489_estaind005_distprob

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1PPGEP/UFRGS

PPGEP

CAPTULO 5 CAPTULO 5

DISTRIBUIES DEDISTRIBUIES DEPROBABILIDADEPROBABILIDADE

PPGEPUFRGS

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2PPGEP/UFRGS

PPGEPIntroduoIntroduo

O histograma usado para apresentar dados amostrais extradas de uma populao.

Por exemplo, os 50 valores de uma caracterstica dimensional apresentados anteriormente representam uma amostra de um processo industrial.

O uso de mtodos estatsticos permite que se analise essa amostra e se tire algumas concluses sobre o processo de manufatura.

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3PPGEP/UFRGS

PPGEP

Uma distribuio de probabilidade um modelo matemtico que relaciona um certo valor da varivel em estudo com a sua probabilidade de ocorrncia.

H dois tipos de distribuio de probabilidade:

1. Distribuies Contnuas: Quando a varivel que est sendo medida expressa em uma escala contnua, como no caso de uma caracterstica dimensional.

2. Distribuies Discretas: Quando a varivel que est sendo medida s pode assumir certos valores, como por exemplo os valores inteiros: 0, 1, 2, etc.

IntroduoIntroduo

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4PPGEP/UFRGS

PPGEP

No caso de distribuies discretas, a probabilidade de que a varivel X assuma um valor especfico xo dada por: P(X = xo ) = P( xo )No caso de variveis contnuas, as probabilidades so especificadas em termos de intervalos, pois a probabilidade associada a um nmero especfico zero. ( ) = ba dxxfbXaP )(

IntroduoIntroduo

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5PPGEP/UFRGS

PPGEP

5.1. Distribuies Discretas Mais 5.1. Distribuies Discretas Mais ImportantesImportantes

5.1.1. Distribuio Binomial

5.1.2. Distribuio Poisson

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6PPGEP/UFRGS

PPGEP5.1.1. Distribuio Binomial5.1.1. Distribuio BinomialA distribuio binomial adequada para descrever situaes em que os resultados de uma varivel aleatria podem ser agrupados em apenas duas classes ou categorias. As categorias devem ser mutuamente excludentes, de forma que no haja dvidas na classificao do resultado da varivel nas categorias e coletivamente exaustivas, de forma que no seja possvel nenhum outro resultado diferente das categorias. Por exemplo, um produto manufaturado pode ser classificado como perfeito ou defeituoso, a resposta de um questionrio pode ser verdadeira ou falsa, as chamadas telefnicas podem ser locais ou interurbanas.

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7PPGEP/UFRGS

PPGEP5.1.1. Distribuio Binomial5.1.1. Distribuio BinomialMesmo variveis contnuas podem ser divididas em duas categorias, como por exemplo, a velocidade de um automvel pode ser classificada como dentro ou fora do limite legal.

Geralmente, denomina-se as duas categorias como sucesso ou falha. Como as duas categorias so mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas:

Consequentemente, sabendo-se que, por exemplo, a probabilidade de sucesso P(sucesso) = 0,6, a probabilidade de falha P(falha) = 1-0,6 = 0,4.

1)()( =+ falhaPsucessoP

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8PPGEP/UFRGS

PPGEP5.1.1. Distribuio Binomial5.1.1. Distribuio Binomial

Condies de aplicao: so feitas so feitas n repeties do experimento, onde n repeties do experimento, onde n

uma constante;uma constante; h apenas dois resultados possveis em cada h apenas dois resultados possveis em cada

repetio, denominados sucesso e falharepetio, denominados sucesso e falha a probabilidade de sucesso a probabilidade de sucesso (p) e de falha e de falha (1- p)

permanecem constante em todas as repeties;permanecem constante em todas as repeties; as repeties so independentes, ou seja, o as repeties so independentes, ou seja, o

resultado de uma repetio no influenciado resultado de uma repetio no influenciado por outros resultados.por outros resultados.

