T.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 1 Encontro On Line : Prova 1Exerccios Resolvidos Profa.: Tnia F Bogutchi PUC Minas Virtual 2012 T.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 2 So dadas as urnas A, B e C. Da urna A retirada uma bola e colocada na urna B. Da urna B retira-se uma bola, que colocada na urna C. Retira-se ento uma bola da urna C. A probabilidade de ocorrer bola de cor vermelha de 0,537. Determinar o valor de x sabendo que as urnas tm as seguintes composies: Exerccio 1 SOLUO: Sejam os eventos:A, B, C : urnas A, B e C , respectivamente; V: bola vermelha Bb: bola branca Foi dado na problema: P(V|C) = 0,537 P(Bb|C) = 1 0,537 = 0,463 Uma das maneiras de resolver pode ser por meio de um esquema em rvore: brancas xsvermelha ) 9 (Cbrancas 6svermelha 3Bbrancas 3svermelha 7AxT.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 3 A C C B B C V= 107Bb= 103V= 104107C Bb= 106107V= 103103Bb= 107103V= 101 ) 9 (104107 + xV= 10) 1 ( 10106107 + xBb= 101106107 + xV= 101 ) 9 (103103 + xBb= 10 104107 xBb= 10 103103 xV= 10) 1 ( 10107103 + xBb= 101107103 + x =+=++ +++ =463 , 0100063 1001000) 1 ( 21100091000) 1 ( 42100028) | (x x x x xC B P4 400 100463 63 100463 , 0100063 100 = = = + =+ x x xxT.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 4 Se quiser resolver pela sada de bola vermelha: =+++=1000) 9 ( 211000) 10 ( 91000) 9 ( 421000) 10 ( 28) | (x x x xC V P4 400 100537 100 - 937537 , 01000100 937 = = = = x x xx537 , 01000100 937100021 189 9 90 42 378 28 280== + + + =x x x x xT.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 5 Exerccio 2 Umalunorespondeaumtestedemltiplaescolhacom5alternativas comumascorreta.Aprobabilidadedequeelesaibaaresposta certa de uma questo de 35%. Se ele no sabe a resposta existe a possibilidade de acertar no chute. No existe a possibilidade de ele obter a resposta certa por cola. Se ele acertou a questo, qual a probabilidade de ele realmente saber a resposta? Soluo: Sejam os eventos: S = o aluno sabe a questo ; A = o aluno acerta a questo Probabilidade de resposta correta em cada questo = 0,25 O problema solicita: ) | ( A S PT.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 6 AAAS30 , 0175 , 030 , 070 , 0125 , 0) ( A S P ) ( A S P +475 , 0 ) ( = A PSaluno75 , 06316 , 0475 , 030 , 0) () () | ( = ==A PA S PA S PLogo, Se ele acertou a questo, a probabilidade de ele realmente saber a resposta de aproximadamente 63,2% T.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 7 Umapessoavendeaplicesdeseguroempresariais.Visitasemanalmenteuma, duasoutrsempresascomprobabilidade0,2,0,5e0,3,respectivamente. De cada contato pode conseguir a venda de uma aplice por R$ 1.200,00 com probabilidadede0,3.Determinarovalortotalmdio(esperado)dasvendas semanais. Exerccio 3 Soluo: Utilizando modelo de distribuio de probabilidades X: no. de vendas semanais Visita em 1 empresa: X ~ Ber(0,3) Visita em 2 empresas: X ~ Bin(2; 0,3) Visita em 3 empresas: X ~ Bin(3; 0,3) T.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 8 Logo, O ganho mdio esperado por semana de R$756,00 Por que E p(l)=0,512 ??? L: valor das vendas semanais No. empresas Prob. Visitaxp(x)lp(l)l.p(l) 10,2010,300R$ 1.200,000,060R$ 72,00 20,50 10,420R$ 1.200,000,210R$ 252,00 20,090R$ 2.400,000,045R$ 108,00 30,30 10,441R$ 1.200,000,132R$ 158,76 20,189R$ 2.400,000,057R$ 136,08 30,027R$ 3.600,000,008R$ 29,16 Total0,512R$ 756,00 Fazendo os clculos intermedirios: T.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 9 Exerccio 4 Umbancopretendeaumentaraeficinciadeseuscaixas.Ofereceum prmio de R$ 150,00 para cada cliente atendido alm de 42 clientes por dia. O banco tem um ganho operacional de R$ 100,00 para cada clienteatendidoalmde41.Qualaesperanadeganhodobanco seestenovosistemaforimplantado?Considereasprobabilidades de atendimento: No. de clientes At 414243444546 Probabilidade0,880,060,040,010,0060,004 T.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 10 No. de clientesAt 414243444546 Probabilidade0,880,060,040,010,0060,004 Banco paga00150300450600 Banco ganha0100200300400500 Banco lucra (L)0100500-50-100 04) (-100)(0,0 6) (-50)(0,00 50(0,04) 100(0,06) E(L) : mdio Lucro + + + =Lucro mdio do banco : R$ 7,30 O sistema vantajoso para o banco No. de clientes At 414243444546 Probabilidade0,880,060,040,010,0060,004 Banco paga00150300450600 No. de clientes At 414243444546 Probabilidade0,880,060,040,010,0060,004 Banco paga00150300450600 Banco ganha0100200300400500 T.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 11 Umaciadesegurosvendeuaplicesacincopessoas,todasdamesmaidadee comboasade.Deacordocomastbuasatuariais,aprobabilidadedeque uma pessoa daquela idade esteja viva daqui a 30 anos de 70%. Calcular a probabilidade de daqui a 30 anos: a) Exatamente duas pessoas estejam vivas;b) Todas as pessoas estejam vivas; c) Pelo menos trs pessoas estejam vivas.Exerccio 5 Soluo: Seja, X: nmero de pessoas vivas daqui a 30 anos X ~ Bin(5; 0,7) a) Exatamente duas pessoas estejam vivas:1323 , 0 ) 027 , 0 )( 49 , 0 )( 10 ( 3 , 0 7 , 0! 2 )! 2 5 (! 53 , 0 7 , 025) 2 (3 2 3 2= ==||.|

