras de adere/o. -ada pi//a de lujo utili/a una libra de masa y 5 librasde adere/o.Ginno sabe por datos pasados que por cada dos pi//as normal debe fabricar una pi//a delujo además debe tener por pol(tica de la empresa por lo menos DC pi//as normales. 2napi//a normal demora DC minutos y una pi//a de lujo demora =C minutos, actualmente setiene 5 trabajadores a tiempo normal, Ginno Pi//a desea saber Ucuál es la combinaciónde pi//as que debe fabricar paraobtener un mayor beneficio V M $iempo normal #5hWd(a%Wtrabajador !olución+

Pi//aormal

Pi//a delujo

isponible

3asa 4 lbWpi//a 4 lbWpi//a =DC lb"dere/o A lbWpi//a 5 lbWpi//a DCC lbProporció

n deproducció

n

D 4

Pol(ticade la

empresa

DC

$iempo DCminutosWpi

//a

=CminutosWpi

//a

#5trabajadores%M#5hWtrabajadore

s%#ACminutosWhora%

Preciode venta

TDWpi//a T=Wpi//a

Bunción Objetivo +3a #TD.CCWpi//a normal%#E4 pi//a normal% Y #T=.CCWpi//a de lujo%#ED pi//a de lujo%sujeto a+

estricción de disponibilidad de masa+#4 libraWpi//a normal%#E4 pi//a normal% Y#4 libraWpi//a de lujo%#ED pi//a de lujo% Q =DClb

estricción de disponibilidad de adere/o+#A librasWpi//a normal%#E4 pi//a normal% Y#5 librasWpi//a de lujo%#ED pi//a de lujo%Q DCC

lb

estricción de proporción de Producción+ #E4 Pi//a ormalW ED Pi//a de lujo% D W 4

estricción por pol(tica de la empresa+ #E4 pi//as ormal% R DC pi//as

estricción de $iempo+


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9#DC minutosWpi//a normal% Y#=C minutosWpi//a de lujo% Q5trabajadores#5hWtrabajador%#AC minutosWh%

estricción de proporción de Producción+ # E4 Pi//a ormalW ED Pi//a 'ujo% DW4estricción de no negatividad+ E4RC , ED R C

Problema A.*#P:!O"'%2n cierto restaurante opera 6 d(as a la semana. " las camareras se les contratapara trabajar A horas diarias. :l contrato del sindicato especifica que cadacamarera tiene que trabajar N d(as consecutivos y despu8s tener D d(asconsecutivos de descanso . -ada camarera recibe el mismo sueldo semanal. :nla tabla se presentan las necesidades de contratación. !upóngase que este ciclode necesidades se repite en forma indefinida y no toma en cuenta el hecho deque el nmero de camareras contratadas tiene que ser un nmero entero. :l

gerente desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estasnecesidades a un costo m(nimo. Bormule este problema como un programalineal.ecesidades de contratación de camareras

(a 3(nima cantidad dehoras

'unes 4NC3artes DCC

3i8rcoles

7CC

1ueves =CC0iernes 6CC!ábado 5CC

omingo =CC

!olución+0ariable de decisión+

Ei -amareras que ingresan el d(a i # i lunes, martes, mi8rcoles, jueves, sábado,

domingo l, m, mi, j, v, s, d%.

Bunción Objetivo+

3inimi/ar E'YE3YE3IYE1YE0YE!YE

estricciones+

'unes +

3artes +

3i8rcoles+


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9

1ueves+

0iernes+

!ábado +

omingo+

o negatividad+

EiRC

Problema 6.* #"signación%!e desea asignar = obreros a = maquinas, los costos por asignación son+

3aquina 4 3aquina D 3aquina =

Obrero4

7 N 6

ObreroD

N = A

Obrero=

A 6 N

Ucómo distribuir los obreros para lograr el menor costo posibleV!olución+0ariable de ecisión+Eij Obrero i#i4,D,=% asignado a la maquina j#j4,D,=%

3in744YN4DY64=YND4Y=DDYAD=YA=4Y6=DYN==!ujeto a+

Obrero 4+ 44Y4DY4=4Obrero D+D4YDDYD=4Obrero =+ =4Y=DY==43aquina 4+ 44YD4Y=443aquina D+ D4YDDY=D43aquina =+ =4Y=DY==4o negatividad+EijRC

Problema 5.*#Problema de transporte%!e tiene tres plantas de producción, estos desean saber como enviar sus productos a tresmercados, las ganancias que logran por cada unidad en cada mercado se dan en la tabla+

3ercado+ isponible'ocal egional :tranjero isponible

anper TDDWud TD7Wud TDDWud A5@A >g W d(a $alsa T 4@Wud TDDWud TDCWud A7@N >g W d(aGreenPeru

TDCWud TD4Wud TDDWud A46= >g W d(a

emanda 7@44 >gWdia A6A= >gWdia A65@ >gWdia


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90ariable de decisión+Eij -antidad de docenas a enviar desde i#i anper, $alsa, Green Per 4,D,=% al cliente j#jlocal,regional,etranjero4,D,=%Bunción Objetivo+3aDD44YD74DYDD4=Y4@D4YDDDDYDCD=YDC=4YD4=DYDD==

imitantesanperE44Y4DY4=QA5@A $alsaED4YDDYD=QA7@NGreen PerE=4Y=DY==QA46='ocalE44YD4Y=47@44egionalE4DYDDY=DA6A=:tranjeroE4=YD=Y==A65@o negatividadEijRC

Problema @.*#Producción%2na empresa ha decidido lan/ar tres nuevos productos. !e muestran las capacidades delas plantas y los costos de producción. Identifique las variables de decisión y elabore unmodelo P' que asigne la producción de los tres productos a las dos plantas en forma talque cubran la demanda y minimicen los costos . -ostos unitarios de producción

PO2-$OP'"$" " H - -"P"-I"4 T@W2I T45 T4D NCCD 4= 45 6 ANC:3"" 7CC DNC =NC

!olución+0ariable de decisión+ij numero de productos tipo i #i a,b,c% elaborado en la planta j#j4,D%

Buncion Objetivo+3inimi/ar #T@Wunid%#a4 unid% Y #T45Wunid%#b4 unid% Y #T4DWunid%#c4 unid%Y #T4=Wunid%#aD unid% Y #T45Wunid%#bD unid% Y #T6Wunid%#cD unid%

estricciones+-apacidad+Planta 4#a4 Y b4 Y c4% unid Q NCC unid

Planta D#aD Y bD Y cD% unid Q ANC unid

emanda+Producto "+#a4 Y aD% unid 7CC unidProducto H+#b4 Y bD% unid DNC unidProducto -+


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9#c4 Y cD% unid =NC unido negatividadEijRC

'"HO"$OIO 4.

Problema 4.*n prolema de producción.

'a compa)(a !?elte glove manufactura y vende dos productos. 'a compa)(a obtiene unautilidad de T4D por unidad del producto 4 y T7 por unidad del producto D que se vendan.'as horas de trabajo que se requieren para los productos en cada uno de los tresdepartamentos de producción se sinteti/an en la figura. 'os supervisores de estosdepartamentos han estimado que durante el próimo mes estarán disponibles lassiguientes horas de trabajo+ 5CC en el departamento 4, ACC en el departamento D, y DCCen el departamento =. !uponiendo que la compa)(a quiera maimi/ar lasutilidades, formule el modelo de programación lineal de este problema. atos de producción de la compa)(a !?elte Glove

Producto#hWunidad%

4 Dpto. 4 4 Dpto. D 4 =pto. = D =

#trabajar como el problema 4%

Problema D.*


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9:n la empresa agroindustrial !an 1acinto, se produce+ a/car rubia, a/car blanca yalcohol. Para producir dichos elementos, se requieren los siguientes recursos+ ca)a dea/car, agua, qu(micos, horno y mano de obra.ecursos "/. Hlanca "/. ubia "lcohol isponible -osto-a)a "/. 4D tnW unid 4C tnW unid N tnW unid 5CC tnW d(a 4.C TW tn"gua =C ltW unid DN ltW unid 4N ltW unid 4CCC ltW d(a C.D TW lt9u(micos N >gW unid D >gW unid 6 >gW unid NCC >gW d(a C.N TW >gKorno A hrW unid N hrW unid 5 hrW unid 47C hrW d(a C.A TW hr

3ano Obra A hrW unid 7 hrW unid = hrW unid 7CC hrW d(a C.7 TW hrPrecioventa

AC TW unid NC TW unid NN TW unid

(traaar como el prolema 2)

Problema =.*-onsidere le problema = con las condiciones adicionales #M % +

:asy Out -andy !lugger -andy isponibl

e"/car * Como máximo15%

* Como minimo5%

4CC on/as

ueces Por lo menos DCX Por lo menos 4CX DC on/as-hocolate 9 ,or lo menos ; Por lo menos 4CX =C on/asPrecio de

0entaTC,DN TC.DC

Problema 7.* 3odifique le problema 7 segn lo siguiente+

utriente#mg%

3ai/ !oya "vena

"lfalf a

ecesidades#mg%

Proteina 4N =C 4N 6 3áimo 4NC-alcio 7C 4C 7C 7N 3áimo =CC3(nimo 4NC

Grasas DC NC 5 DN 3áimo 4DC y 3(nimoDN

-alor(as 5NC 4NCC

4DCC 7CCC 3(nimo NCCC3áimo 5CCC

* Ganancia porlibra

6C 7N 7C @C

Problema N.* esuelva el problema N considerando el costo de materia prima+Pi//a

ormal

Pi//a de

lujo

isponible Costo

3asa 4 lbWpi//a 4 lbWpi//a =DC lb $0,04/lb"dere/o A lbWpi//a 5 lbWpi//a DCC lb $0,05/lb

Proporción de

producción

D 4

Pol(ticade la

empresa

DC


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9 $iempo DC minutos

Wpi//a=C

minutosWpi//a

#5trabajadores%

#5hWtrabajadores%#AC

minutosWhora%

Precio deventa

TDWpi//a T=Wpi//a

Problema A.*-onsidere el problema A si en lugar de+:l contrato del sindicato especifica que cada camarera tiene que trabajar N d(asconsecutivos y despu8s tener D d(as consecutivos de descanso.!e considera ahora+El contrato !l sinicato !s"!ci#ica ! caa camar!ra ti!n! ! traba&ar 4 'ascons!cti(os y !s")s t!n!r 'as cons!cti(os ! !scanso+

Problema 6.* #"signación% $ome en cuenta el problema si en lugar de+Z!e desea asignar = obreros a = maquinas Z, se tiene lo siguiente+Z!e desea asignar =obreros a D maquinas[

Problema 5.*#Problema de transporte%!e tiene tres plantas de producción, estos desean saber como enviar sus productos a tresmercados, las ganancias que logran por cada unidad en cada mercado se dan en la tabla+

3ercado+ isponible'ocal egional :tranjero isponible

anper TDDWud TD7Wud TDDWud =CCC >g W d(a $alsa T 4@Wud TDDWud TDCWud =DCC >g W d(aGreenPeru

TDCWud TD4Wud TDDWud ==CC >g W d(a

emanda NCCC >gWdia 7CCC >gWdia NCCC >gWdia

robl!ma -+.2na empresa ha decidido lan/ar tres nuevos productos. !e muestran las capacidades delas plantas y las ganancias de producción. Identifique las variables de decisión y elaboreun modelo P' que asigne la producción de los tres productos a las dos plantas en formatal que cubran la demanda . ganancia unitaria de producción

PO2-$OP'"$" " H - -"P"-I"4 T@W2I T45 T4D 7CCD 4= 45 6 =NC:3"" DCC 7NC =CC


22/220

9

NIE

,!O"' 1 I0:!IS

2na persona tiene !WNCC.CCC para invertir en dos tipos de acciones " y H. :l tipo " tiene

bastante riesgo con un inter8s anual del 4CX y el tipo H es bastante seguro con un

inter8s anual del 6X. ecide invertir como máimo !W=CCCCC en " y como m(nimo

!W4CCCCC en H, e invertir en " por lo menos tanto como en H. U-ómo deberá invertir sus

!WNCC.CCC para maimi/ar sus intereses anualesV%olución:


"cciones

"

"cciones

H

isponibilidad

Inter8sC.4 C.C6 7C

Inversión=CCCCC

#3áimo%

4CCCCC

#3(nimo%

AC

inero

#T%

NCCCCC


23/220

9


i x + -antidad de dinero a invertir en acciones del tipo B Ai ,= .


:l inter8s total se obtiene multiplicando el inter8s de cada acción con la cantidad de

acciones compradas. Obteniendo as(, un inter8s total de B A x x 7#1# + . Binalmente


3aimi/ar B A x x z 7#1# +=


estricción de dinero máimo de inversión en las acciones ".

3≤ A x .

estricción de dinero m(nimo de inversión en las acciones H.

1≥ B x .

Invertir en " por lo menos tanto como en H

B A x x ≥ .

estricción de disponibilidad de dinero.

5≤+ B A x x .



tenemos que ≥ A x , ≥ B x .

POH':3" D :-2:!$"

Para reali/ar una encuesta por tel8fono, un grupo de investigación de mercado necesita

comunicar por lo menos a 4NC esposas, 4DC maridos, 4CC varones adultos solteros y 44C

mujeres adultas solteras. -uesta TD reali/ar una llamada telefónica durante el d(a, y TNreali/ar una llamada telefónica durante la noche #debido a mayores costos laborales%.

:stos resultados se muestran en la tabla. !e pueden reali/ar a lo más la mitad de estas

llamadas en la noche, por disponer de un nmero limitado de empleados. Bormule un P'

que minimice los costos para completar la encuesta.

Persona que X de llamadas X de llamadas


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9contesta diurnas nocturnas

:sposa =C =C3arido 4C =C!oltero 4C 4N!oltera 4C DCo contestan 7C N

%olución:


i x + mero de llamadas reali/adas en horario 2,1=i #diurno y noche

respectivamente%.


:l costo total por las llamadas reali/adas se obtiene multiplicando el costo de cada

llamada segn el horario por la cantidad de llamadas reali/adas. Obteniendo as(, un

costo total de llamada xllamadallamada xllamada ))(/5(!))(/2(! 21 + . Binalmente

tenemos la siguiente función objetivo+3inimi/ar 21 52 x x z +=


estricción de esposas encuestadas.

153#3# 21 ≥+ x x .

estricción de maridos encuestados.

123#1# 21 ≥+ x x .

estricción de solteros encuestados.

112#1# 21 ≥+ x x .

estricción reali/ar a lo más la mitad de estas llamadas en la noche.

2

212

x x x

+≤ .




,!O"' 3 -O3P"

2n hipermercado necesita como m(nimo 4A cajas de langostino, N cajas de n8coras y DC

de percebes. os mayoristas, " y H, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus

necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. :l mayorista "

env(a en cada contenedor 5 cajas de langostinos, 4 de n8coras y D de percebes. Por su

parte, H env(a en cada contenedor D, 4 y 6 cajas respectivamente. -ada contenedor que


25/220

9suministra " cuesta !WD4C, mientras que los del mayorista H cuestan !W=CC cada uno.

U-uántos contenedores deben pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer

sus necesidades m(nimas con el menor coste posibleV

%olución:


-ontenedor " -ontenedor H ecesidad

'angostino

5 cajasWcontenedor DcajasWcontenedor 4A cajas

8coras 4 cajasWcontenedor 4cajasWcontenedor N cajas

Percebes D cajasWcontenedor 6cajasWcontenedor DC cajas

-osto #!% D4CWcontenedor =CCWcontenedor


i x + -antidad de contenedores del tipo B Ai ,=

a solicitar.


3inimi/ar contenedor xcontenedor contenedor xcontenedor z ))(/3(!))(/21(! 21 +=


estricción de langostinos.

cajascontenedor xcontenedor cajascontenedor xcontenedor cajas 1"))(/2())(/( 21 ≥+

.

estricción de n8coras.

cajascontenedor xcontenedor cajascontenedor xcontenedor cajas 2))(/7())(/2( 21 ≥+

.





26/220

9

,rolema < Inventarios

2no de los productos con mayor demanda en Z$ecnolog(as Palermo Z, es el tonner,#es unproducto que se usa en las fotocopiadoras% ; entonces el modelo mito que se va aelaborar se refiere a este producto, que en las ultimas doce semanas, segn datos de lapropia empresa ha mantenido su demanda, entonces primero se va a reali/ar un

pronóstico para la demanda del próimo mes +Pronostico para calcular la demande del próimo mes!emana emanda

4 7CD 7C= 7C7 7C

"hora otros atos a considerar son+Precio de venta+ sW DC W unidad-osto de :scase/+ sW A Wunidad-osto de Inventario+ sW C.NCWunidad-osto de compra + sW 47WunidadInventario inicial+ 4C unidades

-osto Bijo de Inventario sW 4

-antidad de unidad posibles a quedar en inventario+

!emana 4 = N 6 @

!emana D 7 N A 6!emana = N A 6 5!emana 7 4C 4D 47 4A

!egn los datos obtenidos, un modelo de programación entera mita aplicado ainventarios nos ayuda a determinar como va a estar desempe)ándose óptimamente elsistema en las próimas cuatro semanas.:l objetivo es maimi/ar la utilidad.

3odelo P'0ariables+0i umero de unidades vendidas durante la semana i #i4,D,=,7%:i umero de unidades en escase/ durante la semana i #i4,D,=,7%IBi umero de unidades en inventario durante la semana i#i4,D,=,7%-i umero de unidades compradas durante la semana i#i4,D,=,7%


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93a DCv4YDCvDYDCv=YDCv7*A:4*A:D*A:=*A:7*C.NIB4*C.NCIBD*C.NCIB=*C.NCIB7*47-4*47-D*47-=*47-7*4/4*4/D*4/=*4/7

imitantes+Inventario semana 1IB44CY-4*04Demanda pronosticada semana 104Y:47CInventario semana 2IBDIf4Y-D*0DDemanda pronosticada semana 20DY:D7CInventario semana 3IB= IfDY-=*0=Demanda pronosticada semana 30=Y:=7CInventario semana 4IB7 If=Y-7*07Demanda pronosticada semana 407Y:77CInventario Final al final de la semana 1

IB4R=y44YNy4DY6y4=Y@y47


28/220

9

,asando a forma de ingreso a IDO

3a DCv4YDCvDYDCv=YDCv7*A:4*A:D*A:=*A:7*C.NIB4*C.NCIBD*C.NCIB=*C.NCIB7*47-4*47-D*47-=*47-7*4/4*4/D*4/=*4/7!$IB4Y04*-44C04Y:47CIBDY0D*-D*IB4C0DY:D7CIB=Y0=*-=*IBDC0=Y:=7CIB7Y07*-7*IB=C07Y:77C4Cy44Y4Ny4DY46y4=Y4@y47*if4C


29/220

9OH1:-$I0: B2-$IO 0"'2:

4% 544.CCCC utilidad maima

0"I"H': 0"'2: :2-: -O!$


30/220

9 4A% C.CCCCCC 47.NCCCCC 46% C.CCCCCC C.CCCCCC 45% C.CCCCCC 4D.CCCCCC 4@% 4N.CCCCCC C.CCCCCC DC% C.CCCCCC C.NCCCCC D4% 4N.CCCCCC C.CCCCCC DD% N.CCCCCC C.CCCCCC D=% 4C.CCCCCC C.CCCCCC D7% 4C.CCCCCC C.CCCCCC DN% N.CCCCCC C.CCCCCC

POH':3" N.*# producción de ensamblaje % !e va a elaborar un producto a base de tres componentes que se producen en tresdiferentes departamentos, disponiendo con los siguientes datos. :l objetivo es determinarel nmero de horas de cada departamento a ser asignadas a cada parte, para maimi/arel nmero de unidades completas del producto final. Bormule como un modelo deProgramación lineal.

epartamento -apacidad#horas%

$asa de Producción #unidWh% - 4 - D -=

4 DNC 4D 4C 45D =CC @ 4D 44= DAC 4C N 4D

0ariable de decisión+Eij umero de horas a laborar para la producción del componente i#i4,D,=%en eldepartamento j#j4,D,=%.