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9PPGEP/UFRGS

PPGEP

Seja um processo composto de uma seqncia de nobservaes independentes com probabilidade de sucesso constante igual a p, a distribuio do nmero de sucessos seguir o modelo Binomial:

x = 0,1,....,n

onde representa o nmero de combinaes de nobjetos tomados x de cada vez, calculado como:

( )P x p pxn x n x( ) ( ) = 1( )xn

( ))!(!

! xnx

nnx =

5.1.1. Distribuio Binomial5.1.1. Distribuio Binomial

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10PPGEP/UFRGS

PPGEP

Os parmetros da distribuio Binomial so n e p. A mdia e a varincia so calculadas como:

= np2 = np(1 - p)

A distribuio Binomial usada com freqncia no controle de qualidade quando a amostragem feita sobre uma populao infinita ou muito grande.

Nas aplicaes de controle da qualidade, x em geral representa o nmero de defeituosos observados em uma amostra de n itens.

5.1.1. Distribuio Binomial5.1.1. Distribuio BinomialD

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11PPGEP/UFRGS

PPGEP

( ) 15)!115(!1

!1511 ==5

( ) 3402301001510011001 1151151 ,, x ,),( x, x )P( ===

Por exemplo, se p = 0,10 e n = 15, a probabilidade de obter x itens no conformes calculada usando a equao da Binomial. Por exemplo, para x=1


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12PPGEP/UFRGS

PPGEP

Outra estatstica de interesse para o controle de qualidade a frao de defeituosos de uma amostra:

npp

p)1(2

=

$p xn

=


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13PPGEP/UFRGS

PPGEP5.1.2. Distribuio de5.1.2. Distribuio de PoissonPoisson

A distribuio de Poisson adequada para descrever situaes onde existe uma probabilidade de ocorrncia em um campo ou intervalo contnuo, geralmente tempo ou rea. Por exemplo, o no de acidentes por ms, no de defeitos por metro quadrado, no de clientes atendidos por hora. Nota-se que a varivel aleatria discreta (nmero de ocorrncia), no entanto a unidade de medida contnua (tempo, rea). Alm disso, as falhas no so contveis, pois no possvel contar o nmero de acidentes que no ocorreram, nem tampouco o nmero de defeitos que no ocorreram.

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14PPGEP/UFRGS

PPGEP5.1.2. Distribuio de5.1.2. Distribuio de PoissonPoissonCondies de aplicao:

o nmero de ocorrncias durante qualquer o nmero de ocorrncias durante qualquer intervalo depende somente da extenso do intervalo depende somente da extenso do intervalo;intervalo;

as ocorrncias ocorrem independentemente, ou as ocorrncias ocorrem independentemente, ou seja, um excesso ou falta de ocorrncias em seja, um excesso ou falta de ocorrncias em algum intervalo no exerce efeito sobre o algum intervalo no exerce efeito sobre o nmero de ocorrncias em outro intervalo;nmero de ocorrncias em outro intervalo;

a possibilidade de duas ou mais ocorrncias a possibilidade de duas ou mais ocorrncias acontecerem em um pequeno intervalo muito acontecerem em um pequeno intervalo muito pequena quando comparada de uma nica pequena quando comparada de uma nica ocorrncia.ocorrncia.

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15PPGEP/UFRGS

PPGEP5.1.2. Distribuio de Poisson5.1.2. Distribuio de Poisson

A distribuio de Poissson fica completamente caracterizada por um nico parmetro que representa a taxa mdia de ocorrncia por unidade de medida.

A equao para calcular a probabilidade de xocorrncias dada por:

x = 0, 1, ...A mdia e a varincia da distribuio de Poisson so:

= =

!)(

xexP

x=

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16PPGEP/UFRGS

PPGEP

A aplicao tpica da distribuio de Poisson no controle da qualidade como um modelo para o nmero de defeitos (no-conformidades) que ocorre por unidade de produto (por m2, por volume ou por tempo, etc.).

A distribuio de Poisson uma forma limite da distribuio Binomial, quando n e p 0, mas mantendo o quociente np = .

