แปลงลาปลาซ

บทท 7 การแปลงลาปลาซ

จากบทท 5 ไดศกษาสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบตาง ๆ ทงแบบเอกพนธและแบบไมเอกพนธ โดยเฉพาะสมการเชงอนพนธทมสมประสทธเปนคาคงท อกทงยงไดศกษาปญหาเรมตนมาบางแลว ยงมวธการแกสมการเชงอนพนธอกอยางหนงทสามารถแปลงปญหาดงกลาวใหเปนปญหาทางพชคณต ซงท าใหสามารถแกปญหาไดสะดวกขนนนคอการแปลงลาปลาซ ผทท าการศกษา คนควาในเรองนจนเปนทยอมรบของนกคณตศาสตรและบคคลทวไปคอนกคณตศาสตรชาวฝรงเศสชอ ลาปลาซ ปแยร ชมงเดอ ( Pierre Simon de Laplace) (ศรบตร แววเจรญและชนศกด บายเทยง, 2543 , 91) การแปลงลาปลาซมประโยชนอยางมากในการแกสมการเชงอนพนธ และสามารถน าไปประยกตใชกบการแกปญหาทางวทยาศาสตรและวศวกรรมศาสตรไดเปนอยางดดงนน ในบทนจะศกษาเรองทเกยวกบการแปลงลาปลาซทเปนผลของการแปลงลาปลาซและการหาผลการแปลงลาปลาซแบบตาง ๆ สมบตของผลการแปลงลาปลาซ ผลการแปลงลาปลาซกบฟงกชนบางชนด การแปลงผกผนลาปลาซและการน าผลการแปลงลาปลาซไปใชในการแกสมการเชงอนพนธ

7.1 ผลการแปลงลาปลาซ การแปลงลาปลาซหรอผลการแปลงลาปลาซ (Laplace Transformation) เปนการแกสมการเชงอนพนธอยางหนง ซงจะตองอาศยเรองของอนทกรลไมตรงแบบมาใหบทนยาม ดงน ถาก าหนดให f เปนฟงกชนคาจรงทนยามบนชวง [0, ) หรอ f (x)หาคาไดส าหรบ

x 0 จะไดวา b

b0 0

f (x)dx lim f (x)dx

ซงเปนคาอนทกรลไมตรงแบบในรปของลมต จาก

หลกการดงกลาวน สามารถสรางเปนบทนยามใหมไดดงนคอ

บทนยาม 7.1 ถา f (x) หาคาไดบนชวง [0, ) แลวอนทกรลไมตรงแบบ

b

b0 0

K(s,x)f (x)dx lim K(s,x)f (x)dx

ซงถาลมตหาคาได จะเรยกวาอนทกรลไมตรงแบบลเขา ขอสงเกต ถาอนทกรลไมตรงแบบลเขา จะเหนวาคาอนทกรลไมตรงแบบดงกลาวเปนการแปลง

ฟงกชน f (s) ไปเปน f (x)

382

ในทนจะเลอกฟงกชน sxK(s,x) e ซงมความส าคญส าหรบการแปลงลาปลาซมาก และใหบทนยามไดดงนคอ (บรอนสน, 2542)

บทนยาม 7.2 ถา f เปนฟงกชนทหาคาไดบนชวง [0, ) แลวคาอนทกรล sx

0

e f (x)dx F(s)

จะเรยกวาการแปลงลาปลาซหรอผลการแปลงลาปลาซของ f ถาอนทกรลนหาคาได

หมายเหต 1) ใชสญลกษณ L f(x) แทน sx

0

e f (x)dx

หรอ L f(t) F(s) st

0

e f (t)dt

2) คาของ L f(x) จะอยในเทอมของ s หรอแทนดวย F(s) หรออาจจะใชสญลกษณ อน ๆ เชน L g(x) G(s) หรอ L h(x) H(s) เปนตน

3) โดยทวไปแลว s อาจเปนคาเชงซอนได แตจะพจารณาเฉพาะ คาจรงของ s เทานน

ตวอยางท 7.1 จงหา L f(x) เมอก าหนดให f (x) 1

วธท า เนองจาก sx

0

L f (x) e f (x)dx

ส าหรบทกคาของ s ทท าใหอนทกรลไมตรงแบบลเขา และ f (x) หาคาไดบนชวง [0, )

จะไดวา sx

0

L 1 e (1)dx

b

sx

b0

lim e dx

b

sx

b0

1lim e

s

sb 0

b

1 1lim e e

s s

พจารณา 1) ส าหรบ s 0 จะท าใหอนทกรลไมตรงแบบลออก เพราะวา ถา s 0

จะไดวา b

b(0)x

0b b b0 0

e (1)dx lim dx lim x lim b

2) ส าหรบ s 0 จะท าใหอนทกรลไมตรงแบบลออก เพราะวา ถา s 0 จะไดวา sb 0 และ sb

blim e

3) ส าหรบ s 0 จะท าใหอนทกรลไมตรงแบบลเขา เพราะวา ถา s 0 จะไดวา sb 0 และ sb

blim e 0

ดงนน 1

L 1 , s 0s

#

จากตวอยางขางตนใชวธการหาเชนเดยวกนจะไดวา a

L a , s 0s

เมอ

383

a เปนคาคงท ตวอยางท 7.2 จงหาคาของ 3xL e


0

L f (x) e f (x)dx

จะไดวา 3x sx 3x ( s 3)x

0 0

L e e (e )dx e dx

b( s 3)x

0b

1lim e

s 3

( s 3)b

b

1lim e 1

s 3

( s 3)b

b

1 1lim e 1

s 3 s

ส าหรบ s 0 จะได 3x 1L e

s 3

#

ตวอยางท 7.3 จงหาคาของ L x


0

L x e (x)dx

b

sx

b0

lim e (x)dx

จากการอนทเกรตแบบแยกสวนจะไดวา

b

sx sx bs bsbsx

2 2 20 0

xe e be e 1e (x)dx

s ss s s

ดงนน bs bs

2 2b

be e 1L x lim

s s s

2

1

s ส าหรบ s 0 #

จากตวอยางขางตนใชวธการหาเชนเดยวกนจะไดวา n

n 1

n!L x , s 0

s เมอ

n เปนจ านวนเตมบวก ตวอยางท 7.4 จงหาคาของ L f (x) เมอก าหนดให f (x) sin2x

วธท า เนองจาก b

sx sx

b0 0

L sin 2x e (sin 2x)dx lim e (sin 2x)dx

384

ใชการอนทเกรตแบบแยกสวน 2 ครง และใชสตร ax

ax

2 2

e (a sin bx bcosbx)e sin bx

a b

ดงนนจะไดวา

bsx

2b0

e (ssin 2x 2cos2x)L sin 2x lim

a 4

bs

2 2b

e (ssin 2b 2cos2b) ( 2)lim

a 4 s 4

2

2

s 4

ส าหรบ s 0 #

จากตวอยางขางตนใชวธการหาเชนเดยวกนจะไดวา 2 2

aL sinax , s 0

s a

เมอ a เปนคาคงท และในท านองเดยวกนจะไดวา 2 2

sL cosax , s 0

s a

ตวอยางท 7.5 จงหาคาของ axL xe เมอ a เปนคาคงท

วธท า เนองจาก b

ax sx ax (a s)x

b0 0

L xe e (xe )dx lim xe dx

จากการอนทเกรตแบบแยกสวนจะไดวา

b

(a s)x (a s)xb(a s)x

20 0

xe exe dx

a s (a s)

