4. �cas ve�zbi iz Kompleksnih funkcija

Marek Svetlik

Beograd, 11. novembar 2020.

Marek Svetlik 11.11.2020. 1 / 39

BILINEARNA PRESLIKAVANJA

U realnoj analizi uveli smo pro�sireni skup realnih brojeva

R = R ∪ {−∞,+∞}.

Marek Svetlik 11.11.2020. 2 / 39

BILINEARNA PRESLIKAVANJA

U realnoj analizi uveli smo pro�sireni skup realnih brojeva

R = R ∪ {−∞,+∞}.

Marek Svetlik 11.11.2020. 2 / 39

BILINEARNA PRESLIKAVANJA

U realnoj analizi uveli smo pro�sireni skup realnih brojeva

R = R ∪ {−∞,+∞}.

Marek Svetlik 11.11.2020. 2 / 39

U kompleksnoj analizi uvodimo pro�sireni skup kompleksnih brojeva

C = C ∪ {∞}.

Marek Svetlik 11.11.2020. 3 / 39

U kompleksnoj analizi uvodimo pro�sireni skup kompleksnih brojeva

C = C ∪ {∞}.

Marek Svetlik 11.11.2020. 3 / 39

Neka su a, b, c, d ∈ C takvi da je ad− bc 6= 0.

Preslikavanje B : C→ C de�nisano sa

B(z) =az + b

cz + d

naziva se bilinearno preslikavanje. Koriste se i termini: linearna

frakciona transformacija i Mebijusovo preslikavanje.

Marek Svetlik 11.11.2020. 4 / 39

Neka su a, b, c, d ∈ C takvi da je ad− bc 6= 0.

Preslikavanje B : C→ C de�nisano sa

B(z) =az + b

cz + d

naziva se bilinearno preslikavanje.

Koriste se i termini: linearna

frakciona transformacija i Mebijusovo preslikavanje.

Marek Svetlik 11.11.2020. 4 / 39

Neka su a, b, c, d ∈ C takvi da je ad− bc 6= 0.

Preslikavanje B : C→ C de�nisano sa

B(z) =az + b

cz + d

naziva se bilinearno preslikavanje. Koriste se i termini:

linearna

frakciona transformacija i Mebijusovo preslikavanje.

Marek Svetlik 11.11.2020. 4 / 39

Neka su a, b, c, d ∈ C takvi da je ad− bc 6= 0.

Preslikavanje B : C→ C de�nisano sa

B(z) =az + b

cz + d

naziva se bilinearno preslikavanje. Koriste se i termini: linearna

frakciona transformacija

i Mebijusovo preslikavanje.

Marek Svetlik 11.11.2020. 4 / 39

Neka su a, b, c, d ∈ C takvi da je ad− bc 6= 0.

Preslikavanje B : C→ C de�nisano sa

B(z) =az + b

cz + d

naziva se bilinearno preslikavanje. Koriste se i termini: linearna

frakciona transformacija i Mebijusovo preslikavanje.

Marek Svetlik 11.11.2020. 4 / 39

Neka su a, b, c, d ∈ C takvi da je ad− bc 6= 0.

Preslikavanje B : C→ C de�nisano sa

B(z) =az + b

cz + d

naziva se bilinearno preslikavanje. Koriste se i termini: linearna

frakciona transformacija i Mebijusovo preslikavanje.

Marek Svetlik 11.11.2020. 4 / 39

Primetimo da navedena de�nicija nije dovoljno precizna.

Preciznije, ako je c = 0 onda je

B(z) =

{a

dz +

b

d, ako je z 6=∞,

∞, ako je z =∞,

a ako je c 6= 0 onda je

B(z) =

az + b

cz + d, ako z /∈

{∞,−d

c

},

∞, ako je z = −dc,

a

c, ako je z =∞.

Marek Svetlik 11.11.2020. 5 / 39

Primetimo da navedena de�nicija nije dovoljno precizna.

