5-+capitalizacion (1)

Ing. MBA Yolanda Ledesma

Ingeniera

Econmica CAPITALIZACION

CONTENIDO

Perodo de capitalizacin

Frecuencia de capitalizacin

Tasas de Inters Nominal y Efectiva

Correspondencia entre perodo de capitalizacin y tasa de inters

Anualidades de capitalizacin

Corresponde al tiempo en el cual se considera la ganancia

de inters del capital.

Define cada cuanto tiempo debe aplicarse la tasa de inters

sobre el capital acumulado, por tanto, en estricto rigor

debera sealarse adems del inters, su perodo de

capitalizacin.

PERODOS DE CAPITALIZACIN

Generalmente se asume que el perodo de capitalizacin

corresponde al mismo perodo para el cual se entrega la

tasa de inters.

En los casos en que el perodo de capitalizacin es diferente

al perodo para el cual se entrega la tasa de inters, se

debern aplicar las relaciones de matemticas para

determinar el inters efectivo.

PERODOS DE CAPITALIZACIN

Caractersticas

Los intereses del primer ao se calculan sobre el capital invertido, en base a la tasa anual unitaria de inters

Los intereses peridicos se capitalizan y se calculan

sobre los saldos de capitales (montos) - 2 a) Los intereses peridicos son variables crecientes en

funcin de los saldos de capitales - 2 b) Los intereses peridicos son variables crecientes en

progresin geomtrica

Los intereses acumulados en el plazo de la inversin

equivalen a la suma de una progresin geomtrica de razn (1 + i)

Los intereses acumulados durante el plazo de la inversin, capitalizados peridicamente, forman parte del valor final o monto de la inversin

Anlisis de la funcin F (n, i).

Factor de capitalizacin

Las frmulas

I = C [( 1 + i )n

- 1]

C n = C ( 1 + i ) n

Se basan en el factor ( 1 + i ) n Factor de

capitalizacin o acumulacin

Funcin de las variables plazo y tasa

Plazos expresado en aos

Cuadro bsico del inters compuesto

CAPITALES INTERESES MONTOS

$ 1 ( 1 + i )n - 1 ( 1 + i )n

$ C C ( 1 + i )n - C Cn = C ( 1 + i )n

Comparacin (analtica y grfica) del Monto a Inters compuesto con el Monto a inters simple

y = a + b.x funcin lineal (recta)

y = ax funcin exponencial (curva)

M = 1 + i . n

Cn = ( 1 + i )n

Capitalizacin continua. Tasa instantnea

La capitalizacin subperidica con tasa proporcional produce montos crecientes a medida que crece m ( subperodos ms cortos).

Cuando m tiende a infinito , los subperodos sern infinitamente pequeos (instantes) y en consecuencia debe aplicarse una tasa instantnea.

En la capitalizacin contnua, los intereses se agregan al capital en el mismo acto en que se producen (instantneamente). El aumento del monto as producido tiene un lmite finito.

La tasa instantnea se simboliza con $ 1 colocado a tasa instantnea, en un perodo produce el

monto e

y en n perodos e n Entonces, el valor adquirido por $ 1 en n perodos ser:

con Capitalizacin contnua e n

con Capitalizacin discontnua ( 1 + i )n

Capitalizacin compuesta

Es la ley financiera segn la cual los intereses producidos se aaden al capital y vuelven a producir nuevos intereses hasta finalizar la operacin financiera.

Los elementos que intervienen: o Co: capital inicial. o n: duracin. o i: tipo de inters anual. o Is: intereses del ao s. I = Cs1 i o IT: inters total. IT o Cn: capital final o montante. Cn = Co + IT

Capital final o montante

Al final del primer ao: C1 = Co + I1; I1 = Co i

C1 = Co + Co i = Co (1 + i)

Final 2. ao: C2 = Co (1+i) (1+i) = Co (1+i)2

Final 3.er ao: C3 = Co (1 + i)3

Final ao n: Cn = Co (1 + i)n

Capital inicial

Sabiendo que: Cn = Co (1 + i)n,

y despejando Co:

Co = Cn / (1 + i)n

Co = Cn (1 + i)-n

Si se conocen los intereses: IT = Cn - Co;

Co = Cn - IT

Clculo de los

intereses totales

Cn = Co + IT

IT = Cn Co = Co (1+i)n Co = Co[(1 + i)

n 1]

IT = Co [(1 + i)n 1]

Clculo del tipo de inters

Partiendo de: Cn = Co (1 + i)n

Cn/Co = (1 + i)n

(Cn/Co)1/n = 1 + i

i = (Cn/Co)1/n 1

Clculo del tiempo

Partiendo de: Cn = Co(1 + i)n

log Cn = log Co (1 + i)n

log Cn = log Co+ n (1 + i)

n = (log Cn - log Co) / log (1 + i)

Diferencias entre

capitalizacin compuesta y simple

En capitalizacin compuesta los intereses son productivos; se incorporan al capital para generar nuevos intereses, y en capitalizacin simple no; siempre se calculan los intereses sobre el capital inicial.