ดงนน (a s)b (a s)b

ax

2 2b

be e 1L xe lim

a s (a s) (a s)

2

1

(a s)

ส าหรบ s 0

ส าหรบ s 0 จะได ax

2

1L xe

(a s)

#

ดงนนผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนพนฐาน จะสรปเปนสตรซงสามารถน าไปใชโดยการแทนคาไดเลย ดงน

1) a

L a , s 0s

2) ax 1L e , s 0

s a

3) ax

2

1L xe , s 0

(s a)

4) n

n 1

n!L x , s 0

s

385

5) 2 2

aL sinax , s 0

s a

6) 2 2

sL cosax , s 0

s a

7) 2 2

aL sinhax , s 0

s a

8) 2 2

aL coshax , s 0

s a

ตวอยาง เชนสามารถหาผลแปลงลาปลาซของฟงกชนตาง ๆ โดยใชสตรขางตนไดดงนคอ

5

L 5 , s 0s

6x 1 1L e , s 0

s ( 6) s 6

4

4 1 5

4! 24L x , s 0

s s

2 2

5L sin5x , s 0

s 5

2 2 2

s sL cos( 4)x , s 0

s ( 4) s 16

ส าหรบฟงกชนอน ๆ ทไมเปนไปตามสตรขางตนกสามารถหาไดจากบทนยาม

sx

0

L f (x) e f (x)dx

โดยตรง หรอบางครงอาจจะตองใชวธการเปลยนรปของฟงกชน

และถายงยากจะตองใชเทคนคซงจะกลาวถงตอไปนมาชวย

ตวอยางท จงหา 2L sin x

วธท า จากความสมพนธของฟงกชนตรโกณมต 2 1 cos2xsin x

2

เนองจาก 2 sx 2 sx

0 0

1 cos 2xL sin x e (sin x)dx e dx

2

sx

0

1e (1 cos 2x)dx

2

sx sx

0 0

1e dx e cos2xdx

2

1

L 1 L cos2x2

2 2

1 1 s

2 s s 2

2

2

s(s 4)

#

386

ตวอยางท 7.7 จงหา L sin(ax b) โดยท a และ b เปนคาคงท

วธท า เนองจาก p

sx sx

p0 0

L sin(ax b) e sin(ax b)dx lim e sin(ax b)dx

ใชเทคนคการอนทเกรตแบบแยกสวน จะไดวา

pp sx sx

sx

2 2 2 20 0

se sin(ax b) ae cos(ax b)e sin(ax b)dx

s a s a

ดงนน

sp sp

2 2 2 2p

se sin(ap b) ae cos(ap b) ssin b acosbL sin(ax b) lim

s a s a

2 2

ssin b a cosb

s a


ท านองเดยวกนสามารถหาไดวา 2 2

scosb asin bL cos(ax b)

s a


ฟงกชนทมความตอเนองเปนชวง ๆ กสามารถหาผลการแปลงลาปลาซไดเชนเดยวกน เพยง แตจะตองมเงอนไขเพมเตมบางดงบทนยามตอไปน คอ (พรชย สาตรวาหา, 2545) บทนยาม 7.3 ฟงกชน f จะกลาววามอนดบเลขชก าลง ( exponential order) เทากบ c ถามคาคงท c ส าหรบ M 0 และ 0x 0 ซงท าให cxf (x) Me ทกคาของ 0x x ตวอยางเชน xf (x) e จะมคาอนดบเลขชก าลงเปน 1 เพราะวา x xe 1 e

xf (x) e จะมคาอนดบเลขชก าลงเปน 1 เพราะวา x xe 1 e

f (x) 2sin x จะมคาอนดบเลขชก าลงเปน 1 เพราะวา x2sin x 2 e บทนยาม 7.4 ถา f เปนฟงกชนตอเนองเปนชวง (piecewise- continuous) บนชวง (0, ) และม อนดบเลขชก าลงเทากบ c ส าหรบ 0x x แลวจะไดวา L f (x) หาคาได ส าหรบ s c และในการหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนทตอเนองเปนชวง ๆ กสามารถหาไดโดย การหาอนทกรลในแตละชวงท x 0

ตวอยางท 7.8 จงหา L f (x) เมอก าหนดให 1 , x 2f (x)

1 , x 2

วธท า เนองจาก 2

sx sx sx

0 0 2

L f (x) e f (x)dx e ( 1)dx e (1)dx

387

ดงนน

2sx b

sx

b20

eL f (x) lim e dx

s

b

2s sx

b2

e 1 elim

s s s

2s bs 2s

b

e 1 e elim

s s s s

2s 2se 1 e

s s s

2s2e 1

, s 0s s

#

ตวอยางท 7.9 จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชน x

2 , 0 x 1

f (x) e , 1 x 3

0 , x 3

วธท า เนองจาก 1 3

sx sx x sx

0 1 3

L f (x) e (2)dx e (e )dx e (0)dx

1 3

sx (1 s)x

0 1

2 e dx e dx 0

1 3

sx (1 s)x

0 1

2e e

s s 1

s 3 3s 1 s2e 2 e e

s s s 1 s 1

#

ตวอยางท 7.10 จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนขนบนใดหนงหนวย (unit step function) ท

จด c ซงมบทนยามวา 0 , x cu(x c)

1 , x c


0

L u(x c) e u(x c)dx

c

sx sx

0 c

e u(x c)dx e u(x c)dx

388

c

sx sx

0 c

e (0)dx e (1)dx

sx

c

e dx

b

sx

bc

lim e dx

b

sx

bc

elim

s

sb cs

b

1lim e e

s

cs

cs1 ee , s 0

s s

#

7.2 สมบตบางประการของผลการแปลงลาปลาซ ผลการแปลงลาปลาซจะมสมบตบางประการทชวยใหหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชน ตาง ๆ ไดมากขน สมบตทส าคญและน ามาใชบอยมดงนคอ

7.2.1 สมบตเชงเสน

สามารถสรปเปนทฤษฎบทดงนคอ ทฤษฎบท 7.1 ถา f (x) และ g(x) มผลการแปลงลาปลาซแลว จะไดวา L af (x) bg(x) aL f (x) bL g(x) เมอ a และ b เปนคาคงทใด ๆ

พสจน เนองจาก sx

0

L af (x) bg(x) e af (x) bg(x) dx

sx sx

0 0

e af (x) dx e bg(x) dx

sx sx

0 0

a e f (x) dx b e g(x) dx

aL f (x) bL g(x) # หมายเหต จากทฤษฎบทท 7.1 สามารถไปใชกบสมบตดงนได

1) L af (x) bg(x) aL f (x) bL g(x) 2) L af (x) aL f (x)

389

ตวอยางท 7.11 จงหา L f (x) ถา 2f (x) 2x 3x 4 วธท า เนองจาก 2L f (x) L 2x 3x 4

22L x 3L x L 4

3 2

2! 1 12 3 4

ss s

3 2

8 3 4

ss s #

ตวอยางท 7.12 จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชน 4sinx 3cos2x วธท า L 4sin x 3cos2x L 4sin x L 3cos2x 4L sin x 3L cos2x

2 2

1 s4 3

s 1 s 4

2 2

4 3s

s 1 s 4

#

ตวอยางท 7.13 จงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชน 4x 35e 3cos4x 5x 1 วธท า 4x 3 4x 3L 5e 3cos4x 5x 1 L 5e L 3cos4x L 5x L 1

