Colegio Antil MawidaDepartamento de MatemticaProfesora: Nathalie Seplveda MatemticaDOCUMENTO N 3Gua Taller PSURazones y ProporcionesN

Fecha

Tiempo 2 Horas

Nombre:Curso:Unidad N Cero

Ncleos temticos de la Gua Razones y Proporciones

Objetivos de la Gua Conocer, comprender y aplicar conceptos asociados a razones y proporciones.

Aprendizaje Esperado Conocen, comprenden y aplican conceptos asociados a razones y proporciones.

Instrucciones 1. Revisin de conceptos asociados razones y proporciones.2. Desarrollo de ejemplos en forma individual.3. Desarrollo individual de los ejercicios propuestos.4. Tiempo 50 minutos para resolucin.5. Entrega de alternativas. 6. Revisin de dudas o ejercicios ms complejos.CONCEPTOS ASOCIADOSRAZONES y PROPORCIONES

RAZN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe o a: b.Y se lee a es a b; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.

PROPORCIN es la igualdad de dos razones. Se escribe x: a = y : bY se lee x es a a como y es a b; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.TEOREMA FUNDAMENTALEn toda proporcin, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

(x : a = y : b) (x b = y a)OBSERVACIN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k 0PROPORCIONALIDAD DIRECTADos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante. OBSERVACIONES:En una proporcin directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo nmero de veces.El grfico de una proporcionalidad directa corresponde a una lnea recta que pasa por el origenPROPORCIONALIDAD INVERSADos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = ..........= xn yn = k k : constante

OBSERVACIONES:En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo nmero de veces.El grfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hiprbola equiltera

EJEMPLOS

A101520

B3x1,5

1) Dada la siguiente tabla:

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?: 1. I. A y B son directamente proporcionales. 1. II. El valor de x es 2. 1. III. La constante de proporcionalidad inversa es 30. A) Slo I B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III

2) 2 electricistas hacen un trabajo en 6 das, trabajando 8 horas diarias. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

1. I. 4 electricistas harn el trabajo en 3 das, trabajando 8 horas diarias. 1. II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales. 1. III. La constante de proporcionalidad es 3. A) Slo I B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III3) En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 rboles. Si hay 120 naranjos y la razn entre los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces cuntos duraznos hay en la quinta?A) 54B) 77C) 84D) 126E) 2104) y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =

5) Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la razn de sus longitudes sea 8: 6: 4. Cunto mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas?A) 180 mm 120 mm 90 mmB) 420 mm 180 mm 120 mmC) 320 mm 240 mm 160 mmD) 510 mm 120 mm 90 mmE) Ninguna de las medidas anterioresPORCENTAJESEl porcentaje es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los trminos de la proporcin es 100: P: Es el porcentajeC: Es la cantidad totalQ: Es la cantidad parcial Porcentaje expresado en fraccin: P% de C =

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOSi) Dos o ms tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar

a% de C b% de C = (a b)% de C

ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los tantos por cientosEl a% del b% de C =

INTERS SIMPLE

C: Cantidad n: perodoi: tasa de inters simpleOBSERVACIN: Un capital est sometido a un rgimen de inters simple cuando, al finalizar el periodo mnimo de depsito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable.INTERS COMPUESTO

: Cantidad FinalC: Cantidad Inicialn: Perodoi: Tasa de inters compuesto

OBSERVACIN: Un capital est sometido a un rgimen de inters compuesto cuando, al finalizar el periodo mnimo de depsito, los intereses no se retiran y se aaden al capital para producir nuevos intereses.EJEMPLOS:1)En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y stos son un tercio de los cajeros, cul es el total de trabajadores?

A) 108 B) 72 C) 180 D) 90 E) 542) Una persona deposita $1.000 y en tres aos gana $157,5. Calcular el inters simple anual. A) 5% B) 5,25% C) 5,5% D) 5,75% E) 15,75%EJERCICIOS1) Un par de zapatos ms dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o ms pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y por tres o ms pantalones del mismo precio un 15% en cada pantaln. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de zapatos. Cunto pag Juan por los dos pares de zapatos? A) $ 45.000 B) $ 50.000 C) $ 57.150 D) $ 72.000 E) $ 81.9002) Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, ms un 8% de las ventas por comisin. Cunto debe vender para ganar $ 317.000 en el mes?A) $ 254.625B) $ 532.000C) $ 1.275.000D) $ 1.812.500E) $ 3.962.5003) Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitaran 10 vasos para llenar el jarro. II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitaran 4 vasos para llenar el jarro. III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.A) Slo IIIB) Slo I y IIC) Slo I y IIID) Slo II y IIIE) I, II y III

4) Se sabe que a es directamente proporcional al nmero y cuando a toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es:

5) En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en l corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es A) 50 km B) 65 km C) 67,5 km D) 62,5 km E) ninguno de los valores anteriores.

6) Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre s. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N A) aumenta al doble. B) disminuye a la mitad. C) aumenta en dos unidades. D) disminuye en dos unidades. E) se mantiene constante.

zy

82

a4

116

B

7) En la tabla adjunta z es directamente proporcional a , segn los datos registrados, el valor de , es: A) 256 B) 16

C) D) 64

E)

8) Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razn entre los pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =A) 4: 7B) 4: 3C) 7: 4D) 3: 7E) 3: 49)Un depsito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su capacidad, entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregarA) 4 litros.B) 24 litros.C) 40 litros.D) 60 litros.E) ninguno de los valores anteriores.

10) En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%, 30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la segunda. Qu nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,1?A) 5,0B) 5,1C) 5,2D) 6,0E) 6,3

11) La ley combinada que rige el comportamiento ideal de un gas es = constante, donde P es la presin del gas, V su volumen y T su temperatura absoluta. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?1. A volumen constante la presin es directamente proporcional a la temperatura1. A temperatura constante la presin es inversamente proporcional al volumen1. A presin constante el volumen es inversamente proporcional a la temperatura

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III12) Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus volmenes estn en la razn 1: 2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, cuntos litros tiene la mezcla total?A) 6 litrosB) 10 litrosC) 12 litrosD) 14 litrosE) 16 litros13) En un curso de 40 estudiantes, la razn entre mujeres y hombres es m: h. Cul es la expresin que representa el nmero de mujeres?

14) El grfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La constante de proporcionalidad es 36 II) El valor de t1 es 9 III) El valor de m1 es 36A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas15) A un evento asistieron 56 personas. Si haba 4 mujeres por cada 3 hombres, cuntas mujeres asistieron al evento?A) 8B) 21C) 24D) 28E) 32

16) Si h hombres pueden fabricar 50 artculos en un da, cuntos hombres se necesitan para fabricar x artculos en un da?

E) Ninguno de los valores anteriores17) En un balneario, hay 2.500 residentes permanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, cuntas personas hay en febrero? A) 416 B) 4.000 C) 12.500 D) 15.000 E) 17.500 18) Si el ndice de crecimiento C de una poblacin es inversamente proporcional al ndice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos ndices se cumple:A) D = 0,5CB) D = C2

C) D = D) D = 0,125C

E) D = 19) Para hacer arreglos en un edificio se contratar un cierto nmero de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demoraran 6 das, trabajando 8 horas diarias, cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Si se contrataran 4 electricistas, se demoraran 3 das, trabajando 8 horas diarias II) El nmero de electricistas y el nmero de das son variables directamente proporcionales III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III20) Un trabajador hace un trabajo en 60 das, mientras que cinco trabajadores hacen el mismo trabajo en 12 das. Cul de los siguientes grficos representa mejor la relacin trabajadores - das

21) n y m son directamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es 3. Cul de las siguientes tablas representa dicha relacin?

22) Segn el grafico obreros versus el tiempo que demoran en construir una casa del tipo M se puede afirmar correctamente que:A) Dos trabajadores construyen una casa del tipo M en un aoB) Tres trabajadores construyen una casa del tipo M en cinco meses C) b trabajadores construyen ms casas del tipo M que c trabajadores en un aoD) (c b) trabajadores construyen una casa del tipo M en ocho mesesE) d trabajadores construyen dos casas del tipo M en un ao

23) Entre tres hermanos compran un nmero de rifa que cuesta $ 1.000. Juan aporta con $ 240, Luis con $ 360 y Rosa aporta el resto. El premio es de $ 60.000 Deciden, en caso de ganarlo repartirlo en forma directamente proporcional al aporte de cada uno, Qu cantidad de dinero le correspondera a Rosa?A) $ 30.000B) $ 18.000C) $ 24.000D) $ 20.000E) $ 40.00024) En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2 de cermica y 100 m2 de piso flotante para la sala de computacin. Si el metro cuadrado de cermica cuesta $P y el metro cuadrado de piso flotante es un 75% ms caro que la cermica, entonces el costo total es de:A) $ 145PB) $ 170PC) $ 175PD) $ 245PE) $ 195P

25) Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de inters compuesto n veces al ao, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t aos est dada por: .Al invertir $50.000 al 6% anual de inters compuesto trimestralmente, al trmino de 1 ao se tendr, en pesos, una cantidad de: