ทฤษฎีกราฟ
TRANSCRIPT
![Page 1: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/1.jpg)
82
ทฤษฎกราฟ ในเชงคณตศาสตร นยาม “กราฟ” ดงน
บทนยาม กราฟ G ประกอบดวย เซตจากด 2 เซต คอ
1. เซตทไมเปนเซตวางของจดยอด (Vertex) แทนดวยสญลกษณ V(G) 2. เซตของเสนเชอม (Edge) ทเชอมระหวางจดยอด แทนดวยสญลกษณ E(G)
ขอสงเกต V(G) ≠ ∅ แต E(G) อาจเปนเซตวางได ตวอยางท 1 กาหนดกราฟ G ดงรป
จากกราฟ G ทกาหนดให จะไดวา V(G) = {A, B, C, D} E(G) = {e1, e2, e3, e4}
เสนเชอม e ของกราฟ เกดกบ (Incident) จดยอด v ถาจดยอด v เปนจดปลายจดหนงของเสนเชอม
บทนยาม จดยอด u และจดยอด v ของกราฟ เปนจดยอดประชด (Adjacent Vertices) กตอเมอ มเสนเชอมระหวางจดทงสอง และเราเรยกจดยอด u และ v วา จดปลาย (End Point) ของเสนเชอมนน
ตวอยางท 2 จากกราฟของตวอยางท 1 จะเหนวา จดยอด A และจดยอด B เปนจดยอดประชด จดยอด A และจดยอด C เปนจดยอดประชด จดยอด B และจดยอด C เปนจดยอดประชด จดยอด C และจดยอด D เปนจดยอดประชด แต จดยอด A และจดยอด D ไมเปนจดยอดประชด
![Page 2: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/2.jpg)
83
จดยอด B และจดยอด D ไมเปนจดยอดประชด หมายเหต
1. ในการเขยนแผนภาพของกราฟนน จะกาหนดตาแหนงของจดยอด ณ ตาแหนงใดกได และจะลากเสนเชอมของกราฟเปนเสนตรงหรอเสนโคงมความยาวเปนเทาใดกได โดยทเสนทลากจะไมตดกบตวมนเอง และไมลากผานจดยอดทไมใชจดยอดของเสนนน เชน กราฟตอไปน ถอวาเปนกราฟเดยวกน
2. เสนเชอมสองเสนของกราฟ อาจลากตดกนกได โดยทจดตดของเสนทงสองไมถอวาเปนจดยอดของกราฟ เชน กราฟ
สามารถเขยนใหมโดยไมมเสนเชอมตดกนไดดงน
กาหนดกราฟ ดงรป
![Page 3: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/3.jpg)
84
จากกราฟจะเหนวา e1 และ e2 เปนเสนเชอมระหวางจดยอดคเดยวกน คอ จดยอด a และ จดยอด c เสนเชอม e5 เปนเสนเชอมทเชอมจดยอด b เพยงจดเดยว
บทนยาม เสนเชอมตงแต 2 เสนทเชอมระหวางจดยอดคเดยวกน เรยกวา เสนเชอมขนาน (Parallel Edges)
เสนเชอมทเชอมจดยอดเพยงจดเดยว เรยกวา วงวน (Loop)
จากรปขางตนจะเหนวา e1 และ e2 เปนเสนเชอมขนาน เสนเชอม e5 เปนวงวน
ในกรณทกราฟไมมเสนเชอมขนาน สามารถใชสญลกษณ AB เพอแทนเสนเชอมระหวางจดยอด A และ B ได เชน กราฟในตวอยางท 1 สามารถเขยนเซตของเสนเชอม E(G) ไดใหมเปน E(G) = {AB, BC, AC, CD}
บทนยาม เราเรยกกราฟทไมมเสนเชอมขนาน และไมมวงวน วา กราฟเชงเดยว (Simple Graph)
ตวอยางท 3 พจารณากราฟ
จะเหนวา กราฟ G1 เปนกราฟทมวงวน กราฟ G2 เปนกราฟทมเสนเชอมขนาน และกราฟ G3 เปนกราฟทมวงวนและเสนเชอมขนาน ดงนนกราฟ G1 G2 และ G3 ไมเปนกราฟเชงเดยว
