54 ตรีโกณมิติ...
TRANSCRIPT
คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร
เรอง
ตรโกณมต
ตอน สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซน และโคไซน
โดย ผชวยศาสตราจารย วาสนา สขกระสานต
สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ
ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
3
สอการสอน เรอง ตรโกณมต
สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย
1. บทน า เรอง ตรโกณมต
2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต - สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส
- อตราสวนตรโกณมต
- อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60
3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย
- เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม
4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1
- ฟงกชนตรโกณมต
- คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60
5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2
- ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตางๆ
6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3
- คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม
- สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต
7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและโคไซน - กฎของไซน
- กฎของโคไซน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
4
8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต
9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน
- ฟงกชนตรโกณมตผกผน
- สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน
10. แบบฝกหด (พนฐาน 1)
11. แบบฝกหด (พนฐาน 2)
12.แบบฝกหด (พนฐาน 3)
13.แบบฝกหด (พนฐาน 4)
14. แบบฝกหด (ขนสง)
15. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย
16. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน
17. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน
คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอน
ส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง
ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆ ทคณะผจดท าได
ด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร
ทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
5
เรอง ตรโกณมต (สอปฏสมพนธ เรองกฎของไซนและโคไซน)
หมวด สอปฏสมพนธ
ตอนท 3 (3/3)
หวขอยอย 1. กฎของไซน
2. กฎของโคไซน
3. มมและดานของรปสามเหลยม
4. พนทของรปสามเหลยม
5. แบบฝกหด
จดประสงคการเรยนร
เพอใหผเรยนไดใชสอปฏสมพนธในการศกษา เรอง ตรโกณมต เกยวกบ 1. กฎของไซน เพอบอกความสมพนธระหวางความยาวดานของสามเหลยมกบคาไซนของมม
ภายในของสามเหลยม 2. กฎของโคไซน เพอบอกความสมพนธระหวางความยาวดานของสามเหลยมกบคาโคไซน
ของมมภายในของสามเหลยม 3. น ากฎของไซน และกฎของโคไซน มาประยกตใชในการหาคามมและความยาวดานของรป
สามเหลยม 4. น ากฎของไซน และกฎของโคไซนมาประยกตหาพนทของรปสามเหลยม คาไซนของครง
มมของสามเหลยม 5. หาพนทรปสามเหลยมโดยใช Heron’s Formula 6. ประยกตหาพนทรปสเหลยมทแนบในวงกลม
ผลการเรยนร
ผเรยนสามารถใชสอปฏสมพนธเพอ
1. ท าความเขาใจเกยวกบความสมพนธระหวางความยาวดานของสามเหลยม กบคาไซนของมมภายในของสามเหลยม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
6
2. เพอบอกความสมพนธระหวางความยาวดานของสามเหลยมกบคาโคไซนของมมภายในของสามเหลยม
3. ประยกตหาพนทของรปสามเหลยม คาไซนของครงมมของสามเหลยม คาโคไซนของครงมมของสามเหลยม ทแนบในวงกลม
4. ประยกตหาพนทของสามเหลยมเมอทราบ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
7
สารบญ
หนา
การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 8
1. กฎของไซน 13
2. กฎของโคไซน 18
3. มมและดานของรปสามเหลยม 24
4. พนทของรปสามเหลยม 31
5. แบบฝกหด 39
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
8
การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
สอการสอนชดนพฒนาดวยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คอซอฟตแวรส ารวจเชง
คณตศาสตร เรขาคณตพลวต รน 4.06 ภาษาไทย ผใชโปรแกรมจะเรยกใชโปรแกรมไดจากเมนค าสง
เมอคลกเลอกโปรแกรม หรอไอคอน บนเดสกทอป จะปรากฏหนาตางดงรปท 1
ใหคลกทปม เพอเขาสการใชงานโปรแกรม จะปรากฏหนาตางดงรปท 2 จากรปท 2 จะกลาวถงเครองมอทใชส าหรบการท างานกบโปรแกรมน คอเมนแฟม และ
กลองเครองมอ เมนแฟม ใชท างานเกยวกบแฟมขอมล ในการใชงานสอชดนใชเพยงการเปด/ปด
แฟมขอมล
กลองเครองมอ แบงเครองมอออกเปนหกประเภท ใน
ทนจะใชเฉพาะเครองมอลกศร ส าหรบเลอกหรอเคลอนยาย (หรอลาก) ออบเจกต
ในโปรแกรม ผใชโปรแกรมนจะตองเลอกเครองมอลกศร นในการท างานตลอดทงโปรแกรม
รปท 1 หนาตางแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
9
o การเปด/ปด แฟมขอมล
ถาตองการเรยกโปรแกรมแฟมขอมลขนมาใชงาน ใหคลกทเมน เลอกค าสง จะปรากฏ
หนาตางดงรปท 3 ใหเลอกแฟมขอมลทตองการ โดยแฟมขอมลทพฒนาจากโปรแกรม
The Geometer’s Sketchpad จะมนามสกลเปน gsp เลอกแฟมขอมลทตองการ แลวคลกท
แลวจะปรากฏหนาตางของโปรแกรมแฟมขอมลทไดเลอกไวดงรปท 4 คอหนาจอ “สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน” จะปรากฏหนาตางสองหนาตางนสลบกน
รายการเมน กลอง
เครองมอ
รปท 2 หนาตางหลกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
รปท 3 หนาตางเปดเลอกแฟมขอมล
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
10
ถาตองการปดแฟมขอมล ใหคลกทเมน เลอกค าสง
จะปรากฏหนาตางดงรปท 5 คอโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามวาตองการบนทกการเปลยนแปลงของแฟมขอมลหรอไม ในทนไมแนะน าใหบนทกแฟมขอมล เพราะอาจท าใหโปรแกรมทพฒนาไว
มขอผดพลาดได ใหเลอกคลกทปม เพอจะไดไมมการเปลยนแปลงโปรแกรมทพฒนาไว
รปท 4 หนาตางแรกของโปรแกรม
รปท 5 หนาตางเมอเรยกค าสงปดแฟมขอมล
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
11
เมอเรยกโปรแกรม “สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน” จะปรากฏหนาตางสอง
หนาตางนสลบกน
จากหนาตางนจะสงเกตไดวาทดานลางของหนาตางมรายการเมนค าสงสองระดบ ดงรป
ระดบแรกอยดานลางตดกบหนาตางทเลอกไว คอรายการเมน ดงน
ส าหรบเลอกก าหนดต าแหนงของหนาตางภายในหนาจอของเรา
การท างานของปมตางๆ
เลอนหนาตางไปมมบนซายของหนาตางของโปรแกรม The
Geometer’s Sketchpad
ดภาพการเคลอนไหวของหนานน
เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนหนาตาง
เรยกหนาสดทายของหวขอขนมาแสดงบนหนาตาง
เลอนหนาตางสอไปกลางหนาตางของโปรแกรม The
Geometer’s Sketchpad
ระดบทสองอยดานลางตดกบหนาตางของโปรแกรม ดงน
ระดบแรก
ระดบทสอง
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
12
ส าหรบแสดงรายชอหนาตางในโปรแกรม เพอใหผใชเลอก/เปลยนการท างานไปยง
หนาตางนนๆ ไดเลย เปรยบเสมอนเปนเมนลดส าหรบเลอกดหวขอ/หนาตางทตองการ
การท างานของปมตางๆ
เลอนไปหนาแรกของหวขอนน
เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนจอภาพ
แถบตอมาเปนรายการหวขอยอยในหวขอ “กฎของไซน” เชน
ผใชสามารถคลกทแถบนเพอเลอนไปทหนานนๆ ไดทนท
แถบเลอนหนาตาง ใชส าหรบเลอนเพอเลอกดรายการหวขอยอยดานลาง
แถบเลอน ใชส าหรบเลอนดขอมลในหนาตางไปทางดานซาย/ขวา หรอ
ถาอยในแนวตงกใชส าหรบเลอนขอมลในหนาตางขน/ลง
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
13
การเรมตนใชงานสอปฏสมพนธ เรองกฎของไซน และโคไซน ผใชตองคลกท
เพอเปลยนการท างานไปทหนาสารบญ หนาตางสารบญจะแสดงดงน
รปท 6 สารบญ
เมอผใชเลอกโปรแกรมสอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและโคไซน หนาตางสารบญจะแสดงรายการบทเรยน ซงแบงออกเปน 5 หวขอ ดงน
1. กฎของไซน
2. กฎของโคไซน
3. มมและดานของรปสามเหลยม
4. พนทของรปสามเหลยม
5. แบบฝกหด
ผใชจะตองคลกเลอกหวขอทลอมรอบดวยกรอบสเหลยมเพอเขาดรายละเอยดของหวขอนนได
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
14
1. กฎของไซน
กฎของไซนเปนทฤษฎบทหนงทบอกความสมพนธระหวางความยาวดานของสามเหลยมใดๆ และคาไซนของมมภายในทงสาม กฎของไซน จะถกน าไปใชในสาขาตางๆ มากมาย โดยเฉพาะวชาคณตศาสตรประยกต หรอการน ากฎของไซน ไปใชแกโจทยปญหาเกยวกบระยะทางและความสงได
ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงกฎของไซน
ซงประกอบดวย
1. กฎของไซน 2. การพสจนกฎของไซน
เมอคลกท จะปรากฏหนาจอตามล าดบ ดงน
1.1 กฎของไซน
รปท 7 กฎของไซน
ก าหนดรปสามเหลยมทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบดาน a, b, c ตามล าดบ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
15
กฎของไซน (law of sine) หรอกฎไซน (sine rule) กลาววาส าหรบรปสามเหลยม ABC ใด
ๆ อตราสวนความยาวของดาน a ทสมนยกบมม A (มมตรงขาม) จะเทากบ อตราสวนความยาว
ของดาน b ทสมนยกบมม B (มมตรงขาม) และจะเทากบ อตราสวนความยาวของดาน c ทสมนย
กบมม C (มมตรงขาม) กฎของไซนแสดงความสมพนธระหวางอตราสวนของความยาวดาน กบ
มมทตรงกนขามกบดาน ดงน C
c
B
b
A
a
sinsinsin
1.2 การพสจนกฎของไซน
รปท 8 การพสจนกฎของไซน
หนาจอนจะประกอบดวยสสวนหลก ดงน
สวนแรก คอสวนทแสดงรปภาพสามเหลยม ABC ทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบดาน
a, b, c ตามล าดบ ในทนแสดงความสงของสามเหลยม ABC เมอให BC เปนฐาน โดยลากเสนตรง
จากมม A ไปตงฉากกบดานตรงขามมม A คอดาน BC ทจด HA
สวนทสอง คอสวนทแสดงการพสจน โดยบรรทดแรกจะแสดงขอความ “สวนสงจากจด
ยอด A B C” หมายถงการพสจน กฎของไซน โดยใชความสงของสามเหลยมซงวดจากจดยอด
ของมม A หรอมม B หรอมม C ซงจะเหนวามสญลกษณแถบ อยบนอกษร A หมายความวา
สวนแรก
สวนทสอง
สวนทสาม
สวนทส
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
16
ขณะน สวนแรกไดแสดงความสงจากจดยอด A โดยลากเสนไปตงฉากกบดานตรงขามมม A ทจด
HA พรอมแสดงบทพสจนของสมการหนงในกฎของไซน
สวนทสาม คอสวนการแสดงคาของมม A, B, C และ ความยาวดาน a, b, c ซงไดมาจาก
การค านวณคาของมมในสวนแรก
สวนทส คอสวนการแสดงคาอตราสวนตามกฎของไซน ของรปในสวนแรก
ค าอธบาย สวนแรก ในหนาจอการพสจนกฎของไซนน ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม
ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าไหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสาม
เปลยนไปดวย มผลท าใหคาอตราสวน C
c
B
b
A
a
sinsinsin ในสวนทสเปลยนไปดวย รปท 9
เปนตวอยางแสดงการเปลยนลกษณะของรปสามเหลยม โดยทสวนสงของสามเหลยมยงคงเปนระยะจากมม A ไปยงดาน BC
รปท 9 (ก) การพสจนกฎของไซน รปท 9 (ข) การพสจนกฎของไซน
