5 cuatri unidad 1. modelos probabilisticos(1)

Estadística para la investigación en seguridad pública Unidad 1. Modelos probabilísticos

Ciencias Sociales y Administrativas •Licenciatura en Seguridad Pública

1

Be

Licenciatura en Seguridad Pública

5°Cuatrimestre

Programa de la asignatura:

Estadística para la investigación en seguridad

pública

Unidad 1. Modelos probabilísticos

Clave:

010920518/020920518

Universidad Abierta y a Distancia de México



2

Índice

Be ........................................................................................................................................................ 1

Unidad 1. Modelos probabilísticos ....................................................................................................... 3

Presentación de la unidad .................................................................................................................... 3

Propósitos ............................................................................................................................................ 3

Competencia específica ....................................................................................................................... 3

1.1. Muestreo ....................................................................................................................................... 4

1.1.1. Estratificado .......................................................................................................................... 5

1.1.2. Por conglomerados ............................................................................................................... 6

Actividad 1. Tipos de muestreo ............................................................................................................ 6

Actividad 2. Muestreo .......................................................................................................................... 7

1.2. Variables aleatorias....................................................................................................................... 8

1.2.1. Discretas .............................................................................................................................. 11

1.2.2. Continuas ............................................................................................................................ 11

1.2.3. Esperanza y varianza ............................................................................................................... 11

Actividad 3. Variables aleatorias ........................................................................................................ 15

1.3. Modelos probabilísticos ............................................................................................................... 16

1.3.1. Binomial ............................................................................................................................... 17

1.3.2. Poisson ............................................................................................................................... 19

1.3.3. Normal ................................................................................................................................ 21

1.3.4. Aproximación de la distribución normal a la binomial .......................................................... 25

1.4. Aplicación de la distribución normal ............................................................................................ 25

1.4.1. Solución de ejercicios que involucran a la distribución normal ............................................ 25

Actividad 4. Modelos probabilísticos .................................................................................................. 30

Actividad 5. Modelos probabilísticos .................................................................................................. 30

Actividad 6. Problemario .................................................................................................................... 31

Autoevaluación .................................................................................................................................. 31

Evidencia de aprendizaje. Resolución de ejercicios de modelos probabilísticos ................................ 32

Actividades de Autorreflexión ............................................................................................................. 32

Cierre de la unidad ............................................................................................................................. 33

Fuentes de consulta ........................................................................................................................... 33

Fuentes cibergráficas ......................................................................................................................... 34



3

Unidad 1. Modelos probabilísticos

Presentación de la unidad

En esta primera unidad se describen los principales modelos probabilísticos empleados en la

investigación. Se realiza inferencia estadística para una población por medio de técnicas estadísticas

y, finalmente, se realizan comparaciones entre poblaciones a través de pruebas de hipótesis.

Conocer, comprender y saber aplicar los métodos estadísticos es extremadamente importante, ya

que por medio de ellos se pueden tomar decisiones sobre los eventos o fenómenos que se estudian;

lo anterior porque se tendrán argumentos y evidencias para sustentar dichas decisiones. Por ejemplo,

descubrir que en un lugar ocurren más accidentes que en otros lugares, en horas específicas o bajo

condiciones particulares, brinda la oportunidad de tomar las medidas pertinentes para evitarlos.

Las aplicaciones de la estadística solo están limitadas por la veracidad de los datos que se estudian y

por la imaginación de los usuarios de los métodos estadísticos.

Propósitos

Los propósitos de esta unidad son:

Identificar los diferentes tipos de muestreo.

Reconocer los diferentes tipos de variable aleatoria.

Comprender el significado de esperanza y varianza, así como aprender a determinarlas.

Conocer y usar los diferentes modelos probabilísticos.

Conocer, comprender y usar la aproximación de la distribución normal a la binomial

Competencia específica

Analizar información para la caracterización de una población mediante el estudio de los tipos

de modelos probabilísticos y la selección del modelo pertinente.



4

1.1. Muestreo

Existen dos tipos de análisis estadísticos, que se corresponden con dos enfoques de la Estadística:

Estadística descriptiva. Se refiere a las técnicas que son utilizadas para describir o

caracterizar los datos obtenidos (Pagano, 2011).

Estadística inferencial. Es la parte de la estadística que permite tomar decisiones e inferir

sobre los grupos de donde se han tomado las muestras (poblaciones) a partir de información

obtenida de dichas muestras.

Para asegurar que las descripciones que se verán más adelante son claras, se establecerán las

siguientes definiciones:

Población. Este término se emplea para representar clases enteras de objetos o eventos a

los que se les atribuirán generalizaciones.

Muestra. Es un subconjunto de mediciones o eventos que se seleccionan de la población de

interés. Se dice que una muestra debe ser representativa de la población.

Parámetro. Son las mediciones de las características de la población. Algunos de estos

parámetros son:

mediana

µ media

σ varianza

Si la distribución de una población puede expresarse mediante alguna función, los parámetros

pueden ser utilizados para determinar el comportamiento de la distribución.

Estimador. Es un valor numérico basado en los datos de una muestra aleatoria, que se utiliza

para estimar el valor de un parámetro poblacional.

La teoría de muestreo es un conjunto de técnicas que permite estimar y describir cantidades

desconocidas de la población, tales como como la media poblacional (µ) y la varianza (σ) (llamados

parámetros poblacionales) a partir de los correspondientes estadísticos (estimadores).

También permite saber si las diferencias observadas entre dos muestras son debidas a situaciones

aleatorias o si realmente son significativas, lo que sirve para decidir sobre la validez de determinados

experimentos.

Las conclusiones de la teoría del muestreo y de la inferencia estadística solo pueden ser válidas si las

muestras son representativas de la población, por ejemplo, cuando se realiza muestreo al azar,

donde cada miembro de la población tiene igual probabilidad de ser elegido.



5

El muestreo en el que cada miembro de la población puede elegirse más de una vez se llama

muestreo con remplazamiento. Cuando solo puede ser elegido una vez, se tiene un muestreo sin

remplazamiento.

Según el tamaño de una población, esta puede clasificarse como:

Finita. La que tiene un número contable de elementos.

Infinita. Cuando la población está formada por un número incontable de elementos. Sin

embargo, desde el punto de vista de la estadística, una población finita muy grande puede

considerarse infinita.

Considérense todas las posibles muestras de tamaño N que pueden tomarse de una población, si con

cada una de las muestras se calcula un estadístico (estimador), por ejemplo la media o la desviación

estándar, se obtiene una distribución del estadístico denominada distribución muestral, que será

estudiada más adelante.

1.1.1. Estratificado

Cuando es necesario dividir una población en grupos, denominados estratos o clases, se deben tener

en cuenta algunas recomendaciones:

Los estratos no se superponen y todos ellos forman a la población.

Los elementos de cada estrato deben ser lo más parecidos entre sí, que respecto a la

población.

Los estratos deben ser lo más diferentes entre ellos.

No hay ventaja en la estratificación si el criterio que se usa para formar los grupos es

únicamente que sean del mismo tamaño.

Es importante resaltar que para cada uno de los estratos son aplicables los procedimientos expuestos

para un muestreo aleatorio simple. Por lo anterior, si de cada estrato se extrae una muestra, la

muestra final de la población estará compuesta por el conjunto de estas y se tendrá un tamaño de

muestra más pequeño que si se realizara una muestra del total de la población, y aun si fuera del

mismo tamaño, en ambos casos se tendrá una precisión mayor. A esta forma de elegir una muestra

se le conoce como muestreo aleatorio estratificado.

Existen varios criterios para la estratificación:

Asignación proporcional al tamaño de los estratos. También se le denomina criterio de

asignación uniforme de muestreo. El propósito es dar un mayor peso a los estratos de mayor

tamaño.



6

Asignación proporcional a las desviaciones estándar de los estratos. En este caso, se asignan los tamaños muestrales de los estratos en proporción a los niveles de dispersión de los mismos. Esta asignación es mejor cuando los estratos son iguales o aproximadamente iguales entre sí.

Asignación óptima. Se llama así a una combinación de los dos tipos previos de asignación:

las diferencias entre las fracciones se asignan como proporcionales a las diferencias entre las

desviaciones estándar.

1.1.2. Por conglomerados

Cuando la población se puede dividir en grupos con toda la variabilidad de la población, es decir, lo

suficientemente heterogéneos para considerar que cada uno de ellos representa a la población,

entonces se dice que se tienen conglomerados.

Ahora bien, para una población dividida en conglomerados, cuando se requiere un muestreo, se

pueden elegir algunos de los estratos para la realización del estudio, ya que cada uno de los grupos

puede ser considerado equivalente al otro porque son igual de diferentes entre ellos (heterogéneos),

pero además se puede pensar en cada uno de ellos como una pequeña copia de la población que se

estudia, y por ello todos los elementos del conglomerado se pueden incluir en la muestra.

Cuando se hablaba de muestreo estratificado, la unidad muestral eran los elementos de la población

y cada estrato estaba formado por elementos muy parecidos entre sí, mientras que en un muestreo

por conglomerado, los elementos que conforman el grupo deben ser muy diferentes entre sí para

poder representar a la población. Además, los estratos deben ser lo más diferentes de uno a otro y

los conglomerados deben ser parecidos entre ellos.

. Tipos de muestreo

Actividad 1. Tipos de muestreo

En la primera parte de la primera unidad se ha analizado el significado de muestreo y los diferentes

tipos que existen.

El objetivo de la actividad es que conozcas los diferentes tipos de muestreo, las ventajas y

desventajas de cada uno de ellos, además de conocer bajo qué condiciones conviene usar uno u

otro.

Para completar la información presentada aquí y reforzar lo aprendido, realiza lo siguiente:

1. Lee los siguientes documentos:

-El muestreo

-Muestreo aleatorio estratificado

-Muestreo estratificado

-Muestreo por conglomerados



7

-Muestreo

2. Elabora un cuadro comparativo de los diferentes tipos de muestreo, donde describas las

diferencias y similitudes entre ellos.

3. Identifica las características que debe tener un buen muestreo y los errores que se pueden

cometer para realizar un muestreo.

4. Identifica las ventajas de usar uno u otro tipo de muestreo.

5. Por último, elabora un reporte donde integres los resultados previos con tus conclusiones.

6. Al terminar, envía tu documento a la sección de tareas, con la nomenclatura

EISP_U1_A1_XXYZ, y espera la retroalimentación del Facilitador(a).

*Consulta la rúbrica de evaluación para conocer los criterios que serán tomados en cuenta al

momento de calificar tu trabajo.

Actividad 2. Muestreo

El objetivo de esta actividad es que compartas información y que verifiques la información de tus

compañeros(as).

Entra al Foro denominado Muestreo y realiza lo siguiente:

1. Lee con atención las preguntas que ahí se presentan.

2. Documéntate sobre los tópicos que se correspondan con las preguntas planteadas.

3. Responde las preguntas y sube tus aportaciones al foro.

4. Revisa las aportaciones de tus compañeros y comparte con ellos tus opiniones en relación a las

respuestas que ellos dieron a las preguntas.

5. Revisa las aportaciones de tus compañeros(as), compara sus opiniones con las tuyas e

intercambia comentarios a fin de establecer un diálogo fructífero y de cercanía.





8

1.2. Variables aleatorias

Como recordarás, en el primer curso de Estadística se estudiaron frecuencias asociadas a las

muestras y su descripción. En este segundo curso se estudiarán las distribuciones de frecuencia en

una población, así como sus propiedades.

Una distribución de frecuencia de una muestra es una estimación de la distribución de frecuencia de

la población correspondiente. Si la muestra es grande, entonces la distribución de frecuencia de la

muestra es una buena aproximación a la distribución de frecuencia de la población. Ahora bien,

aunque usualmente las muestras no son lo bastante grandes para determinar la distribución de la

población con mucha precisión, en ella existe suficiente información para sugerir el tipo de

distribución implicada, además de que puede obtenerse información de otras fuentes y de la

experiencia misma.

Una variable aleatoria X es un número cuyo valor se determina mediante un proceso al azar. El

adjetivo aleatorio se usa para indicar que el valor de la variable depende del resultado de un

experimento, que a su vez depende del azar.

Ejemplo (1). Experimento: lanzar simultáneamente tres monedas.

(a) El espacio muestral del experimento (el conjunto de todos los resultados posibles).

Sea A el resultado de obtener un águila y S el resultado de obtener un sol o sello. El

espacio muestral de lanzar simultáneamente tres monedas:

S = {AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA, SSS}

(b) Sea X la variable aleatoria que describe el número de águilas en cada lanzamiento.

Escribir el valor de la variable aleatoria.

Los valores que toma la variable aleatoria X , son 0,1,1,1,2,2,2,3 ; por tanto,

podemos escribir: 0,1,2,3X . Como los valores que puede tomar la variable se

pueden contar, se dice que es una variable aleatoria discreta.

Ejemplo (2). Experimento: lanzar simultáneamente dos dados de diferente color

(a) El espacio muestral de lanzar simultáneamente dos dados.

S= {11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66}



9

(b) Sea X la variable aleatoria que describe la suma de los puntos obtenidos en cada

lanzamiento. Escribir el valor de la variable aleatoria.

Los valores de X en cada lanzamiento son:

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

Por tanto 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2X que como puede apreciarse, es una variable

aleatoria discreta.

Ejemplo (3). Experimento: consideremos que de un estante se eligen 100 paquetes de azúcar cuya

etiqueta dice 1 kg. Designemos como la variable aleatoria X el peso que se mide de cada paquete.

Describir el espacio muestral para el experimento.

En este caso, los valores que podemos esperar para el peso de los paquetes ya no se

puede listar, por tal motivo tenemos que X es una variable continua. Es decir, el espacio

muestral está conformado por todos los valores contenidos dentro de un rango de valores.

Podemos decir, por ejemplo, que el espacio muestral es el intervalo 100.1,900.0

kilogramos.

Cuando se asignan probabilidades de ocurrencia, a todos los posibles valores numéricos de una

variable aleatoria X , mediante una tabulación o una función, se obtiene como resultado una

distribución de probabilidad.

Es necesario resaltar que:

La probabilidad de cada evento es un valor entre cero y uno, inclusive.

La suma de todas las probabilidades debe ser igual a uno.

xf significa que hay una función donde f depende de x .

xXP significa que la variable aleatoria puede asumir diferentes valores.

Ejemplo (4). Construir la distribución de probabilidad para el caso presentado en el ejemplo (1).

A continuación se muestran los valores que puede tomar la variable independiente, así

como la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.

XP

8

1

8

3

8

3

8

1



10

Ejemplo (5). Construir la distribución de probabilidad para el caso presentado en el ejemplo (2).

A continuación se muestran los valores que puede tomar la variable independiente, así

como la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos.

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

XP

36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

Ejemplo (6). Un jugador profesional de tenis participa en una gira de cinco partidos y se sabe que la

probabilidad de que gane un partido es de 0.6

Sea X la variable aleatoria que representa el número de partidos ganados por el

jugador antes de su primera derrota. Encontrar la distribución de probabilidad.

Debe notarse que los resultados de los partidos son eventos independientes. En este

caso, la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos puede calcularse mediante un

diagrama de árbol, con lo que se obtiene:

X 0 1 2 3 4 5

XP 4.0

24.0

6.04.0

14.0

6.04.02

09.0

6.04.03

05.0

6.04.04

08.0

6.05

108.005.009.014.024.0 XP

Ejercicio. ¿Cuál de los recuadros mostrados a continuación representa una distribución de

probabilidad? Explicar.

X XP X XP X XP

2 0.25 2 0.20 2 0.3

4 0.30 4 0.30 4 0.4

6 0.15 6 0.25 6 - 0.1

8 0.25 8 0.25 8 0.4



11

1.2.1. Discretas

Se dice que las variables aleatorias son discretas cuando se puede hacer una lista con todos los

valores numéricos posibles de la variable aleatoria y de las probabilidades correspondientes en una

tabulación. Como en el caso de los ejemplos (1) y (2).

Por lo anterior, podemos decir que una variable aleatoria es el resultado de un conteo, de manera que

cada uno de los valores está claramente separado entre sí. En el ejemplo (1) no puede haber 1.5

águilas, mientras que no se pueden obtener 4.5 puntos en el ejemplo (2).

1.2.2. Continuas

Frecuentemente no es posible hacer una lista con todos los valores de la variable aleatoria y sus

correspondientes probabilidades, porque son demasiados. Podemos decir, con ciertas limitaciones,

que una variable aleatoria continua tiene un número infinito de valores posibles.

En muchos de estos casos, las probabilidades para un rango de valores se determinan a través de

una función, cuya gráfica se denominada curva de probabilidad. El ejemplo (3) es un caso de variable

continua, pero no se incluyó la función que la describe.

Una de las razones por las que es importante establecer con claridad si una variable es discreta o

continua, tiene que ver con la manera en que se determinan la esperanza y la varianza. Aquí solo se

estudiará cómo hacerlo si la variable aleatoria es discreta.

1.2.3. Esperanza y varianza

En el curso previo de Estadística se estudiaron las medidas de tendencia central y dispersión para

una distribución de frecuencias; entonces se vio que la media proporciona información de la

tendencia central de los datos, mientras que la varianza describe la dispersión de los mismos. De

forma equivalente, una distribución de probabilidad se resume a través de la media y la varianza

2 .

Para presentar la definición de esperanza consideremos el ejemplo (1). Supongamos que al lanzar

tres monedas simultáneamente, se recibirá un peso por cada águila que aparezca. ¿Cuánto se

espera ganar si se repite el lanzamiento de las tres monedas un gran número de veces?

En este caso, consideremos que la variable aleatoria X representa el número de águilas obtenidas

al lanzar las tres monedas; sin embargo, puede apreciarse que no todos los resultados son

igualmente probables, de manera que para determinar la esperanza es necesario incluir la

probabilidad de que el evento ocurra.



12

5.1

8

12

8

3

8

6

8

30

8

13

8

32

8

31

8

10

XE

El valor encontrado representa lo que se espera ganar si se lanzan las tres monedas

simultáneamente, muchas veces. Es importante hacer notar que no tiene sentido hacer una pregunta

como ¿cuánto se espera ganar si se lanzan las tres monedas una vez?, lo anterior puede

malinterpretarse, ya que hace pensar que se pregunta sobre el hecho de hacer un lanzamiento. Debe

tenerse en cuenta esta precisión porque frecuentemente así es como se pregunta en los libros de

texto.

La esperanza también es conocida como media y como promedio ponderado; la fórmula para

calcularla es:

ix

ii xPxXE

Esta expresión quiere decir que se debe multiplicar cada valor de la variable aleatoria por su

probabilidad de ocurrencia y luego hacer la suma de todos los valores obtenidos. Supongamos que

en el juego anterior, en lugar de ganar X pesos por cada águila, se ganan 2X . Entonces, si el juego

se llevara a cabo muchas veces, se espera ganar:

3

8

24

8

9

8

12

8

30

8

13

8

32

8

31

8

10 22222

XE

Como ya se mencionó, la media proporciona información acerca de la tendencia central de los datos;

ahora veremos de qué forma la varianza describe la dispersión. La fórmula para determinar la

varianza es:



13

ix

ii xPx22

Existe una relación entre la esperanza y la varianza, ya que calcular 2ixE , equivale a

encontrar 2 . Ahora bien, es la desviación estándar (la raíz cuadrada de la varianza) la que nos

ofrece información sobre la variabilidad de la distribución, pues entre más grande sea el valor , los

datos están menos agrupados o más dispersos respecto a la media.

Otra manera de interpretar a la esperanza es como el valor medio de infinitas observaciones o como

el punto de equilibrio de la distribución de probabilidad. Por todo lo anterior, se puede concluir que la

varianza puede representarse de tres formas:

22

22

22

xExE

xPx

xPx

i

i

x

ii

x

ii

A continuación se muestra un comparativo de la media y la varianza para una distribución de

frecuencias y una distribución de probabilidad:

ii x

n

fx

ix

ii xPx

i

i

x

ii

x

ii

xxn

f

n

xxf

2

2

2

ix

ii xPx22



14

Ejemplo (7). Calcular la media y la varianza de la siguiente distribución discreta de probabilidad:

ix 2 8 10

ixP 0.5 0.3 0.2

Recuérdese que ix

ii xPx y ix

ii xPx22 , así que para determinar

la media y la varianza, primero rescribiremos los datos de la tabla y agregaremos

algunas columnas que nos permitirán organizar mejor los cálculos necesarios para

encontrar la media y la varianza.

ix ixP ii xPx ix 2ix ii xPx2

2 0.5

1.0 -3.4 11.56 5.78

8 0.3

2.4

2.6 6.76 2.028

10 0.2

2.0

4.6 21.16 4.232

1 4.5 04.122

Ejemplo (8). Determinar y 2 para el ejemplo (1).