\|= = X PT.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 12 b) Todas as pessoas estejam vivas: P(X=5) c) Pelo menos trs pessoas estejam vivas: equivalente: no mnimo trs pessoas estejam vivas8369 , 0 1631 , 0 1 ) 2 ( 1 ) 3 ( 1 ) 3 ( ~ ~ s = < = > X P X P X P1681 , 0 ) 1 )( 16807 , 0 )( 1 ( 3 , 0 7 , 0! 5 )! 5 5 (! 53 , 0 7 , 055) 5 (0 5 0 5~ ==||.|

\|= = X PPois, 00243 , 0 3 , 0 7 , 005) 0 (5 0~||.|

\|= = X P02835 , 0 3 , 0 7 , 015) 1 (4 1~||.|

\|= = X P1323 , 0 3 , 0 7 , 025) 2 (3 2~||.|

\|= = X P) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 ( = + = + = = s X P X P X P X PT.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 13 Exerccio 6 (Anpec2002)Umacompanhiadesegurostem400seguradosdecertotipo.O prmiodoseguroR$1.000,00porano.Casoocorraumsinistroa seguradoraindenizarR$8.000,00acadaacidentado.Sabe-sequea probabilidadedeocorrnciadesinistro,0,1porano.Oscustosfixosda seguradora so de R$ 8.000,00 por ano.Qual a probabilidade da seguradora ter prejuzo em um certo ano?Soluo No. seguradosPrmio/seguro Total Premios/ano Custo fixo/ano Saldo/ano 400R$ 1.000,00R$ 400.000,00R$ 8.000,00R$ 392.000,00 T.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 14 Indenizao por acidentado: R$ 8.000,00 Capacidade de indenizao: R$ 392.000,00/R$ 8.000,00 = 49 X: no. de sinistros por ano X ~ Bin(400; 0,1) Probabilidade de prejuzo: P(X > 49) Fazendo o clculo exato, por meio de recursos computacionais: 0601 , 0 9399 , 0 1 ) 49 X ( P 1 ) 49 X ( P = = s = >Esse problema pode ser resolvido pela aproximao da Binomial pela Normal, T.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 15 Dessa maneira, 6) N(40; ) , ; ( Bin ~ X ~ 1 0 400Binomial: P(X > 49) = 0,0601 (6,01%) 05 , 0 0499 , 00601 , 0003 , 00601 , 00571 , 0 0601 , 0~ = =) 58 , 1 ( 1640 5 , 491 ) 5 , 49 ( 1 ) 49 ( < =|.|

