1. y แปรผนเกยวเนองกบ x , z และม 1 / รท t เมอ

x=25 , z = 2 , t = 1 จะได y = 100 จงหา

1. คาy เมอ x = 12 , z = 5 และ t = 4

2.คา x เมอ y = 36 , z = 3 และ t =2

2. ปรมาณน ามนเปนแกลลอนในถงทรงกระบอกแปร

ผนเกยวเนองกบก าลง2ของรศมและความสงของถง ถง

ใสน ามนใบหนงสง 35 ซม. รศมของกนถงเปน 21 ซม.

จน ามน12 แกลลอน จงหาวาถงทมรศม 28 ซม. สง 105

ซม. จะจน ามนไดเทาไร

นาย ศร ศรภรมย

รหส 563050392-9

การแปรผน

ค าน า

สงพมพเรองการแปรผนไดจดท าขนเพอใหความรตางๆท

เกยวกบเรองการแปรผน ซงการแปรผนนนมอยหลาย

หวขอ ในสงพมพเลมน ในสงพมพเลมนมทงเนอหา

ตวอยางโจทย และแบบฝกหด ทใหทกคนไดฝกท ากนนะ

ครบเพอทจะไดท าโจทยเกยวกบเรองนไดอยางถกตองกน

ทกคนครบ

กระผมหวงวา สงพมพเรองการแปรผนเลมน จะเปน

ประโยชนไมมากกนอยตอผทสนใจเขามาศกษานะครบ

ขอใหทกคนศกษาเตมท และเอาความรใหเตมๆ นะครบ

จะเปนประโยชนตอคณในอนาคตครบ

สดทายนกระผมขอขอบคณทานอาจารย ดร.อนชา โสมา

บตร ทไดใหโอกาสกระผมไดจดท าสงพมพเลมน และถา

มขอผดพลาดประการใดกระผมกขออภยมา ณ โอกาสน

ครบ

แทนคา a=64 , b=2 และ c=5

64 = (k)(2)/52

64x25 = (k)(2)

1600/2 = k

k = 800

จงหา a เมอ b=3 และ c=4

จะได a = kb/c2

a = 800x3/4

a = 600

ตอบ a = 600

เดยวลองไปท าโจทยปญหากน

มาดตวอยางกน

ให a,b,cและ d แทนปรมาณใด ๆ

ขอความ เขยนแทนดวย เขยนอยในสมการ

1.a แปรผนตรงกบ b และ c

2.a แปรผนตรงกบ b และ

แปรผกผนกบ c2

3. a แปรผนตรงกบ b,c3 และ

แปรผกผนกบ d

a α bc

a α b/c2

a α bc3/d

a = kbc

a = kb/c2

a = kbc3/d

ตวอยางท2 a แปรผนเกยวเนองกบ b2 และ 1/c ถา a=64 เมอ b=2

และ c=5 จงหา a เมอ b=3 และ c=4

วธท า จากโจทย a แปรผนเกยวเนองกบ b2 และ 1/c

จะได a α b/c2

a = kb/c2

สารบญ เรอง หนา

แปรผนตรง 5

แปรผกผน 12

แปรผนเกยวเนอง 17

การแปรผน หมายถง ความสมพนธของ

ปรมาณตงแตสองปรมาณขนไป โดยเมอ

ปรมาณหนงมการเปลยนแปลง อกปรมาณ

หรอหลายปรมาณจะเปลยนแปลงตาม

สดสวนทเปนอย การแปรผนนเปน

คณตศาสตรพนฐานทเราเรยนแลวสามารถ

น าไปใชในชวตประจ าวนได

3.การแปรผนเกยวเนอง

หมายถง การแปรผนทมสงใดสงหนงสามารถ

แปรผนออกไปและเกยวเนองกบสงอน ๆ

บทนยาม

ให y,x1,x2,….,xn แทนปรมาณใด ๆ

y แปรผนเกยวเนองกบ x1,x2,….,xn เมอ

y แปรผนตรงตามผลคณของ x1,x2,

….,xn

1.ถา y แปรผกผนกบรากทสามของ z , และ

y = 2 เมอ z = 2 จงหา y เมอ z = 8

2.ถา P แปรผกผนกบ Q และ P = 1 3/4 , Q =

1 1/7

2.1หาคาคงตวเทากบเทาไหร

2.2สมการของการแปรผนคออะไร

2.3ถา P= 8 ดงนน Q= ?