Reorganizando los datos:

ix ixP ii xPx ix 2ix ii xPx2

0 81 0

23

49

329

1 83

83

21

41

323

2 83

86

21

41

323

3 81

83

23

49

329

1 2

3

8

12

4

3

32

24

Puesto que ix

ii xPx , se tiene que 2

3 y como ix

ii xPx22 , tenemos que

432



15

Ejemplo (9). Determinar y 2 para el ejemplo (5) y dar una interpretación al valor encontrado

para .

Del ejemplo (5), tenemos que la distribución de probabilidad es:

X 0 1 2 3 4 5

XP 4.0 24.0 14.0 090. 05.0 08.0

Para determinar el valor de la media, hacemos:

39.1

508.0405.0309.0214.0124.004.0

En el caso de la varianza, usaremos la fórmula 222 ix

ii xPx

48.2

39.108.0505.0409.0314.0224.014.0022222222

Que 39.1 , significa que cada vez que participa en un torneo de cinco partidos, el

jugador tiene la esperanza de ganar “1.39 juegos” antes de perder el primero.

Otra manera de interpretar lo anterior es: si el tenista pudiera jugar 500 partidos, tiene la

esperanza de ganar 139 juegos antes de perder el primero.

Actividad 3. Variables aleatorias

Como hemos podido ver, existen diferentes tipos de variables aleatorias, según el evento de estudio.

La actividad tiene como objetivo que comprendas los conceptos de media, esperanza matemática,

varianza, variable aleatoria y distribución de probabilidad y que los uses para resolver ejercicios

relacionados.

1. Lee los siguientes documentos para que apoyes tu aprendizaje:

-Introducción Esperanza Varianza

-Lotería y Probabilidad

-Valor esperado

-Variables aleatorias

2. Define claramente el significado de variable aleatoria.

3. Explica detalladamente la forma en que se construye una distribución de probabilidad.

4. Explica por qué se dice que la media y la desviación estándar describen la distribución de

probabilidad.



16

5. Describe el significado geométrico (en términos de distancias), tanto de la media como de la

desviación estándar.

6. Realiza los ejercicios siguientes:

(a) Para el Ejemplo (2), encontrar los valores de y 2

(b) Sea X la variable aleatoria que representa el número de varones en familias con cuatro hijos.

(I) Encontrar el espacio muestral de tener cuatro hijos S.

(II) Construir una tabla que muestre la distribución de probabilidades de X

(III) Representar gráficamente la distribución de probabilidad de X

(IV) Encontrar los valores de y 2

7. Después de desarrollar los puntos que se solicitan, envía tu documento a la sección de tareas

con la nomenclatura EISP_U1_A3_XXYZ, y espera la retroalimentación del Facilitador(a).



1.3. Modelos probabilísticos

En el primer curso de Estadística se estudiaron distribuciones empíricas, primero se presentaron

geométricamente (con histogramas) y luego con una representación aritmética parcial, a través de la

media y la desviación estándar.

Si al estudiar el comportamiento de una variable aleatoria se ve que esta se comporta de cierta

manera, es posible usar modelos conocidos para calcular la probabilidad de que un evento ocurra. Es

decir, un modelo probabilístico permite describir los resultados de un experimento, así como predecir

el comportamiento de la variable de estudio. Frecuentemente, a los modelos probabilísticos también

se les denomina distribuciones de Probabilidad.

Es importante hacer notar que existen modelos probabilísticos tanto para variables discretas como

para variables continuas. En el presente curso se estudiarán dos de las distribuciones discretas:

binomial y Poisson; pero existen más, tales como la distribución geométrica e hipergeométrica,

mientras que de las distribuciones continuas, en la primera unidad únicamente veremos la distribución

normal.

A continuación se detallarán las características que se deben considerar para aplicar cada uno de los

modelos probabilísticos.



17

1.3.1. Binomial

Una distribución es considerada binomial cuando:

Los eventos que se presentan son independientes.

Solo existen dos posibles resultados del evento (éxito o fracaso).

La probabilidad de éxito permanece constante.

La variable aleatoria X se define como el número de éxitos dentro de un número n fijo de

ensayos.

Si p es la probabilidad de éxito, pq 1 es la probabilidad de fallo, x es el número específico de

éxitos y n el número de ensayos, entonces la probabilidad P de que ocurran x éxitos en n ensayos

es:

xnx

xn qpCxP

Otra manera de escribir la probabilidad:

xnxqpxnx

npnxP

!!

!,

Para esta distribución, se tiene que:

la media: np

la varianza: npq2

la distribución estándar: npq

Ejemplo (10). Cada día hay cinco salidas de autobuses de la ciudad A a la ciudad B , y se sabe

que la probabilidad de que uno de los autobuses llegue tarde a su destino es 20.0 Sea

X el número de autobuses que llegan tarde.

(a) Explicar por qué es una distribución binomial.

(b) Determinar la probabilidad de que exactamente 0, 1, 2, 3, 4, 5 de los viajes lleguen

con retraso.

(c) Determinar la probabilidad de que al menos dos de los autobuses lleguen con

retraso.

(d) Determinar la probabilidad de que a lo más dos de los autobuses lleguen con

retraso.

Ahora se dará respuesta a cada uno de los incisos anteriores.

(a) Sabemos que es una distribución binomial porque

(i) Que un autobús llegue tarde no depende de que otro lo haga, es decir, se trata



18

de eventos independientes.

(ii) Solo existen dos posibles resultados: que llegue tarde o no.

(iii) La probabilidad de que llegue tarde siempre es la misma.

(iv) La variable aleatoria, en este caso el número de autobuses que llegan tarde,

es el resultado de contar cuántos llegan tarde de un total de cinco posibles.

(b) La probabilidad de que ningún autobús llegue tarde se determina haciendo:

3277.0

3277.011

8.02.0!05!0

!520.0,50

050

P

En este ejemplo, son de resaltarse dos hechos que frecuentemente se olvidan, el

primero es que el factorial de cero es uno, es decir 1!0 , y el segundo, que

cualquier número diferente de cero elevado a la potencia cero es uno, es decir,

10 a .

