4_principio dei lavori virtuali

7/25/2019 4_principio Dei Lavori Virtuali

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 4Titolo: Principio dei Lavori Virtuali

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 4 Principio dei Lavori Virtuali

Nucleotematico

Lez. Contenuto

2 4 Principio dei Lavori Virtuali.

Nella meccanica delle strutture si studiano le configurazioni diequilibrio delle strutture soggette ad azioni esterne; in questo corso cisi riferisce particolarmente ai sistemi di travi. Non entrando nel meritodella distinzione tra quiete ed equilibrio, si ricordano nel seguito glistrumenti analitici per giudicare sullequilibrio di un sistema meccanico(e quindi anche di un sistema di travi), che sono le EquazioniCardinali della Staticaed il Principio dei Lavori Virtuali. Questi duestrumenti saranno utilizzati per i casi oggetto di studio a seconda dellaconvenienza in relazione ai singoli casi.

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

Prima di introdurre lenunciato del Principio dei Lavori Virtuali opportuno ricordare la definizione di spostamento virtuale.

Definizione

Si chiama spostamento virtuale di un punto P ogni

spostamento del punto P purch piccolo e compatibile con i vincoli cuiil punto soggetto.

Principio dei Lavori Virtuali

Condizione necessaria e sufficiente affinch un sistemasoggetto a soli vincoli lisci sia in equilibrio nella configurazione C

che il lavoro virtuale L(a) compiuto dalle forze attive applicate alsistema sia non positivo per ogni spostamento virtuale del sistema apartire dalla configurazione C. In simboli, la configurazione C di

equilibrio per un sistema se e solo se risulta:

0PFPF...PFPFLn

1iiinn1111

)a(=+++=

=

(4.1)

in cui n21 F...,,F,F sono le forze attive applicate ai punti n21 P...,,P,P

del sistema, n21 P...,,P,P sono gi spostamenti virtuali dei punti

n21 P...,,P,P , n il numero di punti del sistema ai quali sono applicateforze attive ed il simbolo x indica il prodotto scalare.

Osservazione1

Il Principio dei Lavori Virtuali coinvolge tutte le forze attiveapplicate al sistema e quindi sia le forze esterne attiveche le forzeinterne attive applicate. Sono invece escluse dalla valutazione del
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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lavoro (4.1) le reazioni vincolari, eserciate dai vincoli lisci. Volendo

esplicitare la presenza delle forze attive esterne ed interne la (4.1) sipu riscrivere come:

0LLL )a,i()a,e()a(

+= (4.2)

in cui)a,e(

L il lavoro virtuale compiuto dalle forze esterne attive ed)a,i(

L il lavoro compiuto dalle forze interne attive.

Osservazione 2

Mentre le Equazioni Cardinali della Statica sono valide come

condizione necessaria e sufficiente solo per sistemi rigidi ma soggettia qualunque tipo di vincolo, il Principio dei Lavori Virtuali valido siaper sistemi rigidi che per sistemi deformabili purch soggetto a solivincoli lisci. Nel caso particolare di un sistema rigido, essendoimmutabile la posizione relativa tra i punti del sistema, sono nulli glispostamenti relativi tra ogni coppia di punti ed facile riconoscere,ricordando anche il III Principio della Dinamica, che il lavoro virtualedelle forze interne nullo. Pertanto per sistemi rigidi soggetti a vincolilisci la condizione (4.2) diventa:

0LL)a,e()a(= (4.3)

essendo nullo il lavoro virtuale )a,i(L delle forze interne attive per ognispostamento virtuale.

Osservazione 3

Si consideri un sistema vincolato in modo da poter compieresolo spostamenti reversibili soggetto alle forze n21 F...,,F,F applicate

ai punti n21 P...,,P,P . Considerando quindi gli spostamenti virtuali

reversibili iP (i = 1, 2,,n) a partire da una configurazione C di

equilibrio del sistema deve valere

0PFLn

1iii

)a(=

=

(4.4)

Daltra parte gli spostamenti iP sono reversibili, pertanto anche glispostamenti opposti, iP sono spostamenti virtuali ed anche per

questi a partire dalla configurazione Cdi equilibrio deve valere

( ) 0PFPFLn

1iii

n

1iii

)a(==

==

(4.5)

si conclude che se il sistema pu compiere solo spostamentireversibili, dovendo essere soddisfatte contemporaneamente la (4.4)e la (4.5), deve risultare:


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0PFL

n

1iii)a( == = (4.6)

per ogni spostamento virtuale, essendo ogni spostamento virtualereversibile.Nel seguito, salvo quando esplicitamente dichiarato, siconsidereranno sistemi che possono compiere solo spostamentireversibili e si far riferimento allespressione (4.6) del Principio deiLavori Virtuali.