4x 35L e 3L cos4x 5L x L 1

2 4

1 s 3! 15 3 5

s 4 ss 16 s

2 4

5 3s 30 1

s 4 ss 16 s

#

ตวอยางท 7.14 จงหา L 2sin x cos3x วธท า เพอใหสามารถใชสตรและสมบตเชงเสนของผลการแปลงลาปลาซได จะตองจดใหอยในรป

ทงาย โดยใชความสมพนธของฟงกชนตรโกณมต 2sin x cos3x sin(x 3x) sin(x 3x) sin4x sin2x ดงนน L 2sin x cos3x L sin 4x L sin 2x

2 2

4 2

s 16 s 4

390

2 2 2

2 2 2 2

4s 16 2s 32 2s 16

(s 16)(s 4) (s 16)(s 4)

#

7.2.2 สมบตผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนทคณดวยตวแปรอสระ ส าหรบฟงกชนทคณดวยตวแปรอสระ เชน 2 4x 3 4x e , x cos x , x sin 2x

เปนตน กสามารถหาผลการแปลงลาปลาซไดเชนเดยวกน โดยใชสมบตดงตอไปน ทฤษฎบท 7.2 ถาก าหนดให L f (x) F(s) แลวจะไดวา

n

n n

n

dL x f (x) ( 1) F(s)

dx โดยท n 1, 2 , 3 , ...


0

F(s) L f (x) e f (x)dx

และจากกฎของไลบนตซ (Leibnitz’s rule) ส าหรบการหาอนพนธภายใตเครองหมาย อนทกรล จะไดวา

sx sx sx

0 0 0

d dF(s) F (s) e f (x)dx e f (x)dx xe f (x)dx

ds ds s

sx

0

e (xf (x))dx L xf (x)

ดงนน dF

L xf (x) F (s)ds

จากหลกการพสจนโดยอปนยทางคณตศาสตร จะเหนวา กรณท n 1 เปนจรง

สมมตให n k เปนจรง นนคอ k

k k

k

dL x f (x) ( 1) F(s)

ds

ดงนน k 1

sx k k

k 10

d de x f (x) dx ( 1) F(s)

ds ds

และโดยกฎของไลบนตซจะไดวา

k 1

sx k 1 k

k 10

de x f (x) dx ( 1) F(s)

ds

นนคอ k 1

sx k 1 k 1

k 10

de x f (x) dx ( 1) F(s)

ds

จงสรปไดวา n

n n

n

dL x f (x) ( 1) F(s)

dx โดยท n 1, 2 , 3 , ... #

391

ตวอยางท 7.15 จงหา 4xL xe

วธท า เนองจาก 4x 1L e F(s)

s 4

จากทฤษฎบทท 7.2 จะได

4x 1

2 2

d 1 1 1L xe ( 1)

ds s 4 (s 4) (s 4)

#

ตวอยางท 7.16 จงหา 3 2xL x e

วธท า เนองจาก 2x 1 1L e F(s)

s ( 2) s 2

จะได 3

3 2x 3 3

3 4 4

d 1 6 6L x e ( 1) ( 1)

s 2ds (s 2) (s 2)

#

ตวอยางท 7.17 จงหา 2L x sin 5x


5L sin5x F(s)

s 25

ดงนน 2 2

2 2

2 2

d dL x sin5x ( 1) F(s) F(s)

dx dx

จาก 2 1

2

5F(s) 5(s 25)

s 25

จะได 2 2 2 2F (s) 5(s 25) 2s 10s(s 25)

2

2 3

10(3s 25)F (s)

(s 25)

นนคอ 2 2

2 2

2 3 2 3

10(3s 25) 10(3s 25)L x sin5x ( 1)

(s 25) (s 25)

#

7.2.3 สมบตการเลอนขนานของผลการแปลงลาปลาซ มทฤษฎบททเกยวของกบสมบตการเลอนขนาน ( translation or shifting

property ) อย 2 ทฤษฎบทดงน คอ ทฤษฎบท 7.3 การเลอนขนานขอ 1 (first translation property) ถา L f (x) F(s) แลวจะไดวา axL e f (x) F(s a)


0

L f (x) e f (x)dx F(s)

ดงนน

392

ax sx ax (s a)x

0 0

L e f (x) e e f (x)dx e f (x)dx

F(s a) # ตวอยางท 7.18 จงหา 3x 3L e x


4

3!L x F(s)

x

ดงนน 3x 3

4

3!L e x F(s ( 3)) F(s 3)

(s 3)

#

ตวอยางท 7.19 จงหา 5xL e cos7x


sL cos7x F(s)

s 49

ดงนน 5x

2 2

s 5 s 5L e cos7x F(s 5)

(s 5) 49 s 10s 74

#

ตวอยางท 7.20 จงหา 2xL e (3cos5x 5sin6x)

วธท า เนองจาก L 3cos5x 5sin 6x 3L cos5x 5L sin 6x

2 2

3s 30F(s)

s 25 s 36

ดงนน 2xL e (3cos5x 5sin6x) F(s ( 2)) F(s 2)

2 2

3(s 2) 30

(s 2) 25 (s 2) 36

#

ตวอยางท 7.21 จงหา xL e x cos2x


sL cos2x F(s)

s 4

จะได 2 2

2 2 2 2

(s 4) s(2s) s 4F(s)

(s 4) (s 4)

จากสมบตผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนทคณดวยตวแปรอสระ

จะได 2 2

1

2 2 2 2

( s 4) s 4L x cos2x ( 1) F (s) ( 1) G(s)

(s 4) (s 4)

ดงนน

2x

22

(s 1) 4L e x cos2x G(s ( 1)) G(s 1)

(s 1) 4

#

393

ทฤษฎบท 7.4 การเลอนขนานขอ 2 (second translation property)

ถา L f (x) F(s) และ f (x a) , x ag(x)

0 , x a

แลวจะไดวา asL g(x) e F(s)


0

L g(x) e g(x)dx

a

sx sx

0 a

e g(x)dx e g(x)dx

a

sx sx

0 a

e (0)dx e f (x a)dx

sx

a

e f (x a)dx

ก าหนดให x a u หรอ x u a นนคอ dx du

ดงนน (u a)s

0

L g(x) e f (u)du

as us

0

e e f (u)du

ase F(s) # ขอสงเกต การเขยน g(x) อาจจะเขยนอยในรป g(x) f (x a)u(x a) โดยท

1 , x au(x a)

0 , x a

นนคอ สมบตการเลอนขนาน ขอ2 อาจกลาวไดวา asL f(x a)u(x a) e F(s)

ตวอยางท 7.22 จงหาผลการแปลงลาปลาซ ของ 3 , x 4(x 4)

g(x), x 40

วธท า จากสมบตการเลอนขนาน ขอ2 จะไดวา asL g(x) L f (x 4)u(x 4) e F(s)

แทนคา a 4 และ 3

4

3!L f (x) L x F(s)

s

นนคอ 4s

4s

4 4

6 6eL g(x) e

s s

#

394

ตวอยางท 7.23 จงหาผลการแปลงลาปลาซของ x 3

0 , x 3f (x)

, x 3e

วธท า เนองจาก x 1L e F(s)

s 1

จากสมบตการเลอนขนาน ขอ2 จะไดวา asL f(x) e F(s)