El cálculo de la probabilidad de que uno de los viajes se retrase:

4096.0

4096.02.05

8.02.0!15!1

!520.0,51

151

P

Para las siguientes probabilidades, se indican los cálculos que deben realizarse y

se dejan como ejercicio de práctica:

2528.02.0

!25!2

!520.0,52

P

3538.02.0

!35!3

!520.0,53

P

4548.02.0

!45!4

!520.0,54

P

5558.02.0

!55!5

!520.0,55

P

Los resultados de los cálculos se muestran a continuación:

ix 0 1 2 3 4 5

ixP 0.3277 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.0003



19

Puede verificarse que 1ixP , de manera si es una distribución de

probabilidad

(c) La frase “que al menos dos de los autobuses lleguen con retraso” significa que

pueden ser dos, tres, cuatro o cinco, es decir:

2627.0

00030006400512020480

54322

....

PPPPxP

(d) La frase “de que a lo más dos de los autobuses lleguen con retraso” significa que

podrían ser cero, uno o dos, es decir:

9421.0

204804096032770

2102

...

PPPxP

Como pudo notarse, los cálculos para determinar la probabilidad de una distribución binomial pueden

ser largos y engorrosos, por tal motivo se usan tablas con los valores ya establecidos. Estas tablas se

pueden conseguir fácilmente en cualquier libro de estadística o en internet y permiten obtener las

probabilidades sin tener que realizar todos los cálculos. Lo mismo ocurre para las otras distribuciones

de probabilidad.

1.3.2. Poisson

Esta distribución se utiliza para calcular la probabilidad de que ocurra un número designado de

eventos cuando:

los eventos ocurren en un continuo de tiempo o espacio,

los eventos ocurren de manera independiente,

los eventos son “raros” ( 1.0p y 5np ).

Teóricamente, las posibilidades en este tipo de distribución son infinitas; es decir que el número de

eventos va de cero a infinito de manera discreta. Para determinar la probabilidad de que ocurra un

cierto número de éxitos en un proceso de Poisson, solo es necesario conocer el número promedio, a

largo plazo, de eventos para el tiempo o espacio de interés, dicho valor promedio se designa como

o . Uno de los cuidados que debe tenerse al usar la fórmula para la distribución de Poisson es que

el valor de debe aplicarse al periodo de tiempo pertinente.

La probabilidad de X éxitos en una distribución de Poisson está dada por:



20

exxP

x

!|

Para una distribución de Poisson el promedio es igual a la varianza, es decir: 2

Ejemplo (11). En cada rollo de lámina de 500 metros de longitud hay dos defectos en promedio.

(a) Explicar por qué es un evento tipo Poisson.

Los defectos se presentan en un continuo de espacio, en este caso, la longitud

de la lámina.

Que haya un defecto no impide que se presente otro, así que los eventos son

independientes.

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un segmento de 100 metros no tenga ningún

defecto?

Si el promedio de un rollo de 500 metros es de 2 defectos, entonces

representa el promedio de defectos que en hay en 100 metros.

4.0

500

1002

Con esta información se tiene que:

6703.0

!0

4.04.0|0

4.0

4.0

0

e

exP

Por supuesto se obtiene el mismo valor si se consultan las tablas.

Ejemplo (12). A cierto puerto, un barco llega cada dos días, en promedio.

(a). Explicar por qué es un evento tipo Poisson.

Los defectos se presentan en un continuo de tiempo, en este caso, el tiempo.

Que un barco llegue al puerto no depende del arribo de otro, así que los

eventos son independientes.

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen dos o más barcos en un día seleccionado al

azar?

Si el promedio de llegadas es 1 cada 2 días, entonces representa el

promedio de llegadas en cada día.



21

5.02

11

Con esta información se tiene que:

090204.0

000000000000100000130

0001580001579001263600758160

!8

5.0

!7

5.0

!6

5.0

!5

5.0

!4

5.0

!3

5.0

!2

5.0

4325.0|2

5.0

8

5.0

7

5.0

6

5.0

5

5.0

4

5.0

3

5.0

2

...

....

eee

eeee

PPPxP

Otra manera de hacerlo es:

0903.0

3032.06065.01

!1

5.0

!0

5.01

101

5.0|215.0|2

5.0

1

5.0

0

ee

PP

xPxP

Si se consultan las tablas, el valor que se obtiene es 0902.0 porque en ellas

solo se incluyen cuatro dígitos.

1.3.3. Normal

Esta distribución de probabilidades es continua y simétrica, es decir, con los valores observados

distribuidos de manera uniforme y además, no es plana ni puntiaguda (mesokurtica). La distribución

normal es importante por tres razones:

Muchos procesos aleatorios se comportan de esta forma.

Se usan para aproximar otras distribuciones de probabilidad, como la binomial y la de

Poisson.

La distribución de probabilidad de la media muestral y la proporción muestral es la distribución

normal cuando el tamaño de la muestra es grande, sin importar la forma de la distribución de

la población de origen.

En el caso de una variable aleatoria con distribución de probabilidad continua, solo es posible

determinar el valor de probabilidad de que la variable aleatoria tome valores en un intervalo; puesto



22

que hay un número infinito de valores en cualquier intervalo, la probabilidad de que tome un valor en

particular es cero.

Para una variable con distribución normal, se tiene que la altura de la función de densidad (o curva de

probabilidad) es:

2

2

2

22

1)(

X

exf

La función exponencial ue también se expresa como xexp , de manera que )(xf puede ser escrita

como:

2

2

2 2exp

2

1)(

Xxf

Para determinar la probabilidad de

ocurrencia en el intervalo bxa se debe

resolver la integral mostrada, lo que

equivale a calcular el área bajo la curva

normal en ese intervalo.

Sin embargo, puesto que para diferentes

valores de y se genera una

distribución normal distinta, calcular la

probabilidad anterior significa resolver

muchas veces la misma integral.

2

3

2

3

b

adxxfbxaP

Para evitar esos cálculos, todas las distribuciones normales se transforman a otra equivalente,

denominada distribución normal estándar, cuyas principales características son que 0 y 1 .

Si la forma límite de un histograma para una distribución de frecuencias tiene la forma de una

campana, entonces puede usarse una curva normal para la determinación de las probabilidades.

Recuérdese que para una variable continua no es posible conocer la probabilidad de un evento, así

que es necesario realizar distribuciones de frecuencias.

Se sabe que tiene la siguiente interpretación geométrica con respecto a la curva normal.

El área bajo la curva normal entre y es aproximadamente el 68% del área

total.

El área bajo la curva normal entre 2 y 2 es aproximadamente el 95% del área

total.



23

El área bajo la curva normal entre 3 y 3 es aproximadamente el 99.7% del área

total.

El eje de la figura previa ha sido marcado en unidades de , empezando con la media . Es claro

en este bosquejo que casi no hay área bajo la curva más allá de 3 unidades desde ; sin

embargo, esta se extiende desde hasta .