Osservazione 4

Il Principio dei Lavori Virtuali assicura lequilibrio di un sistema(e quindi di un sistema di travi) se non positivo il lavoro virtualecompiuto dalle forze attive per ognispostamento virtuale dei punti diapplicazione delle forze; per studiare lequilibrio utilizzando questoPrincipio non quindi sufficiente verificare che il lavoro non positivoper un particolare spostamento virtuale. Se, ad esempio si vuolestudiare lequilibrio del sistema rigido (trave) di figura 4.1 e siconsidera lo spostamento virtuale rappresentato in figura 4.1a,caratterizzato dagli spostamenti A e B dei punti di applicazionedelle forze, si ha:

0BFAFPFL BA

n

1i

ii)a(


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considerando gli spostamenti virtuali A e B di figura 4.1b dei punti

di applicazione delle forze, si ha:

0BFAFPFL 21n

1iii

)a( >+== =

(4.8)

che denuncia il fatto che il sistema non in equilibrio, come avrebbepotuto stabilirsi subito applicando le Equazioni Cardinali della Statica(la risultante delle forze applicate non nulla).Questo semplice esempio rende inoltre evidente che se si trova unospostamento virtuale per il quale il lavoro risulta positivo, si pu subitoconcludere che il sistema non in equilibrio, non potendo essere vera

la (4.1) per ogni spostamento virtuale.

Osservazione 5

Gli spostamenti n21 P...,,P,P non hanno, in generale,

nessuna relazione con il sistema di forze n21 F...,,F,F ad essiapplicate, nel senso che, in generale, non sono gli spostamenticausati da dette forze. Questi spostamenti devono solo essere piccolie compatibili con i vincoli esterni ed interni cui il sistema soggetto.Per il resto sono del tutto arbitrari.

Si ripropongono nel seguito alcuni esempi tra i quali quellidiscussi nella lezione 3 e si mostra la soluzione mediantelapplicazione del Principio dei Lavori Virtuali.

Esempio 4.1

Si consideri il sistema di figura 4.2 soggetto alla forza F nota

applicata nel punto A con inclinazione nota f rispetto allasse x. Sideterminino il modulo P, linclinazione p e lordinata yp del punto diapplicazione della forza P nel tratto BC in modo che il sistema sia inequilibrio.

Le incognite del problema sono quindi i tre scalari P, ped yp. Ilsistema rigido e vincolato a rimanere nel piano delle travi, pertantotutti gli spostamenti piccoli che non ne modificano la forma e lomantengono nel piano sono virtuali. Inoltre ognuno di questispostamenti reversibile, quindi si pu applicare il Principio dei LavoriVirtuali nella forma (4.6).

Con riferimento alla figura 4.2 si scompongono inizialmente leforze secondo le loro componenti rispetto al riferimento assunto:

( )ffyx sinF,cosFF,FF ==

)ppyx sinP,cosPP,PP == (e.1.1)


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Figura 4.2.

Considerando lo spostamento di figura 4.2a, consistente in unatraslazione x parallela allasse x, si ha:

( )0xcosPxcosFL pf

a=+= (e.1.2)

in quanto le componenti verticali (parallele ad y) delle forze F e P noncompiono lavoro per gli spostamenti considerati, avendo rette diazione ortogonali a questi.

Considerando lo spostamento di figura 4.2b, consistente in unatraslazione y parallela allasse y, si ha:

( )0ysinPysinFL pf

a=+= (e.1.3)

in quanto le componenti orizzontali (parallele ad x) delle forze F e P non compiono lavoro per gli spostamenti considerati, avendo rette diazione ortogonali a questi.

