Polinomios de Taylor

Los polinomios de Taylor surgen de aproximar de forma precisa una funcin alrededor de un cierto punto. Empezando por el caso ms sencillo, dada una funcin f(x), la linealizacin ms bsica alrededor de un punto a cualquiera consiste en trazar la recta tangente a la funcin por dicho punto a, es decir, grficamente:

Dicha linealizacin, que llamaremos p1(x), tiene por tanto la forma:

Como sabemos, la curva tangente a una funcin en un punto es precisamente la derivada de la funcin en dicho punto, as que el valor de la constante A ser:

Forzando adems que para el punto a el polinomio tenga el valor f(a), tenemos:

As que tenemos definida la funcin p1(x):

En realidad, hemos forzado dos condiciones para hallar los valores de nuestro polinomio: la primera, que el valor de la funcin en el punto de linealizacin coincida con el valor del polinomio en dicho punto; la segunda, que el valor de la derivada de la funcin en el punto de linealizacin coincida con el valor de la derivada del polinomio en dicho punto.

Si quisiramos obtener un polinomio que aproximara de forma ms precisa nuestra funcin, solo tendramos que aumentar el grado del mismo, y para obtener las constantes forzar la igualdad de las sucesivas derivadas entre el polinomio y la funcin. Esto nos llevara al siguiente desarrollo:

De esta forma es como se obtiene la expresin del polinomio de Taylor de una funcin.