El capital final o montante coincide en capitalizacin simple y compuesta en dos momentos: en el momento 0 y en el momento 1 ao. En el resto de casos el montante ser mayor en capitalizacin simple para periodos inferiores al ao y ser mayor en capitalizacin compuesta para periodos superiores al ao.

Inters nominal

Es un tanto proporcional anual (J(m)) y se obtiene

multiplicando m veces el tipo de inters.

J(m) = m i(m)

Al despejar i(m); i(m) = J(m)/m

Tasas equivalentes

Para que la tasa i sea equivalente a i(m), los capitales finales o montantes deben ser iguales,

por tanto:

(1 + i) = [1 + i(m)]m

i(m) = (1 + i)1/m 1; i = [1 + i(m)]m 1

Tasa Nominal y Tasa Efectiva

Sabiendo que i = [1 + i(m)]m 1 y que i(m) = J(m) /m

i = [1 + J(m) /m] 1

Comparando, se observa que la tasa anual

equivalente, i, es mayor que el tipo de inters

nominal, J(m).

Capitalizacin fraccionada

Se utiliza cuando el periodo de capitalizacin no es

anual, sino, mensual, bimensual, trimestral, etc.

La frmula del capital final ser:

Cn = Co [1 + i(m)]n+m

Existen dos formas de clculo:

o Convenio exponencial: Cn = Co (1 + i)n+m

o Convenio lineal: Cn = Co (1 + i)n (1 + m i)

Actualizacin compuesta

o descuento compuesto

Operacin financiera que sustituye un capital futuro

por otro con vencimiento presente.

D = Cn Co. Existen dos tipos de descuento:

Descuento racional o matemtico:

Dr = Cn [1 (1 + i)n]

Descuento comercial:

Dc = Cn [1 (1 d)n]; d = i/(1 + i);

i = d/(1 + d)

Anualidades de Capitalizacin

En un fondo, adems de no recoger los beneficios, aportamos todos los periodos el mismo capital Co. Eso har que el capital final se ver bastante aumentado.

Ao Capital final

0 Co

1 Co + Co.i = Co (1+ i)

2 [Co + Co (1 + i)] + [Co + Co (1 + i)].i =

=Co +Co(1+i) + Co.i + Co.i. (1 + i) =

=Co(1+i) +Co(1+i)(1+i) = Co(1+i)+Co(1+i)2

3 [Co+Co(1+i)+Co(1+i)2] + [Co+Co(1+i)+Co(1+i)2].i =

=Co(1+i) +Co(1+i)(1+i)+ Co(1+i) .(1+i) =

=Co(1+i) +Co(1+i)2 + Co(1+i)3

Nota: Donde pone i se debe leer r/100

Vemos que es una progresin geomtrica de razn (1 + i) y cuyo primer trmino vale Co. (1 + i).

an. r - a1

En una p.g. la suma de todos los trminos vale S = ----------------

r 1

donde el nmero de trminos, n, es el tiempo, t, en aos transcurrido.

Al cabo de n aos tendremos un capital final de:

t t+1

Co.(1+ i).(1+ i) - Co.(1 + i) Co.(1+i) - Co.(1+i)

Cf = ------------------------------------ = -------------------------------

(1 + i) 1 i

t +1

Co . [ (1+ r/100) - (1 + r/100) ]

Cf = -----------------------------------------

r/100

Frmula empleada en fondo de pensiones y similares.

Anualidades de Capitalizacin

CAPITALIZACIN

Ingresamos a principio de cada ao 5.000 que nos ponen a un inters fijo del 10% anual. Cunto dinero tendremos al cabo de 7 aos?. Ao Ingreso Capital Intereses Capital final 1 5.000 5.000 500 5.500 2 5.000 10.500 1.050 11.550 3 5.000 16.550 1.655 18.205 4 5.000 23.205 2.320,5 25.525,5 5 5.000 30.525,5 3.052,55 33.578,05 6 5.000 38.578,05 3.857,81 42.436,86 7 5.000 47.436,86 4.743,69 52.180,55 Hemos invertido 35.000 y obtenido ms de 52.000

EJEMPLO 1 CAPITALIZACIN Ingresamos a principio de cada ao $5.000 que nos ponen a un inters fijo del 10% anual. Cunto dinero tendremos al cabo de 7 aos?. Apliquemos la frmula que nos da directamente el capital final: t+1 Co [ (1+i) - (1+i) ] Cf = ----------------------------------- i 7+1 5000 [ (1+ 0,1) - (1+ 0,1) ] Cf = -------------------------------------------- 0,1 5000 [ 2,143588 - 1,1) ] Cf = -------------------------------------- = 5000 x 10,435888 = 52.179,44 0,1