Bunción Objetivo+3aimi/ar producción

3aimi/ar P

estricciones+umero de unidades del componente 4+4DE44 Y @E4DY4CE4= P

umero de unidades del componente D+ 4CED4 Y 4DEDD YNED= P

umero de unidades del componente =+ 45E=4 Y 44E=D Y 4DE==P

-apacidad de horas del departamento 4+E44 Y ED4Y E=4Q DNC

-apacidad de horas del departamento D+E4D Y EDD Y E=D Q =CC

-apacidad de horas del departamento =+E4= Y ED= Y E== Q =AC

&!'%,O!&"


31/220

9!e tiene que distribuir un producto a A clientes utili/ando cualesquiera de N camiones.'os datos de costos de traslado de cada camión a cada cliente son+

-liente"

-lienteH

-liente-

-liente

-liente : -liente B -apacidad#$%

-amión 4 T4N T4D T46 TD4 T4A T45 4.N-amion D T46 T4N T4A T4@ T45 T4N 2-amion = TD4 TDC T47 T4= T46 T4@ 4-amión 7 T45 T4N T46 T4@ T4N T46 2

-amión N TDC T45 T4A T46 T47 T4@ 1.emanda#$%

=.2 =. =.> 1. =.? 1.2

:iste un costo fijo de TNC para los camiones 4,D y 7 y de T=C para camiones = y N porcada viaje reali/ado. :n cada viaje un camión puede llevar pedidos para varios clientes,pero no puede llevar pedidos parciales. Bormule un modelo de P': si cada camión puedevisitar hasta tres clientes.

-liente " -lienteH -liente- -liente -liente : -lienteB -apacidad#$%

-ostoBijo

-amión4

T4Ny4a

T4D y4b T46 y4c TD4 y4d T4A y4e T45 y4f 4.N TNCy4

-amionD

T46 yDa T4N yDb T4A yDc T4@ yDd T45 yDe T4N yDf D TNCyD

-amion=

TD4 y=a TDC y=b T47 y=c T4= y=d T46 y=e T4@ y=f 4 T=Cy=

-amión7

T45 y7a T4N y7b T46 y7c T4@ y7d T4N y7e T46 y7f D TNCy7

-amiónN

TDC yNa T45 yNb T4A yNc T46 yNd T47 yNe T4@ yNf 4.N T=CyN

emanda#$%

C.D C.N C.5 4.N C.@ 4.D

0ariables+


32/220

9 y4fYyDfYy=fYy7fYyNf4C.Dy4aYC.Ny4bYC.5y4cY4.Ny4dYC.@y4eY4.Dy4fQ4.Ny4C.DyDaYC.NyDbYC.5yDcY4.NyDdYC.@yDeY4.DyDfQDyDC.Dy=aYC.Ny=bYC.5y=cY4.Ny=dYC.@y=eY4.Dy=fQ4y=C.Dy7aYC.Ny7bYC.5y7cY4.Ny7dYC.@[email protected]

'IO3in 4Ny4aY4Dy4bY46y4cYD4y4dY4Ay4eY45y4f Y46yDaY4NyDbY4AyDcY4@yDdY45yDeY4NyDf YD4y=aYDCy=bY47y=cY4=y=dY46y=eY4@y=f Y45y7aY4Ny7bY46y7cY4@y7dY4Ny7eY46y7f YDCyNaY45yNbY4AyNcY46yNdY47yNeY4@yNf YNCy4YNCyDY=Cy=YNCy7Y=CyNst y4aYyDaYy=aYy7aYyNa4 y4bYyDbYy=bYy7bYyNb4 y4cYyDcYy=cYy7cYyNc4 y4dYyDdYy=dYy7dYyNd4

y4eYyDeYy=eYy7eYyNe4 [email protected]*[email protected]*DyDQCC.Dy=aYC.Ny=bYC.5y=cY4.Ny=dYC.@y=eY4.Dy=f*[email protected]*[email protected]*4.NyNQCendint y4aint y4bint y4cint y4dint y4e

int y4f

int yDaint yDbint yDcint yDdint yDeint yDf int y=aint y=bint y=cint y=dint y=e

int y=f int y7aint y7bint y7cint y7dint y7eint y7f int yNaint yNbint yNc


33/220

9int yNdint yNeint yNf

int y4int yDint y=int y7int yN

!O'2-IO

OH1:-$I0: B2-$IO 0"'2:

4% DDA.CCCC

0"I"H': 0"'2: :2-: -O!$


34/220

9

OL !'"-F O !2P'2! 2"' PI-:! D% C.CCCCCC C.CCCCCC =% C.CCCCCC C.CCCCCC 7% C.CCCCCC C.CCCCCC N% C.CCCCCC C.CCCCCC A% C.CCCCCC C.CCCCCC 6% C.CCCCCC C.CCCCCC 5% C.CCCCCC C.CCCCCC @% C.CCCCCC C.CCCCCC 4C% C.CCCCCC C.CCCCCC 44% C.7CCCCC C.CCCCCC 4D% C.CCCCCC C.CCCCCC

O. I$:"$IO! =4 H"-K:! C :$:3. 4.CCC: C

espuesta -osto minima DDA.


35/220

9:' costo del pedido ah =3 -o. y "lpha Pro $ech 'td tendr(a un costo de TDCCC y TD=CCpor transporte hacia Per. !i en caso no se cubra la demanda se considera un costo deT4CC por cada mascarilla independiente sea destinado a ni)o, joven o adulto. :labore unP': si el gobierno peruano desea elegir solo una empresa para la compra.Kallar+

a% 0ariables de decisión # 4 puntos%

b% 'imitantes # 4 puntos%

c% Bunción objetivo. #4 puntos%

d% !olución en 'IGO. # D puntos%

e% Interpretación de 'IGO.#D punto%

i)os 1óvenes "dultos Oferta -osto

]3 -o D = 7 DCCCCCCMC.NN

DCCC

"lpha 4.N D.5 7.D =CCCCCCMC.NN

D=CC

Penalidad 4CC 4CC 4CC DNCCCC

emanda 5CCCC 4CCCCCC 4DCCCCC

Paso 4

Eij -antidad de mascaras de tipo i#i ]3 -o,"lpha,penalidad4,D,=% de tipo j#jni)os,jóvenes, adultos4,D,=%

Paso D


36/220

93a 4.CA#D44Y=4DY74=Y4.ND4YD.5DDY7.DD=%*DCCCy4*D=CCyD

*4CC=4*4CC=D*4CC==

+aso ,lan de ,roducción

-omo se menciono, la empresa se dedica a la fabricación de bebidas gaseosas, siendo

las presentaciones comerciali/adas las que se demuestran a continuación+

$abla 4 Presentación de las bebidas gaseosas

'a empresa en estudio cuenta con una planta de producción que opera las 75 horas a la

semana. :sta planta tiene una capacidad de producción de 4AC,CCC cajaWmes.

:l proceso de fabricación de estos productos se lleva a cabo en dos etapas #^reas de

trabajo%

4. :n el pto. de :laboración se reali/a la preparación de jarabes el mismo que cuenta

con 7 trabajadores permanentes.

D. :n el pto. de :nvasado se reali/a trabajos inherentes al proceso de envasado y

presentación final del producto. :ste pto. cuenta con 4N trabajadores. 'as horas

requeridas en ambos departamentos para producir 4CCC cajas de cada uno de los

productos mencionados en la tabla 4,se muestran en la tabla D.

$ipo de bebida PresentaciónGaseosa de D.AN 't -aja de 4D unidadesGaseosa de 4.6N 't -aja de 4D unidadesGaseosa de C.AC 't -aja de 4D unidadesGaseosa de C.D@A't -aja de D7 unidades

D.AN lt 4.6N lt C.AC lt C.D@A ltpto

:laboración

D,AN 4,6N 4,6N 4,C6

pto

:nvasado

7,74 D,@4 4,D@ 4,65


37/220

9 $abla D+ requerimientos horasW4CCC cajas

'a demanda proyectada máima para el mes de 1ulio se muestra en la siguiente tabla+

$abla =+ emanda proyectada máima para el mes de 1ulio

:l pto. de -ontabilidad de la empresa estima un margen de ganancia para cada

producto,de+

$abla 7+ 3argen

de ganancia por

producto

'a Gerencia ha

solicitado determinar el Plan de Producción semanal óptimo para el siguiente mes.

@.- $ipótesis2n modelo de Programación lineal aplicado al plan de producción va a permitir a -oca

-ola obtener una máima ganancia.

A.-Oetivo:

:laborar un Plan de Producción basado en 3odelos 'ineales.

5.*Descripción del &raao+

!e va a elaborar un modelo lineal para hallar el mejor plan de producción+

$ipo de bebida emandaGaseosa de D,AN lt 4C NND cajasWmesGaseosa de 4,6N lt 7C NNA cajasWmes

Gaseosa de C,AC lt NA 64D cajasWmesGaseosa de C,D@A lt NA 55C cajasWmes $otal 4A7 6CC cajasWmes

$ipo de bebida 3argen de GananciaGaseosa de D,AN lt sW 4,=5 W cajaGaseosa de 4,6N lt sW 4,DD WcajaGaseosa de C,AC lt sW 4,CDWcajaGaseosa de C,D@A lt sW 4,CN Wcaja $otal


38/220

9Para lo cual se va a considerar como variable de decisión la cantidad de cajas de cada

tipo a producir.

'a función objetivo a considerar ser al de maimi/ación por tener utilidades.