ค าอธบาย สวนทสอง ในหนาจอการพสจนกฎของไซนน สวนนผเรยนสามารถเลอกการวดสวนสงของสามเหลยมได
โดยเลอนเมาสไปทแถบสญลกษณปรากฏอย เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของแถบไปทสญลกษณ A หรอ B หรอ C ตามตองการ ดงรปท 10 แสดงตวอยางของสามเหลยมรปเดยวกนแตเปลยนลกษณะการวดความสง จะสงเกตไดวาคาของมม A, B, C
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
17
ความยาวดาน a, b, c และอตราสวนตามกฎของไซน กยงคงมคาคงเดมเชนกน เพราะเปนสามเหลยมเดยวกน ดงน
(ก) ความสงของสามเหลยม ABC เมอให BC เปนฐาน คอ AHA (ข) ความสงของสามเหลยม ABC เมอให AC เปนฐาน คอ BHB (ค) ความสงของสามเหลยม ABC เมอให AB เปนฐาน คอ CHC
รปท 10 (ก) การพสจน sin sin
c b
C B
รปท 10 (ข) การพสจน sin sin
a c
A C รปท 10 (ค) การพสจน
sin sin
b a
B A
จากรปท 10 (ก) การวดความสงจากจดยอด A แสดงการพสจนกฎของไซน โดยการพจารณา จาก
(1) ABHA จะไดวา sinAAH c B (2) ACHA จะไดวา sinAAH b C
HA
A
B C
c b
a
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
18
เนองจาก (1) และ (2) ตางกมคาเทากบ AAH
จะไดวา sin sinc B b C
เพราะฉะนน sin sin
c b
C B (i)
จากรปท 10 (ข) การวดความสงจากจดยอด B แสดงการพสจนกฎของไซน โดยการพจารณา จาก
(1) BCHB จะไดวา sinBBH a C
(2) BAHB จะไดวา sinBBH c A
เนองจาก (1) และ (2) ตางกมคาเทากบ BBH
จะไดวา sin sina C c A
เพราะฉะนน sin sin
a c
A C (ii)
จากรปท 10 (ค) การวดความสงจากจดยอด C แสดงการพสจนกฎของไซน โดยการพจารณา จาก
(1) CAHC จะไดวา sinCCH b A
(2) CBHC จะไดวา sinCCH a B
เนองจาก (1) และ (2) ตางกมคาเทากบ CCH
จะไดวา sin sinb A a B
เพราะฉะนน sin sin
b a
B A (iii)
จาก (i), (ii) และ (iii) สรปไดวา C
c
B
b
A
a
sinsinsin
ส าหรบการพสจนกฎของไซนน ผเรยนอาจพสจนเพยงสองกรณกเพยงพอทจะสรปกฎของไซน
ไดแลว เชน ถาพสจน (i) sin sin
c b
C B และ (ii)
sin sin
a c
A C กจะสรปไดวา
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
HC
A
B C
c b
a
HB
A
B C
c b
a
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
19
2. กฎของโคไซน
กฎของโคไซนเปนทฤษฎบทหนงทบอกความสมพนธระหวางความยาวดานทงสามของรปสามเหลยมใด ๆ และมมภายในของสามเหลยม กฎของโคไซน จะถกน าไปใชในสาขาตางๆ มากมาย โดยเฉพาะวชาคณตศาสตรประยกต หรอการน ากฎของโคไซนไปใชแกโจทยปญหาเกยวกบระยะทางและความสงได
ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงกฎของโคไซน
ซงประกอบดวย
1. กฎของโคไซน 2. การพสจนกฎของโคไซน 3. การใชกฎของโคไซนหามม
เมอคลกท จะปรากฏหนาจอตามล าดบ ดงน
2.1 กฎของโคไซน
รปท 11 กฎของโคไซน
ก าหนดรปสามเหลยมทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบดาน a, b, c ตามล าดบ
กฎของโคไซน (law of cosine) หรอกฎโคไซน (cosine rule) กลาววาส าหรบรปสามเหลยม ABC ใดๆ ความสมพนธระหวางดาน กบมมของรปสามเหลยม ดงน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
20
2 2 2 2 cosa b c bc A 2 2 2 2 cosb a c ac B 2 2 2 2 cosc a b ab C
2.2 การพสจนกฎของโคไซน
รปท 12 การพสจนกฎของโคไซน
หนาจอนจะประกอบดวยสสวนหลก ดงน
สวนแรก คอสวนทแสดงรปภาพสามเหลยม ABC ทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบดาน
a, b, c ตามล าดบ พรอมทงแสดงความสงของสามเหลยม ABC ทมดาน BC เปนฐาน โดยลากเสน
ตรงจากมม C ไปตงฉากกบดานตรงขามมม C คอดาน AB ทจด HC
สวนทสอง คอสวนทแสดงการหาความยาวดาน a, b, c โดยบรรทดแรกจะแสดงขอความ
“หาความยาวดาน a, b, c ” ซงจะเหนวามสญลกษณแถบ อยบนอกษร a หมายความวาขณะนได
แสดงการหาความยาวดาน a พรอมสวนแสดงบทพสจนสมการหนงตามกฎของโคไซน
สวนทสาม คอสวนการแสดงคาของมม A, B, C และ ความยาวดาน a, b, c ซงไดมาจาก
การค านวณคาของมมในสวนแรก
สวนแรก
สวนทสอง
สวนทสาม
สวนทส
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
21
สวนทส คอสวนการแสดงความสมพนธของดาน กบมมของสามเหลยมตามกฎของ
โคไซน ของรปในสวนแรก
ค าอธบาย สวนแรก ในหนาจอการพสจนกฎของโคไซนน ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม
ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย ซงมผลท าใหคา a2 , b2 และ c2 ในสวนทสเปลยนไปดวยเชนกน
ค าอธบาย สวนทสอง ในหนาจอการพสจนกฎของโคไซนน สวนนผเรยนสามารถเลอกการหาคาความยาวดานของ
สามเหลยมไดโดยเลอนเมาสไปทแถบสญลกษณปรากฏอย เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของแถบไปทสญลกษณ a หรอ b หรอ c ตามตองการ รปท 13 แสดงตวอยางของรปสามเหลยมรปเดยวกน แตเปลยนความตองการหาคาความยาวดาน a , b และ c จะสงเกตไดวาคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ยงมคาคงเดม และคา a2 , b2 และ c2 ตามกฎของโคไซน กยงคงมคาคงเดมเชนกน เพราะเปนสามเหลยมเดยวกน ดงน
(ก) การหาความยาวดาน a ความสงของสามเหลยม ABC เมอ AB เปนฐาน คอ CHC (ข) การหาความยาวดาน b ความสงของสามเหลยม ABC เมอ AC เปนฐาน คอ BHB (ค) การหาความยาวดาน c ความสงของสามเหลยม ABC เมอ BC เปนฐาน คอ AHA
รปท 13 (ก) กฎของโคไซน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
22
รปท 13 (ข) การพสจนกฎของโคไซน รปท 13 (ค) การพสจนกฎของโคไซน
