5. SINIF KÜMELER

GİRİŞ❁Konu Anlatımı

❁Değerlendirme

❁Kaynaklar

❁Çıkış

KÜMELER✰ Alt Küme

Kümelerde BirleşimKümelerde Kesişim

Kümelerle İlgili Problemler

ALT KÜMEA

C D

B•kalem•silgi•defter

•kalem•silgi

•kalem•defter

•silgi•defter

E

G H

F•kalem •silgi

•defter

Yukarıda venn şeması ile verilen kümeleri inceleyiniz.

Bir öğrencinin çantasında kalem, silgi ve defter vardır. Bunlar küme oluşturur. Kalem ile silgiyi, kalem ile defteri veya silgi ile defteri birlikte ayrı ayrı başka yerlere koysak, ya da bunların her birini tek tek ayırsak yine bir küme oluşturur. Boş kümeyi de bunlara katınca, kaç küme olur?

A, B, C, D, E, F, G kümelerinin her elemanı A kümesinin de elemanıdır. Bu kümeler A kümesinin birer parçasıdır. Bu kümelerin her birine A kümesinin (A kümesine dahil) alt kümesi (küme parçası) denir. www.sorubak.com

A kümesinin dışında kalan; B, C, D, E, F, G ve H (boş küme) A kümesinin öz alt kümeleridir.

Örnekler

Örnek 1A= {1, 2, 3, 4, 5} ve B= {1, 2, 3} veriliyor. Buna göre, B kümesinin elemanları olan 1, 2, 3 doğal sayıları A kümesinin de elemanı olduğu için B kümesi, A kümesinin alt kümesidir.

•1•2•3

B

4•5

A B A şeklinde yazılır, “B, A nın

alt kümesidir.” diye okuruz.

∩

Alt küme işareti

A B şeklinde yazılır, “A, B yi kapsar.” diye okuruz.

∩

Kapsama İşareti

Örnek 2A= {a, b, c, d} kümesi ile

B= {c, d} kümesinin şema ile gösterimini inceleyiniz.

B kümesinin elemanları A kümesinde var mıdır?

•c•d

B

•a•b

A

Çözüm B kümesinin elemanlarının tümü A kümesinde vardır. B kümesinin elemanları A kümesinin de elemanı ise, B kümesi A kümesi A kümesinin alt kümesidir. B A şeklinde yazılır, “B kümesi, A kümesinin alt kümesidir.” diye okunur.

∩

Bir Küme ile Kendisi Arasındaki İlişki

D F•☻ • m

•☻ • m

•a • c

•c • a

D= {☻, a, c, m} F= {m,☻, c, a}

D kümesinin bütün elemanları F kümesinin elemanı mıdır? D kümesinin bütün elemanlarının F kümesinin elemanı olduğu görülmektedir. O halde; D F veya F D yazabiliriz.

∩ ∩

Her küme kendisinin alt kümesidir.

VERİLEN BİR KÜME İLE BOŞ KÜME ARASINDAKİ İLİŞKİ

K M•5

• d

•a • e

K= {5, d, a, e} M= { }

M kümesi nasıl bir kümedir? M K diyebilir miyiz?∩

Boş küme her kümenin alt kümesidir.

BİR KÜMENİN, VERİLEN BİR KÜMENİN ALT KÜMESİ OLUP OLMADIĞINI SEMBOL

KULLANARAK YAZMA

A B•a

• c

•b • e

•b • d

•a • d

Yukarıda verilen B kümesinin her elemanı A kümesinde var mıdır? B kümesinin her elemanı A kümesinde yoktur.Öyleyse, B A yazabilir miyiz? B A yazarız, “B kümesi A kümesinin alt kümesi değildir.” diye okuruz.

∩ ∩

Örnek

Örnek D = “a, b, d, e” ; E = “a, d, g”

E kümesinin elemanı olan g, D kümesinin elemanı değildir.

D ve E kümeleri arasında kapsama yoktur.