5.1.2. Distribuio de Poisson5.1.2. Distribuio de Poisson

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17PPGEP/UFRGS

PPGEP

O nmero de defeitos de pintura segue uma distribuio de Poisson com = 2.Ento, a probabilidade que uma pea apresente mais de 4 defeitos de pintura vir dada por:

5.1.2. Distribuio de Poisson5.1.2. Distribuio de Poisson

{ } %5,5055,0945,01!42141

4

0

42====

=

x

eXP

x P(x) 0 0,135 1 0,270 2 0,270 3 0,180 4 0,090 5 0,036 6 0,012

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18PPGEP/UFRGS

PPGEP 5.2. Distribuies contnuas mais 5.2. Distribuies contnuas mais ImportantesImportantes

5.2.1. Distribuio Exponencial

5.2.2. Distribuio Weibull

5.2.3. Distribuio Normal

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19PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.1. Distribuio Exponencial5.2.1. Distribuio Exponencial

Na distribuio de Poisson, a varivel aleatria definida como o nmero de ocorrncias em determinado perodo, sendo a mdia das ocorrncias no perodo definida como .

Na distribuio Exponencial a varivel aleatria definida como o tempo entre duas ocorrncias, sendo a mdia de tempo entre ocorrncias de 1/.

Por exemplo, se a mdia de atendimentos no caixa bancrio de = 6/min, ento o tempo mdio entre atendimentos 1/ = 1/6 de minuto ou 10 segundos.

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20PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.1. Distribuio Exponencial5.2.1. Distribuio ExponencialCondio de aplicao:a) o nmero de ocorrncias deve seguir uma distribuio de Poisson.

Se ns considerarmos a distribuio de Poisson como o modelo para o nmero de ocorrncias de um evento no intervalo de [0,t] teremos:

E nesse caso pode ser demonstrado que a distribuio dos intervalos entre ocorrncias ir seguir o modelo Exponencial com parmetro .

!)()(

xtexP

xt =

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21PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.1. Distribuio Exponencial5.2.1. Distribuio ExponencialO modelo da distribuio Exponencial o seguinte:

onde > 0 uma constante.A mdia e o desvio padro da distribuio exponencial so calculados usando:

0;)( = t etf t

1=

1=

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22PPGEP/UFRGS

PPGEP

A distribuio Exponencial acumulada vem dada por:

A distribuio Exponencial largamente utilizada no campo da confiabilidade, como um modelo para a distribuio dos tempos at a falha de componentes eletrnicos.

Nessas aplicaes o parmetro representa a taxa de falha para o componente, e 1/ o tempo mdio at a falha.

01}{)(0

=== t edxetTPtF tt t

5.2.1. Distribuio Exponencial5.2.1. Distribuio ExponencialD

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23PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.1. Distribuio Exponencial5.2.1. Distribuio Exponencial

Por exemplo, suponha que uma mquina falhe em mdia uma vez a cada dois anos =1/2=0,5. Calcule a probabilidade da mquina falhar durante o prximo ano.

A probabilidade de falhar no prximo ano de 0,393 e de no falhar no prximo ano de 1-0,393=0,607. Ou seja, se forem vendidos 100 mquinas 39,3% iro falhar no perodo de um ano.Conhecendo-se os tempos at a falha de um produto possvel definir os perodos de garantia.

0,3930,607-1eTPtF x ==== 15,01}1{)(D

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24PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.2. Distribuio de Weibull5.2.2. Distribuio de WeibullO modelo da distribuio de Weibull :

onde:: parmetro de forma: parmetro de forma: parmetro de escala: parmetro de escalaLL: parmetro de localizao: parmetro de localizao

=

LxeLxxf1

)(

=

Lxe1)x(F

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25PPGEP/UFRGS

PPGEP

A mdia e a varincia da distribuio de Weibull:

A distribuio de Weibull muito flexvel e pode assumir uma variedade de formas.Ela tem sido usada extensivamente para modelar tempos de processo ou tempos at a falha de componentes eltricos, componentes mecnicos, elementos estruturais e sistemas complexos.

++=11 L

+

+=

222 1121

5.2.2. Distribuio de Weibull5.2.2. Distribuio de Weibull

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26PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.3. Distribuies Normal5.2.3. Distribuies Normal

A distribuio Normal a mais importante das distribuies estatsticas, tanto na teoria como na prtica: Representa a distribuio de freqncia de muitos Representa a distribuio de freqncia de muitos

fenmenos naturais;fenmenos naturais; Serve como aproximao da distribuio Binomial, Serve como aproximao da distribuio Binomial,

quando quando nn grande; grande; As mdias e as propores de grandes amostras As mdias e as propores de grandes amostras

segue a distribuio Normal (Teorema do Limite segue a distribuio Normal (Teorema do Limite Central).Central).

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27PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.3. Distribuies Normal5.2.3. Distribuies NormalA distribuio Normal em forma de sino, unimodal, simtrica em relao sua mdia e tende cada vez mais ao eixo horizontal medida que se afasta da mdia.Ou seja, teoricamente os valores da varivel aleatria podem variar de - a .A rea abaixo da curva Normal representa 100% de probabilidade associada a uma varivel. A probabilidade de uma varivel aleatria tomar um valor entre dois pontos quaisquer igual rea compreendida entre esses dois pontos.

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28PPGEP/UFRGS

PPGEP

A rea total abaixo da curva considerada como 100%. Isto , a rea total abaixo da curva 1.

rea=1

rea=0,5 rea=0,5

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29PPGEP/UFRGS

PPGEP Percentuais da distribuio Normal:

99,73%

95,44%

68,26%

27.6 27.8 28 28.2 28.4 28.6 28.8 29 29.2

-1 +1 -2 +2 -3 +3

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30PPGEP/UFRGS

PPGEP

A distribuio Normal fica completamente caracterizada por dois parmetros: a mdia e o desvio-padro. Ou seja, diferentes mdias e desvio-padres originam curvas normais distintas, como se pode visualizar nos exemplos contidos na tabela abaixo onde h amostras provenientes de distribuies com mdia e desvios-padres distintos.

Amostras Dados Localizao ( x ) Variabilidade (R)A 10 12 14 16 18 14x = 8R =B 22 24 26 28 30 26x = 8R =C 6 10 14 18 22 14x = 16R =

5.2.3. Distribuies Normal5.2.3. Distribuies NormalD

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31PPGEP/UFRGS

PPGEP

a) da distribuio A para B muda a tendncia central, mas a variabilidade constante;b) da distribuio A para C muda a variabilidade, mas a tendncia central constante;c) da distribuio B para C muda a tendncia central e a variabilidade.

A

C

B

x

f(x)

5.2.3. Distribuies Normal5.2.3. Distribuies Normal

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32PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.3. Distribuies Normal5.2.3. Distribuies NormalUma conseqncia importante do fato de uma distribuio Normal ser completamente caracterizadapor sua mdia e desvio-padro que a rea sob a curva entre um ponto qualquer e a mdia funo somente do nmero de desvios-padres que o ponto est distante da mdia.

Como existem uma infinidade de distribuies normais (uma para cada mdia e desvio-padro), transformamos a unidade estudada seja ela qual for (peso, espessura, tempo, etc.) na unidade Z, que indica o nmero de desvios-padro a contar da mdia.

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33PPGEP/UFRGS


Dessa forma, o clculo de probabilidades (rea sob a curva) pode ser realizado atravs de uma distribuio Normal padronizada, onde o parmetro a varivel reduzida Z.

A distribuio Normal pode ser representada por uma equao matemtica dada por:

2

21

21)(

=

x

exf

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34PPGEP/UFRGS


A distribuio Normal acumulada obtida calculando a probabilidade de X ser menor que um dado valor x:

Essa integral no pode ser resolvida em forma fechada, mas a soluo est apresentada em tabelas da distribuio Normal padronizada onde se entra com a varivel reduzida Z (nmero de desvios-padres distantes da mdia) e encontra-se F(Z) ou vice-versa.

{ } Tabelado )( =

= ZFxZPxXP

== x dxxfxFxXP )()()(

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35PPGEP/UFRGS

PPGEPPara sabermos o valor da probabilidade, utilizamos a tabela da distribuio Normal. Essa tabela nos fornece a rea acumulada at o valor de Z

rea=0,84

1,0

0,84

0,0

Z=1Z=1

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36PPGEP/UFRGS

PPGEP

As reas correspondentes as probabilidades da distribuio normal padro esto tabeladas.

1.01.11.21.31.4

0.84130.86430.88490.90320.9192

0.84380.86650.88690.90490.9207

0.84610.86860.88880.90660.9222

0.84850.87080.89070.90820.9236

0.85080.87290.89250.90990.9251

0.85310.87490.89440.91150.9265

0.8554

0.89620.91310.9278

0.87700.85770.87900.89800.91470.9292

0.85990.88100.89970.91620.9306

0.86210.88300.90150.91770.9319

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

Probabilidade de ocorrncia de valores abaixo de Z

Z

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37PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.3. Distribuies Normal5.2.3. Distribuies NormalO clculo da varivel reduzida Z faz uma transformao dos valores reais em valores codificados. Essa transformao feita descontando-se a mdia para eliminar o efeito de localizao (tendncia central) e dividindo-se pelo desvio-padro para eliminar o efeito de escala (variabilidade).Uma vez calculada a varivel reduzida Z, consulta-se a tabela Normal padronizada para identificar a probabilidade acumulada esquerda de Z, ou seja, a probabilidade de ocorrerem valores menores ou iguais a um certo valor de Z consultado.

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38PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.3. Distribuies Normal5.2.3. Distribuies NormalExemplo 1: A resistncia trao do papel usado em sacolas de super-mercado uma caracterstica de qualidade importante. Sabe-se que essa resistncia segue um modelo Normal com mdia 40 psi e desvio padro 2 psi. Se a especificao estabelece que a resistncia deve ser maior que 35 psi, qual a probabilidade que uma sacola produzida com este material satisfaa a especificao?

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39PPGEP/UFRGS


Distribuio para X (valores reais) Distribuio para Z (valores codificados)

{ } { }35135 = XPXP{ } { }5,2

2403535 =

= ZPZPXP

Tabela: F(-2,5) = 0,0062

Assim a resposta 1 - 0,0062 = 99,38%D

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40PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.3. Distribuies Normal5.2.3. Distribuies NormalExemplo 2: O dimetro do eixo principal de um disco rgido segue a distribuio Normal com mdia 25,08 in e desvio padro 0,05 in. Se as especificaes para esse eixo so 25,00 0,15 in, determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificaes.

{ } { } { }85,2415,2515,2585,24 = xPxPxP

=

05,008,2585,24

05,008,2515,25 ZPZP

{ } { } 9192,00000,09192,060,440,1 === ZPZPou seja, 91,92% dentro das especificaes e 8,08% fora das especificaes.

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41PPGEP/UFRGS

PPGEP

ou seja, 91,92% dentro das especificaes(rea cinza) e 8,08% fora das especificaes.

LEI LESx

=0,05

24,85 25,08 25,15

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42PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.3. Distribuies Normal5.2.3. Distribuies NormalExemplo 3: No exemplo anterior tem-se cerca de 8% de unidades no-conformes, e essas unidades so invariavelmente do tipo eixo muito largo. Recalcule o percentual de unidades conformes se o processo estivesse centrado em 25,00.

05,000,2585,24

05,000,2515,25 ZPZP

{ } { } 9973,000135,09987,00,30,3 == ZPZPou seja, 99,73% dentro das especificaes e 0,27% fora das especificaes.

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43PPGEP/UFRGS


Exemplo 4: Suponha que Encontre um valor limite x, tal que P{ X > x} = 0,05.

).9 ;85(NX

05,09851}{1}{ =

==> xZPxXPxXP

95,0985 =

xZP Tabela Z=1,645

Assim, 805,99x ;9

85645,1 == x

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44PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.3.1. Propriedades da Distribuio 5.2.3.1. Propriedades da Distribuio NormalNormal

A distribuio Normal tem muitas propriedades teis. Uma dessas propriedades que qualquer combinao linear de variveis normalmente distribudas tambm seguir o modelo Normal, ou seja:Se X1, X2,........., Xn tm distribuio normal e so independentes,A varivel Y que uma combinao linear de X:Y = a1X1 + a2X2 +.....+ akXk

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45PPGEP/UFRGS

PPGEP

Tambm seguir o modelo normal, com mdia

e varincia

onde a1,......, an so constantes.

nnaa ++= .......11

2221

21

2 ........ nnY aa ++=

5.2.3.1. Propriedades da Distribuio 5.2.3.1. Propriedades da Distribuio NormalNormal

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46PPGEP/UFRGS

PPGEP5.2.3.2. Teorema do Limite Central5.2.3.2. Teorema do Limite Central

O Teorema do Limite Central indica que a soma (e por conseguinte a mdia) de n variveis independentes seguir o modelo Normal, independentemente da distribuio das variveis individuais.A aproximao melhora na medida em que n aumenta. Se as distribuies individuais no so muito diferentes da Normal, basta n = 4 ou 5 para se obter uma boa aproximao. Se as distribuies individuais forem radicalmente diferentes da Normal, ento ser necessrio n = 20 ou mais.

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47PPGEP/UFRGS


Na figura abaixo pode ser visto um desenho esquemtico do teorema do limite central.

n

n

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48PPGEP/UFRGS


Os limites da distribuio dos valores individuais so chamados de limites naturais e os limites da distribuio de probabilidade das mdias so chamados de limites de controle.

LCI LCSLNI LNS=x

x

f(x)

x

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49PPGEP/UFRGS

PPGEP

Exemplo 5: A distribuio de probabilidade da varivel resultante do lanamento de um dado segue a distribuio uniforme, ou seja, qualquer valor (1,2,3,4,5,6) tem a mesma probabilidade (1/6) de ocorrer.

No entanto, se ao invs de lanar um dado, sejam lanados dois dados e calculada a mdia, a mdia dos dois dados seguir uma distribuio aproximadamente Normal.

5.2.3.2. Teorema do Limite Central5.2.3.2. Teorema do Limite Central

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50PPGEP/UFRGS

PPGEP10 dado 20 dado Soma Mdia 10 dado 20 dado Soma Mdia

1 1 2 1,0 5 2 7 3,51 2 3 1,5 3 4 7 3,52 1 3 1,5 4 3 7 3,51 3 4 2,0 2 6 8 4,03 1 4 2,0 6 2 8 4,02 2 4 2,0 3 5 8 4,01 4 5 2,5 5 3 8 4,04 1 5 2,5 4 4 8 4,03 2 5 2,5 3 6 9 4,52 3 5 2,5 6 3 9 4,51 5 6 3,0 4 5 9 4,55 1 6 3,0 5 4 9 4,52 4 6 3,0 4 6 10 5,04 2 6 3,0 6 4 10 5,03 3 6 3,0 5 5 10 5,01 6 7 3,5 5 6 11 5,56 1 7 3,5 6 5 11 5,52 5 7 3,5 6 6 12 6,0

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51PPGEP/UFRGS


Tabela de freqncia da mdia dos dois dados

Mdia dedois dados Freqncia

1,0 11,5 22,0 32,5 43,0 53,5 64,0 54,5 45,0 35,5 26,0 1

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52PPGEP/UFRGS


1,01,0 1,51,5 3,53,52,52,52,02,0 3,03,0 6,06,04,04,0 4,54,5 5,05,0 5,55,5

1/361/36

2/362/36

3/363/36

xx

f(x)f(x)

4/364/36

5/365/36

6/366/36

Histograma da mdia dos dois dados

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53PPGEP/UFRGS


Conforme pode ser visto no histograma anterior, o histograma da mdia dos dois dados resulta aproximadamente Normal. Alm disso, observa-se que a aproximao da distribuio Normal melhora na medida que se fizesse a mdia do lanamento de mais dados.

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54PPGEP/UFRGS


O teorema do limite central bsico para a maioria das aplicaes do controle estatstico da qualidade.