EJEMPLO 2 CAPITALIZACIN Dentro de 5 aos queremos tener un capital de $100.000. Para ello ingresamos Iuna cantidad fija todos los trimestres en un banco que nos ofrece un 4,8 % anual de intereses. Qu cantidad aportar ingresar trimestralmente?. Apliquemos la frmula que nos da directamente el capital final: t+1 Co [ (1+i) - (1+i) ] Cf = ----------------------------------- , sabiendo que ahora i = 4,8 / 400 = 0,012 i y que t = 5.4 = 20 trimestres 20+1 Co [ (1+ 0,012) - (1+ 0,012) ] 100.000 = ------------------------------------------------- 0,012 1200 = Co.(1,284667 1,012 ] Co = 1200 / 0,272667 = $4401 Habremos aportado al banco 4401.20 = $88.020 para obtener $100.000

EJEMPLO 3 CAPITALIZACIN Todos los meses podemos aportar $100 a un fondo de pensiones que tenemos a un inters del 3,6 % anual. Qu tiempo debemos estar, suponiendo que no varen las condiciones, para tener un capital de $100.000?. Apliquemos la frmula que nos da directamente el capital final: t+1 Co [ (1+i) - (1+i) ] Cf = ---------------------------- , sabiendo que ahora i = 3,6 / 1200 = 0,003 i y que t vendr en meses. t+1 100 [ (1+ 0,003) - (1+ 0,003) ] 100.000 = ---------------------------------------- 0,003 t+1 t+1 300 = 100.(1,003 1,003 ] 3 + 1,003 = 1,003 Tomando logaritmos: log 4,003 = ( t+1).log 1,003 t+1 = log 4,003 / log 1,003 = 463 meses t = 37 aos y 7 meses

AMORTIZACIN DE PRSTAMOS Para la amortizacin de un prstamo mediante varios pagos aplazados se tiene en cuenta que: 1.- Cada pago salda los intereses que produce la deuda en ese

periodo y amortiza parte de la misma. 2.- El ltimo pago salda los intereses que produce la deuda en el

ltimo periodo y amortiza lo que falta de la misma. 3.- Lo habitual es que la cantidad a pagar en cada periodo sea la

misma. De esa cantidad, al principio se emplea la mayora para cubrir los intereses, descendiendo progresivamente dicho porcentaje a favor de amortizar la deuda.

4.- Para que sea viable un prstamo, el pago de cada periodo debe

cubrir, al menos, el importe de los intereses. 5.- Si el deudor se declara insolvente por ley no puede reclamar los

intereses que haya abonado, pero s la cantidad amortizada.

TABLA DE AMORTIZACIN: EJEMPLO-1

Pedimos un prstamo personal de $5.000 que nos dejan a un inters fijo del 10% anual. Si podemos devolver $1.000 anuales, cuntos aos pasarn hasta amortizar toda la deuda contrada?.

Ao Deuda Intereses Pago Amortizada Pendiente

1 5.000 500 1.000 500 4.500

2 4.500 450 1.000 550 3.950

3 3.950 395 1.000 605 3.345

4 3.345 334,5 1.000 665,5 2.679,5

5 2.679,5 267,95 1.000 732,05 1.947,45

6 1.947,45 194,75 1.000 805,25 1.142,20

7 1.142,20 114,20 1.000 885,80 256,40

8 256,40 25,65 282 282 0

TABLA DE AMORTIZACIN: EJEMPLO-2

Pedimos un prstamo personal de $3.000 que nos dejan al 25% anual. Si podemos pagar (amortizar) $1.000 anuales, cuntos aos pasarn hasta amortizar toda la deuda contrada?.

Ao Deuda Intereses Pago Amortizada Pendiente

1 3.000 750 1.000 250 2.750

2 2.750 687,5 1.000 312,5 2.437,5

3 2.437,5 609,4 1.000 390,6 2.046,9

4 2.046,9 511,72 1.000 488,28 1.558,62

5 1.558,62 389,65 1.000 610,35 948,27

6 948,27 237,07 1.000 762,93 185,34

7 185,34 46,34 231,68 185,34 0

Ntese que la cantidad pagada es ms del doble que el prstamo inicial.

Anualidades de amortizacin

Si pedimos un crdito a una entidad financiera, para montar un negocio, comprar un piso, un coche o cualquier otro bien, deberemos devolver lo pedido ms los intereses.

Para ello suponemos que podemos devolver todos los aos un cierto capital , A, llamado anualidad, para pagar la deuda , D, contrada.

