5. Pn Junction Electrostatics5.1 Preliminaries

5.1.1 Junction terminology/Idealized profiles5.1.2 Poisson’s equation5.1.3 Qualitative solution5.1.4 The built-in potential (Vbi)5.1.5 The depletion approximation

5.2 Quantitative electrostatic relationships5.2.1 Assumption /definitions5.2.2 Step junction with VA=05.2.3 Step junction with VA≠0 5.2.4 Examination/Extrapolation of results5.2.5 Linearly Graded Junctions

5.3 Summary

5.1.1 Idealized Profiles• Uniform 하게 n- 도핑된 반도체 내부로 p-do

pant 로 확산시키면 , NA>ND 인 표면 근처는 p 형이며 ND>NA 인 영역은 n 형이다 . 두 영 역 을 구 분 하 는 junction 은 ND-NA=0 인 반도체의 접합면에서 발생한다 .

• 그림 5.1(b) 에서와 같이 net doping 농도 ND-NA 의 양은 위치에 따라서 달라지며 , doping profile 이라고 불린다 .

Idealized Doping Profiles

• 일반적인 두 가지 profiles: - Step junction:

Shallow diffusion or ion-implantation

- Linearly grades junction

More appropriate for deep diffusion

5.1.2 Poisson’s Equation

• 어느 지점의 potential 또는 가 그 지점에서의 전체 charge density 와 관련이 있는Poisson 방정식은 정전변수에 대한 해를 얻는 데 중요하며 , 반도체 해석에서 아래와 같다 .

• 1 차원 문제에서 Poisson 방정식은

)1.5(0S

K

)2.5(0S

Kdx

d

)( V

• Ks = 반도체 유전상수

• Ε0 = 진공에서의 유전율

• 저 항 률 ρ = 전 하 밀 도 (charge/cm3) 로 도 펀 트 가 전 부 이온화되었다는 가정하에서 반도체내에서 전하밀도는

• ρ 는 1 차원 문제에서 d /dx 에 비례한다 . vs x 의 그래프의 slope 로 부터 ρ 를 구할 수 있다 .

)3.5()( AD NNnpq

5.1.3 정량적 해• 포 텐 셜 의 일 반 적 인 함 수 형 태 , 전 기 장 ,

다이오드안의 전하밀도를 결정하기 위해 1차원적 계단형 접합과 평형상태를 가정하자 .

• 그 림 5.3. pn 접 합 다 이 오 드 에 대 한 평형상태의 에너지밴드

(a) 금 속 학 적 접 합 으 로 부 터 멀 리 떨 어 진 반도체영역에

대한 계단 형 junction profile 과 에너지밴드 (b) 페르미 준위

접합전

페르미준위일치시킴

접합후

에너지벤드

전위차

전계

공간전하밀도

• 그림 5.4. Electrostatic variables in a pn junction under equilibrium conditions (a) equilibrium energy band diagram, (b) Electrostatic potential, (c) Electric field, (d) charge density.

• 그림 5.5 는 개념적 pn 접합형성과 그와 관련된 전하재분포 . (a) 분리된 p 형영역과 n 형영역 . (b) 전 자 들 과 정 공 들 이 p 형 영 역 과 n 형 영 역 을 결합시킨 순간 접합의 반대편으로 확산된다 . (c) 전하재분포가 완성되고 평형상태가 재성립된다 . (d) 앞서 유도된 위치에 대한 전하밀도 ( - 정공들 , - 이온화된 억셉터들 , - 전자 , - 이온화된 도너들 )

접합전

전하공핍개시

공간전하영역(SCR) 형성

전하밀도분포도

5.1.4 내부전위 (Vbi)• 내부전위 (Vbi) 란 평형상태에서 공핍영역에

걸쳐서 발생하는 전압강하이다 .• 평형상태의 공핍영역의 끝은 접합의 p 형쪽의

-xp 와 n 형쪽의 xn 에서 일어난다 ( 그림 5.4b).

