5. analiza cu modele discretizateautomation.ucv.ro/romana/cursuri/beab12/5 analiza cu...o relaţie...

95

5. ANALIZA CU MODELE DISCRETIZATE

Analiza regimurilor dinamice ale circuitelor electrice liniare sau neliniare se poate reduce la calculul unor scheme echivalente rezistive, obţinute din cele iniţiale prin substituirea condensatoarelor şi bobinelor cu modele asociate discretizării ecuaţiilor funcţionale.

Evoluţia unui circuit se urmăreşte în intervalul de timp ],[ 0 ftt , unde t0 este momentul iniţial, iar tf momentul final. Se poate alege 00 =t şi wht f = , cu w întreg şi pozitiv. Pasul de discretizare h se va considera constant şi suficient de mic pentru ca aproximarea Euler, regula trapezului şi aproximarea Gear să fie valabile (ANEXA 2).

5.1. Analiza discretă a circuitelor liniare Corespunzător intervalului ])1(,[ hnnh + , wn < , pentru oricare din

elementele ideale pasive dipolare normale de circuit se pot asocia modele compatibile cu ecuaţiile funcţionale discretizate.

5.1.1. Modele discretizate Euler În cazul rezistorului ideal (fig. 5.1.a), legea lui Ohm este verificată de

valorile tensiunii la borne şi intensităţii curentului corespunzătoare momentului ( )t n h= +1 , adică

11 ++ = n

RnR iRu , (5.1)

discretizării asociindu-i-se schema de calcul din fig. 5.1.b. Fig. 5.1

1+nRi R iR

uR

R

(a) (b)

1+nRu

METODE DE ANALIZĂ ÎN CIRCUITE ELECTRICE COMPLEXE

96

Pentru o bobină ideală cu inductivitatea constantă L, parcursă de curentul iL când tensiunea la borne este uL, aproximarea Euler conduce la ecuaţia discretizată

( )uLh

i iLn

Ln

Ln+ += −1 1 , (5.2)

căreia i se poate asocia modelul de calcul din fig. 5.2.a.

Ecuaţiei (5.2), scrisă sub forma

11 ++ += nL

nL

nL u

Lhii , (5.3)

îi corespunde modelul discretizat Euler din fig. 5.2.b.

Unui condensator ideal, având capacitatea constantă C, tensiunea la borne uC, parcurs de curentul cu intensitatea iC , îi va corespunde modelul discretizat din fig. 5.3.a, dacă ecuaţia funcţională discretizată este:

( )nC

nC

nC uu

hCi −= ++ 11 , (5.4)

respectiv modelul discretizat din fig. 5.3.b, dacă ecuaţia (5.4) este scrisă în forma

Fig. 5.2

1+nLi

hL

nLih

L

1+nLu

(a)

1+nLi

hL n

Li 1+nLu

(b)

Fig. 5.3

1+nCi

Ch

nCu

1+nCu

(b)

1+nCi

Ch n

CuhC

1+nCu

(a)

5. Analiza cu modele discretizate

97

u uhC

iCn

Cn

Cn+ += +1 1. (5.5)

În schemele din fig. 5.2 şi fig. 5.3, simbolul elementului pasiv corespunde

unei rezistenţe. Aproximarea Euler este directă şi simplă. Utilizarea ei conduce rapid la

rezultate a căror precizie este mulţumitoare în majoritatea aplicaţiilor. La extremităţile intervalului de timp în care se efectuează calculul, soluţia aproximativă coincide cu soluţia exactă.

Astfel, aplicarea procedeului de discretizare Euler în cazul conectării unui circuit serie RL la o treaptă de tensiune cu amplitudinea E, conduce la expresia curentului bobinei

nL

nL i

hRE

hhi

1

1

1

1

ττ

τ ++⋅

+=+ ,

în care τ1 = L R/ este constanta de timp. Se observă că h → 0 implică i iLn

Ln+ →1 .

Cu condiţia iniţială iL0 0= , se ajunge la expresia

iER hL

nn

= −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1 1

1

ττ

.

Dacă n → ∞ , din expresia anterioară rezultă că i ERL

n → , ceea ce arată

coincidenţa cu soluţia exactă. În cazul conectării unui circuit serie RC, cu condiţii iniţiale de zero, la o treaptă de tensiune cu amplitudinea E, se obţine

( )uh

h E uCn

Cn+ =

++1

22

1τ

τ ,

în care τ 2 = R C este constanta de timp a circuitului.

Se observă că dacă h → 0 , se obţine expresia

u EhC

nn

= −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1 2

2

ττ

,

pentru tensiunea la bornele condensatorului în momentul t n hn = .

Din expresia anterioară, rezultă

EunCn=

∞→lim ,


98

ceea ce coincide cu soluţia exactă. Faptul că pentru fiecare element acumulator de energie există cel puţin două

modele Euler, (a) şi (b), permite simplificarea convenabilă a schemelor de calcul. Modelele prezentate, asociate aproximării Euler, sunt considerate “clasice”.

Este posibilă găsirea unor alte scheme echivalente discretizate. Astfel, pentru bobina liniară descrisă prin ecuaţia (5.2) modelarea se poate efectua prin schema cu girator unitate din fig. 5.4, în care valorile numerice u iL

nLn+ +1 1, se atribuie unor

mărimi fizice duale. Se consideră circuitele liniare active din clasa RLC, pentru care se vor

adopta următoarele notaţii: R - matricea rezistenţelor laturilor; L - matricea inductivităţilor laturilor;

Γ - matricea inductanţelor reciproce )( 1−=Γ L ; C - matricea capacităţilor laturilor; S - matricea elastanţelor laturilor )( 1−= CS . Pentru circuitul analizat, în ansamblul său, dependenţele liniare (5.1) se

exprimă concentrat în forma

11 ++ = nR

nR iRu , (5.6)

unde Ru este vectorul tensiunilor laturilor rezistive, iar Ri vectorul curenţilor acestor laturi.

Vectorul variabilelor de stare )(tx al unui circuit electric se consideră format din numărul minim de variabile independente ataşate acestuia, ale căror valori într-un interval de timp oarecare pot fi univoc determinate pe baza ecuaţiilor diferenţiale ale circuitului, cunoscând valorile lor iniţiale şi vectorul mărimilor de intrare )(tu .

De cele mai multe ori, se aleg ca variabile de stare tensiunile la bornele condensatoarelor, grupate în vectorul Cu , precum şi curenţii bobinelor, grupaţi în vectorul Li . La momentul nht = , vectorul de stare, respectiv vectorul mărimilor complementare celor de stare, vor fi

Fig. 5.4

1+nLi

nLih

L 1+nLu

Lh 1+n

Lu


99

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= n

L

nCn

iux , respectiv ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= n

L

nCn

UIX . (5.7)

Exprimarea simplă a condiţiilor iniţiale, dată fiind continuitatea tensiunilor

la bornele condensatoarelor şi a curenţilor bobinelor, precum şi a energiei înmagazinate în elementele circuitului, sunt argumente ce pledează în favoarea alegerii variabilelor de stare în modul anterior menţionat, în cazul circuitelor cu elemente invariabile în timp. La acestea se adaugă o serie de avantaje topologice, importante în formularea sistematică a ecuaţiilor de stare, ecuaţii ce au ca soluţie variabilele de stare.

Ca mărimi de intrare se consideră t.e.m. ale SIT şi curenţii SIC. În consecinţă, la momentul nht = , pentru vectorul mărimilor de intrare se obţine

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

n

nn

0i

eu , (5.8)

notaţiile fiind evidente.

Odată calculat vectorul de stare, mărimile de ieşire, grupate în vectorul y , rezultă simplu sub forma

nnn uDxCy += , (5.9)

ce reprezintă discretizarea ecuaţiei intrare - stare - ieşire. Matricele C şi D au elemente constante, în cazul circuitelor liniare neparametrice.

Circuitul cu elemente în exces este acela care conţine secţiuni de bobine şi (sau) bucle de condensatoare.

Dacă există o secţiune Σ k la care sunt incidente doar bobine şi eventual surse ideale de curent, atunci curentul unei bobine iLk rezultă ca o combinaţie liniară a curenţilor celorlalte bobine incidente (şi eventual cu participarea curenţilor SIC). O astfel de bobină se va numi bobină în exces, iar curentul ei variabilă în exces.

Dacă circuitul conţine o buclă formată numai din condensatoare şi eventual surse ideale de tensiune, atunci tensiunea unui condensator va rezulta ca o combinaţie liniară a tensiunilor celorlalte condensatoare din buclă (şi eventual cu participarea tensiunilor SIT). Un astfel de condensator se va numi condensator în exces, iar tensiunea la bornele lui va fi o variabilă în exces (în raport cu variabilele de stare).

Pentru mărimile asociate elementelor în exces, se vor adopta următoarele notaţii:

CU - vectorul tensiunilor la bornele condensatoarelor în exces; Ci - vectorul curenţilor condensatoarelor în exces; LI - vectorul curenţilor bobinelor în exces;


100

Lu - vectorul tensiunilor la bornele bobinelor în exces. Condensatoarele şi bobinele pentru care tensiunea la borne, respectiv

curentul, sunt alese ca variabile de stare se numesc elemente esenţiale ale circuitului.

Corespunzător bobinelor în exces, ecuaţia (5.2) conduce la exprimarea matriceală

( )nL

nL

nL h

IILu −= ++ 11 1 , (5.10)

care grupează valorile tensiunilor şi curenţilor acestor laturi la momentul curent de calcul.

Pentru bobinele esenţiale, plecându-se de la ecuaţia (5.3), se ajunge la forma matriceală:

nL

nL

nL h iΓUi += ++ 11 . (5.11)

În cazul condensatoarelor în exces, plecându-se de la ecuaţia (5.4), se obţine

( )nC

nC

nC h

UUCi −= ++ 11 1 . (5.12)

Ecuaţiile (5.5), scrise pentru condensatoarele esenţiale ale circuitului, conduc la exprimarea matriceală

nC

nC

nC h uISu += ++ 11 , (5.13)

în care intervin tensiunile la borne şi curenţii acestor elemente, prin valorile numerice aferente etapei de calcul curente.

5.1.2. Calculul discret în spaţiul stărilor Folosind modele discretizate, se poate calcula secvenţial vectorul de stare, cu

o relaţie matriceală simplă, în paralel rezultând mărimile de ieşire cu relaţia (5.9). În cazul unui circuit fără elemente în exces, pentru bobine se va adopta

modelul discretizat din fig. 5.5.a, iar pentru condensatoare cel din fig. 5.5.b. Cu notaţiile (5.7), exprimările matriceale (5.13) şi (5.11) se pot grupa în

ecuaţia discretizată:

11 ++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+= nnn h XΓ0

0Sxx . (5.14)

În schema iniţială a circuitului, se înlocuiesc toate elementele cu memorie

prin modelele discretizate precizate în fig. 5.5. Se ajunge astfel la o schemă activă


101

rezistivă, în care mărimile complementare celor de stare se obţin ca mărimi de ieşire:

11 ++ += nnn uFxEX , (5.15)

matricele cu elemente constante E şi F conţinând transmitanţe.

Substituind expresia (5.15) în ecuaţia (5.14), se obţine

11 ++ += nnn uNxMx , (5.16)

în care

EΓ00S1M ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+= h , (5.17)

1 fiind matricea unitate, iar

FΓ00SN ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= h . (5.18)

Ecuaţia discretizată (5.16) permite calculul secvenţial al vectorului de stare,

de la valoarea sa iniţială ( )00 xx = până la valoarea sa finală )(whw xx = . Cunoaşterea mărimilor de stare în toate momentele rezultate prin discretizarea cu pasul h, permite calculul secvenţial al mărimilor de ieşire, cu relaţia (5.9).

Plecându-se de la ecuaţia (5.16), se poate ajunge inductiv la formula

∑=

−+=n

k

kknnn

1

0 uNMxMx , (5.19)

ce permite calculul imediat al vectorului de stare, pentru orice moment nhtn = , atunci când se cunosc valorile iniţiale ale mărimilor de stare şi elementele vectorului mărimilor de intrare. Indicii superiori asociaţi matricei M semnifică puteri ale acesteia.

Fig. 5.5

1+nCI hS

nCu

1+nLU

(a)

1+nLi

Lh1

nLi

(b)

1+nCu


102

Ecuaţia de stare a unui circuit liniar, fără elemente în exces, este o ecuaţie matriceal-vectorială având ca soluţie vectorul de stare:

uBxAx +=& , (5.20)

în care x& este vectorul ce conţine derivatele mărimilor de stare în raport cu timpul, iar A şi B sunt matrice cu elemente constante.

Se poate arăta (ANEXA 3) că soluţia ecuaţiei de stare este

τττ dtttt

)()()0()()(0

BuΦxΦx ∫ −+= , (5.21)

în care

tet AΦ =)( (5.22)

este matricea de tranziţie. Ţinând seama de (5.16) şi (5.19), rezultă relaţiile

MΦ =)(h şi nnh MΦ =)( , (5.23)

care permit calculul valorilor discrete ale matricei de tranziţie, prin multiplicarea succesivă a matricei M cu ea însăşi.

În multe din aplicaţiile concrete, se poate calcula relativ simplu o soluţie particulară )(tpx a ecuaţiei de stare, caz în care soluţia generală a acestei ecuaţii se poate pune sub forma

[ ] )()0()0()()( ttt pp xxxΦx +−= . (5.24)

Pentru ht = , soluţia (5.24) capătă forma:

0101 )()( pp hh xΦxxΦx −+= , (5.25)

iar din (5.16) rezultă

011pp xMxNu −= , (5.26)

apoi, prin inducţie, se ajunge la

np

np

n xMxuN −= ++ 11 . (5.27)

Substituind expresia (5.27) în ecuaţia (5.16), se obţine 11 )( ++ +−= n

pnp

nn xxxMx . (5.28)


103

Se observă că relaţia de calcul discret (5.28) facilitează considerabil determinarea vectorului de stare la un moment dorit, fiind necesară doar stabilirea prealabilă a matricei M. Conform expresiei (5.17), aceasta implică numai determinarea matricei E, ce poate rezulta prin calcule simple în circuitul auxiliar obţinut prin pasivizarea simultană a surselor de tensiune şi a celor de curent independente.

