代数方程式とガロア理論 - 五次方程式は解けるのか -

2013/1/21 @tsujimotter 楽しい数学普及委員会

難しい数学も頑張って説明してみる部門

1

自己紹介とまえがき Twitter ID: @tsujimotter

簡単な紹介: 北海道の大学院で情報系の研究をしています。 数学は「趣味」。 自分にとって役に立つかどうかではなく、心から興味をそそられるものを勉強したいと思っています。 勉強の成果をまとめるためにブログも書いています。http://tsujimotter.info/ 今回のスライド作成の経緯： ガロア理論に関する書籍を読み漁り、独学で勉強。 最初の頃は、概念が全く理解できませんでした。 その理由は、ほとんどの専門書が証明ばかりで、概念に関する説明が全く入ってなかった（あるいは私が理解できないぐらいに難しく書いてあった）ためです。 そこで、初学者向けに、正確さと証明は省いて、概念とガロア理論の面白さを伝えることを念頭に入れた解説を作りたい、と思い作成しました。

2

エヴァリスト・ガロア

1811年10月25日 - 1832年5月31日 3

ガロア略歴 • 1811年 パリ郊外に生まれる • 1823年 パリの名門リセ・ルイ＝ル＝グランに入学 • 1828年 エコール・ポリテクニクスを受験するも失敗 リシャールと出会う • 1829年 代数方程式に関する第一論文を投稿 • 1829年 父ニコラが自殺 エコール・ポリテクニクスに再度受験し失敗 エコール・ノルマルに入学 • 1831年 エコール・ノルマルを放校処分 ルイ・フィリップ国王への脅迫罪で逮捕・投獄 • 1832年 決闘により死去 代数学の研究内容を遺書と共に残す

4

目次

• ガロア理論と方程式 (6-13)

• 解の置換と二次方程式 (14-30)

• 解の置換と三次方程式 (31-46)

• 群と方程式 (47-70)

• 五次方程式の解法とまとめ (71-76)

5

ガロア理論と方程式

6

問題

二次方程式: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 の解の公式を求めよ

7

問題

二次方程式: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 の解の公式を求めよ

𝛼 =−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝛽 =−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

8

方程式の解の公式 方程式のすべての解を次の要素のみを用いて表した式 • 方程式の係数（𝑎, 𝑏, 𝑐, …） • 四則演算（+,−,×,÷） • べき根（ , 3 , …） 方程式: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 解の公式:

𝛼 =−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎, 𝛽 =

−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐2𝑎

9

代数方程式 解法の歴史

• 不明 (?) 二次方程式の解の公式 • カルダノ (1545年) 三次方程式の解の公式 • フェラーリ (1545年) 四次方程式の解の公式 • ジラール (1629年) 解と係数の関係 • ラグランジュ (1770年) 解の置換によって解法を整理 • アーベル (1824年) 五次方程式に解の公式が存在しないことを証明 • ガロア (1832年) 代数方程式の解の公式が存在する必要十分条件 群と方程式の対応付け

10

ガロア理論の目的

五次方程式: 𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 + 𝑑𝑥2 + 𝑒𝑥 + 𝑑 = 0

に解の公式が存在するか

11

𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 + 𝑑𝑥2 + 𝑒𝑥 + 𝑑 = 0 に解の公式が存在するか