'as restricciones a tomar en cuenta son+

emanda máima

$iempo de producción semanal en el departamento de elaboración

$iempo de producción semanal en el departamento de envasado

-apacidad de producción

?.-,lanteamiento:

odelo ineal0ariable de ecisión+

ij -antidad de cajas a producir de gaseosa tipo j#j-O-" -O'" de D.AN lt,-O-" -O'"

de 4.6N lt,-O-" -O'" de C.AC lt, -O-" -O'" de C.D@A lt4,D,=,7% en la semana

j#j4,D,=,7%

Bunción Objetivo+ma#!W4.=5Wcaja%#44Y4DY4=Y47%cajas

Y#!W4.DDWcaja%#D4YDDYD=YD7%cajasY#!W4.CDWcaja%#=4Y=DY==Y=7%cajas

Y#!W4.CNWcaja%#74Y7DY7=Y77%cajas;

estricciones+

emanda 3áima de+

gaseosas -O-" -O'" de D.AN 't.

#44Y4DY4=Y47%cajasQ4CNND cajas;

gaseosas -O-" -O'" de 4.6N 't

#D4YDDYD=YD7%cajasQ7CNNAcajas;

gaseosas -O-" -O'" de C.AC 't

#=4Y=DY==Y=7%cajasQNA64Dcajas

gaseosas -O-" -O'" de C.D@A 't

#74Y7DY7=Y77%cajasQNA55Ccajas

$iempo de producción en el departamento de elaboración en la semana 4+

#D.ANhWcaja%#44 caja%Y#4.6N hWcaja%#D4 caja%Y#4.46 hWcaja%#=4 caja%

Y#4.C6 hWcaja%#74 caja%Q75CCC horas

$iempo de producción en el departamento de elaboración en la semana D+

#D.AN hWcaja%#4D caja%Y#4.6N hWcaja%#DD caja%Y#4.46 hWcaja%#=D caja%Y#4.C6 hWcaja%#7D

caja%Q75CCC horas

$iempo de producción en el departamento de elaboración en la semana =+

#D.AN hWcaja%#4= caja%Y#4.6N hWcaja%#D= caja%Y#4.46 hWcaja%#== caja%

Y#4.C6 hWcaja%#7= caja%Q75CCChoras


39/220

9 $iempo de producción en el departamento de elaboración en la semana 7+

#D.AN hWcaja%#47caja%Y#4.6N hWcaja%#D7 caja%Y#4.46 hWcaja%#=7 caja%

Y#4.C6 hWcaja%#77 caja%Q75CCChoras;

$iempo de producción en el departamento de envasado en la semana 4+

#7.74 hWcaja%#44 caja%Y#D.@4 hWcaja%#D4 caja%Y#4.D@ hWcaja%#=4 caja%

Y#4.65 hWcaja%#74 caja%Q75CCChoras;

$iempo de producción en el departamento de envasado en la semana D+

#7.74 hWcaja%#4D caja%Y#D.@4 hWcaja%#DD caja%Y#4.D@ hWcaja%#=D caja%

Y#4.65 hWcaja%#7D caja%Q75CCChoras;

$iempo de producción en el departamento de envasado en la semana =+

#7.74 hWcaja%# 4= caja%Y#D.@4 hWcaja%#D= caja%Y#4.D@ hWcaja%#== caja%

Y#4.65 hWcaja%#7= caja%Q75CCChoras;

$iempo de producción en el departamento de envasado en la semana 7+

#7.74 hWcaja%#47 caja%Y#D.@4 hWcaja%#D7 caja%Y#4.D@ hWcaja%#=7 caja%

Y#4.65 hWcaja%#77 caja%Q75CCChoras;

-apacidad de producción+

#44Y4DY4=Y47YD4YDDYD=YD7Y=4Y=DY==Y=7

Y 74Y7DY7=Y77% cajasQ4ACCCC cajas;

o negatividad+

EijRC

3odelo +

ma4.=544Y4.=54DY4.=54=Y4.=547Y4.DDD4Y4.DDDDY4.DDD=Y

4.DDD7Y4.CD=4Y4.CD=DY4.CD==Y4.CD=7Y4.CN74Y4.CN7DY4.CN7=

Y4.CN77

44Y4DY4=Y47Q4CNND

D4YDDYD=YD7Q7CNNA

=4Y=DY==Y=7QNA64D

74Y7DY7=Y77QNA55C

D.AN44Y4.6ND4Y4.46=4Y4.C674Q75CCC

D.AN4DY4.6NDDY4.46=DY4.C67DQ75CCCD.AN4=Y4.6ND=Y4.46==Y4.C67=Q75CCC

D.AN47Y4.6ND7Y4.46=7Y4.C677Q75CCC

[email protected]@=4Y4.6574Q75CCC

[email protected]@=DY4.657DQ75CCC

7.744=YD.@4D=Y4.D@==Y4.657=Q75CCC

[email protected]@=7Y4.6577Q75CCC


40/220

944Y4DY4=Y47YD4YDDYD=YD7Y=4Y=DY==Y=7Y

74Y7DY7=Y77Q4ACCCC

1=.-!esultados:

OH1:-$I0: B2-$IO 0"'2:

4% 4D7@7A.@

0"I"H': 0"'2: :2-: -O!$

E44 C.CCCCCC C.7A55AA

E4D C.CCCCCC C.7A55AA

E4= C.CCCCCC C.7A55AA

E47 C.CCCCCC C.7A55AA

ED4 AC7A.7==4CN C.CCCCCC

EDD C.CCCCCC C.CCCCCC

ED= C.CCCCCC C.CCCCCC

ED7 C.CCCCCC C.CCCCCC

E=4 [email protected]=5D5 C.CCCCCC

E=D C.CCCCCC C.CCCCCC

E== ==47D.=D7D4@ C.CCCCCC

E=7 C.CCCCCC C.CCCCCC

E74 C.CCCCCC C.CCCCCC

E7D [email protected]@D@A@ C.CCCCCC

E7= [email protected] C.CCCCCC

E77 [email protected]@D@A@ C.CCCCCC

OL !'"-F O !2P'2! 2"' PI-:!

D% 4CNND.CCCCCC C.CCCCCC

=% [email protected] C.CCCCCC

7% C.CCCCCC C.76@46N N% C.CCCCCC C.=C=67A

A% @57D.DD=A== C.CCCCCC

6% [email protected]=N@ C.CCCCCC

5% [email protected] C.CCCCCC

@% [email protected]=N@ C.CCCCCC

4C% C.CCCCCC C.74@D77


41/220

9 44% C.CCCCCC C.74@D77

4D% C.CCCCCC C.74@D77

4=% C.CCCCCC C.74@D77

47% 7C=A4.NAA7CA C.CCCCCC

O. I$:"$IO! 6

"G:! I LKI-K $K: H"!I! I! 2-K"G:+

OH1 -O:BBI-I:$ "G:!

0"I"H': -2:$ "''OL"H': "''OL"H':

-O:B I-:"!: :-:"!:

E44 4.=5CCCC C.7A55AA IBII$<

E4D 4.=5CCCC C.7A55AA IBII$<

E4= 4.=5CCCC C.7A55AA IBII$<

E47 4.=5CCCC C.7A55AA IBII$<

ED4 4.DDCCCC C.7@AN6= C.CCCCCC

EDD 4.DDCCCC C.CCCCCC IBII$<

ED= 4.DDCCCC C.CCCCCC IBII$<

ED7 4.DDCCCC C.CCCCCC IBII$<

E=4 4.CDCCCC C.CCCCCC C.CCCCCC

E=D 4.CDCCCC C.CCCCCC IBII$<

E== 4.CDCCCC C.CCCCCC C.CCCCCC

E=7 4.CDCCCC C.CCCCCC IBII$<

E74 4.CNCCCC C.CCCCCC IBII$<

E7D 4.CNCCCC IBII$< C.CCCCCC

E7= 4.CNCCCC C.CCCCCC C.CCCCCC

E77 4.CNCCCC IBII$< C.CCCCCC

IGK$K" !I: "G:!

OL -2:$ "''OL"H': "''OL"H':

K! I-:"!: :-:"!: D 4CNND.CCCCCC IBII$< 4CNND.CCCCCC

= 7CNNA.CCCCCC IBII$< [email protected]

7 NA64D.CCCCCC [email protected]@=C [email protected]=5D5

N NA55C.CCCCCC @557.5@@747 [email protected]

A 75CCC.CCCCCC IBII$< @57D.DD=A==

6 75CCC.CCCCCC IBII$< [email protected]=N@


42/220

9 5 75CCC.CCCCCC IBII$< [email protected]

@ 75CCC.CCCCCC IBII$< [email protected]=N@

4C 75CCC.CCCCCC 4A=AA.D44@47 [email protected]@474

44 75CCC.CCCCCC ND7A.7CC=@4 [email protected]@474

4D 75CCC.CCCCCC [email protected]=5 [email protected]@474

4= 75CCC.CCCCCC ND7A.7CC=@4 [email protected]@474

47 4ACCCC.CCCCCC IBII$< 7C=A4.NAA7CA

,lan de producción+

Ganancia+ !W 4D7 @7A.@Wmes

!emana 4

ED4 AC7A.7==4CN cajas de gaseosa -O-" -O'" de 4.6N lt, en la semana 4

E=4 [email protected]=5D5 cajas de gaseosa -O-" -O'" de C.AC lt en la semana 4

!emana D

E7D [email protected]@D@A@ cajas de gaseosa -O-" -O'" de C.D@A lt en la semana D

!emana =

E== ==47D.=D7D4@ cajas de gaseosa -O-" -O'" de C.AC lt en la semana =

E7= [email protected] cajas de gaseosa -O-" -O'" de C.D@A lt en la semana =

!emana 7

E77 [email protected]@D@A@ cajas de gaseosa -O-" -O'" de C.D@A lt en la semana 7

11.-+onclusiones B !ecomendaciones

4.* $ener un modelo lineal aplicado a un sistema de producción va a permitir llevar un

mejor control semanal y por lo tanto adecuar nuestro ritmo de trabajo para lograr el

objetivo de maimi/ar la ganancia.