Toda la información previa se puede resumir en tres puntos:

La distribución es simétrica con respecto a la media; es decir, las porciones izquierda y

derecha de la gráfica son una la imagen especular de la otra, por lo que la media es igual a la

mediana.

Los datos de una distribución normal se agrupan alrededor de la media.

El rango de los datos no tiene límites, pero solo un pequeño porcentaje de ellos, menos del

3%, se encuentra a más de tres desviaciones estándar de la media.

Antes de calcular probabilidades con la distribución normal, haremos algunos ejercicios para

determinar el área bajo la curva normal estándar. Para esto, es necesario disponer de una tabla de

áreas bajo la curva normal, a cuatro dígitos y de 0z a 3z .

Ejemplo (13). Para una curva normal, encuéntrese el área situada a la izquierda de 5.1z y de

diferentes interpretaciones al valor encontrado.

En la tabla se localiza el valor de 5.1z y se encuentra el valor 4332.0 .

Para encontrar el área a la izquierda de 5.1z debemos recordar que el área total

bajo la curva es uno y que la mitad de dicha área está a la izquierda de 0z .

Por tanto el área buscada es 9332.04332.05.0 .

Algunas interpretaciones son:

1. El %32.93 de los miembros de una población tienen un puntaje z menor de

5.1 .

2. Un miembro de la población que tiene un puntaje 5.1z tiene un rango

percentil de 93 .

3. La probabilidad de elegir al azar a un miembro de esta población, con un

puntaje z menor de 5.1 e, es de 9332.0 .



24

Ejemplo (14). Para una curva normal, encuéntrese el área situada a la izquierda de 72.1z y de

diferentes interpretaciones al valor encontrado.

En la tabla se localiza el valor de 72.1z y se encuentra el valor 4573.0 .

Para encontrar el área a la izquierda de 72.1z , debemos recordar que el área total

bajo la curva es uno y que la mitad de dicha área está a la izquierda de 0z .

Por tanto el área buscada es 0427.04573.05000.01 .

Algunas interpretaciones para este resultado son:

1. El %27.4 de los miembros de una población tienen un puntaje z menor de

72.1 .

2. Un miembro de la población que tiene un puntaje 72.1z tiene un rango

percentil de 4 .

3. La probabilidad de elegir al azar a un miembro de esta población, con un

puntaje z menor de 72.1 , es de 0427.0 .

Ejemplo (15). Para una curva normal, encuéntrese el área entre 5.1z y 72.1z .

En la tabla se localizan los valores de 5.1z y de 72.1z y se encuentran los

valores 4332.0 y 4573.0 respectivamente.

Entonces, el área de 0z hasta 5.1z es de 4332.0 , mientras que de 0z hasta

72.1z es 4573.0 , por tanto, el área buscada se determina haciendo la suma de

las dos anteriores 8905.0 .

Como habíamos mencionado, una distribución de probabilidad con distribución normal puede

convertirse en una distribución normal estándar. Para esto, cualquier valor x de una población con

distribución normal puede convertirse a su valor normal estándar z , mediante la transformación:

xz

Donde la nueva distribución tendrá media cero y varianza uno. Esta transformación es equivalente a

“mover” el origen del sistema de coordenadas al valor de la media y un cambio en la escala.



25

Ejemplo (16). Para una variable aleatoria con distribución normal, se desean conocer los valores z

que corresponden a 2201 x y 2802 x , si se sabe que 230 y 20

Sustituyendo en la fórmula

xz obtenemos:

50.0

20

2302201

z

50.2

20

2302802

z

1.3.4. Aproximación de la distribución normal a la binomial

Cuando n es grande, por ejemplo 30n , pero 5np y 5nq , la distribución de probabilidad

binomial puede aproximarse a la distribución de probabilidad normal.

Conocida qpn y , la distribución normal permite calcular:

n

ax

xnx

xn qpCaxP }{

Hay que tener mucho cuidado para hacer la aproximación correcta de la binomial usando la normal,

ya que es necesario calcular los valores de z con los valores de Ex 1 y/o Ex 2 , siento E la mitad

del intervalo sobre el cual se construye el histograma. A este ajuste se le denomina corrección por

continuidad.

1.4. Aplicación de la distribución normal

Ahora se resolverán algunos ejemplos: donde se usa la distribución normal estándar para la

determinación de las probabilidades, un ejemplo comparativo del cálculo de la probabilidad usando la

distribución binomial y la normal, y uno más donde se puede modelar usando la distribución binomial

pero en la que resulta más conveniente utilizar la distribución normal.

1.4.1. Solución de ejercicios que involucran a la distribución normal

A continuación se presentan algunos ejemplos resueltos, cuya solución se describe cuidadosamente

con el propósito de que se tenga la mayor cantidad posible de referencias que ayuden a comprender

los procesos y replicarlos en otros ejercicios semejantes. Además, se hizo una selección de los

ejemplos, para intentar cubrir la mayoría de las posibilidades que habitualmente se pueden presentar

al resolver ejercicios de este tipo.



26

Ejemplo (17). Una población normal tiene una media 55 y una desviación estándar de 5 .

(a) Se desea conocer la probabilidad de un valor entre 49 y 60.

(b) Se desea conocer la probabilidad de un valor mayor de 60.

Solución: como se trata de una distribución normal, primero se deben calcular los puntajes z

correspondientes y después buscar las áreas bajo la curva, entre 0z y cada uno de

los valores encontrados.

(a) Sustituyendo en la fórmula

xz obtenemos:

2.1

5

554949

z

1

5

556060

z

área = 0.3849 área = 0.3413

7262.03413.03849.06049 xP

(b) Como el área entre 0z y 1z es 0.3413, el área a la derecha es

0.500 - 0.3413 = 0.1587

Por tanto:

1587.060 xP

Ejemplo (18). Se sabe que la probabilidad de que un tirador acierte un disparo es de 30.0 y realiza

12 disparos. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en seis de ellos?

Solución: este evento se puede modelar como una distribución binomial.

o Acertar un disparo o no hacerlo, son eventos independientes.

o Solo existen dos posibles resultados: acertar o no hacerlo.

o La probabilidad de éxito permanece constante: 3.0 .

o La variable aleatoria es el resultado del conteo de éxitos dentro de un número fijo de

ensayos: 12.

La probabilidad de que acierte por lo menos seis veces es:

121110

98766

xPxPxP

xPxPxPxPxP

30.0,121230.0,121130.0,1210

30.0,12930.0,12830.0,12730.0,1266

PPP

PPPPxP



27

117.0

000.0000.0000.0001.0008.0029.0079.06

xP

Verificaremos que se pueda aproximar mediante la distribución normal. Sabemos que:

30.0p y 12n

De donde:

6.33.012 np

4.87.012 nq

Como 3.6 no es mayor que cinco, y 8.4 sí lo es, la aproximación a la distribución normal

podría no ser muy buena. Realizaremos la aproximación con:

6.3 np

6.152.2 qpn

Ahora haremos el cálculo usando la aproximación a la normal. Ya que los anteriores son

números enteros, 6xP y el tamaño del intervalo es uno, debe encontrarse utilizando un

límite de 5.5, que es el que separa los resultados 5 y 6.