Preciznije, ako je c = 0 onda je

B(z) =

{a

dz +

b

d, ako je z 6=∞,

∞, ako je z =∞,

a ako je c 6= 0 onda je

B(z) =

az + b

cz + d, ako z /∈

{∞,−d

c

},

∞, ako je z = −dc,

a

c, ako je z =∞.

Marek Svetlik 11.11.2020. 5 / 39

Primetimo da navedena de�nicija nije dovoljno precizna.

Preciznije, ako je c = 0 onda je

B(z) =

{a

dz +

b

d, ako je z 6=∞,

∞, ako je z =∞,

a ako je c 6= 0 onda je

B(z) =

az + b

cz + d, ako z /∈

{∞,−d

c

},

∞, ako je z = −dc,

a

c, ako je z =∞.

Marek Svetlik 11.11.2020. 5 / 39

Posebno je interesantno bilinearno preslikavanje J : C→ C dato sa

J(z) =1

z.

Tada je a = 0, b = 1, c = 1 i d = 0.

Neka su preslikavanja I : C→ C i S : C→ C data sa I(z) =1

zi

S(z) = z.

Preslikavanje I jeste inverzija u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, a

preslikavanje S jeste re�eksija u odnosu na realnu osu (dokazati to za

doma�ci zadatak).

Primetimo da je J = S ◦ I = I ◦ S.

Preslikavanje J naziva se kompleksna inverzija.

Marek Svetlik 11.11.2020. 6 / 39

Posebno je interesantno bilinearno preslikavanje J : C→ C dato sa

J(z) =1

z. Tada je a = 0, b = 1, c = 1 i d = 0.

Neka su preslikavanja I : C→ C i S : C→ C data sa I(z) =1

zi

S(z) = z.

Preslikavanje I jeste inverzija u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, a

preslikavanje S jeste re�eksija u odnosu na realnu osu (dokazati to za

doma�ci zadatak).

Primetimo da je J = S ◦ I = I ◦ S.

Preslikavanje J naziva se kompleksna inverzija.

Marek Svetlik 11.11.2020. 6 / 39

Posebno je interesantno bilinearno preslikavanje J : C→ C dato sa

J(z) =1

z. Tada je a = 0, b = 1, c = 1 i d = 0.

Neka su preslikavanja I : C→ C i S : C→ C data sa I(z) =1

zi

S(z) = z.

Preslikavanje I jeste inverzija u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, a

preslikavanje S jeste re�eksija u odnosu na realnu osu (dokazati to za

doma�ci zadatak).

Primetimo da je J = S ◦ I = I ◦ S.

Preslikavanje J naziva se kompleksna inverzija.

Marek Svetlik 11.11.2020. 6 / 39

Posebno je interesantno bilinearno preslikavanje J : C→ C dato sa

J(z) =1

z. Tada je a = 0, b = 1, c = 1 i d = 0.

Neka su preslikavanja I : C→ C i S : C→ C data sa I(z) =1

zi

S(z) = z.

Preslikavanje I jeste inverzija u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, a

preslikavanje S jeste re�eksija u odnosu na realnu osu (dokazati to za

doma�ci zadatak).

Primetimo da je J = S ◦ I = I ◦ S.

Preslikavanje J naziva se kompleksna inverzija.

Marek Svetlik 11.11.2020. 6 / 39

Posebno je interesantno bilinearno preslikavanje J : C→ C dato sa

J(z) =1

z. Tada je a = 0, b = 1, c = 1 i d = 0.

Neka su preslikavanja I : C→ C i S : C→ C data sa I(z) =1

zi

S(z) = z.

Preslikavanje I jeste inverzija u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, a

preslikavanje S jeste re�eksija u odnosu na realnu osu (dokazati to za

doma�ci zadatak).

Primetimo da je J = S ◦ I = I ◦ S.

Preslikavanje J naziva se kompleksna inverzija.

Marek Svetlik 11.11.2020. 6 / 39

Posebno je interesantno bilinearno preslikavanje J : C→ C dato sa

J(z) =1

z. Tada je a = 0, b = 1, c = 1 i d = 0.

Neka su preslikavanja I : C→ C i S : C→ C data sa I(z) =1

zi

S(z) = z.