![Page 4: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/4.jpg)
85
กราฟเดยวกนและกราฟถอดแบบกน
เราไดทราบแลววาในการเขยนกราฟ G จะกาหนดตาแหนงของจดยอด ณ ตาแหนงใดกได จงทาใหกราฟเดยวกนนนมรปทแตกตางกนได
บทนยาม เรากลาววา กราฟ G และกราฟ H เปนกราฟเดยวกน(Identical) กตอเมอ V(G) = V(H)และ E(G) = E(H)
ตวอยางท 4 พจารณากราฟ G และกราฟ H ดงรป
G H จะเหนวา V(G) = {A, B, C, D} = V(H) E(G) = {AC, BC, BD} = E(H)
ดงนน เราจะกลาววา กราฟ G และกราฟ H เปนกราฟเดยวกน บทนยาม เรากลาววา กราฟ G และกราฟ H เปนกราฟถอดแบบกน (Isomorphic) กตอเมอ ม
ฟงกชน φ ซงเปนฟงกชน หนงตอหนงจาก V(G) ไปทวถง V(H) โดยท uv ∈E(G) กตอเมอ ∈φφ )v()u( E(H) สาหรบทกๆจดยอด u และจดยอด v ใน G
![Page 5: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/5.jpg)
86
ตวอยางท 5 พจารณากราฟ
จะเหนวา กราฟ H และกราฟ G กาหนดชอใหจดยอดแตกตางกน ถงแมวารปกราฟทงสองนจะด
เหมอนกนกตาม แตกราฟ G และ กราฟ H เปนกราฟถอดแบบกน ทงนมฟงกชน φ ซงนยามวา φ(ui) = vi โดยท i = 1, 2, 3, 4, 5 เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก V(H) ไปทวถง V(G) โดยท uiuj ∈E(H) กตอเมอ vivj ∈E(G) ดกรของจดยอด
พจารณากราฟตอไปน
จดยอด จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด a 2 b 4 c 4 d 2
จะเหนวา เสนเชอมทเกดกบจดยอด a ไดแก เสนเชอม ab และ ac ดงนน จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด a คอ 2 สาหรบจดยอด b มเสนเชอมทเกดกบจดยอด b ไดแก เสนเชอม ba, bc และ bb เปนวงวน เกดกบจดยอด b กรณทมเสนเชอมเปนวงวนจะกาหนดใหนบจานวนเสนเชอมท
![Page 6: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/6.jpg)
87
เกดกบจดยอดนนเพมขน โดยใหนบเสนเชอมทเปนวงวน 1 วง วงวนเปน 2 ดงนนจานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด b จงเปน 4
บทนยาม ดกร (Degree) ของจดยอด v ในกราฟ คอ จานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอด v
ตอไปจะเรยกจานวนครงทงหมดทเสนเชอมเกดกบจดยอดวา ดกร ใชสญลกษณ deg v แทนดกรของจดยอด v ตวอยางท 6 กาหนดกราฟ ดงรป
จากรปจะไดวา deg a = 2 deg b = 1 deg c = 3 deg d = 4 ตวอยางท 7 กาหนดกราฟ ดงรป
![Page 7: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/7.jpg)
88
จากรปจะไดวา deg a = 2
deg b = 5 deg c = 5 deg d = 4 สงเกตวา deg a + deg b + deg c + deg d = 16 และกราฟมจานวนเสนเชอมทงหมด 8 เสน ความสมพนธระหวางผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟกบจานวนเสนเชอมของกราฟเปนไปตามทฤษฎบทตอไปน
ทฤษฎบท ให u1, u2, u3, …, u
)G(V เปนจดยอดทงหมดในกราฟ G จะไดวา
)G(E2udeg)G(v
1ii =∑
=
นนคอ ผลรวมของดกรของจดยอดทดจดในกราฟเทากบสองเทาของจานวนเสนเชอมในกราฟ
พสจน เนองจากเสนเชอมแตละเสนในกราฟเกดกบจดยอดเปนจานวน 2 ครง ดงนนเสนเชอมแตละเสนจะถกนบ 2 ครงในผลรวมของดกรของจดยอดทกจด นนคอ ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเทากบสองเทาของจานวนเสนเชอมในกราฟ ขอสงเกต ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเปนจานวนคเสมอ ตวอยางท 8 จงหาจานวนเสนเชอมของกราฟทมผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟเทากบ 22 วธทา สมมตวา กราฟมเสนเชอม n เสน จากทฤษฎบท 1 ผลรวมของดกรของจดยอดทดจดในกราฟเทากบสองเทาของจานวน
เสนเชอมในกราฟ ดงนน 22 = 2n นนคอ n = 11 สรปไดวา กราฟมเสนเชอม 11 เสน
ตวอยางท 9 จงหาจานวนจดยอดของกราฟทมเสนเชอม 15 เสน และมจดยอด 3 จด ทมดกร 4 สวนจดยอดทเหลอมดกร 3 วธทา ให n เปนจานวนจดยอดทมดกร 3
![Page 8: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/8.jpg)
89
ผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟ คอ (3)(4) + 3n จากทฤษฎบท 1 ผลรวมของดกรของจดยอดทดจดในกราฟเทากบสองเทาของจานวน
เสนเชอมในกราฟ ดงนน (3)(4) + 3n = 2(15) เพราะฉะนน n = 6 ดงนน จานวนจดยอดทงหมดของกราฟ คอ 3 + 6 = 9 จด ตวอยางท 10 จงพจารณาวาเปนไปไดหรอไมวา จะมกราฟทมจดยอด 4 จด และดกรของจดยอด คอ 1, 1, 2 และ 3 ตามลาดบ วธทา สมมตวา มดกรทมจดยอด 4 จด และดกรของจดยอดเทากบ 1, 1, 2 และ 3 ดงนน ผลรวมของดกรของจดยอดทกจด คอ 1 + 1 + 2 + 3 = 7 ซงเปนจานวนค ขดแยงกบทฤษฎบท 1 ดงนนเปนไปไมไดทจะมกราฟดงกลาว
บทนยาม จดยอดทมดกรเปนจานวนค เรยกวา จดยอดค (Even Vertex) จดยอดทมดกรเปนจานวนค เรยกวา จดยอดค (Odd Vertex)
ตวอยางท 11 กาหนดกราฟ ดงรป
จากรปจะไดวา deg a = 2 deg b = 3 deg c = 0 deg d = 3 deg e = 2 ดงนน จดยอด a, c และ e เปนจดยอดค จดยอด b และ d เปนจดยอดค
![Page 9: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/9.jpg)
90
ทฤษฎบท 2 ทกกราฟจะมจดยอดคเปนจานวนค
พสจน ให G เปนกราฟ ถา G ไมมจดยอดค นนคอ G มจานวนจดยอดคเปนศนย จงไดวา G มจานวนจดยอดคเปนจานวนค ตอไปสมมตวา กราฟ G มจดยอดค k จด คอ v1, v2, v3, …, vk
และมจดยอดค n จด คอ u1, u2, u3, …, un จากทฤษฎบท 1 จะไดวา (deg v1 + deg v2 + … + deg vk) + (deg u1 + deg u2 + … + deg un) = 2q เมอ q คอ จานวนเสนเชอมของ G ดงนน deg v1 + deg v2 + … + deg vk = 2q - (deg u1 + deg u2 + … + deg un) เนองจาก deg u1 + deg u2 + … + deg un ตางกเปนจานวนค ดงนน 2q - (deg u1 + deg u2 + … + deg un) เปนจานวนค นนคอ deg v1 + deg v2 + … + deg vk เปนจานวนค แตเนองจาก deg v1 + deg v2 + … + deg vk เปนจานวนค เพราะฉะนน k จะตองเปนจานวนค จงจะทาให deg v1 + deg v2 + … + deg vk
เปนจานวนค สรปไดวา กราฟ G มจดยอดคเปนจานวนค จากตวอยางท 10 เราใหเหตผลโดยอาศยทฤษฎบท 2 ดงน สมมตวา มกราฟทมจดยอด 4 จด และดกรของจดยอด คอ 1, 1, 2 และ 3 จะไดวา กราฟมจดยอดคเปนจานวน 3 จด ซงขดแยงกบทฤษฎบท 2 สรปไดวา ไมมกราฟทมสมบตดงกลาว
ตวอยางท 12 ถาในหองประชมแหงหนงมผเขารวมประชมทงหมด 23 คน เปนไปไดหรอไม
วา ผเขารวมประชมแตละคนจบมอทกทายผเขารวมประชมคนอนเพยง 7 คนเทานน วธทา แปลงปญหาดงกลาวเปนกราฟ โดยใหจดยอดแทนผเขารวมประชม และเสนเชอมแทน
การจบมอทกทายของผเขารวมประชม จะไดวา กราฟนมจดยอด 23 จด และจดยอดแตละจดมดกร 7 นนคอ กราฟมจดยอดคเปนจานวน 23 จด ซงเปนจานวนค ขดแยง กบทฤษฎบท 2 ดงนน เปนไปไมไดทผเขารวมประชมแตละคนจบมอกบคนอนเพยง 7 คนเทานน
![Page 10: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/10.jpg)
91
แนวเดนและกราฟเชอมโยง
สมมตวา แผนผงของเมองหนงแทนดวยกราฟดงรป โดยใหจดยอดแทนอาเภอ และเสนเชอมแทนถนนทเชอมระหวางอาเภอสองอาเภอ
ในการเดนทางจากอาเภอ A ไปยงอาเภอ D มเสนทางการเดนทางหลายเสนทาง เสนทางตางๆ จะแทนดวยลาดบของจดยอดและเสนเชอม ดงน เสนทาง A, e1, E, e5, D บทนยาม ให u และ v เปนจดยอดของกราฟ แนวเดน u - v (u - v walk) คอ ลาดบจากดของจดยอดและเสนเชอมสลบกน u = u0, e1, u1, e2, u2, …, un-1, en, un = v โดยเรมตนทจดยอด u และสนสดทจดยอด v และแตละเสนเชอม ei จะเกดกบ
จดยอด ui-1 และ ui เมอ i ∈ {1, 2, …, n}
บทนยาม รอยเดน (trail) คอ แนวเดนในกราฟทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน วถ(Path) คอ แนวเดนในกราฟทจดยอดทงหมดแตกตางกน วงจร(Circuit) คอ แนวเดนทเสนเชอมทงหมดแตกตางกน โดยมจดเรมตนและจดสดทายเปนจดยอดเดยวกน วฏจกร(Cycle) คอวงจรทไมมจดยอดซากน ยกเวนจดเรมตนและจดสดทาย
บทนยาม กราฟ G เปนกราฟเชอมโยง(connected graph) ถาจดยอด 2 จดใดๆ ใน G เชอไดดวยวถ
![Page 11: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/11.jpg)
92
สอการสอน ใช PowerPoint นาเสนอ
![Page 12: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/12.jpg)
93
![Page 13: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/13.jpg)
94
กราฟถวงนาหนก (weight) บทนยาม คานาหนก(weight) ของเสนเชอม e ในกราฟ คอ จานวนทไมเปนลบทกาหนดไวบนเสนเชอม e กราฟถวงนาหนก(weight graph) คอ กราฟทเสนเชอมทกเสนมคานาหนก
ตวอยาง กราฟตอไปนเปนถวงนาหนก
2
5 13
42
ตวอยาง กราฟตอไปนเปนกราฟถวงนาหนก ซงจาลองจากแผนทเมองในประเทศไทย โดยใหจดยอดแทนเมอง เสนเชอมแทนถนน และคานาหนกเสนเชอมแทนระยะทางระหวาง เมองสองเมอง
A
D B
F
E
C
2
5
1
2
3
6
3 2
จะหาเสนทางจากเมอง A ไปยงเมอง E ทงหมดทไมผานเมองซากน เสนทางท 1 A, B, D, E ระยะทางยาว 2 + 1 + 3 = 4 กโลเมตร เสนทางท 2 A, B, D, F, E ระยะทางยาว 2 + 1 + 2 + 2 = 7 กโลเมตร เสนทางท 3 A, B, D, C, F, E ระยะทางยาว 2 + 1 + 3 + 6 + 2 = 14 กโลเมตร เสนทางท 4 A, C, F, E ระยะทางยาว 5 + 6 + 2 = 13 กโลเมตร เสนทางท 5 A, C, F, D, E ระยะทางยาว 5 + 6 + 2 + 3 = 16 กโลเมตร
![Page 14: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/14.jpg)
95
เสนทางท 6 A, C, D, E ระยะทางยาว 5 + 3 + 3 = 11 กโลเมตร เสนทางท 7 A, C, D, F, E ระยะทางยาว 5 + 3 + 2 + 2 = 12 กโลเมตร จะเหนวาเสนทางท 1 A, B, D, E ระยะทางยาว 4 กโลเมตรเปนระยะทางทสนทสด
บทนยาม วถทสนทสด จากจด A ถงจดยอด Z ในกราฟถวงนาหนก คอวถ A - Z ทผลรวมของคานาหนกของเสนเชอมทกเสนในวถ A-Z นอยทสด
ฉะนนในตวอยางขางตน จะเหนวา วถ A, B, D, E เปนวถทสนทสด
สาหรบกราฟถวงนาหนกทมจดยอดและเสนเชอมเปนจานวนมาก การหาวถ A - Z ทสนทสด
โดยการคนหาวถ A - Z ทงหมดแลวเลอกวถทผลรวมของคานาหนกนอยทสด ทาไดไมสะดวกและเสยเวลา ในการหาวถ A - Z ทสนทสด มขนตอนวธทใชหาวถทสนทสด เชน ขนตอนวธของ Dijkstra
![Page 15: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/15.jpg)
96
ขนตอนวธของไดคสตรา (Dijkstra’s Algorithm)
เมอ G เปนกราฟไมขาดตอนทมนาหนก นนคอ G เปนกราฟทจดทกจดมวถอยางนอยหนงวถเชอมถงกน และแตละเสน e ใน G ถกกาหนดดวยจานวนจรงทไมเปนลบ และ u0 เปนจดทกาหนดใหเปนจดเรมตน
w(uv) หมายถงความยาวของเสน uv S หมายถง complement ของ เซต S
ให i = 0, S0 = {u0}, และ L(v) = ∞ สาหรบทก ๆ จด v ≠ u0
กาหนดคาจด v ดวย (L(v) , -)
yes
no yes
no
|V(G) | = 1 ?
หาคา iSv∈
min {L(v)}
จดใดททาใหเกดคานอยทสด ใหเรยกจดนนวา ui+1
กาหนดให Si+1 = Si U {ui+1} แทนคา i ดวย i + 1
i = V(G)- 1 ?
Finish
สาหรบแตละจด v iS∈ ให L(v) = min{ L(v) , L(ui)+w(uiv) }
กาหนดคา v ใหมเปน (L(v),ui) ถาคา L(v) ทไดเปนคาใหม
![Page 16: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/16.jpg)
97
ในทนเราจะศกษา ขนตอนวธของ Dijkstra พรอมแสดงตวอยาง จงหาวถ A - H ทสนทสดของกราฟตอไปน
A
E B
D H
C
F
G
2
2
1
4
4
5
1
6
2
3
3
7
![Page 17: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/17.jpg)
98
![Page 18: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/18.jpg)
99
![Page 19: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/19.jpg)
100
จากกราฟขางตน เราไดวา วถ A-H ทสนทสดคอ A, B, E, H วถ A-D ทสนทสดคอ A, C, D วถ A-G ทสนทสดคอ A, C, G วถ A-F ทสนทสดคอ A, B, F
หมายเหต จากขนตอนวธของ Dijkstra ขางตนเราจะไดวถทสนทสดจาก A ไปยงจดยอดใดๆ เทานน ถาเราจะหาวถทสนทสดจากจดยอดทไมใชจด A จะตองเรมขนตอนวธของ Dijkstra
ใหม
กจกรรมการเรยนร
1. ครนาเขาสบทเรยนโดยการใหนกเรยนพจารณาลกษณะของกราฟถวงนาหนก แลวพจารณาวถทสนทสด
2. แจงจดประสงคการเรยนรประจาเรองใหนกเรยนทราบ 3. ครใชเทคนคการสอนแบบบรรยาย 4. ใชสอการสอนดวย PowerPoint เพอใหนกเรยนไดเขาใจทางเดนตางๆ มากยงขน
![Page 20: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/20.jpg)
101
สอการสอน ใช PowerPoint นาเสนอ
![Page 21: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/21.jpg)
102
![Page 22: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/22.jpg)
103
กราฟออยเลอร
ปญหาสะพานเคอนกสเบรก มอยวา ณ เมองเคอนกสเบรกมเกาะกลางแมนาพรเกล (Pregel) จานวน 2 เกาะ และมสะพานทเชอมระหวางเกาะและเมองดงรปตอไปน
ชาวเมองเคอนกสเบรกพยายามหาวธเดนขามสะพานใหครบทกสะพาน โดยทขามสะพานแต
ละสะพานเพยงครงเดยวและกลบมาทจดยอดเรมตน เลออนฮารด ออยเลอรไดแปลงปญหานใหอยในรปกราฟ โดยใหอาณาบรเวณ A, B, C, D
แทนดวยจดยอดของกราฟ และสะพานแตละพานแทนดวยเสนเชอมของกราฟ
![Page 23: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/23.jpg)
104
A
C
B
D
ปญหาสะพานเคอนกสเบอรก เมอจาลองอยในรปกราฟจะได
จากกราฟ สามารถแปลงไดเปนปญหาการลากผานเสนเชอมของกราฟดงรปขางตน จนครบทกเสนโดยไมตองยกปากกาและผานเสนแตละเสนเพยงครงเดยว โดยทจดเรมตนและจดสนสดเปนจดเดยวกน
บทนยาม วงจรออยเลอร(Euler trail) คอ รอยเดนซงผานจดยอดทกจดและเสนเชอมทกเสนของกราฟ
ทฤษฎบทตอไปน ใหเงอนไขวา กราฟทกาหนดใหเปนกราฟออยเลอรเมอไร
ทฤษฎบท ให G เปนกราฟเชอมโยง จะไดวา G เปนกราฟออยเลอร กตอเมอ จดยอดทกจดของ G มดกรเปนจานวนค กราฟทมวงจรออยเลอร เรยกวา กราฟออยเลอร (Eulerian graph)
![Page 24: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/24.jpg)
105
ตวอยาง กราฟตอไปนเปนกราฟออยเลอร
บทนยาม รอยเดนออยเลอร(Euler circuit) คอ วงจรทผานจดยอดทกจดและเสนเชอมทกเสนของกราฟ
ทฤษฎบทตอไปน ใหเงอนไขวา กราฟทกาหนดใหมรอยเดนออยเลอรเมอไร
ทฤษฎบท ให G เปนกราฟเชอมโยง จะไดวา G เปนกราฟทมรอยเดนออยเลอร กตอเมอ G มจดยอดทเปนดกรเปนจานวนคไมเกน 2 จด ยงไปกวานนจดยอดทเปนจานวนคเหลานนจะเปนจดเรมตนและจดปลายของรอยเดนออยเลอร
ปญหาหนงทดคลายกบปญหาวงจรออยเลอร คอปญหาการหาวถในกราฟทไมใชจดยอดซากน
ยกเวนจดเรมตนและจดสนสดตองเปนจดเดยวกน ซงกคอ วฎจกรและวฎจกรนผานครบทกจดยอดในกราฟน จะเรยกวฎจกรนวา วฎจกรแฮมลตน ถา G มวฎจกรแฮมลตน จะเรยก G วาเปนกราฟแฮมลตน(Hamiltonian graph)
![Page 25: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/25.jpg)
106
สอการสอน ใช PowerPoint นาเสนอ
ตนไม ตอไปเราจะศกษากราฟทมลกษณะพเศษชนดหนง เรยกวา ตนไม ซงมบทบาทสาคญในการศกษาทฤษฎกราฟ และในการประยกตทางดานตางๆ เชน โครงสรางขอมลในวชาคอมพวเตอร การศกษาโครงสรางทางเคมของสารประกอบไฮโดรคารบอน หรอในการออกแบบวงจรไฟฟาและอเลกทรอนกส
บทนยาม ตนไม (tree) คอ กราฟเชอมโยงทไมมวฏจกร
![Page 26: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/26.jpg)
107
ดวอยาง พจารณากราฟตอไปน
(A)
(D) (C)
(B)
จะเหนวา กราฟในรป (A) และ (B) เปนตนไม กราฟในรป (C) ไมเปนตนไม เพราะมวฏจกรปรากฏอย กราฟในรป (D) ไมเปนตนไม เพราะไมใชกราฟเชอมโยง
ลกษณะเฉพาะของตนไม ทฤษฎบทตอไปนเปนทฤษฎบททบงบอกลกษณะเฉพาะ(characterization) ของตนไม ทฤษฎบท
1. ให T เปนกราฟทไมมวงวน กราฟ T เปนตนไม กตอเมอ จดยอด 2 จดใดๆ ใน T เชอมโยงกนไดดวยวถเพยงวถเดยว
2. ให T เปนกราฟทมจานวนจดยอดเปน n จด กราฟ T เปนตนไม กตอเมอ กราฟ T ไมมวฏจกร และมเสนเชอม n – 1 เสน
3. ให T เปนกราฟทมจานวนจดยอดเปน n จด กราฟ T เปนตนไม กตอเมอ กราฟ T เปนกราฟเชอมโยงและมเสนเชอม n – 1 เสน
4. ถา T เปนตนไมทมจานวนจดยอดอยางนอย 2 จด แลว กราฟ T จะมดกร 1 อยางนอย 2 จด
ตนไมแผทว (spanning tree)
กอนทจะศกษาตนไมแผทว เราจะเรมตนศกษากราฟยอยกอน
บทนยาม กราฟยอย (subgraph) ของกราฟ G คอกราฟทประกอบดวยจดยอดและเสนเชอมใน G กลาวคอ กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G ถา V(G) V(H) และ E(H) E(G) ⊂ ⊂
![Page 27: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/27.jpg)
108
ตวอยาง กาหนดกราฟ G และกราฟ H ดงรป
G : A
B C
D A
B C
D
H :
V(G) = { A, B, C, D } V(H) = { A, B, C, D } E(G) = {AB, BC, CD, DA, BD} E(H) = {AB, BC, DA, BD} จะไดวา กราฟ H เปนกราฟยอยของกราฟ G พจารณาวากราฟใด เปนกราฟยอยของกราฟ G
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C A
B
C
D
G
G1 G2 G3
G4 G5 G6
D
D
กราฟ G2 และ G6 ไมเปนกราฟยอยของ G พจารณากราฟยอยของกราฟ G จะเหนวากราฟ G1 , G3 และ G5 เปนกราฟยอยของ G และเปนตนไมดวย บทนยาม ตนไมแผทว (spanning tree) คอตนไมซงเปนกราฟยอยของกราฟเชอมโยง G ทบรรจจดยอด
ทกจดยอด
![Page 28: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/28.jpg)
109
การประยกตของทฤษฎกราฟทเกยวของกบตนไม สมมตวาเราตองการสรางถนนเชอมตอระหวางเมองตางๆ โดยททราบคาใชจายในการกอสรางถนนทเชอมเมอง 2 เมองใดๆ ปญหาทเกดขนคอ เราควรสรางถนนเชอมระหวางเมองใดบาง เพอใหเมอง 2 เมองใดๆ สามารถตดตอกนไดทางรถยนต และเสยคาใชจายในการกอสรางนอยทสด จากปญหาดงกลาว เราอาจสรางกราฟทมนาหนกทสมนยกบปญหานได โดยใหเมองแตละเมองแทนดวยจดยอด ถนนแทนดวยเสนเชอม และคาใชจายในการกอสรางถนนแทนคานาหนกของเสนเชอม คาตอบของปญหานคอ การหาสบกราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสด ขนตอนวธในการหากราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสดมอยดวยกนหลายวธ แตในทนเราจะกลาว 2 วธเทานน คอ วธของครสกาวล (Kruskal) และขนตอนวธของพรม (Prim) ในบรรดาขนตอนวธเหลาน ขนตอนวธของครสกาวล จดวาเปนขนตอนวธทมชอเสยงมากทสด ขนตอนวธของครสกาวล (Kruskal’s algorithm) แนวคดของขนตอนวธของครสกาวล คอการเลอกเสนทมนาหนกนอยทสดจากกราฟเชอมโยงถวงนาหนก ตดตอกนไปเพอสรางกราฟเชอมถวงนาหนก และการเลอกเสนดงกลาวตองไมกอใหเกดวฎจกร การเลอกนจะสนสดลงเมอไดตนไมแผทว ตวอยาง จงหากราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสดของกราฟทกาหนดใหโดยใชขนตอนวธของครสกาวล
วธทา เราจะใชเสนหนาบงถงเสนของกราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสด
![Page 29: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/29.jpg)
110
เราจะเหนวาคานาหนกของแผทวทเปนกราฟเชอมโยงมคาเทากบ 8 หมายเหต กราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสดของแตละกราฟอาจมไดมากกวา 1 แบบ
![Page 30: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/30.jpg)
111
ขนตอนวธของพรม(Prim’s algorithm) แนวคดขนตอนของพรม คอการแทนตนไม T ทมอยในการเชอมโยงทมนาหนกดวยตนไมอนใหมทเกดจากการเพมเสนทมนาหนกนอยทสดลงไปใน T โดยทเสนๆ นเปนเสนเชอมจดทอยใน T กบจดทไมอยใน T ตวอยาง จงหากราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสดของกราฟทกาหนดให โดยใชขนตอนวธของพรม
วธทา เราจะใชเสนหนาบงถงเสนของกราฟแผทวทเปนกราฟเชอมโยงและมคานาหนกนอยทสด
![Page 31: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/31.jpg)
112
เราจะเหนวาคานาหนกของแผทวทเปนกราฟเชอมโยงมคาเทากบ 8
กจกรรมการเรยนร
1. ครนาเขาสบทเรยนโดยการใหนกเรยนนกเรยนพจารณากราฟทมลกษณะพเศษชนดหนง
เรยกวา ตนไม แลวนาไปสเนอหาของตนไม 2. แจงจดประสงคการเรยนรประจาเรองใหนกเรยนทราบ 3. ครใชเทคนคการสอนแบบบรรยาย 4. ใชสอการสอนดวย PowerPoint
สอการสอน ใช PowerPoint นาเสนอ
![Page 32: ทฤษฎีกราฟ](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060118/558c2ee8d8b42a353e8b458b/html5/thumbnails/32.jpg)
113