จากรปท 13 (ก) การหาความยาวดาน a ความสงของสามเหลยม ABC เมอ AB เปนฐาน คอ CHC แสดงการพสจนกฎของโคไซน โดยการพจารณา จาก
(1) CAHc จะไดวา AbCH c sin
(2) พจารณาดาน AB จะไดวา AHBABH cc
นนคอ AHcBH cc
AbcBH c cos
(3) BCHc จะไดวา 222 )()( cc BHCHa
แทนคา (1) (2) ลงใน (3) จะไดวา 222 )cos()sin( AbcAba
เพราะฉะนน Abccba cos2222 (i)
จากรปท 13 (ข) การหาความยาวดาน b ความสงของสามเหลยม ABC เมอ BC เปนฐาน คอ AHA แสดงการพสจนกฎของโคไซน โดยการพจารณา จาก
(1) BHAA จะไดวา BcAHA sin
(2) พจารณาดาน BC จะไดวา BHCBCH AA
นนคอ BHaCH AA
BcaCHA cos
(3) CAHA จะไดวา 222 )()( cA CHAHb
แทนคา (1) (2) ลงใน (3) จะไดวา 222 )cos()sin( BcaBcb
เพราะฉะนน Baccab cos2222 (ii)
Hc
A
B
C a
b c
a
b c
HA
A
B
C
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
23
จากรปท 13 (ค) การหาความยาวดาน c ความสงของสามเหลยม ABC เมอ AC เปนฐาน คอ BHB แสดงการพสจนกฎของโคไซน โดยการพจารณา จาก
(1) BCHB จะไดวา CaBH B sin
(2) พจารณาดาน AC จะไดวา CHACAH BB
นนคอ CHbAH BB
CabAHB cos
(3) ABHB จะไดวา 222 )()( BB AHBHc
แทนคา (1) (2) ลงใน (3) จะไดวา 2 2 2( sin ) ( cos )c a C b a C
เพราะฉะนน Cabbac cos2222 (iii) จาก (i), (ii) และ (iii) สรปไดวา 2 2 2 2 cosa b c bc A
2 2 2 2 cosb a c ac B 2 2 2 2 cosc a b ab C
2.3 การใชกฎของโคไซนหามม
รปท 14 (ข) . การใชกฎของโคไซนหามม
ถาเราทราบดานของรปสามเหลยม เราสามารถใชกฎของโคไซนหามมของรปสามเหลยมไดดงน
จากกฎของโคไซน หามมของรปสามเหลยม 2 2 2 2 cosa b c bc A
bc
acbA
2cos
222
HB
A
B
C a
b
c
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
24
2 2 2 2 cosb a c ac B ac
bcaB
2cos
222
2 2 2 2 cosc a b ab C ab
cbaC
2cos
222
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
25
3. มมและดานของรปสามเหลยม
ในหวขอนผเรยนจะไดน ากฎของไซน และกฎของโคไซนมาประยกตใชในการค านวณหาคาดาน
หรอมมของรปสามเหลยม เมอมการก าหนดคาดานหรอมมของรปสามเหลยมมาให
ซงประกอบดวยหนาตางดงน
1. รปสามเหลยม 2. รปแบบและหลกการ 3. ก าหนดดานสามดาน 4. ก าหนดดานสองดาน และมมระหวางดาน 5. ก าหนดมม 2 มม หรอ 3 มม และ 1 ดาน
เมอคลกท จะปรากฏหนาจอตามล าดบ ดงน
3.1 รปสามเหลยม
รปท 15 รปสามเหลยม
เมอก าหนดรปสามเหลยม ABC ใดๆ จะมตวแปรทงหมด 6 ตวคอ 1. มม A, B, C 2. ความยาวดาน a, b, c ซงเปนดานตรงขามกบมม A, B และ C ตามล าดบ ปญหาเกยวกบการค านวณดานหรอมมของรปสามเหลยมมกจะมการก าหนดตวแปร 3 ตวมาให
อยางเหมาะสม เพอหาคาตวแปรอก 3 ตวทเหลอ โดยใช กฎของไซน และ/หรอ กฎของโคไซน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
26
3.2 รปแบบและหลกการ
หนาตางนจะแสดงรปแบบในการก าหนดดาน หรอมมทเพยงพอตอการหาคาตวแปรอนๆ และกลาวถงหลกการทใชในการค านวณหาคาตวแปรอนๆ คอเมอก าหนดรปสามเหลยม ABC ใดๆ จะมตวแปรทงหมด 6 ตวคอมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ซงเปนดานตรงขามกบมม A, B และ C ตามล าดบ
ในสอนจะกลาวถงการก าหนดคาดานและมมบางสวน เพอใหผเรยนใชกฎของไซน และ/หรอกฎของโคไซน ค านวณหาคาดานและมมทเหลอจนครบตวแปรทง 6 ตว โดยใชหลกการดงน
การก าหนดดานหรอมม หลกการในการค านวณหาดานหรอมมอนใหครบ
ก าหนดดานสามดาน
ค านวณหาคามมสามมมไดจากกฎของโคไซนดงน
bc
acbA
2cos
222
ac
bcaB
2cos
222
ab
cbaC
2cos
222
A
B
C a
b
c
รปท 16 รปแบบและหลกการ
A
B
C a
b
c
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
27
การก าหนดดานหรอมม หลกการในการค านวณหาดานหรอมมอนใหครบ 6 คา ก าหนดดานสองดาน และมมระหวางดานทงสองนน
ค านวณหาคาดานทสามไดจากกฎของโคไซนดงน Abccba cos222 ค านวณหาคามมอกสองมมไดจากกฎของโคไซนดงน
ac
bcaB
2cos
222
ab
cbaC
2cos
222
ก าหนดมมสองมม และดานระหวางมมนน
ค านวณหาคามมทสามไดจากคณสมบตมมภายในของสามเหลยม A + B + C = 180 ค านวณหาคาดานอกสองดานไดจากกฎของไซนดงน
sin
sin
Aa c
C
C
Bcb
sin
sin
3.3 ก าหนดดานสามดาน
รปท 17 ก าหนดดานสามดาน
A
B
C a
b
c
A
B
C a
b
c
สวนแรก
สวนทสอง
สวนทสาม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
28
เมอก าหนดความยาวดานสามดาน ตองการหาคามมทงสามของสามเหลยม โดยใชกฎของโคไซน โดยในสวนนผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย
ส าหรบการค านวณคามม A, B, C ในสวนทสองนน เปนการค านวณโดยใชกฎของโคไซน ตามสตรดงน
bc
acbA
2cos
222
ac
bcaB
2cos
222
ab
cbaC
2cos
222
3.4 ก าหนดดานสองดาน และมมระหวางดาน
รปท 18 ก าหนดดานสองดาน และมมระหวางดาน
เมอก าหนดความยาวดานสองดาน และมมระหวางดานทงสองนน ตองการหาคามมและดานทเหลอ โดยใชกฎของโคไซน ถาผเรยนเลอกก าหนดคาของมม A คาความยาวดานทเหลอกควรเปนความยาวดานประกอบมม A คอดาน b, c ถาเลอกก าหนดคาของมม B คาความยาวดานทเหลอกควรเปนความยาวดานประกอบมม B คอดาน a, c หรอถาเลอกก าหนดคาของมม C คาความยาวดานทเหลอกควรเปนความยาวดานประกอบมม C คอดาน a, b ในทนจงใหผเรยนเลอกก าหนดมมใดมมหนงเพยงมมเดยวเทานน
สวนแรก
สวนทสอง
สวนทสาม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
29
สวนแรก ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย
สวนทสอง ผเรยนสามารถเลอกทจะก าหนดคามมระหวางดานหนงมม เพอน ามาใชในการค านวณหาดาน และมมทเหลอ โดยใชกฎของโคไซน ตามสตรดงน