Preslikavanje I jeste inverzija u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, a

preslikavanje S jeste re�eksija u odnosu na realnu osu (dokazati to za

doma�ci zadatak).

Primetimo da je J = S ◦ I = I ◦ S.

Preslikavanje J naziva se kompleksna inverzija.

Marek Svetlik 11.11.2020. 6 / 39

Neka je b ∈ C i T : C→ C de�nisano sa T (z) = z + b.

Preslikavanje T jeste translacija za vektor b.

Marek Svetlik 11.11.2020. 7 / 39

Neka je b ∈ C i T : C→ C de�nisano sa T (z) = z + b.

Preslikavanje T jeste translacija za vektor b.

Marek Svetlik 11.11.2020. 7 / 39

Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.

Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i

H(z) = |a|z.

Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.

Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom

|a|.

Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru?

Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je

R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).

Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39

Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.

Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i

H(z) = |a|z.

Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.

Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom

|a|.

Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru?

Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je

R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).

Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39

Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.

Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i

H(z) = |a|z.

Kako je a = |a|ei arg a,

sledi L = H ◦R = R ◦H.

Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom

|a|.

Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru?

Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je

R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).

Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39

Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.

Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i

H(z) = |a|z.

Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.

Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom

|a|.

Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru?

Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je

R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).

Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39

Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.

Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i

H(z) = |a|z.

Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.

Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom

|a|.

Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru?

Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je

R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).

Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39

Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.

Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i

H(z) = |a|z.

Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.

Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom

|a|.

Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru?

Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je

R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).

Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39

Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.

Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i

H(z) = |a|z.

Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.

Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom

|a|.

Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru?

Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}.

Tada je

R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).

Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39

Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.

Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i

H(z) = |a|z.

Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.

Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom

|a|.

Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru?

Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je

R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).

Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39

Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.

Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i

H(z) = |a|z.

Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.

Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom

|a|.

Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru?

Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je

R(z) = ei arg az =

ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).

Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39

Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.

Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i

H(z) = |a|z.

Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.

Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom

|a|.

Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru?

Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je

R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z =

|z|ei(arg z+arg a).

Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39

Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.

Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i

H(z) = |a|z.

Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.

Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom

|a|.

Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom

smeru?

Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je

R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).

Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39

Navedimo neka svojstva bilinearnih preslikavanja (dokazati ih za

doma�ci zadatak):

Svako bilinearno preslikavanje jeste bijekcija skupa C u sebe.

Skup svih bilinearnih preslikavanja �cini grupu u odnosu na

kompoziciju preslikavanja.

Svako bilinerno preslikavanje mo�ze se predstaviti kao kompozicija

translacije, inverzije u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, re�eksije u

odnosu na realnu osu, rotacije oko ta�cke 0, homotetije sa centrom 0i jo�s jedne translacije.

Marek Svetlik 11.11.2020. 9 / 39

Navedimo neka svojstva bilinearnih preslikavanja (dokazati ih za

doma�ci zadatak):

Svako bilinearno preslikavanje jeste bijekcija skupa C u sebe.

Skup svih bilinearnih preslikavanja �cini grupu u odnosu na

kompoziciju preslikavanja.

Svako bilinerno preslikavanje mo�ze se predstaviti kao kompozicija

translacije, inverzije u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, re�eksije u

odnosu na realnu osu, rotacije oko ta�cke 0, homotetije sa centrom 0i jo�s jedne translacije.

Marek Svetlik 11.11.2020. 9 / 39

Navedimo neka svojstva bilinearnih preslikavanja (dokazati ih za

doma�ci zadatak):

Svako bilinearno preslikavanje jeste bijekcija skupa C u sebe.

Skup svih bilinearnih preslikavanja �cini grupu u odnosu na

kompoziciju preslikavanja.

Svako bilinerno preslikavanje mo�ze se predstaviti kao kompozicija

translacije, inverzije u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, re�eksije u

odnosu na realnu osu, rotacije oko ta�cke 0, homotetije sa centrom 0i jo�s jedne translacije.

Marek Svetlik 11.11.2020. 9 / 39

Navedimo neka svojstva bilinearnih preslikavanja (dokazati ih za

doma�ci zadatak):

Svako bilinearno preslikavanje jeste bijekcija skupa C u sebe.

Skup svih bilinearnih preslikavanja �cini grupu u odnosu na

kompoziciju preslikavanja.

Svako bilinerno preslikavanje mo�ze se predstaviti kao kompozicija

translacije, inverzije u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, re�eksije u

odnosu na realnu osu, rotacije oko ta�cke 0, homotetije sa centrom 0i jo�s jedne translacije.

Marek Svetlik 11.11.2020. 9 / 39

Neka je

D = {z ∈ C : |z| < 1}

jedini�cni disk i

T = ∂D = {z ∈ C : |z| = 1}

jedini�cna kru�znica.

Marek Svetlik 11.11.2020. 10 / 39

Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu

T:

Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.

Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu

je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.

Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39

Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu

T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.

Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.

Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu

je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.

Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39

Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu

T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.

Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu

je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.

Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39

Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu

T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.

Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.

Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu

je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.

Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39

Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu

T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.

Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.

Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu

je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.

Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39

Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu

T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.

Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.

Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu

je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.

Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39

Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu

T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.

Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.

Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu

je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.

Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39

Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu

T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.

Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu

je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.

Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39

Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu

T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.

Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu

je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.

Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39

Uop�stena kru�znica u C jeste euklidska kru�znica ili unija prave i skupa

{∞}.

Bilinearno preslikavanje preslikava uop�stenu kru�znicu u C u uop�stenu

kru�znicu u C.

Marek Svetlik 11.11.2020. 12 / 39

Uop�stena kru�znica u C jeste euklidska kru�znica ili unija prave i skupa

{∞}.

Bilinearno preslikavanje preslikava uop�stenu kru�znicu u C u uop�stenu

kru�znicu u C.

Marek Svetlik 11.11.2020. 12 / 39

Zadatak 1

Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z

preslikati

a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.

Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

B(z) =1− z1 + z

=2− (1 + z)

1 + z=

2

1 + z− 1 = 2

(1

z + 1

)− 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39

Zadatak 1

Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z

preslikati

a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.

Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

B(z) =1− z1 + z

=2− (1 + z)

1 + z=

2

1 + z− 1 = 2

(1

z + 1

)− 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39

Zadatak 1

Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z

preslikati

a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.

Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

B(z) =1− z1 + z

=2− (1 + z)

1 + z=

2

1 + z− 1 = 2

(1

z + 1

)− 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39

Zadatak 1

Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z

preslikati

a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.

Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

B(z) =

1− z1 + z

=2− (1 + z)

1 + z=

2

1 + z− 1 = 2

(1

z + 1

)− 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39

Zadatak 1

Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z

preslikati

a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.

Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

B(z) =1− z1 + z

=

2− (1 + z)

1 + z=

2

1 + z− 1 = 2

(1

z + 1

)− 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39

Zadatak 1

Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z

preslikati

a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.

Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

B(z) =1− z1 + z

=2− (1 + z)

1 + z=

2

1 + z− 1 = 2

(1

z + 1

)− 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39

Zadatak 1

Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z

preslikati

a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.

Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

B(z) =1− z1 + z

=2− (1 + z)

1 + z=

2

1 + z− 1 =

2

(1

z + 1

)− 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39

Zadatak 1

Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z

preslikati

a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.

Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

B(z) =1− z1 + z

=2− (1 + z)

1 + z=

2

1 + z− 1 = 2

(1

z + 1

)− 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39

Deo a)

Marek Svetlik 11.11.2020. 14 / 39

Deo a)

Marek Svetlik 11.11.2020. 14 / 39

Deo a)

Marek Svetlik 11.11.2020. 14 / 39

Deo a)

Marek Svetlik 11.11.2020. 14 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 15 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 15 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 15 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 15 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 16 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 16 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 16 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 17 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 17 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 17 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 18 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 18 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 18 / 39

Deo b)

Marek Svetlik 11.11.2020. 19 / 39

Deo b)

Marek Svetlik 11.11.2020. 19 / 39

Deo b)

Marek Svetlik 11.11.2020. 19 / 39

Deo b)