O CEP trabalha com a mdia das amostras, pois independente da distribuio dos valores individuais, a mdia desses valores ir seguir aproximadamente a distribuio Normal.

A partir do teorema do limite central, sabe-se que a distribuio amostral das mdias apresenta os seguintes parmetros:

=x n =xPopulao Amostra

Mdia xDesvio-padro S

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55PPGEP/UFRGS

PPGEP

25 35 24 43 35 22 49 5634 26 35 52 40 35 35 2561 42 58 56 45 40 38 4533 53 22 35 23 25 36 39

Exemplo 1Exemplo 1

Um pesquisador deseja saber mdia da idade dos alunos de ps-graduao. Supondo que a populao dos alunos seja:

19,383239...25 =++==

Nxi

( ) ( ) 11,1132

19,3839...19,3825)( 222 =++==N

xi

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56PPGEP/UFRGS

PPGEP Supondo que no fosse possvel analisar a populao inteira, e os dados fossem coletados por amostras de tamanho n=4

, ,x 19381838 == 55,5411,11 75,4 ====

nxx

1 2 3 4 5 6 7 825 35 24 43 35 22 49 5634 26 35 52 40 35 35 2561 42 58 56 45 40 38 4533 53 22 35 23 25 36 39

Mdia (x) 38,25 39 34,75 46,5 35,75 30,5 39,5 41,25Desvio (S) 15,69 11,40 16,52 9,40 9,43 8,43 6,45 12,92

18388

25412538 ,,...,kx

x i =++== ( ) ( ) 75,4

1818,3825,41...18,3825,38

1

22

2

=++=

=

=

k

xxix

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57PPGEP/UFRGS

PPGEPSupondo que no fosse possvel analisar a populao inteira, e os dados fossem coletados por amostras de tamanho n=8

18,384

37,40...62,38 =++== kx

x i

( ) ( ) ( ) 49,314

18,3837,40...18,3862,381

222

=++=

= k

xxix

38,19 18,38 == x = 49,3 x 93,3811,11 ===

nx

1 2 3 425 24 35 4934 35 40 3561 58 45 3833 22 23 3635 43 22 5626 52 35 2542 56 40 4553 35 25 39

Mdia ( x ) 38,62 40,62 33,12 40,37Desvio (S) 12,71 13,94 8,74 9,50

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58PPGEP/UFRGS


A mdia das mdias amostrais igual a mdia dos valores individuais e o desvio-padro das mdias menor do que o desvio-padro dos valores individuais na razo de .

LCI LCSLNI LNS=x

x

f(x)

x

n/1

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59PPGEP/UFRGS

PPGEPExercciosExerccios

5.1 Suponha que dois dados sejam lanados e seja X a soma dos valores obtidos. Descreva o espao amostraldeste experimento e determine a distribuio de probabilidade de X.

5.2 Um processo industrial opera com mdia de 1% de defeituosos. Baseado em amostras de 100 unidades, calcule as probabilidades de uma amostra apresentar 0, 1, 2, 3 e 4 defeituosos. Plote a distribuio de probabilidade correspondente.

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60PPGEP/UFRGS

PPGEP

5.3 Imagine que para o processo anterior, fossem coletadas amostras de 50 unidades e o critrio para parar o processo e procurar causas especiais fosse X=1 ou mais. Calcule a percentagem de vezes que o processo seria interrompido logo aps a amostragem.

5.4 Em uma indstria automotiva, defeitos superficiais de pintura ocorrem a uma taxa de 0,15 defeitos / unidade. Encontre a probabilidade de que uma unidade escolhida ao acaso apresente 1 ou mais defeitos superficiais.

ExercciosExerccios

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61PPGEP/UFRGS

PPGEP

5.5 O setor financeiro de uma loja de departamentos est tentando controlar o nmero de erros cometido na emisso das notas fiscais. Suponha que esses erros sigam o modelo de Poisson com mdia = 0,03. Qual a probabilidade de uma nota selecionada ao acaso conter 1 ou mais erros?