D.* !e debe adecuar la maquinaria actual para evitar contratiempos y lograr los

volmenes de producción semanales y con ello la producción mensual.

=.*"l tener un plan de producción estructurado se puede luego calcular la cantidad de

ingredientes que se necesita para cumplir la producción.


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9

+'%O ',I+'DO ' FI'4'%

4. 2n banco trata de determinar su portafolio de inversiones para el próimo a)o."ctualmente dispone de T NCC,CCC para invertir en bonos, pr8stamos hipotecarios,pr8stamos para compra de automóviles y pr8stamos personales.

'a tasa de rendimiento anual para cada inversión resulta ser+

E4 inero invertido en Honos+ C.C5ED inero invertido en Pr8stamos hipotecarios+ C.4AE= inero invertido en Pr8stamos para compra de automóviles+ C.4=E7 inero invertido en Pr8stamos personales+ C.DC

Para asegurar que la cartera del banco no sea demasiado arriesgada, el gerente deinversiones del banco ha puesto las siguientes tres restricciones de cartera+

• 'a cantidad invertida en pr8stamos personales, debe ser mayor que lainvertida en bonos. E7 R 4• 'a cantidad invertida en pr8stamos hipotecarios, no puede ser mayor que la

invertida en pr8stamos para automóviles. EDQ =• o puede invertirse más del DN X de la cantidad total invertida, en pr8stamos

personales, ni menos del 4N X. E7Q C.DN# 4YDY=Y7%• E7 RC.4N#4YDYY=7%• :l objetivo del banco es maimi/ar el rendimiento anual de su cartera de

inversiones.• 3a C.C54YC.4ADYC.4==YC.DC7• E4YDY=Y7QNCCCCC

"l gerente financiero del anco opina que, el objetivo a priori/ar deber(a ser el

rendimiento,

pero el gerente de operaciones opina Cue el oetivo prioritario deera serlos depósitos personales, seguido del rendimiento, y el gerente general considera Cue gustara minimi6ar los prEstamos8ipotecarios7 adems de lo Cue solicitan sus compaGeros de traao.


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9U-uál deber(a ser la pol(tica de inversionesV. !ustentar su análisis.

3odelo 4+Gerente Binanciero

3a C.C54YC.4ADYC.4==YC.DC7st4YDY=Y7QNCCCCC7*4RCD*=QC7*C.DNM4*C.DND*C.DN=*C.DN7QC7*C.4N4*C.4ND*C.4N=*C.4N7RC

'P OP$I323 BO2 "$ !$:P =

OH1:-$I0: B2-$IO 0"'2:

4% 6@=6N.CC

0"I"H': 0"'2: :2-: -O!$ E4 C.CCCCCC C.4ANCCC ED 456NCC.CCCCCC C.CCCCCC E= 456NCC.CCCCCC C.CCCCCC E7 4DNCCC.CCCCCC C.CCCCCC

OL !'"-F O !2P'2! 2"' PI-:! D% C.CCCCCC C.4N56NC =% 4DNCCC.CCCCCC C.CCCCCC 7% C.CCCCCC C.C4NCCC N% C.CCCCCC C.CNNCCC

A% NCCCC.CCCCCC C.CCCCCC

O. I$:"$IO! =

"G:! I LKI-K $K: H"!I! I! 2-K"G:+

OH1 -O:BBI-I:$ "G:! 0"I"H': -2:$ "''OL"H': "''OL"H': -O:B I-:"!: :-:"!: E4 *C.CDCCCC C.4ANCCC IBII$< ED C.4ACCCC C.44CCCC C.C=CCCC E= C.4=CCCC C.C=CCCC C.==CCCC

E7 C.DCCCCC IBII$< C.CNNCCC

IGK$K" !I: "G:! OL -2:$ "''OL"H': "''OL"H': K! I-:"!: :-:"!: D NCCCCC.CCCCCC IBII$< NCCCCC.CCCCCC = C.CCCCCC 4DNCCC.CCCCCC IBII$< 7 C.CCCCCC =6NCCC.CCCCCC =6NCCC.CCCCCC N C.CCCCCC =6NCCC.CCCCCC NCCCC.CCCCCC A C.CCCCCC NCCCC.CCCCCC IBII$<


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9

Bunción Objetivo+ sW 6@ =6NHonos+ sWCPrestamos hipotecarios+sW 456NCCPrestamos para compra de automóvil+ sW 456NCCPrestamos personales+sW 4DNCCC

odelo 2*erente de operaciones

in 1==D1HD35J1H=.1@J2H=.13J3H=.2=J


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9 0"I"H': -2:$ "''OL"H': "''OL"H': -O:B I-:"!: :-:"!: 4 4CC.CCCCCC IBII$< 4CC.CCCCCC = 4.CCCCCC IBII$< 4.CCCCCC E7 C.CCCCCC 4CC.CCCCCC C.CCCCCC D C.CCCCCC IBII$< C.CCCCCC E4 C.CCCCCC IBII$< C.CCCCCC ED C.CCCCCC C.CCCCCC DCC.CCCCCC E= C.CCCCCC C.CCCCCC C.CCCCCC 7 C.CCCCCC C.CCCCCC C.CCCCCC

IGK$K" !I: "G:! OL -2:$ "''OL"H': "''OL"H': K! I-:"!: :-:"!: D 4DNCCC.CCCCCC C.CCCCCC C.CCCCCC = 6@=6N.CCCCCC C.CCCCCC IBII$< 7 NCCCCC.CCCCCC ======.=4DNCC C.CCCCCC N C.CCCCCC 4DNCCC.CCCCCC IBII$< A C.CCCCCC =6NCCC.CCCCCC C.CCCCCC 6 C.CCCCCC IBII$< C.CCCCCC 5 C.CCCCCC NCCCC.CCCCCC IBII$<

Bunción Objetivo+CHonos+ sWCPrestamos hipotecarios+sW 456NCCPrestamos para compra de automóvil+ sW 456NCCPrestamos personales+sW 4DNCCC

Interes=.=>J1H=.1@J2H=.13J3H=.2=J==5


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9

!O0 %'+M O! %!,% D' ,!I+"% 2) =.====== 1.====== 3) =.====== =.======


48/220

9

"l anali/ar el modelo 4 y D, ambos generan la misma ganancia por inter8s gana dospor los prestamos, pero"l gerente financiero del anco opina que, el objetivo a priori6ar deera ser elrendimiento7

y el gerente de operaciones opina Cue el oetivo prioritario deera ser losdepósitos personales, seguido del rendimiento7 al comparar amasposiciones la Cue mas se acerca a la realidad seria la del gerente financieropor Cue aarca a todas las posiilidades deando de lado la del gerente deoperaciones Cue solo se inclina por la Cue genera maBor interEs.

E4 inero invertido en Honos+ C.C5ED inero invertido en Pr8stamos hipotecarios+ C.4AE= inero invertido en Pr8stamos para compra de automóviles+ C.4=5< Dinero invertido en ,rEstamos personales: =.2=

!espuesta implantar modelo 1. por Cue a pesar Cue se puede invertir todoel dinero a la tasa de maBor interEs7 esto no es permitido por la limitanteCue solo dea Cue los prestamos personales estEn entre el 1; B el 2; detotal a invertir.

%"%IO II


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9

1.- "&ODO *!'FI+O

Indudablemente plasmar un modelo y tratar de resolverlo gráficamente tiene una

limitación muy grande, sólo se pueden resolver modelos que tengan sólo dos variables# bidimensional % ya que contamos con un plano formado por E4 y ED que es la región enla cuál vamos a trabajar, se podr(a tener la posibilidad de trabajar con modelos quetienen tres dimensiones pero ser(a muy tedioso # sin embargo en la parte final de estelibro reali/aremos algunos ejemplos para resolver estos tipos de modelos%.0amos entonces a desarrollar modelos relativamente peque)os pero que seanprovechosos para cumplir con los objetivos que deseamos alcan/ar , los cuales sonfamiliari/arnos con una representación geom8trica de un modelo lineal y llegar a teneralgunas respuestas importantes a algunas interrogantes que nos vamos a plantear atrav8s del desarrollo del tema.

N.* 2IOS 3E G6ICS

Hueno por lo menos ya tenemos una idea de como enfrentar un modelo y graficarlo,pero algunas veces no basta con esto si no que tambi8n tenemos que decir que tipode gráfica es, por lo que al tener que solucionar modelos, podemos diferenciar unavariedad de tipos de gráficas , cada una con caracter(sticas especiales y propias, espor eso que a continuación vamos a eplicar cada una de estas.

N.4.*. 6C2IE


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9 :s toda gráfica que tiene solución, es decir basta con que todas las restricciones delmodelo lineal tengan un área de contacto para que se denomine factible .

:jemplos+

D D

4 4

D D

E4 4

D

D

4 4

N.D* CO23 O I7I23

:s aquella gráfica que tiene solución, pero cuya región factible esta limitada , es deciresta formada por un pol(gono.:sta gráfica desde que tiene solución tambi8n es factible .

:jemplos+

D D


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9

4 4

D D

4 4

D D

4 4

N.=.* NO CO23, IN6INI2 O II7I23

'a caracter(stica de este modelo es que se tiene una egión Bactible pero que sedespla/a en forma infinita. :n este modelo su solución debemos separar de acuerdo a lafunción objetivo, podemos entonces diferenciar+ si la función oetivo es inimi6ar sipodemos decir que se tiene una solución real del modelo por que se elige el punto masbajo de la región factible, pero si se tiene una función oetivo de aJimi6ar elpunto que se tome como solución será en algunos casos solo un punto de referenciapuesto que como la egión Bactible se despla/a en forma infinita no se puede definir unpunto máimo.

:ste modelo si la función objetivo es minimi/ar la solución es factible .MMMMM

:jemplos+

D


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9

4 4

D D

4 4

D D

4 4

N.7.- 3EGENE3

:s una gráfica que tiene egión Bactible , cuya solución tiene una variable inicial # 4 óD % con valor de cero #C%. :sta gráfica puede ser acotada o ilimitada.