ไมมอะไรยากเลย

การแปรผน แบงออกเปน 3 ประเภทคอ

1 การแปรผนตรง

มนยามวา ถาตวแปรหนงเพม อกตวแปรหนงจะเพม

ดวย หรอถาตวแปรหนงลด อกตวแปรหนงจะลดลง

ดวย เขยนสมการไดวา

y α x

y = kx เมอ k เปนคาคงตว

ในชวตประจ าวนเราจะมกพบความสมพนธของ

ปรมาณสองปรมาณ เชน ความสมพนธระหวาง

ปรมาณน ามนและเงนทจาย เปนตน

เรามาลองพจารณาสถานการณดงตอไปน

ปรมาณน ามน (ลตร) จ านวนทจาย (บาท)

0

1

2

3

4

5

0

18

36

54

72

90

ให x แทน ปรมาณน ามนเปนลตร

ให y แทน จ านวนเงนทจายเปนบาท

จากรปสามารถเขยนความสมพนธของ x และ y ไดเปน y =

18x

ตวอยาง

ไปลองท าแบบฝกหดเพอความเขาใจกน

จากความสมพนธท าใหไดบทนยามวา

ให x และ y แทนปรมาณใดๆ

Y แปรผกผนกบ x เมอ y = k*1/x

โดยท k เปนคาคงตว และ k ≠ 0

สมการ y = k*1/x โดยท k เปนคาคงตว และ k ≠

0 เรยกวา สมการการแปรผกผน เรยก k วา คาคงตว

ของการแปรผน

ท าใหเราไดบทนยามมาวา

ให x และ y แทนปรมาณใดๆ

Y แปรผนตรงกบ x เมอ y = kx โดยท k

เปนคาคงตว และ k ≠ 0

จ าใหขนใจ!!

*หลกกาค านวณ

1.ใชนยามโดยพยายามเปลยนคาการแปรผนเปนสมการ และมคาคงทรวมอย ดวย

α2.โจทยจะก าหนดคาตวแปรใหหนงคเสมอ เพอใหเราหาคาตวคงท k นน

3.หาคาสมการแสดงความสมพนธของตวแปรโดยการแทนคาคงทใหเปนจ านวนเลข

4.ถาทราบคาตวแปรใดตวแปรหนง จะหาคา

ของตวแปรอกตวหนงไดเสมอโดยการหาจาก

สมการแสดง

ให y แทนอตราเรวเฉลยของรถยนต

t แทน เวลาทใชในการเดนทางในระยะทาง 240 กโลเมตร

v t t/v V*t

40

60

80

100

6

4

3

12/5

3/20

1/15

3/80

3/125

240

240

240

240

จากตารางจะเหนวา เมออตราเรว v เพมขน เวลา t ทใช

เดนทางจะลดลงในอตราทไมคงตว เมอพจารณา t/v จะ

พบวา v และ t แตละคไมเทากน แตเมอพจารณา v x t จะ

พบวาเปนคาคงตว นนคอ ความสมพนธระหวาง v และ t

เขยนสมการเปน vt = 240 หรอ t = 240 x 1/v

2. การแปรผกผน

หมายถง ความสมพนธของสงสองสงในทศ

ทางตรงขามกน โดยถาสงหนงเพมสงหนงจะ

ลด และถาสงหนงกจะท าใหสงหนงเพมขน

เขยนสมการไดดงน

ตวอยางท1 ถา y แปรผนตรงกบ x และ y = 12 เมอ x = 3

จงหาคาคงตวของการแปรผน

วธท า เนองจาก y α x

จะได y = kx เมอ k เปนคาคงตว

แทนคา y = 12 และ x = 3

12 = 3k

12/3=k

k = 4

ดงนน คาคงตวของการแปรผนคอ 4

งายนดเดยวเอง

มาลองท าด

1.ถา แปรผนตรงกบ และ เมอ

จงหาคาคงตวของการแปรผน

2.ถา แปรผนตรง

กบ และ เมอ จงหาคา เมอ