Calculul vectorului de stare la un moment dat nhtn = se poate face cu relaţia

( ) npp

nn xxxMx +−= 00 , (5.29)

uşor deductibilă din (5.28). Pentru exemplificarea calculului discret în spaţiul stărilor bazat pe modele discretizate Euler se consideră regimul tranzitoriu care urmează închiderii întreruptorului în circuitul din fig. 5.6, unde se cunosc: ;10321 Ω=== RRR

μF;100mH;10 == CL A;1V;10 == JE Se vor determina curbele de variaţie ale tensiunii la bornele condensatorului

)(tuC , respectiv curentului bobinei )(tiL , pentru un interval de timp ms]5,0[∈t . Vectorul variabilelor de stare, vectorul variabilelor complementare şi vectorul mărimilor de intrare sunt, conform (5.7) şi (5.8), următorii:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

L

C

iu

x , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

L

C

UI

X , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

JE

u .

Modelul discretizat Euler este prezentat în fig. 5.7.

E

R1

iL

L R3

R2

uC

t=0

J

C

Fig. 5.6

hL

1+nLU n

Cu

1+nCu

1+nCI

E

R1 R3

R2

Ch

J

nLi

1+nLi

Fig. 5.7


104

Modul de calcul al elementelor matricelor E şi F rezultă din forma particulară a relaţiei (5.15)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

JE

ffff

iu

eeee

UI

nL

nC

nL

nC

2221

1211

2221

12111

1,

de unde:

;;

;;

0;0;0

1

220;0;0

1

21

0;0;0

1

120;0;0

1

11

===

+

===

+

===

+

===

+

==

==

JEunL

nL

JEinC

nL

JEunL

nC

JEinC

nC

nC

nL

nC

nL

iUe

uUe

iIe

uIe

.;

;;

0;0;0

1

220;0;0

1

21

0;0;0

1

120;0;0

1

11

===

+

===

+

===

+

===

+

==

==

Eiu

nL

Jiu

nL

Eiu

nC

Jiu

nC

nL

nC

nL

nC

nL

nC

nL

nC

JUf

EUf

JIf

EIf

Pe baza schemei din fig. 5.7 se calculează elementele matricelor E şi F în condiţiile alegerii unui pas de timp ms1,0=h . În urma calculelor efectuate, s-au obţinut cele două matrice:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=7519,00752,08270,00827,0

,7740,97519,07519,01729,0

FE .

Pentru matricele M şi N, date de relaţiile (5.17) şi respectiv (5.18), au rezultat:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⋅⋅⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

−−

9023,00075,07519,08271,0

101010

0101001

101,01001

3

63 EM ;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⋅⋅⋅=

−

−−

0075,00008,08270,00827,0

101010

0101001

101,03

63 FN .

Valorile vectorului de stare la momentele hktk ⋅= (factorul k incrementându-se până la epuizarea timpului de observaţie) s-au calculat cu relaţia


105

Fig. 5.8

UC [

Vol

t]

5

6

7

1 2 3

Timp [milisecunde]

4 0 5 I L

[A

] 1 2 3

Timp [milisecunde]

4 0 5 0,5

0,6

0,7

6,5

5,5

7,5

h=0,1 ms h’=0,5 ms Sol. exactă

h=0,1 ms h’=0,5 ms Sol. exactă

(5.19) pornind de la valoarea iniţială

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

A5,0V5

0

00

L

C

iux .

Rezultatele sunt prezentate în fig. 5.8 sub formă de reprezentări grafice cu linie continuă, alături de soluţiile exacte, reprezentate cu linie întreruptă. Toate calculele au fost repetate pentru un pas de timp ms5,05/ == hh , rezultatele fiind prezentate în aceeaşi figură cu linie-punct. Este evidentă influenţa pasului de timp asupra erorilor introduse prin calculul discret.

În cazul unui circuit cu elemente în exces, tensiunile la bornele condensatoarelor neesenţiale şi curenţii bobinelor în exces se pot exprima în funcţie de variabilele de stare şi de mărimile de intrare, corespunzător momentului

nhtn = , prin dependenţa liniară

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

n

/

/

nL

nC

nL

nC

02

1

2

1

ie

K00K

iu

K00K

IU , (5.30)

în care matricele K1 şi K1

/ conţin factori de transfer în tensiune, iar matricele K2 şi K2

/ conţin factori de transfer în curent. Folosirea modelelor discretizate în analiza unui circuit cu elemente în exces

implică următoarele substituiri în schema iniţială a circuitului: - bobinele esenţiale se înlocuiesc cu modelul din fig. 5.5.a; - condensatoarele esenţiale se substituie prin modelul din fig. 5.5.b; - pentru bobinele în exces se adoptă modelul discretizat din fig. 5.9.a;

- pentru condensatoarele în exces se adoptă substituţia prin modelul discretizat din fig. 5.9.b.


106

Din schema formală obţinută în urma substituţiilor anterior menţionate, se calculează mărimile complementare celor de stare:

nnL

nCnn uF

IUExEX +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+

11 , (5.31)

matricele E , 1E şi F conţinând transmitanţele. Ajungerea la forma (5.31) este relativ simplă, deoarece schema de calcul este activ rezistivă. Plecându-se de la ecuaţia (5.14), ţinând seama de relaţiile (5.30) şi (5.31), se ajunge la recurenţa ce pemite determinarea vectorului de stare:

nnnn uNuNxMx 111 ++= ++ , (5.32)

unde se adoptă notaţiile:

( )KEEΓ00S1M 1+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+= h , (5.33)

FΓ00SN ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= h , (5.34)

/11 KEΓ0

0SN ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= h , (5.35)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

2

1K00KK şi ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= /

2

/1/

K00KK . (5.36)

Dacă px este o soluţie particulară a ecuaţiei de stare (5.20), utilizarea relaţiilor (5.25) şi (5.32) conduce la egalitatea

np

np

nn xMxuNuN −=+ ++ 11

1 , (5.37)

cu ajutorul căreia recurenţa (5.32) se aduce la forma (5.28), comună deci pentru

1+nLu

nLLI

h1

1+nLI

Lh1

(a)

hS

1+nCU

nCCU

h1

1+nCi

(b)

Fig. 5.9


107

circuitele cu sau fără elemente în exces. Ţinând seama de (5.33), rezultă că pentru calculul secvenţial al vectorului de

stare este necesară doar determinarea matricelor E şi E1, operaţie ce se poate efectua folosind schema formală de calcul în care se pasivizează sursele ideale independente.

Metoda prezentată operează cu un set minim de variabile, ceea ce conduce la dimensiuni reduse ale matricelor apelate. În raport cu tehnicile de analiză şi calcul bazate pe ecuaţia de stare în formă canonică şi pe soluţia acesteia (5.21), apar avantaje substanţiale întrucât nu se impun inversări de matrice, calculul exponenţialei de matrice sau al integralei dintr-o funcţie de matrice.

Modelarea elementelor cu memorie esenţiale şi a celor în exces este extrem de simplă, iar în urma introducerii modelelor discretizate în timp problema se reduce la analiza unui circuit activ rezistiv.

Pasul de discretizare se poate regla astfel încât să se ajungă la soluţie în mod optim, ca precizie şi ca timp de calcul.

Plecându-se de la tehnica de calcul expusă, se pot elabora procedee iterative de calcul al circuitelor electrice neliniare.