แทนคา a 3 จะได 3s

3s 1 eL f (x) e

s 1 s 1

#

7.2.4 ผลการแปลงลาปลาซกบฟงกชนแกมมา ฟงกชนแกมมาเปนอกฟงกชนหนงทเกยวของการผลการแปลงลาปลาซ โดยทสามารถน าไปใชในการหาคาอนทกรลไมจ ากดเขตและหาผลการแปลงลาปลาซไดเชนกน ซงความหมายของฟงกชนแกมมาไดใหบทนยามไวดงนคอ บทนยาม 7.5 ส าหรบจ านวนจรงบวก p ใด ๆ ฟงกชนแกมมาจะเปนฟงกชนทอยในรป

p 1 x

0

x e dx

ซงแทนดวยสญลกษณ (p)

นนคอ p 1 x

0

(p) x e dx

ซงจะเหนวาอยในรปของอนทกรลไมตรงแบบคลายกบ

ผลการแปลงลาปลาซ และสามารถพสจนไดวา (p 1) p (p) , p 0 ดงนคอ

เนองจาก b

(p 1) 1 x p x p x

b0 0 0

(p 1) x e dx x e dx lim x e dx

จากการอนทเกรตแบบแยกสวน จะไดวาb bb

p x p x p 1 x

00 0

x e dx x e px e dx

b

p b p 1 x

0

b e p x e dx

นนคอ b

p b p 1 x

b b0

(p 1) lim b e p lim x e dx

p 1 x

0

0 p x e dx

p (p)

395

ตวอยางท 7.24 จงหาคาของ (1)

วธท า เนองจาก p 1 x

0

(p) x e dx

ดงนน 0 x x

0 0

(1) x e dx e dx

b b

x x b

0b b b0

lim e dx lim e lim e ( 1) 1

#

ตวอยางท 7.25 จงพสจนวา ถา n เปนจ านวนเตมบวกแลวจะไดวา (n 1) n! พสจน โดยใชวธอปนยทางคณตศาสตร กรณท n 1 จะไดวา (1 1) 1 1 1! เปนจรง สมมตให n k เปนจรง นนคอ (k 1) k! จะตองพสจนวา กรณท n k 1 ตองเปนจรง หรอจะตองพสจนวา

((k 1) 1) (k 1)! นนเอง เนองจาก (p 1) p (p) แทนคา p ดวย k 1 จะไดวา ((k 1) 1) (k 1) (k 1) (k 1) k! (k 1)! ดงนน (n 1) n! ส าหรบทกคาของ n ทเปนจ านวนเตมบวก #

ตวอยางท 7.26 จงหาคาของ (5)

2 (2)

วธท า เนองจาก (n 1) n! ดงนนจะไดวา

(5) (4 1) 4! (1)12

2 (2) 2 (1 1) 2 1! (1)

#

จากบทนยามของฟงกชนแกมมา สามารถน ามาใชในการหาคาของอนทกรลไมตรงแบบและหาผลการแปลงลาปลาซ ไดดงน คอ

ตวอยางท 7.27 จงหาคาของ 4 x

0

x e dx

396

วธท า เนองจาก p 1 x

0

(p) x e dx

แทนคาp 5 จะ

ได 4 x 5 1 x

0 0

x e dx x e dx (5) (4 1) 4! 24

#

ตวอยางท 7.28 จงหาคาของ 2 3x

0

x e dx

วธท า สมมตให u 3x จะได du 3dx หรอ dudx

3

ดงนนจะไดวา 2

2 3x u 2 u

0 0 0

u 1 1x e dx e du u e du (3)

3 27 27

1 22!

27 27 #

ตวอยางท 7.29 จงพสจนวา n

n 1

(n 1)L x

s

เมอ n 1 และ s 0

วธท า เนองจาก n sx n

0

L x e x dx

สมมตให sx z หรอ zx

s จะได 1

dx dz , s 0s

แทนคาจะได n

n z z n

n 1 n 10 0

z 1 1 1L x e dz e z dz (n 1)

s s s s

n 1

(n 1)

s

#

7.2.5 ผลการแปลงลาปลาซกบฟงกชนเปนคาบ ฟงกชนเปนคาบสามารถใหบทนยามไดดงนคอ

บทนยาม 7.6 ก าหนดให f เปนฟงกชน และ T 0 ถา f (x T) f (x) จะเรยก f วา

ฟงกชนคาบ ( periodic function ) และเรยก T วา คาบของฟงกชน ตวอยางเชน 1) f (x) sin x เปนฟงกชนคาบ เพราะวา f (x 2 ) sin(x 2 ) sin x f (x) และมคาบเทากบ 2 และสามารถเขยนกราฟไดดงน

397

ภาพท 7.1 กราฟแสดงฟงกชนคาบ f (x) sin x 2) f (x) cos4x เปนฟงกชนคาบ สมมตวามคาบเทากบ T จะได f (x T) f (x) นนคอ cos4(x T) cos4x

4x 4T 4x 2 ดงนน 2T

4 2

และสามารถเขยนกราฟไดดงน ภาพท 7.2 กราฟแสดงฟงกชนคาบ f (x) cos4x

3) 1 , 0 x 1f (x)

0 , 1 x 2

ส าหรบชวง (0,2) เปนฟงกชนคาบและมคาบ

เทากบ 2 และกราฟมลกษณะดงนคอ

ภาพท 7.3 กราฟแสดงฟงกชนคาบในชวง (0,2) ทฤษฎบททเกยวของกบผลการแปลงลาปลาซของฟงกชนคาบมดงนคอ

Y

5 X0

398

ทฤษฎบท ถา f เปนฟงกชนคาบ โดย f (x T) f (x) , T 0 แลว

T

sx

sT0

1L f (x) e f (x)dx

1 e


0

L f (x) e f (x)dx

แบงชวง (0, ) ออกเปนชวงยอย ๆ (0,T] , (T,2T] , (2T,3T] , ... แลวเขยนผลการแปลงลาปลาซใหมไดเปน

T 2T 3T

sx sx sx

0 T 2T

L f (x) e f (x)dx e f (x)dx e f (x)dx ...

พจารณาคาของอนทกรลในแตละชวงไดดงน

คาแรก สมมตให x u จะได T T

sx su

0 0

e f (x)dx e f (u)du

คาท 2 สมมตให x u T จะได 2T T

sx s(u T)

T 0

e f (x)dx e f (u T)du

คาท 3 สมมตให x u 2T จะได 3T T

sx s(u 2T)

2T 0

e f (x)dx e f (u 2T)du

………………………… ส าหรบคาอน ๆ พจารณาท านองเดยวกน

ดงนน T T T

su s(u T) s(u 2T)

0 0 0

L f (x) e f (u)du e f (u)du e f (u)du ...

T T T

su sT su 2sT su

0 0 0

e f (u)du e e f (u)du e e f (u)du ...

T

sT 2sT su

0

1 e e ... e f (u)du

เนองจาก sT 2sT1 e e ... เปนอนกรมเรขาคณต ถา s 0 จากสตร 2 1

1 r r ... , r 11 r

แทนคา sTr e ซง sTe 1

นนคอ sT 2sT

sT

11 e e ...