2 2 2 2 cosa b c bc A 2 2 2 2 cosb a c ac B 2 2 2 2 cosc a b ab C
รปท 19 แสดงตวอยางของรปสามเหลยมรปเดยว และเปลยนความตองการหาคาความยาวดาน จะสงเกตไดวาคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ยงมคาคงเดม เพราะเปนสามเหลยมเดยวกน ดงน (ก) การก าหนดมม A และดานสองดานคอ b และ c
ตองการค านวณหาความยาวดาน a และมม B , C โดยใชสตร Abccba cos222
ac
bcaB
2cos
222
ab
cbaC
2cos
222
(ข) การก าหนดมม B และดานสองดานคอ a และ c ตองการค านวณหาความยาวดาน b และมม A , C โดยใชสตร Baccab cos222
bc
acbA
2cos
222
ab
cbaC
2cos
222
รปท 19 (ก) ก าหนดดาน b, c และมม A
รปท 19 (ข) ก าหนดดาน a, c และมม B ดานสองดาน และมมระหวางดาน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
30
(ค) การก าหนดมม C และดานสองดานคอ a และ b
ตองการค านวณหาความยาวดาน c และมม A , B โดยใชสตร Cbcbac cos222
bc
acbA
2cos
222
ac
bcaB
2cos
222
3.5 ก าหนดมมสองมม หรอสามมม และดานหนงดาน
รปท 20 ก าหนดมมสองมม หรอสามมม และดานหนงดาน
เมอก าหนดมมสองหรอสามมม และความยาวดานหนงดาน เพอตองการหาคามมและดานทเหลอ โดยใชสตร A + B + C = 180 และกฎของไซน
สวนแรก ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าไหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย
สวนแรก
สวนทสอง
สวนทสาม
รปท 19 (ค) ก าหนดดาน a, b และมม C ดานสองดาน และมมระหวางดาน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
31
สวนทสอง ผเรยนสามารถเลอกทจะก าหนดคาความยาวดานหนงดาน เพอน ามาใชในการ
ค านวณหาดาน และมมทเหลอ โดยใชกฎของไซน ตามสตรดงน C
c
B
b
A
a
sinsinsin
การเปลยนดานทก าหนด สามารถท าไดโดยเลอนเมาสไปทแถบสญลกษณปรากฏอย เมาสจะ
ปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของแถบไปทสญลกษณ a หรอ b หรอ c ตามตองการ ดงรปท 21 แสดงตวอยางของสามเหลยมรปเดยว และเปลยนความตองการหาคาความยาวดาน จะสงเกตไดวาคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ยงมคาคงเดม เพราะเปนสามเหลยมเดยวกน ในการก าหนดมมสองมม ผเรยนกจะสามารถหาคามมทสามไดจากคณสมบตมมภายในของสามเหลยม (A+B+C = 180) ดงนนในการค านวณหาคาความยาวดานตอไปนจะสมมตใหมการก าหนดสามมม ดงน (ก) การก าหนดดาน a และมม A, B, C
ตองการค านวณหาความยาวดาน b, c
โดยใชสตร A
Bab
sin
sin และ
A
Cac
sin
sin
(ข) การก าหนดดาน b และมม A, B, C ตองการค านวณหาความยาวดาน a, c
โดยใชสตร sin
sin
Aa b
B และ
A
Cac
sin
sin
(ค) การก าหนดดาน c และมม A, B, C ตองการค านวณหาความยาวดาน a, b
โดยใชสตร sin
sin
Aa c
C และ
C
Bcb
sin
sin
รปท 21 (ค) ก าหนดดาน c และมม A, B, C รปท 21 (ข) ก าหนดดาน b และมม A, B, C
รปท 21 (ก) ก าหนดดาน a และมม A, B, C
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
32
4. พนทของรปสามเหลยม
ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงการน ากฎของไซน และกฎของโคไซนมาประยกตใชใน
การค านวณหาพนทของรปสามเหลยม คาไซนของครงมมของสามเหลยม คาโคไซนของครงมม
ของสามเหลยม และการค านวณหาพนทสามเหลยมเมอทราบเฉพาะคาความยาวดานทงสาม
ตลอดจนการค านวณหาพนทสเหลยมทแนบในวงกลม
ซงประกอบดวย หนาตางตอไปน
1. พนทของรปสามเหลยม 2. ไซนของครงมมสามเหลยม 3. โคไซนของครงมมสามเหลยม 4. Heron’s Formula 5. การหาพนทจาก Heron’s Formula
เมอคลกท จะปรากฏหนาจอตามล าดบ ดงน
4.1 พนทของรปสามเหลยม
หนาจอนจะประกอบดวยสสวนหลก ดงน
รปท 22 (ก) พนทของรปสามเหลยม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
33
สวนแรกคอสวนทแสดงรปภาพสามเหลยม ABC ทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบดาน
a, b, c ตามล าดบพรอมทงแสดงความสงของสามเหลยม โดยลากเสนตรงจากมม A ไปตงฉากกบ
ดานตรงขามมม A คอดาน BC ทจด HA
สวนทสอง คอสวนทแสดงการค านวณหาพนท โดยใชสวนสงจากมมตางๆ โดยบรรทด
แรกจะแสดง “สวนสงจากจดยอด A B C” ซงจะเหนวามสญลกษณแถบ อยบนอกษร A
หมายความวาขณะน สวนแรกไดแสดงความสงจากจดยอด A โดยลากเสนไปตงฉากกบดานตรง
ขามมม A ทจด HA พรอมสวนแสดงการค านวณหาพนทสามเหลยม ABC
สวนทสาม คอสวนการแสดงคาของมม A, B, C และ ความยาวดาน a, b, c ซงไดมาจาก
การค านวณคาของมมในสวนแรก
สวนทส คอสวนการแสดงคาพนทของรปสามเหลยมในสวนแรก
ค าอธบายสวนแรก ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าไหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย
ค าอธบายสวนทสอง ผเรยนสามารถเลอกทจะก าหนดคามมหนงมม เพอน ามาใชในการ
ค านวณหาคาพนทสามเหลยม ABC การเลอกเปลยนมมทก าหนด สามารถท าไดโดยเลอนเมาสไปทแถบสญลกษณปรากฏอย เมาส
จะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของแถบไปทสญลกษณ A หรอ B หรอ C ตามตองการ ดงรปท 22 แสดงตวอยางของสามเหลยมรปเดยว และเปลยนความตองการ จะสงเกตไดวาคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ยงมคาคงเดม และคาพนท
สามเหลยมคอ 1 1 1sin sin sin
2 2 2bc A ac B ab C กยงคงมคาคงเดมเชนกน เพราะเปนคาของ
พนทสามเหลยมเดยวกน ดงน (ก) การก าหนดใหลากเสนตรงจากมม A ไปตงฉากกบดานตรงขามมม A ทจด HA
โดยการพจารณา (1) จาก ABHA จะไดวา sinAAH c B
(2) พนทสามเหลยม ABC = 1
2ฐานสง = 1
2ABC AH
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
34