5.1.3. Modelarea cu regula trapezului Pasul de discretizare h se va considera constant şi suficient de mic pentru ca

regula trapezului (ANEXA 2) să fie valabilă. În cazul circuitelor liniare, relaţia matriceală ce grupează tensiunile la

bornele rezistoarelor şi curenţii acestora, pe durata unui pas de integrare, va fi (5.6).

În cazul condensatoarelor, discretizarea cu regula trapezului conduce la relaţia matriceală

( )11

2++ ++= n

CnC

nC

nC

h IISuu (5.38)

asociată condensatoarelor esenţiale, sau la relaţia

( )nC

nC

nC

nC h

UUCii −+−= ++ 11 2 (5.39)

asociată condensatoarelor în exces (dacă circuitul conţine bucle de condensatoare). Prin urmare, modelul discretizat asociat unui condensator esenţial va fi cel

din fig. 5.10.a, iar acela asociat unui condensator în exces va fi cel reprezentat în fig. 5.10.b.

Folosind pentru discretizare regula trapezului, se obţine relaţia matriceală

( )11

2++ ++= n

LnL

nL

nL

h UUΓii , (5.40)


108

în cazul bobinelor esenţiale, sau relaţia

( )nL

nL

nL

nL h

IILuu −+−= ++ 11 2 (5.41) asociată bobinelor în exces (dacă circuitul conţine secţiuni de bobine).

Modelul discretizat asociat unei bobine esenţiale va fi cel reprezentat în fig. 5.11.a, iar cel asociat unei bobine în exces este reprezentat în fig. 5.11.b.

Se precizează că, în fig. 5.10 şi în fig. 5.11, simbolul elementului pasiv este

asociat rezistenţei electrice. Analiza comportării unui circuit liniar în regim dinamic, pe baza modelelor

discretizate prezentate anterior, presupune parcurgerea etapelor enumerate mai jos: a) Se substituie elementele cu memorie prin surse ideale echivalente,

obţinându-se un circuit activ rezistiv auxiliar. b) Se calculează vectorul mărimilor complementare celor de stare, la

momentul iniţial 0=t , cunoscând condiţiile iniţiale şi mărimile de intrare, prin rezolvarea circuitului rezistiv auxiliar:

000 uNxMX += , (5.42)

1+nCU

nC

nC CU

hi 2+

Fig. 5.10

1+nCI

Sh2

nC

nC SIhu

2+

1+nCu

(a)

1+nCi

Sh2

(b)

nL

nL ΓUhi

2+

Fig. 5.11

1+nLI

Lh2

nL

nL LI

hu 2

+

1+nLu

(b)

1+nLU

1+nLi

Lh2

(a)


109

M şi N fiind matrice care conţin transmitanţe. c) Se formează schema discretizată a circuitului analizat, corespunzător

momentului hntn )1(1 +=+ , substituind elementele cu memorie prin modelele adecvate din fig. 5.10 şi fig. 5.11.

d) Se rezolvă schema formală obţinută anterior, calculând componentele vectorului X ca mărimi de ieşire. Astfel, pentru un circuit fără elemente în exces se obţine

nnnn XHuFxEX ++= ++ 11 , (5.43)

matricele E, F şi H având ca elemente transmitanţe constante în timp. Iniţializarea aplicării relaţiei (5.43) se face cu relaţia (5.42).

e) Se calculează valorile discrete ale vectorului de stare cu relaţia:

( )11

2++ +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+= nnnn h XXΓ0

0Sxx , (5.44)

obţinută ţinând seama de (5.38) şi (5.40), notaţiile (5.7) rămânând valabile. Pentru iniţiere se foloseşte relaţia (5.42).

f) Se calculează mărimile de ieşire cu relaţia (5.9). Iniţializarea algoritmului de calcul presupune analiza unui circuit rezistiv

auxiliar, asociat condiţiilor iniţiale. Acest inconvenient este compensat de simplitatea relaţiilor de calcul esenţiale şi de precizia metodei de aproximare.

5.1.4. Modelarea prin metoda Gear Corespunzător elementelor rezistive, rămâne valabilă relaţia matriceală (5.6). În cadrul tehnicilor de calcul secvenţial prin metoda Gear (ANEXA 2),

pentru condensatoarele esenţiale se descrie dependenţa tensiune - curent, la momentul hntn )1(1 +=+ , cu relaţia

( )111 431

32 −++ −+= n

CnC

nC

nC

h uuISu . (5.45)

Unui condensator esenţial i se poate deci asocia modelul discretizat din fig. 5.12.a.

Pentru condensatoarele în exces, dependenţa matriceală

111

212

23 −++ +−= n

CnC

nC

nC hhh

UCUCUCi (5.46)

grupează relaţiile de calcul specifice metodei Gear. Unui condensator în exces i se poate deci asocia modelul discretizat din fig. 5.12.b.


110

Folosirea metodei Gear conduce la relaţia

( )111 431

32 −++ −+= n

LnL

nL

nL

h iiUΓi . (5.47)

ce grupează mărimile asociate bobinelor esenţiale. Dacă circuitul conţine bobine în exces, relaţia de calcul corespunzătoare se deduce din (5.47), cu notaţiile adecvate. Rezultă:

111

212

23 −++ +−= n

LnL

nL

nL hhh

ILILILu . (5.48)

Relaţia (5.47), scrisă pentru o bobină esenţială, conduce la modelul

discretizat din fig. 5.13.a. În cazul unei bobine în exces, relaţia (5.48) permite asocierea modelului discretizat din fig. 5.13.b.

Simbolul asociat elementului pasiv, în fig. 5.12 şi fig. 5.13, este formal

asociat unei rezistenţe. Substituirea elementelor cu memorie ale schemei iniţiale, prin modelele

discretizate asociate, conduce la o schemă formală de calcul rezistivă. Cu notaţiile (5.7), relaţiile (5.45) şi (5.47) conduc, pentru circuitele fără elemente în exces, la relaţia de calcul matriceală

Fig. 5.12

1+nCI

Ch

32

1

31

34 −− n

CnC uu

1+nCu

(a)

1+nCU

1

22 −− n

CnC U

hCU

hC

1+nCi

Ch

32

(b)

Fig. 5.13

1+nLu

1

31

34 −− n

LnL ii

1+nLI

hL

23

1

22 −− n

LnL I

hLI

hL

(b)

1+nLU

1+nLi

hL

23

(a)


111

111

31

34

32 −++ −+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= nnnn h xxXΓ0

0Sx . (5.49)

În schema de calcul, mărimile complementare celor de stare, grupate în

vectorul X, se calculează ca mărimi de ieşire ale surselor formale. Iniţializarea calculului, bazat pe modelele discretizate asociate metodei Gear,

presupune folosirea unor algoritmi mai simpli (de exemplu, acela bazat pe aproximarea Euler şi modelele discretizate asociate acesteia).

Se va exemplifica aplicarea metodei Gear în cazul deconectării unei bobine de la o sursă de tensiune continuă, bobina fiind prevăzută cu un grup RC pentru limitarea supratensiunii de autoinducţie (fig. 5.14). Parametrii elementelor circuitului sunt: V10;100;μF10;20;H1 1 =Ω==Ω== ERCRL .

Se vor determina tensiunea la bornele condensatorului )(tuC , respectiv curentul bobinei )(tiL , pentru un interval de timp ms]100,0[∈t , cu pasul ms1=h . Aceste mărimi sunt, evident, componentele vectorului de stare. În cazul de faţă vectorul mărimilor de intrare este nul.