∵ガロア理論

解の公式は存在しない

12

（方程式の）ガロア理論

方程式と群を対応付けることで、 その方程式の可解性（解の公式が存在するかどうか）を説明する理論

𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 + 𝑑𝑥2 + 𝑒𝑥 + 𝑑 = 0 ガロア対応

方程式 群

13

解の置換と二次方程式

14

二次方程式: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 の解の公式を求めよ

15

高校数学的な解法 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

⟺ 𝑥2 + 𝑏𝑎𝑥 = − 𝑐

𝑎

⟺ 𝑥2 + 𝑏𝑎𝑥 + 𝑏

2𝑎

2= − 𝑐

𝑎+ 𝑏

2𝑎

2

⟺ 𝑥 + 𝑏2𝑎

2= − 𝑐

𝑎+ 𝑏

2𝑎

2

⟺ 𝑥 + 𝑏2𝑎

= ± − 𝑐𝑎

+ 𝑏2𝑎

2

⟺ 𝑥 = − 𝑏2𝑎

± − 𝑐𝑎

+ 𝑏2𝑎

2

16

ラグランジュの方法

𝛼 = 𝛼 + 𝛽

2 +

𝛼 − 𝛽2

𝛽 = 𝛼 + 𝛽

2 −

𝛼 − 𝛽2

𝐿1 𝐿2

ラグランジュ・リゾルベント 17

二次のラグランジュ・リゾルベント

�𝐿1 = 𝛼 + 𝛽𝐿2 = 𝛼 − 𝛽

※各項の係数の +1, -1 は二乗して 1 になる数

18

対称式 対称式：変数を交換しても、値の変わらない式 対称式の例: • 𝛼 + 𝛽 • 𝛼𝛽 • 𝛼 + 𝛽 2 = 𝛼2 + 2𝛼𝛽 + 𝛽2 対称式でない例: • 𝛼 − 𝛽

• 𝛼𝛽

19

対称式の基本定理

すべての対称式は基本対称式の四則演算で表される (二変数の)基本対称式: • 𝑠1 = 𝛼 + 𝛽 • 𝑠2 = 𝛼 𝛽 対称式の例： • 𝛼 + 𝛽 2 = 𝑠12 • 𝛼 − 𝛽 2 = 𝛼2 + 2𝛼𝛽 + 𝛽2 − 4𝛼𝛽 = 𝑠12 − 4𝑠2

20

解と係数の関係 方程式の係数は解の基本対称式で表される [アルベール・ジラール, 1629年] 方程式 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 の2つの解を𝛼,𝛽としたとき

𝑥 − 𝛼 𝑥 − 𝛽 = 0

∴ 𝑥2 − 𝛼 + 𝛽 𝑥 + 𝛼𝛽 = 0 係数を比較すると

�−𝑏 𝑎� = 𝛼 + 𝛽𝑐 𝑎⁄ = 𝛼 𝛽

基本対称式 方程式の係数 21

解の任意の対称式は 方程式の係数で表せる

方程式の係数 (𝑎, 𝑏, 𝑐)

解の基本対称式 (𝛼 + 𝛽,𝛼𝛽) 解の任意の対称式 ( 𝛼 − 𝛽 2, 𝛼 + 𝛽 2, …)

22

解と係数の関係

対称式の基本定理

ラグランジュの方法

𝛼 = 𝛼 + 𝛽

2 +

𝛼 − 𝛽2

𝛽 = 𝛼 + 𝛽

2 −

𝛼 − 𝛽2

対称式

係数の四則演算で表せる 対称式でない式

係数の四則演算で表せない

23

ラグランジュの方法

𝛼 = −𝑏2𝑎

+ 𝛼 − 𝛽

2

𝛽 = −𝑏2𝑎

− 𝛼 − 𝛽

2

対称式でない式

係数の四則演算で表せない 対称式

係数の四則演算で表せる

24

ラグランジュの方法

𝐿2 = 𝛼 − 𝛽 は二乗すると対称式になる

𝐿22 = 𝛼 − 𝛽 2 = 𝛼 + 𝛽 2 − 4𝛼𝛽

=−𝑏𝑎

2

−4𝑐𝑎

= 𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝑎2

∴ 𝐿2 = 𝛼 − 𝛽 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝑎2

25

ラグランジュの方法

𝛼 = −𝑏2𝑎

+ 12

𝑏2 − 4𝑎𝑐𝑎2

𝛽 = −𝑏2𝑎

− 12

𝑏2 − 4𝑎𝑐𝑎2

対称式でない式 係数の四則演算で表せない

対称式 係数の四則演算で表せる

26

置換 (対称性を調べるための道具)

𝛼,𝛽 を置換する方法は次の2通り

• 𝛼 𝛽𝛼 𝛽 : 𝛼 → 𝛼, 𝛽 → 𝛽 に置き換え

• 𝛼 𝛽𝛽 𝛼 : 𝛼 → 𝛽, 𝛽 → 𝛼 に置き換え

例:

• 𝛼 𝛽𝛽 𝛼 𝛼 = 𝛽

• 𝛼 𝛽𝛽 𝛼 𝛼 + 𝛽 = 𝛼 + 𝛽

• 𝛼 𝛽𝛽 𝛼 𝛼 − 𝛽 = − 𝛼 − 𝛽

不変≒対称

不変でない≒非対称

不変でない≒非対称

27

二次のラグランジュ・リゾルベントの置換

𝛼 𝛽𝛽 𝛼 𝛼 𝛽

𝛼 𝛽 凡例

𝛼 − 𝛽 − 𝛼 − 𝛽 𝛼 − 𝛽 2

二乗

平方根

28

𝛼 𝛽𝛼 𝛽 によって不変な数

𝛼 𝛽𝛼 𝛽 , 𝛼 𝛽

𝛽 𝛼 によって不変な数 𝛽 𝛼

𝛼 − 𝛽 2 =𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝑎2

𝛼 + 𝛽 = −𝑏𝑎

𝛼𝛽 =𝑐𝑎

𝛼 − 𝛽 =𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝑎2

ラグランジュ・リゾルベント

平方根

29

ここまでのまとめ

• 解の対称式（係数） 非対称式（解自身）

• （2次の）ラグランジュ・リゾルベント： 解の非対称式であるが、二乗すると対称式になる式

𝛼 = 𝛼 + 𝛽

2 +

𝛼 − 𝛽2

𝛽 = 𝛼 + 𝛽

2 −

𝛼 − 𝛽2

ラグランジュ・リゾルベントが存在する ⇔ 解の公式が存在する

方程式の解の公式

30

解の置換と三次方程式

31

3次方程式の解と係数の関係 方程式 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 の3つの解を𝛼,𝛽, 𝛾としたとき

𝑥 − 𝛼 𝑥 − 𝛽 𝑥 − 𝛾 = 0 ∴ 𝑥3 − 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 𝑥2 + 𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛾𝛼 𝑥 − 𝛼𝛽𝛾 = 0

係数を比較すると

� −𝑏 𝑎� = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾

𝑐 𝑎⁄ = 𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛾𝛼 −𝑑 𝑎� = 𝛼 𝛽 𝛾

基本対称式 方程式の係数 32

3次の置換 𝛼,𝛽, 𝛾を置換する方法は次の6通り

• 𝛼 𝛽 𝛾𝛼 𝛽 𝛾 : 𝛼 → 𝛼, 𝛽 → 𝛽, γ → 𝛾に置き換え

• 𝛼 𝛽 𝛾𝛽 𝛾 𝛼 : 𝛼 → 𝛽, 𝛽 → 𝛾, γ → 𝛼に置き換え

• 𝛼 𝛽 𝛾𝛾 𝛼 𝛽 : 𝛼 → 𝛾, 𝛽 → 𝛼, γ → 𝛽に置き換え

• 𝛼 𝛽 𝛾𝛽 𝛼 𝛾 : 𝛼 → 𝛽, 𝛽 → 𝛼, γ → 𝛾に置き換え

• 𝛼 𝛽 𝛾𝛼 𝛾 𝛽 : 𝛼 → 𝛼, 𝛽 → 𝛾, γ → 𝛽に置き換え

• 𝛼 𝛽 𝛾𝛾 𝛽 𝛼 : 𝛼 → 𝛾, 𝛽 → 𝛽, γ → 𝛼に置き換え

33

ラグランジュの方法 (二次方程式の場合)

𝛼 = 𝛼 + 𝛽

2 +

𝛼 − 𝛽2

𝛽 = 𝛼 + 𝛽

2 −

𝛼 − 𝛽2

𝐿1 𝐿2

ラグランジュ・リゾルベント 34

ラグランジュの方法 (三次方程式の場合)

• 𝛼 = 13

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝜔2

3 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 + 𝜔

3 𝜔2𝛼 + 𝜔𝛽 + 𝛾

• 𝛽 = 13

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝜔3

𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 + 𝜔2

3 𝜔2𝛼 + 𝜔𝛽 + 𝛾

• 𝛾 = 1

3 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 1

3 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 + 1

3 𝜔2𝛼 + 𝜔𝛽 + 𝛾

𝐿1 𝐿2 𝐿3

ラグランジュ・リゾルベント

ただし、𝜔 は 𝜔3 = 1 となる1の原始三乗根 35

𝛼 𝛽 𝛾𝛼 𝛽 𝛾 によって不変な数

𝛽 𝛼

3次のすべての置換によって不変な数

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = −𝑏𝑎

𝛼𝛽𝛾 = −𝑑𝑎

𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛾𝛼 =𝑐𝑎

𝛾

ラグランジュ・リゾルベント ラグランジュ・リゾルベントのべき乗 べき根

三次方程式の解法戦略（ただし、うまくいかない） 36

二次のラグランジュ・リゾルベント （再掲）

�𝐿1 = 𝛼 + 𝛽𝐿2 = 𝛼 − 𝛽

※各項の係数の +1, -1 は二乗して 1 になる数

37

三次のラグランジュ・リゾルベント

�𝐿1 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 𝐿2 = 𝜔 𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 𝐿3 = 𝜔2𝛼 + 𝜔 𝛽 + 𝛾