Al comienzo debemos D

Al ao debemos D +D.i - A = D.(1+i) - A

A los dos aos debemos [D.(1+i) - A] + [D.(1+i) - A].i - A =

= D.(1+i).(1+i) - A(1+i) A =

= D.(1+i)2 - A(1+i) A

A los tres aos debemos

[D.(1+ i)2 - A(1+i) A] + [D.(1+i)2 - A(1+i) A].i - A =

= D.(1+i)2. (1+i) - A(1+i).(1+i) - A(1+i) - A =

= D.(1+i)3 - A(1+i)2 - A(1+i) - A

Al cabo de t aos habremos devuelto todo el capital prestado ms los intereses producidos. Es decir, ya no deberemos nada; luego:

t t-1 t-2

D.(1+i) - A(1+i) - A(1+i) - ....... - A = 0

t t-1 t-2

D.(1+i) = A(1+i) + A(1+i) + ....... + A(1+i) + A

En la ecuacin anterior la parte de derecha es la suma de los trminos de una progresin geomtrica de razn (1+r) y cuyo primer trmino vale A

an.r - a1 En una p.g. la suma de todos los trminos vale S = ----------------

r - 1


Tenamos:

t t-1 t-2

D.(1+i) = A(1+i) + A(1+i) + ....... + A(1+i) + A

t t

t A.(1+i) - A A [ (1+i) - 1 ]

D.(1+i) = -------------------- = ----------------------

(1+i) - 1 i

Que es la frmula a emplear en las anualidades de amortizacin, como por ejemplo al pedir un crdito hipotecario, donde todos los aos aportamos una cantidad fija (aunque normalmente est dividida en letras o pagars mensuales), A.

O sea que si el pago es anual, i = r/100

Si el pago es mensual, i = r/1200 , t = nmero de meses y A es la mensualidad que debemos pagar.

Evidentemente cuando el rdito es variable hay que recalcular todo.

Importante: Para hallar la mensualidad a pagar, no vale dividir la anualidad entre 12. Hay que trabajar con i = r / 1200.


EJEMPLO_1_ DE ANUALIDAD Pedimos un prstamo hipotecario de $200.000, que nos ponen a un 6% fijo anual. Hallar la anualidad a pagar para poder amortizar el prstamo en 20 aos. t t A [ (1+i) - 1 ] D.(1+i) = -------------------- , donde D=200000, t = 20 y i = 6/100 i 20 20 A [ (1+ 0,06) - 1 ] 200000.(1+ 0,06) = ---------------------------- 0,06 200000. 3,2071 = A [3,2071 1 ] / 0,06 641427 = A.36,5856 A = 641427 / 36,5856 = $17.436,91 En total hemos pagado, por el prstamo de $200.000: 17436,91x20 = $348.738 Nota: Habramos pagado menos empleando mensualidades.


EJEMPLO_2_ DE ANUALIDAD CON PAGO MENSUAL

Pedimos un prstamo hipotecario de $200.000, que nos ponen a un 6% fijo anual. Hallar la mensualidad a pagar para poder amortizar el prstamo en 20 aos (240 meses).

t

t A [ (1+i) - 1 ]

D.(1+i) = -------------------- , donde D=200000, t = 240 y i = 6/1200

i

240

240 A [ (1+ 0,005) - 1 ]

200000.(1+ 0,005) = ----------------------------

0,005

200000. 3,3102 = A [3,3102 1 ] / 0,005

662040,89 = A . 462,0409 A = 662040,89 / 462,0409 = $1431,72

En total hemos pagado, por el prstamo de $200.000:

1431,72 x 12 x 20 = $343 613

Nota: Habramos unos 5.000 menos que por anualidades.


EJEMPLO_3_DE ANUALIDAD

Necesitamos urgentemente un prstamo personal de $30.000, que nos ofrecen al 24% fijo anual. Si podemos devolver $1000 al mes, cunto tiempo estaremos pagando hasta amortizar toda la deuda?.

t

t A [ (1+i) - 1 ]

D.(1+i) = ------------------ , donde D=30000, A= 1000 y i = 24/1200

i

t

t 1000 [ (1+ 0,02) - 1 ]

30000.(1+ 0,02) = ------------------------------

0,02

30000. 1,02t . 0,02 = 1000 [1,02t 1 ]

600. 1,02t

----------- = 1,02t 1

1000


EJEMPLO_3_DE ANUALIDAD

0,6. 1,02t = 1,02t 1

1 = 1,02t - 0,6.1,02t

1 = 0,4 . 1,02t

1 ----- = 1,02t 2,5 = 1,02t

0,4

Tomando logaritmos decimales:

log 2,5 = t . log 1,02

t = log 2,5 / log 1,02 = 46,27 meses.

Habremos pagado $46.271 por un prstamo de $30.000


5-+capitalizacion (1)

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