• 공핍영역 x 에 관하여 적분하면

)4.5(V

dx

d

)5.5()()( bipn

)(

)(

n

p

n

p

VxVxVdVdxx

x

xV

xV

• 평형상태에서

• 식 (5.6) 의 에 대 해 풀 때 Einstein 관 계 식 을 이용하면 ,

• 식 (5.7) 을 식 (5.5) 에 대입하고 적분을 하면

)6.5(0J NNN dx

dnqD nqμ

)7.5(//

N n

dxdn

q

kT

n

dxdn

μ

DN

)8.5()(

)(ln

p

n)(

)(bi

n

p

n

p

xn

xn

q

kT

n

dn

q

kTdxV

xn

xn

x

x

• ND 와 NA 가 n 형쪽 도핑농도와 p 형쪽 도핑농도일 때 , nondegenerate 도핑된 계단형 접합의 경우에 대해서 ,

• 그러므로 Vbi 는 아래와 같이 표현된다 .

)b9.5()(

)a9.5()(

A

2i

p

Dn

N

nxn

Nxn

)10.5(ln2i

DAbi

n

NN

q

kTV

• Vbi 와 Eg 사이의 관계는 에너지대역도에 기 초 를 둔 또 다 른 Vbi 유 도 에 의 해 잘 설명된다 . 그림 5.4(a) 와 (b) 를 참고하여

• 또는

)1b1.5()(q

1)(

q

1

1a)1.5()()(

nipinCpC

pnbi

xExExExE

xVxVV

)12.5(1

sideniFsidepFibi EEEEq

V

• Nondegenerate 한 상 태 에 서 도 핑 된 다이오드에 대해 Vbi<EG/q 가 되므로 , (Ei-EF)p-si

de 와 (EF-Ei)n-side 모두 EG/2 보다 작다 . 더욱이 nondegenerate 하게 도핑된 계단형 접합의 평형상태에서 (from 2.38)

)b13.5(/ln

)a13.5(/ln

iDsideniF

iAsidepFi

nNkTEE

nNkTEE

5.1.5 The Depletion Approximation

• 1 차원 Poisson 방정식은 ND-NA 를 안다고 할 때 아래 식과 같이 나타낼 수 있다 .

• x 의 함수로서 ρ 를 표현하기 위해 x 에 대한 의 미 분 방 정 식 을 풀 고 결 과 적 으 로 x 에 대 한 V 를 얻는다 .

)14.5()( AD0S0S

NNnpK

q

Kdx

d

• Two depletion approximations• (1) 캐리어농도는 metallugical junction 양쪽 -xp

<x<xn 영역에서 순도핑농도와 비교하여 무시되는 것으로 가정한다 .

• (2) 공핍영역밖의 전하밀도는 0 으로 간주 한다 .• Under the depletion approximation, 1 차원 Poisso

n 방정식은 아래와 같다 . ( 그림 5.6 참조 )

5b)1.5(and...0

5a)1.5(...)(

np

npAD0S

xxxx

xxxNNK

q

dx

d

5.2 정량적 정전관계• 5.2.1 가 정 / 정 의1) 1 차원 디바이스로 가정한다 . 모든 variables 이 x 만의 함수로 가정 .2) x=0 은 p-n 접합 경계에 위치된다 .3) 다이오드의 끝은 "ohmic“ contact 로 되어

있 으 며 , 여 기 에 서 떨 어 지 는 전 압 은 무시한다 .

( 그림 5.8 참조 )

5.2.2 Step Junction with VA=0

• ρρ 에 대 한 해에 대 한 해 : 평 형 상 태 에 서 의 계 단 형 접 합 에 대 해 서 알 아 보 자 . 설 명 을 위 한 도핑단면도인 그림 5.9(a) 에서 NA 는 ND 보다 크 다 . 그 림 5.9(b) 에 서 요 약 된 것 처 럼 , 공핍근사화를 이용하면 전하밀도의 해는

c)16.5(and...0

b)16.5(0...

a)16.5(0...