•g

E•b •e

D

D E şeklinde yazar, “D, E yi kapsamaz.” diye okuruz.

E D şeklinde yazar, “E, D nin alt kümesi değildir.” diye okuruz. Hangi biçimde söylenirse söylensin D E ya da E D aynı anlama gelir.

∩∩ ∩

∩

•a •d

BİR KÜMENİN ALT KÜMELERİNİN SAYISI NASIL BULUNUR

Soru A= {6, 7, 8} kümesinin kaç tane alt kümesi olduğunu bulalım.

ÇözümA kümesinin eleman sayısını 2 nin üssü biçiminde yazarsak pratik olarak buluruz.

2 = 2*2*2= 83

Eleman sayısını “n” ile gösterirsek, alt küme sayısı 2 dir.n

KÜMELERDE BİRLEŞİM İŞLEMİSınıfımızda spor kolunda görevli öğrencilerin kümesi, S= {Gürcan, Serdal, Tolga}

Sınıfımızda müzik kolunda görevli öğrencilerin kümesi, M= {Gamze, Seda, Aslı} olsun.

İki kola seçilen öğrenciler, yürüyüşlerde söylenecek marşları tesbit etmek için toplanıyorlar.

Toplantıya katılan öğrencilerin kümesi: N= {Gürcan, Serdal, Tolga, Gamze, Seda, Aslı} olur. N kümesine, S ve M kümesinin birleşimi denir.

S M = N şeklinde yazar, “S kümesi birleşim M kümesi, eşittir N kümesi.” diye okuruz.

∩

•Gürcan•Tolga

•Serdar

S

•Gamze •Aslı

•Seda

M

s(S) = 3

s(M) = 3

s(S M) = 6

S M = N

∩

∩

İki ya da daha fazla kümenin elemanları bir araya getirilerek oluşturulan yeni kümeye birleşim kümesi denir.

Örnek

ÇözümListe yöntemi ile;A B = {Evren, Gamze, Gürcan} {Gamze, Gürcan, Ebru,

Emre}A B = {Evren, Gamze, Gürcan, Ebru, Emre}

Örnek A= {Evren, Gamze, Gürcan}B= {Gamze, Gürcan, Ebru, Emre} kümelerinin

birleşim kümesini, liste biçiminde ve venn şeması ile gösterelim.

∩∩∩

Venn şeması ile;A B

•Emre

•Ebru

•Evren •Evren •Emre

•Ebru

•Gürcan •Gamze

A B

∩

•Gamze

•Gürcan

KÜMELERDE KESİŞİM İŞLEMİOkulumuzda basketbol oynayan öğrencilerin kümesi,

B= {Sencer, Alper, Çetin, Efe, Hüseyin} olsun.

Voleybol takımında oynayan öğrencilerin kümesi,

V= {Alper, Çetin, Burak, Hüseyin, Fahri}olsun.

Hem basketbol hem de voleybol takımında oynayanların kümesine de “ H ” diyelim:

H= {Alper, Çetin, Hüseyin } olur.

•Emre

•Burak •Fatih

•Sencer

•Efe •Çetin

•Alper •Hüseyin

B V

HAlper, Hüseyin ve Çetin her iki takımında elemanlarıdır. B ∩ V = {Alper, Hüseyin, Çetin} B ∩ V = H dir. İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye bu

kümelerin kesişim kümesi denir. B ve V kümelerinin kesişim kümesi, B ∩ V biçimde yazılır. “B kümesi kesişim V kümesi” diye okunur.

Örnek

Örnek A= {Dursun, Ahmet, Mustafa}B= {Dursun, Ahmet} kümelerini ve A ∩ B kümesini

şema ile gösterelim;

•Mustafa

A B

A ∩ B

Dursun є A ∩ B

Ahmet є A ∩ B

Mustafa є A ∩ B dir.