:jemplos+

D D

M P2$O OP$I3O

P2$O OP$I3O M

4 4


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9

D D

P2$O MP2$O M OP$I3OOP$I3O

4 4

D D

P2$O OP$I3O P2$O OP$I3O M MM 4 4

MES2ICCIONES E38N3N2ES*:n algunos modelos algunas restricciones no tienen un papel importante dentro de laformación de la egión Bactible, es decir no forman parte de algn lado de la regióndonde se cru/an las restricciones por lo que si se dejaran de lado # es decir seecluyeran% no se tendr(a ningn problema al hallar el punto óptimo ya que su presenciano es de importancia, a estas restricciones le llamamos estricciones edundantes .:jemplo+

D #II% D#I%

#I%#II%

#III%#III%

4 4


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9'a restricción #III% es redundante. 'a restricción #I% esredundante.

D D #I%

#I% #II%

#II% #III% #III%#I0%

4 4

'a restricción #II% es redundante. 'a restricción #II% es redundante.

D #II% D

#I%#I%

#II%

#III% #III%

44 #I0%

'a restricción #I0% es redundante. 'a restricción #III% es redundante.

A.* NO 6C2IEebemos aclarar que un modelo es factible si todas sus restricciones se cru6an en

una rea y que no basta que algunas nada mas se crucen, por lo tanto modelos nofactibles son aquellos en las que todas sus restricciones no se cru/an en ninguna áreapor lo que no se puede hallar solución alguna, por lo tanto se le considera 3odelos noBactibles.

:jemplos+

D D


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9

44

D D

44

D D

44

ebemos dejar claro que los modelos lineales + no acotados, degenerada, no factible, seles considera

problemas no económicos.

2.- ,'%O% ,'!' !"%O#"! OD"O% D" ,!O*!''+IO I"' "DI'&"*!'FI+'%

!e va a tener que llevar un orden para poder resolver un modelo, supongamos quetenemos el siguiente problema planteado+


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9"emplo 1.-

aJimi6ar < J1 H ? J2sueto a: J1 H >J2 K = @J1 H J2 K @= >J1 - J2 K


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9 $eniendo los pares ordenados podemos reali/ar la gráfica ya que por cada restriccióntenemos dos puntos, los cuales al unirse nos darán las l(neas rectas que son lasrepresentaciones geom8tricas de las restricciones.#4,D% # C,NCW5A.D=% , #4,D% #NCWN4C,C%#4,D% #C,ACWN4D% , #4,D% #ACWA4C,C%#4,D% #C, 7CWN5% , #4,D% #7CW5 N,C%


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9

.- I+'+IP D" ' !"*IP F'+&I" 2na ve/ dada la orientación a cada restricción es importante hallar una región dondetodas las restricciones se cumplan, esta región se llama :GIO B"-$IH': que no vienea ser sino el lugar donde se va a encontrar la solución a nuestro problema linealplanteado, es por eso que debemos tener mucha visión para ubicar esta región , es

necesario aclarar que hay veces en que no se puede hallar una región factible .Para nuestro ejemplo , la región factible esta dada por la región con bordes mas oscurosy limitado con las letras ", H , - y .

:ntonces nuestra gráfica queda+


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9

-omo ve/, la región factible es aquella que en sus esquinas ",H,-, tienen lasposibilidades de ser el punto que solucione el modelo, a ese punto le llamaremos ,&OO,&IO.

@.- $''! " ,&O O,&IO

2na ve/ que se han identificado los puntos etremos, vamos a reempla/ar lascoordenadas de los puntos etremos en la Bunción Objetivo+

,untos +oordenadas '5. F.O.


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9

N4 Y 5#N.4D5D%NC-omo la Bunción Objetivo es de maimi/ación , entonces se comparan los resultados dereempla/ar las coordenadas de los puntos etremos en la función objetivo y se elige elmayor, para este ejemplo+ N7 es el mayor valor y entonces el punto H es el punto optimo.

A.- *!'FI+' D" ' F+IO ON"&I#OHueno pero ahora falta graficar la Bunción objetivo, procederemos de la siguientemanera+ 3aimi/ar 7 4 Y @ D-omo podemos ver la función objetivo no tiene lado derecho, entonces nosotros lo vamosa crear multiplicando sus coeficientes, entonces queda as(+ 74 Y @D #7%#@%"hora podemos tratar a la función Objetivo como lo hicimos con las restricciones+ 74 Y @D #7%#@%!( 4C entonces+ 7#C% Y @D #7%#@%despejando+ D 7#@%W@ entonces queda + D7 el par ordenado es+ #4,D% #C,7%'uego +74 Y @D #7%#@%, si DC entonces+ 74 Y @#C% #7%#@%

4 #7%#@%W7queda+ 4 @ el par ordenado es+ #4,D% #@,C%. 'a gráfica es+ ED

>.- *!'FI+'! ' F+IO ON"&I#O " " ,&O O,&IO


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9"hora, lo nico que nos falta es trasladar la Bunción Objetivo#B.O.% al punto óptimo,entonces la B.O. se iguala al valor máimo, es decir N7+ 74 Y @D N7 despejando E4+ 74 Y @#C% N7 4 4=.N , las coordenadas queda + # 4=.N , C %despejando ED+ 7#C% Y @D N7 D A , las coordenadas queda+ # C , A % $eniendo estos dos puntos, la gráfica final queda+

-omo se puede apreciar la B.O. se ha trasladado hacia el punto óptimo.

:ntonces la respuesta es+pta.4 C , D A . el valor de la B.O. es+ N7

-omo las variables son R que cero, entonces la gráfica queda en el primer cuadrante,

pero nada impide que en algn momento se tenga regiones factibles en otros cuadrantes

cuando se tengan variables irrestrictas# son aquellas que pueden tener valores positivos

o negativos% eso va a suceder cuando eperimentemos con otros ejemplos por el

momento nos limitaremos al primer cuadrante.

"hora vamos a graficar otro modelo+


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9

"N",O 2:

inimi6ar >51 H 52

%N"&O ': 51 H @52 L 3= 351 H @52 L 1> 251 H 51L=7 52L=

%O+IO:

# I % N4 Y AD =C !i+ E4 C entonces ED N, la coordenada es + # C,N% !i + EDC entonces E4 A , la coordenada es + # A,C%

# II % =4 Y AD 45 !i + E4C entonces ED* = , la coordenada es + # C,=% !i+ EDC entoncesE4A, la coordenada es+ # A,C% # III % D4 Y 7D 5

!i E4C entonces+ EDD, la coordenada es+ # C,D% !i ED C entonces+ E47, la coordenada es+ #7,C%

-omo todas las restricciones son R , entonces todas se alejan del origen,

Huscando punto Optimo+


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9

,&O% +OO!D"'D'% I. >51 H 52

" # C, N% 5#C% Y N#N% DN

H # A,C % 5#A% Y N#C% 75

"l comparar los puntos,el punto m(nimo es " con valor de DN.

Para culminar la gráfica, vamos a dibujar la B.O. en su ubicación inicial+

54 Y ND #5%#N%

!i + E4 C entonces ED5, la coordenada es+ # C,5%!i EDC entonces E4 N , entonces la coordenada es+ # N,C%

"hora la B.O. se traslada al punto optimo+ 54 Y ND DN!i E4C entonces+ DN, la coordenada es+ #C,N%!i DC entonces+ 4 =.4DN, la coordenada es+ # =.4DN , C%

'a gráfica final queda:

-omo se puede observar la B.O. ha tenido que bajar en busca del punto óptimo.pta.

E4 C , ED N , el valor de la B.O. es DN


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9

"emplo 3: aJimi6ar: 3J1 H 2J2sueto a: 2J1 H


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9

M Kallando las coordenadas para H+ #I% D4 Y 7D 4A #*=%

#II% A4 * =D 45

*4ND * =C D D

eempla/ando en #I%+ D4 Y 7#D% 4A D45 47 la coordenada es+ # 7 , D % "l comparar los resultados de los puntos en la B.O. el mayor valor+ 4A , por lo tanto elpunto óptimo es H.

Para culminar la gráfica, falta la B.O. entonces+

,osición Inicial:

=4Y DD #=%#D% !i 4C , entonces D= , por lo tanto la coordenada es+ # C,=% !i DC, entonces 4D , por lo tanto la coordenada es+ # D,C%

,osición Final:

=4YDD 4A!i 4C, entonces D5, por lo tanto la coordenada es+ # C,5%!i DC, entonces 44AW=N.=== , por lo tanto la coordenada es+ #N.===,C%

'a gráfica final queda+


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9

-omo te has dado cuenta ya hemos usado otro cuadrante para la gráfica, estosucede por que tenemos coeficientes negativos en las variables de lasrestricciones pero a pesar de eso la región factible se encuentra en el primercuadrante por que las variables son mayores que cero+ # 4RC, DRC%.

"N",O


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9

"hora te das cuenta que la egión Bactible es un segmento que va desde el punto "hacia el punto H, esto sucede por que se tiene una restricción con orientación deigualdad #%, entonces recuerda+na restricción con orientación 7 da una región factile Cue es un segmento oen eJtremo un punto.

P2$O! -OO:""! 3I3I" NE4*AED

" # C , 7 % N#C% * A#7% *D7 H M# D, 4.===% N#D% * A#4.===% D

M Punto H+-omo es la intersección de II y III+'as coordenadas se hallan por ecuaciones simultaneas+

#II% 7E4 Y =ED 4D

#III% DE4 Y AED 4D #*D%

*@D*4D D 4.=== eempla/ando en #II% + 74 Y =#4.===% 4D 4 D"l comparar los resultados de las coordenadas rempla/adas en la B.O. se tiene que enpunto m(nimo es " con valor *D7."hora falta graficar las B.O.