Modelul discretizat Gear este prezentat în fig. 5.15.a.

Fig. 5.14

E

iL

L R1

R uC

t=0

C

Fig. 5.15

1

31

34 −− n

CnC uu

1+nLi

1

31

34 −− n

LnL ii

hL

23

1+nLU

1+nCu

1+nCI

R1

Ch

32

R

(a)

1Li

0Lih

L 1

LU

1Cu

1CI

R1

0Cu

Ch

R

(b)


112

Pentru iniţializarea calculului se determină valoarea 1x a vectorului de stare, la momentul ht = , prin metoda Euler (fig. 5.15.b), pornind de la valoarea sa iniţială

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

A5,0V10

0

00

L

C

iux .

Rezultă

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

A418,0V8,31

1

11

L

C

iux .

Corespondenţa între vectorul variabilelor complementare 1+nX şi vectorii de stare la două momente anterioare, nx şi 1−nx , este asigurată prin matricea transmitanţă E:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

−

−

+

+

1

1

1,

1,

1

1

31

34

nL

nC

nL

nC

nnLf

nnCf

nL

nC

iu

iu

iu

UI EE

sau

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= −+ 11

31

34 nnn xxEX ,

unde cu 1, −nnCfu , respectiv 1, −nn

Lfi , s-au notat mărimile de excitaţie formale care apar în fig. 5.15.a. Elementele matricei E sunt:

,,0

1,

1

12

01,

1

111,1, =

−

+

=−

+

−−

==nn

Cfnn

Lf unn

Lf

nC

inn

Cf

nC

iIe

uIe

,,0

1,

1

22

01,

1

211,1, =

−

+

=−

+

−−

==nn

Cfnn

Lf unn

Lf

nL

inn

Cf

nL

iUe

uUe

ele determinându-se pe baza schemei din fig. 5.15.a. Calculele efectuate au condus la rezultatul:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−⋅−

=−

3,166889,0889,010928,5 4

E .

Particularizând relaţia (5.49), se obţine formula de recurenţă ce permite

calculul vectorului de stare la orice moment de timp:


113

Fig. 5.16

UC [

Vol

t]

-110

-30

50

20 40 60

Timp [milisecunde]

800 100

10

-70 h=1 ms Sol. exactă

I L [

A]

20 40 60

Timp [milisecunde]

80 0 100

0,1

-0,3

0,5

0,3

-0,1

h=1 ms Sol. exactă

1111

31

34

31

34

10

01

32 −−−+ +=−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

= nnnnnnn

L

Ch NxMxxxxxEx ,

unde

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ENEM

L

Ch

L

Ch10

01

32

1001

31;10

01

32

1001

34 .

Pentru valorile concrete ale parametrilor, rezultă:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

−= −− 2964,0102

755,193202,0;

1855,1108022,792806,1

44 NM .

Evoluţia în timp a componentelor vectorului de stare se prezintă în fig. 5.16. Cu linie continuă s-au trasat curbele obţinute prin metoda Gear, iar cu linie întreruptă soluţia exactă, obţinută prin calcul analitic.

Modelele discretizate asociate metodei Gear sunt formal la fel de simple ca cele implicate de metodele anterior descrise, dar precizia aproximării este superioară acestora.

Analiza regimurilor tranzitorii, pe parcursul unui interval de timp prestabilit, se ameliorează ca precizie dacă pasul de discretizare se modifică pe parcurs, alegându-se valori mai mici pentru prima parte a intervalului şi valori crescute ale lui h pentru intervalul de timp în care soluţia este practic amortizată.

Tehnica modelului discretizat este remarcabilă prin simplitatea şi robusteţea algoritmilor asociaţi, o calitate importantă fiind aceea că se poate extinde utilizarea ei la circuitele neliniare.


114

5.2. Analiza discretă a circuitelor neliniare În cazul general al circuitelor neliniare, stabilirea valorilor variabilelor de

stare la momentul hntn )1(1 +=+ se face prin metode iterative. Poziţia în şirul de iteraţii (efectuate, de exemplu, prin metoda Newton-Raphson), convergent către soluţia exactă, va fi precizată printr-un al doilea indice superior. Astfel, tensiunea la bornele unui condensator, la momentul 1+nt , în iteraţia m, va fi notată mn

Cu ,1+ , iar curentul unei bobine, în aceleaşi condiţii, se va nota cu mn

Li,1+ . Valorile cu care se

iniţializează procesul iterativ sunt:

nC

nC uu =+ 0,1 , n

LnL ii =+ 0,1 (5.50)

Utilizând parametrii dinamici neliniari, se pot obţine modele discrete

iterative pentru elementele cu memorie din circuitul analizat, problema reducându-se la calculul unui circuit rezistiv.

5.2.1. Parametrii dinamici iterativi Se consideră momentul hntn )1(1 +=+ şi pasul m al procedeului iterativ. Pentru un rezistor neliniar controlat în curent, se defineşte rezistenţa

dinamică iterativă:

Rui

n m

i in m

+

=

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

1

1

,

,

∂∂

(5.51)

Un rezistor neliniar controlat în tensiune va fi descris prin conductanţa

dinamică iterativă:

Giu

n m

u u n m

+

=

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

1

1

,

,

∂∂

(5.52)

Pentru un condensator cu caracteristica neliniară ( )q q u= $ , se defineşte

capacitatea dinamică iterativă:

Cqu

n m

u u n m

+

=

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

1

1

,

,

∂∂

, (5.53)

iar pentru un condensator neliniar cu caracteristica ( )u u q= $ se defineşte elastanţa dinamică iterativă:


115

Suq

n m

q q n m

+

=

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

1

1

,

,

∂∂

. (5.54)

O bobină neliniară controlată în curent, cu caracteristica ( )ϕ ϕ= $ i , va fi descrisă prin inductivitatea dinamică iterativă:

Li

n m

i in m

+

=

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

1

1

,

,

∂ϕ∂

. (5.55)

Pentru o bobină neliniară controlată în flux, cu caracteristica ( )i i= $ ϕ , se defineşte inductivitatea reciprocă dinamică iterativă:

mn

iΓ mn

,1

,1

+=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ϕϕϕ∂∂ . (5.56)

Parametrii dinamici iterativi definiţi anterior sunt utili în derularea etapei )1( +m a procesului iterativ. 5.2.2. Modele discretizate iterative Se consideră pasul de discretizare h constant şi suficient de mic pentru ca

aproximarea Euler să fie valabilă cu precizie mulţumitoare. În cazul unui rezistor neliniar controlat în curent (fig. 5.17.a), având

caracteristica ( )u u i= $ , la momentul 1+nt şi pentru etapa 1+m a procesului iterativ, se obţine relaţia:

( )mnmnmnmnmn iiRuu ,11,1,1,11,1 +++++++ −+= , (5.57)

căreia îi corespunde modelul discretizat iterativ din fig. 5.17.b.

Pentru un rezistor neliniar controlat în tensiune (fig. 5.18.a), cu caracteristica

( )i i u= $ , relaţia curentă de calcul va fi:

Fig. 5.17

(a)

)(ˆ iuu =

i

u

1,1 ++ mnu

1,1 ++ mni mnR ,1+

mnmnmn iRu ,1,1,1 +++ −

(b)


116

( )mnmnmnmnmn uuGii ,11,1,1,11,1 +++++++ −+= , (5.58)

Acestei relaţii îi corespunde modelul discretizat iterativ din fig. 5.18.b.

