5.3 funciones especiales
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5.3 Funciones Especiales. Ecuación de Bessel de orden v (1) donde v 0, y x = 0 es un punto singular regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de Bessel . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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5.3 Funciones Especiales• Ecuación de Bessel de orden v
(1)donde v 0, y x = 0 es un punto singular regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de Bessel.
• Lengender’s Equation de order n(2)
donde n es un entero no negativo, y x = 0 es un punto ordinario de (2). Las soluciones de (2) se llaman funciones de Legendre.
0)( 222 yvxyxyx
0)1(2)1( 2 ynnyxyx
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La Solución de la Ecuación de Bessel
• Puesto que x = 0 es un punto singular regular, sabemos que existe al menos una solución de la forma . Entonces de (1),
(3)
0nrn
nxcy
0
2
1
22220
0
22
1
220
00
22
00
222
])[()(
])()1)([()(
)()1)((
)(
n
nn
r
n
nn
rr
n
nn
rn
nn
rr
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
xcxxvrncxxvrc
xcxxvrnrnrncxxvrrrc
xcvxcxrncxrnrnc
yvxyxyx
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De (3) tenemos la ecuación indicial r2 – v2 = 0, r1 = v, r2 = −v. Cuando r1 = v, tenemos
(1 + 2v)c1 = 0(k + 2)(k + 2+ 2v)ck+2 + ck = 0
ó (4)
La elección de c1 = 0 implica c3 = c5 = c7 = … = 0, así que para k = 0, 2, 4, …., dejando que sea k + 2 = 2n, n = 1, 2, 3, …, tenemos
(5)
,2,1,0,)22)(2(2
k
vkkcc k
k
)(2222
2 vnncc n
n
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Así
(6)
,3,2,1,)()2)(1(!2
)1(
)3)(2)(1(3212)3(32
)2)(1(212)2(22
)1(12
20
2
60
24
6
40
22
4
20
2
nvnvvn
cc
vvvc
vcc
vvc
vcc
vcc
n
n
n
....
...
..
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Elegimos c0 como valor específico
donde (1 + v) es la función gamma. Vease el Apéndice II. Hay una relación importante:
(1 + ) = ()Así que podemos reducir el denominador de (6):
)1(21
0 vc v
)1()1)(2()2()2()21()1()1()11(
vvvvvvvvv
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De ahí que podemos poner (6) como
,...2,1,0,)1(!2
)1(22
n
nvnc vn
n
n
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Funciones de Bessel de Primera Clase
• Podemos definir Jv(x) mediante
(7)
y
(8)
En otras palabras, la solución general de (1) en (0, ) es
y = c1Jv(x) + c2J-v(x), v entero (9)
Fig 5.3
0
2
2)1(!)1()(
n
vnn
vx
nvnxJ
0
2
2)1(!)1()(
n
vnn
vx
nvnxJ
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Fig 5.3
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Ejemplo 1
• Considere la ED
Hallamos v = ½, y la solución general en (0, ) es
0)1/4('" 22 yxxyyx
)()( 1/221/21 xJcxJcy
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Funciones de Bessel de Segunda Clase
• Si v entero, entonces
(10)
y la función Jv(x) son soluciones linealmente independientes de (1). Otra solución de (1) es y = c1Jv(x) + c2Yv(x).
• Como v m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0. De la regla de L’Hopital, la función
y Jv(x) soluciones linealmente independientes de
vxJxJvxY vv
v sin)()(cos)(
)(lim)( xYxY vmvm
0)('" 222 ymxxyyx
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De ahí que para cada valor de v, la solución general de (1) es
(11)
Yv(x) se llama función de Bessel de segunda clase de orden v. Fig 5.4 ilustra y0(x) y y1(x).
)()( 21 xYcxJcy vv
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Fig 5.4
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Ejemplo 2
• Considere la ED
Hallamos v = 3, y de (11) la solución general en (0, ) es
0)9('" 22 yxxyyx
)()( 3231 xYcxJcy
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EDs Solubles en Términos de Funciones de Bessel
• Sea t = x, > 0, en
(12)entonces por la regla de la cadena,
0)( 2222 yvxyxyx
dtdy
dxdt
dtdy
dxdy
2
22
2
2
dtyd
dxdt
dxdy
dtd
dxyd
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• Así, (12) pasa a ser
La solución de la anterior ED es y = c1Jv(t) + c2Yv(t)Sea t = x, tenemos
y = c1Jv(x) + c2Yv(x) (13)
0
0
222
22
222
22
2
yvtdtdyt
dtydt
yvtdtdyt
dtydt
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• Otra ecuación se llama ecuación de Bessel modificada de orden v,
(14)
• Ahora dejamos que sea t = ix, entonces (14) se transforma en
Las soluciones son Jv(ix) y Yv(ix). Una solución de valores reales, llamada función de Bessel modificada de primera clase de orden v se define como(15)
0)( 222 yvxyxyx
0)( 222
22 yt
dtdyt
dtydt
)()( ixJixI
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• Análogamente a (10), la función de Bessel modificada de segunda clase de orden v entero se define como
(16)
y para cualquier v = n entero,
Puesto que Iv y Kv son linealmente independientes en (0, ), la solución general de (14) es
(17)
sin)()(
2)( xIxIxK
)(lim)( xKxKnn
)()( 21 xKcxIcy
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• Consideramos otra ED importante:
(18)
La solución general de (18) es
(19)
Aquí no se especifican los detalles.