,osición Inicial:N4 * AD #N%#*A%!i 4C entonces DN, las coordenadas son+ # C, N %!i DC entonces 4 *A, las coordenadas son+ #*A,C%,osición Final:N4*AD *D7!i 4C entonces D7, las coordenadas son+ #C,7%!i DC entonces 4*D7WN*7.5 , las coordenadas son+ # *7.5,C%


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9'a gráfica queda+ "hora la B.O. se encuentra en el segundo cuadrante por que uno de suscoeficientes es negativo , pero eso no afecta en nada el procedimiento.

"N",O :

III4'! @51 - 52%N"&O ': 3J1 H


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9

,&O% +OO!D"'D'% I. @51-52

" M # D , D.DN % A#D% * N#D.DN% C.6N H # N , C % A#N% * N#C% =C

- # D , C % A#D% * N#C% 4D

M Kallando las coordenadas para H mediante ecuaciones simultáneas+:l punto H es la intersección de I y III+#I% =4 Y 7D 4N

#III% 4 Deempla/ando en I+ =#D% Y 7D 4N D D.DN 'as coordenadas de H son+ # D, D.DN%"l comparar los resultados de reempla/ar las coordenadas en la B.O. se ve que el menorvalor es

C.6N que corresponde al punto "."hora graficando la B.O.,osición inicial: A4 * ND #A%#*N%!i 4C despejando+ DA entonces las coordenadas son+ #C,A%si DC despejando+ 4 *N entonces las coordenadas son+ #*N,C%,osición final+A4 * ND C.6N!i 4C despejando+ D *C.4N entonces las coordenadas son+ #C,*C.4N%!i DC despejando+ 4C.4DN entonces las coordenadas son+ #C.4DN,C%


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9

"N"!+I+IO%:

*!'FI+'! :

1.- '5 II4'! : 351 H


71/220

9 351 - 51 H ?52 @.- '5II4'! 51 H >52%N"&O ': %N"&O ': 251 H @52 L12 -351 H .- III4'!


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9 !pta. 511= 7 527 F.O. 4 ->= !pta. 511= 7 52= 7 F.O.4-1==

3.- *!'FI+'% +O 'DO% D"!"+$O% +O #'O! D" +"!O 'a variedad de gráficas muchas veces nos lleva a toparnos con restricciones que

despu8s de reali/ar el modelo de programación lineal donde los lados derechos debenconsiderarse como valores num8ricos nos enfrentamos a modelos como por ejemplo+4* D QC, 4 YD RC , 4 Y =D C:stas restricciones aparecen en la mayor(a de los casos cuando se tienen problemas deme/cla, por ejemplosi deseamos como m(nimo que 4 sea el ACX de la me/cla total la restricción quedar(a+ 4 R C.AC 4 YD

eali/ando las operaciones+ 4 R C.AC#4 Y D% entonces+ 4 *C.AC4*C.ACDRC la restricción queda+ C.7C4 * C.ACD RC:ste tipo de restricciones tiene otra manera de graficar y por lo tanto de orientación.

Para restricciones de la forma + a4 Y bD RC:jemplo+ 74 Y 5D RC Igualando+ 74Y 5DC 74 *5D despejando+ 4 *DD $abulando+

*D D 4 -oordenadas #4,D%

!i *D#C% C # C, C% !i *D#4% *D #*D,4% !i *D#D% *7 #*7,D%

D

'a gráfica queda+ D

4


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9

*7 *= *D *4 C 4

Orientación+74 Y 5D RC!e toma un punto eterior a la l(nea tra/ada # es decir que no pertenece a ella% porejemplo+ #C,D% , reempla/ando en la restricción+ 7#C% Y 5#D%RC entonces+ 4A RC si, la recta es orientada al punto #C,D%'a gráfica final queda+

:GIO B"-$IH': D+ D

4

*7 *= *D *4 C 4

Para restricciones de la forma *=4 Y @DRCIgualando+ *=4 Y @DC *=4 *@D

despejando+ 4 =D

$abulando+

=D 4 -oordenadas #4,D% !i =#C% C #C,C% !i =#4% = #=,4% !i =#D% A #A,D%

D'a gráfica queda+

D 4

C 4 D = 7 N A 4

Orientación+ $omando el punto #4,C% como punto de orientación+ * =4 Y @D RCeempla/ando+ *=#4% Y @#C% RC *= RC ,no entonces la recta se orienta hacia el lado opuestode este punto.

Gráfica final+

D :GIO B"-$IH': D 4

C 4 D = 7 N A6 4Para restricciones de la forma A4 * 7D Q C


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9Igualando+ A4 * 7D Cdespejando+ D A4 7D Gráfica Inicial+ 4 #7WA%D 4D 44 $abulando+ 4C @ #7WA% D 4 -oordenadas 5 #4,D% 6 A !i #7WA%C C # C, C% N !i #7WA%A 7 #7, A% 7 !i #7WA%4D 5 #5,4D% = D 4

C 4 D = 7 NA 6 5 @ 4

2tili/ando un punto de orientación por ejemplo #C,N%, reempla/ando este punto en larestricciónA4 * 7D Q C A#C% * 7 #N% Q C *DC QC si , como cumple la restricción se orienta hacia este punto.Gráfica Binal+ D

4D 44 + 4C :GIO @ B"-$IH': 5 6 A N 7 = D 4

C 4 D = 7 N A 6 5 @ 4

:ntonces ahora que ya tenemos la noción de como graficar las restricciones cuyos ladosderechos tienen valor de cero, vamos a resolver los siguientes ejemplos+

"emplo 11 aJ >J1 H


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9 2J1 H J2 K 1= J1 L= 7 J2L=

!olución+

#I% 4 7#II% *4 Y D C espejando+ D4

$abulando+ 4 D -oordenadas #4,D%

C C # C,C% 4 4 #4,4% D D #D,D%

2tili/ando al punto #C,D% como punto de orientación se reempla/a en la restricción+ *4#C% Y 4#D% RC

entonces D RC si cumple, entonces la restricción debe orientarse a este punto.#III% D4 Y ND 4C

!i 4C despejando D D, entonces las coordenadas son #C,D% !i DC despejando 4N , entonces las coordenadas son #N,C%Orientación+#I% !e acerca al origen.#II% !e acerca al punto #C,D%.#III% !e acerca al origen.2bicación Inicial de la B.O.54 Y 7D #5%#7%!i 4C entonces D5, las coordenadas son #C,5%!i DC entonces 4 7, las coordenadas son #7,C%

Gráfica Inicial+ D

5 6 A

N 7 = #II% #I% D

H 4 - " C 4 D = 7 N 4 #III% PO!I-IO

II-I"' : '" B.O

Kallando el punto - que es la intersección de II y III+#II% *4YDC #D%#III% D4YND4C

6D 4C despejando+ D 4CW6 , reempla/ando este valor en #II% *4Y 4CW6 C


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9 despejando+ 44CW6 :ntonces+

,&O% +OO!D"'D'% '5. >51H


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9 $abulando+

4.N D 4 -oordenada

!i 4.N# C% C #C,C% !i 4.N# 4% 4.N #4.N,4%

!i 4.N#D% = #=,D%

#III% 4 AOrientación+ 2tili/ando el punto #C,N% como punto de orientación se tiene+ D4 * =D RC D#C% * =#N% RC *4N RC no , entonces la restricción de orientarse al lado opuesto de #C,N%Orientación+#I% se aleja del origen.#II% !e aleja del punto #C,N%#III% !e acerca al origen.

2bicación inicial de la B.O+ A4 * ND # A%#*N% !i 4C despejando D A, entonces la coordenada es+ #C,A%

!i DC despejando 4 *N, entonces la coordenada es+ #*N,C%

Gráfica Inicial+ D A

N #I% #III% 7 H PO!I-IO II-I"' = #II% : '" B.O.

D :GIO

" B"-$IH': 4 - *N *7 *= *D *4 C 4 D = 7 N A 4

Kallando punto "+Intersección de I y II+ 74 Y NDDC D4 * =DC #*D%

44D DC D 4.5454, reempla/ando en #I% 74 Y N#4.5454%DC se tiene 4D.6D6D , entonces la coordenada es+ #D.6D6D , 4.5454%Kallando punto H+

Intersección de II y III+ D4 * =DC 4A

D#A% * =D C despejando+ D7 , entonces la coordenada es+ #A, 7%

Punto -+ #A,C%Punto + #N,C%


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9

P2$O! -OO:""! 3I AE4 * NED

" #4.5454 , D.6D6D% A#D.6D6D% * N#4.5454%6.D6D6 H # A, 7 % A#A% * N#7% 4A

- #A.C% A#A% * N#C% =A #N,C% A#N% * N#C% =C

Punto optimo+ "Posición Binal de la B.O.A4 * ND 6.D6D6!i 4C despejando D *4.7N7N7 , entonces la coordenada es+ #C, *4.7N7N7%!i DC despejando 44.D4D4 , entonces ;a coordenada es+ # 4.D4D4, C%

Gráfica Binal+

D A

N PO!I-IOBI"' #I% #III% : '" B.O. 7 H PO!I-IO II-I"' = #II% : '" B.O.

D :GIO " B"-$IH': 4 - *N *7 *= *D *4 C 4 D = 7 N A 4

*4

espuesta+ E4 4.5454 , D D.6D6D el valor de la B.O. es+ 6.D6D6

"emplo 13: aJimi6ar AJ1 - >J2sueto a: J1 - 2J2 L=

J1 - 3J2 K= 2J1 H


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9 D D 4 -oordenadas

!i D#C% C #C,C% !i D#4% D #D,4% !i D#D% 7 #7,D%

!i tomamos a #C,N% como punto de referencia se tiene+ 4#C% * D#N% RC entonces+ *4C RC , no cumple , entonces la restricción no se orienta hacia el punto#C,N%.

#II% 4 * =D C despejando+ 4 =D $abulando+

=D 4 -oordenadas

!i =#C% C #C,C% !i =#4% = #=,4% !i =#D% A #A,D%

$omando el punto #C,D% como punto de referencia se tiene+#C% * =#D% QC

entonces+ *A QC, si cumple , entonces la restricción se acerca del punto #C,D%.