În cazul unui condensator neliniar, sarcina electrică la momentul hn )1( + , pentru etapa )1( +m a iteraţiei, este legată de valorile tensiunii la borne prin relaţia:

( )q q C u un m n m n m n m n m+ + + + + + += + −1 1 1 1 1 1 1, , , , , . (5.59)

Condensatorului neliniar controlat în sarcină (fig. 5.19.a), cu caracteristica ( )u u q= $ , îi va corespunde relaţia de calcul curent:

( )u u h S i in m n m n m n m n m+ + + + + + += + −1 1 1 1 1 1 1, , , , , , (5.60)

căreia i se poate asocia modelul discretizat iterativ din fig. 5.19.b.

Pentru un condensator neliniar controlat în tensiune (fig. 5.20.a), având

caracteristica ( )uqq ˆ= , relaţia iterativă de calcul este

( )mnmnmnmnmn uuCh

ii ,11,1,1,11,1 1 +++++++ −+= . (5.61)

Fig. 5.18

(a)

)(ˆ uii =

i

u

(b)

mnmnmn uGi ,1,1,1 +++ −

1,1 ++ mnu

1,1 ++ mni mnG ,1+

Fig. 5.19

1,1 ++ mnu

1,1 ++ mni mnhS ,1+

mnmnmn ihSu ,1,1,1 +++ −

(b) (a)

)(ˆ quu =

i

u


117

Acestei relaţii i se poate asocia modelul discretizat iterativ din fig. 5.20.b.

Fluxul magnetic şi curentul unei bobine neliniare au valorile dependente, la

momentul hntn )1(1 +=+ şi la pasul )1( +m al iteraţiei, conform relaţiei

( )ϕ ϕn m n m n m n m n mL i i+ + + + + + += + −1 1 1 1 1 1 1, , , , , . (5.62)

În cazul unei bobine (fig. 5.21.a) cu caracteristica neliniară ( )ϕ ϕ= $ i , relaţiei de calcul secvenţial

( )u uh

L i in m n m n m n m n m+ + + + + + += + −1 1 1 1 1 1 11, , , , , , (5.63)

i se poate asocia modelul discretizat iterativ din fig. 5.21.b.

Dacă bobina neliniară este controlată în flux (fig. 5.22.a), având

caracteristica ( )i i= $ ϕ , atunci se va utiliza pentru momentul curent de calcul relaţia

( )i i h u un m n m n m n m n m+ + + + + + += + −1 1 1 1 1 1 1, , , , ,Γ , (5.64)

căreia i se poate asocia modelul discretizat iterativ din fig. 5.22.b.

mnCh

,11 +

Fig. 5.20

(b)

mnmnmn uCh

i ,1,1,1 1 +++ −

1,1 ++ mnu

1,1 ++ mni

(a)

)(ˆ uqq =

i

u

mnmnmn iLh

u ,1,1,1 1 +++ − mnLh

,11 +

Fig. 5.21

1,1 ++ mnu

1,1 ++ mni

(b) (a)

)(ˆ iϕϕ =

i

u


118

De remarcat că rezistoarele neliniare cu caracteristica ( )u u i= $ , condensatoarele cu caracteristica neliniară ( )u u q= $ şi bobinele cu caracteristica neliniară ( )ϕ ϕ= $ i admit o modelare de tipul Thévenin, rezistenţa laturii active fiind

R R R h SRn m n m

Cn m n m+ + + += =1 1 1 1, , , ,, , respectiv R

hLL

n m n m+ +=1 11, , , (5.65)

iar t.e.m. a sursei de tensiune

e u R iRn m n m

Rn m n m+ + + += −1 1 1 1, , , , , (5.66)

e u R iCn m n m

Cn m n m+ + + += −1 1 1 1, , , , , (5.67)

respectiv

e u R iLn m n m

Ln m n m+ + + += −1 1 1 1, , , , . (5.68)

Rezistoarele neliniare cu caracteristica ( )i i u= $ , condensatoarele cu caracteristica neliniară ( )q q u= $ şi bobinele cu caracteristica neliniară ( )i i= $ ϕ admit o modelare de tipul Norton (fig. 5.18.b, 5.20.b şi 5.22.b), conductanţa laturii fiind

G G Gh

CRn m n m

Cn m n m+ + + += =1 1 1 11, , , ,, , respectiv G hL

n m n m+ +=1 1, ,Γ , (5.69)

intensitatea curentului sursei fiind

j i G uRn m n m

Rn m n m+ + + += −1 1 1 1, , , , , (5.70)

j i G uCn m n m

Cn m n m+ + + += −1 1 1 1, , , , , (5.71)

respectiv j i G uL

n m n mLn m n m+ + + += −1 1 1 1, , , , . (5.72)

mnhΓ ,1+

Fig. 5.22

(b)

mnmnmn uhΓi ,1,1,1 +++ −

1,1 ++ mnu

1,1 ++ mni

(a)

)(ˆ ϕii =

i

u


119

Simplificări suplimentare ale schemei formale de calcul, construită cu ajutorul modelelor discretizate iterative, se pot obţine în baza teoremei echivalenţei.

Pentru exemplificare, se consideră circuitul din fig. 5.23.a, în care dioda

neliniară are caracteristica

( )1−= us eIi λ ,

λ şi sI fiind constante real pozitive. Conform relaţiei de definiţie (5.52), rezultă conductanţa dinamică iterativă a diodei:

mnus

mn eIG,1,1 +

=+ λλ ,

în care

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

++ 1ln1 ,1

,1

s

mnmn

Iiu

λ.

Folosind modele discretizate, se obţine schema de calcul din fig. 5.23.b, în

care jRn m+1, este calculabil cu relaţia (5.70) considerând G GR

n m n m+ +=1 1, , . La momentul de calcul curent, ( )t n hn+ = +1 1 , iniţializarea procesului

iterativ se face considerând

i in n+ =1 0, ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+ 1ln10,1

s

nn

Iiu

λ,

Fig. 5.23

(a)

i

u

R

1 2

e(t)

(b)

mnRj

,1+

Ren 1+

mnG ,1+

ni

1,1 ++ mnu

1,1 ++ mni R

G 1=

hL

L


120

0,10,1 +

=+ nus

n eIG λλ ,

j i G uRn n n n+ + += −1 0 1 0 1 0, , , .

Din schema de calcul (fig. 5.23.b), rezultă:

iG e j L

hG i

R G Lh

G

n m

n m nRn m n m n

n m n m

+ +

+ + + +

+ +=

+ +

+ +

1 1

1 1 1 1

1 1 1

,

, , ,

, , ,

relaţie ce permite calculul curentului diodei, cu precizia dorită, printr-un procedeu iterativ convergent.