0 ,0212
2222222
pyxcpaxcby
xay c
)]()([ 21c
pc
pa bxYcbxJcxy
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Ejemplo 3
Hallar la solución general de en (0, )SoluciónEscribiendo la ED como
recurriendo to (18)1 – 2a = 3, b2c2 = 9, 2c – 2 = −1, a2 – p2c2 = 0
luego a = −1, c = ½ . Además tomamos b= 6, p = 2.De (19) la solución es
093 yyyx
093 yx
yx
y
)]6()6([ 2/122
2/121
1 xYcxJcxy
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Ejemplo 4
• Recordamos el modelo de la Sec. 3.8
Se debe comprobar que tomando
se tiene
0 ,0 xkexm t
2/ 2 tenks
022
22 xs
dsdxs
dsxds
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Ejemplo 4 (2)
La solución de la nueva ecuación es x = c1J0(s) + c2Y0(s),
Si volvemos a sustituir
obtenemos la solución.
2/ 2 tenks
2/
022/
0122)( tt emkYce
mkJctx
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Propiedades
• (1)
• (2)
• (3)
• (4)
)()1()( xJxJ mm
m
)()1()( xJxJ mm
m
0,10,0
)0(mm
Jm
)(lim
0xYmx
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Ejemplo 5
Obtener la fórmula SoluciónDe la ecuación (7) se deduce
1
1
120
2
0
20
2
2)1()!1()1()(
2)1(!)1(2
2)1(!)1(
2)1(!)2()1()(
nk
n
vnn
v
n
vnn
n
vnn
n
vnn
v
xnvn
xxvJ
xnvn
nxnvn
v
xnvnvnxJx
)()()(' 1 xxJxvJxxJ vvv
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Ejemplo 5 (2)
)()(2)2(!
)1()(
1
0
12
xxJxvJ
xkvk
xxvJ
vv
k
vkk
v
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• El resultado del ejemplo 5 puede escribirse como
que es una ED lineal en Jv(x). Multiplicando ambos lados por el factor de integración x-v, se obtiene
(20)
Se puede demostrar que(21)
Cuando y = 0, se deduce del (14) que(22)
)()()( 1 xJxJxvxJ vvv
)()]([ 1 xJxxJxdxd
vv
vv
)()]([ 1 xJxxJxdxd
vv
vv
,)()( 10 xJxJ )()( 10 xYxY
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Funciones de Bessel Esféricas
• Cuando el orden v es la mitad de un entero impar, esto es,
1/2, 3/2, 5/2, …..La función de Bessel de primera clase Jv(x) puede expresarse como función de Bessel esférica :
Como (1 + ) = () y (1/2) = ½, entonces
0
2/12
2/1 2)2/11(!)1(
)(n
nn xnn
xJ
!2)!12(
211 12 n
nn n
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De ahí que
y
0
12
0
2/12
12
2/1 )!12()1(2
2!2
)!12(!
)1()(n
nn
n
n
n
n
xnx
x
nnn
xJ
(24) cos2)(
(23) sin2)(
2/1
2/1
xx
xJ
xx
xJ
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La Solución de Ecuación de Legendre
• Como x = 0 es un punto ordinario de (2), usamos
Después de sustituir y simplificar, obtenemos
o en las formas siguientes:
0n
nnxcy
0)1)(()1)(2(06)2)(1(02)1(
2
31
20
jj cjnjncjjccnnccnn
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Usando (25), para al menos |x| < 1, obtenemos
6
4201
!6)5)(3)(1()2)(4(
!4)3)(1()2(
!2)1(1)(
xnnnnnn
xnnnnxnncxy
(25) ,4,3,2,)1)(2(
)1)((!3
)2)(1(!2
)1(
2
13
02
jcjjjnjnc
cnnc
cnnc
jj
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Observaciones: Si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que y2 es una serie infinita. Si n es un entero impar, la serie y2 termina con xn.
(26) !7
)6)(4)(2)(1)(3)(5(!5
)4)(2)(1)(3(!3
)2)(1()(
7
5312
xnnnnnn
xnnnnxnnxcxy
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Polinomios de Legendre
• Los siguientes polinomios de orden n son polinomios de Legendre:
(27) )157063(81)(),33035(
81)(
3)5(21)(),13(
21)(
)(,1)(
355
24
33
22
10
xxxxPxxxP
xxxPxxP
xxPxP
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Son a su vez soluciones particulares de las EDs.
(28)
Fig 5.5
0122)1(:3
062)1(:2022)1(:1
02)1(:0
2
2
2
2
yyxyxnyyxyxnyyxyxn
yxyxn
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Fig 5.5
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Propiedades
• (1)
• (2)
• (3)
• (4)
• (5)
)()1()( xPxP nn
n
1)1( nP
nnP )1()1(
impar ,0)0( nPn
par ,0)0(' nP n
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Relación de Recurrencia
• Sin comprobación, tenemos (29)
que es válida para k = 1, 2, 3, …Otra fórmula puede generar los polinomios de Legendre por diferenciación. La fórmula de Rodrigues para estos polinomios es:
(30)
0)()()12()()1( 11 xkPxxPkxPk kkk
... ,2 ,1 ,0 ,)1(!2
1)( 2 nxdxd
nxP n
n
n
nn