5.6 指數成長與衰減

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5.6 指數成長與衰減

學習目標以指數成長與衰減作為實際生活的模型。

P.5-38 第五章指數與對數函數

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指數成長與衰減

本節將學習如何去建立指數成長與衰減的模型。實際生活中牽涉到指數成長與衰減的狀況就是物質或人口數量，即在任一時間 t 的變化率正比於當時的物質數量。譬如，放射性物質的衰減率是正比於當時放射性物質的數量。這種關係可以最簡單的形式來表示，如以下的方程式。


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指數成長與衰減


在上式中 k 為常數，而 y 為 t 的函數，下面即為此方程式的解。

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指數成長與衰減（證明）


因為 y 的變化量與 y 成正比，所以

顯然 y ＝ Cekt 為方程式的解，因為對 y 微分可得 dy/dt ＝ kCekt ，再代入方程式也得

dyky

dt

( )kt ktdykCe k Ce ky

dt

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學習提示

在模型 y ＝ Cekt 中， C 稱為起始值，因為當 t ＝ 0 時， y ＝ Cek(0) ＝ C(1) ＝ C 。


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應用

放射性物質的衰減是以半衰期 (half-life) 來測量，即放射性物質樣本中原子數減半所需的時間。常見放射性同位素的半衰期如下所列

鈾 (238 U) 4,470,000,000 年鈽 (239 Pu) 24,100 年碳 (14 C) 5,715 年鐳 (226 Ra) 　　　 1,599 年鑀 (254 Es) 276 天鍩 (257 No) 25 秒


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範例 1 　放射性物質衰減的模型

某樣本中有 1 公克的鐳，試問 1000 年後的鐳殘留物是否多於 0.5 公克？


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範例 1 　放射性物質衰減的模型（解）

令 y 表示在樣本中的鐳物質 ( 公克 ) 。因為衰減率正比於 y ，所以應用指數衰減律可知 y 的形式為 y ＝ Cekt，其中 t 為時間 ( 年 ) 。已知當 t ＝ 0 時 y ＝ 1 ，代入模型可得1 ＝ Cek(0) 以 1 代入 y ， 0 代入 t

因此 C ＝ 1 。因為鐳的半衰期為 1599 年，所以當 t ＝ 1599 時 y ＝ 1/2 ，再代入模型即可解得 k 。


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所以 k ≈ － 0.0004335 ，故指數衰減模型為 y ＝ e － 0.0004335t。

若要求 1000 年後的鐳殘留量，將 t ＝ 1000 代入模型，經計算可得

y ＝ e － 0.0004335(1000) ≈ 0.648 公克即， 1000 後仍有超過 0.5 公克的鐳，此模型的圖形如圖 5.18 所示。


( )

1

2

1 1

1 15

15

99

99 2

2 1/ 2

ln 1599

ln

1

599

1599

kt

k

y e

e

k

k

y t

指數衰減模型

以代入，代入

等號兩邊取自然對數

等號兩邊同除以

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P.5-39 圖 5.18 第五章指數與對數函數

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檢查站 1

以範例 1 的模型來計算 1 公克樣本的鐳衰減為 0.4 公克時所需的時間。


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應用

請注意，不必像範例 1 使用近似的 k 值，直接在模型中代入 k 的正確值可得

這個公式清楚地顯示「半衰期」：當 t ＝ 1599 ， y 值為 1/2 ，當 t ＝ 2(1599) ， y 值為，以此類推。


( /1599)( /1599)

ln[(1/2) ] 1

2

tt

y e

1

4

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應用


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範例 2 　數量成長的模型

研究指出，果蠅數量的增加是服從指數成長模型。兩天後有 100 隻，四天後有 300 隻果蠅，則 5 天後有幾隻果蠅？


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範例 2 　數量成長的模型（解）

令 y 為果蠅在時間 t 的數量。已知當 t ＝ 2 時， y ＝ 100 和當 t ＝ 4 時， y ＝ 300 ，代入模型 y ＝ Cekt 得

100 ＝ Ce2k　和　 300 ＝ Ce4k

若要解 k ，先解出第一方程式中的 C ，再代入第二方程式。


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4

42

2

2

300

100 300

300

ln 3 2

1ln 3

100 /

10

2

0

k

kk

k

k

Ce

ee

e C

k

e

k

k

第二方程式

以代入

等號兩邊同除以等號兩邊同取自然對數

解

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因為，可得 C ≈100/e2(0.5493) ≈ 33 。即指數成長模型為

y ＝ 33e0.5493t

如圖 5.19 所示。所以， 5 天後果蠅的數量有y ＝ 33e0.5493(5) ≈ 514 隻


1

2ln 3 0.5493k

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範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(c) 。