Considerando gli spostamenti di figura 4.2c dei punti delsistema, derivanti dalla rotazione antioraria dello stesso intorno alpunto A e detto D il punto di applicazione della forza P (la cui ordinata incognita) si ha:

( ) 0DsinPDcosPDPL ypxpa =+== (e.1.4)

in cui xD e yD sono le componenti nelle direzioni degli assi x ed ydello spostamento D del punto di applicazione di P per effetto della

AB

C

Fcosf x

y

Fsinf

Pcosp

Psinp yp

Lx

x

(a)

A B

Fcosf x

y

Fsinf

Pcosp

Psinp yp

L

y

(b)

y

AB

Fcosf x

y

Fsinf

Pcosp

Psinp yp

L

D

(c)

D

DxDy

D

f

pA

B

C

F

P

x

y

yp

L

FsinffF

Fcosf

pP

PcospPsin

p


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rotazione ed essendo nullo il lavoro compiuto da F in quanto il suo

punto di applicazione non si sposta. Per effetto di questa rotazione ipunti del sistema si spostano su traiettorie circolari di centro A. Inparticolare il punto di applicazione di D della forza P compie un arcodi circonferenza di lunghezza (figura 4.3)

Rd = (e.1.5)

essendo R il raggio della circonferenza sulla quale si sposta il punto D(segmento AD), mentre il modulo D del vettore spostamento delpunto D si valuta sulla corda congiungente la posizione iniziale D conla posizione finale D del punto D.

Figura 4.3

Essendo gli spostamenti virtuali, e quindi per definizione piccoli, lecito confondere la lunghezza dellarco con quella dellacorrispondente corda e quindi porre:

RD = (e.1.6)

inoltre lecito considerare che il punto D si sposti sulla tangente in Dalla circonferenza e quindi che langolo ADD sia retto. La similitudinetra il triangolo rettangolo ABD ed il triangolo relativo alla

scomposizione dello spostamento D nelle sue componenti xD eyD secondo gli assi del riferimento assunto fornisce:

R

D

y

D

p

x =

R

D

L

Dy =

(e.1.7)

e quindi, tenendo conto della (e.1.6)

px yD = LDy = (e.1.8)

Tenendo conto di queste la (e.1.4) diventa:( )

0LsinPycosPL pppa

=+= (e.1.9)

R

D

B

DDy

Dx

D

AL

yp

D


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Nelle configurazioni di equilibrio il lavoro virtuale deve essere nullo per

ogni spostamento vitale, pertanto le (e.1.2), (e.1.3) ed (e.1.9) devonoessere contemporaneamente soddisfatte; si ha quindi il sistema:

=+=+

==+

0LsinPycosP0ysinPysinF

00xcosPxcosF

ppp

pf

pf

(e.1.10)

e cio, essendo x, y e non nulli:

=+

=+==+

0LsinPycosP

0sinPsinF00cosPcosF

ppp

pf

pf

(e.1.11)

che lo stesso ottenuto nella lezione 3 con le Equazioni Cardinalidella Statica. Come gi discusso in detta lezione, la soluzione :

=+=

=

fp

fp

tanLy

PF (e.1.12)


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LEZIONE 4 Sessione di studio 1Esempi di applicazione del Principio dei Lavori Virtuali

Sono proposti nel seguito due ulteriori esempi di applicazione delPrincipio dei Lavori Virtuali per giudicare sullequilibrio di un sistema ditravi rigido.

Esempio 4.2

Si consideri il sistema di figura 4.4 soggetto nel punto A allaforza F nota e nei punti B e C alle forze incognite P e Q ; sia P

verticale (cio abbia retta di azione parallela allasse y). Si determininole forze Pe Q nelle condizioni di equilibrio. Sia F = 15 kN, = /3, L =10 m.

BL/2 L/2

L/5

L/5FP

Q

A

C

Q

Qx

Qy

x

y

O

z

F

Fx

Fy

Figura 4.4.

