5 estabilidad

Estabilidad

ITIS - SAC Tema1: Señales y Sistemas - Estabilidad

Introducción

• La estabilidad de un sistema es una propiedad básica en el estudio del mismo.

• Debido a la variedad de tipos de sistemas existentes, pueden darse diferentes definiciones de estabilidad.

• Nos centraremos aquí en los sistemas lineales invariantes


Definición• Un sistema lineal invariante es estable cuando, con

condiciones iniciales nulas, ante una señal de entrada acotada presenta una respuesta acotada.

∫∞

−=0

)()()( σσσ dgtrty

– Tomando valor absoluto.

∫∫∞∞

−≤−=00

)()()()()( σσσσσσ dgtrdgtrty

– Como la entrada está acotada |r(t)|<=M.

donde y es la salida, r la entrada y g la respuesta impulsiva.

∫∞

≤0

)()( σσ dgMty


– Si la respuesta está acotada deberá cumplirse

Esto es, la respuesta impulsiva de un sistema estable debe estar acotada.

∫∞

≤0

)( Ndg σσ


– Pasando al plano complejo, se tiene

• Tomando valor absoluto

[ ] ∫∞ −==

0)()()( dtetgtgLsG st

∫∫∞ −∞ − ≤=

00)()()( dtetgdtetgsG stst

• Como |e^(-st)|=|e^(-σt-jwt)|=|e^(- σt)|, y situándonos en si uno de los polos de G(s) (G(si)=∞), tenemos

∫∞ −≤∞

0)( dtetg tσ

• Si además esa raíz estuviera en el semiplano derecho (σ>0, |e^(- σt)|<1) resultaría

∫∞

≤∞0

)( dttg

Y el sistema sería inestable.


– Condición de estabilidad en el plano s.

Para que un sistema sea estable, todos sus polos deben estar situados en el semiplano izquierdo.

Plano s

Región estable Región inestable


– Ejemplo: Sistema de primer orden G(s)=1/(s+a).• La respuesta ante escalón es

Simulación

)(

1)(

1)(

asssG

ssY

+==

• En el dominio temporal tenemos

[ ]ateaass

Laass

Lty −−− −=

+−=

+

= 11111

)(

1)( 11

• Para que la respuesta sea estable, a debe ser >=0, esto es, el polo del sistema debe ser <=0.

– Ejemplo: Sistema de segundo orden.


Estabilidad absoluta y estabilidad relativa

• Al evaluar la estabilidad de un sistema pueden establecerse dos niveles:– Estabilidad absoluta: Trata de responder a la pregunta de

si el sistema es estable o no.• Cuando nos encontramos en el límite (polos sobre el eje

imaginario), el sistema suele calificarse como marginalmente estable.

– Estabilidad relativa: El grado en que puede considerarse un sistema estable.


• Algunos métodos:– Cálculo de raíces.– Criterio de Routh-Hurwitz.– Criterio de Nyquist.– Diagramas de Bode.– Lugar de las raíces.


Criterio de Routh-Hurwitz

• Este criterio permite concluir sobre la estabilidad absoluta de un sistema a partir de su ecuación característica.– Sea la siguiente ecuación:

0)( 12

21

10 =+++++= −−−

nnnnn asasasasasF

– El primer paso es ordenar los coeficientes como sigue

7531

6420

aaaa

aaaa


– A continuación se construye una tabla como la que se muestra para un ejemplo de orden 6.

0000·

000

000·0·0·

0000

00·

0

660

61

662

1615133

61

061

1

5041

1

30214

5315

64206

aF

EFas

FE

CaEDs

C

ACa

C

ACaE

C

ADCBs

A

aAD

A

aaAaC

A

BaAas

aa

aaaB

a

aaaaA

a

aaaas

aaas

aaaas

=−

=−

=−=−=−

=⋅−⋅=−=−

=−=−=−

• Para que el sistema sea estable, todos los elementos de la primera columna de la tabulación deben tener el mismo signo.


– Situaciones especiales:• El primer elemento de una fila es cero, pero el resto no.

– La tabulación se completa sustituyendo el elemento nulo por un valor pequeño.

• Una fila completa de la tabla es cero.– La tabulación se completa tomando una ecuación auxiliar con los

coeficientes de la fila no nula anterior, derivándola y sustituyendo los coeficientes resultantes en la fila nula.

• Ejemplo: s^5+4s^4+8s^3+8s^2+7s+4=0

00

44

066

484

781

1

2

3

4

5

s

s

s

s

s La ecuación auxiliar es A(s)=4s^2+4=0.

Derivando queda dA(s)/ds=8s=0.

Sustituyendo los coeficientes se completa la tabla.

4

080

1

s

s

El sistema es estable.

5 estabilidad

Documents