Marek Svetlik 11.11.2020. 19 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 20 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 20 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 20 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 21 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 21 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 21 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 22 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 22 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 22 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 23 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 23 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 23 / 39

Teorema 1

Neka su z1, z2, z3 ∈ C uzajamno razli�cite ta�cke i neka su w1, w2, w3 ∈ Ctakode uzajamno razli�cite ta�cke. Tada postoji jedinstveno bilinearno

preslikavanje B takvo da va�zi B(zj) = wj, za svako j ∈ {1, 2, 3}.Takode, uz oznaku w = B(z), va�zi

(1)w − w1

w − w2:w3 − w1

w3 − w2=z − z1z − z2

:z3 − z1z3 − z2

.

Ako u formiranju nekog monoma u formuli (1) u�cestvuje ∞, onda taj

monom zamenjujemo sa 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 24 / 39

Teorema 1

Neka su z1, z2, z3 ∈ C uzajamno razli�cite ta�cke i neka su w1, w2, w3 ∈ Ctakode uzajamno razli�cite ta�cke. Tada postoji jedinstveno bilinearno

preslikavanje B takvo da va�zi B(zj) = wj, za svako j ∈ {1, 2, 3}.Takode, uz oznaku w = B(z), va�zi

(1)w − w1

w − w2:w3 − w1

w3 − w2=z − z1z − z2

:z3 − z1z3 − z2

.

Ako u formiranju nekog monoma u formuli (1) u�cestvuje ∞, onda taj

monom zamenjujemo sa 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 24 / 39

Zadatak 2

Odrediti bilinearno preslikavanje B takvo da va�zi B(i) = 0, B(−i) =∞i B(0) = −1. Zatim preslikavanjem B preslikati oblast

{z ∈ C : Im z > 0}.

Marek Svetlik 11.11.2020. 25 / 39

Neka je z1 = i,

z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.

Ako je w = B(z), onda iz

w − w1

w − w2:w3 − w1

w3 − w2=z − z1z − z2

:z3 − z1z3 − z2

.

slediw − 0

1:−1− 0

1=z − iz + i

:0− i0 + i

.

Otuda je w = B(z) =z − iz + i

.

Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39

Neka je z1 = i, z2 = −i,

z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.

Ako je w = B(z), onda iz

w − w1

w − w2:w3 − w1

w3 − w2=z − z1z − z2

:z3 − z1z3 − z2

.

slediw − 0

1:−1− 0

1=z − iz + i

:0− i0 + i

.

Otuda je w = B(z) =z − iz + i

.

Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39

Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0,

w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.

Ako je w = B(z), onda iz

w − w1

w − w2:w3 − w1

w3 − w2=z − z1z − z2

:z3 − z1z3 − z2

.

slediw − 0

1:−1− 0

1=z − iz + i

:0− i0 + i

.

Otuda je w = B(z) =z − iz + i

.

Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39

Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0,

w2 =∞ i w3 = −1.

Ako je w = B(z), onda iz

w − w1

w − w2:w3 − w1

w3 − w2=z − z1z − z2

:z3 − z1z3 − z2

.

slediw − 0

1:−1− 0

1=z − iz + i

:0− i0 + i

.

Otuda je w = B(z) =z − iz + i

.

Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39

Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞

i w3 = −1.

Ako je w = B(z), onda iz

w − w1

w − w2:w3 − w1

w3 − w2=z − z1z − z2

:z3 − z1z3 − z2

.

slediw − 0

1:−1− 0

1=z − iz + i

:0− i0 + i

.

Otuda je w = B(z) =z − iz + i

.

Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39

Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.

Ako je w = B(z), onda iz

w − w1

w − w2:w3 − w1

w3 − w2=z − z1z − z2

:z3 − z1z3 − z2

.

slediw − 0

1:−1− 0

1=z − iz + i

:0− i0 + i

.

Otuda je w = B(z) =z − iz + i

.

Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39

Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.

Ako je w = B(z), onda iz

w − w1

w − w2:w3 − w1

w3 − w2=z − z1z − z2

:z3 − z1z3 − z2

.

slediw − 0

1:−1− 0

1=z − iz + i

:0− i0 + i

.