#III% D4 Y 7D 4C !i 4C despejando DD.N ,entonces la coordenada es+ #C,D.N% !i DC despejando 4N ,entonces la coordenada es+ #N,C%

Orientación+#I% !e aleja del punto #C,N%#II% !e acerca al punto # C,D%#III% !e acerca al origen.

2bicación Inicial de la Bunción Objetivo+ 64 * 5D #6%#*5%!i 4C despejando D6 , entonces la coordenada es+ #C,6%!i DC despejando 4*5, entonces la coordenada es+ #*5,C%

Gráfica Inicial+ ED 6

PO!I-IO A II-I"' : '"

B.O. N

7 #I% #III% =

D #II% H 4 -

*5 *6 *A *N *7 *= *D *4 C 4 D = 7 N A E4


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9 "Puntos :tremos+

"+ #C,C%

H+ Intersección de I y III hallando las coordenadas de este punto por ecuacionessimultaneas+ 4 * DDC #*D% D4 Y7D4C

5D4Cdespejando+ D4.DN

eempla/ando en #I%+ 4 * D#4.DN%C 4D.NC, entonces la coordenada es #D.NC ,4.DN%

-+ Intersección de II y III, hallando las coordenadas de este punto por ecuacionessimultaneas+

4 * =DC #*D% D4 Y 7D4C

4CD 4Centonces+ D4, reempla/ando en II + 4 * =#4%C entonces+ 4=, por lo tanto la coordenada es #=,4%

P2$O! -OO:""! 3"EI3I" 6E4 * 5ED

" #C,C% 6#C% * 5#C% C

H #D.NC , 4.DN% 6#D.NC% * 5#4.DN% 6.N - #=,4% 6#=% * 5#4% 4=

:l punto óptimo es -, por lo que trasladando la B.O. hacia ese punto se tiene+ 64 * 5D4=

!i 4C , despejando+ D*4.ADN , entonces la coordenada es + #C, *4.ADN%!i DC , despejando + 44.5N6 , entonces la coordenada es+ #4.5N6 , C%'a gráfica Binal es+

ED 6

PO!I-IO A II-I"' : '"B.O. N PO!I-IO BI"' : '" B.O.

7 #I% #III% =

D #II% H


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9 4 -

*5 *6 *A *N *7 *= *D *4 C 4 D = 7 N A E4"

*4

!pta. E4= , ED4, 0alor de B.O. 4="emplo 1


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9

Gráfica Inicial+ #III% ED

' PO!I-IO II-I"'

: '" B.O. N #I0% 7 # I % H !"*IO = F'+&I"

D

4 #II% - *5 *6 *A *N *7 *= *D *4 C 4 D = 7 N

E4

*4

*D

Puntos :tremos+

" es la intersección de #I % y # I0%, despejando por ecuaciones simultaneas+#I% *DE4 Y EDC #*6%#I0% *7E4 Y 6ED D5

4C4 D5despejando+ 4D.5, reempla/ando en #I%+ *D#D.5% Y DC entonces+ D N.A , la coordenada es+ # D.5 , N.A% H + #C,7% - + #C,C%


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9

P2$O! -OO:""! 3"EI3I" =E4 Y DED

" #D.5,N.A% =#D.5% Y D#N.A% [email protected] #C , 7% =#C% YD#7% 5

- #C,C% =#C% Y D#C% C

:l punto óptimo es " , entonces trasladando la Bunción Objetivo a este punto se tiene+ =4 Y DD [email protected]!i 4C despejando [email protected] , entonces las coordenadas son+ # C, @.5%!i DC despejando 4A.N== , entonces las coordenadas son+ #A.N===, C%

ED 4C

'a gráfica final es+ @

5

6 #III%

A ' PO!I-IO II-I"'

: '" B.O. N #I0% 7 # I % H !"*IO = F'+&I"

D

PO!I-IO BI"' : '" B.O. 4 #II% - *5 *6 *A *N *7 *= *D *4 C 4 D = 7 NA 6 E4

*4

*D

pta. E4D.5 , EDN.A , el valor de la B.O. es [email protected]

"emplo 1.-inimi6ar @J1 - J2sueto a: J1 K < J1 -


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9

!olución+#I% 47 , valores como 7,=,D,4,C cumplen la restricción.#II% N4 * 7D C despejando+ N47D entonces+ 4 7DWN , luego + 4 C.5D

C.5D 4 -oordenadas

!i C.5#C% C #C,C% !i C.5#4% C.5 #C.5,4%

!i C.5#N% 7 #7,N%

-omo la restricción tiene orientación de igualdad entonces en la gráfica solo se considerala l(nea tra/ada.

#III% DN , valores como N,7,=,D,4,C cumplen la restricción.#I0% D4 Y =DA !i 4C despejando D D , entonces las coordenadas son+ #C,D% !i DC despejando 4=, entonces las coordenadas son+ #=,C%

Orientación:

#I% 0alores como 7,=,D,4,C cumplen la restricción.#II% 'a l(nea tra/ada.#III% 0alores como N,7,=,D,4,C cumplen la restricción.#I0% !e aleja del origen.

,osición Inicial de la Función Oetivo: A4 * ND #A%#*N%!i 4C despejando DA, entonces las coordenadas son+ #C,A%!i DC despejando 4 *N, entonces las coordenadas son+ #*N,C%

*rfica Inicial:

A PO!I-IO II-I"' : '" H B.O. N

#III% 7 #II% = #I0% #I% D " 4

*N *7 *= *D *4 C 4 D = 7 N A 6

Por tener la #II% como dirección una igualdad #% , entonces la región factible es unsegmento.

Punto " + Intersección de #II% y #I0% Kallando las coordenadas por ecuaciones simultaneas+ N4 * 7DC #=% D4 Y =DA #7%

D= 4 D7


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9 4 4.C7= eempla/ando en #II%+ N#4.C7=% * 7DC

N.D4N * 7DC N.D4N 7D

entonces+ D4.=C=6N las coordenadas son+ #4.C7= , 4.=C=6N% Punto H+ #7,N%

,&O% +O!D"'D'% III4'!= @51 - 52

" #4.C7= , 4.=C=6N% A#4.C7=% * N#4.=C=6N% *C.DAC6N H #7,N% A#7% * N#N% *4

:ntonces el punto optimo es+ H con valor *4, trasladando la función Objetivo para quepase por el punto optimo se tiene+ A4 * ND *4 si 4C despejando D*C.DC , entonces las coordenadas son+ # C,*C.DC%

!i DC despejando 4*C.4AAA , entonces las coordenadas son + #*C.4AAA,C%

*rfica Final:

PO!I-IO BI"' A : '" B.O. PO!I-IO II-I"' : '" H B.O. N

#III% 7 #II% =

#I0% #I% D " 4

*N *7 *= *D *4 C 4 D = 7 N A 6

!pta. E47 , EDN , el valor de la B.O. es *4

"N"!+I+IO%:


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91.- '5II4'! 51 H @52 2.- III4'!


87/220

9

SESION III

""'I!I! :!:!IHI'I"


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9

1.1.-RuE es IDO o I*O V'indo es un sof?are usado para la solución de modelos lineales, su nombre se debe a lanomenclatura de+'IO #'inear, Iteractive, and iscrete Optimi/er%, 'IGO #'inear, Iteractive, andGeneral Optimi/er%1.2.-RuE es 'nlisis de %ensiilidadV:s ver como se comporta el modelo elaborado ante algunos cambios que se puedenreali/ar.1.3.-R+ómo se ingresan los datos a IDOS2na ve/ elaborado el modelo lineal, se ingresa primero la Bunción Objetivo #B.O.%+!i la B.O. es maimi/ar, se ingresa+ 3a!i la B.O. es minimi/ar, se ingresa+ 3in'uego se ingresa los coeficientes con sus respectivas variables.Para ingresar las restricciones se escribe antes st #subjet to% #sujeto a %2na ve/ ingresado el modelo se culmina con la epresión end #fin%.:jemplo+ma D4Y=Dst

D4Y=DQ4N4Y7DR4C4YDD5end1.


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9 ED =.CCCCCC 4.CCCCCC IBII$<

IGK$K" !I: "G:! #an:os ! 2)rminos In!"!ni!nt!s% OL -2:$ "''OL"H': "''OL"H': K! I-:"!: :-:"!: >6ila? >2!rmino > Incr!m!nto >3!cr!m!nto

In!"!ni!nt!? !rmitio? !rmitio? D 4N.CCCCCC IBII$< C.CCCCCC = 4C.CCCCCC A.CCCCCC C.CCCCCC 7 5.CCCCCC C.CCCCCC =.CCCCCC1..-RuE partes se destacan en el reporte de IDOV'a estructura del reporte tiene las siguientes partes+a%0alor de la Bunción Objetivob%0alor de las 0ariables, -ostos educidos.c% angos de coeficientes de las variables de la función objetivo.d%angos de coeficientes de los t8rminos independientes de las [email protected] es un +osto !educidoV

:s la cantidad que debe variar el coeficiente de una variable para que este llegue a tenervalor.Pero esto depende de la función objetivo, por ejemplosi la función objetivo es de 3aimi/ación el costo reducido se debe sumar al coeficientede la variable.si la función objetivo es de 3inimi/ación el costo reducido se debe restar al coeficiente dela variable.:jemplo 4+3a =4YDD0ariable 0alor -osto educidoE4 4C C.CCCCCED C =.NCCCC'a variable D para que llegue a tener valor su coeficiente debe ser+

-DR#DY=,N%:jemplo D+3in 74YND0ariable 0alor -osto educidoE4 C D.CCCCCED 4C C.CCCCC'a variable 4 para que llegue a tener valor su coeficiente debe ser+-4Q#7*D%1.A.-RuE es una #ariale de $olguraV:s la cantidad que sobra de un recurso. "parecen cuando la restricción es Q1.>.-RuE es una #ariale %uper

47147153 experiencia laboral

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