5.6 A resistncia trao de isoladores cermicos apresenta distribuio Normal com mdia 95 Kg e desvio padro 4 Kg. Se so produzidas 10.000 unidades desses isoladores, quantos apresentaro resistncia inferior a 85 Kg? E quantos apresentaro resistncia superior a 90 Kg?

ExercciosExerccios

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62PPGEP/UFRGS

PPGEP

5.7 A sada de uma bateria segue o modelo Normalcom mdia 12,15 V e desvio padro 0,2 V. Encontre o percentual que ir falhar em atender s especificaes 12 V 0,5 V.

5.8 Se X representa medies feitas em um processo que segue o modelo Normal com mdia 100 e desvio padro 10, que comportamento ir seguir a mdia de amostras de 4 unidades retiradas desse processo? E qual ser o comportamento da mdia de 9 unidades retiradas desse processo?

ExercciosExercciosD

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63PPGEP/UFRGS

PPGEP

5.9. Os tempos at a falha de um dispositivo eletrnico seguem o modelo Exponencial, com uma taxa de falha = 0,012 falhas/hora. Plote a distribuio de probabilidade correspondente. Depois indique: qual a probabilidade de um dispositivo escolhido ao acaso sobreviver a 50 horas? E a 100 horas?

5.10 O tempo at a venda de um certo modelo de eletrodomstico, que regularmente abastecido em um supermercado, segue uma distribuio Exponencial, com parmetro = 0,4 aparelhos/dia. Indique a probabilidade de um aparelho indicado ao acaso ser vendido logo no primeiro dia.

ExercciosExerccios

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64PPGEP/UFRGS

PPGEP

5.11. Num lote que tem 2% de defeituosos, foram retiradas 40 peas, que ser rejeitado se forem encontradas duas ou mais peas defeituosas. Qual a probabilidade de rejeitar o lote?

5.12. Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas por ela emitidas so pagas aps o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de:a)nenhuma ser paga com atraso.

b)no mximo 2 serem pagas com atraso.

c)pelo menos 3 serem pagas com atraso.

d)uma ser paga em dia.

ExercciosExerccios

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65PPGEP/UFRGS


5.13. Uma amostra de 3 m de cabo foi retirada de uma bobina. O cabo tem em mdia uma falha por m. Qual a probabilidade de no encontrar falha na amostra?

5.14. O tempo necessrio, em uma oficina, para o conserto de transmisso para certo carro normalmente distribudo com mdia 45 min e desvio padro 8 min. O mecnico planeja comear o conserto do carro 10 min aps o cliente deix-lo na oficina, comunicando que o carro estar pronto em 1 h. Qual a probabilidade de que o cliente tenha que esperar caso o mecnico esteja enganado e o cliente fique esperando?

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66PPGEP/UFRGS


5.15 Uma fbrica de pneus fez um teste para medir o desgaste de seis pneus e verificou que ele seguia o comportamento de uma curva normal com mdia 48.000 km e desvio padro de 2.000 km. Calcule a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:a) dure mais que 47.000 km?

b) dure entre 45.000 e 51.000 km?

c) at que quilometragem duram 90% dos pneus?

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67PPGEP/UFRGS


5.16) O consumo de gasolina por Km rodado para certo tipo de carro, tem distribuio normal com mdia de 100 ml com desvio padro de 5 ml.a) calcular a probabilidade de um carro consumir entre 92 e 106 ml.b) sabe-se que 73,24% dos carros consumem menos que certa quantidade de gasolina qual essa quantidade?c) num grupo de 5 carros qual a probabilidade de dois consumirem mais que 107 ml?5.17.) Em uma indstria trabalham 1260 pessoas, cujos salrios tem mdia $34.600 e desvio padro $ 8.500. Calcule a probabilidade de ser inferior a $34.100 o valor da mdia de uma amostra aleatria constituda por 300 pessoas e 100 pessoas

489_estaind005_distprob

Documents

distribuio binomialcondies

categorias so

distribuies contnuas

probabilidade associada

varivel x

varivel aleatria

probabilidade de falha

so feitas so feitas