※各項の係数の 1, 𝜔, 𝜔2 は三乗して 1 になる数

38

三次のラグランジュ・リゾルベントの置換 • 𝛼𝛽𝛾

𝛽𝛾𝛼 𝐿2 = 𝛼𝛽𝛾𝛽𝛾𝛼 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 = 𝜔𝛽 + 𝜔2𝛾 + 𝛼 = 𝜔3𝛼 + 𝜔4𝛽 + 𝜔2𝛾 = 𝜔2𝐿2

• 𝛼𝛽𝛾𝛽𝛾𝛼 𝐿2 = 𝛼𝛽𝛾

𝛽𝛾𝛼 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 = 𝜔𝛽 + 𝜔2𝛾 + 𝛼 = 𝜔3𝛼 + 𝜔4𝛽 + 𝜔2𝛾 = 𝜔2𝐿2

• 𝛼𝛽𝛾𝛾𝛼𝛽 𝐿2 = 𝛼𝛽𝛾

𝛾𝛼𝛽 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 = 𝜔𝛾 + 𝜔2𝛼 + 𝛽 = 𝜔2𝛼 + 𝜔3𝛽 + 𝜔𝛾 = 𝜔𝐿2

• 𝛼𝛽𝛾𝛼𝛾𝛽 𝐿2 = 𝛼𝛽𝛾

𝛼𝛾𝛽 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 = 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛾 + 𝛽 = 𝜔2𝐿3

• 𝛼𝛽𝛾𝛾𝛽𝛼 𝐿2 = 𝛼𝛽𝛾

𝛾𝛽𝛼 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 = 𝜔𝛾 + 𝜔2𝛽 + 𝛼 = 𝜔𝐿3

• 𝛼𝛽𝛾𝛽𝛼𝛾 𝐿2 = 𝛼𝛽𝛾

𝛽𝛼𝛾 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 = 𝜔𝛽 + 𝜔2𝛼 + 𝛾 = 𝐿3

• 𝛼𝛽𝛾𝛼𝛽𝛾 𝐿23 = 𝐿23

• 𝛼𝛽𝛾𝛽𝛾𝛼 𝐿23 = 𝜔2𝐿2 3 = 𝐿23

• 𝛼𝛽𝛾𝛾𝛼𝛽 𝐿23 = 𝜔𝐿2 3 = 𝐿23

• 𝛼𝛽𝛾𝛼𝛾𝛽 𝐿23 = 𝜔2𝐿3 3 = 𝐿33

• 𝛼𝛽𝛾𝛾𝛽𝛼 𝐿23 = 𝜔𝐿3 3 = 𝐿33

• 𝛼𝛽𝛾𝛽𝛼𝛾 𝐿23 = 𝐿3 3 = 𝐿33

不変

不変

不変ではない (𝑳𝟑𝟑に置き換え)

不変ではない

不変ではない

不変ではない

不変ではない

不変ではない

不変ではない (𝑳𝟑𝟑に置き換え)

不変ではない (𝑳𝟑𝟑に置き換え)

不変

不変

39

40

三次のラグランジュ・リゾルベントの置換

𝛼𝛽𝛾𝛽𝛼𝛾

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛽𝛾

𝐿2

𝜔𝐿2

𝜔2𝐿2

𝐿3

𝜔𝐿3

𝜔2𝐿3

𝛼𝛽𝛾𝛾𝛽𝛼

𝛼𝛽𝛾𝛾𝛼𝛽

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛾𝛽

𝛼𝛽𝛾𝛽𝛾𝛼

凡例

三次のラグランジュ・リゾルベントの置換

𝐿23 𝐿33

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛾𝛽 ,

𝛼𝛽𝛾𝛾𝛽𝛼 ,

𝛼𝛽𝛾𝛽𝛼𝛾

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛽𝛾 ,

𝛼𝛽𝛾𝛽𝛾𝛼 ,

𝛼𝛽𝛾𝛾𝛼𝛽

凡例

41

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛽𝛾 によって不変な数

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛽𝛾 ,

𝛼𝛽𝛾𝛽𝛾𝛼 ,

𝛼𝛽𝛾𝛾𝛼𝛽 によって不変な数

𝛽

𝛼

𝛾

𝐿2 = 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 ラグランジュ・リゾルベント

𝐿3 = 𝜔2𝛼 + 𝜔𝛽 + 𝛾 ラグランジュ・リゾルベント 𝐿33

𝐿23

立方根

42

二次のラグランジュ・リゾルベント 𝐿23 − 𝐿33

• 𝛼𝛽𝛾𝛽𝛼𝛾 𝐿23 − 𝐿33 = − 𝐿23 − 𝐿33

• 𝛼𝛽𝛾𝛽𝛼𝛾 𝐿23 − 𝐿33

2= 𝐿23 − 𝐿33

2

不変ではない

不変

43

二次のラグランジュ・リゾルベントの置換

𝐿23 − 𝐿33 − 𝐿23 − 𝐿33 𝐿23 − 𝐿332

二乗

平方根

44

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛾𝛽 ,

𝛼𝛽𝛾𝛾𝛽𝛼 ,

𝛼𝛽𝛾𝛽𝛼𝛾

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛽𝛾 ,

𝛼𝛽𝛾𝛽𝛾𝛼 ,

𝛼𝛽𝛾𝛾𝛼𝛽

凡例

3次のすべての置換によって不変な数

𝐿1 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = −𝑏𝑎

𝛼𝛽𝛾 = −𝑑𝑎

𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛾𝛼 =𝑐𝑎

𝐿33

𝐿23

𝐿13 − 𝐿23 ラグランジュ・リゾルベント 𝐿13 − 𝐿23

2

平方根

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛽𝛾 ,

𝛼𝛽𝛾𝛽𝛾𝛼 ,

𝛼𝛽𝛾𝛾𝛼𝛽 によって不変な数

45

𝛽

𝛼

3次のすべての置換によって不変な数

𝐿1 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = −𝑏𝑎

𝛼𝛽𝛾 = −𝑑𝑎

𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛾𝛼 =𝑐𝑎

𝛾

𝐿2 = 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 ラグランジュ・リゾルベント

𝐿3 = 𝜔2𝛼 + 𝜔𝛽 + 𝛾 ラグランジュ・リゾルベント 𝐿33

𝐿23

𝐿13 − 𝐿23 ラグランジュ・リゾルベント 𝐿13 − 𝐿23

2

平方根

立方根

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛽𝛾 ,

𝛼𝛽𝛾𝛽𝛾𝛼 ,

𝛼𝛽𝛾𝛾𝛼𝛽 によって不変な数

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛽𝛾 によって不変な数

46

群と方程式

47

集合 G が次の 3 つの性質を満たすとき、G は群をなす

1. Gの 2 つの元の間に積が定義でき、積がGの元になる 𝑔1 × 𝑔2 = 𝑔3

2. Gに単位元が存在する

𝑔 × 𝑒 = 𝑒 × 𝑔 = 𝑔 3. Gのすべての要素に逆元が存在する

𝑔 × 𝑔−1 = 𝑔−1 × 𝑔 = 𝑒

群

48

置換群

𝛼,𝛽, 𝛾を置換する方法は次の6通り

𝛼 𝛽 𝛾𝛼 𝛽 𝛾 , 𝛼 𝛽 𝛾

𝛽 𝛾 𝛼 , 𝛼 𝛽 𝛾𝛾 𝛼 𝛽 ,

𝛼 𝛽 𝛾𝛽 𝛼 𝛾 , 𝛼 𝛽 𝛾

𝛼 𝛾 𝛽 , 𝛼 𝛽 𝛾𝛾 𝛽 𝛼

置換操作の集合は群をなす（置換群）

49

※「群であること」は次以降で置換群の同型を考えることで間接的に示す

置換群の同型

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼,𝛽, 𝛾 をそれぞれ次の正三角形の頂点に対応させ、 置換群の元をそれぞれ「正三角形を自分自身に移す変換操作」に対応させる。 この操作が作る群の対応関係が一対一に対応するとき、 この群が「置換群と同型の群である」という。

50

正三角形を自分自身に移す変換操作

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛽𝛾 ⟶

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼𝛽𝛾𝛽𝛾𝛼 ⟶

いずれも変化しない操作 （恒等操作）

右回転させて入れ替える操作

51

正三角形を自分自身に移す変換操作

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛽𝛾 ⟶

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼𝛽𝛾𝛼𝛾𝛽 ⟶

いずれも変化しない操作 （恒等操作）

𝛼を中心とする軸に対称な入れ替え操作

52

正三角形を自分自身に移す変換操作 （置換群の同型）

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾

𝛼 𝛽

𝛾

𝛼

𝛽

𝛾 53

「正三角形を自分自身に移す変換操作」の積

𝛼

𝛽

𝛾

𝛼

𝛽 𝛾

× ＝

𝛼

𝛽

𝛾

54

集合 G が次の 3 つの性質を満たすとき、G は群をなす 1. Gの 2 つの元の間に積が定義でき、積がGの元になる

2. Gに単位元が存在する

3. Gのすべての要素に逆元が存在する

「正三角形を自分自身に移す変換操作」 が群をなすことの確認

𝛼

𝛽

𝛾

𝛼

𝛽 𝛾 × ＝

𝛼

𝛽

𝛾

𝛼

𝛽

𝛾 × ＝

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼

𝛽

𝛾

𝛼

𝛽

𝛾 × ＝

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼 𝛽

𝛾

55

部分群

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽 𝛾

「正三角形の回転操作」のみを集めた部分群

「正三角形を自分自身に移す操作」すべてを集めた群

56

「正三角形の回転操作」によって不変な数

𝛽

𝛼

「正三角形を自分自身に移す操作」 によって不変な数

𝐿1 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = −𝑏𝑎

𝛼𝛽𝛾 = −𝑑𝑎

𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛾𝛼 =𝑐𝑎

𝛾

𝐿2 = 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 ラグランジュ・リゾルベント

𝐿3 = 𝜔2𝛼 + 𝜔𝛽 + 𝛾 ラグランジュ・リゾルベント 𝐿33

𝐿23

𝐿13 − 𝐿23 ラグランジュ・リゾルベント 𝐿13 − 𝐿23

2

平方根

立方根

「恒等操作」のみによって不変な数

57

• 置換群（または同型の群）が都合良い部分群を持つ • 都合良い部分群によって割った群が簡単な群になる

ラグランジュ・リゾルベントが存在する

解の公式が存在する

ガロア理論の基本定理

群の視点

方程式の視点

58

• 置換群（または同型の群）が正規部分群を持つ • 正規部分群による類別（剰余群）が巡回群になる

ラグランジュ・リゾルベントが存在する

解の公式が存在する

ガロア理論の基本定理

群の視点

方程式の視点

59

部分群による類別

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽 𝛾

部分群

60

部分群による類別

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾

×

𝛼

𝛽 𝛾

×

61

部分群による類別 部分群によって、群は複数の部分集合に類別できる

「正三角形の回転操作のみ」の群

「正三角形の回転操作のみ」の群

𝛼

𝛽 𝛾

×

𝛼

𝛽 𝛾

×

62

剰余群

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾

正規部分群によって類別された集合は、それ自体群をなし、その群は巡回群になる

この場合、剰余群は二次の巡回群となる

63

巡回群

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾

「正三角形の線対称操作」のみの群 : 𝛼𝛽𝛾𝛼𝛽𝛾 , 𝛼𝛽𝛾

𝛼𝛾𝛽

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾

64

巡回群

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼 𝛽

𝛾

𝛼

𝛽

𝛾

「正三角形の回転操作」のみの群 : 𝛼𝛽𝛾𝛼𝛽𝛾 , 𝛼𝛽𝛾

𝛽𝛾𝛼 , 𝛼𝛽𝛾𝛾𝛼𝛽

𝛼

𝛽

𝛾

𝛼

𝛽

𝛾 𝛼

𝛽

𝛾

65

ラグランジュの定理

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽 𝛾

「群の位数 (6)」＝「正規部分群の位数 (3)」×「剰余群の位数 (2)」

𝛽

𝛼

𝐿1 = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = −𝑏𝑎

𝛼𝛽𝛾 = −𝑑𝑎

𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛾𝛼 =𝑐𝑎

𝛾

𝐿2 = 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾 ラグランジュ・リゾルベント

𝐿3 = 𝜔2𝛼 + 𝜔𝛽 + 𝛾 ラグランジュ・リゾルベント 𝐿33

𝐿23

𝐿13 − 𝐿23 ラグランジュ・リゾルベント 𝐿13 − 𝐿23

2

平方根

立方根

「正三角形の回転操作」によって不変な数

「正三角形を自分自身に移す操作」 によって不変な数

「恒等操作」のみによって不変な数

67

三次方程式の解の置換群の構造 𝛼

𝛽 𝛾 𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽 𝛾 𝛼 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾

𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽 𝛾 𝛼 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽 𝛾

z

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾

𝛼

𝛽 𝛾

正規部分群による剰余群が三次巡回群

正規部分群による剰余群が二次巡回群

68

三次方程式の解の置換群のガロア対応 𝛼

𝛽 𝛾 𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽 𝛾 𝛼 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾

𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽 𝛾 𝛼 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾

𝛼

𝛽 𝛾 𝛼

𝛽

𝛾 𝛼 𝛽

𝛾

「正三角形の回転操作」によって不変な数

「正三角形を自分自身に移す操作」すべてに不変な数

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 𝛼𝛽𝛾 𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛾𝛼

𝐿33 𝐿13 − 𝐿23

𝐿13 − 𝐿232

平方根

立方根

恒等操作によって不変な数

𝐿23

𝐿2 = 𝜔𝛼 + 𝜔2𝛽 + 𝛾

𝐿3 = 𝜔2𝛼 + 𝜔𝛽 + 𝛾 𝛽 𝛼

𝛾

二次のラグランジュ・リゾルベント ⇔二次巡回群

𝛼

𝛽 𝛾

三次のラグランジュ・リゾルベント ⇔三次巡回群

69

• 置換群（または同型の群）が正規部分群を持つ • 正規部分群による類別（剰余群）が巡回群になる

ラグランジュ・リゾルベントが存在する

解の公式が存在する

ガロア理論の基本定理

群の視点

方程式の視点

70

五次方程式の解法

71

五次方程式の置換群

𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 + 𝑑𝑥2 + 𝑒𝑥 + 𝑑 = 0 の5つの解を𝛼,𝛽, 𝛾, 𝛿, 𝜀とする

置換群の位数（要素数）は 120

72

五次方程式の置換群の構造

𝛼𝛽𝛾𝛿𝜀𝛼𝛽𝛾𝛿𝜀

五次の交代群 𝐴5

五次の置換群 𝑆5

剰余群が巡回群にならない ラグランジュ・リゾルベントが存在しない

剰余群が巡回群 ラグランジュ・リゾルベントが存在する

73

五次交代群 𝐴5

位数60の群（単純群） ※単純群：正規部分群が単位群と自分自身 しか存在しない

74

𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 + 𝑑𝑥2 + 𝑒𝑥 + 𝑑 = 0 に解の公式が存在するか

∵ガロア理論

解の公式は存在しない

75

まとめ

• 方程式のガロア理論 方程式と群を結びつけ、群に基づいて方程式の可解性を説明できる代数的手法

• 五次方程式の解法 五次の交代群は単純群かつ巡回群でない ⇔ ラグランジュ・リゾルベントは存在しない ⇔ 解の公式は存在しない

76

参考文献 ガロア理論 原論文集 • 守屋美賀雄監修、「ガロア アーベル 群と方程式」、共立出版 ガロア理論 教科書 • デイヴィッド・コックス、「ガロワ理論 上・下」、日本評論社 • 草場公邦、「ガロワと方程式」、朝倉書店 • 足立恒雄、「ガロア理論講義」、日本評論社

ガロア理論 一般向け読み物 • 小島寛之、「天才ガロアの発想力」、tanQブックス • 中村亨、「ガロアの群論」、講談社 • 結城浩、「数学ガール ガロア理論」、ソフトバンククリエイティブ

77

ありがとうございました 最後に一言： • ガロア理論の面白い所は、やはりクライマックスのガロア対応だと思いま

す。最初はおぼろげにしかわからなかった群と解法の関係が、ガロア対応という形で明確に示される、まるでサスペンス。「ああ、そういえばあの辺りに伏線があったなあ」的な。

• 今回は紹介しませんでしたが、解法の部分は、本来は「体の理論」として定義され、ラグランジュ・リゾルベントの件は、冪根拡大として説明されます。そういえば正規部分群も正確に紹介していなかった・・・。ここら辺がわかってくると、この理論の美しさがより明確にわかってくるのではないでしょうか。興味を持った方はぜひ参考書にトライしてみてください。

• 今回のスライドで、ガロア理論の面白さを少しでも感じ取ってもらえたら嬉しいです。

78