1 e

ดงนน T

sx

sT0

1L f (x) e f (u)du

1 e

หรอ

Tsx

sT0

1L f (x) e f (x)dx

1 e

399

ตวอยางท 7.30 จงเขยนกราฟของฟงกชนf ซงเปนฟงกชนคาบและมคาบเทากบ 1ซงมบทนยามโดย f (x) x ในชวง (0,1) และจงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชน f ดวย วธท า เขยนกราฟของฟงกชนคาบ ไดดงนคอ ภาพท 7.4 กราฟแสดงฟงกชนคาบ f (x) x ในชวง (0,1)

เนองจาก f เปนฟงกชนคาบ ดงนน T

sx

sT0

1L f (x) e f (x)dx

1 e

แทนคา T 1 และ f (x) x จะไดวา

1 1

sx sx

s(1) s0 0

1 1L f (x) e (x)dx xe dx

1 e 1 e

ใชเทคนคการอนทเกรตแบบแยกสวนจะได

11 1sx

sx sx

0 00

xe 1xe dx e dx

s s

1

s sx

20

e e

s s

s s

2 2

e e 1

s s s

ดงนน s s

s 2 2

1 e e 1L f (x)

s1 e s s

s s s

2 s 2 s

se e 1 1 (s 1)e

s (1 e ) s (1 e )

#

ตวอยางท 7.31 จงเขยนกราฟของฟงกชนf ซงเปนฟงกชนคาบซงมบทนยามในชวง (0,2) โดย x , 0 x 1

f (x)2 x , 1 x 2

และ f (x 2) f (x)

และจงหาผลการแปลงลาปลาซของฟงกชน f ดวย วธท า จะเหนวา f เปนฟงกชนคาบ ทมคาบเทากบ 2 เขยนกราฟของฟงกชน ไดดงนคอ

Y

5 X0

400

ภาพท 7.5 กราฟแสดงฟงกชนคาบ f (x 2) x ในชวง (0,2)

เนองจาก f เปนฟงกชนคาบและคาบเทากบ 2 ดงนน 2

sx

2s0

1L f (x) e f (x)dx

1 e

2 1 2

sx sx sx

0 0 1

e f (x)dx e (x)dx e (2 x)dx

1 2 2

sx sx sx

0 1 1

xe dx 2 e dx xe dx

1 2 21 2sx sx sx

sx sx

0 10 1 1

xe 1 e xe 1e dx 2 e dx

s s s s s

s 2s s1

sx

2 0

e 1 e ee 2

s s ss

2s s 2

sx

2 1

2e e 1e

s s s

s 2s s 2s

s

2

e 1 2e 2e 2ee 1

s s s ss

s

2s s

2

e 1e e

s s

s 2

2

(1 e )

s

นนคอ s 2

2

(1 e )L f (x)

s

หรออาจจะตอบในอกรปแบบหนงกได คอ

s 2 s 2 s

2s 2 2 s s 2 s

1 (1 e ) (1 e ) (1 e )L f (x)

1 e s s (1 e )(1 e ) s (1 e )

s / 2 s / 2 s / 2 s / 2 s / 2

2 s / 2 s / 2 s / 2 2 s / 2 s / 2 2

e (e e ) (e e ) 1 stanh

2s e (e e ) s (e e ) s

#

Y

5 X0

401

7.2.6 ผลการแปลงลาปลาซของอนพนธ

ในการหาผลการแปลงลาปลาซของอนพนธ( Laplace transform of derivative) กสามารถหาไดเชนเดยวกน ซงจะมความส าคญในการน าไปแกสมการเชงอนพนธทเกยวกบปญหาการเรมตนไดเปนอยางด ทฤษฎบท 7.7 ถา (n 1)f (x) , f (x) , f (x) , ... , f (x) ตอเนองบนชวง [0, ) และมอนดบเลขชก าลง และถา (n)f (x) มความตอเนองเปนชวง ๆ บน [0, ) จะไดวา (n) n n 1 n 2 (n 1)L f (x) s F(s) s f (0) s f (0) ... f (0)

โดยท F(s) L f (x)

ส าหรบทฤษฎบทนจะน าไปใชในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยในบทตอไป

7.3 ผลการแปลงผกผนลาปลาซ 7.3.1 การหาผลการแปลงผกผนลาปลาซ

การแปลงผกผน ( inverse transform) ของการแปลงลาปลาซจะมประโยชนในการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ ซงมหลกการดงน คอ บทนยาม 7.6 ถา L f (x) F(s) จะเรยก f (x) วาเปนผลการแปลงผกผนลาปลาซ ( inverse Laplace transform) ของ F(s) และ แทนดวยสญลกษณ 1L F(s) f (x)

ขอสงเกต 1) 1L F(s) f (x) กตอเมอ L f (x) F(s) แสดงวาสตรหรอสมบตของ การแปลงลาปลาซ สามารถน ามาใชกบการแปลงผกผนลาปลาซได

ตวอยางเชน 1

L 1s

กตอเมอ 1 1L 1

s

ax 1L e

s a

กตอเมอ 1 ax1

L es a

n

n 1

n!L x

s กตอเมอ 1 n

n 1

n!L x

s

2 2

aL sinax

s a

กตอเมอ 1

2 2

aL sin ax

s a

2) ผลการแปลงผกผนลาปลาซของ F(s) อาจจะไมเปนฟงกชนเดยว นนคอ

402

อาจจะเปนไปไดท 1 2L f (x) L f (x) F(s) แต 1 2f f

เชน 1f (x) 1 และ 2

1 , x 0 , x 1f (x)

0 , x 1

จะไดวา sx1

0

1L f (x) e (1)dx

s

และ sx2

0

L f (x) e f (x)dx

1

sx sx

0 1

e dx e dx

1 b

sx sx

b0 1

e dx lim e dx

1 b

sx sx

b0 1

e elim

s s

s sb s

b

e 1 e elim

s s s s

s se 1 e

0s s s

1

s

จะเหนวา 1 2L f (x) L f (x) แต 1 2f (x) f (x) หรอ 1 2f f

ดงนนสมบตพนฐานทส าคญ ๆ ทชวยในการหาผลการแปลงผกผนลาปลาซ สรปเปนทฤษฎบทไดดงน คอ

ทฤษฎบท 7.8 1) 1 1L 1

s

2) 1 ax1L e

s a

3) 1 n

n 1

n!L x

s

4) 1

2 2

aL sin ax

s a

5) 1

2 2

sL cosax

s a

การพสจนใชบทนยาม 1L F(s) f (x) กตอเมอ L f (x) F(s) (พสจนเปนแบบฝกหด)

403

ทฤษฎบท 7.9 ถา 1L เปนการแปลงผกผนลาปลาซแลว จะไดวา 1L เปนการแปลงเชงเสน นนคอ 1 1 1L aF(s) bG(s) aL F(s) bL G(s) พสจน เนองจาก 1L เปนการแปลงผกผนลาปลาซ สมมตให 1L F(s) f (x) และ 1L G(s) g(x) นนกคอ L f (x) F(s) และ L g(x) G(s) จาก L af (x) bg(x) aL f (x) bL g(x) aF(s) bG(s) ดงนน 1 1 1L aF(s) bG(s) af (x) bg(x) aL F(s) bL G(s) #

ตวอยางท 7.3 จงหา 1) 1 3L

s

2) 1 1L

s 5

3) 1

3

4L

s

4) 1

2

3L

s 4

5) 1

2

2sL

s 36

ซงเปนฟงกชนของ x วธท า ใชสมบตของผลการผกผนแปลงลาปลาซ จะไดวา

1) 1 13 1L 3L 3(1) 3

s s

#

2) 1 1 5x1 1L L e

s 5 s ( 5)

#

3) 1 1 1 2

3 2 1 2 1

4 2 2! 2!L L 2L 2x

s s s

#

4) 1 1 1

2 2 2

3 3 2 3 2 3L L L sin 2x

2 2 2s 4 s 4 s 4

#

5) 1 1

2 2 2

2s sL 2L 2cos6x

s 36 s 6

#

ตวอยางท 7.34 จงหา 1

5

4 6 1L

s s 8s

เปนฟงกชนของ x

404

วธท า เนองจาก 1 1 1 1

5 5

4 6 1 4 6 1L L L L

s s 8 s s 8s s

1 1 1

4 1

1 1 4! 14L L L

s 4 s ( 8)s

4 8x14 x e

4

#

7.3.2 การหาผลการแปลงผกผนลาปลาซจากตาราง นอกจากการหาผลการแปลงผกผนลาปลาซจากสตรพนฐานตาง ๆ แลว เพอความสะดวกในอาจจะใชตารางของผลการแปลงผกผนลาปลาซ ซงไดแสดงผลการแปลงผกผนของฟงกชนตาง ๆ แตเนองจากวา 1L F(s) f (x) กตอเมอ L f (x) F(s) ดงนน ตารางทจะน าเสนอตอไปน จงเปนสตรทใชส าหรบการหาผลการแปลงลาปลาซและผลการแปลงผกผน ลาปลาซดวยตารางการหาผลการแปลงผกผนลาปลาซ ( บรอนสน , 2542 ,354 – 356 ) ตารางท 7.1 ตารางการแปลงผกผนลาปลาซ

ล าดบท F(s) 1f (x) L f (x) 1 1

(s 0)s

1

2 2

1(s 0)

s x

3 n

(n 1)!(s 0)

s

n 1x (n 1,2,3,...)

4 3/ 21s (s 0)

2

x

5 1/ 2s (s 0) 1

x

6 n 1/ 2

n

(1)(3)(5)...(2n 1)s (s 0)

2

n 1/ 2x (n 1,2,3,...)

7 1(s 0)

s a

axe

8 2 2

a(s 0)

s a

sinax

9 2 2

s(s 0)

s a

cosax

10 2 2

a(s a )

s a

sinhax

405

ล าดบท F(s) 1f (x) L f (x) 11

2 2

s(s a )

s a

coshax

12 2 2 2

2as(s 0)

(s a )

xsinax

13 2 2

2 2 2

s a(s 0)

(s a )

x cosax

14 n

(n 1)!(s 0)

(s a)

n 1 axx e (n 1,2,3,...)

15 2 2

a(s b)

(s b) a

bxe sin ax

16 2 2

s b(s b)

(s b) a

bxe cosax

17 3

2 2 2

2a(s 0)

(s a )

sinax axcosax

18 1

1 as x / a1

ea

19 1

s(s a) ax1

(e 1)a

20 1

s(1 as) x / a1 e

21 2

1

(1 as) x / a

2

1xe

a

22 1

(s a)(s b) ax bxe e

a b

23 1

(1 as)(1 bs) x / a x / be e

a b

24 2

s

(s a) ax(1 ax)e

25 2

s

(1 as) x / a

3

1(a x)e

a

26 s

(s a)(s b) ax bxae be

a b

27 s

(1 as)(1 bs) x / b x / aae be

ab(a b)

28 2

1

s (s a) ax

2

1(e 1 ax)

a

29 2

2 2

2a

s(s 4a ) 2sin ax

406

ล าดบท F(s) 1f (x) L f (x) 30 2

2 2

2a

s(s 4a ) 2sinh ax

31 3

4 4

a

s a 1 ax ax ax ax

cosh sin sinh cos2 2 2 2 2

32 2

4 4

a s

s a ax ax

sin sinh2 2

33 2

4 4

as

s a 1 ax ax ax ax

cos sinh sin cosh2 2 2 2 2

34 3

4 4

s

s a ax ax

cos cosh2 2

35 3

4 4

a

s a

1sinhax sinax

2

36 2

4 4

a s

s a

1coshax cosax

2

37 2

4 4

as

s a

1sinhax sinax

2

38 3

4 4

s

s a

1coshax cosax

2

39 2

4 4

2a s

s 4a sinaxsinhax

40 2 2

4 4

a(s 2a )

s 4a

cosaxsinhax

41 2 2

4 4

a(s 2a )

s 4a

sinaxcoshax

42 3

4 4

s

s 4a cosaxcoshax

43 2

2 2 2

as

(s a )

1sinax axcosax

2

44 3

2 2 2

s

(s a )

axcosax sinax

2

45 3

2 2 2

a

(s a )

1axcoshax sinhax

2

46 2 2 2

as

(s a ) x

sinh ax2

47 2

2 2 2

as

(s a )

xsinhax axcoshax

2

48 3

2 2 2

s

(s a )

axcoshax sinhax

2

407


2 2

2sL

(s 1)


วธท า จากการเทยบฟงกชน 2 2

2s

(s 1) กบตาราง จะตรงกบล าดบท 12 โดยท a 1

จะได 1 1

2 2 2 2 2

2s 2(1)sL L xcos(1)x xcos x

(s 1) (s 1 )

#


2

5L

s 4


วธท า จากการเทยบฟงกชน 2

5

s 4 กบตาราง จะเหนวายงไมตรงกบขอใดเลย

แตถาจดรปใหม 2 2 2

5 5 2

2s 4 s 2

ซง

2 2

2

s 2 ตรงกบล าดบท 10 โดยท a 2

จะได 1 1 1

2 2 2

5 5 2 5 2 5L L L sinh 2x

2 2 2s 4 s 4 s 4

#

ตวอยางท 7.37 จงหา 1 sL

(1 2s)(1 3s)


วธท า จากการเทยบฟงกชน s

(1 2s)(1 3s) กบตาราง จะตรงกบล าดบท 27โดยท a 2

และ b 3

จะได x / 3 x / 2 x / 3 x / 2

1 s 2e 3e 2e 3eL

(1 2s)(1 3s) ( 2)(3)( 2 3) 30

#

7.3.3 การหาผลการแปลงผกผนลาปลาซโดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณและการเลอนขนาน เนองจากมสมบตของผลการแปลงผกผนลาปลาซทอยในรปก าลงสองสมบรณ เชน

1

2 2

aL sin ax

s a

หรอ 1

2 2

sL cosax

s a

เปนตน

การจดรปของ F(s) ใหอยในรปดงกลาวจะชวยใหหาคาผลการแปลงผกผนลาปลาซไดงายและสะดวกขน ซงมหลกการจดดงตวอยาง ตอไปน 2 2 2s 4s 5 (s 4s 4) 1 (s 2) 1 2 2 2 22s 8s 18 2 s 4s 9 2 (s 4s 4) 5 2(s 2) 10

408

และส าหรบกรณทว ๆ ไป 2as bs c โดยท a , b และ c เปนคาคงทใด ๆ สามารถจดใหอยในรปมาตรฐานไดดงน คอ

2 2 bas bs c a s s c

a

2 2

2 b b ba s s c

a 2a 2a

2 2

2 b b ba s s a c

a 2a 2a

2 2b 4ac b

a s2a 4a

ซงเมอเทยบกบ 2 2a s h k จะไดวา b

h2a

และ 24ac b

k4a

เชน 22s s 5 สามารถจดใหเปนก าลงสองสมบรณ โดยแทนคา a 2 , b 1 และ c 5

จะได b 1h

2a 4 และ

24(2)(5) (1) 39k

4(2) 8

ดงนน จะได

2

2 1 392s s 5 2 s

4 8

หลงจากทจดฟงกชนใหอยในรปก าลงสองสมบรณไดแลวยงตองอาศยสมบตการเลอนขนานดวย ดงน เนองจาก L f (x) F(s) แลว axL e f (x) F(s a) ดงนน

1 axL F(s a) e f (x)

เชน เนองจาก 2 2

sL cos7x F(s)

s a

ดงนน 5x

2

s 5L e cos7x F(s 5)

(s 5) 49

นนคอ 1 5x

2

s 5L e cos7x

(s 5) 49

เปนตน


2

4s 1L

5s 20


วธท า จาก 1 1 1

2 2 2 2

4s 1 1 4s 1 1 4s 1L L L

5 55s 20 s 4 s 4 s 4

1 1

2 2

1 4s 1 1L L

5 5s 4 s 4

409

1 1

2 2 2 2

4 s 1 1L L

5 5s 2 s 2

4 1cos2x sin 2x

5 5 #


2

1L

s 2s 5


วธท า จาก 1 1

2 2 2

1 1L L

s 2s 5 (s 1) 2

เนองจาก 2 2

1F(s 1)

(s 1) 2

ดงนน

2 2

1F(s)

s 2

จะได

1f (x) sin 2x

2

และจาก 1 x x x1 1L F(s 1) e f (x) e sin 2x e sin 2x

2 2

นนคอ 1 x

2

1 1L e sin 2x

2s 2s 5

#


2

s 4L

s 4s 8


วธท า เนองจาก 2 2 2 2s 4s 8 (s 4s 4) 4 (s 2) 2

จด 2

s 4F(s)

s 4s 8

ใหอยในรปทสามารถหาผลการแปลงผกผนลาปลาซได

นนคอ

2 2 2 2 2 2 2 2 2

s 4 s 4 (s 2) 2 s 2 2

s 4s 8 (s 2) 2 (s 2) 2 (s 2) 2 (s 2) 2

ดงนน 1 1

2 2 2 2 2

s 4 s 2 2L L

s 4s 8 (s 2) 2 (s 2) 2

1 1

2 2 2 2

s 2 2L L

(s 2) 2 (s 2) 2

2x 2xe cos2x e sin 2x 2xe (cos 2x sin 2x) #

410

7.3.4 การหาผลการแปลงผกผนลาปลาซโดยการแยกเปนเศษสวนยอย

ฟงกชนทอยในรปของฟงกชนเศษสวนพหนาม P(s), Q(s) 0

Q(s) สามารถ

เขยนใหอยในรปเศษสวนพหนามตรรกยะแท ใชหลกเชนเดยวกบการอนทเกรตโดยการแยกเปนเศษสวนยอยในบทท 2 เรองเทคนคการอนทเกรต แลวใชสมบตของผลการแปลงผกผนลาปลาซกบการเลอนขนาน

ตวอยางท 7.41 จงแยก 1

(s 1)(s 2) ใหเปนเศษสวยยอย

วธท า สมมตให

1 A B A(s 2) B(s 1) (A B)s (2A B)

(s 1)(s 2) s 1 s 2 (s 1)(s 2) (s 1)(s 2)

ดงนนจะไดวา 1 (A B)s (2A B) จากการเทยบสมประสทธ จะไดวา A B 0 และ 2A B 1 แลวแกระบบ

สมการเชงเสน จะได 1A

3 และ 1

B3

นนคอ 1 1 1

(s 1)(s 2) 3(s 1) 3(s 2)

#


2

s 5L

s 6s 5


วธท า สมมตให2

s 5 s 5 A B A(s 5) B(s 1)

(s 1)(s 5) s 1 s 5 (s 1)(s 5)s 6s 5

ดงนน จะไดวา s 5 A(s 5) B(s 1) แกสมการโดยการสมมตคา s ทเหมาะสม

ให s 5 นนคอ 10 4B จะได 5B

2

s 1 นนคอ 6 4A จะได 3A

2

นนคอ 2

s 5 3 5

2(s 1) 2(s 5)s 6s 5

ดงนน 1 1

2

s 5 3 5L L

2(s 1) 2(s 5)s 6s 5

1 13 1 5 1L L

2 s 1 2 s 5

x 5x3e 5e

2 2

#

411


2

3s 1L

(s 1)(s 1)


วธท า สมมตให2

2 2 2

3s 1 A Bs C A(s 1) (Bs C)(s 1)

s 1(s 1)(s 1) s 1 (s 1)(s 1)

ดงนน จะไดวา 23s 1 A(s 1) (Bs C)(s 1) แกสมการโดยการสมมตคา s ทเหมาะสม ให s 1 นนคอ 4 2A จะได A 2 s 0 นนคอ 1 2 C จะได C 1 s 1 นนคอ 2 2(2) ( B 1)( 2) จะได B 2

นนคอ 2 2 2 2

3s 1 2 2s 1 2 2s 1

s 1 s 1(s 1)(s 1) s 1 s 1 s 1

ดงนน 1 1

2 2 2

3s 1 2 2s 1L L

s 1(s 1)(s 1) s 1 s 1

1 1 1

2 2

1 s 12L 2L L

s 1 s 1 s 1

x2e 2cos x sin x #

7.4 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธโดยใชผลการแปลงผกผนลาปลาซ

ตามทไดกลาวมาแลวตงแตตอนแรกของการแปลงลาปลาซวา ผลการแปลงลาปลาซสามารถน า

มาประยกตใชกบการแกสมการเชงอนพนธเกยวกบปญหาเรมตนได โดยมหลกการหาผลเฉลยดงน 1) จากสมการเชงอนพนธทก าหนดให หาผลการแปลงลาปลาซทงสองขาง โดยน าความร

เรองการหาผลการแปลงลาปลาซของอนพนธมาใช 2) จากเงอนไขของปญหาเรมตน หาผลการแปลงของฟงกชนในเทอมของ F(s) หรอ

Y(s) ซงในทนจะใช F(s) เพอใหสอดคลองกบผลเฉลยทเปน f (x) 3) แลวหาผลการแปลงผกผนลาปลาซของฟงกชน F(s) ในเทอมของฟงกชนของตวแปร

ตามตองการ นนคออาจจะเปน f (x) หรอ f (t) กได หมายเหต การใชสญลกษณของฟงกชนตาง ๆ อาจมการเปลยนแปลงไดเพอความเหมาะสมเรองท

กลาวถง แตถาเปนกรณทว ๆ ไป จะใชสญลกษณตามทกลาวไวขางตน

ตวอยางท 7.44 จงแกสมการ y 5y 0 , y(0) 2 วธท า จากสมการ y 5y 0 หาผลการแปลงลาปลาซทงสองขาง จะได L y 5y L 0

412

L y 5L y 0 โดยท y f (x) , y(0) 2 และ L f (x) F(s) จากสมบตเกยวกบผลการแปลงลาปลาซของอนพนธ จะไดวา L y sF(s) y(0) sF(s) 2 และ L y F(s) แทนคาจะไดวา sF(s) 2 5F(s) 0

2F(s)

s 5

หาผลการแปลงผกผนลาปลาซของ F(s) จะไดวา

1 1 1 5x2 1y L F(s) L 2L 2e

s 5 s 5

นนคอ ผลเฉลยปญหาเรมตนของ y 5y 0 , y(0) 2 คอ 5xy 2e #

ตวอยางท 7.45 จงแกสมการ 2y y 2y 4x , y(0) 1 , y (0) 4 วธท า หาผลการแปลงลาปลาซทงสองขาง จะไดวา 2L y y 2y L 4x 2L y L y 2L y L 4x

โดยท y(0) 1 , y (0) 4 และ L y F(s) จะได 2 2L y s F(s) sy(0) y (0) s F(s) s 4 L y sF(s) y(0) sF(s) 1 L y F(s)

และ 2

3 3

2! 2L x

s s

แทนคาจะไดวา 2

3

8s F(s) s 4 sF(s) 1 2F(s)

s

2

3

8s F(s) (s 2)F(s) s 3

s

3 2 2 3 2

8 1 s 3 8F(s) s 3

s s s 2 s s 2 s (s s 2)

เนองจาก y(x) L F(s) ดงนน จงตองจด F(s) ใหอยในรปทสามารถหาผลการ แปลงผกผนลาปลาซได ในทนจะใชวธการแยกเปนเศษสวนยอย

ให 2

s 3 s 3 A B A(s 1) B(s 2)

(s 2)(s 1) s 2 s 1 (s 2)(s 1)s s 2

จะได s 3 A(s 1) B(s 2)

ให s 1 จะได 2 3B ดงนน 2B

3

413

และ s 2 จะได 5 3A ดงนน 5A

3

นนคอ 2

s 3 5 2

3(s 2) 3(s 1)s s 2

ในท านองเดยวกน

ให 3 2 3 2 3

8 8 A B C D E

s s 2 s 1s (s s 2) s (s 2)(s 1) s s

2 3 3

3

As (s 2)(s 1) Bs(s 2)(s 1) C(s 2)(s 1) Ds (s 1) Es (s 2)

s (s 2)(s 1)

2 3 38 As (s 2)(s 1) Bs(s 2)(s 1) C(s 2)(s 1) Ds (s 1) Es (s 2) จากการแกระบบสมการ จะได 1 8

A 3 , B = 2 , C = - 4 , D = , E = 3 3

นนคอ 3 2 2 3

8 3 2 4 1 8

s 3(s 2) 3(s 1)s (s s 2) s s

ดงนน 2 3

5 2 3 2 4 1 8F(s)

3(s 2) 3(s 1) s 3(s 2) 3(s 1)s s

2 3

2 2 3 2 4F(s)

s 2 s 1 s s s

หาผลการแปลงผกผนลาปลาซ จะได

1 1

2 3

2 2 3 2 4y(x) L F(s) L

s 2 s 1 s s s

1 1 1 1 1

1 1 2 1

1 1 1 1! 2!2L 2L 3L 2L 2L

s 2 s 1 s s s

2x x 22e 2e 3 2x 2x # ในการน าผลการแปลงผกผนลาปลาซไปแกปญหาเรมตนกบปญหาทางวทยาศาสตรกสามารถท าไดเชนกน ในทนจะยกตวอยางเฉพาะสวนทเปนการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ ทตองใชผลการแปลงลาปลาซเทานน แตจะไมอธบายทมาของสมการเชงอนพนธซงสวนใหญเปนสมการทไดมาจากสตรทางวทยาศาสตรแลว สวนสญลกษณทใชเกยวกบตวแปร จะใชตวแปรทสอดคลองกบปรมาณทางวทยาศาสตรทเหมาะสม ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 7.46 จงแกสมการ 2

2

d I dI20 200I 0 , I(0) 0 , I (0) 24

dtdt

วธท า หาผลการแปลงลาปลาซทงสองขาง จะได

2

2

d I dIL 20 200I L 0

dtdt

414

2

2

d I dIL 20L 200L I L 0

dtdt

โดยท I(0) 0 , I (0) 24 และ L I F(s)

จะได 2

2 2d IL s F(s) sI(0) I (0) s F(s) 24

dt

dIL sF(s) I(0) sF(s)

dt

L I F(s)

แทนคาจะไดวา 2s F(s) 24 20 sF(s) 200F(s) 0

2(s 20s 200)F(s) 24

2

24F(s)

s 20s 200

จด F(s) ใหมจะไดวา

2 2 2 2

24 24 12 10F(s)

5s 20s 200 (s 20s 100) 100 (s 10) 10

หาผลการแปลงผกผนลาปลาซ จะได

10t

1 1

2 2

12 10 12e sin10tI(t) L F(s) L

5 5(s 10) 10

#

ตวอยางท 7.47 ก าหนดใหสมการเชงอนพนธของการหกเหของแสง y(x) ของล าแสงในแนวนอน

ยาว หนวย คอ 4

0

4

wd y, 0 x , y(0) 0 , y (0) 0

EIdx

y( ) 0 และ y ( ) 0 ถา 0w , E และ I แทนคาคงทบวก

วธท า จากสมการ 4

0

4

wd y

EIdx หาผลการแปลงลาปลาซทงสองขาง จะได

4

0

4

wd yL L

EIdx

เนองจาก 4

4 3 2

4

d yL s F(s) s y(0) s y (0) sy (0) y (0)

dx

แตไมทราบคาของ y (0) และ y (0) จงสมมตให 1y (0) c และ 2y (0) c

ส าหรบ 0 0 0 0w w w w1L 1

EI EI EI s EIs

แทนคาจะไดวา 4

4 2 01 24

wd yL s F(s) c s c

EIsdx

2 0 01 21 24 2 4 5

w wc c1F(s) c s c

EIss s s EIs

415

หาผลการแปลงผกผนลาปลาซทงสองขาง จะได

1 1 01 2

2 4 5

wc cy(x) L F(s) L

s s EIs

1 1 1021 1 1 3 1 4 1

wc1! 3! 4!c L L L

3! 4!EIs s s

3 4021

wcc x x x

6 24EI

นนคอ 3 4021

wcy(x) c x x x

6 24EI

จะไดวา 2 3021

wcy (x) c x x

2 6EI

202

wy (x) c x x

2EI

จากเงอนไขทก าหนดวา y( ) 0 จะได 3 4021

wc0 c

6 24EI หรอ

2 301 2

w24c 4 c

EI ……………(1)

และ y ( ) 0 จะได 202

w0 c

2EI หรอ 0

2

wc

2EI

แทนคา 02

wc

2EI ในสมการ (1) แลวแกสมการ จะได

30

1

wc

24EI

ดงนนจะไดผลเฉลยของสมการเชงอนพนธคอ

3

3 40 0 0w w w1y(x) x x x

24EI 6 2EI 24EI

หรอ

3 3 40wy(x) x 2 x x

24EI #

บทสรป ผลการแปลงลาปลาซ จะเปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธซง จะเหนวาการแกสมการเชงอนพนธแบบตาง ๆ จะมวธการแกสมการทแตกตางกนไป บางสมการกจะมวธการแกทเปนรปแบบเฉพาะ แตบางสมการอาจจะมวธการแกไดหลายวธ ผลการแปลงลาปลาซกเปนการแกสมการเชงอนพนธอยางหนงซงท าใหหาผลเฉลยไดงายและรวดเรว นกคณตศาสตรไดพยายามหาแนวทางในการแกสมการเชงอนพนธทยงยากขน เพอเปนประโยชนตอการแกปญหาตาง ๆ ทางวทยาศาสตร ส าหรบผเรยนทมความสนใจเรองการแปลงลาปลาซเปนพเศษ สามารถศกษาความรเพมเตมไดจากหนงสอทเกยวกบการแกสมการเชงอนพนธทว ๆ ไป หวงวาบทท 7 คงชวยใหผเรยนมพนความรเพยงพอทจะศกษาการแกสมการเชงอนพนธในระดบทสงขนตอไป

แปลงลาปลาซ

Engineering