5.2.3. Modele iterative cu giratoare Întrucât orice model iterativ reflectă o relaţie discretizată de calcul, se pot

construi scheme formale ce permit calculul simultan al tuturor mărimilor ce descriu funcţionarea elementelor cu memorie neliniare:

- u, i şi q pentru condensatoare, - u, i şi φ pentru bobine. În primă aproximaţie, intensitatea curentului unui condensator este legată de

sarcina electrică a acestuia prin relaţia

( )ih

q qn n n+ += −1 11, (5.73)

pentru cazul neliniar şi metoda iterativă obţinându-se

( )ih

q qn m n m n+ + + += −1 1 1 11, , . (5.74)

Pentru un condensator neliniar, cu caracteristica ( )uqq ˆ= , dependenţa sarcină - tensiune, în etapa )1( +m a iteraţiei, va fi

( )( )q q u u Gn m n m n m n mCn m+ + + + + + + −

= + −1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , (5.75)

unde

( )GquC

n m

u u n m

+ −

=

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

1 1

1

,

,

∂∂

. (5.76)

Din relaţia (5.75), cu notaţia (5.76), rezultă


121

( )u u G q qn m n mCn m n m n m+ + + + + + += + −1 1 1 1 1 1 1, , , , , . (5.77)

Relaţiilor discretizate iterative (5.74) şi (5.77) li se poate asocia modelul cu

giratoare din fig. 5.24. Fluxul magnetic al unei bobine şi tensiunea la bornele acesteia satisfac, în

primă aproximaţie, relaţia discretizată

( )uh

n n n+ += −1 11ϕ ϕ , (5.78)

pentru cazul bobinei neliniare abordat iterativ obţinându-se

( )uh

n m n m n+ + + += −1 1 1 11, ,ϕ ϕ . (5.79)

Considerând o bobină cu caracteristica neliniară ( )ϕ ϕ= $ i , se poate exprima fluxul magnetic la momentul ( )n h+1 , în etapa )1( +m a procesului iterativ, prin relaţia

( )( )ϕ ϕn m n m n m n mLn mi i G+ + + + + + + −

= + −1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , (5.80)

în care

( )GiL

n m

i i n m

+ −

=

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

1 1

1

,

,

∂ϕ∂

. (5.81)

Relaţia (5.80), cu notaţia (5.81), conduce la expresia

( )i i Gn m n mLn m n m n m+ + + + + + += + −1 1 1 1 1 1 1, , , , ,ϕ ϕ . (5.82)

Relaţiilor (5.79) şi (5.82) li se poate asocia schema discretizată iterativă din

fig. 5.25, care conţine două elemente de giraţie.

Fig. 5.24

1,1 ++ mnu

1,1 ++ mni

hqn

h

q mn 1,1 ++

mnmnmn qGu ,1,1,1 +++ −

mnG ,1+ 1,1 ++ mnu

1,1 ++ mnq


122

Pentru elementele cu memorie liniare, modelele iterative cu giratoare sunt

mai simple, implicând numai mărimi asociate metodelor de calcul topologice (curenţi, tensiuni, potenţiale). De exemplu, circuitului cu bobină liniară din fig. 5.23.a i se poate asocia schema de calcul cu girator din fig. 5.26, în care G n m+1, şi jR

n m+1, au expresiile precizate în exemplul anterior.

Întrucât tensiunea la bornele diodei este

u v vn m n m n m+ + + + + += −1 11

1 12

1 1, , , ,

calculul valorilor potenţialelor v1 şi v2 , la momentul ( )n h+1 , pentru etapa )1( +m a iteraţiei, permite calculul curentului din circuit:

( )11,11,1 −=++++ mnu

smn eIi λ .

Examinarea schemei din fig. 5.26 conduce imediat la relaţiile:

v e R in m n n m1

1 1 1 1 1+ + + + += −, , ,

Fig. 5.25

mnmnL

mn Gi ,1,1,1 +++ − ϕ

1,1 ++ mni

h

nϕ h

mn 1,1 ++ϕ 1,1 ++ mnu

1,1 ++ mni

mnLG ,1+

1,1 ++ mni

1,1 ++ mnϕ

1,1 ++ mnu

1,12

++ mnv

Fig. 5.26

mnRj

,1+

Ren 1+

mnG ,1+

1,1 ++ mni

1,11

++ mnv

RG 1=

1,12

++ mnv

nihL

hLG =

1,1 ++ mni


123

( )mnR

mnmn

mnmn jiG

vv ,11,1,1

1,11

1,12

1 ++++

++++ −−= ,

i i hL

vn m n n m+ + + += +1 12

1 1, , ,

din care rezultă expresia de calcul iterativ pentru intensitatea curentului din circuit:

iG L

hi e j

G Lh

R

n m

n m n nRn m

n m

+ +

+ + +

+=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

1 1

1 1 1

1 1

,

, ,

,.

Algoritmul de calcul conţine un ciclu interior, corespunzător iteraţiilor la

momentul curent ( )n h+1 , ieşirea din buclă fiind condiţionată de îndeplinirea condiţiei:

ε<− +++ mnmn vv ,11

1,11 ,

unde ε exprimă precizia impusă.

Finalizarea procesului iterativ este urmată de avansul temporal, cu pasul h , dacă este îndeplinită condiţia de convergenţă

i i kn m n+ + − <1 1, ,

unde k este valoarea impusă în etapa de iniţializare. Calculul se opreşte atunci când se constată că

( )n h t f+ ≥1 ,

unde t f este momentul final, adică marginea superioară a intervalului temporal pentru care s-a studiat comportarea circuitului.

5.2.4. Tratarea prin segregare a circuitelor neliniare de mare complexitate

În general, un circuit electric conţine atât elemente liniare cât şi elemente neliniare, conectate într-o structură topologică precizată. Schema electrică a unui circuit de mare complexitate poate fi privită ca o interconexiune de multipoli, liniari şi neliniari. Prin procedee diakoptice, se pot separa părţile liniară şi neliniară ale circuitului (operaţia de segregare), modelarea şi calculul acestora efectuându-se distinct, prin metode specifice. Faptul că doar o partiţie a circuitului, de multe ori restrânsă topologic,


124

L1 N1 L2 N2a

b

c d

fe

(a)

L1

L2

N1

N2

e

S

f

d

c

b

a

(2) (1)

(b)

S

(c)

11+nv(1)

11+ny 1,1

2++ mny

1,12

++ mnv (2)

Fig. 5.27

necesită o tratare iterativă conduce la scăderea semnificativă a efortului de modelare şi calcul. Ideea prezentată deschide calea unor algoritmi eficienţi, cu avantaje privind memoria utilizată şi viteza de calcul. Se consideră, pentru exemplificare, schema bloc a unui circuit de mare complexitate (fig. 5.27.a), care conţine doi multipoli liniari (L1, L2) şi doi multipoli neliniari (N1, N2) interconectaţi. Iniţierea procedurii de segregare presupune gruparea multipolilor astfel încât părţile liniară (1) şi neliniară (2) ale circuitului să poată fi separate prin secţionarea cu o suprafaţă S (fig. 5.27.b). A doua etapă a procedurii presupune tratarea diakoptică a secţiunii efectuate anterior, menţinerea condiţiilor anterioare secţionării (curenţi, potenţiale etc.) realizându-se prin introducerea unor surse fictive. Mărimile de intrare ale acestor surse sunt grupate în vectorii 1v , respectiv 2v , iar cele de ieşire în vectorii 1y , respectiv 2y , fig. 5.27.c fiind o reprezentare convenţională.