代數技巧代數技巧

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檢查站 2

如果果蠅數量兩天後有 100 隻，四天後有 400隻，求其指數成長模型。


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範例 3 　複利的模型

在以連續複利計算的銀行帳戶存入一筆錢，若帳戶餘額在 6 年後增值為兩倍，試問其年利率為何？


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範例 3 　複利的模型（解）

以連續複利計算的銀行帳戶餘額 A 可表示為指數成長模型

A ＝ Pert 指數成長模型其中 P 為原始存款值， r 為年利率 ( 以小數表示 ) 且 t 為時間 ( 年 ) 。已知 t ＝ 6 時， A ＝ 2P ，如圖 5.20 所示，即可解得 r。


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所以，年利率為

或者大約 11.55% 。P.5-41 第五章指數與對數函數

( )

6

1

6

6

2

ln 2 6

ln 2

2 2

6

6

rt

r

t

P P A

A Pe

e

tPe

r

P

r

指數成長模型

以代入，代入

等號兩邊同除以等號兩邊同取自然對數

等號兩邊同除以

1

6ln 2

0.1155

r

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檢查站 3

已知以連續複利計算的帳戶餘額在 8 年後恰增值為兩倍，求年利率。


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應用

本節的例子都是使用以 e 為底數的指數成長模型，此模型其實可以任意數為底數。換言之，模型

y ＝ Cabt

也可以是指數成長模型 ( 因為該模型可寫成 y ＝ Ce(ln a) bt) 。在某些實際生活的例子，不以 e 為底數反而較方便。


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應用

譬如在範例 1 中，因為鐳的半衰期是 1599 年，所以指數衰減模型可寫成

根據此模型，樣本中的鐳的同位素數量在 1000 年後剩下

也吻合範例 1 的結果。

/15991

2

t

y


1000/15991

0.6482

y

公克

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學習提示

是否可立即看出範例 1 中放射性物質衰減的模型為？注意：當 t ＝ 1599

時， y 值為 1/2 ，當 t ＝ 3198 時， y 值為 1/4 ，以此類推。


/15991

2

ty

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範例 4 　銷售量模型化

在停止全國性電視廣告後的四個月，某製造商發現 MP3 的銷售量從 100,000 台減為 80,000 台。若銷售量是以指數衰減來變化，再過四個月後的銷售量為何？


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範例 4 　銷售量模型化（解）

令 y 為 MP3 的銷售量， t 為時間 ( 月 ) ，並考慮指數衰減模型

y ＝ Cekt 指數衰減模型從已知條件可知當 t ＝ 0 時， y ＝ 100,000，即 100,000 ＝ Ce0


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所以 C ＝ 100,000 。若要解 k ，則須利用當 t ＝ 4 時， y ＝ 80,000 的條件，所以


(4)

100,000

100,000

0.8

ln 0.8 4

1 ln 0.8

800,000 800,

000 4

100,000

4 4

kt

k

y e

e

e

k

y

k

t

指數衰減模型

以代入，代入等號兩邊同除以等號兩邊同取自然對數

等號

兩邊同除以

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則，所以此模型為

y ＝ 100,000e － 0.0558t

再過四個月 (t ＝ 8) ，銷售量將衰減為y ＝ 100,000e － 0.0558(8)

64,000 台 MP3

如圖 5.21 所示。


1

4ln 0.8 0.0558k

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檢查站 4

根據範例 4 的模型，請問 MP3 的銷售量何時會掉到 50,000 台？

P.5-42

5.6 指數成長與衰減

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