B A olduğundan, A ∩ B = B dir.∩

Çözüm

•Ahmet •Dursun

KÜMELERLE İLGİLİ PROBLEMLER

Soru

Bir köydeki ailelerden 37 si yalnız çiftçilik, 13 ü yalnız besicilik, 5 ise hem çiftçilik hem de besicilikle geçinmektedirler. Köyde başka iş yapan aile olmadığına göre, kaç aile yaşamaktadır?

Çözüm

Çözüm

Çiftçilere: Ç Besicilere: B diyelim.

Köydeki aile sayısı: s(Ç B)= 37+5+13

s(Ç B)= 55 tir.

Ç B

37 135

∩

∩

Konu testi için tıklayın!

KONU TESTİ

1) Aşağıdaki venn şemasına göre, hangisi yanlıştır?

AB

•8 •g•v

•b

a) B A

b) A B

c) A B

d) A B

∩∩

∩∩

1. SORUNUN ÇÖZÜMÜ

Cevap : d şıkkı

Verilen venn şemasına göre;

A = {8, g, v, b} ; B = {g, v, b} olur.

B kümesinin tüm elemanları A kümesinde vardır. B kümesinin elemanları A kümesinin de elemanı olduğundan; B A, A B, A B doğrudur.

Fakat A B yanlıştır.∩∩ ∩

∩

Diğer soruya geçmek için yandaki oka tıklayın!

2) 1 ile 15 arasında (15 dahil) 3 ile bölünebilen

doğal sayıların oluşturduğu kümenin kaç tane

alt kümesi vardır?

a) 8 b) 16 c) 32 d) 64

2. SORUNUN ÇÖZÜMÜ

1 ile 15 arasında 3 ile bölünebilen doğal sayılar:

A = {3, 6, 9, 15}

Kümesini oluşturur. Eleman sayısı 5 tir. Buna göre;

2 = 2 = 2*2*2*2*2 = 32 tane alt kümesi vardır.n 5

Cevap : c şıkkıDiğer soruya geçmek için

yandaki oka tıklayın!

3) A, B, C kümelerinden hiçbiri boş küme olmadığına

göre ve A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ;

A C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} olduğuna göre A kümesinin

en fazla kaç elemanı vardır?

∩

∩

a) 9 b) 8 c) 7 d) 5

3. SORUNUN ÇÖZÜMÜ

A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A B ve A C kümelerinin ikisinde de A kümesi vardır. Bu yüzden ikisinde de bulunan ortak elemanlar aynı zamanda A kümesinin elemanlarını oluşturur.

A = {2, 3, 4, 5, 6} buna göre s(A) = 5 tir.

Cevap : d şıkkı

∩

∩

∩ ∩

Diğer soruya geçmek için yandaki oka tıklayın!

4) K = {Haftanın günleri} ve L = {Cumartesi, pazar} kümeleri veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır ?

a) K ∩ L = {Cumartesi, pazar}

b) L K = {cumartesi, pazar}

c) s(L K) = 7

d) K L

∩

∩

∩

4. SORUNUN ÇÖZÜMÜ

K={pazartesi, salı, çarşamba, perşembe, cuma, cumartesi, pazar}

L={cumartesi, pazar}

Buna göre;

K L ={cumartesi, pazar} yanlıştır.

K L = {pazartesi, salı, çarşamba, perşembe, cuma, cumartesi, pazar} olmalıdır.

Cevap : b şıkkı

∩

∩

Diğer soruya geçmek için yandaki oka tıklayın!

5) Okulumuzda açılan matematik ve İngilizce kursuna 90 öğrenci katılmıştır. Matematik kursuna 54, İngilizce kursuna 50 öğrenci katıldığına göre her iki kursa kaç öğrenci katılmıştır?

a) 14 b) 16 c) 10 d) 12

5. SORUNUN ÇÖZÜMÜ

M İ

40 3614

M Matematik kursuna katılanlar İ İngilizce kursuna katılanlar M∩İ Her iki kursa katılanlar

M=54 İ=50

} 50 + 54 = 104

104 – 90 = 14 kişi her iki kursa katılmıştır.

Cevap : a şıkkı