\|< = < = > Z P Z P X P X PNormal : P(X > 49) = 1 - 0,942947 = 0,0571 (5,71%) Erro da aproximao:T.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 16 OchefedepolciadoMorrodaOncinharecebecincopedidosde socorroporhora.Qualaprobabilidadedeele,emtrsquartosde hora: a) poder tirar um cochilo tranqilo? b) ter que atender: b.1) um? b.2) entre dois e cinco? b.3) mais de quatro chamados? Exerccio 7 T.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 17 Logo, X ~ Pois (3,75) a) Tirar um cochilo tranquilo P(X = 0) X : no. de pedidos de socorro por hora (60 min) = 5 75 , 360) 5 )( 45 (min 455 min 60= = trs quartos de hora = 45 min = 3,75 023518 , 0! 0) 75 , 3 () 0 (75 , 30 75 , 3= = = =eeX PT.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 18 b.1) P(X=1) = 0,0882b.2) P(2 X 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0,7111 Tambm aceito, o entre 2 e 5 como: P(2 < X < 5) = P(X=3) + P(X=4) = 0,4005 b.3) P(X > 4) = 1 [P(X=0) + P(X=1) + ...+ P(X=4)]= = 1 0,6775 = 0,3225Fazendo os clculos para:,.... 2 , 1 , 0 ;!) 75 , 3 () (75 , 3= = =kkek X Pkk012345678 P(X = k)0,023520,088190,165360,206700,193780,145340,090830,048660,02281 T.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 19 Exerccio 8 OssalriosdosdiretoresdasempresasdeSoPaulodistribuem-se normalmente com mdia de R$ 8.000,00 e desvio-padro de R$ 5.000,00. Qual a porcentagem de diretores que recebem: a) Menos de R$ 6.470,00? b) Entre R$ 8.920,00 e R$ 9.380,00? c)Qualovalordosalriodos10%dosdiretoresmaismalpagosde So Paulo? d)Qualovalordosalriodos5%dosdiretoresmaisbempagosde So Paulo? T.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 20 Aproximadamente37,8%dos diretoresganhammenosque R$6.470,00 Seja, X: slario dos diretores de So Paulo, em R$ X ~ N(8000; 5000) 37828 , 0 ) 31 , 0 (50008000 6470) 6470 ( ) = < =|.|

\|< = < Z P Z P X P aT.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 21 b) P(8920 < X < 9380)Logo, P(8920 < X < 9380) = P(X z) = 0,05 = P(Z < -z) z = 1,6416200 8000 ) 5000 )( 64 , 1 ( ~ + ~ + = = x z xxz ooT.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 24 Uma fbrica de tubos para TV determinou que a vida mdia dos tubos desuafabricaode800horasdeusocontnuoesegueuma distribuio exponencial. Qual a probabilidade de que a fbrica tenha desubstituir umtubogratuitamente, seofereceumagarantiade 300 horas de uso? Soluo: Seja X: vida mdia dos tubos, em horas X~ exp (o) E(X) = 800 Exerccio 9 8001) (1 1) ( = = =X EX E ooT.F.Bogutchi - Probabilidade e Estatistica I - Encontro On Line 25 3127 , 0 6873 , 0 1 1 1 ) 300 ( ) 300 (83) 300 (8001~ ~ = = =