Equações Médias de Reynolds

Os modelos de turbulência baseados nas equações de Navier Os modelos de turbulência baseados nas equações de Navier-Stokes médias no tempo RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) serão descritos.

O escoamento turbulento é governado pelas mesmas equações t l i d i t f l dque o escoamento laminar, sendo que rigorosamente falando,

este é sempre tridimensional e transiente.

1

Equações Médias de Reynolds No entanto, para o engenheiro, muitas vezes é suficiente conhecer o

comportamento do valor médio. Pode-se descompor as variáveis dependentes em um valor médio no tempo e um componente de flutuação como é mostrado na figura 5, onde com freqüência a flutuação u’ é da ordem de 1% de .u

'uuu

u

t

u'

No estudo de um escoamento turbulento, como as quantidades analisadas são caracterizadas por apresentar flutuações randômicas em

transiente                    permanente

analisadas são caracterizadas por apresentar flutuações randômicas em torno de um valor médio, pode-se utilizar de métodos estatísticos. Uma simples análise estatística é suficiente.

2

Decomposição de Reynolds: 'iii uuu 'ppp

'

;

'

dt1 0'

Generalizando podemos escrever:

onde o valor médio é obtido por t

dtt

0'onde o valor médio é obtido por

A t d d i õ édi tAntes de derivarmos as equações médias para um escoamentoturbulento, vamos sumarizar algumas regras que governam as médiastemporais das flutuações das propriedades

Φ Ψ

e suas combinações derivadas e integrais

3

e suas combinações, derivadas e integrais

0 '' Φ ΨΦ ;;

;

Φ dsds Φ ΨΦψ

;

ss

''ΨΦ 0ψ';

;

Essas equações podem ser facilmente demonstradas, ao notar que a operação de média é uma operação de integração e, portanto a ordem de diferenciação ou integração e obtenção de média temporal podem ser invertidas.

Uma vez que o divergente e o gradiente são diferenciações, as regras acima podem ser estendidas para um vetor com flutuação e sua combinação com um escalar com flutuação

Aa divdiv

)()()( di)(dididi A

Φgraddivgraddiv

4

)a()a()a( div)(divdivdiv A

As equações de Navier-Stokes médias no tempo para um fluidoincompressível são apresentadas a seguir:

0xu

t j

j

Equação da continuidade

j

0xu j

para constante

x j

A equação média de conservação de massa é obtida substituindo-se na

0 jj uu )( '

equação acima a velocidade decomposta em um valor médio mais a flutuação

0 jx

a seguir, avalia-se a média no tempo da equação

5

g , p q ç

001

jjjj uudt

uu )()( ''00

jt j xdt

xt

00

jjjj uuuu '' )(00

jjj xxx

0'ju 0u j

como então (A)

Note que subtraindo a equação acima da equação de conservação de massa obtemos

0ju 0x j

massa obtemos

0xu

xu

xu

j

j

j

j

j

j

'

isto é, as flutuações da velocidade assim como as velocidades médias satisfazem a equação de conservação de massa

jjj

incompressível.

6

No caso compressível, isto não seria verdade, pois surgiriam t l d l i d l õ''termos envolvendo , que acoplariam as duas relações.

No caso compressível a equação de continuidade é

'' ju

0uu jj

'' 0

xt j

Esta equação não é muito conveniente, pois envolve uma média de um produto de flutuações, que será não nulo se as grandezas forem correlacionadas. Neste caso utiliza-se a média de Favre, que veremos mais tarde.

7

Equação de Conservação de Q id d d M i LiQuantidade de Movimento Linear

u 2

P i d d t t t di t d l id d é

ijkk

i

j

ji

ji

iji

ji

xu

xu

xu

xg

xp

xuu

tu

32

Para propriedades constantes, temos que o divergente da velocidade é nulo pela continuidade, logo podemos escrever

uuu jjj

zero

xu

xxu

xxu

x j

j

ii

j

ji

j

j

resultando em

iji

jiji

ji g

xu

xxp

xuu

tu

resultando em

(**)