În continuare, procedura tratării prin segregare presupune modelarea discretizată în timp, în mod diferenţiat pentru partea liniară (1), respectiv pentru partea neliniară (2). Alegând un pas de discretizare h, ecuaţiile părţii liniare (1) se rezolvă, pentru momentul hn )1( + , o singură dată. Pentru partea neliniară (2) se derulează un proces iterativ, etapa iteraţiei fiind indicată printr-un al doilea indice superior ( 1+m , de exemplu, în fig. 5.27.c). Analiza multipolului liniar (1) se reduce, în urma discretizării Euler, la


125

studiul unui circuit liniar de c.c., cu rezistenţe de tipul R , hL şi Ch , unde h este pasul de discretizare presupus constant. Sursele de tensiune ale multipolului (1) discretizat au t.e.m. de tipul e , n

Cu sau hiL nL , iar sursele de curent prezintă

mărimi de ieşire de tipul j , nLi , huC n

C , indicele superior n marcând momentul nht = de referinţă pentru următoarea etapă de integrare numerică.

Alegând tensiunile la bornele condensatoarelor esenţiale şi curenţii bobinelor esenţiale ca variabile de stare, rezultă vectorul de stare la momentul precizat anterior:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= n

L

nCn

1

11 i

ux . (5.83)

Vectorul mărimilor de intrare, asociat surselor independente, pentru momentul hnt )1( += , va fi de forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= +

++

11

111

1 n

nn

jeu , (5.84)

partiţiile sale conţinând t.e.m. ale surselor de tensiune respectiv curenţii surselor de curent. Analiza multipolului liniar rezistiv (1) permite exprimarea vectorului mărimilor de ieşire asociate surselor fictive, în forma

111

11111

11

+++ ++= nnnn vKuDxCy , (5.85) corespunzătoare momentului hn )1( + , unde 11, DC şi 1K sunt matrice conţinând transmitanţe constante. Tratarea numerică a multipolului neliniar (2) presupune ajungerea la valorile căutate printr-un procedeu iterativ, la fiecare pas de integrare. Analiza regimului dinamic se reduce la analiza unui circuit rezistiv neliniar de c.c., ca urmare a simulării elementelor pasive prin modele asociate algoritmului numeric preselectat. Parametrii iterativi dinamici asociaţi elementelor pasive neliniare de circuit, la momentul hn )1( + şi etapa m a iteraţiei, se definesc aşa cum s-a arătat în §5.2.1. Conform celor prezentate în §5.2.2., pentru oricare dintre elementele pasive neliniare, corespunzător pasului )1( +m al procesului iterativ, se pot adopta două modele iterative echivalente: a) modelul rezistiv serie, cu sursă de tensiune comandată în curent, rezistenţa fiind egală cu: mnR ,1+ , în cazul rezistorului neliniar, mnhS ,1+ , în cazul condensatorului neliniar,

mnLh

,11 + , în cazul bobinei neliniare;


126

b) modelul paralel, cu sursă de curent comandată în tensiune, conductanţa fiind egală cu: mnG ,1+ , în cazul rezistorului neliniar,

mnCh

,11 + , în cazul condensatorului neliniar,

mnhΓ ,1+ , în cazul bobinei neliniare. Substituirea elementelor pasive neliniare ale schemei iniţiale, prin modele iterative asociate, reduce analiza regimului dinamic la analiza de c.c. a unui circuit rezistiv, pentru fiecare pas al procesului iterativ. Vectorul ce conţine variabilele de stare asociate elementelor cu memorie din multipolul (2), la momentul nht = este

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= n

L

nCn

2

22 i

ux , (5.86)

alegerea mărimilor de stare fiind la fel cu aceea adoptată pentru multipolul liniar (1). T.e.m. ale surselor de tensiune şi curenţii surselor de curent, la momentul

hnt )1( += , sunt mărimi grupate în vectorul de intrare

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= +

++

12

121

2 n

nn

jeu . (5.87)

Analiza schemei echivalente rezistive a multipolului (2), obţinută prin folosirea modelelor iterative asociate elementelor neliniare şi a modelelor discretizate în timp asociate elementelor pasive liniare, permite exprimarea mărimilor de ieşire corespunzătoare surselor fictive. Astfel, pentru etapa )1( +m a procesului iterativ se obţine: 1,1

21,1

21

21,1

2,1

21,1

21,1

2++++++++++++ ⋅+⋅+⋅= mnmnnmnmnmnmn vKuDxCy , (5.88)

matricele 1,1

21,1

2 , ++++ mnmn DC şi 1,12

++ mnK conţinând transmitanţe ale căror valori depind de poziţiile punctelor de funcţionare ale elementelor neliniare. La încheierea procesului iterativ, rezultă 1

21

21

21

221

21

2++++++ ⋅+⋅+⋅= nnnnnnn vKuDxCy , (5.89)

matricele 1

21

2 , ++ nn DC şi 12+nK conţinând transmitanţe calculate la momentul

hn )1( + . Menţinerea nealterată a ecuaţiilor circuitului, în urma secţionării şi a introducerii surselor fictive, se realizează dacă sunt respectate condiţiile:


127

12

11

++ = nn yy şi 112

11

+++ == nnn vvv , (5.90)

unde cu 1+nv s-a notat valoarea comună a celor doi vectori asociaţi surselor fictive. Din ecuaţiile (5.85), (5.89) şi (5.90) rezultă

[ ] [ ] [ ] 1121

121

1121

+++++ −+−=− nnnnnn uDDxCCvKK , (5.91)

apoi

1111 ++++ ⋅+⋅= nnnnn uFxEv (5.92)

în care

[ ] [ ]121

1121

1 +−++ −⋅−= nnn CCKKE , (5.93)

[ ] [ ]121

1121

1 +−++ −⋅−= nnn DDKKF , (5.94)

sunt matrice nesingulare, iar

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= n

nn

2

1xxx şi ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= +

++

12

111n

nn

uuu (5.95)

sunt vectorii de stare, respectiv de intrare, corespunzători circuitului în integralitatea lui. Luând în considerare mărimile de intrare ale surselor reale şi ale celor fictive, pot fi obţinute ecuaţii de stare pentru fiecare din cele două partiţii ale circuitului. Reunind formele discretizate ale acestor ecuaţii, se obţine

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

++

+

+++

+

12

11

102

011

2

11

12

1

2

11

2

11

2

11

n

n

nn

n

nn

n

nn

n

vv

B00B

uu

B00B

xx

A00A

xx , (5.96)

unde 0111 ,, BBA sunt matrice cu elemente constante în timp, iar

102

12

12 ,, +++ nnn BBA sunt matrice cu elemente ale căror valori depind de etapa de

integrare. Ţinând seama de relaţiile (5.90) şi (5.92), ecuaţia (5.96) capătă forma generală

1111 ++++ ⋅+⋅= nnnnn uBxAx , (5.97) care permite calculul mărimilor de stare ale circuitului în orice moment discret al intervalului pentru care s-a efectuat eşantionarea şi integrarea ecuaţiilor. Vectorul mărimilor de ieşire 1+nz , la momentul hn )1( + , rezultă din ecuaţia intrare-stare-ieşire a circuitului


128

11111 +++++ ⋅+⋅= nnnnn uNxMz , (5.98)

matricele 1+nM şi 1+nN conţinând transmitanţe.

5. analiza cu modele discretizateautomation.ucv.ro/romana/cursuri/beab12/5 analiza cu...o relaţie...

Documents