เพราะฉะนนพนทสามเหลยม ABC = 1sin
2ac B
(ข) การก าหนดใหลากเสนความสงของสามเหลยมจากมม B ไปตงฉากกบดาน AC ทจด HB โดยการพจารณา (1) จาก BCHB จะไดวา sinBBH a C
(2) พนทสามเหลยม ABC = 1
2ฐานสง = 1
2BCA BH
เพราะฉะนนพนทสามเหลยม ABC = 1sin
2ab C
(ค) การก าหนดใหลากเสนความสงของสามเหลยมจากมม C ไปตงฉากกบดาน AB ทจด HC โดยการพจารณา (1) จาก CAHc จะไดวา sincCH b A
(2) พนทสามเหลยม ABC = 1
2ฐาน สง = 1
2CAB CH
เพราะฉะนนพนทสามเหลยม ABC = 1sin
2bc A
รปท 22 (ก) พนทของรปสามเหลยมเมอก าหนดสวนสงจากจดยอด A
รปท 22 (ข) พนทของรปสามเหลยมเมอก าหนดสวนสงจากจดยอด B
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
35
4.2 ไซนของครงมมสามเหลยม ก าหนดรปสามเหลยม ABC ใดๆ มมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ซงเปนดานตรงขามกบมม A, B และ C ตามล าดบ ถาเราทราบความยาวของดานทงสามของสามเหลยม (a, b, c) กจะสามารถหาคาไซนของครงมมของสามเหลยมไดดงรปท 23 (ก) แสดงบทพสจนของการหาคา ไซนของครงมมของ
สามเหลยม จากกฎของโคไซน ซงจะไดสตร ( )( )sin
2
A s a s c
bc
และ
ผเรยนอาจจะหาคาไซนของครงมมของสามเหลยม 2
sinB และ
2sin
C จากกฎของโคไซน ในท านองเดยวกน
ซงผเรยนสามารถทจะใชสอปฏสมพนธค านวณหาคาไซนของครงมมของสามเหลยมไดดงรปท 23 (ข)
รปท 23 (ก) บทพสจนของไซนของครงมมของสามเหลยม
รปท 22 (ค) พนทของรปสามเหลยมเมอก าหนดสวนสงจากจดยอด C
A
B
C a
b
c
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
36
รปท 23 (ข) ปฏสมพนธไซนของครงมมของสามเหลยม
ผเรยนสามารถค านวณหาคาไซนของครงมมสามเหลยมทกมม ดงน sin2
A , sin2
B , sin2
C
สวนแรก คอสวนทแสดงรปภาพสามเหลยม ABC ทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบ
ดาน a, b, c ตามล าดบ ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวน
แรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ
เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถาม
การเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสาม
เปลยนไปดวย
สวนทสอง คอสวนทแสดงการค านวณหาหาคาไซนของครงมมสามเหลยมทกมม ดงน
sin2
A , sin2
B , sin2
C
สวนทสาม คอสวนการแสดงคาของมม A, B, C และ ความยาวดาน a, b, c ซงไดมาจากการค านวณคาของมมในสวนแรก
สวนแรก สวนทสอง
สวนทสาม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
37
4.3 โคไซนของครงมมสามเหลยม ก าหนดรปสามเหลยม ABC ใดๆ มมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ซงเปนดานตรงขามกบมม A, B และ C ตามล าดบ ถาเราทราบความยาวของดานทงสามของสามเหลยม (a, b, c) กจะสามารถหาคาไซนของครงมมของสามเหลยมไดดงรปท 24 (ก) แสดงบทพสจนของการหาคา โคไซนของครงมม
ของสามเหลยม ไดดงคอ 2
cosA และผเรยนอาจจะหาคาโคไซนของครงมม
ของสามเหลยม 2
cosB และ
2cos
C ไดในท านองเดยวกน ซงผเรยนสามารถท
จะใชสอปฏสมพนธค านวณจากคาโคไซนของครงมมของสามเหลยมไดดงรปท 24 (ข)
รปท 24 (ก) บทพสจนของโคไซนของครงมมของสามเหลยม
รปท 24 (ข) ปฏสมพนธโคไซนของครงมมของสามเหลยม
สวนทสาม
สวนแรก สวนทสอง
A
B
C a
b
c
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
38
ผเรยนสามารถค านวณหาคาโคไซนของครงมมสามเหลยมทกมม ดงน cos2
A , cos2
B ,
cos2
C
สวนแรก คอสวนทแสดงรปภาพสามเหลยม ABC ทมมม A, B, C เปนมมตรงขามกบ
ดาน a, b, c ตามล าดบ ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวน
แรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ
เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถาม
การเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสาม
เปลยนไปดวย
สวนทสอง คอสวนทแสดงการค านวณหาหาคาคาโคไซนของครงมมสามเหลยมทกมม
ดงน cos2
A , cos2
B , cos2
C
สวนทสาม คอสวนการแสดงคาของมม A, B, C และ ความยาวดาน a, b, c ซงไดมาจากการค านวณคาของมมในสวนแรก
4.4 Heron’s Formula
Heron’s Formula หรอสตรของ Heron เปนสตรในการหาพนทสามเหลยม ABC ใดๆ จากความยาวดานทงสามดานคอ a, b และ c หนวย ซงแสดงบทพสจนตอไปน
รปท 25 Heron’s Formula
A
B
C a
b
c
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
39
จาก พนทสามเหลยม ABC = 1sin
2bc A
= 2
cos2
sin22
1 AAbc
= bc
ass
bc
csbsbc
)())(( เมอ 2
cbas
= 2)(
))()((
bc
csbsassbc
สรปไดวา พนทสามเหลยม ABC = ))()(( csbsass เมอ 2
cbas
4.5 การหาพนทจาก Heron’s Formula
หนาจอนจะแสดงการค านวณหาพนทสามเหลยม ABC โดยใชสตรของ Heron เมอทราบคาความยาวดานทงสามดาน
ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าไหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย และขณะเดยวกนนนกจะเหนถงการเปลยนแปลงของพนทของสามเหลยม ABC โดยในทนค านวณหาพนทสามเหลยม ABC ตามสตรของ Heron คอ
พนท = ))()(( csbsass เมอ 2
cbas
รปท 26 การหาพนทจาก Heron’s Formula
สวนแรก สวนทสอง
สวนทสาม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
40
5. แบบฝกหด
ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงพนทของรปสามเหลยม
ซงประกอบดวย
1. แบบฝกหด (กฎของไซน) 2. แบบฝกหด (กฎของแทนเจนต) 3. กฎของแทนเจนต 4. แบบฝกหด (มมและดานของรปสามเหลยม) 5. แบบฝกหด (พนทของรปสเหลยมทแนบในวงกลม) 6. พนทของรปสเหลยมทแนบในวงกลม