1875.1

6.1

6.35.55.5

z

El área entre 0z y 19.1z es 3830.0 , de manera que el área buscada es

117.03830.05000.0 .

Por tanto, la probabilidad de acertar por lo menos seis de los doce disparos usando la

aproximación a la normal es:

117.06 xP

Como puede apreciarse, aunque no parecía una buena decisión usar la aproximación a la

normal, hemos obtenido la misma probabilidad.

Ejemplo (19). Una persona se dirige hacia su trabajo en automóvil todos los días durante la hora de

mayor tránsito (por la mañana). Debe atravesar un cruce de ferrocarril que siempre

tiene una gran afluencia de vehículos. Observa que el 30% de las veces no es posible

cruzar la vía en forma inmediata. A causa del tránsito, el tiempo que requiere

atravesar el cruce es aleatorio.

(a) Encuéntrese la probabilidad de que en un día cualquiera el conductor llegue al

cruce y lo atraviese inmediatamente.



28

El siguiente mes se dirige a su trabajo en automóvil solo 19 veces. Denótese con x

el número de veces en que al llegar al cruce fue posible atravesarlo inmediatamente.

Encuéntrese:

(b) 11xP

(c) la probabilidad de que x tenga, por lo menos, un valor igual a 15; es decir,

15xP

(d) 1814 xP

(e) 16xP

(f) Cierto número de éxitos es tan alto, y por lo tanto tan poco común, que solo existe

una probabilidad de alrededor de 0.05 de que ocurra. ¿Cuál es el número de

estos éxitos?, es decir, encuéntrese b , tal que bxP sea aproximadamente

igual a 0.05.

Solución: este es un evento binomial porque:

el cruzar o no, son eventos independientes,

solo existen dos posibles resultados: cruzar o no hacerlo,

la probabilidad de éxito permanece constante: 0.70,

la variable aleatoria es el resultado del conteo de éxitos dentro de un número

fijo de ensayos.

Ahora daremos respuesta a cada uno de los incisos:

(a) 70.030.01 p

(b) Verificaremos que se pueda aproximar mediante la distribución normal. Como:

30.0q 19n

Se tiene que:

3.137.019 np

7.53.019 nq

Como 13.3 y 5.7 son mayores que cinco, puede utilizarse la distribución normal como

una aproximación de la binomial, con:

3.13 np

00.299.3 qpn

Ya que los anteriores son números enteros, 11xP y el tamaño del intervalo

es uno, debe encontrarse utilizando un límite de 11.5, que es el que separa el

resultado favorable 11 del no favorable 12.



29

90.0

2

3.135.115.11

z

El área a la izquierda de 90.0 es 1841.0 , por lo tanto

1841.011 xP

(c) Para encontrar 15xP se utilizará el límite 14.5, que es el que separa a los

resultados favorables de los no favorables.

60.0

2

3.135.145.14

z

El área entre 0z y 60.0z es 2257.0 , de manera que:

2743.02257.05.015 xP

(d) Para encontrar 1814 xP se calculará 5.185.13 xP .

1.02

3.135.135.13

z 6.2

2

3.135.185.18

z

área = 0.0398 área = 0.4953

El área entre 13.5 y 18.5 se obtiene al restar los valores de las áreas, de manera

que 4555.05.185.13 xP

(e) Para encontrar 16xP , se utilizarán los límites 15.5 y 16.5

1.12

3.135.155.15

z 6.1

2

3.135.165.16

z

área = 0.3643 área = 0.4452

Por tanto, 0809.016 xP

(f) Para encontrar el número de éxitos x , tales que 05.0 bxP , se busca en la

tabla un área igual a 0.4500, que corresponde a un puntaje de z = 1.65. Para

convertir este valor en el número de éxitos se despeja la fórmula

xz , de

donde zx

6.163.13265.1 x

De esta forma, los valores 19,18,17x ocurrirán solo el 5% de las veces.



30

Actividad 4. Modelos probabilísticos

Como hemos podido ver, existen diferentes modelos probabilísticos y cada uno de ellos se utiliza

según las características de los datos que se analizan.

La actividad tiene como objetivo que conozcas las características de cada uno de los modelos

probabilísticos, y que reconozcas las similitudes y diferencias entre ellos.

Para completar la información presentada aquí, realiza lo siguiente:

1. Revisa y ordena las características de cada uno de los modelos probabilísticos que se han

estudiado.

2. Elabora un organizador gráfico donde expliques detalladamente cuál modelo se puede usar

según las condiciones del caso de estudio.

3. Escribe las recomendaciones que le harías a alguien que está estudiando los modelos

probabilísticos; es decir, ¿cuáles conceptos o detalles deberían centrar su atención para que el

tema sea comprendido?

4. Después de desarrollar los puntos que se solicitan, envía tu documento a la sección de tareas,





El objetivo de esta actividad es que reconozcas las características de los modelos probabilísticos, que

compartas las soluciones a los ejercicios y que verifiques las respuestas de tus compañeros(as).

Entra al Foro denominado Modelos probabilísticos y realiza lo siguiente:

1. Consulta los planteamientos que ahí se presentan.

2. Documéntate sobre los tópicos que se correspondan con las preguntas planteadas que te hará tu

Facilitador(a).

3. Responde las preguntas y sube tus aportaciones al foro.

4. Revisa las aportaciones de tus compañeros(as) y comparte con ellos tus opiniones en relación a

las respuestas que dieron a las preguntas.





31

Actividad 6. Problemario

El objetivo de esta actividad es que pongas a prueba los conocimientos adquiridos durante el curso

resolviendo ejercicios asociados con cada uno de los temas y subtemas.

Para completar esta actividad realiza lo siguiente:

1. Revisa el archivo Actividad 6. Ahí encontrarás ejercicios sobre muestreo, variables aleatorias, y

modelos probabilísticos.

2. Resuelve cuidadosamente cada uno de los problemas según vayas avanzando en el curso.

3. Consulta a tu Facilitador(a) y a tus compañeros(as) en caso de tener alguna duda.

4. Integra en un archivo de Word las soluciones a los ejercicios una vez que estés seguro de que no

hay errores y súbelo a la plataforma.

5. Después de desarrollar los puntos que se solicitan, envía tu documento a la sección de tareas,




Autoevaluación

Con la finalidad de realizar un ejercicio de repaso acerca de los conceptos más importantes

estudiados en la unidad, resuelve el ejercicio de autoevaluación que se encuentra en la pestaña de la

unidad.



32

Evidencia de aprendizaje. Resolución de ejercicios de modelos probabilísticos

El objetivo de esta actividad es que repases los conocimientos adquiridos durante el curso

resolviendo ejercicios asociados con cada uno de los temas y subtemas, y que además integres

todas tus actividades como portafolio.

1. Revisa el archivo Evidencia de aprendizaje. Ahí encontrarás ejercicios sobre muestreo, variables

aleatorias, modelos probabilísticos y distribución normal.

2. Resuelve cuidadosamente cada uno de los problemas.

3. En un documento escribe las soluciones a los ejercicios, una vez que estés seguro de que no hay

errores.

4. Integra en el mismo documento todos tus trabajos :

Actividad 1. Tipos de muestreo

Actividad 3. Variables aleatorias


Actividad 6. Problemario

Evidencia de aprendizaje. Resolución de ejercicios de modelos probabilisticos

5. Después de integrar tus trabajos, envía tu documento a la sección de tareas, con la

nomenclatura EISP_U1_EA_XXYZ, y espera la retroalimentación del Facilitador(a).



Actividades de Autorreflexión

Además de enviar tu trabajo de la Evidencia de aprendizaje, es importante que ingreses al foro

Preguntas de Autorreflexión y consultes las preguntas que tu Facilitador(a) presente. A partir de

ellas, debes:

1. Elaborar tu autorreflexión en un archivo de texto llamado EISP_U1_ATR_XXYZ.

2. Enviar tu archivo mediante la herramienta Autorreflexión.



33

Cierre de la unidad

En la primera parte de la unidad se analizaron los diferentes tipos de muestreo que existen así como

las características de cada uno ellos; así mismo, se identificaron las ventajas de usar uno u otro

según el caso de estudio.

En la segunda parte se definió el significado de variable aleatoria, se conocieron los diferentes tipos

de variables, analizamos el significado de los conceptos y con ellos se construyeron diferentes

distribuciones de probabilidad. También se revisó el significado de esperanza matemática y la manera

en que esta y la varianza permiten describir las distribuciones de probabilidad, de las que se

caracterizaron y usaron tres: la binomial, la de Poisson y la normal, viendo de qué manera esta última

permite aproximar a la primera.

Finalmente, se resolvieron algunos ejemplos que involucran a la distribución normal, analizando

diversas posibilidades, con la intención de conocer diferentes formas en que se puede usar la

distribución normal, además de que se usaron las tablas de cada una de las distribuciones.

Por todo lo anterior, se dispone de las herramientas necesarias que nos permitirán analizar la

información de una muestra, para identificar las dinámicas de la población de estudio, mediante la

resolución de problemas con técnicas de estadística inferencial.

Fuentes de consulta

Douglas, L. William, M. Samuel, W. (2008). Estadística aplicada a los negocios (13ª edición).

México. Mc. Graw Hill.

Hoel, Paul G. (1991). Estadística Elemental (4ª edición). CECSA. México.

Kazmier, L. Díaz Mata, A. (2006). Estadística aplicada a administración y a la economía (4ª

edición). España. McGraw Hill.

Naiman, A., Rosenfeld, R., Zirkel, G. (1987). Introducción a la Estadística (3ª edición). México.

McGraw Hill.

Nieves Hurtado, A., Domínguez Sánchez, F. C. (2010). Probabilidad y Estadística para

ingeniería. México: Mc. Graw Hill.

Pagano, R. R. (2011). Estadística para las ciencias del comportamiento (9ª edición). México

Cengage Learning.

Ross, Sh. M. (2008). Introducción a la estadística. España. Editorial Reverté.



34

Fuentes cibergráficas

Eumed.net (2006). Apuntes de Estadística. Recuperado el 12 de febrero de 2012 de:

http://www.eumed.net/libros/2006a/rmss

Universidad Católica de Salta. (2008).Variables aleatorias. Recuperado el 12 de febrero de

2012 de http://www.ucasal.net/recursos/variables_aleatorias.pdf

Enlace de Bibliotecas digitales. Aprendiendo Estadística Volumen 2 (2010). Recuperado el 12

de febrero de 2012 de: http://www.bibliotheka.org/?/ver/60204

Universidad de Sonora. Departamento de Matemáticas (2008). El muestreo. Recuperado el12

de febrero de 2012 de: http://www.estadistica.mat.uson.mx/Material/elmuestreo.pdf

Complejo Hospitalario Universitario de Albacete (2003). Recuperado el12 de febrero de 2012

de:

http://www.chospab.es/calidad/archivos/Metodos/Muestreo.pdf

Tecnológico. (s/f). Muestreo Aleatorio Por Conglomerados. Recuperado el 9 de febrero de

2012, de: http://www.mitecnologico.com/Main/MuestreoAleatorioPorConglomerados

Universitat de Lleida. (2004).El concepto de valor esperanza y varianza de una variable

aleatoria.

Recuperado el 12 de febrero de 2012 de:

http://web.udl.es/Biomath/Bioestadistica/Dossiers/Temas%20especiales/Distribucions/Introduc

cion%20al%20concepto%20de%20esperanza%20y%20varianza.pdf

Estadísticaparatodos. (2008). Lotería y Probabilidad. Recuperado el 9 de febrero de 2012, de:

http://www.estadisticaparatodos.es/taller/loterias/esperanza.html

Universidad de Sevilla. (2004). Introducción al concepto de valor esperado Recuperado el 12

de febrero de 2012 de:

http://personal.us.es/valderas/INTRODUCCION%20AL%20CONCEPTO%20DE%20VALOR%

20ESPERADO.pdf

Universidad Católica de Salta. (2008).Variables aleatorias. Recuperado el 12 de febrero de

2012 de http://www.ucasal.net/recursos/variables_aleatorias.pdf

http://www.eumed.net/libros/2006a/rmss

http://www.ucasal.net/recursos/variables_aleatorias.pdf

http://www.bibliotheka.org/?/ver/60204

http://www.estadistica.mat.uson.mx/Material/elmuestreo.pdf

http://www.chospab.es/calidad/archivos/Metodos/Muestreo.pdf

http://www.mitecnologico.com/Main/MuestreoAleatorioPorConglomerados

http://web.udl.es/Biomath/Bioestadistica/Dossiers/Temas%20especiales/Distribucions/Introduccion%20al%20concepto%20de%20esperanza%20y%20varianza.pdf

http://web.udl.es/Biomath/Bioestadistica/Dossiers/Temas%20especiales/Distribucions/Introduccion%20al%20concepto%20de%20esperanza%20y%20varianza.pdf

http://www.estadisticaparatodos.es/taller/loterias/esperanza.html

http://personal.us.es/valderas/INTRODUCCION%20AL%20CONCEPTO%20DE%20VALOR%20ESPERADO.pdf

http://personal.us.es/valderas/INTRODUCCION%20AL%20CONCEPTO%20DE%20VALOR%20ESPERADO.pdf

http://www.ucasal.net/recursos/variables_aleatorias.pdf

5 cuatri unidad 1. modelos probabilisticos(1)

Documents