Scomponiamo dapprima le forze nelle loro componenti secondogi assi x e y, come mostrato in figura 4.5:

( )

==

2

3F,

2

FF,FF yx yx Q,QQ = ( )P,0P= (e.2.1)

x

y

Oz

B

L/2 L/2

L/5

L/5P

A

CQx

Qy

Fx

Fy

Q

QxQy

F

Fx

Fy

BP

A

C

Qx

Qy

FxFy

x

x

x

BP

A

C

Qx

Qy

FxFy

y

y

y

BP

A

C

Qx

Qy

FxFy

A

B

y

B

BxBy

A

Ax

Ay

(a)

(b) (c)

Figura 4.5.


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Le incognite de problema sono i tre scalari Qx, Qye P.Come per lesempio precedente, si pu applicare il Principio dei

Lavori Virtuali nella forma (4.6).

Considerando lo spostamento di figura 4.5a, consistente in unatraslazione x parallela allasse x, si ha:

( ) ( ) 0QFxxQxFL xxxxa

=== (e.2.2)

in quanto le componenti verticali (parallele ad y) delle forze F e P noncompiono lavoro per gli spostamenti considerati, avendo rette di

azione ortogonali a questi.Considerando lo spostamento di figura 4.5b, consistente in una

traslazione y parallela allasse y, si ha:

( ) ( ) 0QFPyyQyFyPL yyyya

=+=+= (e.2.3)

in quanto le componenti orizzontali (parallele ad x) delle forze F e Q non compiono lavoro per gli spostamenti considerati, avendo rette diazione ortogonali a questi.

Considerando gli spostamenti di figura 4.5c dei punti del

sistema, derivanti dalla rotazione antioraria dello stesso intorno alpunto C si ha:( ) 0APBFBFBFAPL yyyxxa =+=+= (e.2.4)

in cui xB e yB sono le componenti nelle direzioni degli assi x ed y

dello spostamento B del punto B e yA la componente in direzione

y dello spostamento A del punto A per effetto della rotazione edessendo nullo il lavoro compiuto da Q in quanto il suo punto diapplicazione non si sposta.

Con considerazioni geometriche analoghe a quelle dellesempioprecedente, basate sul fatto che gli spostamenti sono piccoli ed inparticolare la rotazione piccola, facile constatare che

5

L2Bx = 2

LBy = LAy = (e.2.5)

Pertanto la (e.2.4) diventa:

( ) 0LP2

LF

5

L2FL yx

a =

+= (e.2.6)

Nelle configurazioni di equilibrio il lavoro virtuale deve essere nullo perogni spostamento virtuale, pertanto le (e.2.2), (e.2.3) ed (e.2.6)devono essere contemporaneamente soddisfatte; si ha quindi ilsistema:


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( )( )

=

+

=+=

0LP2

LF

5

L2F

0QFPy

0QFx

yx

yy

xx

(e.2.7)

e cio, essendo x, y e non nulli:

=++

=+=

0L5

2F

2

LFLP

0QFP

0QF

xy

yy

xx

(e.2.8)

che lo stesso ottenuto nella lezione 3 con le Equazioni Cardinalidella Statica. Come gi discusso in detta lezione, la soluzione :

==

+=

==

=

==

kN50.9F63.05

1

4

3FP

kN50.3F23.05

1

4

3FQ

kN5.72

FQ

y

x

(e.2.9)

Esempio 4.3

Si consideri il sistema di figura 4.6 soggetto alla forza F nota

applicata nel punto A, alla forza P incognita applicata nel punto B ed

alla coppia di momento M incognito. Sia F = 10 kN, = /4, L = 5 m.

Si scomponga la forza P nelle sue componenti Pu e Pv nella

direzioni di F ed ortogonale ad F, rispettivamente, come mostrato infigura 4.6. Le incognite del problema sono le componenti Pue Pve ilmodulo M momento M . Come per gli esempi precedenti si puapplicare il Principio dei Lavori Virtuali nella forma (4.6).

Considerando lo spostamento di figura 4.6a, consistente in unatraslazione v in direzione ortogonale alla retta di azione di F si ha:

( )0vPL v

a== (e.4.1)

essendo nulli i lavori virtuali compiuti da F e dalla componente Puperquesto spostamento (forza e spostamento sono ortogonali).