เมอคลกท จะปรากฏหนาจอตามล าดบ ดงน
5.1 แบบฝกหด (กฎของไซน)
ให A, B, C เปนจดยอดของรปสามเหลยม ทม ความยาวของดานซงอยตรงขาม มม A, B, C เทากบ a, b, c ตามล าดบ การพสจนแบบฝกหดนจะใชคณสมบตทไดเรยนมาแลวดงน
1. พนทของรปสามเหลยม
รปท 27 แบบฝกหด (กฎของไซน)
A
B
C a
b
c
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
41
= AbcCabBac sin2
1sin
2
1sin
2
1
2. สตรของ Heron คอ พนทรปสามเหลยม = ))()(( csbsass
เมอ 2
cbas
3. กฎของไซน RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin
เมอ R เปนรศมวงกลมลอมรอบรปสามเหลยม
ในทนจะแบงการพสจนออกเปน 4 ขนตอนคอ
ขนท 1 จะแสดงวา ))()((2sin csbsass
abc
A
a
จาก (1) และ (2) จะไดวา พนท ABC = ))()(( csbsass = Abc sin2
1
ดงนน))()((2sin
1
csbsass
bc
A
นนคอ ))()((2sin csbsass
abc
A
a
ขนท 2 แสดงวา ))()((2sin csbsass
abc
B
b
จาก (1) และ (2) จะไดวา พนท ABC = ))()(( csbsass = Bac sin2
1
ดงนน))()((2sin
1
csbsass
ac
B
นนคอ ))()((2sin csbsass
abc
B
b
ขนท 3 แสดงวา ))()((2sin csbsass
abc
C
c
จาก (1) และ (2) จะไดวา พนท ABC = ))()(( csbsass = Cabsin2
1
ดงนน))()((2sin
1
csbsass
ab
C
นนคอ ))()((2sin csbsass
abc
C
c
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
42
ขนท 4 แสดงวา RA
a2
sin เมอ R เปนรศมวงกลมทลอมรอบรปสามเหลยม
ให O เปนจดศนยกลางของวงกลมทลอมรอบรปสามเหลยม ABC ม R เปนรศมของวงกลม ลากเสนตรง OB และ OC ซงทงสองเสนนมความยาวเปนรศมของวงกลม จะไดวามม BOC เปนสองเทาของมม BAC ลากเสนตรงจากจด O มาตงฉากกบเสนตรง BC ทจด D จะไดวามม DOC มคาเทากบมม BAC = A
เนองจาก sin( ) sin( )2
DC aA DOC
R R
ดงนน RA
a2
)sin(
5.2 แบบฝกหด (กฎของแทนเจนต)
การพสจนกฎของแทนเจนตนจะใชคณสมบตของตรโกณมตดงน
(ก) กฎของไซน kC
c
B
b
A
a
sinsinsin
ซงท าใหไดวา CBAka sinkc ,sinkb ,sin
(ข) เนองจาก
2sin
2cos2sinsin
BABABA
และ
2cos
2sin2sinsin
BABABA
รปท 28 แบบฝกหด (กฎของแทนเจนต)
A
B
C a
b
c R R
D
O
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
43
ในทนจะแบงการพสจนออกเปน 3 ขนดงน
ขนท 1 จะแสดงการพสจน )(
2
1tan
)(2
1tan
BA
BA
ba
ba
พจารณาจาก (1) กฎของไซน จะไดวา
BA
BA
BkAk
BkAk
ba
ba
sinsin
sinsin
sinsin
sinsin
2cos
2sin2
2sin
2cos2
BABA
BABA
ba
ba (จาก (ข))
สรปไดวา )(
2
1tan
)(2
1tan
BA
BA
ba
ba
ขนท 2 จะแสดงการพสจน )(
2
1tan
)(2
1tan
CB
CB
cb
cb
พจารณาจาก (ก) กฎของไซน จะไดวา
CB
CB
CkBk
CkBk
cb
cb
sinsin
sinsin
sinsin
sinsin
2cos sin2 2
2sin cos2 2
B C B C
b c
B C B Cb c
(จาก (ข))
สรปไดวา )(
2
1tan
)(2
1tan
CB
CB
cb
cb
ขนท 3 จะแสดงการพสจน )(
2
1tan
)(2
1tan
CA
CA
ca
ca
พจารณาจาก (ก) กฎของไซน จะไดวา
CA
CA
CkAk
CkAk
ca
ca
sinsin
sinsin
sinsin
sinsin
2cos sin2 2
2sin cos2 2
A C A C
a c
A C A Ca c
(จาก (ข))
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
44
สรปไดวา )(
2
1tan
)(2
1tan
CA
CA
ca
ca
5.3 กฎของแทนเจนต
ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสามเหลยม ABC ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C และความยาวดาน a, b, c ในสวนทสามเปลยนไปดวย และขณะเดยวกนนนกจะเหนถงการเปลยนแปลงคาของ ท าผเรยนไดเหนถงกฎของแทนเจนตทงสามดงน
(1) )(
2
1tan
)(2
1tan
BA
BA
ba
ba
(2) )(
2
1tan
)(2
1tan
CB
CB
cb
cb
(3) )(
2
1tan
)(2
1tan
CA
CA
ca
ca
5.4 แบบฝกหด (มมและดานของรปสามเหลยม)
รปท 29 กฎของแทนเจนต
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
45
จงหาดานและมมทเหลอของรปสามเหลยม ABC เมอก าหนดดานและมมดงแตละขอตอไปน 1. a = 4, b = 5, c = 6
ตองการหาคามม A, B, C ดงน
จากสตร bc
acbA
2cos
222 = 0.75
ac
bcaB
2cos
222 = 0.563
ab
cbaC
2cos
222 = 0.125
และหาพนทของสามเหลยมจากสตรของ Heron
พนท ABC = ))()(( csbsass เมอ 2
cbas
จะไดวา s = 7.5 และ พนท ABC = 7.5 3.5 2.5 1.5 9.922
2. a = 3, b = 5, C = 60
ตองการหาคามม A, B และความยาวดาน c ดงน
หาความยาวดาน c จากสตร Cabbac cos222
4.359
bc
acbA
2cos
222 = 0.803
รปท 30 แบบฝกหด (มมและดานของรปสามเหลยม)
A
B C 4
5 6
A
B C 3
5
60
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
46
ac
bcaB
2cos
222 = 0.115
และหาพนทสามเหลยมไดจากสตร พนท ABC = Cabsin2
1
ดงนน พนท ABC = 13 5 sin(60 )
2
6.495
3. a = 4, b = 7, C = 120
ตองการหาคาความยาวดาน c และมม A, B
หาความยาวดาน c จากสตร Cabbac cos222
ดงนน c = 9.644
bc
acbA
2cos
222 = 0.933
ac
bcaB
2cos
222 = 0.778
จากสตร พนท ABC = Cabsin2
1
ดงนนพนท ABC = 14 7 sin(120 )
2
12.124
4. a = 5, B = 60, C = 45
ตองการหาคาความยาวดาน b, c และ มม A A = 180 – 60 – 45 = 75
b = sin
sin
Ba
A = 4.483
c = A
Ca
sin
sin = 3.66
A
B C 5 60 45
A
B C 4
7
120
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
47
จากสตรของ Heron พนท ABC = ))()(( csbsass เมอ 2
cbas
จะไดวา s = 6.572 และ พนท ABC = 6.572 1.572 2.089 2.912
7.928
5. a = 6, B = 120, C = 30
A = 180 – 120 – 30 = 30
b = C
Ba
sin
sin = 10.392
c = A
Ca
sin
sin = 6
จากสตรของ Heron พนท ABC = ))()(( csbsass เมอ 2
cbas