np

nD

pA

xxxx

xxqN

xxqN

전위차

전계

공간전하밀도

불순물농도

• 에 대 한 해에 대 한 해 : 전 하 밀 도 의 해 를 Poisson 방정식에 대입하면 방정식은 전기장에 대하여

• =0 은 공핍영역 외부 모든 곳에서 =0 이다 . 는 공핍영역의 끝에서 0 이므로 x=-xp 과 x=xn

에서 =0 이다 . 이 조건은 (5.17a) 와 (5.17b) 미분방정식에 대한 경계조건들이 된다 . P-side 에 대해서 적분하면

c)17.5(and...0

b)17.5(0.../

a)17.5(0.../

np

n0SD

p0SA

xxxx

xxKqN

xxKqN

dx

dE

)18.5(''p

0S

A)(

0dx

K

qNd

x

x

x

또는

n 형쪽에서도 유사하게

• 공핍영역안에서 전기장은 언제나 음이고 위치에 따라 선형적 변화를 보인다 . 전기장은 x=0 에서 연속적인 것으로 여겨진다

)19.5(0...)()( pp0S

A xxxxK

qNx

)21.5(0...)()(

)20.5(''

nn0S

D

0S

D0

)(

n

xxxxK

qNx

dxK

qNd

x

xx

• 전기장에 대한 (5.19) 와 (5.21) 의 표현이 x=0 에서 같다는 전기장의 연속성으로부터 아래의 식을 얻을 수 있다 .

• 그림 5.9(b) 에서 계단형 접합 x 에 대한 ρ그래프에서 전하의 평형은 접합의 p 형쪽과 n형쪽의 사각형 면적이 같아야 된다 . 즉 , qNAxp

=qNDxn 이어야 한다 . 그러므로 식 (5.22) 는 공핍영역 안에서 총전하는 합해져서 0 이 되어야 한다는 사실을 증명한다 .

)22.5(nDpA xNxN

• VV 에 대한 해에 대한 해 : E=-dV/dx 이므로 , 정전위는 다음을 풀어서 얻어진다 .

• 임의의 기준 포텐셜이 x=-xp 에서 0 으로 하고 평형상태에서 공핍영역에 걸친 전압강하가 Vb

i 라는 것을 기억할 때 , 식 (5.23a) 와 (5.23b)는 각각 경계조건은

)b23.5(0...)(

)a23.5(0...)(

nn0S

D

pp0S

A

xxxxK

qN

xxxxK

qN

dx

dV

4b)2.5(at

4a)2.5(at0

nbi

p

xxVV

xxV

• 변수를 분리하고 공핍영역 끝에서부터 임의의 점 x 까지 적분하면 공핍영역의 p 형쪽에 대해

• 접합의 n 형에서도 유사하게

)26.5(0...)(2

)25.5(')'('

p2

p0S

A

p0S

A

0 p

xxxxK

qNV(x)

dxxxK

qNdV

x

x

V(x)

)28.5(0...)(2

)27.5(')'('

n2

n0S

Dbi

n0S

Dnbi

xxxxK

qNVV(x)

dxxxK

qNdV

x

x

V

V(x)

• x 에 대한 V 의 의존성은 본래 접합의 p형에서 오목한 굴곡이고 n 형쪽에서 볼록한 굴곡을 갖는 정방형이다 .

• 포텐셜에 대한 식 (5.26) 과 (5.28) 의 표현이 x=0 에서 같아야하므로

)29.5(22

2n

0S

Dbi

2p

0S

A xK

qNVx

K

qN

• xxnn 과 과 xxpp 에 대한 해에 대한 해 : xn 과 xp 는 식 (5.22) 를 이용하여 식 (5.29) 에서 xp 를 소거시키고 xn 에 대해 풀면

• 위 식으로 부터 depletion width 를 구할 수 있다 .

)0b3.5()(

2

)0a3.5()(

2

2/1

biDAA

D0S

A

nDp

2/1

biDAD

A0Sn

VNNN

N

q

K

N

xNx

VNNN

N

q

Kx

)13.5()(2

2/1

biDA

DA0Spn

V

NN

NN

q

KxxW