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Figura 4.6.

inoltre nullo il lavoro della coppia di momento M . Essendo v nonnullo, la (e.4.1) fornisce immediatamente:

0Pv = (e.4.1)

Considerando lo spostamento di figura 4.6b (in figura 4.6b non stata riportata la componente Pv in quanto appena stato stabilitoche questa deve essere nulla) consistente in una traslazione u nelladirezione di F si ha:

( )0uPuFL u

a=+= (e.4.2)

essendo nullo il lavoro della coppia di momento M . Essendo u nonnullo, la (e.4.2) fornisce:

kN10FPu == (e.4.3)

Per quanto visto fino a questo punto si pu affermare che la forza P

ha la direzione di F ( nulla la sua componente ortogonale ad F ) ed

ha verso opposto ad F , come rappresentato in figura 4.6c.

Considerando infine gli spostamenti di figura 4.6d dei punti delsistema, derivanti dalla rotazione antioraria dello stesso intorno alpunto A si ha:

( ) 0MBFMBPMBPL uuua =+=+=+= (e.4.4)

in cui Bu componente dello spostamento B nella direzione u edM il lavoro che la coppia di momento M compie per la rotazione .Nella (e.4.4) evidentemente stato tenuto conto della (e.4.1) e della

L

L L/2

A

F

M

P

B

PPv

Pu

v u

x

M

Pu

F

Pv

v

v

(a)

M

Pu

F

u

u

(b)x

y

Oz

A

F

M

P = F

B

(c)

A

F

M

P = F

B(e)

22L

R

BBu

Bv

A

F

M

P = F

B

(d)

B


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(e.4.3). Con considerazioni geometriche del tutto analoghe a quelle

viste per lesempio 4.1, delineate in figura 4.6d-e si pu valutare:

4

2LBu = (e.4.5)

quindi

( ) 0M4

2LFL a =

+= (e.4.6)

Essendo non nullo, la (e.4.6) fornisce:

kNm78.16L42FLM == (e.4.7)

Esempio 4.4

Si consideri il sistema di figura 4.7a. Il sistema costituito dadue elementi rigidi, AC e CD, connessi da un vincolo interno in C taleda consentirne le rotazioni relative, cio in modo da consentire larotazione di uno dei due elementi quando laltro fisso. Il sistema soggetto nel punto B alla forza verticale (retta di azione parallela ad y)F nota e nei punti A e D alle forze incognite P e Q . Si determinino le

forze Pe Q sotto lazione delle quali il sistema in equilibrio nellaconfigurazione di figura 4.7a.

Si scompongono dapprima le forze nelle loro componentisecondo gi assi x e y, come mostrato in figura 4.7a:

( )F,0F,FF yx == yx P,PP= yx Q,QQ= (e.4.1)

Le incognite del problema sono le componenti Pxe Pydi P e Qx

e Qy di Q . Come per gli esempi precedenti, si pu applicare il

Principio dei Lavori Virtuali nella forma (4.6). Il vincolo interno in Cconsente la rotazione relativa tra gli elementi ABC e CD. Pertanto tra ipossibili spostamenti virtuali del sistema sono inclusi quelli per i qualisi ha una rotazione relativa tra questi due tratti.

Considerando gli spostamenti di figura 4.7b, consistenti nellarotazione delelemento CD attorno al punto C rimanendo fissolelemento AC, si ha:

( ) 0DQDQDQL yyxxa === (e.4.2)

essendo Dxe Dy le componenti dello spostamento D del punto D

per effetto della rotazione , ed essendo nullo il lavoro delle altre forzeapplicate, i cui punti di applicazione non si spostano.


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Figura 4.7.

Sulla base di semplici considerazioni geometriche basate sullapiccolezza della rotazione si pu verificare che:

2

LDD yx == (e.4.3)

Sostituendo la (e.4.3) nella (e.4.2) si ottiene:

yx QQ = (e.4.4)

Considerando lo spostamento di figura 4.7c, consistente in unatraslazione x parallela allasse x, si ha:

( ) 0xQxPL xxa =+= (e.4.5)

in quanto le componenti verticali (parallele ad y) delle forze P e Q non compiono lavoro per gli spostamenti considerati ed essendo nulla

la componente orizzontale (parallela ad x) di F . Dalla (e.4.5) si ricava

Qx

Qy Q

A

B C

D

F

P

Q

PPy

Px

L/2 L/2L/2

L/2

L/2

A

B

C

DF

Py

Px

QxQy

DD

Dx

Dy

A

B

C

DF

Py

Px

Qx

Qy

x

x

x

A

B

C

D

F

Py

Px

Qx

Qy

y

y

y

A

B

C

D

F

Py

Px

Qx

Qy

B

B

BxBy

DD

Dx

Dy

x

y

Oz

2F F

F

A

B C

D

F

F

2F

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)


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xx QP =

(e.4.6)Considerando lo spostamento di figura 4.7d, consistente in una

traslazione y parallela allasse y, si ha:( ) 0yQyFyPL yya =+= (e.4.7)

in quanto le componenti orizzontali (parallele ad x) delle forze P e Q non compiono lavoro per gli spostamenti considerati. Dalla (e.4.7) siricava

FQP yy =+ (e.4.8)

Considerando infine gli spostamenti di figura 4.7e, consistentinella rotazione di tutto il sistema attorno al punto A, si ha:

( ) 0DQDQBFDQBFL xxyyya =+=+= (e.4.9)

essendo Dxe Dyle componenti dello spostamento D del punto D eBy la componente parallela ad y dello spostamento B del punto Bper effetto della rotazione ed essendo nullo il lavoro della forza P inquanto il suo punto di applicazione non si sposta. Con considerazionigeometriche basate sulla piccolezza della rotazione si pu verificareche:

2L

By = LDx = 2

L3Dy = (e.4.10)

Sostituendo le (e.4.10) nella (e.4.9) si ottiene:

0QQ2

3

2

Fxy =+ (e.4.11)

Nelle configurazioni di equilibrio il lavoro virtuale deve essere nullo perogni spostamento virtuale, pertanto le (e.4.4), (e.4.6), (e.4.8) ed

(e.4.11) devono essere contemporaneamente soddisfatte; si ha quindiil sistema:

=+

=+==

0QQ2

3

2

F

FQP

QP

QQ

xy

yy

xx

yx

(e.4.12)

la cui soluzione nelle incognite Px, Py, Qxe Qy


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====

0P

FP

FQ

FQ

y

x

y

x

(e.4.13)

sicch le forze agenti sul sistema nelle condizioni di equilibrio sonoquelle rappresentate in figura 4.7f.

Osservazione 6

I sistemi considerati nei primi tre esempi sono gli stessiconsiderati e risolti nella lezione 3 mediante le Equazioni Cardinalidella Statica. Questi sono sistemi rigidi vincolati solo a rimanere in unpiano e pertanto hanno 3 gradi di libert, cio la loro configurazionenel piano identificata da tre numeri reali: una volta scelto un sistemadi riferimento nel piano, la posizione di questi sistemi rimaneunivocamente determinata ad esempio dalla conoscenza delle duecoordinate di un punto e dallinclinazione di una qualunque delle asterispetto ad un asse del riferimento. Nella soluzione dei problemiproposti in questi esempi sono sempre stati considerati solo tre tra gliinfiniti possibili spostamenti virtuali dei sistemi anche se il Principio deiLavori Virtuali afferma che lequilibrio garantito se il lavoro virtuale nullo

per ogni spostamento virtuale reversibile. Daltra parte facile

rendersi conto che ogni altro spostamento virtuale di questi sistemipotrebbe ottenersi come combinazione lineare dei tre spostamenticonsiderati e pertanto concludere che, essendo nullo il lavoro per i trespostamenti considerati, il lavoro nullo anche per qualunque altrospostamento virtuale dei sistemi.