8

jjij

Combinando a equação anterior com a equação de conservação de massa ,assa ,

iij

ii

ji gupu

uuuu

pode-se reescrever a equação de conservação de quantidade de i t f ti

ijjij

ij

j gxxxxt

ux

ut

movimento na forma conservativa

ji uu

V

iji

jIII

i

II

j

ji

I

i gxu

xxp

xuu

tu

VIVIIIIII

9

A equação média de quantidade é obtida de forma análoga a equação da continuidade, isto é, calculando-se a média temporal da equação. Os termos I, III, IV e V podem ser obtidos facilmente

uuuuuI iiiii )( ' tttt

I iiiii

)(

pp

ii xp

xpIII

ji

jji

j xu

xxu

xIV

jjjj

ii ggV

10

ii

O termo II é o termo não linear, precisando de cuidados adicionais

j

jjii

j

jix

uuuux

uuII

''

jijijiji

x

uuuuuuuuII

'''' jijijiji

x

uuuuuuuuII

''''

jx jx

a média das flutuações é nula, mas a média de produto de flutuações não é l l t II d it

''

nula, logo o termo II pode ser escrito como

j

ji

j

jix

uu

xuu

II

''

11

jj

Correlação entre variáveis Vimos que a média de uma flutuação é nula. No entanto, a média do

produto de duas flutuações só é diferente de zero, se estas forem correlacionadas se estas não forem correlacionadas a média é nulacorrelacionadas, se estas não forem correlacionadas, a média é nula.

A figura a seguir ilustra o conceito de flutuações de çvariáveis que são correlacionadas

A flutuação da variável a tem oA flutuação da variável a tem o mesmo sinal que a variável b, na maior parte do tempo, resultando em > 0. Por outro ablado, a variável c não é correlacionada com a e b, então

0 0b

12

0ac 0bc

As flutuações da velocidade são

correlacionadas, então

0vu ''

Substituindo I, II, III, IV e V na equação de conservação e rearrumando, temos

ijiji

jij

jii guuxu

xxp

xuu

tu

''

iii guuupuuu

''

ou

ijijji

uD

jj guu

xxxxu

t

i

13

Dt

Para propriedades variáveis a equação média no tempo deNavier-Stokes é

ii

ji gpuuu

Navier Stokes é

jikji

iij

j

uuuuu

gxxt

)(

2 (B)j

jij

kk

i

j

ji

j xxxxx

3(B)

O termo é denominado tensão de Reynolds, eenvolve os componentes das flutuações da velocidade quenão são conhecidas

''ji uu

não são conhecidas.

Com muita freqüência o tensor de Reynolds é definido ''ji uu

14

Equação de Poisson para pressão média

''

ji

ji

j

i

i

j

j

i

i

jxx

uuxu

xu

xu

xu

P

''21

15

O conjunto de equações governantes é igual a 4j q ç g g

3 de quantidade de movimento 1 de continuidade ou Poisson de pressãop

Mais o número de incógnitas é maior: 3 componentes develocidade, pressão e mais as tensões de Reynoldsvelocidade, pressão e mais as tensões de Reynolds

Como o número de equações é inferior ao número deincógnitas surge o problema de fechamento para o conjunto deincógnitas, surge o problema de fechamento para o conjunto deequações (A) e (B). Torna-se necessário formular equaçõesadicionais para as novas incógnitas, isto é, para o tensor deReynoldsReynolds.

16

Propriedades de tensores Um tensor de 2a ordem pode ser decomposto em uma parte

isotrópica e uma parte deviatóricaO t d t é d di l i i l O traço de um tensor é a soma da diagonal principal

Bii = traço (Bij)

O traço pode ser utilizado para decompor um tensor em uma parte isotrópica e uma parte deviatórica

ijIijij

Iijij BBBBB

131

'

' ;

A parte deviatórica pode ser decomposta em uma parte simétrica sije ma anti simétrica r

ijijij BBB 31

e uma anti-simétrica rij

17

jiijijijijjijiijij sBBBssBBs 31

21

21 ;''

O t d 2 O d d d t l

jiijijjijiijij BBrrBBr 21

21 ;''

O tensor de 2a. Ordem pode ser decomposto em uma parcela isotrópica, uma parcela simétrica e uma parcela anti-simétrica

BB 1ijijijij rsBB 3

Gradiente de velocidade

ijijijijijj

i Ssxu

31

Gradiente de velocidade

i

ixu

i

j

j

iij

i

j

j

iij

j

xu

xu

xu

xuS

21

21 ;

i

18

ijij xxxx 22

Tensão de Reynolds A tensão viscosa corresponde a uma transferência de quantidade

de movimento a nível molecular. A tensão de Reynolds corresponde a uma transferência de A tensão de Reynolds corresponde a uma transferência de

quantidade de movimento devido ao campo de velocidades flutuantesO t d R ld é d 2 d é''''

O tensor de Reynolds é de 2a. ordem e é simétrico

Os componentes da diagonal são as tensões normais, enquanto

ijji uuuu

as tensões fora da diagonal são as tensões cisalhantes A energia cinética turbulenta é definida como a metade do traço

do tensor de Reynolds 1do tensor de Reynolds

é a energia cinética por unidade de massa do campo de l id d fl t t

''ii uu

21

velocidade flutuante

19

Anisotropia Nos eixos principais, o tensor de Reynolds não possui tensões Nos eixos principais, o tensor de Reynolds não possui tensões

cisalhantes, e as tensões normais são os autovalores, os quais são não negativos.

O tensor de Reynolds é simétrico positivo O tensor de Reynolds é simétrico, positivo A distinção entre as tensões normais e cisalhantes dependem

do sistema de coordenadas Pode-se realizar uma distinção entre as tensões isotrópicas e

anisotrópicas. As tensões isotrópicas são ij2 As tensões isotrópicas são

e a parte anisotrópica deviatórica

ij3

ijjiij uua 32

O tensor anisotrópico normalizado é

3

ijijjiij b

uuuua

31

2

20

O tensor de Reynolds pode ser escrito como

)( ijijij

ijji bauu

312

32

E a equação de Navier Stokes pode ser escrita como

32P

xxa

xu

xxuu

tu

ij

ij

j

i

jj

jii

Somente o componente anisotrópico é efetivo no transporte de quantidade de movimento O componente isotrópico pode serquantidade de movimento. O componente isotrópico pode ser incorporado na pressão média modificada.

21

Escoamento Rotacional Uma característica essencial de um escoamento turbulento é que o

é t i lmesmo é rotacional Considere um escoamento irrotacional (escoamento de ondas de água)

A vorticidade é zero, logo a vorticidade média também, assim como a vorticidade flutuante, e

Logo0

i

j

j

ixu

xu

021

21

jii

iij

zeroi

ij

i

ji

j

ii

i

j

j

ii uu

xuu

xxuu

xuu

xuu

xu

xuu

O que dá origem a equação de Corrsin-Kistler para escoamento irrotacional

jji

i xuu

x

Neste caso a tensão de Reynolds tem o mesmo efeito que a tensão isotrópica, podendo ser absorvida pela pressão modificada. Logo, em um escoamento irrotacional, o campo de velocidade flutuante) não

j

possui nenhum efeito no campo média de velocidades

22

Equação de Conservação de um E lEscalar

u j

Sxxxt jjj

j

Considerando

A equação média da quantidade é obtida de forma análoga ao feito

A equação média da quantidade é obtida de forma análoga ao feito anteriormente, isto é, calculando-se a média temporal da equação

tt

jjjj xxxx

23

jjj uuu

''

Substituindo as expressões anteriores, temos

jjj xxx

Suxxx

ut j

jjj

j

''

'' ju

fluxo difusivo turbulento também precisa ser determinado

ju

24

Viscosidade e Difusividade Turbulenta

Como vimos, o efeito da turbulência implica em uma aumento de difusão. Baseados neste fato, pode-se modelar o fluxo turbulento de um escalar utilizando uma difusividade turbulenta t

tju ''

Definindo a difusividade efetiva como ef t x, t A equação de conservação do escalar médio é

StD

Def

25

Os modelos de viscosidade turbulenta são baseados no conceito da viscosidade turbulenta introduzido por Boussinesq em 1877. scos dade tu bu e ta t odu do po ouss esq e 8Boussinesq propõe para o núcleo turbulento uma analogia entre as tensões turbulentas e as tensões existentes no regime laminar.

Vimos que a tensão viscosa para um fluido Newtoniano é

IV2VV T

di])d(d[

Em notação indicial a equação acima pode se escrita com

IV

3VV T div])grad(grad[

ijkk

i

j

ji

ij xu

32

xu

xu

onde ij é o delta de Kronecker.

kij x3xx

26

Fazendo uma analogia entre a tensão laminar e turbulento, a tensão turbulenta é definida como:

ijijkk

ti

j

ji

tji xu

x

u

xu

uu

32

32

onde t é a viscosidade turbulenta. O termo é a parte isotrópica do tensor e é introduzido para representar a pressão dinâmicado tensor e é introduzido para representar a pressão dinâmica associada aos turbilhões, em analogia à pressão estática, termodinâmica. é a energia cinética turbulenta, definida como

2222

i wvu21u

21 ''''

Com a substituição da expressão para a tensão de Reynolds na equação (B), obtêm-se a seguinte expressão para a equação de conservação de quantidade de movimento linear para regime t b l t b d it d i id d t b l tturbulento baseada no conceito da viscosidade turbulenta

27

iij

ij

i gxp

xuu

tu

ijijkk

ti

j

ji

ti

j

ji

j

ij

xu

xu

xu

xu

xu

x

xxt

32

32 )(

( C )iji

efi

ji g

uuPuutu

( C )

onde P é a pressão modificada, definida como

iij

efjij

j xxxxxt

32

xu

32pP

kk

t

e a viscosidade efetiva ef:

onde é a viscosidade molecular e t é a viscosidade turbulenta.

)(x, ttef

onde é a viscosidade molecular e t é a viscosidade turbulenta.

28

Escoamento Compressível Ocasionalmente podemos considerar para um escoamento

compressível que a flutuação da massa específica não é correlacionada com as flutuações da velocidade, simplificandocorrelacionada com as flutuações da velocidade, simplificando sensivelmente as equações de conservação de massa e quantidade de movimento linear

0

xu

t j

j

ijiijk

k

i

j

j

i

jij

iji guuxu

xu

xu

xxp

xuu

tu

''

32

Quando a massa específica é correlacionada com a velocidade, podemos utilizar a decomposição de Favre

kijjij xxxxxxt

3

29

Decomposição de Favre Em 1965, Favre sugeriu um procedimento de média no tempo que

simplifica bastante a forma das equações de conservação assimsimplifica bastante a forma das equações de conservação assim geradas. Ele introduziu o conceito de média no tempo ponderada pela densidade, definida por:

t11~

onde é a média de Reynolds da densidade

t

tdttxtx

t 0

11 ),(),(~ lim

dt1 onde é a média de Reynolds da densidade

A decomposição de Favre é dada

t

dtt

iii ~

30

Comparando-se as definições da médias de Reynolds e de Favre, observa-se que:

então

~

~

P t d ã d ti id d d it d d

))((

Portando a equação da continuidade pode ser escrita de modo análogo àquela apresentada anteriormente como:

0 i

)~( u

xt i

31

Ao usarmos a média de Favre é comum decompormos a velocidade instantânea em uma média mássica e uma flutuação , como iu~ iu mostrado abaixo.

Multiplicando a equação acima por e operando a média de

i i

iii uuu ~

p q ç p pReynolds no tempo temos:

iiiiiiii uuuuuuuu ~~~~

Utilizando a identidade dada na equação anterior, obtém-se ~

Vimos que uma das propriedades da decomposição de Reynolds é

0iu

que

Na decomposição de Favre, a média da flutuação da velocidade não é nula

0iu

0nula

32

0iu

Equações de Conservação de Quantidade de Movimento na Média de Favre

;;Movimento na Média de Favre

A fim de obtermos as equações de conservação na média de Favre, as propriedades do escoamento foram decompostas como segue:

vimos que

iii uuu ~ ppp

ii uu ~ vimos que

trabalhando o segundo termo

ii uu

jjjijijiji

jjjijijijjiiji

uuuuuuuuuu

uuuuuuuuuuuuuu

~~~~'~~

~~~~)~()~(

jjjijijiji

jijiji uuuuuu ~~jijiji

A equação de conservação de quantidade de movimento linear com a média de Favre é

ji

i puutu )~~()~(

ijkji

ij

j

uuu

xxt

2 ~~~

ijkijj xxxx

3

jiijk

k

i

j

j

i

juu

xu

xu

xu

x

32

ijt

kijj

34

A equação de conservação de quantidade de movimento linear com a média de Favre é

iji puuu )~~()~(

kii

iij

j

uuu

xuu

xt

~~~

)(

2

ijtijkk

ii

ji

j xxxx ,

3

Um aspecto físico a ser destacado é que embora a média de Favreelimine as flutuações da densidade dentro das equações de conservação, a mesma não remove o efeito dessas flutuações sobre a turbulência. Conseqüentemente, a média de Favre é apenas uma simplificação do ponto de vista matemático e não físico.

35