Otuda je w = B(z) =z − iz + i

.

Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39

Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.

Ako je w = B(z), onda iz

w − w1

w − w2:w3 − w1

w3 − w2=z − z1z − z2

:z3 − z1z3 − z2

.

slediw − 0

1:−1− 0

1=z − iz + i

:0− i0 + i

.

Otuda je w = B(z) =z − iz + i

.

Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39

Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.

Ako je w = B(z), onda iz

w − w1

w − w2:w3 − w1

w3 − w2=z − z1z − z2

:z3 − z1z3 − z2

.

slediw − 0

1:−1− 0

1=z − iz + i

:0− i0 + i

.

Otuda je w = B(z) =z − iz + i

.

Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39

Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.

Ako je w = B(z), onda iz

w − w1

w − w2:w3 − w1

w3 − w2=z − z1z − z2

:z3 − z1z3 − z2

.

slediw − 0

1:−1− 0

1=z − iz + i

:0− i0 + i

.

Otuda je w = B(z) =z − iz + i

.

Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39

Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

w =z − iz + i

=z + i− 2i

z + i= 1− 2i

1

z + i

= 1 + 2ei3π2

1

z + i= 1 + 2ei

3π2

(1

z + i

)= 2ei

3π2

(1

z + i

)+ 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39

Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

w =z − iz + i

=

z + i− 2i

z + i= 1− 2i

1

z + i

= 1 + 2ei3π2

1

z + i= 1 + 2ei

3π2

(1

z + i

)= 2ei

3π2

(1

z + i

)+ 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39

Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

w =z − iz + i

=z + i− 2i

z + i=

1− 2i1

z + i

= 1 + 2ei3π2

1

z + i= 1 + 2ei

3π2

(1

z + i

)= 2ei

3π2

(1

z + i

)+ 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39

Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

w =z − iz + i

=z + i− 2i

z + i= 1− 2i

1

z + i

=

1 + 2ei3π2

1

z + i= 1 + 2ei

3π2

(1

z + i

)= 2ei

3π2

(1

z + i

)+ 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39

Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

w =z − iz + i

=z + i− 2i

z + i= 1− 2i

1

z + i

= 1 + 2ei3π2

1

z + i=

1 + 2ei3π2

(1

z + i

)= 2ei

3π2

(1

z + i

)+ 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39

Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

w =z − iz + i

=z + i− 2i

z + i= 1− 2i

1

z + i

= 1 + 2ei3π2

1

z + i= 1 + 2ei

3π2

(1

z + i

)=

2ei3π2

(1

z + i

)+ 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39

Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih

preslikavanja.

Va�zi:

w =z − iz + i

=z + i− 2i

z + i= 1− 2i

1

z + i

= 1 + 2ei3π2

1

z + i= 1 + 2ei

3π2

(1

z + i

)= 2ei

3π2

(1

z + i

)+ 1.

Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 28 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 28 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 29 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 29 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 30 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 30 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 31 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 31 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 32 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 32 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 33 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 33 / 39

Teorema 2

Neka je B : C→ C bilinearno preslikavanje i neka je k uop�stena

kru�znica u C. Tada, ako su ta�cke z1 i z2 uzajamno simetri�cne u odnosu

na k onda su i B(z1) i B(z2) uzajamno simetri�cne u odnosu na B(k).

Marek Svetlik 11.11.2020. 34 / 39

Zadatak 3

Odrediti bilinearno preslikavanje koje ta�cku −2 slika u ta�cku 0, ta�cku 0u ta�cku i i koje kru�znicu k1 = {z ∈ C : |z| = 2} slika u kru�znicu

k2 = {w ∈ C : |w + 1| = 1}.

Marek Svetlik 11.11.2020. 35 / 39

Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.

Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.

Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka

0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.

Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.

Znamo da je B(0) = i. Koliko je B(∞)?

Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39

Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.

Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.

Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka

0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.

Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.

Znamo da je B(0) = i. Koliko je B(∞)?

Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39

Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.

Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.

Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka

0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.

Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.

Znamo da je B(0) = i. Koliko je B(∞)?

Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39

Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.

Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.

Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka

0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.

Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.

Znamo da je B(0) = i. Koliko je B(∞)?

Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39

Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.

Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.

Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka

0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.

Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.

Znamo da je B(0) = i.

Koliko je B(∞)?

Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39

Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.

Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.

Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka

0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.

Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.

Znamo da je B(0) = i. Koliko je B(∞)?

Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39

Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.

Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.

Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka

0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.

Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.

Znamo da je B(0) = i. Koliko je B(∞)?

Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.

Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 37 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 37 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 37 / 39

Marek Svetlik 11.11.2020. 37 / 39

Dakle, na osnovu de�nicije inverzije ta�cka B(∞) pripada polupravoj �ciji

je po�cetak ta�cka −1 i koja sadr�zi i.

Osim toga, na osnovu de�nicije inverzije, va�zi

d(−1, i) · d(−1, B(∞)) = 12,

odnosno d(−1, B(∞)) =

√2

2.

Kona�cno, B(∞) = −1

2+

1

2i.

Marek Svetlik 11.11.2020. 38 / 39

Dakle, na osnovu de�nicije inverzije ta�cka B(∞) pripada polupravoj �ciji

je po�cetak ta�cka −1 i koja sadr�zi i.

Osim toga, na osnovu de�nicije inverzije, va�zi

d(−1, i) · d(−1, B(∞)) = 12,

odnosno d(−1, B(∞)) =

√2

2.

Kona�cno, B(∞) = −1

2+

1

2i.

Marek Svetlik 11.11.2020. 38 / 39

Dakle, na osnovu de�nicije inverzije ta�cka B(∞) pripada polupravoj �ciji

je po�cetak ta�cka −1 i koja sadr�zi i.

Osim toga, na osnovu de�nicije inverzije, va�zi

d(−1, i) · d(−1, B(∞)) = 12,

odnosno d(−1, B(∞)) =

√2

2.

Kona�cno, B(∞) = −1

2+

1

2i.

Marek Svetlik 11.11.2020. 38 / 39

Dakle, na osnovu de�nicije inverzije ta�cka B(∞) pripada polupravoj �ciji

je po�cetak ta�cka −1 i koja sadr�zi i.

Osim toga, na osnovu de�nicije inverzije, va�zi

d(−1, i) · d(−1, B(∞)) = 12,

odnosno d(−1, B(∞)) =

√2

2.

Kona�cno, B(∞) = −1

2+

1

2i.

Marek Svetlik 11.11.2020. 38 / 39

Sli�cno kao u prethodnom zadatku dobija se

w = B(z) =−iz − 2i

(i− 1)z − 2.

Da li smo ovim zavr�sili re�savanje zadatka?

Ne. Potrebno je da proverimo da va�zi B(−2) = 0, B(0) = i iB(k1) = k2 (uraditi to za doma�ci zadatak).

Marek Svetlik 11.11.2020. 39 / 39

Sli�cno kao u prethodnom zadatku dobija se

w = B(z) =−iz − 2i

(i− 1)z − 2.

Da li smo ovim zavr�sili re�savanje zadatka?

Ne. Potrebno je da proverimo da va�zi B(−2) = 0, B(0) = i iB(k1) = k2 (uraditi to za doma�ci zadatak).

Marek Svetlik 11.11.2020. 39 / 39

Sli�cno kao u prethodnom zadatku dobija se

w = B(z) =−iz − 2i

(i− 1)z − 2.

Da li smo ovim zavr�sili re�savanje zadatka?

Ne. Potrebno je da proverimo da va�zi B(−2) = 0, B(0) = i iB(k1) = k2 (uraditi to za doma�ci zadatak).

Marek Svetlik 11.11.2020. 39 / 39

Sli�cno kao u prethodnom zadatku dobija se

w = B(z) =−iz − 2i

(i− 1)z − 2.

Da li smo ovim zavr�sili re�savanje zadatka?

Ne. Potrebno je da proverimo da va�zi B(−2) = 0, B(0) = i iB(k1) = k2 (uraditi to za doma�ci zadatak).

Marek Svetlik 11.11.2020. 39 / 39