Osservazione 7

I sistemi considerati nei primi tre esempi hanno tre gradi dilibert. quindi possibile assegnare a questi non pi di trespostamenti indipendenti. Daltra parte i problemi proposti in questi

esempi coinvolgevano sempre la determinazione di tre incognite. facile rendersi conto che la soluzione dei problemi resa possibiledalluguaglianza tra il numero dei possibili spostamenti virtualiindipendenti e quello delle incognite da determinare. In altre parole, sein uno dei primi tre problemi proposti fosse stata richiesta ladeterminazione di quattro incognite, il problema non avrebbe avutouna soluzione unica in quanto le quattro incognite non avrebberopotuto essere univocamente determinate con le tre equazioniindipendenti connesse ai tre spostamenti indipendenti assegnabili alsistema, a meno di non rimuovere lipotesi di sistema rigido edintrodurre unaltra equazione coinvolgente le deformazioni delle travi.Il sistema dellultimo esempio invece caratterizzato da quattro gradidi libert, infatti una sua configurazione rimane univocamentedeterminata ad esempio dalla conoscenza delle due coordinate di un


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punto delelemento AC, dallinclinazione di unasta dellelemento ABC

e dallangolo formato dalle due aste convergenti al punto C. Nellasoluzione del problema proposto in questo esempio stato quindipossibile determinare le quattro incognite in quanto il sistema caratterizzato dalla possibilit di assegnare quattro spostamentivirtuali indipendenti. Anche in questo caso, poi, ogni altrospostamento virtuale pu essere espresso come combinazione linearedei quattro indipendenti considerati e pertanto il lavoro risulterebbenullo anche per qualunque altro spostamento virtuale del sistema.

Osservazione 8

Il problema dellultimo esempio, caratterizzato dalla presenza diquattro incognite, non avrebbe potuto essere risolto mediante le treEquazioni Cardinali della Statica coinvolgenti solo le forze esterneapplicate. Daltra parte la presenza di una cerniera interna in C rendequesto sistema non rigido e, come discusso nella terza lezione, leEquazioni Cardinali della Statica costituiscono una condizionesufficiente per lequilibrio solo dei sistemi rigidi. Per la soluzione delproblema con le Equazioni Cardinali della Statica sarebbe statonecessario scomporre il sistema assegnato nei due sistemi rigidi chelo compongono, ABC e CD, ed imporre alle forze applicate ad ognunodi essi il soddisfacimento delle Equazioni Cardinali della Statica.


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LEZIONE 4 Sessione di studio 2

Per una pi completa comprensione delle questioni fin qui esposte, inquesta sessione di studio si suggerisce al lettore di rivedere alcuniconcetti esposti nel corso di Meccanica Razionale. In particolare:

- Lavoro di una forza (lezione 34 del corso del prof. Turzi).

- Spostamento virtuale (lezione 53 del corso del prof. Turzi).

- Spostamenti virtuali reversibili ed irreversibili (lezione 53 del corsodel prof. Turzi).

- Lavoro virtuale (lezione 53 del corso del prof. Turzi).


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LEZIONE 4 Sessione di studio 3

Principio dei Lavori Virtuali esercizi

Sono riproposti nel seguito gli esercizi della lezione precedente. Li sirisolva utilizzando il Principio dei Lavori Virtuali e si controlli lacoincidenza dei risultati con quelli trovati con le Equazioni Cardinalidella Statica.

Esercizio 4.1

Si stabilisca se il sistema rigido di figura 4.9 in equilibrio.

Figura 4.9.

Esercizio 4.2

Si stabilisca se possibile mantener in equilibrio il sistema difigura 4.10 applicando ad esso esclusivamente una coppia. In casoaffermativo se ne determini il momento.

Figura 4.10.

L

F = 10 kN

= /4L = 2 m

F

F

F2

F2

2L L

L

L L

L

F1

F2

F3

F4

1

2

F1= 155.3 kNF2= 219.6 kNF3= 219.6 kNF4= 80.4 kN

1= /4

2= /6L = 3 m


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2007 Uni e sit degli st di e Camp s Via Isimba di 10 22060 No ed ate (CO) C F 08549051004 Pagina 19/19



Esercizio 4.3

Si stabilisca se possibile mantenere in equilibrio il sistema difigura 4.11 applicando esclusivamente una forza in un punto dellastaAB. In caso affermativo si determini detta forza ed il suo punto diapplicazione.

Figura 4.11.

Esercizio 4.4

Si risolva il problema dellesercizio 4.3 ponendo F3= 400 kN.

L L

L/2

F1

F2

F3

F1= 100 kNF2= 200 kNF3= 200 kN

= /4

L = 5 mL/2

A

B

4_principio dei lavori virtuali

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