จะไดวา s = 11.196 และ พนท ABC = 11.196 5.196 0.084 5.196
5.039
5.5 แบบฝกหด (พนทของรปสเหลยมทแนบในวงกลม)
รปท 31 แบบฝกหดหาพนทของรปสเหลยมทแนบในวงกลม
จงหาพนทรปสเหลยมทแนบในวงกลม ABCD ถาสเหลยมนมความยาวดานเปน a, b, c, d
A
B
C 6
120 30
A
B
C
D
a
b c
d
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
48
ในทนจะใชสตรของ Heron ทใชส าหรบรปสามเหลยมใดๆ พจารณารปสามเหลยม ABD และ CBD
โดยกฎของโคไซน จะได 2 2 22 cosa d ad A BD
2 2 2 cosb c bc C (1)
สงเกตวา ˆ ˆ 180A C นนคอ cos cosC A
จาก (1) จะได 2 2 2 2
cos2 2
a d b cA
ad bc
พนทสเหลยม ABCD = พนทสามเหลยม ABD + พนทสามเหลยม CBD
= 1 1sin sin
2 2ad A bc C
= 1 ( )sin2ad bc A
= 1 ( ) (1 cos )(1 cos )2ad bc A A
= 2 2 2 2 2 2 2 21
( ) 1 12 2 2 2 2
a d b c a d b cad bc
ad bc ad bc
= 2 2 2 21( ) ( ) ( ) ( )
4b c a d a d b c
= 1 ( )( )( )4a b c d a b c d a d b c a d b c
เมอให 2
a b c ds จะได พนท ( )( )( )( )ABCD s a s b s c s d ตามตองการ
5.6 แบบฝกหด (พนทของรปสเหลยมทแนบในวงกลม)
A
B
C
D
a
b c
d
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
49
ผเรยนสามารถปรบเปลยนรปรางลกษณะของสเหลยม ABCD ในสวนแรกไดโดยใชเมาสเลอนไปทจดสแดง ซงคอมมของสามเหลยม เมอเลอนเมาสเขามาใกลๆ เมาสจะปรากฏเปนรปลกศร ใหผเรยนกดและลากเมาสเพอเลอนต าแหนงของมมตางๆ ถามการเปลยนขนาดของมม จะท าใหคาของมม A, B, C, D และความยาวดาน a, b, c, d เปลยนไปดวย และขณะเดยวกนนนกจะเหนถงการเปลยนแปลงคาของพนทของสเหลยม ABCD ตามสตร
พนทสเหลยมทแนบในวงกลม = ))()()(( dscsbsass
เมอ 2
dcbas
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
50
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร
จ านวน 92 ตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
51
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน
เรอง ตอน
เซต บทน า เรอง เซต
ความหมายของเซต
เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต
เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร
การใหเหตผล
ประพจนและการสมมล
สจนรนดรและการอางเหตผล
ประโยคเปดและวลบงปรมาณ
สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย
สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง
จ านวนจรง
บทน า เรอง จ านวนจรง
สมบตของจ านวนจรง
การแยกตวประกอบ
ทฤษฏบทตวประกอบ
สมการพหนาม
อสมการ
เทคนคการแกอสมการ
คาสมบรณ
การแกอสมการคาสมบรณ
กราฟคาสมบรณ
สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน
สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม
สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ
ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน
การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ
(การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย
ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน
ความสมพนธ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
52
เรอง ตอน
ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ
อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน
ฟงกชนเบองตน
พชคณตของฟงกชน
อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส
ฟงกชนประกอบ
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
เลขยกก าลง
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
ลอการทม
อสมการเลขชก าลง
อสมการลอการทม
ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต
อตราสวนตรโกณมต
เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย
ฟงกชนตรโกณมต 1
ฟงกชนตรโกณมต 2
ฟงกชนตรโกณมต 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชนตรโกณมต
ฟงกชนตรโกณมตผกผน
สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย
สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต
สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน
ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน
การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร
การหาคาสดขด
ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม
ล าดบ
การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต
ลมตของล าดบ
ผลบวกยอย
อนกรม
ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
53
เรอง ตอน
การนบและความนาจะเปน
.
บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน
การนบเบองตน
การเรยงสบเปลยน
การจดหม
ทฤษฎบททวนาม
การทดลองสม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เนอหา
แนวโนมเขาสสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสสวนกลาง 3
การกระจายของขอมล
การกระจายสมบรณ 1
การกระจายสมบรณ 2
การกระจายสมบรณ 3
การกระจายสมพทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสมพนธระหวางขอมล 1
ความสมพนธระหวางขอมล 2
โปรแกรมการค านวณทางสถต 1
โปรแกรมการค านวณทางสถต 2
โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย
ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส
การถอดรากทสาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบองทยดหดได