Μηχανικά Κύματα(Περιοδικές Κινήσεις – Ταλαντώσεις)

Βασίλης Γαργανουράκης

Περιοδικές ΚινήσειςΌλες οι κινήσεις επαναλαμβάνονται σε ίσα χρονικά διαστήματα.

Οι κινήσεις που επαναλαμβάνονται σε ίσα χρονικά διαστήματα ονομάζονται περιοδικές.

Το χρ. διάστημα που επαναλαμβάνονται ονομάζεται περίοδος (T).

Π.χ. Η κίνηση της Σελήνης γύρω από τη Γη έχει Τ=28 ημέρες ενώ η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο έχει Τ=365 ημέρες.

Ταλαντώσεις και ΚύματαΣε αυτή την ενότητα εξετάσουμε την ειδική περίπτωση περιοδικών κινήσεων όπου ένα αντικείμενο κινείται ανάμεσα σε δύο ακραίες θέσεις.

Οι κινήσεις αυτές ονομάζονται ταλαντώσεις.

Χαρακτηριστικό των ταλαντώσεων είναι ότι υπάρχει μια δύναμη που ενεργεί πάντα προς τη θέση ισορροπίας της.

Παραδείγματα τέτοιας κίνησης είναι το εκκρεμές και τα ελατήρια με μάζες.

Ιδανικό ΕλατήριοΣτη Φυσική μελετάμε μόνο ιδανικά ελατήρια. Αυτά έχουν τις εξής ιδιότητες:

Μάζα ελατηρίου = 0

Κατά την κίνηση τους δεν παθαίνουν μόνιμές παραμορφώσεις.

Ισχύει ο νόμος του Hooke.

Νόμος του Hooke - ΕπανάληψηΘεωρήστε ένα ιδανικό ελατήριο.Γνωρίζουμε (Β Γυμνασίου) ότι η δύναμη που ασκεί ένα ελατήριο όταν είναι συμπιεσμένο ή τεντωμένο, εξαρτάται από την απόσταση x από τη Θέση Ισορροπίας και είναι:

Η εξίσωση αυτή ονομάζεται Νόμος Hooke, όπου k είναι η σταθερά επαναφοράς (ή σκληρότητα). Το μείον στον τύπο δείχνει ότι η δύναμη του ελατηρίου έχει φορά πάντα προς τη Θ.Ι.

kxsF −=

x

Θ.Ι. (φυσικό μήκος)

συμπιεσμένο

τεντωμένο

x

Fs

Fs

0

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (Α.Α.Τ.)

Δυνάμεις (όπως η δύναμη του ελατηρίου) που έχουν πάντα φορά προς τη Θ.Ι. ονομάζονται Δυνάμεις Επαναφοράς.Όταν η δύναμη επαναφοράς είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας, τότε η κίνηση που κάνει το σώμα ονομάζεται Απλή Αρμονική Ταλάντωση.

0

Ισχύει πάντα

Α.Α.Τ. ⇔ F Ax= −μετατόπιση

Δύναμη Επαναφοράς

Ποσότητες στην Α.Α.Τ.

Για την ανάλυση της Α.Α.Τ., πρέπει να ορίσουμε τις ακόλουθες ποσότητες.

Το Πλάτος (A) – η μέγιστη απομάκρυνση του σώματος (μέτρα). Σημειώστε ότι η μέγιστη απομάκρυνση από κάθε πλευρά της θέσης ισορροπίας είναι η ίδια.Η περίοδος (T) – ο χρόνος που το σώμα παίρνει για να ολοκληρώσει μια πλήρη ταλάντωση (δευτερόλεπτα). Η συχνότητα (f=1/T) – ο αριθμός πλήρων ταλαντώσεων σε ένα δευτερόλεπτο (Hertz).

Ποσότητες στην Α.Α.Τ.

Πλάτος

Περίοδος = χρόνος για να καλύψει την απόσταση ΑΒ

Α Β

ΑσκήσειςΈνα σύστημα μάζας-ελατηρίου εκτελεί 60 πλήρεις ταλαντώσεις σε 2 λεπτά. Να βρεις την περίοδο και τη συχνότητα του εκκρεμούς.

Τα φτερά της μέλισσας, όταν αυτή πετάει, εκτελούν ταλάντωση με συχνότητα 225 Ηz. Να υπολογίσεις πόσες φορές ανεβοκατεβαίνουν τα φτερά της στο 1 s καθώς και την περίοδο ταλάντωσης.

Το απλό εκκρεμέςΑποτελείται από ένα σώμα κρεμασμένο από νήμα που το άλλο άκρο του είναι στερεωμένο σ' ένα σταθερό σημείο.

Αν το σώμα απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας, εκτελεί ταλάντωση ανάμεσα στις δύο ακραίες θέσεις Β και Γ.

Εφόσον το εκκρεμές εκτελεί ταλάντωση, η κίνησή του περιγράφεται από τα χαρακτηριστικά μεγέθη της ταλάντωσης, δηλαδή

την περίοδο,

τη συχνότητα

και το πλάτος.

Περίοδος απλού εκκρεμούςΠειραματικά προκύπτει ότι η περίοδος του εκκρεμούς:

Είναι ανεξάρτητη της μάζας του.

Δεν εξαρτάται από το πλάτος, όταν εκτρέπεται κατά μικρή γωνία θ.

Περίοδος απλού εκκρεμούςΑυξάνεται όταν μεγαλώσουμε το μήκος του νήματος.

Όλα τα εκκρεμή που έχουν το ίδιο μήκος έχουν την ίδια περίοδο ταλάντωσης (ανεξάρτητα από το πλάτος και τη μάζα). Επομένως το εκκρεμές μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως χρονόμετρο.

Εξαρτάται από τον τόπο στον οποίο βρίσκεται (επιτάχυνση βαρύτητας, g). Έτσι αν βρισκόμαστε στον Ισημερινό το ίδιο εκκρεμές ταλαντώνεται με μεγαλύτερη περίοδο απ' ό,τι στους πόλους.

Η ενέργεια της ταλάντωσηςΓια ιδανικά συστήματα (χωρίς τριβές), Η μηχανική ενέργεια της ταλάντωσης, δηλαδή το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας, διατηρείται σταθερό.

Κατά τη διάρκεια, λοιπόν, μιας ταλάντωσης πραγματοποιείται περιοδικά μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα. Στα σημεία μεταξύ της Θ.Ι. και των ακραίων θέσεων, η ενέργεια είναι ένας συνδυασμός της K και U.

( ) ( )K U K Uή ήαρχικ τελικ+ = +

0

Ακραία Θέση

ΤυχαίαΘέση

Ακραία Θέση

Θέση Ισορροπίας