566.устойчивость уравнений второго порядка с...

Министерство образования и науки Российской ФедерацииЯрославский государственный университет

им. П.Г. Демидова

С.А. Кащенко

Устойчивость уравнений второго порядкас периодическими коэффициентами

Учебное пособие

РекомендованоНаучно-методическим советом университетадля студентов специальности Математика иПрикладная математика и информатика

ЯРОСЛАВЛЬ 2005

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 517.925ББК В161.61я73

К 31

РекомендованоРедакционно-издательским советом университета

в качестве учебного издания. План 2004 года

Рецензенты:доктор физ.-мат. наук, профессор Н.Х. Розов;

кафедра математики физического факультета Московскогогосударственного университета им. М.В. Ломоносова

Кащенко, С.А. Устойчивость уравнений второго порядка с пери-одическими коэффициентами: Учебное пособие / С.А. Кащенко;

К 31 Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2005. – 212 с.ISBN 5-8397-0362-1

Изложена теория устойчивости решений линейных уравненийвторого порядка с периодическими коэффициентами, базирую-щаяся на теории зон устойчивости А.М. Ляпунова. В качествеприложений асимптотическими методами исследованы вопросыустойчивости для широких классов регулярно и сингулярно воз-мущенных уравнений, в том числе уравнений с точками поворота.Рассмотрены классические вопросы построения функции Грина ивывода асимптотических законов распределения собственных зна-чений периодической и антипериодической краевых задач.

Учебное пособие по дисциплине „Дифференциальные уравне-ния“ (блок ОПД) предназначено студентам специальности 010100Математика и 010200 Прикладная математика и информатика оч-ной формы обучения.

Рис. 3. Библиогр.: 36 назв.

УДК 517.925ББК В161.61.я73

ISBN 5-8397-0362-1 c© Ярославскийгосударственный университетим. П.Г. Демидова, 2005

c© Кащенко С.А., 2005


Оглавление

Введение 6

1 Теория зон устойчивости 7

§ 1.1. Теоремы сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7§ 1.2. Краевые задачи Штурма - Лиувилля . . . . . . . . . . . 10§ 1.3. Уравнения с периодическими

коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14§ 1.4. Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова . . . . . . . . . 18§ 1.5. Об одном критерии неустойчивости

решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28§ 1.6. Распространение теории зон

устойчивости на несамосопряженный случай . . . . . . . . 42

2 Устойчивость уравнений с близкими к постояннымкоэффициентами 48

§ 2.1. Уравнения с близкими к нулевым коэффициентами . . . 48§ 2.2. Уравнения с близкими к постоянным коэффициентами . 52§ 2.3. Параметрический резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Устойчивость сингулярно возмущенных уравнений 60

§ 3.1. Устойчивость уравнений без точек поворота . . . . . . . 60§ 3.2. Уравнения с точками поворота . . . . . . . . . . . . . . . 64§ 3.3. Уравнения со знакопеременным

и гладким коэффициентом p(t) . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Асимптотические законы распределений собственныхзначений периодической и антипериодической краевыхзадач 83

3


4 ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 4.1. Асимптотика собственных значений для уравнений безточек поворота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

§ 4.2. Асимптотика собственных значений при условии r(t) ≥ 0 86§ 4.3. Асимптотика собственных значений

в случае знакопеременной r(t) . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5 Параметрический резонанс при двухчастотном возмущении 100§ 5.1. Постановка задачи и редукция к специальному

уравнению второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100§ 5.2. Исследование уравнений первого приближения

при достаточно больших значениях расстройкимежду частотами внешних возмущений . . . . . . . . . . . 103

§ 5.3. Исследование уравнения первого приближенияпри достаточно малой расстройкемежду частотами внешних возмущений . . . . . . . . . . . 104

6 Функции Грина периодической краевой задачи 108§ 6.1. Функции Грина первого порядка . . . . . . . . . . . . . . 108§ 6.2. Функция Грина уравнения второго порядка . . . . . . . 111§ 6.3. Вырожденные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114§ 6.4. О приближенном вычислении

первых собственных значений . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7 Предельные значения собственных чисел первой краевойзадачи для сингулярно возмущенного дифференциальногоуравнения второго порядка с точками поворота 123§ 7.1. Постановка задачи и формулировка основного результата 124§ 7.2. Обоснование предельного свойства функции s(b) . . . . 132§ 7.3. Вспомогательное утверждение . . . . . . . . . . . . . . . 137§ 7.4. Обоснование теоремы 7.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 150§ 7.5. Обобщение результата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8 Асимптотика собственных чисел первой краевой задачидля сингулярно возмущенного дифференциального уравне-ния второго порядка с точками поворота 156§ 8.1. Постановка задачи и формулировка результата . . . . . 156§ 8.2. Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . . . . 162§ 8.3. Обоснование теоремы 8.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 176


ОГЛАВЛЕНИЕ 5

9 Асимптотика собственных значений периодической и анти-периодической краевых задач для сингулярно возмущенныхдифференциальных уравнений второго порядка с точкамиповорота 179§ 9.1. Постановка задачи и формулировка результатов в само-

сопряженном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180§ 9.2. Обоснование теоремы 9.1.1 для собственных значений

λ+1 (ε) и λ−1 (ε) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

§ 9.3. Вспомогательное утверждение . . . . . . . . . . . . . . . 183§ 9.4. Завершение доказательств приведенных теорем . . . . . 187§ 9.5. Постановка задачи и основные результаты в несамосо-

пряженном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189§ 9.6. Несамоcопряженный случай:

вспомогательное утверждение . . . . . . . . . . . . . . . . 192§ 9.7. Обоснование теоремы 9.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 196§ 9.8. Обоснование соотношений (9.5.8) . . . . . . . . . . . . . 199§ 9.9. Обоснование соотношений (9.5.7) . . . . . . . . . . . . . 200§ 9.10. Завершение доказательств теорем несамосопряженного

случая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205


ВведениеУравнения второго порядка занимают особое место в теории диффе-

ренциальных уравнений. Это связано с тем обстоятельством, что, во-первых, именно с них, а не с уравнений первого порядка, начинаетсяизучение нетривиальных поведений решений. Во-вторых, для автоном-ных нелинейных уравнений второго порядка построена полная динами-ческая теория. И, наконец, в-третьих, огромное число математическихмоделей в различных областях науки описано именно уравнениями вто-рого порядка. Особое место в теории дифференциальных уравнений за-нимают линейные уравнения, исследование которых является базовым идля анализа поведения решений нелинейных уравнений. При этом наи-более важным и интересным является изучение решений уравнений спериодическими коэффициентами.

Настоящее пособие посвящено изучению линейных уравнений второ-го порядка с периодическими коэффициентами. В первой его части при-водится одна из самых красивых, на взгляд автора, теория зон устой-чивости А.М. Ляпунова. Эта теория, к сожалению, содержится лишьв небольшом количестве учебных изданий. Здесь мы придерживаем-ся, в основном, методики, изложенной в монографии Э. Коддингтонаи И. Левинсона „Теория обыкновенных дифференциальных уравнений“.Все остальное содержание пособия (главы 2 – 9), так или иначе „привя-зано“ к ляпуновской теории зон устойчивости. Последовательно и с при-мерами излагаются так называемые регулярные асимптотические методыи методы теории сингулярных возмущений для исследования вопросовустойчивости решений. На основе теории зон устойчивости решается во-прос об устойчивости решений уравнений с близкими к постоянным ко-эффициентами (глава 2) и сингулярно возмущенных уравнений (глава 3).При этом формулируются эффективные алгоритмы исследования устой-чивости. В главе 4 изучаются асимптотические законы распределениясобственных значений. Особо подчеркнем, что разобран случай наличияточек поворота. Глава 5 посвящена решению важной задачи о параметри-ческом резонансе при двухчастотном возмущении. В этой главе широкоиспользуются результаты всех предыдущих глав. Шестая глава стоитнесколько в стороне. В ней вводится в рассмотрение функция Грина пе-риодической краевой задачи и изучаются ее свойства. Особую сложностьпредставляет изложение теории сингулярных возмущений уравнений сточками поворота (главы 7 – 9). Соответствующие разделы, принадлежа-щие автору, ранее в учебно-методической литературе не публиковались.Они достаточно сложны и могут быть пропущены при первом чтении.

6


Глава 1

Теория зон устойчивости

Основное содержание главы посвящено изложению принадлежащейА.М. Ляпунову [1-3] теории зон устойчивости линейных дифференци-альных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами.Доказательство соответствующих утверждений (теоремы 1.4.1 и 1.4.2),отличающихся сравнительной простотой и изяществом, будет заимство-вано из [4] (глава VIII).

§ 1.1. Теоремы сравнения

Как будет выяснено в дальнейшем, свойства устойчивости решений рас-сматриваемого класса уравнений тесно связаны с их осцилляционнымисвойствами. В связи с этим первый параграф посвящен изучению рас-пределения нулей решений. Приводимые здесь доказательства повторя-ют соответствующие утверждения из [4] (глава VIII, §1). На некоторомотрезке [a, b] рассмотрим два линейных дифференциальных уравнения

x + q1(t)x = 0 (1.1.1)

иx + q2(t)x = 0, (1.1.2)

коэффициенты q1(t) и q2(t) которых являются непрерывными функциями.Фиксируем произвольно решения x1(t) и x2(t) (xj(t) 6≡ 0, j = 1, 2) урав-нений (1.1.1) и (1.1.2) соответственно. Напомним, что в силу теоремыединственности решений нуль любого нетривиального решения рассмат-риваемых уравнений является простым.

Теорема 1.1.1. Пусть выполнены неравенства

q1(t) ≤ q2(t), q1(t) 6≡ q2(t), t ∈ [a, b].

7


8 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости

Тогда между любыми двумя последовательными нулями t1 и t2 функ-ции x1(t) лежит хотя бы один нуль функции x2(t).

Доказательство. Предположим противное, т.е. пусть x2(t) не имеетнулей на интервале (t1, t2). Без ограничения общности можно считать,что на этом интервале x1(t) > 0 и x2(t) > 0. Умножая уравнения (1.1.1)(при x = x1(t)) на x2(t) и (1.1.2) (при x = x2(t)) на x1(t) и вычитаяполученные выражения одно из другого, приходим к равенству

x1x2 − x2x1 + (q1(t)− q2(t))x1x2 = 0. (1.1.3)

Последнее слагаемое в этом равенстве неположительно, поэтому, инте-грируя (1.1.3), получаем неравенство

t2∫

t1

(x1x2 − x2x1) dt > 0.

Выражение, стоящее здесь под знаком интеграла, есть полная произ-водная функции (x1x2 − x2x1). Отсюда, принимая во внимание, чтоx1(t1) = x1(t2) = 0, приходим к соотношению

x1(t2)x2(t2)− x1(t1)x2(t1) > 0. (1.1.4)

Учитывая, наконец, что x1(t1) > 0, а x1(t2) < 0, заключаем, что послед-нее неравенство выполняться не может. Таким образом, функция x2(t)обращается в нуль на интервале (t1, t2). Теорема доказана.

Следствие. Пусть q1(t) ≡ q2(t). Тогда либо нули решений x1(t) иx2(t) совпадают (т.е. x1(t) = const · x2(t)), либо между любыми двумянулями x1(t)(x2(t)) лежит ровно один нуль функции x2(t) (x1(t)). Темсамым нули линейно независимых решений перемежаются.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству тео-ремы 1.1.1 с заменой знака неравенства в (1.1.4) на знак равенства.

Для дальнейшего удобно в уравнениях (1.1.1) и (1.1.2) произвестиполярные замены переменных

x = r sin ω, x = r cos ω. (1.1.5)

Дифференцируя первое равенство (1.1.5) и заменяя x при помощи вто-рого равенства, а также учитывая уравнения (1.1.1) и (1.1.2), для пе-ременных r и ω получаем систему двух дифференциальных уравнений


§ 1.1. Теоремы сравнения 9

(i = 1, 2)

r = (1− qi(t))r sin ω cos ω,

ω = cos2 ω + qi(t) sin2 ω.

Из (1.1.5) вытекает, что

r =√

x2 + x2, ω = arctg(x

x

),

поэтому, в частности, r(t) > 0, (t ∈ [a, b]) и решение x(t) тогда и толькотогда обращается в нуль, когда величина ω есть целое кратное π.

Пусть, как и ранее, x1(t) и x2(t) – решения уравнений (1.1.1) и (1.1.2)соответственно,

ri(t) =√

x2i (t) + x2

i (t), ωi(t) = arctg

(xi(t)

xi(t)

), i = 1, 2.

Теорема 1.1.2. Пусть выполняются неравенства

q1(t) < q2(t), t ∈ [a, b] (1.1.6)

иω1(a) ≤ ω2(a). (1.1.7)

Тогдаω1(t) < ω2(t), t ∈ [a, b]. (1.1.8)

Доказательство. Вычтем сначала одно из уравнений

ωi = cos2 ωi + qi(t) sin2 ωi, i = 1, 2 (1.1.9)

из другого. В результате получим выражение

(ω2 − ω1)′ = (q1(t)− 1)(sin2 ω2 − sin2 ω1) + h, (1.1.10)

илиu− fu = h,

гдеu = ω2 − ω1, h = (q2(t)− q1(t)) sin2 ω2,

f = (q1(t)− 1)(sin ω2 + sin ω1)sin ω2 − sin ω1

ω2 − ω1.



Так как h ≥ 0, то

u− fu ≥ 0.

Положим F (t) =b∫t

f(s)ds, умножим последнее неравенство на eF (t), и

проинтегрируем его затем в пределах от a до t. В итоге, учитывая (1.1.7),приходим к выводу, что

u(t)eF (t) ≥ u(a)eF (a) ≥ 0. (1.1.11)

Из неравенств (1.1.11) вытекает обоснование пока лишь нестрого-го неравенства в (1.1.8). Завершение доказательства проведем, рассуж-дая от противного. Пусть (1.1.8) не имеет места. Тогда найдется такоеc0 ∈ (a, b], что

ω1(t) ≡ ω2(t), t ∈ [a, c0]. (1.1.12)

Действительно, если для какого-то t0 из (a, b] имеем u(t0) > 0, то из(1.1.11) получаем, что u(t) > 0 для t ∈ [t0, b].

Из тождества (1.1.12) и выражения (1.1.10) следует, что h(t) ≡ 0при t ∈ [a, c0]. Отсюда, в свою очередь, приходим к тождествамω1(t) ≡ ω2(t) ≡ 0 (modπ) при t ∈ [a, c0]. В силу равенств (1.1.9) по-следние тождества невозможны. Теорема доказана.

§ 1.2. Краевые задачи Штурма - Лиувилля

Результаты этого параграфа, при доказательстве которых существенноиспользуются утверждения §1.1, будут, в свою очередь, играть важнуюроль в обосновании положений §1.4.

На отрезке [a, b] рассмотрим дифференциальное выражение

x + (λr(t) + q(t))x = 0, (1.2.1)

где λ - параметр, r(t) и q(t) – непрерывные функции, причем r(t) > 0(t ∈ [a, b]). Фиксируем два значения α и β. Значения λ, для которых(1.2.1) имеет нетривиальное решение x(t, λ), удовлетворяющее краевымусловиям

x(a) cos α− x(a) sin α = 0,x(b) cos β − x(b) sin β = 0,

(1.2.2)


§ 1.2. Краевые задачи Штурма - Лиувилля 11

называются собственными значениями краевой задачи (1.2.1)–(1.2.2).Функция x(t, λ) называется собственной функцией. Отметим, что соб-ственная функция определяется единственным, с точностью до постоян-ного множителя, образом. Краевые задачи вида (1.2.1)–(1.2.2) составля-ют класс краевых задач Штурма-Лиувилля. Основной результат парагра-фа состоит в следующем.

Теорема 1.2.1. Существует бесконечно много собственных зна-чений λ0, λ1, . . ., которые все вещественны и которые образуют мо-нотонно возрастающую последовательность, причем λn → ∞ приn →∞. Собственная функция, отвечающая λn, имеет ровно n нулейна интервале (a, b).

Доказательство. Основу доказательства теоремы составляют рас-суждения из [4] (глава VIII, §2).

Первый этап. Сначала установим вещественность любого собствен-ного значения.

Предположим, что λ0 = γ + iδ является собственным значением, аx(t, λ0) - отвечающая ему собственная функция. В силу вещественностифункций q(t) и r(t) заключаем, что число λ0 = γ − iδ также являетсясобственным значением с собственной функцией x(t, λ0).

Положим в уравнении (1.2.1) λ = λ0, x = x(t, λ0), а затем умножимего на x(t, λ0) и проинтегрируем от a до b. Аналогично положим в (1.2.1)λ = λ0 и x = x(t, λ0), умножим его на x(t, λ0) и тоже проинтегрируем отa до b. Полученные два выражения вычтем одно из другого. В результатепридем к равенству

(λ0 − λ0)

b∫

a

r(t)x(t, λ0)x(t, λ0)dt = 0. (1.2.3)

Поскольку выражение x(t, λ0) · x(t, λ0) ≥ 0 ( 6≡ 0), то из (1.2.3) получаем,что 2δ = λ0 − λ0 = 0, т.е. λ0 вещественно.

Второй этап. Покажем, что нули любого решения (1.2.1) с фиксиро-ванными при t = a начальными условиями являются непрерывными и мо-нотонно убывающими функциями параметра λ. Обозначим через x(t, λ)решение (1.2.1) с начальными условиями, удовлетворяющими первомусоотношению из (1.2.2), т.е.

x(a, λ) = sin α, x(a, λ) = cos α.

Будем в дальнейшем предполагать, что 0 ≤ α < π, 0 < β ≤ π. Очевидно,



это не ограничивает общности. Положим далее,

ω(t, λ) = arctgx(t, λ)

x(t, λ), ω(a, λ) = α.

В силу теоремы 1.1.2 функция ω(t, λ) для каждого фиксиро-ванного t ∈ [a, b] есть монотонно возрастающая функция λ. Еслиω(t, λ) = 0 (modπ), то x(t, λ) = 0. Напомним, что ω(t, λ) является ре-шением уравнения

ω = cos2 ω + (λr(t) + q(t)) sin2 ω. (1.2.4)

Отсюда видно, что условие ω(t, λ) = 0 (modπ) влечет за со-бой неравенство ω(t, λ) > 0. Таким образом, если для некоторогоtk ∈ (a, b) ω(tk, λ) = kπ, то ω(t, λ) > kπ для t > tk и ω(t, λ) < kπдля t < tk. Кроме того, из монотонности ω(t, λ) по λ заключаем, что привозрастании λ нули x(t, λ), если вообще существуют, движутся влево кточке t = a. Пусть tk(λ) есть координата k-го нуля функции x(t, λ), т.е.ω(tk(λ), λ) = kπ. Дифференцируя последнее равенство по λ, получаемвыражение

ω (tk(λ), λ)dtk(λ)

dλ+

∂ω(tk(λ), λ)

∂λ= 0.

Отсюда и из отмеченных выше свойств ω(t, λ) непосредственно следу-ет, что dtk(λ)

dλ < 0. Таким образом, tk(λ) является монотонно убывающейфункцией параметра λ.

Третий этап. Установим справедливость (для каждого фиксированно-го c ∈ (a, b]) предельного равенства

limλ→∞

ω(c, λ) = ∞. (1.2.5)

Фиксируем постоянные R и Q так, чтобы

r(t) ≥ R > 0, q(t) ≥ Q, t ∈ [a, c].

Введем в рассмотрение уравнение с постоянными коэффициентами

x + (λR + Q)x = 0

и обозначим через x(t, λ) решение этого уравнения с начальными усло-виями

x(a, λ) = x(a, λ), ˙x(a, λ) = x(a, λ).


§ 1.2. Краевые задачи Штурма - Лиувилля 13

Отсюда и из теоремы 1.1.2 получаем

ω(c, λ) ≥ ω(c, λ), (1.2.6)

где положено

ω(t, λ) = arctgx(t, λ)˙x(t, λ)

, ω(a, λ) = ω(a, λ).

Последовательные нули функции x(t, λ) отличаются на величинуπ(λR + Q)−

12 . Отсюда следует, что количество нулей x(t, λ) на отрез-

ке [a, c] неограниченно растет при λ → ∞. Для функции ω(t, λ) этоозначает, что

limλ→+∞

ω(c, λ) = ∞. (1.2.7)

Обоснование (1.2.5) следует теперь из соотношений (1.2.6) и (1.2.7).Четвертый этап. Здесь будет показано, что для каждого c ∈ (a, b]

limλ→−∞

ω(c, λ) = 0. (1.2.8)

Сначала заметим, что ω(t, λ) ≥ 0. Это вытекает из условий α ≥ 0 и ω > 0,если ω = 0(modπ). Фиксируем затем три положительные постоянные δ,R и Q так, чтобы

α < π − δ, R ≤ r(t), Q ≥| q(t) |, t ∈ [a, b].

В предположении, что δ ≤ ω ≤ π − δ, оценим производную функцииω(t, λ). Из (1.2.4) получаем тогда, что

ω < 1− | λ | R sin2 δ + Q.

Таким образом, при условии δ ≤ ω ≤ π − δ функция ω(t, λ) для каждогоt ∈ (a, b] неограниченно убывает при λ → −∞. Отсюда приходим квыводу, что ω(c, λ) < δ для достаточно больших значений −λ. Посколькуδ > 0 произвольно, то имеет место равенство (1.2.8).

Пятый этап. На основе предельных равенств (1.2.5) и (1.2.8) доказа-тельство теоремы завершается без труда. Действительно, при λ → −∞имеем ω(b, λ) → 0. Из монотонности ω(b, λ) по λ и из условия β > 0заключаем, что найдется первое значение λ0, для которого ω(b, λ0) = β.Тем самым решение x(t, λ0) удовлетворяет условиям (1.2.2). Далее изнеравенств 0 < ω(t, λ0) < π следует, что x(t, λ0) нулей на интервале (a, b)



не имеет. Аналогично, найдется и притом единственное значение λ1, длякоторого ω(b, λ1) = β+π. Функция x(t, λ1) при этом удовлетворяет (1.2.2)и имеет один нуль на (a, b). Собственное значение λn определяется изравенства ω(b, λn) = πn + β. Собственная функция x(t, λn) имеет тогда,очевидно, n нулей на интервале (a, b). Теорема доказана.

§ 1.3. Уравнения с периодическимикоэффициентами

Основным объектом исследования в дальнейшем является уравнение

x + p(t)x + q(t)x = 0 (1.3.1)

с T -периодическими коэффициентами, т.е. p(t + T ) ≡ p(t), q(t + T ) ≡ q(t)(T > 0). Нас будет интересовать вопрос об устойчивости решений урав-нения (1.3.1).

Введем в рассмотрение два линейно независимых решения x1(t) иx2(t) этого уравнения с начальными условиями

x1(0) = 1, x1(0) = 0, x2(0) = 0, x2(0) = 1.

Матрицу

U(t) =

(x1(t) x2(t)x1(t) x2(t)

),

(U(0) =

(1 00 1

)= E

)(1.3.2)

называют фундаментальной матрицей решений уравнения (1.3.1). Непо-средственно проверяется, что определитель этой матрицы удовлетворяетуравнению

(det U(t))′ = −p(t) det U(t).

Отсюда получаем формулу (Остроградского-Лиувилля)

det U(t) = e−

t∫0

p(s)ds. (1.3.3)

Положим далееU = U(T ).

Матрица U называется матрицей монодромии уравнения (1.3.1), а ее соб-ственные значения µ1 и µ2 называются мультипликаторами. Из формулы


§ 1.3. Уравнения с периодическими коэффициентами 15

(1.3.3) имеем

µ1 · µ2 = det U = e−

T∫0

p(s)ds. (1.3.4)

Сформулируем теперь несколько промежуточных утверждений. Пустьµ = ρeiδ является мультипликатором, а вектор (x0, x0) есть собствен-ный вектор матрицы монодромии, отвечающий собственному значениюµ.

Лемма 1.3.1. Для решения x0(t) уравнения (1.3.1) с начальнымиусловиями x0(0) = x0, x0(0) = x0 имеет место соотношение

x0(t + T ) ≡ µx0(t). (1.3.5)

Доказательство. Из определения U(t) следует равенство(

x0(t)x0(t)

)= U(t)

(x0x0

).

Из определения (x0, x0) и µ находим, что(

x0(T )x0(T )

)= µ

(x0x0

). (1.3.6)

Обозначим затем через y(t) функцию x0(t + T ). Очевидно, y(t) есть ре-шение (1.3.1), причем, согласно (1.3.6),

(y(0)y(0)

)= µ

(x0(0)x0(0)

).

Из теоремы единственности решений последнее равенство влечет за со-бой тождество y(t) ≡ µx0(t), т.е. имеет место (1.3.5). Лемма доказана.

Лемма 1.3.2. Существует такая T -периодическая функция ϕ0(t),что

x0(t) ≡ ϕ0(t)eγt, (1.3.7)

гдеγ = (iδ + ln ρ)T−1. (1.3.8)

Доказательство. Положим

ϕ0(t) = x0(t)e−γt.



Тогда периодичность ϕ0(t) следует из леммы 1.3.1. Действительно,

ϕ0(t + T ) = x0(t + T )e−γt−γT = x0(t)eγT−γt−γT = x0(t)e

−γt = ϕ0(t). (1.3.9)

Из (1.3.9) непосредственно вытекает равенство (1.3.7). Лемма доказана.В том случае, когда матрица монодромии имеет два линейно незави-

симых собственных вектора, существуют два линейно независимых ре-шения (1.3.1), представимых в виде (1.3.7). Рассмотрим теперь случай,когда существует лишь один (с точностью до множителя) собственныйвектор (x0, x0). В этом случае необходимо µ1 = µ2 = µ = ρeiδ. Присоеди-ненный вектор обозначим через (x0, x0), т.е.

U

(x0x0

)= µ

(x0x0

), U

(x0

x0

)= µ

(x0

x0

)+

(x0x0

). (1.3.10)

Пусть x0(t) и x0(t) – решения уравнения (1.3.1) с начальными условиямиx0(0) = x0, x0(0) = x0; x0(0) = x0, x0(0) = x0. Из леммы 1.3.2 получаем,что

x0(t) = ϕ0(t)eγt, ϕ0(t + T ) ≡ ϕ(t), γ = (iδ + ln ρ)T−1.

Лемма 1.3.3. Существует такая T -периодическая функция ϕ0(t),что

x0(t) = ϕ0(t)eγt + atϕ0(t)eγt, a = (Teγt)−1. (1.3.11)

Доказательство. Как и в лемме 1.3.1, из условий (1.3.10) приходимк выводу, что

x0(t + T ) ≡ µx0(t) + x0(t).

Функцию ϕ0(t) определим равенством

ϕ0(t) = x0(t)e−γt − atϕ0(t). (1.3.12)

Как и при обосновании леммы 1.3.2, непосредственно устанавливаем пе-риодичность этой функции. Формула (1.3.11) есть следствие (1.3.12).Лемма доказана.

Основной результат настоящего параграфа состоит в получении кри-терия устойчивости решений в терминах мультипликаторов уравнения(1.3.1).

Теорема 1.3.1.1. Для асимптотической устойчивости решений (1.3.1) необходи-

мо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

| µi |< 1, i = 1, 2. (1.3.13)


§ 1.3. Уравнения с периодическими коэффициентами 17

2. Для устойчивости решений (1.3.1) необходимо и достаточно,чтобы выполнялись неравенства

| µi |≤ 1, i = 1, 2, (1.3.14)

и при | µ1 |=| µ2 |= 1 матрица монодромии имела два линейно незави-симых собственных вектора.

Доказательство. Общее решение (1.3.1) в том случае, когда матри-ца монодромии имеет два линейно независимых собственных вектора,дается формулой

x(t) = c1ϕ1(t)eγ1t + c2ϕ2(t)e

γ2t (1.3.15)

в случае, когда существует присоединенный вектор, формулой

x(t) = [c1ϕ1(t) + c2ϕ2(t) + c2tϕ1(t)] eγ1t. (1.3.16)

В (1.3.15) и (1.3.16) функции ϕ1(t) и ϕ2(t) периодичны, c1 и c2 - произ-вольные постоянные, γk = (iδk + ln ρk)T

−1 (k = 1, 2; µk = ρkeiδk). Условия

(1.3.13) означают, что Re γk < 0 (k = 1, 2). Последнее, в свою очередь,есть необходимое и достаточное условие стремления к нулю всех ре-шений (1.3.1) при t → ∞. Условие (1.3.14) эквивалентно неравенствамRe γi ≤ 0, а условие отсутствия присоединенного вектора у матрицымонодромии означает, что x(t) определяется формулой (1.3.15), а не(1.3.16). В заключение остается заметить, что при Re γ1 = Re γ2 = 0решение (1.3.16) при c2 6= 0 неограниченно. Теорема доказана.

Сделаем несколько замечаний. Сначала отметим, что для асимптоти-ческой устойчивости решений (1.3.1) необходимо выполнение неравен-ства

M(p) =1

T

T∫

0

p(s)ds > 0.

Это следует из (1.3.4) и (1.3.13). Если же M(p) < 0, то решения (1.3.1)неустойчивы. Пусть теперь M(p) = 0. Тогда для устойчивости решений(1.3.1) необходимо и достаточно, чтобы либо мультипликаторы µ1 и µ2были комплексными, либо µ1 = µ2 = ±1, и матрица U не имела присо-единенного вектора. Действительно, требование комплексности мульти-пликаторов вместе с равенством µ1µ2 = 1 означает, что | µ1 |=| µ2 |= 1и µ1 и µ2 различны (µ1 = µ2). Различным же собственным значениямотвечают линейно независимые собственные векторы матрицы U , т.е.присоединенного вектора быть не может.



§ 1.4. Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова

Настоящий параграф является центральным. В нем будут изложены ос-новные положения теории зон устойчивости А.М. Ляпунова. Приводи-мые здесь доказательства теорем принадлежат Э. Коддингтону и И. Ле-винсону [4] (глава 8, §3).

Рассмотрим дифференциальное выражение

x + p(t)x + [λr(t) + q(t)]x = 0, (1.4.1)

где λ — параметр. Здесь и далее T -периодические функции r(t) > 0(t ∈ [0, T ]) и q(t) непрерывны, p(t) непрерывно дифференцируема. Глав-ное ограничение на функцию p(t) состоит в том, что

M(p) =1

T

T∫

0

p(s)ds = 0. (1.4.2)

Значения λ, при которых уравнение (1.4.1) имеет (нетривиальное) реше-ние, удовлетворяющее периодическим краевым условиям

x(0) = x(T ), x(0) = x(T ), (1.4.3)

называются собственными значениями периодической краевой задачи.Аналогично, значения λ, при которых уравнение (1.4.1) имеет (нетриви-альное) решение, удовлетворяющее антипериодическим краевым услови-ям

x(0) = −x(T ), x(0) = −x(T ), (1.4.4)

называются собственными значениями антипериодической краевой зада-чи. Собственные значения задачи (1.4.1),(1.4.3) будем обозначать черезλ+, а собственные значения задачи (1.4.1),(1.4.4) — через λ−.

Введем в рассмотрение матрицу монодромии U(λ), мультипликаторыкоторой обозначим через µi(λ) (i = 1, 2). Напомним, что

det U(λ) = µ1(λ) · µ2(λ) = 1. (1.4.5)

Важным для дальнейшего будут следующие простые замечания: λ = λ+

тогда и только тогда является собственным значением периодическойкраевой задачи, когда

µ1(λ+) = µ2(λ

+) = 1, (1.4.6)


§ 1.4. Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова 19

и λ = λ− тогда и только тогда есть собственное значение антипериоди-ческой краевой задачи, когда

µ1(λ−) = µ2(λ

−) = −1. (1.4.7)

Нам понадобится еще след f(λ) матрицы монодромии, т.е.

f(λ) = µ1(λ) + µ2(λ). (1.4.8)

Отсюда и из (1.4.6) и (1.4.7) заключаем, что собственные значения пе-риодической (антипериодической) краевой задачи и только они являютсякорнями уравнения

f(λ) = 2 (f(λ) = −2). (1.4.9)

Основные утверждения, которые будут сформулированы в конце па-раграфа в виде теорем, явятся следствием приводимых ниже лемм.

Прежде всего в уравнении (1.4.1) произведем замену

x = ye− 1

2

t∫0

p(s)ds, (1.4.10)

в результате которой, переобозначая y = x, получим уравнение

x + [λr(t) + g(t)]x = 0, (1.4.11)

где

g(t) = q(t)− 1

2p(t)− 1

4p2(t).

Из (1.4.2) следует, что при замене (4.12) собственные значения пери-одической и антипериодической краевых задач для уравнения (1.4.11) теже, что и для уравнения (1.4.1). Поэтому в дальнейшем будем рассмат-ривать уравнение (1.4.11).

Лемма 1.4.1. Все собственные значения рассматриваемых крае-вых задач вещественны.

Доказательство. Достаточно установить справедливость леммы дляλ+, поскольку λ− является в то же время собственными значениями пе-риодической с периодом 2Т краевой задачи для того же уравнения. Итак,пусть λ+ — собственное значение, а x+(t) — отвечающая ему собствен-ная функция. Поступим так же, как и при обосновании соответствующе-го утверждения в §1.2. Положим в (1.4.11) λ = λ+, x = x+(t) и умножимкаждое слагаемое этого уравнения на x+(t). После этого проинтегриру-ем полученное выражение от 0 до Т и вычтем аналогичное выражение,



которое получается при замене λ+ на λ+и x+(t) на x+(t). В результате

получим

(λ+ − λ+)

T∫

0

r(t)x+(t)x+(t)dt = 0.

Отсюда следует, что λ+ = λ+, т.е. λ+ вещественно. Лемма доказана.

Введем далее в рассмотрение для уравнения (1.4.11) еще одну крае-вую задачу

x(0) = x(T ) = 0. (1.4.12)

Эта краевая задача, принадлежащая классу краевых задач Штурма-Лиувилля, называется первой. Из результатов §1.2 вытекает, что су-ществует бесконечно много собственных значений µj (j = 0, 1, . . .) этойкраевой задачи, причем

µ0 < µ1 < µ2 < . . . (1.4.13)

каждому λ = µ отвечает собственная функция, имеющая ровно j нулейна интервале (0,Т). Количество же нулей этой функции на отрезке [0,Т]равно, очевидно, j + 2.

Обозначим, наконец, через ν0 наименьшее собственное значение кра-евой задачи для уравнения (1.4.11) и краевых условий

x(0) = x(T ) = 0.

Согласно результатам §1.2, собственная функция x(t, ν0) для этого соб-ственного значения положительна на [0,Т]. Отсюда и из теоремы срав-нения §1.1 получаем неравенство

ν0 < µ0.

Следующие утверждения посвящены детальному анализу поведения сле-да матрицы монодромии.

Лемма 1.4.2. Имеют место неравенства

f(ν0) ≥ 2, f(µ2i) ≤ −2, f(µ2i+1) ≥ 2, i = 0, 1, . . . (1.4.14)

Доказательство. Обозначим через x1(t, λ) и x2(t, λ) решения (1.4.11)с начальными условиями

x1(0, λ) = 1, x1(0, λ) = 0; x2(0, λ) = 0, x2(0, λ) = 1.



Из определения матрицы монодромии для ее следа f(λ) кроме формулы(1.4.8) верно представление

f(x) = x1(T, λ) + x2(T, λ). (1.4.15)

Пусть теперь λ = µi. Тогда функция x2(t, µi) является собственнойфункцией первой краевой задачи. Это означает, что x2(T, µi) = 0 иx2(t, µi) имеет ровно i нулей на (0,Т). Таким образом,

(−1)i+1x2(T, µi) > 0. (1.4.16)

Учтем еще равенство (1.4.5), которое имеет вид

x1(T, λ)x2(T, λ)− x1(T, λ)x2(T, λ) = 1. (1.4.17)

Тогда при λ = µi отсюда находим, что

x2(T, µi) =1

x1(T, µi).

Подставляя последнее равенство в (1.4.15), получим

f(µi) = x1(T, µi) +1

x1(T, µi).

Отсюда и из (1.4.16) вытекает обоснование неравенств

f(µ2i) ≤ −2, f(µ2i+1) ≥ 2, i = 0, 1, . . .

Пусть теперь λ = ν0. Тогда x1(t, ν0) является собственной функ-цией, отвечающей этому собственному значению, причем x1(t, ν0) > 0(t ∈ [0, T ]), x1(T, ν0) = 0. Формула (1.4.17) при λ = ν0 принимает болеепростой вид:

x1(T, ν0)x2(T, ν0) = 1.

Отсюда находим, что

f(ν0) = x1(T, ν0) +1

x1(T, ν0)≥ 2.

Лемма доказана.Лемма 1.4.3. Пусть λ0 - корень одного из уравнений (1.4.9), при-

чем λ0 6= µi (i = 0, 1, . . .). Тогда,



во-первых, λ0 есть простое собственное значение для краевыхусловий (1.4.3) или (1.4.4) и,

во-вторых, f ′(λ0) < 0, если λ0 < µ0 и (−1)if ′(λ0) > 0, еслиµi < λ < µi+1

(f ′ = df

dλ

).

Доказательство. Выразим f ′(λ) через функции x1(t, λ) и x2(t, λ).Для этого рассмотрим сначала функцию u(t, λ) = ∂x1(t,λ)

∂λ . Очевидно,u(0, λ) = u(0, λ) = 0 и

u + (λr(t) + g(t))u = −r(t)x1(t, λ).

Из формулы вариации произвольной постоянной получаем

u(t, λ) =

t∫

0

[x1(t, λ)x2(τ, λ)− x1(τ, λ)x2(t, λ)] r(τ)x1(τ, λ)dτ.

Отсюда

∂x1(T, λ)

∂λ= u(T, λ) =

=T∫0

[x1(T, λ)x2(τ, λ)− x1(τ, λ)x2(T, λ)] r(τ)x1(τ, λ)dτ.(1.4.18)

Аналогично находим

∂x2(T, λ)

∂λ=

T∫

0

[x1(T, λ)x2(τ, λ)− x1(τ, λ)x2(T, λ)] r(τ)x2(τ, λ)dτ.

Складывая последние два выражения, получаем равенство

f ′(λ) =T∫0

{x2

2(τ, λ)x1(T, λ) + x2(τ, λ)x1(τ, λ) [x1(T, λ)−− x2(T, λ)]− x2

1(τ, λ)x2(T, λ)}

r(τ)dτ.

(1.4.19)

Выражение, стоящее в фигурной скобке (1.4.19), является квадратичнойформой относительно x1(τ, λ) и x2(τ, λ). Эта форма не меняет знака,если [x1(T, λ) − x2(T, λ)]2 + 4x1(T, λ)x2(T, λ) ≤ 0. Учитывая (1.4.17), этонеравенство можно переписать в виде

[x1(T, λ) + x2(T, λ)]2 ≤ 4. (1.4.20)



Итак, при условии −2 < f(λ) < 2 фигурная скобка имеет определенныйзнак. Если f(λ) = 2 или −2, то, с точностью до множителя −1, этаскобка есть точный квадрат и f ′(λ) может обратиться к нулю лишьтогда, когда фигурная скобка тождественно по τ равна нулю.

Пусть λ = λ0, где λ0 удовлетворяет условиям леммы. Тогда, очевидно,x2(T, λ0) 6= 0, а значит, фигурная скобка в (1.4.19) не равна тождествен-но нулю, причем знак f ′(λ0) совпадает со знаком величины −x2(T, λ0).Пользуясь опять теоремой сравнения §1.1, находим, что имеет местонеравенство

(−1)ix2(T, λ0) < 0, если µi < λ0 < µi+1.

Тем самым доказательство леммы завершено.В том случае, когда f(µi) = ±2 и f ′(µi) 6= 0, число λ = µi есть простое

собственное значение краевой задачи (1.4.1), (1.4.3) или (1.4.1), (1.4.4).Лемма 1.4.4. Пусть для некоторого номера i

(−1)i+1f(µi) = 2, f ′(µi) = 0. (1.4.21)

Тогда, во-первых, µi является кратным собственным значением для(1.4.1), (1.4.3), если i нечетно, и для (1.4.1), (1.4.4), если i четно, при-чем значению λ = µi отвечают две линейно независимые собственныефункции. Во-вторых, имеет место неравенство

(−1)i+1f ′′(µi) < 0. (1.4.22)

Доказательство. Предположим для определенности, что i нечетно.Из соотношений (1.4.21) вытекает, что каждое слагаемое, стоящее вфигурных скобках (1.4.19), есть тождественный нуль, т.е.

x2(T, µi) = x1(T, µi) = 0, x1(T, µi) = x2(T, µi) = 1. (1.4.23)

Обозначим для краткости

ϕλ =∂x(T, λ)

∂λ, ϕλ =

∂x(T, λ)

∂λ, ψλ =

∂x2(T, λ)

∂λ, ψλ =

∂x2(T, λ)

∂λ.

Тогдаf ′′(λ) = ϕλλ + ψλλ. (1.4.24)

Продифференцировав (1.4.17) по λ, получим

x1(T, λ)ψλ + x2(T, λ)ϕλ − x(T, λ)ψλ − x2(T, λ)ϕλ = 0. (1.4.25)



Учитывая здесь (1.4.23), приходим к выводу, что

ϕλ = −ψλ, λ = µi. (1.4.26)

Дифференцируя снова (1.4.25) и используя (1.4.23) и (1.4.26), находим

2ψλϕλ + 2ϕ2λ − ψλλ − ϕλλ = 0, λ = µi.

Выражая отсюда ϕλλ+ ψλλ и подставляя найденное выражение в (1.4.24),получим новое представление для f ′′(λ):

f ′′(µi) = 2[ϕ2

λ(µi) + ψλ(µi)ϕλ(µi)]. (1.4.27)

Для величин, фигурирующих в правой части (1.4.27), можно полу-чить формулы, аналогичные (1.4.18), выражающие их через x1(t, λ) иx2(t, λ).

Так, например, используя (1.4.23) и (1.4.18), придем к следующемусоотношению:

ϕλ =

T∫

0

x1(τ, µi)x2(τ, µi)r(τ)dτ.

Аналогично найдем

ψλ =

T∫

0

x22(τ, µi)r(τ)dτ, ϕλ = −

T∫

0

x21(τ, µi)r(τ)dτ.

В итоге выражение для f ′′(µi) принимает вид

f ′′(µi) = 2

[(T∫0

x1(τ, µi)x2(τ, µi)r(τ)dτ

)2

−(

T∫0

x21(τ, µi)r(τ)dτ

)×

×(

T∫0

x22(τ, µi)r(τ)dτ

)].

(1.4.28)Из неравенства Коши-Буняковского вытекает, что правая часть(1.4.28) неположительна, причем равенство нулю возможно лишь приx1(τ, µi) ≡ x2(τ, µi). Последнее же места не имеет в силу линейной неза-висимости решений. Тем самым, установлено неравенство f ′′(µi) < 0.Лемма доказана.

На основании результатов лемм 1.4.2 — 1.4.4 можно заключить, чтографик функции f(λ) имеет вид, представленный на рисунке 1.1.



Рис. 1.1

Таким образом, непосредственным следствием этих лемм являетсясуществование бесконечных последовательностей собственных значенийλ+

n (n = 0, 1, . . .) и λ−n (n = 1, 2, . . .) периодической и антипериодическойкраевых задач, причем

λ+0 < λ−1 ≤ µ0 ≤ λ−2 < λ+

1 ≤ µ1 ≤ λ+2 < λ−3 ≤ µ2 ≤ λ−4 < λ+

3 ≤ . . . (1.4.29)

Собственные функции, отвечающие λ+n и λ−n , обозначим через x+

n (t)и x−n (t) соответственно. Изучим теперь осцилляционные свойства этихфункций.

Лемма 1.4.5. Функция x+0 (t) не имеет нулей на [0,Т]; функции

x+2n+1(t) и x+

2n+2(t) (n = 0, 1, . . .) имеют каждая точно 2n + 2 нулейна полуинтервале [0,Т), а функции x−2n+1(t) и x−2n+2(t) имеют каждаяточно 2n + 1 нулей на [0,Т).

Доказательство. В силу краевых условий функция x+n (t) имеет чет-

ное число нулей, а x−n (t) - нечетное. Собственными функциями для кра-евых условий (1.4.11) являются x2(t, µn) с n нулями на интервале (0,Т).Поскольку λ+

0 < µ0, то функция x+0 (t) не может иметь (по теореме 1.1.1)

двух нулей на [0,Т), а так как число нулей x+0 (t) на этом полуинтервале

четно, то это число должно быть нулем.Далее, из неравенств

µ2n < λ+2n+1 ≤ λ+

2n+2 < µ2n+2, (n ≥ 0)

следует, что функции x+2n+1(t) и x+

2n+2(t) имеют более 2n+1 нулей и менее2n+4 нулей на [0,Т), т.е. точно 2n+2. Для функций x−n (t) рассужденияаналогичны. Лемма доказана.

Подведем итог сказанному в этом параграфе.



Теорема 1.4.1. Существует бесконечно много собственных зна-чений λ+

n (n = 0, 1, . . .) периодической краевой задачи и λ−n (n = 1, 2, . . .)антипериодической краевой задачи, все из которых вещественные,причем имеют место неравенства

−∞ < λ+0 < λ−1 ≤ λ−2 < λ+

1 ≤ λ+2 < λ−3 ≤ λ−4 < λ+

3 ≤ λ+4 < . . . .

Для λ = λ+0 существует единственная (с точностью до множите-

ля) собственная функция x+0 (t). Если для некоторого номера n име-

ет место неравенство λ+2n+1 < λ+

2n+2, то существуют единственныесобственные функции x+

2n+1(t) и x+2n+2(t). Если же λ+

2n+1 = λ+2n+2, то

существуют две линейно независимые собственные функции x+2n+1(t)

и x+2n+2(t). Далее, функция x+

0 (t) не имеет нулей на [0,Т]; x+2n+1(t) и

x+2n+2(t) имеют точно по 2n + 2 нулей на [0,Т). Аналогичные резуль-таты имеют место для функций x−n (t) с той лишь разницей, чтоx+

2n+1(t) и x−2n−2(t) имеют по 2n + 1 нулей на [0,Т).Изучим в заключение вопрос об устойчивости решений при различ-

ных значениях λ.Теорема 1.4.2. Пусть значение параметра λ таково, что для

некоторого n

1. λ ≤ λ+0 или λ±2n+1 ≤ λ ≤ λ±2n+2 (λ±2n+1 6= λ±2n+2). (1.4.30)

Тогда решения уравнения (1.4.1) неустойчивы.

2. λ = λ±2n+1 = λ+2n+2 или λ−2n+2 < λ < λ+

2n+1 или λ+2n < λ < λ−2n+1.(1.4.31)

Тогда решения (1.4.1) устойчивы.

Отметим, что промежутки (−∞, λ+0 ], [λ±2n+1, λ

±2n+2] (n = 0, 1, . . .)

называются зонами неустойчивости решений (1.4.1), а промежутки(λ+

2n, λ−2n+1) и (λ−2n+2, λ

+2n+1) (n = 0, 1, . . .) называются зонами устойчи-

вости.Доказательство теоремы. Сначала обоснуем первое утверждение

теоремы. Пусть в (1.4.30) неравенства строгие. Тогда, как следует изсвойств следа f(λ) матрицы монодромии, имеет место неравенство

| f(λ) |> 2.

Отсюда и из (1.4.5) и (1.4.8) вытекает, что мультипликаторы веществен-ны и один из них по модулю превосходит 1. Для доказательства неустой-чивости решений (1.4.1) в этом случае остается сослаться на теорему1.3.1.



Пусть теперь λ = λ±2n+1 или λ = λ±2n+2, причем λ±2n+1 6= λ±2n+2. В этомслучае оба мультипликатора равны +1 или −1, а уравнение (1.4.1) имеетлишь одно (с точностью до множителя) периодическое решение. Поэтомунайдется решение x(t), которое согласно лемме 1.3.3 имеет вид

x(t) = tϕ1(t) + ϕ2(t),

где периодические функции ϕ1(t) и ϕ2(t) не равны тождественно нулю.Наличие неограниченного решения, очевидно, влечет за собой неустой-чивость решений.

Докажем затем второе утверждение теоремы. При вычислении пер-вого из условий (1.4.31) существуют два линейно независимых периоди-ческих решения уравнения (1.4.1). Отсюда следует устойчивость. Еслиже выполнены второе или третье условия (1.4.31), то, как было пока-зано ранее, | f(λ) |< 2. Учитывая, наконец, (1.4.5) и (1.4.8) получаем,что оба мультипликатора равны по модулю 1 и различны (комплексносопряжены).

Устойчивость решений теперь следует из теоремы 1.3.1. Теорема до-казана.

Уравнение вида (1.4.1) при условии (1.4.2) будем в дальнейшем назы-вать самосопряженным, а при условии M(p) > 0 — несамосопряженным.

В заключение отметим один интересный факт. Между собственнымизначениями λ+

n , λ−n и собственными значениями первой краевой задачисуществует более тесная связь. Обозначим через µn(α) (n = 0, 1, . . .) соб-ственные значения первой краевой задачи на отрезке [α, α + T ].

Лемма 1.4.6. Имеют место равенства

λ+2n+1 = min

α∈[0,T ]µ2n+1(α), λ+

2n+2 = maxα∈[0,T ]

µ2n+1(α),

λ−2n+1 = minα∈[0,T ]

µ2n(α), λ−2n+2 = maxα∈[0,T ]

µ2n(α),

где n = 0, 1, . . ..Доказательство. Достаточно установить, что каждое значение λ из

промежутков[λ+

2n+1, λ+2n+2

]или

[λ−2n+1, λ

−2n+2

](n = 0, 1, . . .) является

собственным значением одной из рассматриваемых первых краевых за-дач.

При указанных λ мультипликаторы (1.4.1) вещественны. Поэтому су-ществует такое решение x(t, λ) 6= 0 и такое ненулевое число µ(λ), что

x(t + T, λ) = µ(λ)x(t, λ). (1.4.32)



Далее, из осцилляции решений (1.4.1) следует, что найдется такоеτ(λ) ∈ [0, T ], что

x(τ(λ), λ) = 0.

Отсюда и из (1.4.32) получаем, что x(t, λ) является собственной функ-цией первой краевой задачи на отрезке [τ(λ), τ(λ) + T ], а λ являетсясобственным значением этой же краевой задачи. Лемма доказана.

§ 1.5. Об одном критерии неустойчивостирешений

В этом параграфе на основе предыдущих результатов будет полученнеобходимый и достаточный критерий неустойчивости решений в тер-минах „пробных“ функций. Этот критерий будет использован в дальней-шем.

1. Постановка задачи и формулировка результатов.Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

x + p(t)x + q(t)x = 0 (1.5.1)

с Т-периодическими коэффициентами. Будем предполагать, что выпол-нено неравенство

M(p) ≥ 0. (1.5.2)

Для сокращения записи удобно считать, что Т = 1. Это не ограничиваетобщности. В самом деле, в уравнении (1.5.1) можно выполнить заменувремени t = T · τ , которая приводит к уравнению вида

d2x

dτ 2 + p(τ)dx

dτ+ q(τ)x = 0.

Здесь функции p(τ) = Tp(Tτ) и q(τ) = T 2p(Tτ) уже периодичны по τ спериодом 1.

Отметим еще, что всюду ниже рассматриваются периодические функ-ции лишь с периодом 1.

Прежде чем сформулировать основной результат настоящего пара-графа, введем ряд обозначений. Ниже будут фигурировать функцииv0(t), v1(t) и v2(t), которые обладают следующими свойствами. Во-первых, функция v0(t) периодична, а функции v1(t) и v2(t) либо обепериодичны, либо обе антипериодичны. Во-вторых, v0(t) положительна,


§ 1.5. Об одном критерии неустойчивости решений 29

а v1(t) и v2(t) имеют одинаковое число m > 0 нулей на полуинтервале[0, 1). Наконец, в-третьих, справедливо дифференциальное равенство

vi(t) + p(t)vi(t) +[q(t) + (−1)iϕi(t)

]vi(t) = 0, i = 0, 1, 2, (1.5.3)

где непрерывные периодические функции ϕi(t) неотрицательны иϕi(t) 6≡ 0 (i = 0, 1, 2).

Будем говорить, что решения (1.5.1) не осциллируют на отрезке [0, 1],если среди решений этого уравнения найдется решение, не имеющее ну-лей на [0, 1]. В противном случае будем говорить, что решения осцилли-руют.

Теорема 1.5.1. Пусть решения уравнения (1.5.1) не осциллируютна отрезке [0, 1]. Тогда его решения неустойчивы в том и только томслучае, если существует функция v0(t) с описанными выше свойства-ми.

Теорема 1.5.2. Пусть решения уравнения (1.5.1) осциллируют наотрезке [0, 1]. Тогда его решения неустойчивы в том и только томслучае, когда существует пара функций v1(t) и v2(t) с описаннымивыше свойствами.

Отметим, что при условии M(p) = 0 обоснование сформулированныхтеорем можно непосредственно получить из теории зон устойчивостиА.М. Ляпунова (см., например, [5], с. 584). В этом случае существует ианалогичный критерий устойчивости. В случае M(p) > 0 теорема 1.5.1впервые приведена в [6], а теорема 1.5.2 - в [7]. Обращаем внимание,что в последнем случае подобного критерия устойчивости не существует.

Следующие 8 пунктов посвящены обоснованию теоремы 1.5.2, а впоследнем пункте доказывается теорема 1.5.1. При этом в первых семипунктах обосновывается достаточность условий неустойчивости.

2. Предварительные построения.Сделаем сначала одно дополнительное предположение, которое будет

снято в пункте 9. Будем считать, что

ϕ1(t) · ϕ2(t) 6≡ 0. (1.5.4)

Введем в рассмотрение линейное дифференциальное уравнение

x + p(t) + q(t, λ)x = 0. (1.5.5)

Свойства функции q(t, λ), которые мы сейчас опишем, будут играть важ-ную роль при доказательстве теоремы 1.5.2. Во-первых, эта функция



непрерывно дифференцируема по λ и, кроме того, для каждого λ ∈ [−2, 2]выполнены соотношения

qλ(t, λ) =∂q(t, λ)

∂λ≥ 0, qλ(t, λ) 6≡ 0. (1.5.6)

Во-вторых, выполнены равенства

q(t,−1) ≡ q(t)− ϕ1(t), q(t, 0) ≡ q(t), q(t, 1) ≡ q(t) + ϕ2(t).

Третье свойство заключается в том, что имеют место неравенства

q(t,−2) < 0, (1.5.7)

q(t, 2) ≥ c0, (1.5.8)

где c0 > 0 - некоторое число, выбором которого распорядимся позже.Легко видеть, что функция q(t, λ), обладающая нужными свойствами,существует. Например, можно положить

q(t, λ) =

[ϕ1(t)− δ0ϕ1(t)ϕ2(t)] λ3+

+d0(λ + 1)3 + λδ0ϕ1(t)ϕ2(t) + q(t), λ ∈ [−2,−1],[ϕ1(t)− δ0ϕ1(t)ϕ2(t)] λ

3++λδ0ϕ1(t)ϕ2(t) + q(t), λ ∈ (−1, 0],

[ϕ2(t)− δ0ϕ1(t)ϕ2(t)] λ3+

+λδ0ϕ1(t)ϕ2(t) + q(t), λ ∈ (0, 1],[ϕ2(t)− δ0ϕ1(t)ϕ2(t)] λ

3++d0(λ− 1)3 + λδ0ϕ1(t)ϕ2(t) + q(t), λ ∈ (1, 2],

(1.5.9)

а положительные постоянные δ0 и d0 можно определить здесь так, чтобывыполнялись соотношения

δ0 <

[max

(maxt∈[0,1]

ϕ1(t), maxt∈[0,1]

ϕ2(t)

)]−1

, d0 ≥ c0 + maxt∈[0,1]

| q(t) | .

Доказательство теоремы основано на анализе поведения мультипли-каторов ν1(λ) и ν2(λ) уравнения (1.5.5). Условимся для определенностисчитать, что

| ν1(λ) |≥| ν2(λ) |, λ ∈ [−2, 2].

Тогда из (1.5.2) и (1.5.3) вытекают равенства

ν1(−1) = ν2(1) = (−1)m. (1.5.10)



Отметим, что здесь в правой части стоит знак ’+’, если функцииv1(t) и v2(t) периодические, и знак ’–’, если функции антипериодические.Обоснование достаточности будет получено, если покажем, что

| ν1(λ) |> 1, когда λ ∈ (−1, 1). (1.5.11)

Введем в рассмотрение самосопряженное дифференциальное уравне-ние

y +

[q(t, λ)− 1

2p(t)− 1

4p2(t)

]y = 0, (1.5.12)

которое получается из (1.5.5), а это будет особенно важно, при помощизамены

x = ye− 1

2

t∫0

p(τ)dτ. (1.5.13)

Обозначим через y1(t, τ, λ) и y2(t, τ, λ) решения уравнения (1.5.12) с на-чальными условиями

y1(τ, τ, λ) = y2(τ, τ, λ) = 1, y1(τ, τ, λ) = y2(τ, τ, λ) = 0.

Функцияf(λ) = y1(τ + 1, τ, λ) + y2(τ + 1, τ, λ) (1.5.14)

является следом матрицы монодромии (1.5.12) и поэтому не зависит от τ .Исследование свойств f(λ) занимает центральное место при доказатель-стве теоремы 1.5.2. Порядок дальнейших рассуждений таков. Сначалапокажем, что функция | f(λ) | ведет себя на некотором отрезке [λ0, λ

0]так, как это показано на рис. 1.2.

Рис. 1.2

Сформулируем точно нужный факт: найдутся два таких числаλ0 ∈ (−2,−1] и λ0 ∈ [1, 2), что



1. f(λ0) = f(λ0) = 2 · (−1)m. (1.5.15)

2. (−1)mf(λ0) > 2, λ ∈ (λ0, λ0). (1.5.16)

3. Функция f ′(λ) = ∂f(λ)∂λ имеет не более одного нуля на интервале

(λ0, λ0).

Отметим, что особую трудность составляет обоснование последнегосвойства. Отсюда уже легко будет следовать справедливость неравенства(1.5.11). Действительно, пусть µ1(λ) и µ2(λ) — мультипликаторы уравне-ния (1.5.12). Пусть для определенности | µ1(λ) |≥| µ2, (λ) | (λ ∈ [−2, 2]).Тогда, с одной стороны, из равенства (1.5.13) получаем, что

ν1(λ) = µ1(λ)e− 1

2

1∫0

p(t)dt, (1.5.17)

а с другой, в силу определения f(λ), что

f(λ) = µ1(λ) +1

µ1(λ). (1.5.18)

Далее, так как | µ1(λ) | есть монотонно возрастающая функция | f(λ) |при | µ1(λ) |≥ 1, т.е. при λ ∈ [λ0, λ

0], то в силу (1.5.10)

(−1)mµ1(λ) > (−1)mµ1(−1) = (−1)mµ1(1), λ ∈ (−1, 1). (1.5.19)

Неравенство (1.5.11) является теперь непосредственным следствиемнеравенства (1.5.19) и равенств (1.5.10) и (1.5.17).

3. Вспомогательное утверждение.Утверждение этого пункта будет использовано ниже для установле-

ния нужных свойств функции f(λ).Пусть xτ(t, λ) - решение уравнения (1.5.12), обращающееся в нуль в

точке τ . Введем в рассмотрение функцию ψk(τ, λ), равную расстояниюот τ до k-го следующего нуля функции xτ(t, λ). Из теоремы сравнения(§1.1) вытекает, что при любых k и τ функция ψk(τ, λ) монотонно убы-вает по λ. Далее, если при некотором λ = λ мультипликаторы (1.5.12)комплексны, то найдется такой номер k0, что

maxτ∈[0,1]

ψk0(τ, λ) < 1, min

τ∈[0,1]ψk0+1(τ, λ) > 1.



Действительно, в предположении противного существует такой номер k0и такая точка τ0 ∈ [0, 1], что ψk0

(τ0, λ) = 1. Отсюда вытекает существова-ние такого вещественного числа µ0 6= 0, что

xτ0(t + 1, λ) ≡ µ0xτ0

(t, λ),

т.е. µ0 является вопреки предположению, вещественным мультипликато-ром (1.5.12).

Отметим еще, что необходимым и достаточным условием принадлеж-ности значения λ = λ зоне устойчивости является в случае осцилляциирешений выполнение неравенств

maxτ∈[0,1]

ψk0(τ, λ) ≥ 1, min

τ∈[0,1]ψk0

(τ, λ) ≤ 1

для некоторого k0 > 0. Наконец, значения λ = λ1 и λ = λ2 являютсясоответственно левой и правой границами зоны неустойчивости, если

minτ∈[0,1]

ψk0(τ, λ1) = 1, max

τ∈[0,1]ψk0

(τ, λ2) = 1.

Значения λ1 и λ2 являются собственными значениями периодической илиантипериодической краевой задачи.

4. Существование чисел λ0 и λ0, фигурирующих в (1.5.15).При λ = −2 функция q(t,−2) неположительна. Поэтому при этом

значении λ решения (1.5.12) не осциллируют. С другой стороны, при

λ = −1 это уравнение имеет решение y = v1(t)e12

t∫0

p(s)ds, обращающееся

в нуль на [0, 1) ровно m > 0 раз. С помощью утверждений предыдущегопункта отсюда выводим существование такого λ0 ∈ (−2,−1], что

maxτ∈[0,1]

ψm(τ, λ0) = 1, minτ∈[0,1]

ψm(τ, λ0) < 1.

При этом имеет место неравенство

(−1)mf(λ) > 2, λ ∈ (λ0,−1]. (1.5.20)

Прежде чем доказывать существование λ0 из (1.5.15), определим ве-личину c0 в (1.5.8). Положим

c0 = π2(m + 2)2 + maxt∈[0,1]

(1

2| p(t) | +1

4p2(t)

).



При таком выборе c0 имеет место неравенство

q(t, 2)− 1

2p(t)− 1

4p2(t) ≥ π2(m + 2)2.

Поэтому количество нулей на [0, 1] решений уравнения (1.5.12) при λ = 2не менее m + 2.

Таким образом, ψm+2(τ, 2) < 1, а max ψm(τ, 1) ≥ 1. Отсюда найдетсятакое λ0 ∈ [1, 2), что

maxτ∈[0,1]

ψm(τ, λ0) = 1.

При этом имеет место неравенство

(−1)mf(λ) > 2, λ ∈ [1, λ0), (1.5.21)

аналогичное (1.5.20).5. Обоснование неравенства (1.5.16).Предположим противное, т.е. пусть найдется такое λ ∈ (−1, 1), что

| f(λ) |= 2. Обозначим через τ1 и τ2 точки из отрезка [0, 1], в которыхфункции v1(t) и v2(t) обращаются в нуль соответственно. Очевидно,

ψm(τ1,−1) = −1.

Из определения λ тогда вытекает равенство

maxτ∈[0,1]

ψm(τ, λ) = 1.

Наконец, из монотонности ψm(τ, λ) по λ заключаем, что для λ > λ

maxτ∈[0,1]

ψm(τ, λ) < 1.

Однако, в точке τ = τ2 верно равенство ψm(τ2, 1) = 1. Получено противо-речие. Таким образом, неравенство (1.5.16) доказано.

6. Одно вспомогательное неравенство.Пусть для некоторого λ ∈ (λ0, λ

0) выполнено условие

f ′(λ) = 0. (1.5.22)

Тогда из самого определения мультипликаторов следует существованиеединственного (с точностью до множителя) решения y2(t, λ) уравнения(1.5.12), для которого

y2(t + 1, λ) ≡ µ2(λ)y2(t, λ), λ ∈ (λ0, λ0). (1.5.23)



Обозначим через τ0 ∈ [0, 1) точку, в которой y2(t, λ) обращается в нуль,и будем считать, что y2(τ0, λ) = 1. Через y1(t, λ) обозначим решение(1.5.12), для которого y1(τ0, λ) = 1, y1(τ0, λ) = 0. Из (1.5.23) вытекает,что

y2(τ0 + 1, λ) = 0, y2(τ0 + 1, λ) = µ2(λ), (1.5.24)

а из формул (1.5.14) и (1.5.18) получаем равенство

y1(τ0 + 1, λ) = µ1(λ). (1.5.25)

Основным содержанием этого пункта является следующий результат.Лемма 1.5.1. Из условия (1.5.22) следует оценка

∣∣∣∣∣∣

τ0+n∫

τ0

y1(τ, λ)y2(τ, λ)qλ(τ, λ)dτ

∣∣∣∣∣∣≤ c, n = 1, 2, . . . , (1.5.26)

где постоянная c > 0 не зависит от n.Доказательство. Без потери общности можно считать, что τ0 = 0.

Действительно, при τ0 6= 0 в уравнении (1.5.12) следует произвести за-мену времени ξ = t − τ0 и обозначить ξ снова буквой t, а функцииq(ξ + τ0, λ), p(ξ + τ0), p(ξ + τ0), обозначить опять через q(t, λ), p(t) и p(t)соответственно.

Введем в рассмотрение фундаментальную матрицу U(t, λ) решенийуравнения (1.5.12). Тогда след fn(λ) матрицы U(n, λ) выражается следу-ющими двумя формулами:

fn(λ) = µn1(λ) + µn

2(λ) (1.5.27)

иfn(λ) = y1(n, λ) + y2(n, λ).

Из (1.5.27) вытекает, что все нули функции f ′n(λ) при λ ∈ (λ0, λ0) и

только они являются в то же время нулями функции f ′(λ). Отсюда, вчастности, следует, что

f ′n(λ) = 0. (1.5.28)

Подобно выражению (1.4.18), для функции fn(λ) справедливо интеграль-ное представление

f ′n(λ) =

n∫

0

{y2

2(τ, λ)y1(n, λ) + y2(τ, λ)y1(τ, λ) [y1(n, λ)−

− y2(n, λ)]− y21(τ, λ)y2(n, λ)

}qλ(τ, λ)dτ.

(1.5.29)



Учитывая здесь равенства (1.5.24), (1.5.25) и (1.5.28), приходим к равен-ству

0 =

n∫

0

{y2

2(τ, λ)y1(n, λ) + y2(τ, λ)y1(τ, λ)[µn

1(λ)− µn2(λ)

]}×

× qλ(τ, λ)dτ.

(1.5.30)

Из (1.5.23) и из условия | µ2(λ) |< 1 вытекает следующая оценка дляинтеграла от первого слагаемого в правой части (1.5.30):

∣∣∣∣∣∣

n∫

0

y22(τ, λ)y1(n, λ)qλ(τ, λ)dτ

∣∣∣∣∣∣≤ c1 | y1(n, λ) |,

где c1 > 0 не зависит от n. В свою очередь, правая часть здесь, очевидно,допускает оценку

| y1(n, λ) |≤ c2 | µn1(λ) | . (1.5.31)

Но тогда из неравенства (1.5.30) получаем, что при больших значенияхn выполнено неравенство

∣∣∣∣∣∣[µn

1(λ)− µn2(λ)

] n∫

0

y2(τ, λ)y1(τ, λ)qλ(τ, λ)dτ

∣∣∣∣∣∣≤ c1 · c2 | µn

1(λ) | .

Отсюда и из условия | µ1(λ) |> 1 непосредственно следует оценка(1.5.26). Лемма доказана.

7. Единственность нуля функции f ′(λ) при λ ∈ (λ0, λ0).

Нужное утверждение будет следовать из приводимой ниже леммы.Лемма 1.5.2. Из условия f ′(λ) = 0 при λ ∈ (λ0, λ

0) вытекаетнеравенство

(−1)mf ′′(λ) < 0,

(f ′′(λ) =

d2f(λ)

dλ2

). (1.5.32)

Доказательство. Прежде всего отметим формулу

f ′′n(λ) = nµ′′1(λ)[µn−1

1 (λ)− µn+12 (λ)

],

которая следует из (1.5.27) и (1.5.18). Отсюда вытекает, что знак функ-ций в точке f ′′n(λ) в точке λ = λ один и тот же при всех n = 1, 2, . . ..



Поэтому можно ограничиться рассмотрением случая, когда n достаточновелико. Поступая так же, как и при выводе формулы (1.4.27), получимпри λ = λ следующее выражение для f ′′n(λ):

f ′′n(λ) = I1n + I2

n,


I1n =

2y1(n, λ)

n∫

0

y1(τ, λ)y2(τ, λ)

τ∫

0

y22(ξ, λ)qλ(ξ, λ)dξqλ(τ, λ)dτ−

−n∫

0

y22(τ, λ)

τ∫

0

y1(ξ, λ)y2(ξ, λ)qλ(ξ, λ)dξqλ(τ, λ)dτ

×

×y1(n, λ)

n∫

0

y1(τ, λ)y2(τ, λ)qλ(τ, λ)dτ − µn2(λ)

n∫

0

y21(τ, λ)qλ(τ, λ)dτ

×

×n∫

0

y22(τ, λ)qλ(τ, λ)dτ − µn

2(λ)

n∫

0

y21(τ, λ)

τ∫

0

y22(ξ, λ)qλ(ξ, λ)dξqλ(τ, λ)dτ +

+

n∫

0

{y2

2(τ, λ)y1(n, λ)+ y2(τ, λ)y1(τ, λ)[µn

1(λ)− µn2(λ)

]}qλλ(τ, λ)dτ +

+ µn2(λ)

n∫

0

y22(τ, λ)

τ∫

0

y21(ξ, λ)qλ(ξ, λ)dξqλ(τ, λ)dτ, (1.5.33)

I2n = µn

1(λ)

n∫

0

y21(τ, λ)

τ∫

0

y22(ξ, λ)qλ(ξ, λ)dξqλ(τ, λ)dτ

. (1.5.34)

Величина I1n удовлетворяет оценке сверху

∣∣I1n

∣∣ ≤ c∣∣∣µn

1(λ)∣∣∣ , (1.5.35)

где c ≥ 0 не зависит от n. Это следует из того, что аналогичная оценкаверна для каждого слагаемого в (1.5.33). Поясним сказанное. Выражение



τ∫0

y22(τ, λ)qλ(τ, λ)dτ удобно представить в виде

τ∫

0

y22(τ, λ)qλ(τ, λ)dτ =

∞∫

0

y22(τ, λ)qλ(τ, λ)dτ −

∞∫

τ

y22(τ, λ)qλ(τ, λ)dτ.

Из (1.5.23) заключаем, что первый интеграл в правой части это-го равенства сходится, а второй не превосходит по модулю величиныc3 | µ2(λ) |2τ (c3 > 0 – некоторая постоянная, точное значение кото-рой нас не интересует). Отсюда и из леммы 1.5.1 вытекает, что первоеслагаемое, стоящее в первых квадратных скобках (1.5.33), ограниченонекоторой постоянной, не зависящей от n. Ограниченность второго сла-гаемого в тех же скобках следует опять из (1.5.23) и леммы 1.5.1. Длядоказательства оценки вида (1.5.35) для остальных слагаемых (1.5.33)достаточно заметить, что | y1(t, λ) |≤ c4 | µ1(λ) |t (t > 0).

Отрицательность величин (−1)mf ′′n(λ) будет следовать теперь из нера-венства (1.5.35) и из оценок

I2n < −c0n | µn

1(λ) |, если m четно,I2n > −c0n | µn

1(λ) |, если m нечетно.(1.5.36)

Здесь c0 > 0 не зависит от n. В справедливости (1.5.36) нетрудно убе-диться, используя выражение (1.5.34). Действительно, функция y1(t, λ)имеет вид

y1(t, λ) = ϕ1(t)eγ1t + ϕ2(t)e

−γ1t,

в котором ϕ1(t) и ϕ2(t) периодичны (с периодом, вообще говоря, равным2), а γ1 = ln | µ1(λ) |. Отсюда

τ∫

0

y21(ξ, λ)qλ(ξ, λ)dξ ≥ c4 | µ1(λ) |2τ , τ ≥ 1

и далееn∫

0

y22(τ, λ)

τ∫

0

y21(ξ, λ)qλ(ξ, λ)dξqλ(τ, λ)dτ ≥ c5n | µn

1(λ) | .

Если еще учесть, что первый множитель в (1.5.34) имеет знак, противо-положный знаку µ1(λ), то обоснование (1.5.36) вытекает из последнегонеравенства. Лемма доказана.



8. Завершение доказательства теоремы 1.5.2.Нам осталось доказать необходимость условий этой теоремы. Введем

в рассмотрение семейство уравнений

y +

[q(t) + λ− 1

2p(t)− 1

4p2(t)

]y = 0, (1.5.37)

зависящих от параметра λ. Из неустойчивости решений уравнения(1.5.1) следует, что решения (1.5.37) при λ = 0 и подавно неустойчивы,ибо последнее уравнение при λ = 0 получается из (1.5.1) в результа-те замены (1.5.13). При этом решения (1.5.37), как и решения (1.5.1),осциллируют на отрезке [0, 1]. Из результатов §1.4 вытекает тогда, чтосуществуют такое отрицательное и такое положительное значения λ, прикоторых (1.5.37) имеет периодические или антипериодические решения.Обозначим через λ1 наибольшее из таких отрицательных λ, а через λ1

– наименьшее из таких положительных λ. Далее заметим, что решенияуравнения

x + p(t)x + [q(t) + λ]x = 0

устойчивы, когда λ = λ1 и λ = λ1. Отсюда и из непрерывной зависи-мости мультипликаторов от параметра λ заключаем, что найдутся такиеλ2 ∈ [λ1, 0) и λ2 ∈ (0, λ1], при которых последнее уравнение имеет перио-дическое или антипериодическое решение с нужными осцилляционнымисвойствами. Таким образом, можно положить

ϕ1(t) ≡ −λ2, ϕ2(t) ≡ λ2.

Теорема 1.5.2 доказана.9. Случай ϕ1(t) · ϕ2(t) ≡ 0 (ϕ1(t), ϕ2(t) 6≡ 0).При этом условии qλ(t, 0) ≡ 0. Поэтому предыдущие построения непо-

средственно неприменимы.Введем в рассмотрение уравнение

y +

[q(t, λ, δ)− 1

2p(t)− 1

4p2(t)

]y = 0,

гдеq(t, λ, δ) ≡ q(t, λ) + δλ, δ > 0,

а функция q(t, λ) определяется равенствами (1.5.9). След матрицы моно-дромии этого уравнения обозначим через f(λ, δ). Для функции f(λ, δ)



при любом δ > 0 уже справедливы все выводы пунктов 2 - 8, ибоqλ(t, λ, δ) ≥ 0 ( 6≡ 0). Таким образом, имеет место неравенство (0 < δ ¿ 1)

| f(λ, δ) |>| f(−1, δ) |, λ ∈ (−1, 1),

причем найдется такое не зависящее от δ число α0, что| f(0, δ) |> α0+ | f(−1, δ) |. Отсюда и из предельного равенства

limδ→0

[f(λ, 0)− f(λ, δ)] = 0,

которое выполняется равномерно относительно λ ∈ [−1, 1], следует спра-ведливость неравенства | f(0, 0) |≥ α0+ | f(−1, 0) |. Последнее неравен-ство эквивалентно неустойчивости решений уравнения (1.5.1).

10. Доказательство теоремы 1.5.1.Необходимость обосновывается так же, как и в предыдущем случае.

Докажем достаточность условий теоремы. Положим q(t, λ) ≡ q(t)+λϕ0(t)и рассмотрим уравнение

y +

[q(t, λ)− 1

2p(t)− 1

4p2(t)

]= 0. (1.5.38)

Обоснование нужного факта будет получено, если покажем, что выпол-няется неравенство

f ′(λ) < 0 при λ ≤ 1, (1.5.39)

где f(λ) — след матрицы монодромии уравнения (1.5.38).Проведем несколько вспомогательных построений. По условию при

λ = 1 решения (1.5.1), а значит, и (1.5.38) не осциллируют. Поэтому идля всех λ < 1 решения (1.5.38) тоже не осциллируют. Отсюда, в своюочередь, следует вещественность мультипликаторов µ1(λ) и µ2(λ). Намудобно здесь считать, что µ1(λ) и µ2(λ) занумерованы так, что

0 < µ1(λ) ≤ 1 ≤ µ2(λ), λ ∈ [0, 1]. (1.5.40)

Обозначим через y1(t, λ) решение, которое представимо (согласно §1.3)в виде

y0(t, λ) = ϕ(t, λ)e−γ(λ)t,

где ϕ(t, λ) периодичны, а γ(λ) = ln µ2(λ) ≥ 0. Разберем отдельно дваслучая.

Первый случай. Пусть для некоторого λ0 < 1 найдется такая точкаt0 ∈ [0, 1], что

ϕ(t0, λ0)− γ(λ)ϕ(t0, λ0) = 0. (1.5.41)



Фиксируем два решения y1(t, λ) и y2(t, λ) с начальными условиями

y1(t0, λ) = y2(t0, λ) = 1, y2(t0, λ) = y1(t0, λ) = 0. (1.5.42)

Из определения t0 делаем вывод, что

y1(t, λ0) ≡ 1

ϕ(t0, λ0)ϕ(t, λ0)e

−γ(λ0)t.

Отсюда получаем, что y1(t + 1, λ0) = 0. Следовательно,y1(t0 + 1, λ0) = µ2(λ0) и y2(t0 + 1, λ0) = µ1(λ0). Эти равенства, атакже (1.5.40) и условие положительности y1(t, λ0) и y2(t, λ0) при t > t0позволяют сделать вывод о том, что выполняется неравенство (1.5.39).Действительно, нужно лишь воспользоваться формулой (1.4.18), котораяв наших обозначениях имеет вид

f ′(λ) =

t0+1∫

t0

{y2

2(τ, λ)y1(t0 + 1, λ) + y2(τ, λ)y1(τ, λ) [y1(t0 + 1, λ) −

−y2(t0 + 1, λ)]− y21(τ, λ)y2(t0 + 1, λ)

}ϕ0(t)dt.

(1.5.43)Второй случай. Пусть равенство (1.5.41) для некоторого λ0 < 1 не

имеет места ни при каких t0 ∈ [0, 1]. Обозначим через g(t) такую гладкуюположительную периодическую функцию, чтобы выражение

g(t)ϕ(t, λ0) + g(t)ϕ(t, λ0)− γ(λ0)g(t)ϕ(t, λ0) (1.5.44)

было знакопеременно. Существование g(t) очевидно. Произведем затемв уравнении (1.5.38) замену

y = g(t)z.

В результате получим уравнение, след матрицы монодромии котороготот же, что и для уравнения (1.5.38). Более того, для нового уравненияостается верной формула (1.5.43), имея в виду, что y1(t, λ) и y2(t, λ)теперь уже суть решения соответствующего уравнения. Роль функцииϕ(t, λ) играет теперь функция g(t)ϕ(t, λ), поэтому выражению, стоящемув левой части (1.5.41), отвечает выражение (1.5.44). Наличие же нулейу последнего при λ = λ0 гарантировано в силу выбора функции g(t).Таким образом, рассматриваемый нами второй случай удалось свести кпервому. Доказательство теоремы 1.5.1 завершено.



§ 1.6. Распространение теории зонустойчивости на несамосопряженный случай

1. Формулировка результатов.Как и в §1.4, рассмотрим уравнение с T - периодическими коэффи-

циентамиx + p(t)x + [q(t) + λ]x = 0, (1.6.1)

однако здесь мы будем предполагать, что

M(p) > 0. (1.6.2)

Основной результат состоит в следующем.Теорема 1.6.1. Существует такой конечный набор чисел

λ1, . . . , λN (N ≥ 1 и нечетно), связанных неравенствами

−∞ < λ1 < λ2 ≤ λ3 < λ4 ≤ λ5 < . . . ≤ λN < ∞, (1.6.3)

что при всех λ ∈ (−∞, λ1), (λ2n, λ2n+1), (n = 1, . . . , N−12 ) решения урав-

нения (1.6.1) неустойчивы, а при остальных λ, включая случай, когдаλ = λ2n = λ2n+1 — устойчивы. При этом λ1 является собственнымзначением периодической краевой задачи для (1.6.1), а λ2n и λ2n+1являются одновременно собственными значениями либо периодиче-ской, либо антипериодической краевой задачи. Других, отличных отλn (n = 1, . . . , N) вещественных собственных значений эти краевыезадачи не имеют.

Таким образом, как периодическая, так и антипериодическая крае-вые задачи имеют конечное число вещественных собственных значений.Комплексных же собственных значений у каждой из этих краевых за-дач бесконечно много. Следующее утверждение уточняет расположениеневещественных собственных значений.

Теорема 1.6.2. В промежутках (−∞, λ1], [λ2n, λ2n+1],(n = 1, . . . , N−1

2 ) не могут находиться вещественные части собствен-ных значений периодической и антипериодической краевых задач.

Отметим, что теорема 1.6.1 приведена в [7]. Утверждение теоремы1.6.2, касающееся полуинтервала (−∞, λ1), получено в [6].

2. Доказательство теоремы 1.6.1.Выполним в уравнении (1.6.1) замену

x = ye− 1

2

t∫0

p(s)ds, (1.6.4)


§ 1.6. Распространение теории зон устойчивости... 43

в результате которой получим самосопряженное уравнение

y + [g(t) + λ]y = 0, g(t) = q(t)− 1

2p(t)− 1

4p2(t). (1.6.5)

След матрицы монодромии этого уравнения обозначим через f(λ). Легковидеть, что собственные значения периодической и антипериодическойкраевых задач (и только они) для уравнения (1.6.1) являются решениямиуравнений

f(λ) = 2 ch

1

2

T∫

0

p(s)ds

и f(λ) = −2 ch

1

2

T∫

0

p(s)ds

, (1.6.6)

соответственно. Как показано в п.10 §1.5, функция f(λ) является моно-тонно убывающей на полуоси (−∞, λ0], где λ0 - наименьшее собственноезначение периодической для (1.6.5) краевой задачи. Поэтому найдетсятакое λ1 < λ0, для которого выполнено первое равенство (1.6.6), причемпри вещественных λ < λ1, уравнения (1.6.6) неразрешимы.

Важную роль играет следующий простой результат.Лемма 1.6.1. При достаточно больших (вещественных) λ имеет

место соотношение

f(λ) = 2 cos(√

λ · T)

+ O(λ−12 ). (1.6.7)

Доказательство. Обозначим через y1(t, λ) и y2(t, λ) решения (1.6.5)с начальными условиями

y1(0, λ) = y2(0, λ) = 1, y2(0, λ) = y1(0, λ) = 0

и применим формулы метода вариации произвольной постоянной длянахождения решений уравнения (1.6.5), записанного в виде

y + λy = ϕ(t), ϕ(t) = −g(t)y.

В результате получим равенства

y1(t, λ) = cos√

λt +1√λ

t∫

0

g(τ)y1(τ, λ) sin[√

λ(t− τ)]dτ, (1.6.8)



y2(t, λ) =1√λ

sin√

λt +1√λ

t∫

0

g(τ)y2(τ, λ) sin[√

λ(t− τ)]dτ. (1.6.9)

Положим M = maxt∈[0,T ]

| g(t) |, m(λ) = maxt∈[0,T ]

| y1(t, λ) |. Тогда из (1.6.8)

вытекает неравенство

m(λ) ≤ 1 +Mm(λ)√

λ.

Отсюда

m(λ) ≤[1− M√

λ

]−1

.

Учитывая затем эту оценку в (1.6.8), находим асимптотическое пред-ставление для y1(t, λ):

y1(t, λ) = cos√

λt + O(λ−12 ).

Аналогичноy2(t, λ) = cos

√λt + O(λ−

12 ).

Используя последние два выражения в формуле

f(λ) = y1(T, λ) + y2(T, λ),

приходим к равенству (1.6.7). Лемма доказана.Из леммы вытекает, что при некотором λN выполняется условие: для

всех λ ≥ λN решения (1.6.1) устойчивы, причем при λ > λN устойчивостьасимптотическая (оба мультипликатора меньше по модулю 1). На отрез-ке [λ1, λN ] изменения λ существует конечное число зон неустойчивостирешений уравнения (1.6.5). Из теоремы 1.5.2 следует, что вещественныерешения уравнений (1.6.6) могут принадлежать лишь зонам неустойчи-вости, причем в каждой такой зоне либо нет ни одного решения (1.6.6),либо ровно два (с учетом кратности). Теорема 1.6.1 доказана.

3. Доказательство теоремы 1.6.2.Решения (1.6.5) с фиксированными начальными условиями являются

при каждом t целыми функциями параметра λ. Отсюда следует, чтоf(λ) тоже есть целая функция λ. Далее, функция f(λ) имеет бесконечномного нулей λ1, λ2, . . ., все из которых вещественны и простые. Покажемтеперь, что порядок роста функции f(λ) при λ →∞ не превышает 1, т.е.найдется такое c > 0, что

| f(λ) |≤ ceT |λ|, (| λ |→ ∞). (1.6.10)



Заметим сначала, что фундаментальная матрица решений U(t, λ)уравнения (1.6.5) удовлетворяет системе уравнений

U = A(t, λ)U, где A(t, λ) =

(0 1

−λ− g(t) 0

),

или, что то же самое,

U(t, λ) = E +

t∫

0

A(s)U(s, λ)ds

(E =

(1 00 1

)).

Отсюда приходим к неравенству

‖U(t, λ)‖ < 2 + (| λ | +a)

t∫

0

‖U(s, λ)‖ ds, (1.6.11)

где ∥∥∥∥(

a1 a2a3 a4

)∥∥∥∥ =4∑

i=1

| ai |, a = 1 + max0≤s≤T

| g(s) | .

Неравенство (1.6.11) удобно переписать в виде

‖U(t, λ)‖2 + (| λ | +a)

t∫0‖U(s, λ)‖ds

=

=1

| λ | +a

d

dtln

2 + (| λ | +a)

t∫

0

‖U(s, λ)‖ds

≤ 1.

После интегрирования, из последнего неравенства находим

‖U(t, λ)‖ ≤ 2e(|λ|+a)t.

Применяя это соотношение при t = T , получим неравенство

‖U(T, λ)‖ ≤ ce|λ|T , (c = 2eaT ). (1.6.12)

Оценка (1.6.10) следует теперь из (1.6.12) и из определения f(λ).



Сформулированные здесь относительно функции f(λ) факты позво-ляют воспользоваться одним результатом Адамара [8], из которого по-лучаем важное представление для f(λ):

f(λ) = λkeαλ+δ∞∏

j=1

(1− λ

λj

)e

λλj , (1.6.13)

где k = 1, если f(0) = 0, и k = 0 в противном случае. Не ограничиваяобщности, можно считать, что k = 0.

Обозначим затем через γ0 вещественный корень одного из уравнений(1.6.6), а через γ0 = α0 + iβ0 (β0 6= 0) — комплексный корень одного изэтих уравнений.

Лемма 1.6.2. Имеет место неравенство

γ0 6= α0. (1.6.14)

Доказательство. Докажем лемму, рассуждая от противного. Пустьнайдутся такие γ0 и γ0, о которых говорилось выше, что γ0 = α0. Урав-нения (1.6.6) можно объединить в одно:

f 2(λ) = 4 ch

1

2

T∫

0

p(s)ds

= c0. (1.6.15)

Подставляя в (1.6.15) выражение (1.6.13) и логарифмируя, находим

2

[αλ + δ − λ

∞∑j=1

λ−1j + ln

( ∞∏j=1

(1− λ

λj

))]= ln c0.

Положим здесь λ = γ0+iβ0 и учтем, что (1.6.15) выполняется при λ = γ0.Тогда для определения β0 получим уравнение

iδ0β0 + ln

( ∞∏j=1

(1− γ0 + iβ0

λj

))− ln

( ∞∏j=1

(1− γ0

λj

))= 0, (1.6.16)

где δ0 = α−∞∑

j=1λ−1

j . Равенство (1.6.16) влечет за собой равенство

e−iδ0β0 =∞∏

j=1

ρjeiϕj ,



в котором

ρj =

√1 +

β20

(λj − γ0)2 , ϕj = arctg

(β0

γ0 − λj

).

Условие равенства модуля обеих частей этого уравнения означает, что

1 =∞∏

j=1

(1 +

β20

(λj − γ0)2

).

Это равенство невозможно, ибо правая часть заведомо больше 1. Леммадоказана.

Из этой леммы легко вытекает доказательство теоремы 1.6.2. Дей-ствительно, рассмотрим семейство уравнений

x + µp(t)x + [q(t) + λ]x = 0,

зависящее еще от одного параметра µ ∈ [0, 1]. При µ = 0 все корни урав-нений, аналогичных (1.6.6), вещественны. Если же допустить, что приµ = 1, т.е. в уравнении (1.6.1), вещественные части комплексных корней(1.6.6) лежат в промежутках (−∞, λ1], [λ2n, λ2n+1],

(n = 1, . . . , N−1

2

), то

обязательно найдется такое µ0 ∈ [0, 1], для которого хотя бы один веще-ственный корень совпадает с вещественной частью комплексного корня.Это, в свою очередь, невозможно в силу леммы 1.6.2. Теорема доказана.

В заключение параграфа сделаем одно замечание. Утверждения этогопараграфа не изменятся, если в уравнении (1.6.1) заменить λ на λr(t),где периодическая функция r(t) > 0 (t ∈ [0, 1]). Если же r(t) имеет нули,то теорема 1.6.2 останется верной, а теорема 1.6.1, вообще говоря, местане имеет. Случай наличия нулей у функции r(t) изучается в главе 4.


Глава 2

Устойчивость уравненийс близкими к постояннымкоэффициентами

Основную роль при разработке алгоритмов исследования устойчи-вости решений уравнений с близкими к постоянным периодическимикоэффициентами будут играть результаты главы 1, которые связываютвопросы устойчивости решений с расположением собственных значенийпериодической и антипериодической краевых задач.

§ 2.1. Уравнения с близкими к нулевымкоэффициентами

Используемый здесь алгоритм исследования устойчивости решенийпредложен в [9].

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

x + p(t, ε)x + q(t, ε)x = 0, (2.1.1)

в котором ε ∈ (0, ε0], а T - периодические функции p(t, ε) и q(t, ε) раз-лагаются при этих значениях ε в равномерно относительно t ∈ [0, T ]сходящиеся ряды

p(t, ε) = εp1(t) + ε2p2(t) + . . . , q(t, ε) = εq1(t) + ε2p2(t) + . . . ,

48


§ 2.1. Уравнения с близкими к нулевым коэффициентами 49

причем

M(p) =1

T

T∫

0

p(s, ε)ds ≥ 0. (2.1.2)

Нас будет интересовать вопрос об устойчивости решений уравнения(2.1.1) для достаточно малых значений ε. Для того чтобы воспользо-ваться результатами главы 1, введем в рассмотрение еще два дифферен-циальных выражения

x + p(t, ε)x + [q(t, ε) + λ]x = 0, (2.1.3)

y +

[q(t, ε)− 1

2p(t, ε)− 1

4p2(t, ε) + λ

]y = 0. (2.1.4)

Поставим затем для (2.1.3) и (2.1.4) периодические и антипериодиче-ские краевые задачи. Наименьшие собственные значения периодическихкраевых задач для (2.1.3) и (2.1.4) обозначим через λ0(ε) и µ0(ε) соот-ветственно, а наименьшее собственное значение антипериодической для(2.1.4) краевой задачи обозначим через µ1(ε). Очевидно, λ0(ε), µ0(ε) иµ1(ε) есть вещественные и непрерывные функции параметра ε. Далее,при ε = 0 оба уравнения (2.1.3) и (2.1.4) имеют вид

z + λz = 0.

Наименьшее собственное значение периодической краевой задачи дляэтого уравнения равно нулю, а наименьшее собственное значение анти-периодической краевой задачи равно π2

T 2 . Поэтому

limε→0

λ0(ε) = limε→0

µ0(ε) = 0, limε→0

µ1(ε) =π2

T 2 . (2.1.5)

Из результатов главы 1 знаем, что при условии

λ0(ε) ≤ λ ≤ µ1(ε) (2.1.6)

решения уравнения (2.1.3) устойчивы. Здесь используем еще тот факт,что имеет место неравенство (2.1.2) и уравнения (2.1.3) и (2.1.4) пере-ходят друг в друга с помощью замены

x = ye− 1

2

t∫0

p(s,ε)ds.


50 ГЛАВА 2. Устойчивость уравнений с близкими к постоянным...

Учитывая, наконец, (2.1.5), приходим к выводу, что решения уравнения(2.1.1) при достаточно малых ε будут устойчивы (неустойчивы), если

λ0(ε) < 0 (λ0(ε) > 0). (2.1.7)

Покажем, что при малых ε λ0(ε) разлагается в сходящийся ряд

λ0(ε) = ελ1 + ε2λ2 + . . . (2.1.8)

В самом деле, для рассматриваемых ε след f(λ, ε) матрицы монодромииуравнения (2.1.3) аналитичен по ε (и λ), а λ0(ε) является простым корнемуравнения

f(λ, ε) = 2 ch

1

2

T∫

0

p(s, ε)ds

, f(0, 0) = 2 ch

1

2

T∫

0

p(s, 0)ds

= 2,

причем∂f

∂λ

∣∣∣∣λ=0,ε=0

= −T 2.

Нужное утверждение следует теперь из теоремы о неявной функции.Отсюда же вытекает, что собственную функцию x0(t, ε), отвечающуюλ0(ε) (которая положительна), можно разложить в ряд

x0(t, ε) = 1 + εx1(t) + ε2x2(t) + . . . , (2.1.9)

где функции xi(t) (i = 1, 2, . . .) периодичны. Таким образом, решения(2.1.1) устойчивы при всех достаточно малых ε, если первый ненулевойкоэффициент ряда (2.1.8) отрицателен, и неустойчивы, если этот коэф-фициент положителен.

Сформулируем, наконец, эффективный алгоритм определения коэф-фициентов ряда (2.1.8).

Рассмотрим тождество

x0(t, ε) + p(t, ε)x0(t, ε) + [q(t, ε) + λ0(ε)]x0(t, ε) = 0. (2.1.10)

Подставляя сюда вместо всех фигурирующих здесь функций их разло-жения в ряды по степеням ε и приравнивая коэффициенты при каждойстепени ε, найдем

x1 + [q1(t) + λ1] = 0,. . . . . . . . . . . . . . .

(2.1.11)


§ 2.1. Уравнения с близкими к нулевым коэффициентами 51

xk + [ϕk(t) + λk] = 0. . . . . . . . . . . . . . .

(2.1.12)

В (2.1.12) периодическая функция ϕk(t) (k = 2, 3, . . .) зависит толь-ко от q1(t), . . . , qk(t), p1(t), . . . , pk−1(t), x1(t), . . . , xk−1(t), λ1, . . . , λk−1, т.е.система уравнений (2.1.12) (k = 1, 2, . . .) является рекуррентной. Оче-видно, для существования периодических решений уравнений (2.1.12)необходимо и достаточно, чтобы

λk +1

T

T∫

0

ϕk(t)dt = 0. (2.1.13)

Отсюда λk однозначно находятся. Так, например,

λ1 = −M(q1). (2.1.14)

Пример [10]. Рассмотрим вопрос об устойчивости верхнего состоянияравновесия маятника с вибрирующей по гармоническому закону точкойподвеса. В математической постановке задача сводится к исследованиюустойчивости решений уравнения

x + 2αεx +[−ε2k2 + ε sin t

]x = 0, (2.1.15)

где α, k — некоторые положительные постоянные, а 0 < ε ¿ 1. Согласно

(2.1.14) имеем λ1 = − 12π

2T∫0

sin t dt = 0, а из уравнения (2.1.11) находим

тогда x1(t) = sin t. Для определения λ2 и x2(t) уравнение (2.1.12) такое:

x2 + 2α cos t + sin2 t− k2 + λ2 = 0,

т.е. λ2 = k2 − 12 , x2(t) = 2α cos t − 1

8 cos 2t. Таким образом, при k2 < 12

верхнее состояние равновесия устойчиво, а при k2 > 12 — неустойчиво

(когда ε достаточно мало). Рассмотрим случай, когда k2 = 12, т.е. λ2 = 0.

Для определения λ3 и x3(t) имеем уравнение

x3(t) + 2αx2(t)− 1

2x2(t) + x3(t) sin t + λ3 = 0. (2.1.16)

Отсюда находим, что λ3 = 0, поэтому необходимо определить еще λ4.Для этого рассмотрим уравнение

x4(t) + 2αx3(t)− 1

2x2(t) + x3(t) sin t + λ4 = 0.



Из этого уравненияλ4 = −M(x3(t) sin t).

Далее, так как M(x3(t) sin t) = −M(x3(t) sin t), то из уравнения (2.1.16)получаем, что

λ4 = −M

(−1

2sin2 t + 2αx2(t) sin t + x2(t) sin2 t

)= 2α2 +

7

32> 0.

Таким образом, при k = 12 верхнее состояние равновесия неустойчиво.

В заключение параграфа отметим, что изложенный алгоритм иссле-дования устойчивости без изменения распространяется на уравнения, вкоторых функция q(t, ε) та же, что и в (2.1.11), а p(t, ε) имеет вид

p(t, ε) = p0(t) + εp1(t) + ε2p2(t) + . . . (M(p) ≥ 0).

§ 2.2. Уравнения с близкими к постояннымкоэффициентами

Здесь будет изучен вопрос об устойчивости решений уравнения с T -периодическими коэффициентами

x + p(t, ε)x + q(t, ε)x = 0, (2.2.1)

в котором 0 < ε ¿ 1,

p(t, ε) = p0+εp1(t)+ε2p2(t)+ . . . , q(t, ε) = q0+εq1(t)+ε2q2(t)+ . . . . (2.2.2)

При условии p0 < 0 или q0 < 0 решения (2.2.1) при малых ε неустойчивы,а при p0 > 0 и q0 < 0 — устойчивы. Случай p0 ≥ 0 и q0 = 0 рассмотрен в§2.1. Здесь разберем оставшийся случай, когда

p0 = 0, q0 > 0.

Как и ранее, в предположении, что

M(p(t, ε)) ≥ 0 (2.2.3)

для уравненийx + p(t, ε)x + [q(t, ε) + λ]x = 0 (2.2.4)


§ 2.2. Уравнения с близкими к постоянным коэффициентами 53

и

y +

[q(t, ε)− 1

2p(t, ε)− 1

4p2(t, ε) + λ

]y = 0 (2.2.5)

поставим периодическую и антипериодическую краевые задачи. Дляуравнения (2.2.5) собственные значения первой из них обозначим черезλ+

n (ε) (n = 0, 1, . . .), а второй — через λ−n (ε) (n = 1, 2, . . .), так что

λ+0 (ε) < λ−1 (ε) ≤ λ−2 (ε) < λ+

1 (ε) ≤ λ+2 (ε) < . . . .

Все λ±n (ε) непрерывно зависят от ε, причем

limε→0

λ+0 (ε) = −q0, lim

ε→0λ+

2n−1(ε) = limε→0

λ+2n(ε) =

4π2n2

T 2 − q0, (2.2.6)

lim λ−2n−1(ε) = lim λ−2n(ε) =(2n− 1)2π2

T 2 − q0, (2.2.7)

где (n = 1, 2, . . .). Напомним еще, что решения уравнения (2.2.5) могутбыть неустойчивы лишь тогда, когда параметр λ в (2.2.5) удовлетворяетнеравенствам

λ ≤ λ+0 (ε), λ+

2n−1(ε) ≤ λ ≤ λ+2n(ε),

λ−2n−1(ε) ≤ λ ≤ λ−2n(ε), n = 1, 2, . . . .

Отсюда и из неравенств (2.2.6) и (2.2.7) заключаем, что при условии

q0 6= π2n2

T 2 , n = 0, 1, . . .

решения уравнения (2.2.5) при λ = 0, а значит, и (2.2.1) устойчивы, еслиε достаточно мало.

Пусть теперь для некоторого натурального n ≥ 1

q0 =π2n2

T 2 . (2.2.8)

Необходимым и достаточным условием неустойчивости решений (2.2.1)является существование таких двух вещественных собственных значе-ний λ1(ε) и λ2(ε) периодической (если n четно) и антипериодической(если n нечетно) краевой задачи для (2.2.4), что выполняются следую-щие два условия. Во-первых,

λ1(ε) ≤ 0 ≤ λ2(ε) (λ1(ε) 6= λ2(ε)), (2.2.9)



причем, если в (2.2.3) неравенство строгое, то и в (2.2.9) оба неравенствастрогие. Во-вторых, собственные функции x1(t, ε) и x2(t, ε), отвечающиеλ1(ε) и λ2(ε), имеют одинаковое на полуинтервале число нулей. Отметимздесь, что из непрерывной (равномерно относительно t ∈ [0, T ]) зависи-мости функций x1(t, ε) и x2(t, ε) от параметра ε вытекает, что найдутсятакие числа ai и bi (a2

i + b2i 6= 0, i = 1, 2), для которых

limε→0

[xi(t, ε)− ai sin

πn

Tt− bi cos

πn

Tt]

= 0.

Изложим затем алгоритм определения λi(ε) и xi(t, ε) (i = 1, 2). В урав-нении (2.2.4) положим

λ = ελ1 + ελ(ε), x = a sinπn

Tt + b cos

πn

Tt + εx1(t) + εx(t, ε). (2.2.10)

Здесь x1(t) и x(t, ε) периодичны по t, а для величин λ(ε) и x(t, ε) имеютместо соотношения

λ(ε) = o(1), x(t, ε) = o(1), (2.2.11)

причем последнее выполняется равномерно относительно t. Тогда, при-равнивая коэффициенты при первой степени ε, получим уравненине от-носительно x1(t):

x1(t) +π2n2

T 2 x1 = −λ1

(a sin

πn

Tt + b cos

πn

Tt)

+ ϕ(t), (2.2.12)

где

ϕ(t) = −q1(t)[a sin

πn

Tt + b cos

πn

Tt]− πn

Tp1(t)

[a cos

πn

Tt− b sin

πn

Tt].

Лемма 2.2.1. Для того чтобы уравнение

x +π2n2

T 2 x = f(t), (2.2.13)

где f(t) периодична с периодом 2kTn , имело периодическое решение,

необходимо и достаточно, чтобы

2kTn∫

0

f(t) sinπn

Ttdt =

2kTn∫

0

f(t) cosπn

Ttdt = 0. (2.2.14)


§ 2.2. Уравнения с близкими к постоянным коэффициентами 55

Доказательство. Сначала докажем необходимость. Для этого, счи-тая в (2.2.13) x(t) 2kT

n -периодической функцией, умножим левую и пра-вую часть этого уравнения на sin πn

T t и проинтегрируем от 0 до 2kTn .

Интегрируя по частям, находим, что

2kTn∫

0

x(t) sinπn

Ttdt = −π2n2

T 2

2kTn∫

0

x(t) sinπn

Ttdt.

Отсюда следует, что интеграл левой части равен нулю, а значит и

2kTn∫

0

f(t) sinπn

Ttdt = 0.

Аналогично получаем, что выполнено и второе равенство в (2.2.14).Установим затем достаточность. С помощью метода вариации произ-

вольной постоянной приходим к выводу, что общее решение уравнения(2.2.13) выражается формулой

x(t) = c1 sinπn

Tt + c2 cos

πn

Tt +

t∫

0

f(τ) sinπn

T(t− τ)dτ.

Учитывая здесь (2.2.14), непосредственно находим, чтоx(t) ≡ x

(t + 2kT

n

). Лемма доказана.

Период функции ϕ(t), фигурирующей в (2.2.12) равен T , если n чет-но, и равен 2T , если n нечетно. Поэтому условия (2.2.14) для уравнения(2.2.12) приводят к задаче на нахождение собственных значений и соб-ственных векторов

Az = λ1z, (2.2.15)

где z = (a, b), A =

(a11 a12a21 a22

),

a11 = −2M[(

q1(t) sin πnT t + πn

T p1(t) cos πnT t

)sin πn

T t],

a12 = −2M[(

q1(t) cos πnT t + πn

T p1(t) sin πnT t

)sin πn

T t],

a21 = −2M[(

q1(t) sin πnT t + πn

T p1(t) cos πnT t

)cos πn

T t],

a22 = −2M[(

q1(t) cos πnT t + πn

T p1(t) sin πnT t

)cos πn

T t],



M(f(t)) =1

2T

2T∫

0

f(t)dt.

Обозначим через λ11 и λ12 собственные значения, найденные из(2.2.15). Пусть для определенности Reλ11 ≤ Reλ12. Имея теперь в ви-ду, что

λ1(ε) = ελ11 + o(ε), λ2(ε) = ελ12 + o(ε), (2.2.16)

приходим к такому выводу: при условии λ11, λ12 6= 0 решения (2.2.1)неустойчивы при малых ε в том и только в том случае, если λ11 и λ12вещественны и

λ11 < 0 < λ12.

Если же хотя бы одно из чисел λ11 или λ12 равно нулю, то алгоритмследует продолжить. Сделаем несколько замечаний о том, как действо-вать в случае λ11 ·λ12 = 0. Если только одно собственное значение равнонулю, то следует находить поправку лишь к тому собственному значе-нию из (2.2.16), в котором первое слагаемое нулевое. Для этого следуетдля соответствующего λi(ε) написать выражение

λi(ε) = ε2λ2 + o(ε2), (2.2.17)

а собственную функцию искать в виде

xi(t, ε) = a0 sin πnT t + b0 cos πn

T t + εx1(t) + εa1 sin πnT t+

+ εa2 cos πnT t + ε2x2(t) + o(ε2),

(2.2.18)

где a0 и b0 — координаты собственного вектора z0, отвечающего в (2.2.15)нулевому корню. Подставляя (2.2.17) и (2.2.18) в (2.2.4), приравниваякоэффициенты при ε2 и пользуясь леммой 2.2.1, для определения λ2 ивектора z1 = (a1, b1), получим выражение вида

Az1 = λ2z0 + v, (Az0 = 0), (2.2.19)

в котором вектор v выражается через известные величины. Необходимоеи достаточное условие разрешимости (2.2.19) позволяет нам однозначнонайти λ2:

λ2 =−(v, u0)

(z0, u0), (2.2.20)

где через u0 обозначим собственный вектор матрицы A∗, отвечающийнулевому собственному значению. Если в (2.2.20) λ2 6= 0, то вопрос об


§ 2.3. Параметрический резонанс 57

устойчивости (2.2.1) при малых ε сразу решается. Если же λ2 = 0, то,действуя по аналогии со сказанным, алгоритм следует продолжить.

Ситуация в случае λ11 = λ12 = 0 для продолжения алгоритма несколь-ко сложнее, хотя используются те же идеи. Подробнее на этом останав-ливаться не будем.

§ 2.3. Параметрический резонанс

Применение результатов предыдущего параграфа будет проиллюстриро-вано на примере изучения явления параметрического резонанса [5].

Объектом изучения служит дифференциальное уравнение

x +(εp1(ωt) + ε2p2(ωt) + . . .

)x +

[q20 + εq1(ωt) + ε2q2(ωt) + . . .

]x = 0,

(2.3.1)в котором ε и ω – положительные параметры, q0 > 0, а функции pj(s) иqj(s) (j = 1, 2, . . .) периодичны по s с периодом 2π, причем, как и ранее

M(εp1(t) + ε2p2(t) + . . .) ≥ 0.

Ставится задача определения такого множества на плоскости парамет-ров εω (ε достаточно мало), для каждых ε и ω из которого решенияуравнения (2.3.1) неустойчивы.

Наметим путь решения этой задачи. В уравнении (2.3.1) удобно сде-лать замену времени ωt = τ (и τ вновь переобозначить через t). В ре-зультате получим уравнение

x +

[ε

ωp1(t) +

ε2

ωp2(t) + . . .

]x +

[q20

ω2 +ε

ω2q1(t) + . . .

]x = 0. (2.3.2)

Прежде всего отметим, что при всех достаточно больших значениях ωрешения (2.3.2) устойчивы. Это следует из результатов §2.1. Далее, в§2.2 установлено, что при фиксированном ω (ω 6= 0) и достаточно малыхε неустойчивость решений возможна, лишь если q2

0ω−2 = n2

4 (n = 1, 2, . . .).Таким образом, области неустойчивости решений (2.3.2) примыкают

на плоскости εω к точкам (0, ωm), где

ωm =2q0

m(m = 1, 2, . . .).

Будем изучать отдельно окрестность каждой точки. В связи с этим вуравнении (2.3.2) удобно вместо ω ввести новый (малый) параметр δ по



правилуq20

ω2 =m2

4+ δ. (2.3.3)

Уравнение (2.3.2) теперь примет вид

x +

[ε

(2q0

m

)−1

p1(t) + . . .

]x +

[m2

4+ δ + ε

m2

4q20q1(t) + . . .

]x = 0, (2.3.4)

где точками обозначены слагаемые, имеющие порядок малости по ε иδ выше первого. Для уравнения (2.3.4) поставим периодическую, еслиm четно, и антипериодическую, если m нечетно, краевые задачи. Пустьδ1(ε) и δ2(ε) (δ1(ε) < δ2(ε)) вещественные собственные значения этойкраевой задачи, причем отвечающие им собственные функции имеютодно и то же число нулей на [0, 2π]. Множество тех δ, для которыхрешения (2.3.4) неустойчивы, удовлетворяют неравенству

δ1(ε) < δ < δ2(ε).

Алгоритм вычисления δ1(ε) и δ2(ε) приведен в §2.2.В заключение главы разберем один пример.Пример. Рассмотрим задачу о параметрическом резонансе для урав-

ненияx + εa0x + [1 + εa1 sin ωt]x = 0, (2.3.5)

в котором a0 > 0. После замены времени ωt = τ в уравнении (2.3.5)положим

1

ω2 =m2

4+ δ.

В результате рассматриваемое уравнение примет вид (здесь переобозна-чено τ = t)

x +mεa0

2

(1 +

2

m2δ + . . .

)x +

[m2

4+ δ +

εm2

4a1 sin t + εδa1 sin t

]x = 0.

(2.3.6)Применяя алгоритм §2.2, положим в этом уравнении

δ = εδ1 + o(ε), x(t, ε) = a sinm

2t + b cos

m

2t + εx1(t) + o(ε),

где x1(t) периодична (с периодом 2π, если m четно, и с периодом 4π,если m нечетно). Для определения x1(t) тогда получим уравнение

x1 + m2

4 x1 = −(δ1a + m2a

4 a1 sin t− m2

4 a0b)

sin m2 t−

−(δ1b + m2b

4 a1 sin t + m2

4 a0a)

cos m2 t.


§ 2.3. Параметрический резонанс 59

Условия существования периодического решения этого уравнения (лемма2.2.1) позволяют определить значение δ1. На этом пути получаем, что(i =

√−1)

δ11 =

{ia0

m2

4 , если m 6= 1,

−14

√14a

21 − a2

0, если m = 1;

δ12 =

{ −ia0m2

4 , если m 6= 1,14

√14a

21 − a2

0, если m = 1.

Отсюда заключаем, что решения (2.3.6) могут быть неустойчивы прималых ε лишь при m = 1 и лишь тогда, когда

2a0 ≤| a1 | .

Множество тех ω, для которых уравнение (2.3.5) неустойчиво, находится(в первом приближении) из неравенства

2

(1 +

ε

2

√1

4a2

1 − a20

)−1

<| ω |< 2

(1− ε

2

√1

4a2

1 − a20

)−1

. (2.3.7)


Глава 3

Устойчивость сингулярновозмущенных уравнений

§ 3.1. Устойчивость уравнений без точекповорота

Уравнение с T -периодическими коэффициентами

εx + p(t)x + q(t)x = 0, (3.1.1)

где ε > 0 — малый параметр, называется уравнением без точек поворота,если

p(t) > 0, t ∈ [0, T ]. (3.1.2)

Изучим вопрос об устойчивости решений уравнения (3.1.1) при доста-точно малых ε.

Рассмотрим периодическую краевую задачу для уравнения

εx + p(t)x + [q(t) + λ]x = 0. (3.1.3)

Наименьшее собственное значение этой краевой задачи обозначим черезλ0(ε). Следующий результат получен в [11].

Теорема 3.1.1. Имеет место предельное равенство

limε→0

λ0(ε) = λ0, где λ0 =

T∫

0

dt

p(t)

−1

T∫

0

q(t)dt

p(t)

. (3.1.4)

60


§ 3.1. Устойчивость уравнений без точек поворота 61

Доказательство. Обозначим через x0(t, ε)

(maxo≤t≤T

| x0(t, ε) |= 1

)соб-

ственную функцию (которая положительна), отвечающую λ0(ε). Сначалабудет показано, что

min0≤t≤T

q(t) ≤ −λ0(ε) ≤ max0≤t≤T

q(t). (3.1.5)

В самом деле, пусть t1 — точка минимума функции x0(t, ε). Тогда

x0(t, ε) = 0, x0(t, ε) ≥ 0. (3.1.6)

Из определения λ0(ε) и x0(t, ε) имеем

εx0(t, ε) + p(t)x0(t, ε) + [q(t) + λ0(ε)]x0(t, ε) ≡ 0. (3.1.7)

С учетом (3.1.6) это тождество при t = t1 сразу приводит к неравенству

λ0(ε) + q(t1) ≤ 0.

Отсюда следует левое неравенство в (3.1.5). Правое неравенство (3.1.5)доказываем, рассматривая (3.1.7) в точке максимума функции x0(t, ε).

Далее непосредственно проверяем равенство

x0(t, ε) =−1

ε

t∫

−∞[λ0(ε) + q(s)]x0(s, ε)e

− 1ε

t∫s

p(τ)dτds. (3.1.8)

Условие ограниченности λ0(ε), x0(t, ε) и неравенство (3.1.2) позволяетзаключить, что

max0≤t≤T

| x0(t, ε) |≤ c, (3.1.9)

где c не зависит от ε.Фиксируем затем произвольную последовательность

εj → 0 (j = 1, 2, . . .). Без потери общности можно считать, чтопоследовательность λ0(εj) имеет предел, который обозначим через λ.Последовательность функций x0(t, εj) равномерно на отрезке [0, T ] огра-ничена и, как следует из (3.1.2), равностепенно непрерывна. Поэтомуиз нее можно выделить подпоследовательность, которая равномерносходится к некоторой функции x(t). При этом правая часть (3.1.8),очевидно, сходится к величине

−λ + q(t)

p(t)x(t).


62 ГЛАВА 3. Устойчивость сингулярно возмущенных уравнений

Как следствие этого факта, получаем, что x(t) является T -периодическимрешением уравнения

p(t)x +[λ + q(t)

]x = 0.

Отсюда находим, что λ = λ0. Теорема доказана.Здесь же отметим, что одновременно мы установили предельное ра-

венствоlimε→0

|x0(t, ε)− x(t)| = 0,

где

x(t) = c0e−

t∫0

(λ0+q(s))p−1(s)ds.

Введем еще в рассмотрение самосопряженное дифференциальноеуравнение

εy +

[q(t)− 1

2p(t)− 1

4p2(t) + λ

]y = 0, (3.1.10)

которое получается из (3.1.3) с помощью замены

x = ye− 1

2

t∫0

p(s)ds. (3.1.11)

Наименьшее собственное значение периодической краевой задачи дляуравнения (3.1.10) обозначим через µ0(ε).

Теорема 3.1.2. Имеет место предельное равенство

limε→0

µ0(ε) = ∞. (3.1.12)

Докажем сначала одно вспомогательное утверждение.Лемма 3.1.1. При условии λ > µ0(ε) решения уравнения (3.1.10)

имеют бесконечно много нулей на полуоси [0,∞).Доказательство. Пусть µ1(ε) — наименьшее собственное значение

антипериодической краевой задачи для уравнения (3.1.10) Тогда приµ0(ε) < λ < µ1(ε) решения этого уравнения устойчивы, причем, какустановлено в главе 1 (§1.3), все решения являются, вообще говоря,почти периодическими функциями. Фиксируем решение x(t, ε) с началь-ным условием x(0, ε) = 0

(˙x(0, ε) 6= 1

). В силу почти периодичности это

решение имеет бесконечно много нулей на [0,∞). С помощью теоре-мы сравнения заключаем, что, во-первых, любое другое решение имеет


§ 3.1. Устойчивость уравнений без точек поворота 63

бесконечно много нулей на том же промежутке и, во-вторых, при всехλ ≥ µ1(ε) решения (3.1.10) тем более имеют бесконечно много нулей на[0,∞). Лемма доказана.

Для всех достаточно малых ε > 0 решения уравнения

εy +

[q(t)− 1

2p(t)− p2(t)

4ε+

c

ε

]y = 0 (3.1.13)

не осциллируют, если 0 < c < 14 min p2(t). Действительно, для малых ε

верно неравенство

q(t)− 1

2p(t)− p2(t)

4ε+

c

ε< 0 (t ∈ [0, T ]).

Тогда из неосцилляции на всей оси решений уравнения y = 0 и из теоре-мы сравнения заключаем, что решения (3.1.3) и подавно не осциллируют.Отсюда и из леммы 3.1.1 вытекает, что

µ0(ε) ≥ c

ε.

Теорема доказана.Следствием положений теории зон устойчивости и двух приведенных

здесь теорем является следующий результат.Теорема 3.1.3. Пусть λ0 < 0 (> 0). Тогда существует такое

ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0) решения уравнения (3.1.1) устойчи-вы (неустойчивы).

В том случае, когда в теореме 3.1.3 собственное число λ0 = 0, вопрособ устойчивости нуждается в дополнительном рассмотрении. Соответ-ствующие построения незначительно отличаются от изложенных выше,поэтому подробнее на этом останавливаться не будем. Приведем лишьодин результат из [12].

Рассмотрим уравнение

εx + p(t)x + εq1(t)x = 0, (3.1.14)

где 0 < ε ¿ 1, p(t) > 0 (t ∈ [0, ω]). В этом случае, очевидно λ0 = 0.Теорема 3.1.4. Существует такое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0)

решения уравнения (3.1.14) устойчивы (неустойчивы), если

T∫

0

q1(t)dt

p(t)< 0

T∫

0

q1(t)dt

p(t)> 0

.



§ 3.2. Уравнения с точками поворота

Точками поворота с T -периодическими коэффициентами уравнения

εx + p(t)x + q(t)x = 0 (0 < ε ¿ 1) (3.2.1)

называются нули функции p(t). Поведение собственных значений пери-одической и антипериодической краевых задач для уравнения с точкамиповорота детально изучалось в [7]. Соответствующие результаты прин-ципиально отличаются от тех, которые имеют место в отсутствие точекповорота (§3.1). Они будут изложены в последующих главах. Содержа-ние этого параграфа будет посвящено изучению более простого случая,когда q(t) непрерывна, а p(t) имеет на отрезке длины периода следующийвид

p(t) =

{ −p1(t), t ∈ [0, a],p2(t), t ∈ (a, T ),

0 < a < T

причем p1(t) и p2(t) непрерывно дифференцируемы и, что самое главное,

inft

pi(t) > 0, i = 1, 2. (3.2.2)

Как обычно, будем еще предполагать, что

M(p) ≥ 0. (3.2.3)

Обозначим через λ0(ε) собственное значение периодической для урав-нения

εx + p(t)x + [q(t) + λ]x = 0 (3.2.4)

краевой задачи с наименьшей вещественной частью, а через λ1(ε) и λ2(ε)— собственные значения антипериодической краевой задачи для (3.2.4)тоже с наименьшими среди всех остальных собственных значений веще-ственными частями. Отметим сразу, что λ0(ε) вещественно.

Теорема 3.2.1. Существует такое ε0 > 0, что при всехε ∈ (0, ε0) λ1(ε) и λ2(ε) вещественны, причем в промежутках(λ0(ε), λ1(ε)) и (λ1(ε), λ2(ε)) не лежит вещественная часть ни одно-го другого собственного значения рассматриваемых краевых задач.Кроме этого, имеют место предельные равенства

limε→0

λ0(ε) = limε→0

λ1(ε) = −q(0), (3.2.5)

limε→0

λ2(ε) = ∞. (3.2.6)


§ 3.2. Уравнения с точками поворота 65

Непосредственным следствием утверждений теории зон устойчивостии этой теоремы является следующий результат.

Теорема 3.2.2. Предположим, что

q(0) 6= 0. (3.2.7)

Тогда существует такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0) решенияуравнения (3.2.1) неустойчивы.

Интересно отметить, что величина среднего значения функции p(t)на устойчивость при малых ε существенного влияния не оказывает.

Доказательство теоремы 3.2.1. Доказательство разобьем нанесколько этапов.

Этап 1. На этом этапе докажем следующее важное для дальнейшегоутверждение, касающееся осцилляционных свойств решений (3.2.1).

Лемма 3.2.1. Пусть в уравнении (3.2.1)

q(0) > 0. (3.2.8)

Тогда найдется такое ε0 > 0, что при каждом ε ∈ (0, ε0) найдетсятакое решение (3.2.1), которое имеет ровно два нуля на интервале(0, T ).

Доказательство. Обозначим через x0(t, ε) решение уравнения (3.2.1)с начальными условиями

x0(t0, ε) = 0, x0(t0, ε) > 0, где t0 ∈ (−T + a, 0).

Первое, что установим, это наличие предельного равенства

limε→0

x0(0, ε)

x0(0, ε)= − q(0)

p2(0)

(p2(0) = lim

t→0p2(t)

). (3.2.9)

Для того чтобы обосновать (3.2.9), удобно при t ∈ [t0, 0] использоватьдве формулы

x0(t, ε) = x0(t0, ε)e− 1

ε

t∫t0

p2(s)ds

−

− 1ε

t∫

t0

q(s)x0(s, ε)e− 1

ε

t∫s

p2(τ)dτds

(3.2.10)



и

x0(t, ε) = x0(t0, ε)− 1

ε

t∫

t0

[p2(s)x0(s, ε) + q(s)x0(s, ε)] ds. (3.2.11)

Проинтегрируем по частям выражение p2(s) · x0(s, ε) в (3.2.11) и подста-вим в равенство (3.2.10) вместо x0(t0, ε) ее выражение через (3.2.11). Вполученном соотношении положим

y0(t, ε) =x0(t, ε)

x0(ε), (3.2.12)

гдеx0(ε) = max

0≤t≤T| x0(t, ε) | .

В результате получим следующее выражение

y0(t, ε)

[1− exp

(−1

ε

t∫t0

p2(s)ds

)]=

= −1ε

t∫

t0

q(s)y0(s, ε) exp

(−1

ε

t∫s

p2(τ)dτ

)ds + 1

ε exp

(−1

ε

t∫t0

p2(s)ds

)×

×

t∫

t0

[p2(s)− q(s)]× y0(s, ε)ds− p2(t)y0(t, ε)

.

(3.2.13)Используя (3.2.13), доказательство (3.2.9) завершается без тру-да. В самом деле, фиксируем произвольно последовательностьεj → 0 (j = 1, 2, . . .). На отрезке [t0, 0] последовательность функций| y0(t, εj) | равномерно ограничена, а из (3.2.13) вытекает, что на отрезке[t1, 0], где 0 > t1 > t0, равномерно ограничена последовательность функ-ций | y0(t, εj) |. Поэтому на [t1, 0] последовательность функций y0(t, ε) яв-ляется равностепенно непрерывной. Отсюда делаем вывод, что на неко-торой подпоследовательности εjk → 0 последовательность y0(t, εjk) рав-номерно на отрезке [t1, 0] сходится к некоторой функции y0(t). Переходя,наконец, в (3.2.13) к пределу при εjk → 0, заключаем, что

y0(t) = − q(t)

p2(t)y0(t), t ∈ [t1, 0].

Это равенство (вместе с (3.2.12)) приводит к обоснованию предельногоравенства (3.2.9).



Отметим, что на каждом из промежутков [0, a] и [a, T ] решения урав-нения (3.2.1) не осциллируют. Покажем на следующем этапе, что функ-ция x0(t, ε) имеет при всех достаточно малых ε два нуля на интервале(−T

2 , T2

). Отсюда, очевидно, будет следовать обоснование леммы. При

этом достаточно разобрать лишь случай, когда x0(t, ε) положительна наполуинтервале (t0, 0]. Обоснование наличия двух нулей у x0(t, ε) прове-дем, рассуждая от противного. Предположим, что для сколь угодно ма-лых ε x0(t, ε) > 0 на [0, T

2 ). Фиксируем затем отрезок [0, t0] (0 < t0 < T2 )

так, чтобы на нем функция q(t) была положительной. Тогда непосред-ственно из уравнения (3.2.1) и из неравенства (3.2.9) следует, что

−t0x0(0, ε) ≤ x0(t, ε) < 0, t ∈ [0, t0]. (3.2.14)

Последнее влечет за собой неравенство

0 < x0(t, ε) ≤ 1, t ∈ [0, t0], (3.2.15)


x0(t, ε) =x0(t, ε)

x0(0, ε).

Для положительных значений t аналогично (3.2.10) имеет место фор-мула

x0(t, ε)e− 1

ε

t∫0

p1(s)ds=

= x0(0, ε)− 1ε

t∫0

q(s)x0(s, ε)e− 1

ε

s∫0

p1(τ)dτds.

После интегрирования по частям в последнем слагаемом этой формулы,получим, что

x0(t, ε)e− 1

ε

t∫0

p1(s)ds= x0(0, ε)− q(0)

p1(0)+ z(t, ε),

где

z(t, ε) = q(t)p1(t)

x0(t, ε)e− 1

ε

t∫0

p1(s)ds−

−t∫

0

[q(s)p1(s)

x0(s, ε)]′

e− 1

ε

s∫0

p1(τ)dτds.

Фиксируем так некоторое t1, что 0 < t1 ≤ t0. Из неравенств (3.2.14)и (3.2.15) находим для всех достаточно малых ε оценку для функции



z(t, ε) равномерно на отрезке [0, t1]:

max0≤t≤t1

| z(t, ε) |≤ max0≤t≤t1

q(t)

p1(t)

[1 + t0t1

]+ t1 max

0≤t≤t1

(q(t)

p1(t)

)′.

Вывод, который следует из (3.2.9) и этой оценки, такой: найдется такоеt1 ∈ (0, t0), что (для всех малых ε) имеет место неравенство

x0(t, ε)e− 1

ε

t∫0

p1(s)ds ≤ − q(0)

2p2(0), t ∈ [0, t1].

Отсюда уже получаем, что

x0(t, ε) < − q(0)

2p2(0)e

1ε

t∫0

p1(s)ds, t ∈ [0, t1],

т.е. неравенство (3.2.14) места не имеет. Получено противоречие. Такимобразом, функция x0(t, ε) обращается в нуль на интервале

(0, T

2

). Лемма

доказана.Сделаем одно замечание. Ниже получим результаты, из которых бу-

дет следовать, что при условии q(0) < 0 решения (3.2.1) не осциллируютпри всех достаточно малых ε.

Этап 2. Доказательство неравенства

limε→0

λ0(ε) ≤ −q(0). (3.2.16)

Предположим противное, т.е. пусть существует такая последователь-ность εj → 0, что

limεj→0

λ0(εj) = −q(0) + δ0, где δ0 > 0. (3.2.17)

Отсюда и из леммы 3.2.1 тогда вытекает, что при всех достаточно малыхεj решения уравнения

εjx + p(t)x + [q(t) + λ]x = 0 (3.2.18)

при λ = λ0(εj) имеют на интервале(−T

2 , T2

)не менее двух нулей. Введем

в рассмотрение последовательность уравнений

εjx + pn(t)x + [q(t) + λ]x = 0 (n = 1, 2, . . .). (3.2.19)



Здесь через pn(t) обозначена последовательность непрерывно дифферен-цируемых T -периодических функций, которая равномерно на каждомпромежутке [t0, a − t0]

⋃[a + t0, T − t0] (t0 > 0) сходится к функции p(t),

а через λn0(εj) обозначим наименьшее собственное значение периодиче-

ской краевой задачи для каждого из уравнений (3.2.19). Легко видеть,что между решениями уравнений (3.2.18) и (3.2.19) имеется тесная вза-имосвязь, а именно, для решений x(t) и xn(t) с (фиксированными) оди-наковыми начальными условиями на любом отрезке [α, β] имеет месторавенство

limn→∞

maxα≤t≤β

| x(t)− xn(t) |= 0. (3.2.20)

Отсюда, в частности, следует, что для λ0(εj) и λn0(εj) верно аналогичное

равенствоlimn→∞

[λ0(εj)− λn0(εj)] = 0.

Более того, из последнего равенства и соотношения (3.2.17) вытекает,что при достаточно больших n и λ = λ0

n(εj) решения уравнений (3.2.19)тоже осциллируют. Произведем в (3.2.19) замену

x = ye− 1

ε

t∫0

pn(s)ds, (3.2.21)

в результате которой получим самосопряженное уравнение

εj y +

[q(t)− 1

2pn(t)− 1

4εjp2

n(t) + λ

]y = 0. (3.2.22)

Вследствие замены (3.2.21), решения этого уравнения при λ = λ0n(εj)

тоже осциллируют. Отсюда и из теории зон устойчивости получаем, содной стороны, при достаточно больших n

λn0(εj) < λn

0(εj),

где λn0(εj) — наименьшее собственное значение периодической краевой

задачи для (3.2.22). В то же время на основании той же замены и усло-вия (3.2.3), как легко видеть, имеет место противоположное неравенство

λn0 ≥ λn

0(εj).

Получено противоречие. Тем самым соотношение (3.2.16) доказано.Этап 3. Доказательство неравенства.

limε→0

λ0(ε) ≥ −q(0). (3.2.23)



Будем опять рассуждать от противного. Пусть существует такая после-довательность εj → 0, что

limεj→0

λ0(εj) = −q(0)− δ0, где δ0 > 0. (3.2.24)

Противоречие будет получено, если нам удастся показать, что при усло-вии (3.2.24) и достаточно малых εj найдется такая положительная пери-одическая функция ϕ0(t, εj), что уравнение

εjx + p(t)x + [q(t) + λ0(εj) + ϕ0(t, εj)] x = 0

имеет положительное периодическое решение x0(t, εj). Действительно,тогда, как следует из критерия неустойчивости главы 1 §1.5, один муль-типликатор уравнения (3.2.18) при λ = λ0(εj) больше 1. Однако, изопределения собственного значения и из (3.2.3) следует, что оба муль-типликатора не превосходят 1. Итак, приступим к построению функцииϕ0(t, εj).

В уравнении (3.2.18) при λ = λ0(εj) выполним сначала замену

x = ye

t∫0

g(s,ε)ds, (3.2.25)

где g(s, ε) – некоторая периодическая функция, которая будет определенаниже, причем

M(g) = 0. (3.2.26)

В результате (3.2.25) получим уравнение

εy + [p(t) + εg(t)] y + ϕ(t, ε)y = 0, (3.2.27)

гдеϕ(t, ε) = q(t) + p(t)g(t, ε) + εg2(t, ε) + εg(t, ε).

Отметим, что следствием равенства (3.2.26) является совпадение муль-типликаторов уравнений (3.2.27) и (3.2.18) при λ = λ0(εj). Функциюg(t, ε) будем определять из условия

ϕ(t, ε) < 0, t ∈ [0, T ]. (3.2.28)

Прежде чем непосредственно строить g(t, ε), приведем ее график (см.рис. 3.1).



Рис. 3.1

Сразу отметим, что p(t)g(t, ε) ≤ 0. Фиксируем некоторое0 < t0 < min(a, T − a) на отрезке [a − εt0, a] и [−T + a,−T − a + εt0]положим g(t, ε) = −c1ε

−1j (t−a) и g(t, ε) = −c1ε

−1j (t+T −a) соответствен-

но. Условие (3.2.28) позволяет на этих отрезках определить постояннуюc1 > 0 из неравенства

c1 > λ0(εj) + q(t).

На отрезке [−t0, t0] положим g(t, ε) = c2t. Для достаточно малых εj иt0 неравенство (3.2.28) заведомо выполнено в силу (3.2.24). Для осталь-ных значений t из отрезка [−T + a, a] ограничения на g(t, ε) следующие:g(t, ε) достаточно гладкая, выполняется условие (3.2.26), неравенства| g(t, ε) |≥ c и g(a − T + εt0, ε) = g(a − εt0, ε) < 0. При этом неравен-ство (3.2.28) для указанных значений t выполнено, если εj мало и

c > max0≤t≤T

(q(t) + λ0(εj)

pi(t)

), i = 1, 2.

После того, как функция g(t, ε) определена, введем функции ϕ0(t, εj)и x0(t, εj). Для этого положим

ϕ0(t, εj) ≡ −ϕ(t, εj), x0(t, εj) = 1.

Функция x0(t, εj) является тогда периодическим положительным реше-нием уравнения

εj y + (p(t) + εg(t, ε)y + [ϕ(t, ε) + ϕ0(t, ε)] y = 0.



Возвращаясь, наконец, от переменной y к переменной x, получаем, что

функция x0(t, εj) = exp

(t∫

0g(s, εj)ds

)является периодическим положи-

тельным решением уравнения

εjx + p(t)x + [q(t) + λ0(εj) + ϕ0(t, ε)]x = 0,

причем ϕ0(t, ε) = ϕ0(t, ε) > 0. Все построения завершены. Неравенство(3.2.2) доказано.

Объединяя (3.2.16) и (3.2.23), получаем предельное равенство

limε→0

λ0(ε) = −q(0). (3.2.29)

Этап 4. Доказательство равенства

limε→0

λ1(ε) = −q(0) (3.2.30)

в предположении, что M(p) = 0, т.е. уравнение (3.2.4) является самосо-пряженным. Первое собственное значение λ1(ε) антипериодической кра-евой задачи для (3.2.4) вещественно и для него выполняется неравенство

λ1(ε) > λ0(ε).

Отсюда и из (3.2.29) тогда заключаем, что

limε→0

λ1(ε) ≥ −q(0).

Предположим затем, что (3.2.30) не выполняется. Тогда на некоторойпоследовательности εj → 0

limεj→0

λ1(εj) = −q(0) + δ0, где δ0 > 0. (3.2.31)

Из этого равенства и леммы 3.2.1 получаем, что при всех достаточномалых εj уравнение

εx + p1(t)x + [q(t) + λ1(ε)]x = 0 (3.2.32)

имеет при ε = εj решение, которое обращается в нуль на интервале(−T2 , T

2

)не менее двух раз. Поэтому для некоторого τ = τ(εj)

ψ1(τ, εj) < T, (3.2.33)



где ψ1(τ, ε) есть расстояние между двумя соседними нулями решения,обращающегося в нуль при t = τ . С другой стороны, как установлено вглаве 1, для λ = λ1(ε) необходимо выполняется условие

min−T

2≤τ≤T2

ψ1(τ, εj) = T,

т.е. неравенство (3.2.33) не имеет места. Получено противоречие. Такимобразом, равенство (3.2.30) в предположении M(p) = 0 доказано.

Этап 5. Пусть теперьM(p) > 0.

Покажем, что при условии q(0) > 0 решения уравнения (3.2.1)неустойчивы, если ε достаточно мало. Обозначим через µ1(ε) и µ2(ε)мультипликаторы (3.2.1), а через f(ε) — след матрицы монодромии это-го уравнения. Имеем равенства

f(ε) = µ1(ε) + µ2(ε),

µ1(ε) · µ2(ε) = e− 1

ε

T∫0

p(s)ds.

Отсюда видно, что для обоснования неустойчивости решений достаточноустановить при малых ε неравенство

f(ε) < −2. (3.2.34)

Для f(ε) имеет место еще одно представление

f(ε) = x1(a, ε) + x2(a, ε), (3.2.35)

где через x1(t, ε) и x2(t, ε) обозначены решения (3.2.1) с начальнымиусловиями

x1(a− T, ε) = x2(a− T, ε) = 1, x1(a− T, ε) = x2(a− T, ε) = 0. (3.2.36)

Анализируя свойства этих функций, докажем неравенство (3.2.34).Лемма 3.2.2. Существует такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0)

на промежутке (a−T, 0] функции xi(t, ε) (i = 1, 2) положительны, а напромежутке (0, a) каждая из этих функций имеет ровно один нуль.

Доказательство. Сначала установим, что на отрезках [a − T, 0] и[0, a] ни одно решение не может иметь при малых ε более одного ну-ля. Действительно, произведем в (3.2.1) на каждом из рассматриваемых



промежутков отдельно замены

x = ye− 1

2ε

t∫a−T

p2(s)ds

, x = ye12ε

t∫0

p1(s)ds(3.2.37)

соответственно. В результате получим уравнение

εy +

[q(t)− (−1)i+11

2pi(t)− p2

i (t)

4ε

]y = 0. (3.2.38)

На указанных отрезках коэффициент при y в (3.2.38) отрицателен. От-сюда и из теоремы сравнения непосредственно следует, что количествонулей любого решения на [a− T, 0] и [0, a] не превосходит 1.

Далее, в лемме 3.2.1 показано, что решение x2(t, ε) имеет нуль на ин-тервале (0, a), когда ε мало. Учитывая сказанное выше, получаем обосно-вание леммы 3.2.2 для функции x2(t, ε). Отметим здесь же, что, согласнолемме 3.2.1, имеет место равенство

limε→0

x2(0, ε)

x2(0, ε)= − q(0)

p2(0). (3.2.39)

Рассмотрим теперь функцию x1(t, ε). Аналогично (3.2.10) имеем ра-венство (x1(a− T, ε) = 0)

x1(t, ε) = −1

ε

t∫

a−T

q(s)x1(s, ε)e− 1

ε

t∫s

p2(τ)dτds, (3.2.40)

из которого получаем, что на отрезке [a− T, 0]

| x1(t, ε) |≤ c maxa−T≤τ≤t

| x1(τ, ε) |,

где постоянная c > 0 не зависит от t и ε. Последнее, вместе с условиемx1(a − T, ε) = 1 (x1(a − T, ε) = 0), дает нам основание заключить, чтопри ε → 0 последовательность x1(t, ε) равномерно на [a − T, 0] сходитсяк некоторой предельной функции x1(t). Из (3.2.40) тогда следует, что

x1(t, ε) = − q(t)

p2(t)x1(t),

причем x1(a− T ) = 1. Отсюда находим x1(t)

x1(t) = exp

−

t∫

a−T

q(s)

p2(s)ds

.



Таким образом, при всех достаточно малых ε функция x1(t, ε) положи-тельна на [a− T, a], причем

limε→0

x1(0, ε) = α0 = exp

−

0∫

a−T

q(s)

p2(s)ds

, lim

ε→0

x1(0, ε)

x1(0, ε)= − q(0)

p2(0).

(3.2.41)Учитывая последние соотношения, как и при доказательстве леммы3.2.2, убеждаемся в том, что x1(t, ε) обращается в нуль на интервале(0, t0) (t0 > 0), если только ε достаточно мало. Лемма доказана.

Лемма 3.2.3. Имеет место предельное равенство

limε→0

x1(a, ε) = −∞.

Доказательство. Положим

x1(t, ε) = y1(t, ε)e12ε

t∫0

p1(s)ds. (3.2.42)

Тогда функция y1(t, ε) является решением уравнения (3.2.38) при i = 1,причем, как следует из (3.2.41) и (3.2.42), при достаточно малых ε

y1(0, ε) ≤ 2α0, y1(0, ε) ≤ 1

2εp1(0)α0.

Проинтегрируем затем выражение (3.2.38) при y = y1(t, ε). В результатеполучим, что

y1(t, ε) = y1(0, ε) +1

ε

t∫

0

[p2

1(s)

4ε− q(s) +

1

2p1(s)

]y(s, ε)ds. (3.2.43)

Отметим, что выражение, стоящее в квадратных скобках (3.2.43) прималых ε положительно, а функция y1(t, ε) отрицательна вне некоторой(произвольно малой) окрестности точки t = 0. Отсюда и из (3.2.43)вытекает, что

limε→0

y1(a, ε) = −∞. (3.2.44)

Утверждение леммы 3.2.3 тогда следует из (3.2.44) и (3.2.42).Лемма 3.2.4. При всех достаточно малых ε имеет место нера-

венствоx2(a, ε) < 0. (3.2.45)



Доказательство. Пусть x2(t, ε) = y2(t, ε)e12ε

t∫0

p1(s)ds. Тогда

x2(a, ε) = y2(a, ε) +p(a)

2εy2(a, ε)e

12ε

t∫0

p1(s)ds.

Отрицательность x2(a, ε) будет установлена, если удастся показать, чтоy2(a, ε) < 0. (При этом мы учитываем отрицательность y2(a, ε)). Из(3.2.39) вытекает, что y2(0, ε) < 0. Обозначим затем через t(ε) точку, вкоторой функция y2(t, ε) обращается в нуль на отрезке [0, a]. Очевидно,y2(t(ε), ε) < 0. Отрицательность y2(a, ε) следует теперь непосредственноиз приведенных фактов и из равенства

y2(t, ε) = y2(t(ε), ε) +1

ε

t∫

t(ε)

[p2

1(s)

4ε− q(s) +

1

2p1(s)

]y2(s, ε)ds.

Лемма доказана.Как следствие соотношений (3.2.42) и (3.2.45) получаем, что

limε→0

f(ε) = limε→0

(x1(a, ε) + x2(a, ε)) = −∞,

т.е. для всех достаточно малых ε имеет место неравенство (3.2.34). От-сюда, в свою очередь, следует неустойчивость решений (3.2.1), когда εмало. Вместе с равенством (3.2.29), из которого вытекает неустойчивостьрешений при q(0) < 0 и малых ε, это приводит к обоснованию теоремы3.2.2.

Этап 6. Завершение доказательства теоремы 3.2.1. Фиксируем про-извольно δ0 > 0 и положим в уравнении (3.2.4) λ = −q(0) + δ0. Изрезультатов предыдущего пункта тогда заключаем, что при всех малыхε решения полученного уравнения неустойчивы. Отсюда и из утвержде-ний §1.6 приходим к выводу, что существуют два вещественных соб-ственных значения λ1(ε) и λ2(ε) антипериодической краевой задачи для(3.2.4), причем

λ0(ε) < λ1(ε) < −q(0) + δ0, λ2(ε) > −q(0) + δ0.

Из произвола в выборе δ0 тогда следует справедливость предельных ра-венств

limε→0

λ1(ε) = −q(0), limε→0

λ2(ε) = ∞.


§ 3.3. Уравнения со знакопеременным и гладким коэффициентом p(t)77

Отсутствие в промежутках (−∞, λ0(ε)], [λ1(ε), λ2(ε)] вещественных ча-стей других собственных значений следует из теоремы 1.6.2 главы 1.Таким образом теорема 3.2.1 доказана.

В заключение параграфа отметим, что полученные выводы нетруднораспространить на тот случай, когда функции p(t) и q(t) имеют произ-вольное (конечное) число разрывов и | p(t) |> 0.

§ 3.3. Уравнения со знакопеременными гладким коэффициентом p(t)

В этом параграфе будут приведены результаты и кратко описана схемаих доказательства в случае, когда коэффициент p(t) в уравнении (3.2.1)является знакопеременным и гладким. Полное обоснование приведено вработах автора [7,13,14] и будет изложено в главах 7,8,9.

1. Предельные числа собственных значений первой краевой задачи наотрезке [α, β]. Рассматривается первая краевая задача для уравнения

εx + p(t)x + [q(t) + λ]x = 0, (3.3.1)

где ε — малый положительный параметр, q(t) — непрерывна, а p(t) —непрерывно дифференцируема и, что самое главное, функция p(t) имеетконечное число t1, . . . , tn простых нулей в интервале (α, β). Обозначимчерез µj(ε) (j = 0, 1, . . .) собственные значения первой краевой задачи,причем, как обычно, условимся считать, что нумерация идет в порядкевозрастания.

Введем затем в рассмотрение величины (k = 1, . . . , n; i = 0, 1, . . .)

νik = |p(tk)| · i−[q(tk)− 1

2(p(tk) + |p(tk)|)

].

Затем все числа νik расположим в ряд в порядке возрастания и через µj

обозначим (j − 1)-ый член этого ряда.Теорема 3.3.1. Имеют место предельные равенства

limε→+0

µj(ε) = µj (j = 0, 1, . . .). (3.3.2)

2. О доказательстве теоремы 3.3.1. На первом этапе рассматриваетсяслучай, когда p(t) имеет лишь один нуль в точке t1 ∈ (α, β). Основнойрезультат здесь такой:



Лемма 3.3.1. Пусть для некоторого целого положительного kвыполнено неравенство

k − 1 <

[q(t1)− 1

2(p(t1) + |p(t1)|)

]|p(t1)| < k. (3.3.3)

Тогда существует такое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0) найдется решениеx0(t, ε) уравнения

εx + p(t)x + q(t)x = 0, (3.3.4)

имеющее ровно k + 1 нуль на отрезке [α, β]. Количество нулей любогодругого решения на [α, β] не превосходит k + 1.

При обосновании леммы на первом шаге уравнению (3.3.4) путем

преобразования x = ye− 1

2ε

t∫0

p(s)dsи замены времени t = t1+

√ε | p(t1) | −1s

придается более удобный вид:

y +

[2q(t1)− p(t1)

2 |p(t1)| − s2

4+ ω(si, ε)

]y = 0. (3.3.5)

Здесь функция ω(s, ε) стремится к нулю при ε → 0 равномерно на каж-дом конечном промежутке времени s. Уравнение (3.3.5) при ω(si, ε) ≡ 0интегрируется в рядах. Анализируя получающиеся ряды, удается пока-зать, что при условии (3.3.3) максимальное количество нулей решений(3.3.5) ровно k + 1. Используя затем отмеченное выше свойство функ-ции ω(si, ε), приходим к выводу, что наибольшее число нулей решений(3.3.4) при малых ε не меньше k + 1. Таким образом, для завершенияобоснования леммы необходимо показать, что при малых ε уравнение(3.3.4) не может иметь решения с большим числом нулей на [α, β]. Соот-ветствующее доказательство основано на применении осцилляционныхкритериев, связанных с построением „пробных“ функций, обладающихспециальными свойствами.

На втором этапе рассматривается общий случай, т.е. тот, когда функ-ция p(t) удовлетворяет условиям теоремы 3.3.1. Сформулируем утвер-ждение, которое будет играть основную роль при обосновании теоремы.

Предположим, что имеют место неравенства

hk =

[q(tk)− 1

2(p(tk) + |p(tk)|)

]|p(tk)|−1 6= j (j = 0, 1, . . . ; k = 1, . . . , n).

Обозначим через Nk (k = 1, . . . , n) наименьшие неотрицательные целыечисла, превосходящие hk соответственно.



Лемма 3.3.2. Существует такое ε0 > 0, при котором для всехε ∈ (0, ε0) у уравнения (3.3.4) найдется решение, число нулей которогоравно N0, где

N0 = 1 +n∑

i=1

Ni. (3.3.6)

При этом число нулей любого другого решения не превосходит N0.При обосновании леммы действуем так. Сначала, используя лемму

3.3.1, показываем, что число N0, фигурирующее в (3.3.6), уменьшитьнельзя. Для того, чтобы установить тот факт, что число нулей решенийуравнения (3.3.4) при малых ε не может превзойти N0, удобнее работатьс уравнением

εy +

[q(t)− 1

2p(t)− 1

4εp2(t)

]y = 0, (3.3.7)

в которое преобразуется исходное уравнение при помощи замены

x = ye− 1

2ε

t∫a

p(s)ds.

Следующий шаг является центральным. Здесь вводится уравнение

εy +

[q0(t)− 1

εp2

0(t)

]y = 0, (3.3.8)

поведение решений которого вблизи точек поворота „близко“ к пове-дению решений уравнения (3.3.7) на соответствующих промежутках и,кроме того, коэффициенты последнего уравнения выбираются достаточ-но простыми. Они определяются, исходя еще из того, чтобы выражение,стоящее в квадратных скобках (3.3.8), превосходило при каждом t ана-логичное выражение в (3.3.7). Таким образом, если мы покажем, что ко-личество нулей решений (3.3.8) не превосходит N0, то тем самым будетзавершено доказательство леммы. Здесь используется теорема сравнений(глава 1).

Изучение осцилляционных свойств решений (3.3.8) основано на том,что можно так подобрать коэффициенты этого уравнения, чтобы реше-ния выражались через достаточно простые функции (например, черезкомбинации функций параболического цилиндра и экспонент).

На последнем этапе доказательства теоремы 3.3.1 используются, кро-ме леммы 3.3.2, лишь осцилляционные свойства собственных функцийпервой краевой задачи.



В заключение пункта отметим, что предельное (при ε → 0) значениесобственных чисел можно находить и в случае, когда кроме простыхнулей p(t) имеется множество кратных.

3. Асимптотика собственных значений первой краевой задачи. До-полнительное предположение касается лишь гладкости функций p(t) иq(t). Будем предполагать, что p(t) и q(t) бесконечно дифференцируемы.

Теорема 3.3.2. Имеют место асимптотические представления

µj(ε) = µj + εµj1 + ε2µj2 + . . . (j = 0, 1, . . .). (3.3.9)

Алгоритм нахождения чисел µjr приведен в главе 8. Отметим, что всечисла µjr вычисляются лишь по значениям функций p(t), q(t) и их про-изводных в точках поворота. По поводу асимптотических рядов (3.3.9)можно утверждать, что они, вообще говоря, являются расходящимися.

Доказательство теоремы 3.3.2 существенно сложнее, чем доказатель-ство предыдущей теоремы. Здесь его приводить не будем.

4. Асимптотика собственных значений периодической и антипериоди-ческой краевых задач в самосопряженном случае. Рассматривается урав-нение (3.3.1) с малым положительным параметром ε и T -периодическимикоэффициентами, которые предполагаются бесконечно дифференцируе-мыми. Условие самосопряженности означает, что M(p(t)) = 0. Основноепредположение состоит в наличии точек поворота, т.е. что p(t) имеет ко-нечное число простых нулей на [0, T ]. Рассмотрим для уравнения (3.3.1)на отрезке [α, α + T ] первую, периодическую и антипериодическую кра-евые задачи. Собственные значения первой краевой задачи обозначимчерез µj(ε, α) (j = 0, 1, . . .), а собственные значения периодической иантипериодической задач (которые не зависят от α) обозначим черезλ+

j (ε) (j = 0, 1, . . .) и λ−j (ε) (j = 1, 2, . . .) соответственно. При этом нуме-рация происходит в порядке убывания так, что все λ+

j (ε) и λ−j (ε) непре-рывны по ε при ε > 0. На основании теоремы 3.3.2 для каждого α имеемпредставления

µj(ε, α) = µj(α) + εµj1(α) + ε2µj2(α) + . . . .


λ+j (ε) = µj(α0) + εµj1(α0) + ε2µj2(α0) + . . . , (3.3.10)

λ−j+1(ε) = µj(α0) + εµj1(α0) + ε2µj2(α0) + . . . , (3.3.11)



где j = 0, 1, . . ., а α0 такое, что p(α0) 6= 0.Сформулируем затем критерий устойчивости решений уравнения

(3.3.4) в рассматриваемом случае.Теорема 3.3.4. Предположим, что коэффициенты ни одного из

рядов (3.3.10) и (3.3.11) не состоят из одних нулей. Тогда суще-ствует такое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0) решения уравнения (3.3.1)неустойчивы.

Отметим, что теорема 3.3.4 непосредственно вытекает из теоремы3.3.3. Кроме результатов предыдущих пунктов для обоснования теоре-мы 3.3.3 широко используются результаты главы 1. Важную роль играетлемма 1.4.6 главы 1, которая позволяет перейти от рассмотрения соб-ственных значений периодической и антипериодической краевых задачк изучению свойств собственных значений некоторых первых краевыхзадач.

5. Асимптотика собственных значений в несамосопряженном случае.Функции p(t) и q(t) здесь те же, что и в п.4, с той лишь разницей, чтоM(p(t)) > 0. Наряду с уравнением (3.3.1) рассмотрим периодическую иантипериодическую краевые задачи для самосопряженного уравнения

εy +

[q(t)− 1

2p(t)− 1

4εp2(t) + λ

]y = 0. (3.3.12)

Пусть ν+j (ε) (j = 0, 1, . . .) и ν−j (ε) (j = 1, 2, . . .) — собственные зна-

чения периодической и антипериодической краевых задач для уравнения(3.3.12) соответственно. Оказывается, что для этого уравнения примени-мы все выводы п.4. Тем самым мы знаем асимптотику всех рассматрива-емых собственных значений. Обозначим, далее, через h0(ε) — собствен-ное значение периодической краевой задачи для (3.3.1) с наименьшейвещественной частью. Из результатов §1.6 главы 1 вытекает веществен-ность h0(ε). Условимся, наконец, писать ϕ(ε) = o(ε∞), если для любого` > 0 выполняется равенство ϕ(ε) = o(ε`).

Теорема 3.3.5. Имеет место равенство

h0(ε)− ν+0 (ε) = o(ε∞).

Теорема 3.3.6. Пусть для некоторого номера j асимптотическиеряды для ν+

2j−1(ε) и ν+2j(ε) (или ν−2j−1(ε) и ν−2j(ε)) не совпадают. Тогда

найдется такое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0) существуют два таких



собственных значения hj1(ε) и hj2(ε) периодической (антипериодиче-ской) краевой задачи для (3.3.1), которые вещественны, непрерывнозависят от ε (ε > 0) и выполняются соотношения

ν+2j−1(ε) < hj1(ε) < hj2(ε) < ν+

2j(ε)(ν−2j−1 (ε) < hj1(ε) < hj2(ε) < ν−2j(ε)

)hj1(ε)− ν+

2j−1(ε) = o(ε∞)(hj1(ε)− ν−2j−1(ε) = o(ε∞)

)hj2(ε)− ν+

2j(ε) = o(ε∞)(hj2(ε)− ν−2j(ε) = o(ε∞)

).

При этом интервалу (hj1(ε), hj2(ε)) не может принадлежать веще-ственная часть ни одного из собственных значений рассматривае-мых краевых задач для уравнения (3.3.1).

Сформулируем в заключение критерии устойчивости решений урав-нения (3.3.4) для случая M [p(t)] > 0.

Теорема 3.3.7. Пусть коэффициенты ни одного из асимптотиче-ских рядов ν+

j (ε) и ν−j (ε) не состоят из одних нулей. Тогда найдетсятакое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0) решения уравнения (3.3.4) неустой-чивы.

Несколько слов о доказательстве теорем. Теорема 3.3.7 непосред-ственно вытекает из теоремы 3.3.5, 3.3.6 и результатов §1.6 главы 1. Ос-нову обоснования теорем 3.3.5 и 3.3.6, кроме общих положений теориизон устойчивости, составляют результаты §1.5 главы 1. Эти результатыпозволяют исходную задачу свести к задаче на построение специальных„пробных“ функций.


Глава 4

Асимптотические законыраспределений собственныхзначений периодической иантипериодической краевыхзадач

Сначала излагаются хорошо известные результаты (см. например,[15]) для уравнений без точек поворота. Приведенные в §§4.2 и 4.3утверждения для уравнений с точками поворота получены в [16].

§ 4.1. Асимптотика собственных значений дляуравнений без точек поворота

1. Основной результат. Рассмотрим дифференциальное уравнение

x + [λ2r(t) + q(t)]x = 0, (4.1.1)

где T -периодические функции r(t) и q(t) достаточно гладкие. Основноепредположение состоит в том, что отсутствуют точки поворота, т.е.

r(t) > 0, t ∈ [0, T ]. (4.1.2)

Поставим для уравнения (4.1.1) периодическую и антипериодическуюкраевые задачи. Согласно изложенной в главе 1 теории, существует бес-конечно много собственных значений λ+

n (n = 0, 1, . . .) периодической и

83


84 ГЛАВА 4. Асимптотические законы распределений . . .

λ−n (n = 1, 2, . . .) антипериодической краевых задач, причем

(λ+0 )2 < (λ−1 )2 ≤ (λ−2 )2 < (λ+

1 )2 < (λ−3 )2 ≤ . . . .

Нас будет интересовать вопрос о зависимости собственных значенийλ+

n и λ−n от номера n, когда n стремится к бесконечности. Поскольку прибольших номерах n величины (λ±n )2 положительны, то через λ±n удобнообозначать в дальнейшем арифметическое значение корня из (λ±n )2.

Теорема 4.1.1. Имеют место асимптотические неравенства

λ+2n−1 =

2πnT∫0

√r(t)dt

+ O(n−12 ), λ+

2n =2πn

T∫0

√r(t)dt

+ O(n−12 ), (4.1.3)

λ−2n−1 =(2n− 1)πT∫0

√r(t)dt

+ O(n−12 ), λ−2n =

(2n− 1)πT∫0

√r(t)dt

+ O(n−12 ). (4.1.4)

2. Обоснование теоремы 4.1.1. Сначала приведем уравнение (4.1.1)к более удобному для исследования виду. Для этого выполним в немпоследовательно несколько преобразований. Сначала произведем заменувремени

t = ϕ(τ) (ϕ′(τ) > 0), (4.1.5)

затем положим x(ϕ(τ)) = z(τ) и, наконец,

z(τ) =(√

ϕ(τ))−1

y(τ).

Тогда для функции y(τ) получаем дифференциальное уравнение

y +[λr(ϕ(τ))ϕ2(τ) + g(τ)

]y = 0, (4.1.6)

где

g(τ) = ϕ2(τ)g(ϕ(τ)) +2ϕ′(τ)ϕ(τ)− ϕ2(τ)

4ϕ2(τ).

Функцию ϕ(τ) определим из условия равенства единице коэффициентапри λ2, т.е.

r(ϕ(τ))ϕ2(τ) = 1.


§ 4.1. Уравнения без точек поворота 85

Решая это уравнение, находим неявное выражение для ϕ(τ):

τ =

ϕ(τ)∫

0

√r(t)dt.

Отсюда функция ϕ(τ) легко определяется. Для уравнения с

T1 =T∫0

√r(t)dt-периодическими коэффициентами

y +[λ2 + g(τ)

]y = 0 (4.1.7)

в главе 1 §1.6 была получена асимптотика при больших λ следа f(λ)матрицы монодромии:

f(λ) = 2 cos λT1 + O(λ−1). (4.1.8)

Отметим, что f(λ) является также следом матрицы монодромии урав-нения (4.1.1). Поэтому собственные значения рассматриваемых краевыхзадач и только они являются решениями уравнений

f(λ) = 2, f(λ) = −2. (4.1.9)

Положим затем λ+2n−1 = 2πn

T∫0

√r(t)dt

+ δ2n−1, λ+2n = 2πn

T∫0

√r(t)dt

+ δ2n. Тогда, ис-

пользуя в первом равенстве (4.1.9) выражение (4.1.8) для определенияδ2n−1 и δ2n, получим равенства

4 sin2 1

2δ2n−1 = O

(1

n

), 4 sin2 1

2δ2n = O

(1

n

).

Из общих свойств функции f(λ) вытекает, что эти уравнения разреши-

мы, а значит, δ2n−1 = O(n−

12

)и δ2n = O

(n−

12

). Для того чтобы уста-

новить наличие нужного числа нулей у собственных функций x+2n−1(t)

и x+2n(t), опять используем полученные в §1.6 главы 1 асимптотические

представления решений (4.1.7). Для величин λ−2n−1 и λ−2n рассуждения теже. Тем самым теорема доказана.

Сделаем одно замечание. Можно показать, что для любого натураль-



ного k ≥ 1 имеют место асимптотические равенства

λ+2n−1 = 2πn

T∫0

√r(t)dt

+ c11

n + . . . +c1k

nk + O(n−k−1

),

λ+2n = 2πn

T∫0

√r(t)dt

+ c11

n + . . . +c1k

nk + O(n−k−1

),

λ−2n−1 = (2n−1)πT∫0

√r(t)dt

+ c21

n + . . . +c2k

nk + O(n−k−1

),

λ−2n = (2n−1)πT∫0

√r(t)dt

+ c21

n + . . . +c2k

nk + O(n−k−1

),

в которых коэффициенты cij выражаются через r(ϕ(τ)), g(τ) и ее произ-

водные. Обращаем внимание, что для любого целого k(λ±2n−1 − λ±2n

)= O

(n−k

),

т.е. длина зон неустойчивости стремится к нулю (быстрей любой отри-цательной степени n). Длина зон устойчивости, очевидно, стремится к

числу π

(T∫0

√r(t)dt

)−1

.

§ 4.2. Асимптотика собственных значений приусловии r(t) ≥ 0

1. Формулировка результатов. Основным предположением здесь являетсянеотрицательность и наличие нулей функции в уравнении

x + p(t)x +[λ2r(t) + q(t)

]x = 0. (4.2.1)

Ограничимся для простоты изложения рассмотрением случая, когда r(t)имеет конечное число t1, . . . , tm (m ≥ 1) нулей на промежутке (0, T ) дли-ны периода, причем будем считать, что кратность каждого нуля равнадвум. Далее, как обычно, предположим, что непрерывно дифференциру-емая функция p(t) такова, что

M(p) ≥ 0. (4.2.2)

Наряду с (4.2.1) введем в рассмотрение самосопряженное уравнение

y +[λ2r(t) + g(t)

]y = 0, (4.2.3)


§ 4.2. Асимптотика при условии r(t) ≥ 0 87

где

g(t) = q(t)− 1

2p(t)− 1

4p2(t).

Напомним, что решения (4.2.1) и (4.2.3) связаны соотношением

x = ye− 1

2

t∫0

p(s)ds. (4.2.4)

Поставим для каждого из уравнений (4.2.1) и (4.2.3) периодиче-скую и антипериодическую краевые задачи. Собственные значения этихкраевых задач для уравнения (4.2.3) обозначим через λ+

n (n = 0, 1, . . .)и λ−n (n = 1, 2, . . .) соответственно. Нас будет интересовать вопрос обасимптотической зависимости λ±n от номера n, когда n велико, а так-же вопрос о существовании бесконечного множества вещественныхсобственных значений рассматриваемых краевых задач для уравнения(4.2.1) и об их асимптотических законах распределения. Отметим, чтоуравнение (4.2.3) может иметь лишь конечное число комплексных (чистомнимых) собственных значений.

Сначала сформулируем результаты для случая m = 1.Теорема 4.2.1. Имеют место равенства

λ+2n−1 =

2π(n− 1

8

)T∫0

√r(t)dt

+ O(n−

12 ln n

), λ+

2n =2π

(n + 1

8

)T∫0

√r(t)dt

+ O(n−

12 ln n

),

(4.2.5)

λ−2n−1 =2π

(n− 5

8

)T∫0

√r(t)dt

+ O(n−

12 ln n

), λ−2n =

2π(n− 3

8

)T∫0

√r(t)dt

+ O(n−

12 ln n

).

(4.2.6)

Опишем теперь, как можно получить соответствующие результатыдля произвольного m > 1. Сначала введем несколько обозначений. Счи-тая, что нули t1, . . . , tm функции r(t) занумерованы в порядке возраста-ния, положим

tm+1 = t1 + ω, ai =1

2

ti+1∫

ti

√r(t)dt− π

8(i = 1, . . . , m).



Далее, введем матрицы

Ui(λ) =

(ui

11(λ) ui12(λ)

ui21(λ) ui

22(λ)

)(i = 1, . . . , m),

элементы которых определяются следующим образом:

ui11(λ) = cos λ[ai + ai+1]− 2 sin λai · cos λai+1,

ui12(λ) = λ−1(sin λ[ai + ai+1] + 2 cos λai · cos λai+1),

ui21(λ) = −λ(sin λ[ai + ai+1]− 2 sin λai · sin λai+1),

ui22(λ) = cos λ[ai + ai+1]− 2 cos λai · sin λai+1.

Матрицу U(λ) определим тогда по правилу

U(λ) = Um(λ) · . . . · U1(λ),

а след этой матрицы обозначим через ϕ(λ).В формулировке следующего результата будут участвовать решения

уравненийϕ(λ) = 2 и ϕ(λ) = −2.

Неотрицательные решения h+n (n = 0, 1, . . .) первого и h−n (n = 1, 2, . . .)

второго из этих уравнений удобно считать занумерованными в порядкевозрастания с учетом кратности.

Теорема 4.2.2. Имеют место равенства

λ+n = h+

n + O(n−

12 ln n

), λ−n = h−n + O

(n−

12 ln n

). (4.2.7)

Если M(p) = 0, то собственные значения рассматриваемых краевыхзадач для уравнения (4.2.1) те же, что и у (4.2.3). Пусть

M(p) > 0. (4.2.8)

Теорема 4.2.3. Пусть m = 1 и выполняется неравенство

ch

T∫

0

√r(t)dt

>

√2. (4.2.9)

Тогда уравнение (4.2.1) имеет лишь конечное число вещественныхсобственных значений периодической и антипериодической краевых



задач, причем при всех достаточно больших λ решения (4.2.1) устой-чивы. Если же

ch

T∫

0

√r(t)dt

<

√2, (4.2.10)

то уравнение (4.2.1) имеет лишь конечное число комплексных соб-ственных значений тех же краевых задач, причем при неограничен-ном увеличении λ устойчивость и неустойчивость решений неограни-ченно чередуются.

Из приводимого ниже доказательства теоремы 4.2.3 будет следовать,что при условии (4.2.10) у уравнения (4.2.1) существует бесконечно мно-го зон устойчивости и неустойчивости, причем длины этих зон имеютконечные ненулевые пределы при неограниченном росте n. Интересноотметить, что в случае r(t) > 0 существование конечного числа веще-ственных собственных значений (и устойчивость решений (4.2.1) привсех достаточно больших λ) следует уже из неравенства (4.2.8).

Можно сформулировать результаты, аналогичные теореме 4.2.3, и дляm > 1, однако на этом останавливаться не будем.

2. Вспомогательные построения. Важным моментом доказательстваявляется сведение случая, когда m > 1, к рассмотрению более простогослучая m = 1. Для этого поступим следующим образом. Обозначимчерез U(t, λ) фундаментальную матрицу решений уравнения (4.2.3). Всезначания параметра λ, при которых матрица монодромии U(t, λ) имеетсобственные значения ±1 (и только они), будут являться собственнымизначениями периодической и антипериодической краевых задач. Изучимасимптотику матрицы U(t, λ). Считая, что

0 < t1 < . . . < tm < T,

введем в рассмотрение числа τi (i = 0, . . .m) так, чтобы выполнялисьнеравенства

τ0 = 0 < t1 < τ1 < t2 < τ2 < . . . < tm < T = τm. (4.2.11)

Если теперь обозначить через Ui(t, λ) (i = 1, . . . m) такие фундаменталь-ные матрицы уравнения (4.2.3), что Ui(τi−1, λ) = I, то получим следую-щее важное для нас равенство

U(T, λ) = Um(τm, λ) · Um−1(τm−1, λ) · . . . · U1(τ1, λ). (4.2.12)



Из него вытекает, что асимптотика U(T, λ) будет получена, если удастсяполучить асимптотику каждой из матриц Ui(τi, λ). Для этого, в свою оче-редь, достаточно изучить поведение одной из этих матриц при большихзначениях λ. Выберем для определенности в качестве такой матрицыU1(τ1, λ) и займемся изучением ее свойств.

Введем несколько обозначений. Через x1(t, λ) и x2(t, λ) обозначимрешения уравнения (4.2.3) с начальными условиями

x1(0, λ) = x2(0, λ) = 1, x1(0, λ) = x2(0, λ) = 0.

Элементами матрицы U1(τ1, λ) являются величины x1(τ1, λ), x1(τ1, λ),x2(τ1, λ) и x2(τ1, λ). Поэтому изучим эти величины при больших λ. Какоказывается, это удобно сделать, вводя две вспомогательные функцииx0(t, λ) и x0(t, λ), которые являются решениями того же уравнения, чтои функции x1(t, λ) и x2(t, λ), а начальные условия их таковы:

x0(t1, λ) = x0(t1, λ) = 1, x0(t1, λ) = x0(t1, λ) = 0.

Отметим,что функции x1(t, λ) и x2(t, λ) легко выражаются через x0(t, λ)и x0(t, λ), а именно

x1(t, λ) = x0(0, λ) · x0(t, λ)− x0(0, λ)x0(t, λ), (4.2.13)

x2(t, λ) = −x0(0, λ) · x0(t, λ) + x0(0, λ)x0(t, λ). (4.2.14)

Отсюда вытекает, что для получения асимптотики U1(τ1, λ) необходимоизучить асимптотическое поведение величин x0(t, λ), x0(t, λ) и их произ-водных при t = 0 и t = τ1. Этим сейчас и займемся.

3. Обоснование результатов. Введем в рассмотрение модельное урав-нение

d2y

ds2 + s2y = 0.

Пусть решения y0(s) и y0(s) этого уравнения удовлетворяют начальнымусловиям

y0(0) = y0(0) = 1, y0(0) = y0(0) = 0.

Асимптотические (при больших значениях s) представления этих функ-ций хорошо известны (см., например, [17]):

y0(s) = 212π−

12Γ

(34

)s−

12 cos

[12s

2 − π8

]+ O

(s−

52

),

y0(s) = 212π−

12Γ

(34

)s

12 cos

[12s

2 + π8

]+ O

(s−

32

),

y0(s) = 232π−

12Γ

(54

)s−

12 cos

[12s

2 − 3π8

]+ O

(s−

52

),

y0(s) = 232π−

12Γ

(54

)s−

12 cos

[12s

2 − π8

]+ O

(s−

32

).

(4.2.15)



Лемма 4.2.1. Имеют место асимптотические формулы

(ω′(t1))− 1

2 x0(τ, λ) = (ω′(τ))−12 y0

[λ

12ω(τ)

]+ O(λ−

12 ln λ),

(ω′(t1))− 1

2 x0(τ, λ) = λ12

[(ω′(τ))

12 y0

[λ

12ω(τ)

]+ O(λ−

12 ln λ)

],

(ω′(t1))12 x0(τ, λ) = λ−

12

[(ω′(τ))−

12 y0

[λ

12ω(τ)

]+ O(λ−

12 ln λ)

],

(ω′(t1))12 x0(τ, λ) = (ω′(τ))

12 y0

[λ

12ω(τ)

]+ O(λ−

12 ln λ),

(4.2.16)где τ принимает значения 0 и τ1, а

ω(t) =

2

t∫

t1

√r(ξ)dξ

12

(ω(t)r(t) ≥ 0). (4.2.17)

О доказательстве леммы 4.2.1. В уравнении (4.2.3) произведем заме-ны

s = ω(t),

где ω(t) определяется формулой (4.2.17), а затем

x(t) = (ω′(t))−12 y(s). (4.2.18)

Тогда для функции y(s) получим дифференциальное уравнение

d2y

ds2 + λ2s2y = g(s)y, (4.2.19)

в котором через g(s) обозначена функция, легко вычисляющаяся в про-цессе замен (4.2.17) и (4.2.18). Точный вид этой функции нам не пона-добится. Пусть y1(s, λ) и y2(s, λ) — решения уравнения (4.2.19) с началь-ными условиями

y1(0, λ) = y2(0, λ) = 1, y1(0, λ) = y2(0, λ) = 0.

Метод вариации произвольной постоянной для уравнения (4.2.19) позво-ляет получить представления

u1(s, λ) = λ−12

s∫

0

y0

(λ

12τ

)K(s, τ)dτ + λ−

12

s∫

0

u1(τ, λ)K(s, τ)dτ, (4.2.20)



u2(s, λ) = λ−12

s∫

0

y0(λ

12τ

)K(s, τ)dτ + λ−

12

s∫

0

u2(τ, λ)K(s, τ)dτ, (4.2.21)

где

K(s, τ) = g(τ)[y0

(λ

12s

)y0

(λ

12τ

)− y0

(λ

12s

)y0

(λ

12τ

)],

u1(s, λ) = y1(s, λ)− y0

(λ

12s

), u2(s, λ) = λ

12

(y2(s, λ)− y0

(λ

12s

)).

Учет в формулах (4.2.20) и (4.2.21) свойств функций y0(s) и y0(s) поз-воляет непосредственно получить оценки для функций ui(s, λ) (i = 1, 2)при фиксированном s 6= 0:

ui(s, λ) = O(λ−

12 ln λ

)(i = 1, 2).

Отсюда уже, производя замену, обратную (4.2.18), приходим к обосно-ванию леммы.

Равенства (4.2.16) позволяют по формулам (4.2.13) и (4.2.14) опре-делить асимптотические соотношения для элементов матрицы U1(τ1, λ).Производя необходимые вычисления, получаем

x1(τ1, λ) =√

r(0)r(τ1)

[cos

(λ

τ1∫0

√r(t)dt− π

4

)−

−2 sin

(λ

t1∫0

√r(t)dt− π

8

)cos

(λ

τ1∫t1

√r(t)dt− π

8

)]+

+O(λ−

12 ln λ

),

x1(τ1, λ) = −λ√

r(0)r(τ1)

[sin

(λ

τ1∫0

√r(t)dt− π

4

)−

−2 sin

(λ

t1∫0

√r(t)dt− π

8

)sin

(λ

τ1∫t1

√r(t)dt− π

8

)

+O(λ−

12 ln λ

)],



x2(τ1, λ) = −λ−1 (r(0)r(τ1))− 1

2

[sin

(λ

τ1∫0

√r(t)dt− π

4

)+

+2 cos

(λ

t1∫0

√r(t)dt− π

8

)cos

(λ

τ1∫t1

√r(t)dt− π

8

)

+O(λ−

12 ln λ

)],

x2(τ1, λ) =√

r(τ1)r(0)

[cos

(λ

τ1∫0

√r(t)dt− π

4

)−

−2 cos

(λ

t1∫0

√r(t)dt− π

8

)sin

(λ

τ1∫t1

√r(t)dt− π

8

)]

+O(λ−

12 ln λ

).

Тем самым найдено асимптотическое представление матрицы U1(τ1, λ).Аналогично получаются подобные выражения для всех остальных мат-риц, фигурирующих в определении U(T, λ).

Заметим теперь, что при таком специальном выборе чисел τ0, . . . , τm,при котором верны соотношения

ti+1∫

τi

√r(t)dt =

1

2

ti+1∫

ti

√r(t)dt,

справедливо равенство U(T, λ) = U(λ) + O(λ−

12 ln λ

). Отсюда, в свою

очередь, следует, что

f(λ) = ϕ(λ) + O(λ−

12 ln λ

). (4.2.22)

Здесь через f(λ) обозначен след матрицы монодромии U(T, λ). Собствен-ные значения λ+

n и λ−n являются корнями уравнений

f(λ) = 2 и f(λ) = −2, (4.2.23)

соответственно. Отсюда, из равенства (4.2.22) и из определения чиселh+

n и h−n вытекает доказательство теорем 4.2.1 и 4.2.2. Отметим еще,что проверку того, что собственные функции, отвечающие λ+

n и λ−n , име-ют нужное число нулей, легко осуществить, используя асимптотическиеформулы решений.

Перейдем к доказательству теоремы 4.2.3. Собственные значения пе-риодической и антипериодической краевых задач (и только они) являют-



ся соответственно решениями уравнений

f(λ) = 2 ch

T∫

0

p(s)ds

и f(λ) = −2 ch

T∫

0

p(s)ds

. (4.2.24)

Для следа матрицы монодромии справедлива формула

f(λ) = x1(T, λ) + x2(T, λ).

Асимптотические представления для x1(T, λ) и x2(T, λ) приводят к ра-венству

f(λ) = 232 cos

λ

T∫

0

√r(t)dt

+ O

(λ−1 ln λ

).

Подставляя последнее выражения в (4.2.24), легко убеждаемся в спра-ведливости теоремы 4.2.3.

Таким образом, сравнивая поведение собственных значений приr(t) > 0 и r(t) ≥ 0, делаем вывод, что наличие нулей у r(t) приводитк сдвижке всех собственных значений на некоторые постоянные величи-ны.

§ 4.3. Асимптотика собственных значенийв случае знакопеременной r(t)

1. Формулировка результатов. Будем считать, что T - периодическаяфункция r(t) в уравнении

x +[λ2r(t) + q(t)

]x = 0, (4.3.1)

имеет конечное число простых нулей t1 < t2 < . . . < tm на интерва-ле (0, T ). При неограниченном увеличении λ количество нулей решений(4.3.1) на отрезке [0, T ] стремится к бесконечности. Отсюда и из ре-зультатов главы 1 вытекает, что существует бесконечно много собствен-ных значений периодической и антипериодической краевых задач дляуравнения (4.3.1). Очевидно, кроме бесконечного числа вещественныхсобственных значений существует и бесконечно много чисто мнимыхсобственных значений, однако, поскольку замена λ2 на −λ2 не меняеттипа задачи, достаточно рассмотреть лишь вещественные собственные


§ 4.3. Cлучай знакопеременной r(t) 95

значения. Условимся о нумерации. Собственными значениями λ+2n−1 и

λ+2n будем называть такие неотрицательные собственные значения перио-

дической краевой задачи, которым отвечают собственные функции, име-ющие ровно 2n нулей на [0, T ). Аналогично, собственными значениямиλ−2n−1 ≥ 0 и λ−2n ≥ 0 назовем такие собственные значения антипериодиче-ской краевой задачи, отвечающие которым собственные функции имеютровно 2n− 1 нулей на [0, T ). Как и в §§4.1 и 4.2, нас будет интересоватьвопрос о зависимости λ±n от номера n, когда n неограниченно растет.

Прежде чем перейти к формулировке результатов, введем несколькообозначений. Пусть (αi, βi) (i = 1, . . . , m

2 ) — все те интервалы отрезка[t1, t1 +T ], концами которых служат нули функции r(t) и на которых r(t)положительна. Положим

ri(t) =

{r(t), t ∈ (αi + kT, βi + kT ) (k = 0,±1, . . .),

0, t∈(αi + kT, βi + kT ) (k = 0,±1, . . .).

Рассмотрим затем совокупность чисел

hik =π

(k + 1

2

)T∫0

√ri(t)dt

(i = 1, . . . ,

m

2; k = 0, 1, . . .

).

Расположим все числа hik в ряд в порядке возрастания. Определим затемчисла hn, которые будем считать равными соответственно (n + 1)-мучлену этого ряда.

Теорема 4.3.1. Имеют место асимптотические равенства

λ+n−1 = hn + O(n−1), λ−n = hn + O(n−1). (4.3.2)

Рассмотрим затем несамосопряженное уравнение

x + p(t)x +[λ2r(t) + q(t)

]x = 0, (4.3.3)

где r(t) та же, что и выше. Условие несамосопряженности означает, что

M(p) > 0. (4.3.4)

Через λ+2n−1 и λ+

2n

(λ−2n−1 и λ−2n

)будем обозначать такие вещественные

собственные числа (если они существуют) периодической (антиперио-дической) краевой задачи, отвечающие которым собственные функцииимеют ровно 2n (2n− 1) нулей на полуинтервале [0, T ).



Теорема 4.3.2. Для уравнения (4.3.3) имеют место следующиеутверждения:

1. Найдутся такое λ0 > 0 и такое четное n0, что на по-луоси [λ0,∞) существует бесконечно много собственных значенийλ+

n (n = n0, n0 +1, . . .) и λ−n (n = n0, n0 +1, . . .), для которых справедливынеравенства

λ+n0

< λ−n0+1 ≤ λ−n0+2 < λ+n0+1 ≤ λ+

n0+2 < . . . .

2. Решения устойчивы в том и только в том случае, когда

λ ∈(λ+

2n, λ−2n+1

)или λ ∈

(λ−2n, λ

+2n−1

).

3. Имеют место асимптотические равенства

λ+n−1 = hn + O

(n−1) , λ−n = hn + O

(n−1) . (4.3.5)

Из этой теоремы вытекает, в частности, что независимо от вели-чины M(p), длина зон устойчивости стремится к нулю с ростом n, апоследовательность длин зон неустойчивости состоит, вообще говоря,из нескольких подпоследовательностей, имеющих конечный предел приn →∞, причем хотя бы один из этих пределов не равен нулю.

2. Об обосновании результатов. Будем здесь придерживаться обо-значений §4.2. Так же, как и в предыдущем случае, здесь достаточноизучить асимптотику матрицы U1(τ1, λ). Считая, что r(0) < 0, в качествемодельного уравнения примем такое:

d2y

ds2 + sy = 0. (4.3.6)

Для решений y0(s) и y0(s) этого уравнения с начальными условиямиy0(0) = y0(0) = 1, y0(0) = y0(0) = 0 воспользуемся известными [17]асимптотическими формулами для больших значений s. Эти формулы



имеют вид:

y0(s) = 316π−

12Γ

(23

)s−

14

{cos

[23s

32 − π

12

]+ O

(s−

32

)}, s > 0,

y0(s) = 2−1π−123

16Γ

(23

)(−s)−

14e

23 (−s)

32

{1 + O

(s−

32

)}, s < 0,

y0(s) = 356π−

12Γ

(43

)s−

14

{cos

[23s

32 − 5π

12

]+ O

(s−

32

)}, s > 0,

y0(s) = 3562−1π−

12Γ

(43

)(−s)−

14e

23 (−s)

32

{1 + O

(s−

32

)}, s < 0,

y0(s) = −316π−

12Γ

(23

)s

14

{cos

[23s

32 − 7π

12

]+ O

(s−

32

)}, s > 0,

y0(s) = −316π−

122−1Γ

(23

)s

14e

23s

32

{1 + O

(s−

32

)}, s < 0,

y0(s) = 356π−

12Γ

(43

)s

14 cos

[23s

32 − π

12

]{1 + O

(s−

32

)}, s > 0,

y0(s) = 3562−1π−

12Γ

(43

)s

14e

23s

32

{1 + O

(s−

32

)}, s < 0.

(4.3.7)

На следующем этапе, действуя так же, как при доказательстве леммы4.2.1, получаем выражения для функций x0(τ, λ) и x0(τ, λ) через y0(s, λ)и y0(s, λ). Окончательные формулы здесь такие:

[ω′(t1)]− 1

2 x0(τ, λ) = [ω′(τ)]−12 y0

(λ

23ω(τ)

) [1 + O

(λ−1

)],

[ω′(t1)]− 1

2 x0(τ, λ) = λ23 [ω′(τ)]

12 y0

(λ

23ω(τ)

) [1 + O

(λ−1

)],

[ω′(t1)]12 x0(τ, λ) = λ−

23

{[ω′(τ)]−

12 y0

(λ

23ω(τ)

) [1 + O

(λ−1

)]},

[ω′(t1)]12 x0(τ, λ) = [ω′(τ)]−

12 y0

(λ

23ω(τ)

) [1 + O

(λ−1

)],

(4.3.8)

где τ принимает значения 0 и τ1, а функция ω(t) определяется равенством

ω(t) =

3

2

t∫

t1

√r(s)ds

23

.

По формулам (4.3.7) и (4.3.8) находим асимптотические выражениядля x0(τ, λ) и x0(τ, λ), а затем из равенств (4.2.13) и (4.2.14) получимасимптотику U1(τ1, λ). Для того чтобы подобным образом изучить мат-рицу U2(τ2, λ), необходимо в качестве модельного уравнения принять

d2y

ds2 − sy = 0.

Отметим, что это уравнение получается из уравнения (4.3.6) с помощьюзамены времени s на −s. Учитывая это, можно воспользоваться преды-дущими формулами.



Для упрощения вычислений можно положить| r(τ1)| = |r(τ2)| = . . . = |r(τm)|. Прежде чем привести окончатель-ные формулы, введем еще два обозначения:

ψ(λ) = 2m2 cos

(λ

T∫0

√r1(t)dt

)· . . . · cos

(λ

T∫0

√rm

2(t)dt

),

r−(t) =

{ −r(t), если r(t) ≤ 0,0, если r(t) > 0.

Тогда

x1(T, λ) =[ψ(λ) + O

(λ−1

)]eλ

T∫0

√r−(t)dt

,

x1(T, λ) = λ[ψ(λ) + O

(λ−1

)]eλ

T∫0

√r−(t)dt

,

x2(T, λ) = λ−1[ψ(λ) + O

(λ−1

)]eλ

T∫0

√r−(t)dt

,

x2(T, λ) =[ψ(λ) + O

(λ−1

)]eλ

T∫0

√r−(t)dt

.

(4.3.9)

Отсюда получаем соотношение для следа f(λ) матрицы монодромии:

f(λ) = 2[ψ(λ) + O

(λ−1)] e

λT∫0

√r−(t)d

. (4.3.10)

Подставляя (4.3.10) в равенства (4.2.23) и (4.2.24) и анализируя полу-чающиеся выражения, приходим к обоснованию всех сформулированныхв первом пункте результатов.

3. Пример. Изучим асимптотические законы распределения собствен-ных значений периодической и антипериодической краевых задач дляуравнения

x + 2αx + λ2r(t)x = 0, (4.3.11)

где α > 0, а периодическая с периодом T = 1 функция r(t) имеет вид

r(t) =

{β2, если t ∈ [0, a], β > 0, 0 < a < 1,−1, если t ∈ [a, 1].

Несмотря на то, что функция r(t) не принадлежит к рассмотрен-ному выше классу, тем не менее выводы для уравнения (4.3.10) бу-дут примерно такими же, что и в случае непрерывной и знакопере-менной r(t). Уравнение (4.3.11) интегрируется в явном виде. Найдемрешения x1(t, λ) и x2(t, λ) этого уравнения с начальными условиями



x1(0, λ) = x2(0, λ) = 1, x1(0, λ) = x2(0, λ) = 0. Для значений t из отрезка[0, a] находим, что

x1(t, λ) =[cos

(√λ2β2 − α2t

)+

+ α√λ2β2−α2

sin(√

λ2β2 − α2t) ]

e−αt,(4.3.12)

x2(t, λ) =1√

λ2β2 − α2sin

(√λ2β2 − α2t

)e−αt. (4.3.13)

Учитывая это, получим следующее выражение для значений t ∈ (a, 1]:

x1(t, λ) =(2√

λ2β2+α2)−1

××

{[(α+

√λ2β2+α2

)x1(a, λ)+x1(a, λ)

]e

(−α+

√λ2β2+α2

)(t−a) −

−[x1(a, λ)+

(α+

√λ2β2+α2

)x1(a, λ)

]e

(−α−

√λ2β2+α2

)(t−a)

},

(4.3.14)

x2(t, λ) =(2√

λ2β2+α2)−1

××

{[(α+

√λ2β2+α2

)x2(a, λ)+x2(a, λ)

]e

(−α+

√λ2β2+α2

)(t−a) −

−[x2(a, λ)+

(α+

√λ2β2+α2

)x2(a, λ)

]e

(−α−

√λ2β2+α2

)(t−a)

},

(4.3.15)

причем входящие в эти равенства величины xi(a, λ) и xi(a, λ) (i = 1, 2)определяются в (4.3.12) и (4.3.13) при t = a. Формулы (4.3.14) и (4.3.15)дают возможность получить асимптотическое выражение для следа f(λ)матрицы монодромии уравнения (4.3.11). Имеем

f(λ) = x1(1, λ) + x2(1, λ) =

=[cos λβ + O

(λ−1

)]eλ(1−a+O(λ−1)).

Уравнения для нахождения собственных значений принимают после про-стых преобразований вид

[cos λβ + O

(λ−1)] eλ(1−a+O(λ−1)) = ±1.

Отсюда собственные значения легко находятся. Очевидно, что принеограниченном увеличении λ они стремятся к нулям функции cos λβ,

т.е. к числам видаπ(n+ 1

2)β .


Глава 5

Параметрический резонанс придвухчастотном возмущении

В этой главе излагаются результаты работы [18]. Сразу отметим, что,как будет показано, задачи об устойчивости решений при двухчастотноми одночастотном возмущении принципиально различны.

§ 5.1. Постановка задачи и редукцияк специальному уравнению второго порядка

1. Постановка задачи. Будем исследовать вопрос об устойчивости реше-ний описывающего движение „качелей“ уравнения

x + 2εa0x + [1 + εa1 sin ν1t + εa2 sin ν2t] x = 0, (5.1.1)

где ε — малый параметр (ε > 0), постоянная a0 > 0, ν1 = 2(1 + εδ1),ν2 = 2(1 + εδ2), a1, a2, δ1, δ2 — произвольные постоянные.

Величину

µ = 2δ2 − δ1

1− εδ1

будем называть расстройкой между частотами внешних возмущений.Отметим, что уравнение (5.1.1) является, вообще говоря, уравнением

с почти периодическими коэффициентами. Поэтому никакие из преды-дущих выводов к нему непосредственно не применимы.

2. Редукция исходного уравнения. В уравнении (5.1.1) выполним сна-чала замену времени τ = (1 + εδ1)t, а затем обычным способом перейдем

100


§ 5.1. Постановка задачи и редукция к специальному уравнению... 101

к системе двух уравнений

y = A0y + εA1(τ, µξ)y + ε2A(τ, ε)y;

(y =

(x

x

)), (5.1.2)

где

ξ = ετ, A0 =

(0 1−1 0

),

A1(t, ξ) = −(

0 0−2δ1 + a1 sin 2τ + a2 sin(2τ + ξ) 2a0

),

а элементы матрицы A(τ, ε) почти периодичны по τ и равномерно огра-ничены при всех τ ∈ (−∞,∞) и ε ∈ [0, ε0] (ε0 > 0). На следующем этапепроизведем замену

y = eA0τz,

(eA0τ =

(cos τ sin τ− sin τ cos τ

)),

в результате которой получим уравнение

z = εA1(τ, µξ)z + ε2A(τ, ε)z. (5.1.3)

ЗдесьA1(τ, µξ) = e−A0τA1(τ, µξ)eA0τ ,

A(τ, ε) = e−A0τA(τ, ε)eA0τ .

Обозначим через A(µξ) среднее значение матрицы A1(τ, µξ), т.е.

A(µξ) =1

2π

2π∫

0

A1(τ, µξ)dτ. (5.1.4)

Учитывая явный вид A1(τ, µξ), из (5.1.4) находим матрицу

A(µξ) =

(a11(µξ) a12(µξ)a21(µξ) a22(µξ)

):

a11(µξ) = −a0 − b1 − b2 cos µξ, a12(µξ) = δ1 − b2 sin µξ,a21(µξ) = −δ1 − b2 sin µξ, a22(µξ) = −a0 + b1 + b2 cos µξ,

причем 4bk = ak (k = 1, 2).Выполним, наконец, в уравнении (5.1.3) еще одну замену

z = [I + εΦ(τ, εµτ)] u, (5.1.5)


102 ГЛАВА 5. Параметрический резонанс при двухчастотном...

где

Φ(τ, ξ) =

τ∫

0

[A(τ, ξ)− A(ξ)] dτ.

Из равенства (5.1.4) и из периодичности матрицы A(τ, ξ) по каждомуаргументу заключаем, что матрица Φ(τ, ξ) тоже периодична по каждомуаргументу. Итогом замены (5.1.5) является уравнение

u = εA(µετ)u + ε2B(τ, ε). (5.1.6)

Явный вид матрицы B(τ, ε) нам не понадобится. Отметим лишь, что эле-ментами B(τ, ε) являются почти периодичные по τ функции, равномерноограниченные при всех достаточно малых ε.

3. Преобразование системы первого приближения. После перенорми-ровки времени ξ = ετ от уравнения (5.1.6) перейдем к уравнению

du

dξ= A(µε)u + εB

(ξ

ε, ε

)u. (5.1.7)

Уравнение с периодическими коэффициентами

du

dξ= A(µξ)u (5.1.8)

естественно назвать системой первого приближения. Ясно, что характеррасположения мультипликаторов этого уравнения во многом определя-ет поведение решений уравнения (5.1.7). Без потери общности можносчитать, что в рассматриваемом случае 0 ≤| b2 |≤ b1. Удобно положитьb = b1, b2 = bb0. В уравнении (5.1.8) выполним преобразование

y =

(cos π

4 − sin π4

sin π4 cos π

4

)z,

а затем заменим µξ на t. В итоге получим уравнение

µz =

(b0 sin t− a0 −δ1 + bb0 cos t

δ1 + b(1 + b0 cos t) −b0 sin t− a0

)z. (5.1.9)

От векторного уравнения (5.1.9) обычным способом перейдем к скаляр-ному уравнению второго порядка

x +

(2a0

µ+ p(t)

)x +

1

µ2

[r(t) + a2

0 + µa0p(t)± µq(t)]x = 0. (5.1.10)


§ 5.2. Уравнения первого приближения при большой расстройке 103

Здесьp(t) = bb0 sin t

|δ1|+b(1+b0 cos t) , r(t) = δ21−b2−b2b2

0−2b2b0 cos t, q(t) = bb0bb0+(|δ1|+b) cos t|δ1|+b(1+b0 cos t) ,

знак „плюс“ выбирается при δ1 ≥ 0, а знак „минус“ — при δ < 0. Объек-том дальнейших исследований является уравнение (5.1.10).

§ 5.2. Исследование уравненийпервого приближенияпри достаточно больших значениях расстройкимежду частотами внешних возмущений

В этом параграфе будем считать, что значение |µ| достаточно велико. Всилу симметрии задачи достаточно рассмотреть лишь случай µ → ∞.При этом условии уравнение (5.1.10) принадлежит классу уравнений,который был изучен в главе 1. Для того, чтобы удобнее было воспользо-ваться соответствующими результатами, положим в этом уравнении

δ21 = µ2λ (λ ≥ 0), σ = µ−1.

В результате рассматриваемое уравнение примет вид

x + σ(2a0 + bb0 sin t√

λ+σb(1+b0 cos t)

)x+

+[λ± σ

√λ cos t√

λ+σb(1+b0 cos t)+ σ2g(t, λ, σ)

]x = 0,

(5.2.1)

где

g(t, λ, σ) = a20 − b2 − b2b2

0 − 2b2b0 cos t +(√

λ + σb(1 + b0 cos t))−1

×× [

a0 ± b2b0(b0 + cos t)].

Для уравнения (5.2.1) поставим сначала периодическую краевую задачуи обозначим через λ0(σ) собственное значение этой задачи с наименьшейвещественной частью. Напомним, что λ0(σ) вещественно. Очевидно, чтоλ0(0) = 0. Поэтому λ0(σ) будем искать в виде

λ0(σ) = λ1σ + λ2σ2 + . . . , (5.2.2)

а собственную функцию, отвечающую λ0(σ), обозначим через x0(t, σ) иположим

x0(t, σ) = 1 + σx1(t) + σ2x2(t) + . . . . (5.2.3)



Подставляя (5.2.2) и (5.2.3) в уравнение (5.2.1) и приравнивая коэффи-циенты при одинаковых степенях σ найдем, что

λ1 = 0, x1(t) ≡ 0, λ2 = b2 − a20.

Таким образом, решения уравнения (5.1.10) неустойчивы при всех до-статочно больших µ, если

δ21 + a2

0 < b2.

Наряду с периодической, рассмотрим еще антипериодическую крае-вую задачу для уравнения (5.2.1). Так же, как и в главе 1, §1.3, уста-навливается, что неустойчивость решений (5.2.1) при достаточно малыхσ возможна лишь тогда, когда параметр λ в (5.2.1) близок к 1

4, т.е. по-ложим

λ =1

4+ σλ1 + σ2λ2 + . . .

Проведя соответствующие простые вычисления, найдем, что при доста-точно больших µ решения уравнения (5.2.1) неустойчивы, если

δ22 + a2

0 < b2b20.

Относительно устойчивости решений уравнения (5.2.1) можно сказатьследующее. Пусть δ2

1 + a20 > b2 (δ2

2 + a20 > b2b2

0). Тогда найдется такоеµ0 > 0, что при | µ |> µ0 решения уравнения (5.2.1), а значит, и (5.1.10),асимптотически устойчивы. Таким образом, при больших | µ | действиедвухчастотного возмущения в уравнении (5.1.1) сводится, по существу,к одночастотному.

§ 5.3. Исследование уравненияпервого приближенияпри достаточно малой расстройкемежду частотами внешних возмущений

В этом параграфе рассмотрим случай µ → 0. Будем дополнительно пред-полагать, что

| b0 |< 1. (5.3.1)

Уравнение (5.1.10) удобно еще немного преобразовать. Положим

x = ye−a0t. (5.3.2)


§ 5.3. Уравнения первого приближения малой расстройке 105

В результате получим уравнение

x +bb0 sin t

| δ1 | +b(1 + b0 cos t)x +

1

µ2 [r(t)± µq(t)] x = 0. (5.3.3)

Рассмотрим отдельно три случая.Первый случай. Пусть r(t) > 0 при всех t. Асимптотика следа мат-

рицы монодромии для уравнения (5.3.3) изучалась в главе 4, §4.1. Изполученных там результатов следует, что при µ → 0 мультипликато-ры уравнения (5.3.3) стремятся по модулю к 1. Поэтому найдется такоеµ0 > 0, что при | µ |≤ µ0 решения уравнения (5.1.10) асимптотическиустойчивы.

Второй случай. Пусть r(t) < 0 при всех t. Обозначим через f(µ) следматрицы монодромии уравнения (5.3.3).

Лемма 5.3.1. Имеет место асимптотическое равенство

f(µ) = ch

1

µ

2π∫

0

√−r(t)dt

(1 + O(µ−1)

) . (5.3.4)

Доказательство этой леммы проводится по той же схеме (но суще-ственно проще), что и доказательство соответственных формул в главе4, поэтому его опустим.

Из формулы (5.3.4) и замены (5.3.2) следует существование такогоµ0 > 0, что при | µ |≤ µ0 решения уравнения (5.1.10) асимптотическиустойчивы (неустойчивы), если

1

2π

2π∫

0

√−r(t)dt < a0 (> a0).

Третий случай. Пусть функция r(t) является знакопеременной. Приэтом условии уравнение (5.3.3) является уравнением с точками поворота.Из результатов главы 4, §4.3 вытекает, что

f(µ) =

{cos

[1µ

2π∫0

√|r(t)|+r(t)

2 dt + ϕ1(µ)

]+

+ ϕ2(µ)

}ch

[1µ

2π∫0

√|r(t)|−r(t)

2 dt + ϕ3(µ)

],



где ϕk(µ) → 0 при µ → 0 (k = 1, 2, 3). Отсюда и из замены (5.3.2) полу-чаем, что при условии

1

2π

2π∫

0

√| r(t) | −r(t)

2dt < a0 (5.3.5)

и достаточно малой величине | µ | решения уравнения (5.1.10) асимпто-тически устойчивы. Если же выполнено неравенство

1

2π

2π∫

0

√| r(t) | −r(t)

2dt > a0, (5.3.6)

то устойчивость и неустойчивость решений уравнения (5.1.10) бесконеч-но чередуются при µ → 0.

Заменяя в случае необходимости t на t + π, запишем функцию r(t) ввиде:

r(t) = δ21 − (b1− | b2 |)2 − 4b1 | b2 | cos2 t

2. (5.3.7)

Из этой формы записи функции r(t) непосредственно вытекает, что нера-венство

| a1a2 |> π2a20 (5.3.8)

необходимо для существования таких δ1, при которых может выполнять-ся неравенство (5.3.6).

Подведем итоги.Теорема 5.3.3. Существует такое µ0 > 0, что при 0 <| µ |≤ µ0

относительно поведения решений уравнений (5.1.10) можно утвер-ждать следующее:

1. Если выполнено неравенство, противоположное (5.3.8), то прилюбом δ решения асимптотически устойчивы;

2. Если выполнено (5.3.8), то при 16δ21 < (| a1 | − | a2 |)2 решения

(5.1.10) неустойчивы, а при выполнении неравенства | δ1 |> δ0, гдеδ0 > 0 — положительный корень уравнения (относительно δ1)

1

2π

2π∫

0

√| r(t) | −r(t)

2dt = a0,

решения асимптотически устойчивы. Наконец, при выполнении нера-венств

(| a1 | − | a2 |)2 < 16δ21 < 16δ2

0


§ 5.3. Уравнения первого приближения малой расстройке 107

в множестве параметров имеется бесконечно много областей устой-чивости и неустойчивости.

Отметим для сравнения, что при µ = 0, т.е. при одночастотном воз-мущении, решения (5.1.8) устойчивы (неустойчивы), если

(a1 + a2)2

16− a2

0 < δ21 (> δ2

1).

Скажем несколько слов о поведении решений системы первого при-ближения при близких постоянных | b1 | и | b2 |. Сохранив предыдущиеобозначения, будем теперь считать, что | b2 |= b1−α, где положительныйпараметр α достаточно мал. Если при этом параметр δ1 не является ма-лой величиной, то поведение решений уравнения (5.3.3) может быть ис-следовано, как и выше. Если же δ1 мало, то возникают дополнительныетрудности, связанные с тем, что при некоторых значениях t знаменателькоэффициентов p(t) и q(t) в (5.1.10) тоже становится малым. В этом слу-чае при некоторых достаточно естественных предположениях векторноеуравнение (5.1.8) может быть сведено к скалярному дифференциальномууравнению второго порядка, к которому применимы выводы работы [7].Более подробно этот случай разбирается в главе 9.


Глава 6

Функции Грина периодическойкраевой задачи

Во многих вопросах теории уравнений с периодическими коэффици-ентами функция Грина периодической краевой задачи играет важнуюроль. Основное содержание главы посвящено построению этой функциии изучению ее свойств для дифференциального уравнения второго по-рядка. Приводимые результаты хорошо известны (см., например, [13]).

§ 6.1. Функции Грина первого порядка


x = a(t)x (6.1.1)

с T -периодическим коэффициентом a(t). Функция ГринаJ (t, τ) (−∞ < t < ∞, 0 < τ < T ) периодической краевой задачидля этого уравнения определяется следующим образом. Во-первых,при t ∈ [0, T ] и t 6= τ функция J (t, τ) непрерывно дифференцируемапо t и является решением уравнения (6.1.1). Во-вторых, имеет местосоотношение

J (τ + 0, τ)− J (τ − 0, τ) = 1 (6.1.2)

и, в-третьих, при каждых таких t и τ , для которых t 6= τ + kT ,(k = 0,±1, . . .)

J (t + T, τ) ≡ J (t, τ). (6.1.3)

Теорема 6.1.1. Пусть уравнение (6.1.1) не имеет ненулевого пери-одического решения. Тогда функция J (t, τ) существует и единствен-на.

108


§ 6.1. Функции Грина первого порядка 109

Доказательство. Начнем с обоснования единственности J (t, τ).Пусть J1(t, τ) и J2(t, τ) — функции Грина периодической краевой за-дачи для уравнения (6.1.1). Тогда при каждом τ ∈ (0, T ) функцияJ0(t, τ) = J1(t, τ) − J2(t, τ) является непрерывно дифференцируемым поt (t ∈ (−∞,∞)) периодическим решением (6.1.1). Из того, что урав-нение (6.1.1) имеет только нулевое периодическое решение, вытекает,что J1(t, τ) ≡ J2(t, τ). Единственность J (t, τ) доказана. Установим те-перь существование этой функции. Фиксируем решение x(t, τ) уравнения(6.1.1) с начальным условием

x(τ, τ) = 1,

(т.е. x(t, τ) = e

t∫τ

a(s)ds

). (6.1.4)

Из того, что на промежутках [0, τ) и (τ, T ] функция J (t, τ) являетсярешением (6.1.1) следует, что найдутся такие (не зависящие от t) вели-чины c1 и c2, для которых

J (t, τ) = c1x(t, τ), t ∈ [0, τ),J (t, τ) = c2x(t, τ), t ∈ (τ, T ].

Отсюда и из условий (6.1.2) и (6.1.4) находим, что

c2 − c1 = 1, (6.1.5)

а на основании равенства (6.1.3) для t = 0 получаем соотношение

c2x(T, τ)− c1x(0, τ) = 0. (6.1.6)

Определитель системы уравнений (относительно c1 и c2) (6.1.5) и (6.1.6)равен x(T, τ) − x(0, τ). Условие отсутствия ненулевого периодическогорешения уравнения (6.1.1) означает, что рассматриваемый определительотличен от нуля. Поэтому система уравнений (6.1.5) и (6.1.6) однозначноразрешима, и окончательно

J (t, τ) =

e

−T∫0

a(s)ds − 1

−1

e

t∫τ

a(s)ds, kT ≤ t < τ + kT, ∀k ∈ Z

−e

T∫0

a(s)ds − 1

−1

e

t∫τ

a(s)ds, τ + kT < t ≤ kT + T, ∀k ∈ Z


110 ГЛАВА 6. Функции Грина периодической краевой задачи

Теорема доказана.Отметим, что необходимым и достаточным условием отсутствия нену-

левого периодического решения уравнения (6.1.1) является выполнениенеравенства

T∫

0

a(s)ds 6= 0. (6.1.7)

Рассмотрим затем неоднородное уравнение

x = a(t)x + f(t), (6.1.8)

в котором функция f(t), как и a(t) является T -периодической. Нас бу-дет интересовать вопрос о существовании периодического решения этогоуравнения.

Теорема 6.1.2. Пусть уравнение (6.1.1) не имеет ненулевого пе-риодического решения. Тогда для любой периодической функции f(t)существует и единственно периодическое решение xf(t) уравнения(6.1.8), причем

xf(t) =

T∫

0

J (t, τ)f(τ)dτ. (6.1.9)

Доказательство. Единственность периодического решения (6.1.8)следует из того, что разность двух периодических решений (6.1.8) явля-ется периодическим решением уравнения (6.1.1), а это уравнение нену-левых периодических решений не имеет. Докажем, что формулой (6.1.9)дается решение уравнения (6.1.8). Для этого формулу (6.1.9) перепишемв виде

xf(t) =

t∫

0

J (t, τ)f(τ)dτ +

T∫

t

J (t, τ)f(τ)dτ,

и продифференцируем по t это равенство. В результате найдем, что

xf(t) = (J (t + 0, t)− J (t− 0, t)) f(t)+

+

t∫

0

∂J (t,τ)∂t f(τ)dτ +

T∫

t

∂J (t,τ)∂t f(τ)dτ =

= f(t) + a(t)T∫0J (t, τ)f(τ)dτ = f(t) + a(t)xf(t).


§ 6.2. Функция Грина уравнения второго порядка 111

Сравнивая начало и конец этих равенств, получаем, что xf(t) являетсярешением уравнения (6.1.8). Периодичность xf(t) следует из (6.1.9) ипериодичности функции J (t, τ). Теорема доказана.

В заключение рассмотрим вырожденный случай, т.е. будем предпола-гать, что однородное уравнение имеет ненулевое периодическое решение.В терминах коэффициентов (6.1.1) это предположение означает, что

M(a(t)) = 0. (6.1.10)

Теорема 6.1.3. Пусть выполнено условие (6.1.10). Тогда для тогочтобы уравнение (6.1.8) имело периодическое решение, необходимо идостаточно, чтобы

M

(f(t)e

−t∫0

a(s)ds

)= 0. (6.1.11)

Доказательство. Предположим сначала, что для некоторой периоди-ческой f(t) периодическое решение уравнения (6.1.8) существует. Умно-

жим тогда каждое слагаемое этого уравнения на e−

t∫0

a(s)dsи проинтегри-

руем полученное равенство от 0 до T . В итоге сразу получим равенство(6.1.11). Пусть теперь выполнено равенство (6.1.11). Тогда существова-ние периодического решения уравнения (6.1.8) непосредственно следуетиз формулы для общего решения

x(t) = e

t∫0

a(s)ds

x(0) +

t∫

0

f(τ)e−

τ∫0

a(s)dsdτ

.

Отметим еще, что при условиях (6.1.10) и (6.1.11) все решения урав-нения (6.1.8) периодичны. Теорема доказана.

§ 6.2. Функция Грина уравнения второгопорядка


x + p(t)x + q(t)x = 0, (6.2.1)



коэффициенты которого T -периодичны. Функцией Грина J (t, τ) периоди-ческой краевой задачи для уравнения (6.2.1) называется функция, обла-дающая тремя свойствами. Во-первых, J (t, τ) (t ∈ (−∞,∞), 0 < τ < T )непрерывна по совокупности переменных, при каждом τ и t 6= τ непре-рывно дифференцируема по t, причем

∂J (τ + 0, τ)

∂t− ∂J (τ − 0, τ)

∂t= 1. (6.2.2)

Во-вторых, при каждом τ и t 6= τ + kT (k = 0,±1, . . .) функция J (t, τ)является решением уравнения (6.2.1). Наконец, в-третьих, имеет местосвойство периодичности, т.е.

J (t + T, τ) ≡ J (t, τ), (6.2.3)

∂J (t + T, τ)

∂t≡ ∂J (t, τ)

∂t(t 6= τ + kT ; k = 0,±1, . . .). (6.2.4)

Основной результат состоит в следующем.Теорема 6.2.1. Пусть уравнение (6.2.1) не имеет ненулевых T -

периодических решений. Тогда функция J (t, τ) существует и един-ственна.

Доказательство. Единственность функции Грина устанавливаетсятак же, как и при обосновании соответствующего свойства в теореме6.1.1. Докажем существование функции J (t, τ). Фиксируем два реше-ния x1(t, τ) и x2(t, τ) уравнения (6.2.1) с начальными условиями

x1(τ, τ) = x2(τ, τ) = 1, x1(τ, τ) = x2(τ, τ) = 0. (6.2.5)

Используя тот факт, что при t 6= τ функция J (t, τ) является решениемуравнения (6.2.1), получаем равенства

J (t, τ) = c1x1(t, τ) + c2x2(t, τ), 0 ≤ t ≤ τ, (6.2.6)

J (t, τ) = c3x1(t, τ) + c4x2(t, τ), τ ≤ t ≤ T. (6.2.7)

Воспользуемся теперь непрерывностью J (t, τ) в точке t = τ и условием(6.2.2). Отсюда, учитывая (6.2.5), имеем

c1 = c3, c4 = c2 + 1. (6.2.8)

Далее, подставляя выражения (6.2.6), (6.2.7) в (6.2.3) и (6.2.4) и полагаятам t = 0, находим, что

c1x1(0, τ) + c2x2(0, τ) = c1x1(T, τ) + (c2 + 1)x2(T, τ), (6.2.9)


§ 6.2. Функция Грина уравнения второго порядка 113

c1x1(0, τ) + c2x2(0, τ) = c1x1(T, τ) + (c2 + 1)x2(T, τ). (6.2.10)

Обозначим через X матрицу

X =

(x1(0, τ) x2(0, τ)x1(0, τ) x2(0, τ)

).

Из линейной независимости решений x1(t, τ) и x2(t, τ) следует невырож-денность этой матрицы. Матрицу монодромии уравнения (6.2.1) обозна-чим через V . Напомним, что

V

(x(0)x(0)

)=

(x(T )x(T )

).

Два уравнения (относительно c1 и c2) (6.2.9) и (6.2.10) можно объеди-нить в одно векторное уравнение

(E − V )Xc =

(x2(T, τ)x2(T, τ)

), (6.2.11)

где c = (c1, c2). Сделанное в формулировке теоремы предположение отом, что уравнение (6.2.1) не имеет ненулевого периодического решения,означает, что ни один из мультипликаторов не равен 1. Отсюда, в своюочередь, следует невырожденность матрицы (E − V ). Таким образом,вектор c из (6.2.11) однозначно определяется. Существование функцииГрина установлено. Отметим, что в приведенных выше рассужденияхусловия (6.2.3) и (6.2.4) использовались лишь при t = 0. Очевидно,значение t может быть любым, и величины c1, c2, c3 и c4 от этого неизменятся. Теорема доказана.

Следующее утверждение касается вопроса о существовании периоди-ческого решения неоднородного уравнения

x + p(t)x + q(t)x = f(t) (6.2.12)

с T -периодической правой частью.Теорема 6.2.2. Пусть уравнение (6.2.1) не имеет ненулевых

T -периодических решений. Тогда уравнение (6.2.12) при каждой T -периодической функции f(t) имеет единственное T -периодическое ре-шение xf(t), причем

xf(t) =

T∫

0

J (t, τ)f(τ)dτ. (6.2.13)



О доказательстве теоремы. Единственность периодического решения(6.2.12) обосновывается стандартным способом, а формула (6.2.13) (каки при доказательстве теоремы 6.1.2) проверяется непосредственно.

Пример. Построим функцию Грина T -периодической краевой задачидля уравнения

x + a2x = 0. (6.2.14)

Условие существования J (t, τ), т.е. условие отсутствия ненулевых T -периодических решений (6.2.14) означает, что (a > 0)

a 6= 2πn

T(n = 0, 1, . . .).

Решения x1(t, τ) и x2(t, τ), фигурирующие в доказательстве теоремы6.2.1, имеют для уравнения (6.2.14) следующий вид

x1(t, τ) = cos a(t− τ), x2(t, τ) =1

asin a(t− τ).

Имеем

J (t, τ) = c1 cos a(t− τ) + c21a sin a(t− τ), 0 ≤ t ≤ τ,

J (t, τ) = c1 cos a(t− τ) + (c2 + 1)1a sin a(t− τ), τ ≤ t ≤ T.

Решая уравнения, соответствующие (6.2.9) и (6.2.10), находим c1 и c2:

c1 =1

2ctg

aT

2, c2 =

1

2.

Таким образом, функция Грина определяется равенством

2J (t, τ) =

ctg aT2 cos a(t− τ)− 1

a sin a(t− τ),kT ≤ t ≤ τ + kT, (k = 0,±1, . . .),

ctg aT2 cos a(t− τ) + 1

a sin a(t− τ),kT + τ ≤ t ≤ (k + 1)T, (k = 0,±1, . . .).

§ 6.3. Вырожденные случаи

Здесь будет изучен вопрос о существовании периодического решенияуравнения (6.2.12) в том (вырожденном) случае, когда однородное урав-нение (6.2.1) имеет ненулевые периодические решения.


§ 6.3. Вырожденные случаи 115

1. Предположим сначала, что уравнение (6.2.1) имеет два линейнонезависимых T -периодических решения x1(t) и x2(t). В этом случае обамультипликатора обязательно равны 1, и имеет место равенство

M(p(t)) = 0. (6.3.1)

Теорема 6.3.1. При сделанном предположении уравнение (6.2.12)имеет T -периодическое решение тогда и только тогда, когда

M

(f(t)xi(t)e

t∫0

p(s)ds

)= 0 (i = 1, 2). (6.3.2)

Доказательство. Пусть существует периодическое решение xf(t)уравнения (6.2.12). Покажем, что имеют место соотношения (6.3.2). В(6.2.12) при x = xf(t) сначала удобно сделать периодическую замену

xf(t) = yf(t)e− 1

2

t∫0

p(s)ds, (6.3.3)

в результате которой получим равенство

yf(t) + g(t)yf(t) = f1(t), (6.3.4)

где

g(t) = q(t)− 1

2p(t)− 1

4p2(t), f1(t) = f(t)e

12

t∫0

p(s)ds.

Линейно независимые периодические функции

yi(t) = xi(t)e12

t∫0

p(s)ds(i = 1, 2)

являются решениями однородного уравнения

y + g(t)y = 0.

Умножим теперь левую и правую часть (6.3.4) на yi(t) и проинтегрируемполучившееся выражение от 0 до T . Учитывая, что

T∫

0

yi(t) [yf(t) + g(t)yf(t)] dt =

T∫

0

yf(t) [yi(t) + g(t)yi(t)] dt = 0,



приходим к равенствам

T∫

0

f1(t)yi(t)dt = 0 (i = 1, 2).

Отсюда и из определения f1(t) и yi(t) следуют равенства (6.3.2).Пусть теперь имеют место соотношения (6.3.2). Существование T -

периодических решений уравнения (6.2.12) следует непосредственно изформулы общего решения уравнения (6.2.12):

x(t) =t∫

0f(τ)e

τ∫0

p(s)ds {x1(0)x2(0)− x1(0)x2(0)}−1 · {x1(t)x2(τ)−− x1(τ)x2(t)} dt + c1x1(t) + c2x2(t).

Теорема доказана.2. В формулировке следующих утверждений будем предполагать, что

уравнение (6.2.1) имеет единственное (с точностью до множителя) нену-левое периодическое решение. Выполним в (6.2.1) периодическую замену

x = ye− 1

2

t∫0

[p(s)−M(p)]ds,

в результате которой получим уравнение

y + M(p)y + g(t)y = 0, (6.3.5)

где

g(t) = q(t)− 1

2M(p)[p(t)−M(p)]− 1

4[M(p)− p(t)]2.

Уравнение (6.3.5), так же, как и уравнение (6.2.1), имеет ненулевое пе-риодическое решение.

Лемма 6.3.1. Уравнение

y −M(p)y + g(t)y = 0 (6.3.6)

имеет ненулевое периодическое решение y0(t).Доказательство. Уравнения (6.3.5) и (6.3.6) в результате замен

y = ze−12M(p)t и y = ze

12M(p)t соответственно преобразуются в одно и

то же уравнение

z + [g(t)− 1

4M 2(p)]z = 0. (6.3.7)


§ 6.4. О приближенном вычислении первых собственных значений 117

Обозначим мультипликаторы этого уравнения через µ1 и µ2, (µ1 ·µ2 = 1).Один из мультипликаторов уравнения (6.3.6) равен 1, поэтому для од-ного из мультипликаторов (6.3.7), пусть, для определенности, для µ1имеем

µ1e− 1

2M(p)T = 1.

Но тогда число µ = µ2e12M(p)T = 1 является мультипликатором уравнения

(6.3.6). Отсюда и из связи мультипликаторов уравнений (6.3.6) и (6.3.7)уже непосредственно следует существование T -периодического решенияy0(t) 6≡ 0 уравнения (6.3.6). Лемма доказана.

Отметим здесь же, что функция

x0(t) = y0(t)e− 1

2

t∫0

[p(s)−M(p)]ds

является периодическим решением сопряженного к (6.2.1) уравнения

y − p(t)y + [q(t)− p(t)]y = 0.

Сформулируем теперь основной результат в рассматриваемом случае.Теорема 6.3.2. При сделанных выше предположениях, для того,

чтобы уравнение (6.2.12) имело периодическое решение, необходимо идостаточно, чтобы выполнялось равенство

M

(f(t)y0(t)e

− 12

t∫0

[p(s)−M(p)]ds

)= 0.

Доказательство этого результата проводится примерно по той же схе-ме, что и доказательство теоремы 6.3.1. Подробнее на этом останавли-ваться не будем.

§ 6.4. О приближенном вычислениипервых собственных значений

В главе 4 была получена асимптотика собственных значений периодиче-ской краевой задачи. Как оказывается, используя эти результаты и свой-ства функции Грина, можно получить приближенные выражения длясобственных значений с небольшими номерами.

1. Основное свойство функции Грина.



Рассмотрим дифференциальное уравнение

x + [λr(t) + q(t)]x = 0, (6.4.1)

коэффициенты которого T -периодичны. Пусть функция r(t) удовлетво-ряет одному из условий главы 4. Поставим для уравнения (6.4.1) пе-риодическую краевую задачу и обозначим через λn (n = 0,±1,±2, . . .)собственные значения этой краевой задачи, а через xn(t) — собствен-ную функцию, отвечающую λn. Напомним, что λn и xn(t) — веществен-ны. Сделаем одно упрощающее предположение. Будем считать, что либоq(t) ≤ 0, либо r(t) ≥ 0 (t ∈ [0, T ]). Любое из отмеченных неравенств

гарантирует отличие от нуля выраженияT∫0

r(t)x2n(t)dt, поэтому функции

xn(t) можно считать нормированными так, чтобы

T∫

0

r(t)x2n(t)dt = 1 (n = 0,±1,±2, . . .). (6.4.2)

В том случае, когда функции xn1(t) и xn2(t) соответствуют одному итому же собственному значению, потребуем еще, чтобы наряду с (6.4.2)для этих функций выполнялось условие ортогональности

T∫

0

r(t)xn1(t)xn2(t)dt = 0. (6.4.3)

Предположим далее, что уравнение

x + q(t)x = 0

не имеет ненулевых T -периодических решений, и обозначим через J (t, τ)функцию Грина (периодической краевой задачи) этого уравнения. Сле-дующий результат устанавливает основное свойство функции Грина.

Теорема 6.4.1. Имеет место равенство

J (t, τ) = −∞∑

k=−∞

xk(t)xk(τ)

λk. (6.4.4)

Доказательство. Прежде всего отметим, что из условия λn ∼ O(n2)(глава 4) следует абсолютная сходимость ряда (6.4.3).



Лемма 6.4.1. Имеют место равенства

T∫

0

r(t)xn(t)xm(t)dt = 0 (n 6= m). (6.4.5)

Для обоснования (6.4.5) умножим уравнение (6.4.1), в котором по-ложим λ = λn и x = xn(t) на xm(t) и проинтегрируем получившеесявыражение от 0 до T . Получим

λn

T∫0

r(t)xn(t)xm(t)dt = −T∫0

xn(t)xm(t)dt =

= −T∫0

xn(t)xm(t)dt = λm

T∫0

r(t)xn(t)xm(t)dt.

Сравнивая начало и конец последнего равенства, замечаем, что приλn 6= λm из него непосредственно следует соотношение (6.4.5). Если жеλn = λm, то нужное равенство выполняется в силу специального выбора(6.4.3) фигурирующих там функций. Лемма доказана.

Обозначим затем через Q(t, τ) функцию

Q(t, τ) =

[J (t, τ) +

∞∑

k=−∞

xk(t)xk(τ)

λk

]r(t).

Теорема будет доказана, если удастся показать, что Q(t, τ) ≡ 0. Пред-положим противное, т.е. пусть Q(t, τ) 6≡ 0. Отсюда и из одного резуль-тата [19] вытекает, что найдутся такое число λ0 и такая периодическаяфункция u(t) 6≡ 0, что

u(t) + λ0

T∫

0

Q(t, τ)u(τ)dτ = 0. (6.4.6)

Лемма 6.4.2. Для любого n = 1, 2, . . . выполняется условие

T∫

0

r(t)u(t)xn(t)dt = 0. (6.4.7)



Докажем эту лемму. Положим

cn =

T∫

0

r(t)u(t)xn(t)dt

и через un(t) обозначим периодическую функцию un(t) = u(t) − cnxn(t).Очевидно

T∫

0

r(t)un(t)xn(t)dt = 0. (6.4.8)

Отсюда вытекает, что

T∫

0

( ∞∑

k=−∞

xk(t)xk(τ)λk

)r(τ)u(τ)dτ =

cn

λnxn(t) +

∞∑k 6=n

k=−∞

xk(t)×

×T∫

0

r(τ)un(τ)xk(τ)λk

dτ.

(6.4.9)

Отметим, далее, что уравнение для xn(t) имеет вид

xn(t) + q(t)xn(t) = −λnr(t)xn(t),

поэтому

xn(t) = −λn

T∫

0

J (t, τ)r(τ)xn(τ)dτ.

Учитывая это равенство, находим, что

T∫

0

J (t, τ)r(τ)u(τ)dτ = − cn

λnxn(t) +

T∫

0

J (t, τ)r(τ)un(τ)dτ. (6.4.10)

Умножим теперь каждое слагаемое в (6.4.6) на r(t)xn(t) и проинтегри-руем от 0 до T . С учетом равенств (6.4.9), (6.4.10) и леммы 6.4.1 тогдаполучим следующее выражение:

cn +

T∫

0

r(t)xn(t)

T∫

0

J (t, τ)r(τ)un(τ)dτdt = 0. (6.4.11)



Покажем, что второе слагаемое в этом соотношении равно нулю. Обо-значим через vn(t) периодическое решение уравнения

v + q(t)v = −λnr(t)un(t), (6.4.12)

т.е.

vn(t) = −λn

T∫

0

J (t, τ)r(τ)un(τ)dτ.

Второе слагаемое в (6.4.11) можно записать теперь так:

− 1

λn

T∫

0

r(τ)vn(τ)xn(τ)dτ.

Умножим, наконец, уравнение (6.4.12) при v = vn(t) на xn(t) и проинте-грируем по периоду. Получим

−λn

T∫

0

r(τ)un(τ)xn(τ)dτ =

T∫

0

xn(τ) [vn(τ) + q(τ)vn(τ)] dτ =

=

T∫

0

vn(τ) [xn(τ) + q(t)xn(τ)] dτ = −λn

t∫

0

r(τ)vn(τ)xn(τ)dτ.

Из (6.4.8) следует, что левая часть последней цепочки соотношений рав-на нулю, поэтому правая часть тоже равна нулю. Тем самым второеслагаемое в (6.4.11) равно нулю. Следовательно cn = 0. Лемма доказана.

Из леммы 6.4.2 и определения Q(t, τ) сразу вытекает, что

T∫

0

Q(t, τ)u(τ)dτ =

T∫

0

J (t, τ)r(τ)u(τ)dτ.

В то же время, из определения функции Грина и равенства (6.4.6) при-ходим к выводу, что u(t) является периодическим решением уравнения

u + q(t)u = −λ0r(t)u.

Это означает, что λ0 является собственным значением, а u(t) — собствен-ной функцией периодической краевой задачи. Тогда, с одной стороны,



T∫0

r(t)u2(t)dt 6= 0, а с другой, как это следует из леммы 6.4.2, имеет место

противоположное соотношение. Получено противоречие. Таким образом,Q(t, τ) ≡ 0. Теорема доказана.

2. Повторные функции Грина.Положим

J1(t, τ) = J (t, τ),

Jn(t, τ) =T∫0Jn−1(t, ξ)J1(ξ, τ)r(ξ)dξ (n = 2, 3, . . .).

(6.4.13)

Функции Jk(t, τ) называются повторными функциями Грина. Из резуль-татов предыдущего пункта вытекают равенства

Jn(t, τ) = (−1)n∞∑

k=−∞

xk(t)xk(τ)

λnk

.

Формулы, которые лежат в основе приближенного вычисления пер-вых собственных значений, имеют вид:

Jn =

T∫

0

Jn(t, t)r(t)dt = (−1)n∞∑

k=−∞

1

λnk

(n = 1, 2, . . .). (6.4.14)

Зная асимптотические выражения собственных значений для большихномеров, можно приближенно вычислить величины

anm =

∞∑

|k|=m+1

1

λnk

(n = 1, 2, . . . , m),

причем соответствующие вычисления будут тем точнее, чем больше но-мер m. Далее, зная функцию Грина, можно по формулам (6.4.13) вы-числить значения Jn (n = 1, . . . , m). Тогда для определения собственныхзначений λ0, λ1, λ−1, . . . , λ−m получим систему из (2m + 1) уравнений

m∑

k=−m

1

λnk

= (−1)nJn − anm (n = 1, . . . , 2m + 1).

Отметим, что подобные построения легко обобщаются на случай, ко-гда вместо уравнения (6.4.1) рассматривается более общее уравнение

x + p(t)x + [λr(t) + q(t)]x = 0.


Глава 7

Предельные значениясобственных чисел первойкраевой задачи для сингулярновозмущенногодифференциального уравнениявторого порядка с точкамиповорота

Систематическое изучение дифференциальных уравнений с малыммножителем при старшей производной началось с работы А.Н. Тихо-нова [20]. К настоящему времени хорошо изучен вопрос об асимптотикерешений начальной задачи Коши для достаточно широкого класса та-ких уравнений. С основными результатами на эту тему можно ознако-миться в работах [21] и [22]. Одними из первых работ, посвященныхкачественным вопросам в теории рассматриваемых уравнений, явилисьстатьи А.А. Дородницына [23], а также Е.Ф. Мищенко и Л.С. Понт-рягина [24]. Дальнейшее развитие идей этих работ нашло отражение в[25].

В статьях [26-27] изучалась асимптотика по некоторому параметрусобственных чисел первой краевой задачи для некоторых классов диф-ференциальных операторов, порядок которых понижался при нулевомзначении этого параметра. При этом предполагалось, что у предельно-го оператора существуют собственные числа соответствующей первой

123


124 ГЛАВА 7. Предельные значения собственных чисел...

краевой задачи, причем устанавливается, что именно к ним происходитстремление собственных чисел исходного дифференциального операто-ра при стремлении параметра к нулю. В настоящей работе вычисляют-ся,с использованием качественных методов, пределы всех собственныхзначений первой краевой задачи для уравнений, указанных в названии.Предел, к которому стремится первое собственное значение этой краевойзадачи, определен в [28]. Трудности, которые здесь возникают, связаныс тем, что нет предельного оператора и, следовательно, методика работ[26-27] не применима.

§ 7.1. Постановка задачи и формулировкаосновного результата

На некотором отрезке [α, β] рассматривается первая краевая задача длядифференциального уравнения

εx + p(t)x + q(t)x = λx (7.1.1)

с малым положительным параметром ε. Предполагается, что функцияq(t) непрерывна, а p(t)– непрерывно дифференцируема на [α, β] и, чтоявляется самым важным, функция p(t) имеет конечное число простыхнулей t1, . . . , tn, принадлежащих интервалу (α, β). Из главы 1 известно,что поставленная задача имеет счетное количество собственных чисел,которые вещественны и просты. Обозначим их через λj(ε) (j = 1, 2, . . .).Условимся считать, что эти числа занумерованы в порядке убывания.Это всегда можно проделать, поскольку λj(ε) (j = 1, 2, . . .) ограниченыв совокупности сверху, и, кроме того, ни одна конечная точка числовойоси не может являться точкой сгущения последовательности рассматри-ваемых чисел. Каждому λj(ε) соответствует решение xj(t, ε) дифферен-циального уравнения

εx + p(t)x + [q(t)− λj(ε)]x = 0.

Функция xj(t, ε) обращается в нуль в концах отрезка [α, β] и имеет ровноj − 1 нулей на интервале (α, β).

Введем в рассмотрение величины

νik =

[q(tk)− |p(tk)|+ p(tk)

2

]− |p(tk)|i, (i = 0, 1, . . . ; k = 1, . . . , n).

(7.1.2)


§ 7.1. Постановка задачи и формулировка результата 125

Расположим числа νik в ряд в порядке убывания. Определим затем числаλj, которые будем считать равными соответственно j-ым членам этогоряда.

Главным результатом главы является следующая теорема.Теорема 7.1.1. Имеют место предельные равенства

limε→0

λj(ε) = λj (j = 1, 2, . . .). (7.1.3)

Доказательство теоремы 7.1.1 будет построено на основе анализа ос-цилляционных свойств решений дифференциального уравнения

εx + p(t)x + q(t)x = 0. (7.1.4)

В этом пункте определим наибольшее количество нулей, которое могутиметь решения уравнения (7.1.4) на отрезке [α, β] при малых значенияхпараметра ε, причем сначала рассмотрим самый простой случай.

Лемма 7.1.1. Пусть на интервале (α, β) функция p(t) имеет лишьодин нуль в точке t1. Пусть, далее, для некоторого целого положи-тельного k выполнено неравенство

k − 1 <ν01

|p(t1)| < k. (7.1.5)

Тогда существует такое ε0 > 0, что для любого ε ∈ (0, ε0) найдет-ся решение x0(t, ε) уравнения (7.1.4), имеющее ровно k + 1 нулей наотрезке [α, β]. Любое другое решение того же уравнения имеет числонулей меньшее или равное k + 1.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, чтоt1 = 0. С помощью преобразования

x = y exp

− 1

2ε

t∫

α

p(τ)dτ

(7.1.6)

и последующегоt =

√ε|p(0)|−1s

уравнение (7.1.4) приводится к виду

y +

[2q(0)− p(0)

2|p(0)| − s2

4+ ω(s, ε)

]y = 0. (7.1.7)



В (7.1.7) непрерывная функция ω(s, ε) стремится к нулю при стремленииε к нулю равномерно на каждом конечном промежутке изменения s. Врезультате новой замены

y = u exp

[−s2

4

]

придем к уравнению

u− su +

[ν01

|p(0)| + ω(s, ε)

]u = 0. (7.1.8)

С уравнением (7.1.8) тесно связано уравнение Вебера [29]

u− su− au = 0, (7.1.9)

гдеa = − ν01

|p(0)| . (7.1.10)

Линейно независимыми решениями последнего уравнения являютсяфункции

ur(s) = 1 +∞∑i=1

a(a + 2) . . . (a + 2i− 2)

(2i)!s2i (7.1.11)

и

u(s) = s +∞∑i=1

(a + 1) . . . (a + 2i− 1)

(2i + 1)!s2i+1. (7.1.12)

Исследуем осцилляционные свойства этих функций. Мы покажем, чтофункция ur(s) имеет ровно k + 1 нулей при нечетном k, фигурирующемв неравенствах (7.1.5), а в случае четного k функция u(s) будет иметьровно k + 1 нулей.

Сначала установим, что наибольшее количество нулей функций ur(s)и u(s), с одной стороны, не превосходит числа k +1, а с другой стороны,оно не меньше, чем k − 1. Для этого введем в рассмотрение функции

ui(s) = (−1)k−2+i exp

[s2

2

]dk−2+i

dsk−2+iexp

[−s2

2

], i = 1, 2, 3. (7.1.13)

Непосредственно проверяется, что введенные таким образом функцииявляются решениями дифференциальных уравнений

u− su− (k − 2 + i)u = 0, i = 1, 2, 3



соответственно. Легко показать, рассуждая, например, по индукции, чтодля каждого целого положительного k функция ui(s) обращается в нольровно k−2+i раз на интервале (−∞,∞). Отсюда и из теоремы сравнения(глава 1) вытекает, что при условии (7.1.5) в случае нечетного k числонулей функции ur(s) не больше, чем k + 1, и не меньше, чем k − 1. Приэтом количество нулей функции u(s) не превосходит k. Если же k четно,то функция u(s) обращается в нуль не более k + 1 и не менее k − 1 раз,а число нулей функции ur(s) меньше или равно k.

Уточним теперь полученный результат. А именно, докажем, что ко-личество нулей функции ur(s) в точности равно k + 1, если k нечетно. Вслучае четного k столько же нулей имеет на интервале (−∞,∞) функ-ция u(s). Разберем только случай, когда в условии (7.1.5) k нечетно. Вслучае четного k в том же условии доказательство проводится аналогич-но и поэтому мы его опустим.

Предположим противное. Тогда, очевидно, решение (7.1.11), котороеявляется четной функцией, имеет необходимо k − 1 нулей. Приняв вовнимание тот факт, что ur(0) = 1, легко получить равенство

lims→∞

ur(s) =

{ −∞, если k − 1 не кратно 4,∞, если k−1

4 = p, p = 0, 1, . . . .(7.1.14)

Если, однако, мы воспользуемся формулой (7.1.11), записанной в виде

ur(s) = 1+k∑

i=1

a(a + 2) . . . (a + 2i− 2)

(2i)!s2i +

∞∑

i=k+1

a(a + 2) . . . (a + 2i− 2)

(2i)!s2i,

где под последним знаком суммирования все слагаемые положительны,когда k− 1 не кратно четырем, и отрицательны– в противном случае, тополучим равенство

lims→∞

ur(s) =

{ ∞, если k−14 6= p, p = 0, 1, . . . ,

−∞, еслиk−14 = p, p = 0, 1, . . . .

Сравнивая последнее равенство с соотношением (7.1.14), приходим кпротиворечию.

Таким образом, мы доказали, что при нечетном k функция ur(s) об-ращается в нуль ровно k + 1 раз на интервале (−∞,∞). Ясно, что коли-чество нулей функции u(s) при этом равно k.

Фиксируем так s0 > 0, чтобы на интервале (−s0, s0) содержалисьвсе нули функций ur(s) и u(s). Будем, далее, рассматривать только те



значения ε, при которых[− (

ε|p(0)|−1)12 s0,

(ε|p(0)|−1) 1

2 s0

]⊂ [α, β].

Тогда на отрезке [−s0, s0] определены коэффициенты уравнения (7.1.8),которые на нем равномерно сходятся к коэффициентам уравнения (7.1.9)при стремлении ε к нулю. Отсюда следует существование такого ε0 > 0,что при всех ε ∈ (0, ε0) наибольшее число нулей решений уравнения(7.1.8), а значит, и уравнения (7.1.4), не меньше, чем k + 1. Поэтомуясно, что для доказательства леммы необходимо показать следующее:у уравнения (7.1.7) не может быть решений с числом нулей на отрезке[α, β] большим, чем k + 1, когда ε достаточно мало.

Введем сначала несколько обозначений. Через u1(s, ε) и u2(s, ε) обо-значим решения дифференциального уравнения (7.1.8), начальные усло-вия которых, заданные при s = 0, совпадают соответственно с началь-ными условиями решений ur(s) и uH(s) уравнения (7.1.9). Введем затемв рассмотрение отрезки

∆1(ε) =[α

(ε|p(0)|−1)− 1

2 , s1(ε)]

и∆2(ε) =

[s2(ε), β

(ε|p(0)|−1)− 1

2

].

Здесь через si(ε) ∈ [−s0, s0] (i = 1, 2) обозначены числа, являющиеся со-ответственно левым крайним и правым крайним нулем функции u1(s, ε)при четном k, фигурирующем в (7.1.5), и функции u2(s, ε) – при нечет-ном. Отметим, что при малых ε нули у функций u1(s, ε) и u2(s, ε) суще-ствуют, и, более того, количество нулей у каждой из рассматриваемыхфункций на отрезке [−s0, s0] равно соответственно числу нулей функцийur(s) и uH(s). Это следует из равномерной сходимости u1(s, ε) к ur(s),а u2(s, ε) к uH(s) на каждом конечном промежутке при стремлении ε кнулю. Отсюда же вытекает справедливость предельных равенств

− limε→0

s1(ε) = limε→0

s2(ε) = s1, (7.1.15)

где s1 > 0 является правым крайним нулем функции ur(s), если k четно,и функции uH(s), если k нечетно.

Покажем, что решения дифференциального уравнения (7.1.7) не ос-циллируют при достаточно малых ε на отрезках ∆1(ε) и ∆2(ε). Отсюда



и из теоремы о разделении нулей будет следовать, что решения рассмат-риваемого уравнения имеют не более k + 1 нулей на отрезке [α, β] притех же значениях ε. Как и в [28], воспользуемся для этого вариантомкритерия неосцилляции Валле-Пуссена [30].

Установим существование функции z0(s, ε), обладающей следующимидвумя свойствами.

Во-первых, она непрерывна на отрезках ∆1(ε) и ∆2(ε), когдаk ≥ 2, и непрерывна лишь на полуинтервалах [α(ε|p(0)|−1)−

12 , s1(ε)) и

(s2(ε), β(ε|p(0)|−1)−12 ] при k = 1, но в этом случае выполнены предельные

равенстваlim

s→s1(ε)−0z0(s, ε) = ∞

и соответственноlim

s→s2(ε)+0z0(s, ε) = −∞.

Очевидно, что при k = 1 имеют место соотношения

s1(ε) ≡ s2(ε) ≡ 0, ε ∈ (0, ε0),

где ε0 достаточно мало.Во-вторых, функция z0(s, ε) удовлетворяет дифференциальному нера-

венству

D∗z0(s, ε) ≥ z20(s, ε) +

2q(s, ε)− p(s, ε)

2|p(0)| − p2(s, ε)

4ε|p(0)| . (7.1.16)

В (7.1.16) положено

q(s, ε) = q(√

ε|p(0)|−1s),

p(s, ε) = p(√

ε|p(0)|−1s),

p(s, ε) = p(√

ε|p(0)|−1s),

а D∗z0(s, ε) – правое верхнее производное число функции z0(s, ε).Сначала введем одну вспомогательную функцию, которая потребует-

ся нам при построении функции z0(s, ε).Положим

u(b, s) =

1 +∞∑i=1

b(b+2)...(b+2i−2)(2i)! s2i, k четно,

s +∞∑i=1

(b+1)...(b+2i−1)(2i+1)! s2i+1, k нечетно.

(7.1.17)



В (7.1.17) параметр b удовлетворяет неравенствам

−k < b < −k + δ0, (7.1.18)

где положительная постоянная δ0 < 1, вообще говоря, достаточно мала.Ниже будет указано, насколько малой ее следует выбрать. Заметим, чтофункция (7.1.17) является решением дифференциального уравнения

u− su− bu = 0. (7.1.19)

Тем самым, при условии (7.1.18) она имеет ровно k нулей на интервале(−∞,∞). Обозначим через s(b) правый крайний нуль функции u(b, s).Отметим, что

s(b) ≤ s1,

если только выполнено неравенство

δ0 ≤ k + a.

Этот факт следует из определения чисел s(b) и s1, а также из теоремысравнения (глава 1). Далее, так как левее точки −s(b) и правее точки s(b)функция (7.1.17) не меняет знака, то для значений s, принадлежащихинтервалам (−∞,−s(b)) и (s(b),∞), определена непрерывная нечетнаяфункция

v(b, s) =s

2− u(b, s)

u(b, s), (7.1.20)

которая, очевидно, является решением дифференциального уравненияРиккати

v = v2 +1

2− b− s2

4. (7.1.21)

Ниже будет установлено существование такого δ1 > 0, что при

−k < b ≤ −k + δ1

функция v(b, s) будет обращаться в нуль в некоторой точкеs(b) ∈ (s(b),∞), причем непрерывная функция s(b) параметра b будетудовлетворять предельному равенству

limb→−k+0

s(b) = ∞. (7.1.22)

Если δ0 в (7.1.18) определить так, чтобы имело место неравенство

δ0 ≤ min(δ1, k + a),



то построить функцию z0(s, ε) можно без труда.Действительно, пусть выполняется (7.1.22). Функцию z0(s, ε) начнем

строить следующим образом. Предварительно введем несколько обозна-чений. Выберем такое положительное σ0, чтобы отрезок [−σ0, σ0] при-надлежал интервалу (α, β) и чтобы

m0 = min |p(t)| > 0, −σ0 ≤ t ≤ σ0.

Затем фиксируем некоторое положительное число l0 так, чтобы имеломесто неравенство

l0 > max[4q(t)− 2p(t)], α ≤ t ≤ β.

Далее, положимr0 = m−1

0

√l0|p(0)|.

Из неравенства (7.1.15) вытекает существование такого ε0 > 0, что привсех ε ∈ (0, ε0) выполняются соотношения (k ≥ 2)

s(b) < s1(ε) ≤ s2,

−s(b) < s2(ε) ≥ −s2,

где s2 > 0 не зависит от ε. Отметим, что при k = 1

s(b) = si(ε) ≡ 0, i = 1, 2.

Используя (7.1.22), можно сделать вывод о существовании такого b,удовлетворяющего условию (7.1.18), и такого r > max(r0, s2), чтоs(b) = r ∈ (s1(ε),∞). Функцию z0(s, ε) будем считать теперь равнойv(b, s) при |s| ≤ r и s ∈ ∆1(ε)

⋃∆2(ε), а для остальных значений s из

∆1(ε)⋃

∆2(ε) определим ее равной тождественно нулю.Покажем, что построенная так функция z0(s, ε) удовлетворяет диф-

ференциальному неравенству (7.1.16).При |s| ≤ r (s ∈ ∆1(ε)

⋃∆2(ε)) неравенство (7.1.16) будет иметь

место, еслиa− b ≥ max ω(s, ε),

т.е. при достаточно малых значениях ε. При s ∈ ∆1(ε)⋃

∆2(ε) и

r ≤ s ≤ σ0√

ε−1|p(0)|неравенство (7.1.16) будет выполнено, если будет выполнено неравенство

|p(√

ε|p(0)|−1s| ≥√

l0ε,



которое, используя формулу Лагранжа, запишем в виде

|p(√

ε|p(0)|−1θs)√

ε|p(0)|−1s| ≥√

l0ε,

где θ ∈ (0, 1). Последнее неравенство является следствием другого нера-венства

m0r ≥√

l0|p(0)|−1,

которое верно в силу выбора чисел r0 и r. При остальных значениях s,принадлежащих отрезкам ∆1(ε) и ∆2(ε), дифференциальное неравенствобудет выполнено, если

εl0 ≤ min p2(t), t ∈ [α, β], t∈(−σ0, σ0),

т.е. при достаточно малых ε.Таким образом, нам осталось обосновать лишь предельное равенство

(7.1.22). Соответствующее доказательство разобьем на четыре этапа,причем ограничимся случаем четного k, так как при k нечетном рас-суждения аналогичны.

§ 7.2. Обоснование предельного свойствафункции s(b)

1. Докажем сначала один общий факт, касающийся свойств решенийдифференциального уравнения (7.1.21). Именно, покажем, что непрерыв-ная на некотором интервале функция, являющаяся решением уравнения(7.1.21), не может иметь на этом интервале более двух нулей с учетомих кратностей. Поскольку в дальнейшем мы будем работать только срешением v(b, s), то применительно к нему и обоснуем это утверждение.

Предположим противное, т.е. будем считать, что существует такоезначение параметра b, удовлетворяющее условию (7.1.18), при которомнепрерывная на некотором интервале функция v(b, s) обращается в нульне менее, чем в трех точках этого интервала. Пусть для определенностипервые три нуля, о которых идет речь, находятся в точках

s1 ≤ s2 ≤ s3. (7.2.1)

Непосредственно из уравнения (7.1.21) видно, что кратность любого ну-ля, не совпадающего с началом координат, не может превышать двух,


§ 7.2. Обоснование предельного свойства функции s(b) 133

так как для второй производной функции v(b, s) выполняется равенство

v(b, si) = −1

2si, i = 1, 2, 3. (7.2.2)

Из (7.2.2) следует, что в неравенствах (7.2.1) хотя бы в одном местестоит знак строгого неравенства.

Обозначим через sj(b) (j = 1, . . . , k2) все положительные нули функ-

ции u(b, s), которые будем считать занумерованными в порядке возрас-тания. Равенство (7.1.20) определяет функцию v(b, s) для неотрицатель-ных значений s не только на интервале (s(b),∞), но и на интервалах(sj(b), sj+1(b)) (j = 1, . . . , k

2 − 1) и полуинтервале [0, s1(b)). Достаточ-но доказать сформулированное выше утверждение для этих интервалов.Обоснование того же факта для остальных интервалов, на которых функ-ция v(b, s) непрерывна, будет следовать из нечетности рассматриваемойфункции.

Из определения чисел sj(b) и из формулы (7.1.20) вытекают предель-ные равенства

lims→sj(b)−0

v(b, s) = ∞, (7.2.3)

lims→sj(b)+0

v(b, s) = −∞. (7.2.4)

Равенство (7.2.4) позволяет нам без потери общности считать, что вы-полняется неравенство

v(b, s1) ≥ 1.

Если же s1 ∈ [0, s1(b)), то ясно, что s1 = 0, причем s1 является простымнулем функции v(b, s). Используя эти замечания и соотношение (7.2.2),убеждаемся в справедливости неравенства

s2 < s3. (7.2.5)

На основании формулы (7.1.21) и, вновь учитывая (7.2.2) и (7.2.4), за-ключаем теперь, что

1

2− b− 1

4(s1)2 ≥ 0,

1

2− b− 1

4(s2)2 ≤ 0,

1

2− b− 1

4(s3)2 ≥ 0.



Однако, в силу (7.2.5) последние два неравенства одновременно выпол-няться не могут. Мы пришли к противоречию. Тем самым показано, чтона промежутках, на которых v(b, s) непрерывна, не может существоватьу нее более двух нулей с учетом их кратностей. Заметим, что получен-ный вывод справедлив и в случае, когда b = −k.

В заключение этого этапа отметим, что в силу предельного равен-ства (7.2.3) на интервалах (sj(b), sj+1(b)) (j = 1, . . . , k

2 − 1) у функцииv(b, s) находится лишь один простой нуль. На полуинтервале [0, s1(b))эта функция единственный раз обращается в нуль в точке s = 0, причемэтот нуль также простой.

2. Здесь будут изучены некоторые специальные свойства функцииv(b, s) при значении параметра b, равном −k.

Как было показано выше, четная функция u(−k, s) обращается в нульв k точках интервала (−∞,∞). Обозначим через sj(−k) (j = 1, . . . , k

2) по-ложительные нули этой функции, причем будем считать, что нумерацияпроисходит в порядке возрастания. Формула (7.1.20) определяет непре-рывную функцию v(−k, s) на промежутках [0, s1(−k)), (s1(−k), s2(−k)),. . ., (sk

2−1(−k), sk2(−k)), (sk

2(−k),∞). Основным содержанием этого этапа

является доказательство того факта, что функция v(−k, s) обращается внуль в некоторой точке s(−k), принадлежащей интервалу (sk

2(−k),∞),

причем выполнено неравенство

v(−k, s(−k)) > 0. (7.2.6)

В дальнейшем нам будет удобно работать с формулой

u(b, s)v(b, s) = s

[1

2− b+

+∞∑i=1

b(b + 2) . . . (b + 2i− 2)

(2i)!

(1

2− 2i + b

2i + 1

)s2i

],

(7.2.7)

которая при b = −k принимает более простой вид

u(−k, s)v(−k, s) = s

[1

2+ k+

+

k/2∑i=1

−k . . . (−k + 2i− 2)

(2i)!

(1 + k

4i + 2

)s2i

].

(7.2.8)

Заметим теперь, что все нули многочлена степени k + 1, стоящего вправой части формулы (7.2.8), совпадают с нулями функции v(−k, s),


§ 7.2. Обоснование предельного свойства функции s(b) 135

причем других нулей у последней функции нет. Поскольку, как отме-чалось выше, на каждом из промежутков [0, s1(−k)), [sj(−k), sj+1(−k))(j = 1, . . . , k

2−1) функция v(−k, s) имеет ровно один простой нуль, то длядоказательства существования нуля на интервале (sk

2(−k),∞) необходи-

мо показать следующее: многочлен (7.2.8) имеет точно k2 положительных

нулей. Очевидно, что больше, чем k2 , их быть не может. Предположим

противное, т.е. будем считать, что количество положительных нулей это-го многочлена меньше, чем k

2 . Тогда число их в точности равно k2 − 1. В

точке s = 0 многочлен равен нулю, а его производная при этом положи-тельна. Из сказанного следует предельное равенство

lims→∞

u(−k, s)v(−k, s) =

{ ∞, если k4 6= p, (p = 1, 2, . . .),

−∞, если k4 = p, (p = 1, 2, . . .).

(7.2.9)

С другой стороны, если воспользоваться формулой (7.2.8), то получимвместо равенства (7.2.9) не совпадающее с ним равенство

lims→∞

u(−k, s)v(−k, s) =

{ −∞, если k4 6= p, (p = 1, 2, . . .),

∞, если k4 = p, (p = 1, 2, . . .).

Тем самым получено противоречие. Неравенство (7.2.6) для нуляs(−k) ∈ (sk

2(−k),∞) функции v(−k, s), существование которого мы до-

казали, выполняется очевидным образом.3. Покажем здесь, используя предыдущий результат, что существует

такое δ1 ∈ (0, 1), при котором для всех b ∈ (−k,−k + δ1) функция v(b, s)обращается в нуль в некоторой точке s(b) ∈ (s(b),∞). Покажем также,что при этом выполняется неравенство

v(b, s(b)) > 0. (7.2.10)

Введя новый параметрδ = k + b,

перепишем формулу (7.2.7) в более удобном для нас виде

u(b, s)v(b, s) = s

[12 + k +

+k/2∑i=1

−k(−k+2)...(−k+2i−2)(2i)!

(12 − 2i−k

2i+1

)s2i + f(s, δ)

],

(7.2.11)



где непрерывная функция f(s, δ) стремится к нулю при стремлении δ кнулю равномерно на каждом конечном промежутке изменения s. Фикси-руем затем такое s0 > 0, чтобы s(−k) ∈ (0, s0). На отрезке [0, s0] праваячасть формулы (7.2.11) равномерно сходится к (7.2.8). Отсюда следует,что при малых δ у функции v(b, s) существует нуль s(b) ∈ (s(b),∞),причем в силу (7.2.6) имеет место неравенство (7.2.10).

Отметим, что для непрерывной функции s(b) параметраb ∈ (−k,−k + δ1) выполняется неравенство

s(b) <√

2 + 4k.

Этот вывод можно сделать на основании (7.1.21) и с помощью неравен-ства (7.2.10).

4. Покажем теперь, что при достаточной близости параметра b к чис-лу −k у функции v(b, s) существует второй нуль s(b), удовлетворяющийпредельному равенству (7.1.22).

При решении поставленной задачи мы вновь воспользуемся представ-лением (7.2.7), которое перепишем в несколько ином виде

u(b, s)v(b, s) = s

[12 − b +

k∑i=1

b(b+2)...(b+2i−2)(2i)!

(12 − 2i+b

2i+1

)s2i+

+∞∑

i=k+1

b(b+2)...(b+2i−2)(2i)!

(12 − 2i+b

2i+1

)s2i

].

(7.2.12)

Для значений b из интервала (−k,−k + δ1) все слагаемые, объединенныепод последним знаком суммирования в формуле (7.2.12), положительны,если k не кратно четырем, и отрицательны– в противном случае. Отсюдаследует, что выполняется равенство

lims→∞

u(b, s)v(b, s) =

{ ∞, если k4 6= p, p = 1, 2, . . . ,

−∞, если k4 = p, p = 1, 2, . . . .

(7.2.13)

Из определения числа s(b) и из неравенства (7.2.10) вытекает, что функ-ция v(b, s) положительна в некоторой окрестности справа от точки s(b).Отсюда, из предельных равенств

lims→∞

u(b, s) =

{ −∞, если k4 6= p, p = 1, 2, . . . ,

∞, если k4 = p, p = 1, 2, . . .

и (7.2.13) следует, что функция v(b, s) отрицательна при достаточнобольших значениях s. Из этого вытекает существование у этой функ-ции второго нуля s(b).


§ 7.3. Вспомогательное утверждение 137

Равенство (7.1.22) доказывается теперь без труда. В самом деле,предположим противное: пусть существует такая последовательностьbm → −k + 0, что выполняется равенство

limm→∞

s(bm) = s0, s0 ∈ (s(−k),∞).

Фиксируем тогда такое s1 > 0, чтобы

[s0 − s1, s0 + s1] ⊂ (s(−k),∞).

На отрезке [s0 − s1, s0 + s1] правая часть (7.2.12) равномерно сходитсяк правой части (7.2.8) при стремлении bm к числу −k. Следовательно,существует такое δ > 0, при котором для всех b ∈ (−k,−k + δ) функцияv(b, s) положительна на рассматриваемом отрезке. Тем самым мы пришлик противоречию. Предельное равенство (7.1.22) доказано.

§ 7.3. Вспомогательное утверждение

1. Приведенное в этом параграфе утверждение, для обоснования кото-рого мы будем использовать уже полученные результаты, будет игратьосновную роль при доказательстве теоремы 7.1.1.

Пусть функция p(t) обращается в нуль в точках t1, . . . , tn интервала(α, β). Фиксируем такое t0 > 0, чтобы принадлежащие интервалу (α, β)отрезки [ti − t0, ti + t0] (i = 1, . . . , n) не пересекались между собой. Этиотрезки нам удобно обозначить через ∆i(t0) соответственно.

Предположим, что

−hi =ν0i

|p(ti)| 6= j, j = 0, 1, . . . ; i = 1, . . . , n. (7.3.1)

Отметим, что в силу леммы 7.1.1 наименьшее число нулей, которое мо-гут иметь решения дифференциального уравнения (7.1.4) на каждом изотрезков ∆i(t0), не зависит от ε, если только ε достаточно мало. Наи-меньшее возможное число нулей на ∆i(t0) мы будем обозначать нижечерез ki. Очевидно, что наибольшее количество нулей у решений урав-нения (7.1.4) на том же отрезке будет равно ki + 1.

Лемма 7.3.1. Пусть выполнены неравенства (7.3.1). Тогда най-дется такое ε0 > 0, что при каждом ε ∈ (0, ε0) существует решениеx∗(t, ε) уравнения (7.1.4), имеющее ровно k0 нулей на отрезке [α, β],



где

k0 = 1 +n∑

i=1

ki.

Любое другое решение при этом обращается в нуль не более k0 раз.Доказательство. Сначала покажем, что существует решение уравне-

ния (7.1.4), которое имеет на отрезке [α, β] не менее k0 нулей при малыхε. Для этого выберем такое ε0 > 0, чтобы при ε ∈ (0, ε0) на каждомиз отрезков ∆i(t0) существовало решение, имеющее ki + 1 нулей соот-ветственно. Ясно, что тогда любое решение имеет не менее ki нулей накаждом из рассматриваемых отрезков. Таким образом, если зафиксиро-вать такое решение, которое имело бы k1 + 1 нулей на отрезке ∆1(t0), тона каждом из остальных отрезков ∆i(t0) это же решение обращается внуль не менее, чем ki раз. Начальные условия такого решения, заданныев момент времени t1, можно взять не зависящими от ε. Отсюда сле-дует, что наибольшее количество нулей, которое могут иметь решенияуравнения (7.1.4) на отрезке [α, β], не меньше k0 для достаточно малыхε.

Доказательство леммы будет завершено, если мы покажем, что суще-ствует решение уравнения (7.1.4), имеющее при малых ε не более k0 − 1нулей. Чтобы показать это, нам будет удобнее работать с дифференци-альным уравнением

εx +

[2q(t)− p(t)

2− p2(t)

4ε

]x = 0, (7.3.2)

в которое преобразуется уравнение (7.1.4) с помощью замены (7.1.6) ипереобозначения y = x.

Без ограничения общности можно считать, что нули функции p(t)занумерованы в порядке возрастания. Введем в рассмотрение дифферен-циальное уравнение

εx +

[2q0(t)− p0(t)

2− p2

0(t)

4ε

]x = 0. (7.3.3)

Здесь положено

p0(t) =

{a0 > 0, если t ∈ [α, β] и t∈⋃

i ∆i(t0),ai(t− ti), если t ∈ ∆i(t0),

(7.3.4)

p0(t) =

{0, если t ∈ [α, β] и t∈⋃

i ∆i(t0),p(t), если t ∈ ∆i(t0),

(7.3.5)



q0(t) =

{0, если t ∈ [α, β] и t∈⋃

i ∆i(t0),bi, если t ∈ ∆i(t0).

(7.3.6)

В (7.3.4) – (7.3.6) индекс i принимает значения от 1 до n, а числа ai

(i = 0, . . . , n) и bi (i = 1, . . . , n) считаем выбранными таким образом,чтобы имели место неравенства

ni − 1 < νi =2bi − ai − |ai|

2|ai| < ni, i = 1, . . . , n, (7.3.7)

где ni – целые числа. Докажем сначала лемму для дифференциальногоуравнения (7.3.3). Отметим, что это уравнение подобрано так, чтобы егоможно было проинтегрировать в явном виде.

На заключительном этапе доказательства леммы будет показано, чтосуществует такое ε0 > 0, при котором для всех ε ∈ (0, ε0) выполняетсянеравенство

2q(t)− p(t)

2− p2(t)

4ε≤ 2q0(t)− p0(t)

2− p2

0(t)

4ε(7.3.8)

при t ∈ [α, β]. При этом можно так определить числа ai и bi в формулах(7.3.4) – (7.3.6), чтобы числа νi были заключены между теми же целымичислами, что и ν0i|p(ti)|−1. При таком определении чисел νi (i = 1, . . . , n)максимальное возможное количество нулей, которое могут иметь прималых ε решения уравнения (7.3.3), не превзойдет числа k0. Отсюда ииз неравенства (7.3.8) будет следовать, что у решений уравнения (7.3.2)не может существовать при тех же ε нулей больше, чем k0. Последнеевытекает из теоремы сравнения (теорема 1.1.1).

Итак, основную роль при доказательстве леммы играет обоснова-ние соответствующего утверждения для дифференциального уравнения(7.3.3). Приступим к изучению свойств решений этого уравнения.

2. Свойства решений уравнения (7.3.3). Первый этап.Введем в рассмотрение функции, используя которые докажем на сле-

дующих этапах нужное утверждение.На отрезке ∆i(t0) (i = 1, . . . , n) определим функции

xi1(t, ε) =

[1 +

∞∑j=1

−νi(−νi+2)...(−νi+2j−2)|ai|j(2j)!εj (t− ti)

2j

]×

× exp[− |ai|

4ε (t− ti)2]



иxi2(t, ε) =

√ε√|ai|

exp[− |ai|

4ε (t− ti)2] √|ai|√

ε(t− ti)+

+∞∑

j=1

(−νi+1)...(−νi+2j−2)|ai|2j+1

2

(2j+1)ε2j+1

2

(t− ti)2j+1.

Далее положим

xi(t, ε) =

{xi1(t, ε), если ni ≥ 2 и ni четно,xi2(t, ε), если ni ≤ 0 или ni нечетно.

(7.3.9)

Числа ni, входящие в (7.3.9), те же, что и в (7.3.7). Каждая из функцийxi(t, ε) является решением дифференциального уравнения (7.3.3) на со-ответствующем промежутке. Как следует из доказательства леммы 7.1.1,функция xi(t, ε) обращается в нуль на отрезке ∆i(t0) ровно ki раз прималых значениях ε. При этом количество нулей любого другого решенияуравнения (7.3.3) на том же отрезке не меньше, чем ki.

Рассмотрим отдельно функцию x1(t, ε), определенную на отрезке∆1(t0). Эта функция будет играть особую роль в дальнейших рассуж-дениях. Нам будет удобно считать, что x1(t, ε) определена на всем от-резке [α, β]. На значениях t /∈ ∆1(t0) определим эту функцию так, чтобыона была решением уравнения (7.3.3). Обозначим полученную функциючерез x0(t, ε). Для нас будет важно знать, как ведет себя эта функцияпри значениях t /∈ ∆1(t0). Поэтому нам будет удобно вводить новыеобозначения этой функции, рассматриваемой на некоторых специальныхотрезках.

Рассмотрим отрезки [t1+t0, t2−t0] и ∆2(t0). На этих отрезках функцияx0(t, ε) определяет соответственно две функции x01(t, ε) и x02(t, ε). Какоказывается, первую из этих функций можно выписать в явном виде, авторую выразить через x21(t, ε) и x22(t, ε).

Имеем

x01(t1 + t0, ε) = x1(t1 + t0, ε), x01(t1 + t0, ε) = x1(t1 + t0, ε).

Используя формулы, при помощи которых мы ввели p0(t), p0(t) и q0(t),получим, что

x01(t0, ε) =

1

2x1(t1 + t0, ε)

(exp

[a0

2ε(t2 − t1 − 2t0)

]+

+ exp[−a0

2ε(t2 − t1 − 2t0)

])+

ε

a0x(t1 + t0, ε)×

×(exp

[a0

2ε(t2−t1−2t0)

]− exp

[−a0

2ε(t2−t1−2t0)

]),

(7.3.10)



x01(t0, ε) =

1

2x(t1 + t0, ε)

(exp

[a0

2ε(t2 − t1 − 2t0)

]+

+ exp[−a0

2ε(t2 − t1 − 2t0)

])+

a0

4εx1(t1 − t0, ε)×

×(exp

[a0

2ε(t2 − t1 − 2t0)

]− exp

[−a0

2ε(t2 − t1 − 2t0)

]),

(7.3.11)

где положено t0 = t2 − t0. Отметим, что

x21(t, ε)x22(t, ε)− x21(t, ε)x22(t, ε) ≡ 1, t ∈ ∆2(t0). (7.3.12)

Посколькуx02(t

0, ε) = x01(t0, ε), x02(t

0, ε) = x01(t0, ε),

то из (7.3.12) получаем, что имеет место представление

x02(t0, ε) =

[x01(t

0, ε)x22(t0, ε)− x01(t

0, ε)x22(t0, ε)

]x21(t, ε)+

+[x01(t

0, ε)x21(t0, ε)− x01(t

0, ε)x21(t0, ε)

]x22(t, ε). (7.3.13)

Ниже нам потребуется еще функция

x0(t, ε) =

[x22(t

0, ε)

x22(t0, ε)− x01(t

0, ε)

x01(t0, ε)

]x21(t, ε)

x21(t0, ε)−

−[x21(t

0, ε)

x21(t0, ε)− x01(t

0, ε)

x01(t0, ε)

]x22(t, ε)

x22(t0, ε). (7.3.14)

Используя эту функцию, формулу (7.3.13) можно записать в виде

x02(t, ε) = x01(t0, ε)x21(t, ε)x22(t, ε)x

0(t, ε), (7.3.15)

из которого становится ясно, что наличие k1+k2 нулей у функции x0(t, ε)на отрезке [t1 − t0, t2 + t0] будет доказано, если мы покажем, что она неменяет знака на [t1 + t0, t2 − t0], а функция x0(t, ε) обращается в нульровно k2 раз на отрезке [t2 − t0, t2 + t0].

3. Свойства решений уравнения (7.3.3). Второй этап.На этом этапе будет доказано одно вспомогательное неравенство, при

помощи которого мы ниже установим существование ровно k2 нулей уфункции x0(t, ε) на [t2 − t0, t2 + t0].

Покажем, что существует такое ε0 > 0, при котором для всехε ∈ (0, ε0) выполняется неравенство

x01(t0, ε)

x01(t0, ε)−max

[x21(t

0, ε)

x21(t0, ε),x22(t

0, ε)

x22(t0, ε)

]> 0. (7.3.16)



Прежде всего обоснуем соотношение

x01(t0, ε)

x01(t0, ε)≥ c0

ε, (7.3.17)

где положительная постоянная c0 не зависит от ε, когда ε мало. Дляэтого воспользуемся равенствами (7.3.10) и (7.3.11). Полагая

z(t, ε) =x1(t1 + t0, ε)

x1(t1 + t0, ε), (7.3.18)

левую часть неравенства (7.3.17) запишем в виде

x01(t0, ε)

x01(t0, ε)=

a0

2ε

(2εa0

z(t0, ε) + 1)

exp[

a0

ε (t2 − t1)]+

(2εa0

z(t0, ε)− 1)

(2εa0

z(t0, ε) + 1)

exp[

a0

ε (t2 − t1)]+

(1− 2ε

a0z(t0, ε)

).

Отсюда вытекает, что для обоснования неравенства (7.3.17) достаточнопоказать, что при малых ε имеет место неравенство

2ε

a0z(t0, ε) + 1 ≥ c > 0,

в котором постоянная c не зависит от ε. Мы покажем, что z(t0, ε) по-ложительна при достаточно малых ε. Тем самым можно будет положитьc = 1. Учитывая (7.3.9), получим, что

z(t, ε) =u(t, ε)

u(t, ε)− (t− t1)|a1|

2ε.

Здесь положено

u0(t, ε) =

{u1(t, ε), если x1(t, ε) ≡ x11(t, ε),u2(t, ε), если x1(t, ε) ≡ x12(t, ε),

где, в свою очередь, приняты следующие обозначения:

u1(t− t1, ε) = 1 +∞∑

j=1

−ν1(−ν1 + 2) . . . (−ν1 + 2j − 2)|a1|j(2j)!εj

(t− t1)2j,

u2(t− t1, ε) =

√|a1|√ε

+∞∑

j=1

(−ν1 + 1) . . . (−ν1 + 2j − 1)|a1| 2j+12

(2j + 1)!ε2j+1

2

(t− t1)2j+1.



Воспользуемся теперь одним результатом, полученным при доказа-тельстве леммы 7.1.1. Там нами была построена функция v(b, s), котораяопределялась равенством (7.1.20), и было получено такое утверждение:при достаточной близости параметра b к числу −k (k– целое неотрица-тельное) существует такое s0 > 0, что при всех s > s0 функция v(b, s)отрицательна, а при s < −s0 положительна. Заметим теперь, сравниваяформулу (7.1.20) с формулой, положенной в основу определения z(t, ε),что

z(t0, ε) = −v0(−ν1,

√|a1|√ε

t0),

где функция v0(b, s) обладает перечисленными выше для функции v(b, s)свойствами. При этом, конечно, предполагается, что ν1 достаточно близ-ко слева к целому неотрицательному числу. Тем самым показано, чтопри малых ε функция z(t0, ε) положительна.

Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что числа νi

(i = 1, . . . , n) достаточно близки к целым неотрицательным числам, непревосходя последних.

Для следующих рассуждений нам удобно будет использовать форму-лу

x22(t0, ε)

x22(t0, ε)− x21(t

0, ε)

x21(t0, ε)=

1

x21(t0, ε)x22(t0, ε), (7.3.19)

вытекающую из тождества (7.3.12). Отсюда и из определения функцийx21(t, ε) и x22(t, ε) следует равенство

max

[x21(t

0, ε)

x21(t0, ε),x22(t

0, ε)

x22(t0, ε)

]=

{x21(t0,ε)x21(t0,ε)

, n2 четно или n2 ≤ 0,x22(t0,ε)x22(t0,ε)

, n2 нечетно и n2 > 0.

(7.3.20)Обозначим левую часть последнего равенства через u(t0, ε). Для завер-шения доказательства неравенства (7.3.16) достаточно установить, чтопри малых ε функция u(t0, ε) отрицательна. На основании (7.3.20) вэтом нетрудно убедиться, если заметить, что

u(t0, ε) = −v1(−ν2,

√|a2|√ε

t0),

где v1(b, s)– некоторая функция, по отношению к которой справедли-вы выводы, полученные для ранее изучавшейся функции v(b, s). По-скольку, как мы уже упоминали на этом этапе, v(b, s) положитель-на при s < −s0 (s0– некоторое фиксированное число), то, очевидно,



v1(−ν2,−√|a2|√ε

t0) > 0, когда ε достаточно мало. Таким образом, неравен-ство (7.3.16) доказано.

4. Свойства решений уравнения (7.3.3). Третий этап.Здесь мы покажем, что функция x0(t, ε) обращается в нуль ровно

k1 раз на отрезке [α, t2 − t0], когда ε достаточно мало. Этот результатбудет следовать из того, что функция x0(t, ε) не обращается в нуль наотрезках [α, t1 − t0] и [t1 + t2, t2 − t0], а также из того, что она имеетk1 нулей на промежутке ∆1(t0). Для обоснования сформулированногоутверждения воспользуемся той частью доказательства леммы 7.1.1, вкоторой показывается, что решения уравнения (7.1.4) не осциллируютна определенных выше отрезках ∆1(t0) и ∆2(t0). Это же доказательствоцеликом, без изменений, переносится на рассматриваемый здесь случай,только роль отрезков ∆1(t0) и ∆2(t0) будут теперь играть соответственноотрезки

∆∗1(ε) =

[α

(ε|p(t1)|−1)− 1

2 ,(t1 − t(ε)

) (ε|p(t1)|−1)− 1

2

], (7.3.21)

∆∗1(ε) =

[(t1 + t(ε)

) (ε|p(t1)|−1)− 1

2 , (t2 − t0)(ε|p(t1)|−1)− 1

2

], (7.3.22)

где через t1 − t обозначен крайний левый нуль функции x0(t, ε) на от-резке ∆1(t

0), а через t1 + t– соответственно крайний правый нуль этойфункции. Таким образом, убеждаемся в том, что x0(t, ε) не имеет нулейна отрезках [α, t1 + t0] и [t1 + t0, t2 − t0], если ε достаточно мало.

5. Свойства решений уравнения (7.3.3). Четвертый этап.Этот и последующий этапы будут посвящены обоснованию того фак-

та, что существует такое ε0 > 0, для которого при всех ε ∈ (0, ε0) ре-шение x0(t, ε) дифференциального уравнения (7.3.3) на отрезке ∆2(t

0)имеет ровно k2 нулей.

Здесь будет разобран случай, когда n2, входящее в одно из неравенств(7.3.7), меньше или равно нулю. Отметим, что при этом функция x21(t, ε)(x21(t, ε) ≡ x2(t, ε)) положительна на отрезке ∆2(t

0), а функция x22(t, ε)один раз обращается в нуль в точке t2 при всех положительных ε. Какследует из определения x22(t, ε), производная этой функции в точке t2положительна. Производная же функции x21(t, ε) в точке t2 равна нулю.Эти простые замечания будут использованы в дальнейшем при выводенужных неравенств.

Для доказательства сформулированного выше утверждения достаточ-но показать, что в точках t0 и t2 функция x0(t, ε) имеет один и тот же



знак, причем выполняется неравенство

x0(t2, ε)x0(t2, ε) > 0. (7.3.23)

Действительно, из сказанного следует, что на отрезке [t0, t2] у рассмат-риваемой функции одного нуля быть не может, а наличие большего чис-ла нулей исключается, благодаря теореме о разделении нулей решенияуравнения (7.3.3). На промежутке [t2, t2 + t0] функция x0(t, ε) в нуль об-ратиться не может в силу того, что имеет место представление

x0(t, ε) = x0(t2, ε)x21(t, ε) + x0(t2, ε)x22(t, ε),

в котором оба слагаемые, стоящие в правой части, имеют один и тот жезнак на этом отрезке.

Проведем обоснование отмеченных неравенств. Соотношение

x0(t0, ε)x0(t2, ε) > 0 (7.3.24)

следует из формулы

x0(t0, ε)x0(t2, ε) =

[x22(t

0, ε)

x22(t0, ε)− x21(t

0, ε)

x21(t0, ε)

]×

×[x22(t

0, ε)

x22(t0, ε)− x01(t

0, ε)

x01(t0, ε)

]x21(t2, ε)

x21(t0, ε),

которая имеет место на основании (7.3.14). При этом мы учитываем, чтовыполняется неравенство (7.3.16) и равенство (7.3.19), в котором праваячасть отрицательна при малых ε. Неравенство (7.3.21), в свою очередь,следует из представления

x0(t2, ε)x0(t2, ε) = −

[x22(t

0, ε)

x22(t0, ε)− x01(t

0, ε)

x01(t0, ε)

]×

×[x21(t

0, ε)

x21(t0, ε)− x01(t

0, ε)

x01(t0, ε)

]1

x21(t0, ε)x22(t0, ε),

вытекающего из (7.3.14), и упоминающихся свойств входящих тудафункций. Таким образом, в случае, когда n2 ≤ 0, мы доказали, что наотрезке [α, t2 + t0] функция x0(t, ε) имеет ровно k1 + k2 нулей.

На этом же этапе установим еще один факт. Обозначим через x∗2(t, ε)решение дифференциального уравнения (7.3.3), совпадающее на отрезке



∆2(t0) с функцией x21(t, ε). Предположим, что это решение первый разна отрезке [t2 + t0, β] обращается в нуль в некоторой точке t∗(ε). Тогдавыполняется неравенство

t1(ε) ≥ t∗(ε), (7.3.25)

где через t1(ε) обозначен наименьший нуль, если таковой вообще суще-ствует, функции x0(t, ε) на отрезке [t2 − t0, β]. Если же на рассматрива-емом отрезке функция x∗2(t, ε) в нуль не обращается, тогда и функцияx0(t, ε) сохраняет знак на том же отрезке.

Для обоснования этого факта введем в рассмотрение функции

z0(t, ε) = −x0(t, ε)

x0(t, ε), (t ∈ [t2 − t0, β])

и соответственно

z∗(t, ε) = −x∗2(t, ε)x∗2(t, ε)

, (t ∈ [t2 − t0, β]).

Напомним, что везде на этом этапе предполагается выполненным нера-венство n2 ≤ 0. Заметим, далее, что обе функции z0(t, ε) и z∗(t, ε) яв-ляются решениями на отрезке [t2 − t0, β] дифференциального уравненияРиккати

εz = εz2 +2q0(t)− p0(t)

2− p0(t)

4ε. (7.3.26)

Из неравенства (7.3.21) вытекает соотношение

z0(t2, ε) < 0,

а из определения функций x∗2(t, ε) и z∗(t, ε) следует, что в точке t2 послед-няя функция обращается в нуль. Отсюда и в силу теоремы о монотоннойзависимости от начальных условий решений уравнения (7.3.26) делаемследующий вывод:

z0(t, ε) < z∗(t, ε)

при t ∈ [t2 − t0, t∗(ε)] или при t ∈ [t2 − t0, β], если x∗2(t, ε) не обращается

в нуль. Из последнего неравенства следует обоснование соотношения(7.3.25).

6. Свойства решений уравнения (7.3.3). Пятый этап.Покажем, что при малых ε функция x0(t, ε) ровно k2 раз обращает-

ся в нуль на отрезке ∆2(t0). На этом этапе мы рассматриваем толькослучай, когда соответствующее из неравенств (7.3.7) выполняется дляположительного n2.



Обозначим через t21(ε) и t22(ε) крайние левые нули функций x21(t, ε)и x22(t, ε) на промежутке ∆2(t0). Для доказательства сформулированногоутверждения можно ограничиться лишь обоснованием неравенства

t1(ε) ≥ max[t21(ε), t22(ε)]. (7.3.27)

Отметим, что все функции параметра ε, входящие в (7.3.27), при по-ложительном n2 заведомо существуют, если только ε достаточно мало.Существование еще ровно k2−1 нулей у функции x0(t, ε) на рассматрива-емом отрезке будет гарантировано тем, что одна из функций x21(t, ε) илиx22(t, ε) имеет k2 +1 нулей, а другая – k2, а также теоремой о разделениинулей решений уравнения (7.3.3).

Обоснование неравенства (7.3.27) будет завершено, если мы покажем,что в точках t0, t21(ε) и t22(ε) функция x0(t, ε) имеет один и тот же знак.Выпишем значения этой функции в точках:

x0(t0, ε) =

[x22(t

0, ε)

x22(t0, ε)− x21(t

0, ε)

x21(t0, ε)

]=

1

x21(t0, ε)x22(t0, ε),

x0(t21(ε), ε) = −[x21(t

0, ε)

x21(t0, ε)− x01(t

0, ε)

x01(t0, ε)

]x22(t21(ε), ε)

x22(t0, ε)и наконец

x0(t22(ε), ε) =

[x22(t

0, ε)

x22(t0, ε)− x01(t

0, ε)

x01(t0, ε)

]x21(t22(ε), ε)

x21(t0, ε).

Отсюда доказательство того факта, что знак левых частей последнихтрех равенств совпадает, завершается ссылкой на обоснованное вышенеравенство (7.3.16) и соотношения

x21(t0, ε)x22(t

0, ε)

{> 0, если n2 нечетно,< 0, если n2 четно,

x22(t21(ε), ε)

x22(t0, ε)

{> 0, если n2 нечетно,< 0, если n2 четно,

x21(t22(ε), ε)

x21(t0, ε)

{< 0, если n2 нечетно,> 0, если n2 четно,

которые выполняются для малых ε.Суммируя сказанное на последних трех этапах, приходим к выво-

ду, что при достаточно малых ε функция x0(t, ε) обращается в нуль наотрезке [α, t2 + t0] ровно k1 + k2 раз.



7. Свойства решений уравнения (7.3.3). Шестой этап.Завершим доказательство леммы для дифференциального уравнения

(7.3.3).Обозначим через x∗i (t, ε) (i = 1, . . . , n) решение уравнения (7.3.3),

которое совпадает соответственно с функциями xi(t, ε) на отрезке ∆i(t0).Как мы уже показали, функция x∗1(t, ε) (x∗1(t, ε) ≡ x0(t, ε)) на отрезке

[α, t2 + t0] имеет при малых ε ровно k1 + k2 нулей. При этом выполняетсянеравенство (7.3.25), если n2 ≤ 0, и имеет место (7.3.27) в противномслучае. Последнее обстоятельство сыграет основную роль в дальнейшихрассуждениях.

Так же, как и при обосновании соответствующих свойств функ-ции x∗1(t, ε), можно доказать существование такого ε0 > 0, что привсех ε ∈ (0, ε) функция x∗2(t, ε) имеет ровно k2 + k3 нулей на отрезке[t2 − t0, t3 + t0]. В этом случае будут справедливы неравенства

t2(ε) ≥ max(t31(ε), t32(ε)), если n3 > 0,

t2(ε) ≥ t∗3(ε), если n3 ≤ 0.

Здесь через t2(ε), t31(ε) и t32(ε) обозначены крайние левые нули функцийx∗2(t, ε), x31(t, ε), x32(t, ε) на отрезке [t3 − t0, t3 + t0], а точка t∗3(ε) такова,что в ней функция x∗3(t, ε) обращается в нуль первый раз на отрезке[t3 − t0, β] в случае, когда n3 ≤ 0. Если же в последнем случае x∗3(t, ε) неменяет знак на промежутке [t3 − t0, β], то на этом отрезке нет нулей и уфункции x∗2(t, ε). Поскольку нули всех решений разделены, то из (7.3.25)и (7.3.27) следует, что функция x∗1(t, ε) имеет при достаточно малых εровно k1 + k2 + k3 нулей на отрезке [α, t3 + t0].

Рассуждая дальше аналогично, придем к тому, что функция x∗1(t, ε)имеет ровно k0 − 1 нулей на отрезке [α, β], когда ε достаточно мало.Отсюда вытекает, что наибольшее число нулей, которое могут иметь ре-шения рассматриваемого уравнения, не превосходит k0. Тем самым дока-зательство леммы для дифференциального уравнения (7.3.3) полностьюзавершено.

8. Обоснование неравенства (7.3.8).Последнее, что нам осталось установить для обоснования леммы в

общем случае, является неравенство (7.3.8).Фиксируем такое t0 > 0, чтобы на отрезках ∆i(t0) (i = 1, . . . , n) вы-

полнялось неравенство

maxt∈∆i(t0)

[2q(t)− p(t)

2− p2(t)

4ε

]≤



≤ 2[q(ti) + gi]− [p(ti) + di]

2− [p(ti) + di]

2(t− ti)

4ε. (7.3.28)

В (7.3.28) числа gi и di (i = 1, . . . , n) выбраны так, что имеют местонеравенства

|di|2

<di

|di| p(ti) (7.3.29)

и

gi − di

2> 0. (7.3.30)

Ясно, что для каждых di и gi (i = 1, . . . , n), обладающих отмеченнымив (7.3.29) и (7.3.30) свойствами, можно указать такое число t0 > 0, независящее от ε, чтобы выполнялось неравенство (7.3.28).

Положим затем

ai = p(ti) + di, i = 1, . . . , n,

bi = q(ti) + gi, i = 1, . . . , n.

Тем самым определены числа νi (i = 1, . . . , n). Отметим, наконец, чтоза счет подходящего выбора чисел di и gi можно сделать так, чтобывыполнялись соотношения

νi − 1 <ν01

|p(ti)| < νi < ni,

когда целые числа ni положительны и

ν0i

|p(ti)| < νi < 0

при неположительных ni. При этом можно добиваться какой угодно бли-зости νi к числу, занимающему крайнее правое место в соответствующемиз последних двух неравенств. Это замечание важно, поскольку на при-мере уравнения (7.3.3) лемма доказана лишь в предположении, что νi

достаточно близки к целым неотрицательным числам.Нам осталось определить в (7.3.4) – (7.3.6) только число a0. Введем

его следующим образом:

a0 = min |p(t)| − d0, (t ∈ [α, β], t∈⋃i

∆i(t0)),

где положительное число d0 выбрано так, чтобы выполнялось неравен-ство

a0 > 0.



Нетрудно показать, что при достаточно малых ε неравенство (7.3.8)имеет место и для всех t ∈ [α, β], t∈⋃

i ∆i(t0). Тем самым неравенство(7.3.8) доказано. Отсюда следует завершение обоснования леммы в об-щем случае.

§ 7.4. Обоснование теоремы 7.1.1

Покажем сначала, что для каждого j (j = 1, 2, . . .) собственное числоλj(ε) ограничено при стремлении ε к нулю. Предположим противное, т.е.будем считать, что существует такой номер j и такая последовательностьεm → 0, на которой выполняется одно из следующих равенств:

limm→∞

λj(εm) = ∞ (7.4.1)

илиlim

m→∞λj(εm) = −∞. (7.4.2)

Пусть, например, имеет место (7.4.1). Введем в рассмотрение диффе-ренциальное уравнение

εmx + p(t)x + [q(t)− λj(εm)]x = 0. (7.4.3)

С помощью замены (7.1.6) это уравнение преобразуется в уравнение

εmy +

[2q(t)− 2λj(εm)− p(t)

2− p2(t)

4εm

]y = 0. (7.4.4)

Из последнего утверждения видно, что при всех m, для которых

λj(εm) > maxt∈[α,β]

[q(t)− p(t)

2

],

решения (7.4.4) не осциллируют на отрезке [α, β]. Но в то же время, какследует из определения λj(ε), у уравнения (7.4.4) должно существоватьрешение

yj(t, εm) = xj(t, εm) exp

1

2εm

t∫

α

p(τ)dτ

,

имеющее на рассматриваемом отрезке не менее двух нулей. Таким об-разом, мы пришли к противоречию. Отсюда вытекает, что предельноеравенство (7.4.1) не имеет места.


§ 7.4. Обоснование теоремы 7.1.1 151

Предположим затем, что выполняется равенство (7.4.2). Из доказа-тельства предыдущей леммы следует, что при этом справедливо следую-щее утверждение: для любого целого k > 2 существует такое ε0 > 0, прикотором для всех εm ∈ (0, ε0) найдется решение уравнения (7.4.4), име-ющее не менее k нулей. Тем самым показано, что число нулей, котороемогут иметь решения этого уравнения на отрезке [α, β], возрастает добесконечности при стремлении ε к нулю. Собственная функция xj(t, ε),а, значит, и yj(t, ε), имеет при всех положительных ε ровно j + 1 нулейна [α, β]. Отсюда приходим к противоречию. Следовательно, равенство(7.4.2) тоже не имеет места.

Доказательство результата (7.1.3) проведем, вновь рассуждая от про-тивного. Предположим, что существует такой номер j и такая последо-вательность εm → 0, для которой справедливо равенство

limm→∞

λj(εm) = λj + δ,

причем δ 6= 0. Рассмотрим отдельно случаи, когда

δ > 0 (7.4.5)

и когдаδ < 0. (7.4.6)

Сначала разберем случай (7.4.5). Введем в рассмотрение дифферен-циальное уравнение

εmx + p(t)x +

[q(t)−

(λj +

δ

2

)]x = 0. (7.4.7)

Из определения числа λj и из утверждений леммы 7.3.1 следует, чтопри малых εm наибольшее число нулей, которое могут иметь решенияуравнения (7.4.7) на отрезке [α, β], не превосходит j. Очевидно, такой жевывод справедлив и для решений дифференциального уравнения (7.4.3),когда εm достаточно мало. Однако, собственная функция xj(t, ε), как мыуже отмечали, имеет на том же отрезке точно j + 1 нулей. Полученопротиворечие. Тем самым показано, что неравенство (7.4.5) выполнятьсяне может.

Предположим тогда, что выполняется соотношение (7.4.6). В этомслучае дифференциальное уравнение (7.4.7) имеет решение, которое об-ращается в нуль на интервале (α, β) не менее j + 1 раз, если εm доста-точно мало. То же можно сказать и об уравнении (7.4.3). Тем не менее,



функция xj(t, ε) только в j − 1 точках интервала (α, β) принимает зна-чение, равное нулю. Доказательство того факта, что неравенство (7.4.6)не имеет места, получим, если вновь воспользуемся теоремой о разде-лении нулей решений уравнения (7.4.3). Таким образом, теорема 7.1.1полностью доказана.

§ 7.5. Обобщение результата

В этом пункте мы сформулируем сначала несколько более общее утвер-ждение, обоснование которого будет следовать из доказательства леммы7.3.1 и теоремы 7.1.1.

Как и ранее, обозначим через t1, . . . , tn все нули функции p(t), при-надлежащие интервалу (α, β). Основное отличие настоящего пункта отразобранного выше случая состоит в том, что здесь мы допускаем су-ществование у этой функции нулей в одном или обоих концах отрезка[α, β].

Предположим, что p(α) = 0. Величины ναi (i = 0, 1, . . .) введем по

следующему правилу:

ναi =

[q(α)− |p(α)|+ p(α)

2

]− |p(α)|(1 + 2i).

В случае, когда p(β) = 0, положим

νβi =

[q(β)− |p(β)|+ p(β)

2

]− |p(β)|(1 + 2i).

Наконец, числа νik (i = 0, 1, . . .; k = 1, . . . , n) определим, как и ранее,формулами (7.1.2). Затем все числа вида να

i , νβi , если они определены,

а также величины νik (i = 0, 1, . . .; k = 1, . . . , n) расположим в ряд впорядке убывания. Через λj (j = 1, 2, . . .) обозначим соответственно j-ый член этого ряда. Тогда имеют место предельные равенства

limε→0

λj(ε) = λj, j = 1, 2, . . . .

Выше мы всегда предполагали, что все нули функции p(t) простые.Пределы собственных значений рассматриваемой краевой задачи можновычислить и тогда, когда у функции p(t) есть кратные нули. Покажем,как это можно сделать. Предположим, что функция p(t) имеет лишь ко-нечное число t1, . . . , tn простых нулей на отрезке [α, β] и, кроме того, эта


§ 7.5. Обобщение результата 153

функция обращается в нуль вместе со своей производной на некотороммножестве точек M ⊂ [α, β].

Положимν0 = max q(t), t ∈ M.

Будем затем рассматривать только те из чисел νik (i = 0, 1, . . .;k = 1, . . . , n), для которых выполнено неравенство

ν0 < νik.

Отметим, что при tk ∈ (α, β) соответствующие νik (i = 0, 1, . . .) определя-ются формулой (7.1.2), а в случае, когда tk совпадает с одним из концовотрезка [α, β], считаем, что для каждого номера i = 0, 1, . . .

νik =

{να

i , если tk = α,

νβi , если tk = β.

Расположим теперь такие числа νik в ряд в порядке убывания. Оче-видно, число членов этого ряда конечно. Пусть оно равно N . Обозначимчерез λj (j = 1, . . . , N) соответственно j–ый член полученного ряда.

Теорема 7.5.1. Имеют место следующие предельные равенства:

limε→0

λj(ε) = λj, j = 1, . . . , N.

limε→0

λj(ε) = ν0, j = N + 1, N + 2, . . . .

Сначала докажем ряд вспомогательных утверждений. Рассмотримдифференциальное уравнение (7.1.4). Пусть функция p(t) обращается внуль только в точках некоторого множества M0 ⊂ [α, β], причем все ну-ли кратные. Тогда имеют место следующие утверждения, которые будутиграть основную роль при доказательстве теоремы 7.5.1.

Лемма 7.5.1. Существует такое ε0 > 0, при котором для всехε ∈ (0, ε0) решения уравнения (7.1.4) не осциллируют на отрезке [α, β],если

ν0 = max q(t) < 0, t ∈ M0.

Лемма 7.5.2. Пусть ν0 > 0. Тогда для любого натурального kсуществует такое εk > 0, при котором для всех ε ∈ (0, εk) найдет-ся решение уравнения (7.1.4), имеющее не менее k нулей на отрезке[α, β].



Доказательство. Сначала докажем лемму 7.5.1. Ясно, что достаточнодоказать неосцилляцию решений уравнения (7.3.2), получающегося из(7.1.4) с помощью замены (7.1.6). Фиксируем такое замкнутое множествоM1 ⊂ [α, β], чтобы выполнялось равенство

max

[q(t)− 1

2p(t)

]< 0, t ∈ M1, (7.5.1)

причем M1 ⊃ M0 выберем так, чтобы каждая точка множества M0, ис-ключая, может быть, лишь точки α и β, являлась внутренней точкой M1.Отметим, что этого всегда можно достигнуть, поскольку q(t) ≤ ν0 < 0 иp(t) = 0 при t ∈ M0. Лемма 7.5.1 будет доказана, если мы покажем, чтофункция [q(t) − 1

2 p(t) − 14εp

2(t)] отрицательна, когда ε мало. Для этогодостаточно установить, что наряду с (7.5.1) имеет место неравенство

max

[4ε(q(t)− 1

2p(t))− p2(t)

]< 0, t ∈ [α, β], t∈M1.

Последнее неравенство выполняется при достаточно малых ε очевиднымобразом. Лемма 7.5.1 доказана.

Доказательство леммы 7.5.2. Пусть для некоторой точки t0 ∈ M0имеем

q(t0) = ν0 > 0.

Без потери общности можно считать, что t0 = 0. В уравнении (7.3.2)произведем замену времени

t =√

ετ.

Тогда это уравнение можно представить в виде

x + [ν0 + ω(τ, ε)]x = 0, (7.5.2)

где непрерывная функция ω(τ, ε) стремится к нулю при стремлении ε кнулю равномерно по τ из каждого конечного промежутка. Рассмотримболее простое уравнение

u + ν0u = 0. (7.5.3)

Одним из решений последнего уравнения является функция cos(√

ν0τ).Для каждого номера k (k = 1, 2, . . .) можно указать такой отрезок[−τk, τk], на котором функция cos(

√ν0τ) имела не менее k нулей. Ес-

ли один из концов отрезка [α, β] совпадает с точкой t0 = 0, то вместо


§ 7.5. Обобщение результата 155

отрезка [−τk, τk] следует выбрать отрезок [0, 2τk], либо [−2τk, 0]. Далеебудем рассматривать только те значения параметра ε, для которых

[α, β] ⊃ [−√ετk,√

ετk]

(или [α, β] ⊃ [0, 2√

ετk]

или [α, β] ⊃ [−2√

ετk, 0]).

Тогда на последнем отрезке определены коэффициенты уравнения (7.5.2),которые на нем равномерно сходятся к коэффициентам уравнения (7.5.3)при ε → 0. Поэтому у (7.5.2), а значит, и у уравнения (7.1.4), при малыхε существует решение, имеющее не менее k нулей на рассматриваемомотрезке. Таким образом, лемма 7.5.2 доказана.

Нам потребуется еще одно промежуточное утверждение, относящеесяк уравнению (7.1.4). Пусть, как и ранее, t1, . . . , tn– все те нули функцииp(t), в которых p(t) отлична от нуля. Пусть выполняются неравенства

ν0 < 0, (7.5.4)

ν0i

|p(ti)| 6= j, j = 0, 1, . . . ; i = 1, . . . , n. (7.5.5)

Обозначим через ∆i (i = 1, . . . , n) отрезки, принадлежащие [α, β], с цен-тром соответственно в точках ti (i = 1, . . . , n). Будем считать эти отрезкивыбранными так, что в каждом из них находится лишь один нуль функ-ции p(t). Из леммы 7.1.1 тогда следует, что наименьшее число нулей,которое могут иметь решения уравнения (7.1.4) на ∆i, не зависит от ε,когда ε достаточно мало. Обозначим такое число, как и ранее, через ki.

Лемма 7.5.3. Пусть выполняются неравенства (7.5.4) и (7.5.5).Тогда существует такое ε0 > 0, что для всех ε ∈ (0, ε0) найдетсярешение уравнения (7.1.4), имеющее на [α, β] ровно k0 нулей, где

k0 = 1 +n∑

i=1

ki.

При этом любое другое решение того же уравнения обращается внуль не более k0 раз.

Доказательство этой леммы, а также завершение обоснования теоре-мы 7.5.1, проводятся аналогично доказательству соответственно леммы7.3.1 и рассуждениям пункта 8 §7.3, поэтому мы их здесь не приводим.


Глава 8

Асимптотика собственныхчисел первой краевой задачидля сингулярно возмущенногодифференциального уравнениявторого порядка с точкамиповорота

В настоящей главе, тесно примыкающей к предыдущей, продолжа-ется изучение свойств дифференциальных уравнений второго порядка сточками поворота.

§ 8.1. Постановка задачи и формулировкарезультата

1. На отрезке [α, β] рассматривается линейное дифференциальное урав-нение

εx + p(t)x + q(t)x = λx (8.1.1)

с малым положительным параметром ε. Будем считать, что коэффици-енты p(t) и q(t) дифференцируемы бесконечное число раз. Основное жепредположение состоит в том, что функция p(t) имеет n простых ну-лей в точках t1, . . . , tn, принадлежащих интервалу (α, β). Для уравне-ния (8.1.1) на отрезке [α, β] ставится первая краевая задача. Напомним,

156



что эта задача имеет счетное число простых вещественных собствен-ных чисел λj(ε) (j = 1, 2, . . .), которые можно считать занумерованны-ми в порядке убывания. Ранее было установлено, что при стремленииε к нулю существуют пределы собственных чисел λj(ε) (j = 1, 2, . . .),и были вычислены соответствующие предельные значения для каждо-го собственного числа. В настоящей главе будет показано, что функцииλj(ε) переменного ε бесконечно дифференцируемы в точке ε = +0. Кро-ме этого, будет дан алгоритм вычисления значений производных этихфункций.

Введем в рассмотрение числа

νik = [q(tk)− |p(tk)|+ p(tk)

2−|p(tk)|i, i = 0, 1, . . . ; k = 1, . . . , n. (8.1.2)

Расположим их в порядке убывания. Через λj обозначим j- ый коэф-фициент полученного ряда. В главе 7 было показано, что имеют местопредельные равенства

limε→0

λj(ε) = λj, j = 1, 2, . . . . (8.1.3)


λj(ε) = λj + ελ1j + ε2λ2

j + . . . , j = 1, 2, . . . . (8.1.4)

В (8.1.4) λrj (j = 1, 2, . . . ; r = 1, 2, . . .)– некоторые числа, алгоритм

вычисления которых приводится ниже.Предположим, что для некоторых номеров j0 и m1 выполняются со-

отношенияh1 = λj0 = . . . = λj0+m1−1, (8.1.5)

λj0−1 > h1 > λj0+m1, (8.1.6)

где положено λ0 = ∞. Очевидно, что целое положительное число m1 неможет превзойти числа n. Из определения чисел λj и из (8.1.5) следуютравенства

h1 = νi1k1= . . . = νim1

km1.

Прежде всего введем в рассмотрение функции

ϕ(t, ε) =1

|p(tkr)|

[q(t + tkr

)− h1 − 1

2p(t + tkr

)− p(t + tkr)

4ε|p(tkr)|

], r = 1, . . . , m1.

(8.1.7)


158 ГЛАВА 8. Асимптотика собственных чисел первой краевой . . .

Из свойств функций p(t) и q(t) следует, что в окрестности каждой източек tkr

(r = 1, . . . , m1) справедливо асимптотическое представление

ϕ(t, ε) =∞∑i=0

ari (ε)t

i, (8.1.8)

где коэффициенты ari (ε) легко вычисляются по значениям в точке t = 0

соответствующих производных функций q(t + tkr) и p(t + tkr

). Отметим,что имеют место равенства

ar0 =

1

2+ ir, r = 1, . . . , m1, (8.1.9)

limε→0

εar2(ε) = −1

4, r = 1, . . . , m1. (8.1.10)

Основную роль при реализации алгоритма вычисления коэффициен-тов ряда (8.1.4) играют функции

fr(τ, ε) = ψ2r(τ, ε)ϕr[ψr(τ, ε), ε]+

+ε

2

d

dτ

(ψr(τ, ε)

ψr(τ, ε)

)− εψ2

r(τ, ε)

4ψ2r(τ, ε)

, r = 1, . . . , m1. (8.1.11)

Поясним значение величин, входящих в (8.1.11). Через ψr(τ, ε) обозначенформальный ряд

ψr(τ, ε) =∞∑i=1

cri (ε)τ

i, (8.1.12)

где коэффициенты cri (ε), в свою очередь, также являются формальными

рядами вида

cri (ε) =

∞∑

j=0

εjcrij. (8.1.13)

Ниже будет изложено правило, с помощью которого определятся ко-эффициенты последнего ряда. Функция ϕr[ψr(τ, ε), ε] получается путемформальной подстановки (8.1.12) вместо переменной t в представлении(8.1.8).

Определим сначала несколько коэффициентов из (8.1.13). А именно,будем считать, что

cr10 = 1, r = 1, . . . ,m1. (8.1.14)



Равенства (8.1.14) дают нам возможность представить функции (8.1.11)в виде формального ряда по степеням переменной τ . Тем самым, принявво внимание (8.1.9), (8.1.10) и (8.1.14), имеем

fr(τ, ε) =1

2+ ir − τ 2

4ε+

∞∑i=0

dri (ε)τ

i. (8.1.15)

Коэффициенты рядов (8.1.13) будем искать методом неопределенныхкоэффициентов, исходя из тождеств

dri (ε) ≡ 0, i = 2, 3, . . . ; r = 1, . . . , m1. (8.1.16)

Как будет показано ниже, отсюда числа crij однозначно определяются.

Приступим, наконец, непосредственно к определению коэффициентоврядов (8.1.4). Предварительно введем еще одно обозначение. Положим

gr(ε) = dr0(ε) + ε(dr

1(ε))2, r = 1, . . . , m1. (8.1.17)

Из свойств функций, входящих в определение gr(ε), следует, что спра-ведливо представление

gr(ε) =∞∑i=1

εigri , r = 1, . . . , m1. (8.1.18)

Отметим, что ряд (8.1.18), как и все предыдущие ряды, является фор-мальным.

После этого описание алгоритма завершается без труда. Сначала по-кажем, как определить числа λ1

j+i (i = 0, . . . , m1 − 1). Расположим числаgr

1 (r = 1, . . . , m1) в ряд в порядке убывания. Через λ1j0+i (i = 0, . . . , m1−1)

обозначим соответственно (i + 1)- ый член полученного ряда.Для определения остальных коэффициентов рядов (8.1.4) поступаем

следующим образом. Предположим, что наряду с (8.1.5) и (8.1.6) выпол-няются соотношения

hi = λij0+ri

= . . . = λij0+mi−1, i = 1, . . . , i0, (8.1.19)

λi0j0+ri0

−1 > hi0 > λi0j0+mi0

. (8.1.20)

Отметим, что имеют место неравенства

ri−1 ≤ ri ≤ mi ≤ mi−1.



На заключительной стадии поступаем, как и ранее. Расположим в рядв порядке убывания числа gj0+ri0

+i (i = 0, . . . , m1 − 1). Положим затемλi0

j0+ri0+i равным соответственно (i + 1)-ому коэффициенту этого ряда.

Таким образом, описание алгоритма завершено.Выпишем в качестве примера значения чисел λ1

j и λ2j (j = 1, 2, . . .).

Основную трудность представляет здесь вычисление коэффициентовряда (8.1.18). Приведем здесь значения первых двух членов этого ря-да. Предварительно введем для краткости записи несколько обозначе-ний. Поскольку вычисления носят независимый характер, то индекс rв (8.1.18), (8.1.12) и (8.1.13) мы в некоторых случаях будем опускать.Положим, далее,

bi =1

|p(tir)|[q(i)(tir)−

1

2p(i+1)(tir)

], i = 1, 2, . . . ,

а через ai обозначим значение i-ой производной функции

p2(t + tir)

(t− tir)2|p(tir)|2

в точке t = tir .Для чисел dr

0(ε) и dr1(ε), фигурирующих в (8.1.17), имеют место фор-

мулы (в которых опущен индекс r)

d0(ε) =

(1

2+ ir

)c21(ε) + 3ε

c1(ε)c3(ε)− c22(ε)

c21(ε)

−(

1

2+ ir

),

d1(ε) = b1c31(ε) + 2c1(ε)c2(ε) + 4irc1(ε)c2(ε)+

+12ε

c31(ε)

(c21(ε)c4(ε)− 2c1(ε)c2(ε)c3(ε) + c3

2(ε)).

Таким образом, первые два коэффициента ряда (8.1.18) представим вследующем виде:

g1 = (1 + 2ir)c11 + b1 + (2 + 4ir)c20 + 3c30 − 3c220,

g2 = (1 + 2ir)c12 +

(1

2+ ir

)c211 − 3c11c30 + 3c31 − 6c20c21+

+c20c11 + 6b1c11 + 4c11c20 + 4c21 + 8irc11c20 + 8irc21+

+24c40 − 48c20c30 + 24c320.



Производя соответствующие вычисления, получим такие значения инте-ресующих нас величин:

c20 = −a2

3, c30 =

1

12

[a2

2 − 3a3],

c40 =a2

10

[4

3a2 +

7

2a3 − 59

18a2

2

],

c50 = − 1

12

[22c2

30 + 26a22c

220 + a3 + 20a3c30 + 18a2a3c20+

42c20c40 + 50a2c320 + 88a2c20c30 + 40a3c

220 + 10a4c20+

4c420 + 22a2c40 + 10a2

2c30 + 2a2a4 + 2a5 + 46c220c30

],

c11 =4

3

[2c2

20 + 4irc220 + 6irc30 + 5b1c20 + b2

],

c21 =2

3[6c20c30 + 4c40 + 12irc20c30 + 8irc40 + 7b1c30+

8b1c220 + 6b2c20 + b3 − 5

2a2c11 − 9

2c11c20

],

c31 =1

2

[9

2c230 + 8c20c40 + 5c50 + 9irc

230 + 16irc20c40+

10irc50 + 9b1c40 + 13b2c220 + 8b2c30 + 7b3c20+

22b1c20c30 + b4 + 4b1c320 −

13

2c11c20 − 13

2c21−

7

2a2c21 − 14a2c11c20 − 3

2a2

2c11 − 3a3c11 − 6c11c30

],

c12 =4

3[4c20c21 + 4irc20c21 + 3c11c30 + 3c31 + 6irc11c30+

6irc31 + 5b1c21 + 10b1c11c20 + 4b2c11 − 3

4c211 + 30c50−

60c20c40 − 36c230 + 102c2

20c30 − 36c420

].



§ 8.2. Вспомогательные утверждения

В этом параграфе мы докажем промежуточные утверждения, которыебудут играть основную роль при доказательстве теоремы 8.1.1. Сначалавведем необходимые обозначения. Рассмотрим дифференциальное урав-нение

εx + p(t)x + q(t)x = 0. (8.2.1)

В предыдущей главе подсчитано наибольшее число нулей, которое могутиметь решения этого уравнения на отрезке [α, β], когда ε достаточномало, и выполнены неравенства

ν0k

|p(tk)| 6= j, j = 0, 1, . . . , k = 1, . . . , n. (8.2.2)

Покажем, как можно определить такое число нулей, когда для некоторыхномеров k (1 ≤ k ≤ n) неравенство (8.2.2) не имеет места.

Рассмотрим сначала частный случай. Предположим, что функция p(t)лишь один раз на [α, β] обращается в нуль в точке t1 ∈ (α, β). По прави-лу, изложенному в §8.1, вычислим числа g1

i (i = 1, 2, . . . , r), фигурирую-щие в (8.1.18). Пусть имеют место соотношения

ν01

|p(t1)| = p, p− целое неотрицательное, (8.2.3)

g1i = 0, i = 1, . . . , r − 1, (8.2.4)

g1r 6= 0. (8.2.5)

Лемма 8.2.1. При условиях (8.2.3), (8.2.4) и (8.2.5) существуеттакое ε0 > 0 и такое решение x0(t, ε) уравнения (8.2.1), что при всехε ∈ (0, ε0) функция x0(t, ε) обращается в нуль на отрезке [α, β] ровноp + 1 раз, если

g1r < 0 (8.2.6)

и имеет ровно p1 + 2 нулей, если

g1r > 0. (8.2.7)

При этом число нулей любого другого решения не превосходит числанулей функции x0(t, ε).


§ 8.2. Вспомогательные утверждения 163

Доказательство. Без потери общности можно считать, что α < 0 < βи t1 = 0. В уравнении (8.2.1) произведем замену

x = y exp

− 1

2ε|p(0)|

t∫

α

p(s)ds

. (8.2.8)


εy + ϕ1(t, ε)y = 0, (8.2.9)

где ϕ1(t, ε) определяется формулой (8.1.7). В первую очередь нас будетинтересовать поведение решений (8.2.9) в некоторой достаточно малойокрестности нуля. По аналогии с рассуждениями, приведенными в гла-ве 7, казалось бы естественным вместо рассмотрения свойств решенийуравнения (8.2.9) перейти к изучению „близкого“ к (8.2.9) и в то жевремя более простого уравнения

εy + [l∑

i=1

ai(ε)ti]y = 0, (8.2.10)

в котором, по мере надобности, следовало бы распорядиться выборомномера l > 0. Однако, в отличие от случая из предыдущей главы, ис-следование поведения решений уравнения (8.2.10) здесь затруднено тем,что мы не знаем явного вида общего решения такого уравнения. Чтобыустранить эту трудность, сначала произведем в уравнении (8.2.9) заменувремени

t = ψ1(τ, ε), (8.2.11)

где функция ψ1(τ, ε) определяется формулами (8.1.12) и (8.1.13). Вопросо сходимости рядов, фигурирующих в определении ψ1(τ, ε), нас интере-совать не будет, поскольку в конечном итоге нам понадобятся лишь ихчастичные суммы. После того, как мы по некоторому правилу определимкоэффициенты ci(ε) в (8.2.11), выберем число t0 > 0 так, чтобы заменавремени была обратимой на ∆(t0) = [−t0, t0]. Итак, после преобразования(8.2.11) получим уравнение

εy − εψ1(τ, ε)

ψ1(τ, ε)y + ψ2

1(τ, ε)ϕ1(ψ1(τ, ε), ε)y = 0. (8.2.12)

В результате следующей замены

y =

√ψ(τ, ε)z (8.2.13)



от уравнения (8.2.12) перейдем к уравнению

εz + f1(τ, ε)z = 0, (8.2.14)

где f1(τ, ε) определяется формулой (8.1.11). Из свойств функций, фигу-рирующих в определении f1(τ, ε), а также из (8.1.9), (8.1.14) и (8.1.15)следует, что уравнение (8.2.14) можно записать в виде

εz +

1

2+ p− τ 2

4ε+

l(r)∑

i=0

di(ε)τi + ω(τ, ε)

z = 0. (8.2.15)


ω(τ, ε) = f1(τ, ε)− 1

2− p +

τ 2

4ε−

l(r)∑i=0

di(ε)τi, (8.2.16)

а номер l(r) следует определить как наименьший из тех, для которых

limτ→0

τ (−2r−δ)ω(τ, ε) = 0, δ ∈ (0, 1). (8.2.17)

Важную роль в приводимых ниже рассуждениях будет играть тотфакт, что для коэффициентов di(ε) (i = 2, . . . , l(r)) справедливо следую-щее представление

di(ε) =γi

εci−1(ε) +

ai

ε+ ω(ε, c1(ε), . . . , cli(ε)). (8.2.18)

Отметим, что при выводе (8.2.18) было учтено первое из равенств(8.1.14). Поясним значения величин, входящих в (8.2.18). Преждевсего отметим, что ни одно γi не обращается в нуль. Числа ai

(i = 3, . . . , l(r)) не зависят явно от ε и являются алгебраическими функ-циями c1(ε), . . . , ci−2(ε) (a2 = 0), а ωi(ε, c1(ε), . . . , cli(ε)) содержат всевходящие туда параметры только как сомножители. Формулу (8.2.18)нетрудно доказать, рассуждая по индукции.

Положим затем в (8.1.12) и (8.1.13)

c1i (ε) = 0, i = l(r) + 1, l(r) + 2, . . . , (8.2.19)

c1ij = 0, i = l(r) + 1, l(r) + 2, . . . , j = 0, 1, . . . . (8.2.20)



Представление (8.2.18) и равенства (8.2.19) и (8.2.20) дают возможностьприменить теорему о неявной функции для определения коэффициентовci(ε) (i = 1, . . . , l(r)) из уравнений

εdi(ε) = 0, i = 2, . . . , l(r). (8.2.21)

Ясно, что величины ci(ε) можно искать в виде (8.1.13) по методу неопре-деленных коэффициентов. Нам потребуется лишь знание первых r и r−1коэффициентов d0(ε) и d1(ε) соответственно. Будем считать, что эти ко-эффициенты нами определены. Остальные члены рядов (8.1.13) положимравными нулю.

Итак, функция ψ1(τ, ε) определена. Теперь нужно выбрать числоt0 > 0, чтобы на отрезке ∆(t0) замена (8.2.11) была обратимой. Будемпока изучать решения (8.2.1) лишь на этом отрезке.

В уравнении (8.2.15) произведем замену времени

τ =√

εξ, (8.2.22)

в результате которой это уравнение запишется так:

z +

[1

2+ p− ξ2

4+ d0(ε) +

√εd1(ε)ξ + εrω0(ξ, ε)

]z = 0, (8.2.23)

где непрерывная функция ω0(ξ, ε) такова, что она стремится к нулюпри стремлении ε к нулю равномерно относительно ξ, удовлетворяющихнеравенству

|ξ| ≤ c| ln ε|, (8.2.24)

в котором c – произвольное положительное число.Приведем уравнение (8.2.23) к более удобному для нас виду. Для

этого воспользуемся преобразованием

z = u exp

(−ξ2

4+√

εd1(ε)ξ

). (8.2.25)


u− su +[ε(d1(ε))

2 + d0(ε) + p + ε2ω1(s, ε)]u = 0, (8.2.26)

в которомs = ξ − 2

√εd1(ε),

ω1(s, ε) = ω0(s + 2

√εd1(ε), ε

).



Из определения чисел g1i (i = 0, . . . , r), а также из соотношений (8.2.4) и

(8.2.5) следует, что

g1(ε) = εrg1r + O(εr+δ), δ ∈ (0, 1). (8.2.27)

Используя последнее равенство, рассмотрим наряду с (8.2.26) более про-стое уравнение

u− su− b(ε)u = 0, (8.2.28)

где положено для краткости

b(ε) = −p + b1(ε), b1(ε) = −εrg1r .

Линейно независимыми решениями уравнения (8.2.28) являются функ-ции

ur(s, ε) = 1 +∞∑

j=1

b(ε)(2 + b(ε)) . . . (2j − 2 + b(ε))

(2j)!s2j, (8.2.29)

uH(s, ε) = s +∞∑

j=1

(b(ε) + 1) . . . (b(ε) + 2j − 1)

(2j + 1)!s2j+1. (8.2.30)

2. Предположим сначала, что выполнено неравенство (8.2.7). Пока-жем, что в этом случае у уравнения (8.2.26) существует решение, имею-щее на рассматриваемом промежутке изменения s не менее p + 2 нулей,когда ε достаточно мало.

Как ясно из предыдущей главы, одна из функций (8.2.29) или (8.2.30)обращается в нуль на всей числовой прямой ровно p + 2 раз, а другаяp + 1 раз. Отметим, что в случае четного p функция ur(s, ε) будет иметьp + 2 нулей, а при нечетном p решение uH(s, ε) будет обращаться в нульp + 2 раз. Обозначим через s0(ε) наибольший из всех нулей функций(8.2.29) и (8.2.30). Предположим, что справедлива оценка

s0(ε) ≤ c| ln ε|, (8.2.31)

где положительная постоянная c не зависит от ε, когда ε достаточномало. Будем, далее, рассматривать только те значения ε, при которых

[−cε

12 | ln ε|, cε 1

2 | ln ε|]⊂ ∆τ(t0),

где∆τ(t0) =

[ψ−1

1 (−t0, ε), ψ−11 (t0, ε)

].



Тогда на отрезке[−cε

12 | ln ε|, cε 1

2 | ln ε|]определены коэффициенты урав-

нения (8.2.26), которые на нем равномерно сходятся к коэффициентамуравнения (8.2.28) при стремлении ε к нулю. Тем самым мы показали,что при малых ε у уравнения (8.2.26) найдется решение, имеющее неменее p+2 нулей. Очевидно, что такой же вывод справедлив и для урав-нения (8.2.1). Как ясно из главы 7, большего числа, чем p + 2, их бытьне может. Таким образом, при условии (8.2.7) лемма будет полностьюдоказана, если мы обоснуем оценку (8.2.31).

Разберем случай, когда p четно. Соответствующее утверждение длянечетного p доказывается аналогично, поэтому мы его приводить не бу-дем.

При четном p число s0(ε) является наибольшим нулем функцииur(s, ε). Нам удобно эту функцию представить следующим образом:

ur(s, ε) = D(s, ε) + b1(ε)c(ε)

[sp+2

(p + 2)!+

+∞∑i=2

(2 + b1(ε)) . . . (2i− 2 + b1(ε))

(p + 2i)!sp+2i

]. (8.2.32)


D(s, ε) = 1 +

p2∑

i=1

b(ε)(2 + b(ε)) . . . (2i− 2 + b(ε))

(2i)!s2i,

c(ε) =b(ε)(b(ε) + 2) . . . (b(ε) + p− 2)

p!.

Оценим затем функцию ur(s, ε) сверху и снизу через более простыефункции. В качестве таких функций возьмем функции, имеющие сле-дующий вид

u(s, ε, b) = Db(s, ε) + b1(ε)c(ε) exp(bs2) ,

где Db(s, ε) есть многочлен степени p, аналитически зависящий от ε.Покажем, как можно определить такие числа b1 и b2, что выполняютсясоотношения

u(s, ε, b1) ≤ ur(s, ε) ≤ u(s, ε, b2), s ∈ [0,∞). (8.2.33)



Исходя из (8.2.32), существование таких b1 и b2 будет доказано, еслиудастся для некоторых значений b1 и b2 установить неравенства

sp+2

(p + 2)!+

∞∑i=2

(2 + b1(ε)) . . . (2i− 2 + b1(ε))

(p + 2i)!sp+2i ≤ exp

(b2, s

2) (8.2.34)

и

sp+2

(p + 2)!+

∞∑i=2

(2 + b1(ε)) . . . (2i− 2 + b1(ε))

(p + 2i)!sp+2i ≥ exp

(b, s2)−

p2∑

i=2

(b)is2i

i!.

(8.2.35)Неравенство (8.2.34) будет выполнено, например, при b2 = 1 и малых ε,поскольку оно является следствием более грубого неравенства

∞∑i=0

((2i)!!

(p + 2i)!− 1

i!

)s2i+p ≤ 0,

которое легко установить, применив метод математической индукции. В(8.2.35) можно положить b1 = 1

(p+2i)!, поскольку, заменив b1(ε) на 1, будемиметь оценку

∞∑

i=1

(2i− 1)!!

(p + 2i)!s2i+p ≥

∞∑

i=p2+1

1

i![(p + 2)!]is2i.

Таким образом, (8.2.33) будет иметь место, если b1 и b2 определить так:

b1 =

{b1, если c(ε) < 0,b2, если c(ε) > 0,

b2 =

{b2, если c(ε) < 0,b1, если c(ε) > 0,

а через Db1(s, ε) и Db2

(s, ε) обозначить многочлены

Dbj(s, ε) = D(s, ε) + b1(ε)c(ε)

p/2∑i=0

bij

i!s2i, j = 1, 2.

Заметим, что все функции, фигурирующие в неравенствах (8.2.33),при стремлении s к бесконечности одновременно стремятся либо к ∞,



либо к −∞. На основании этого и из (8.2.33) следует, что значение s0(ε)не превосходит числа s0(ε), являющегося наибольшим из всех нулейфункций u(s, ε, b1) и u(s, ε, b2). Покажем, что для некоторого c > 0 имеетместо неравенство

s0(ε) ≤ c| ln ε|, (8.2.36)

из которого, очевидно, будет следовать оценка (8.2.31). В точке s0(ε)имеем

Dbj(s0(ε), ε) + b1(ε)c(ε) exp

(bj(s0(ε))

2) = 0,

где либо j = 1, либо j = 2. Отсюда вытекает новое равенство

(s0(ε))2 =

1

bjln |Dbj

(s0(ε), ε)| − ln |b1(ε)| − ln |c(ε)|.

Оценка (8.2.31) непосредственно следует из последнего равенства. Итак,лемма 8.2.1 при условии (8.2.7) доказана.

Пусть имеет место неравенство (8.2.6). Доказательство соответству-ющего утверждения проведем в три этапа.

Первый этап. На этом этапе мы обоснуем два неравенства, носящиевспомогательный характер. Введем сначала в рассмотрение функцию

u(s, ε, g) =

{1 +

∑∞i=1

b(ε)(2+b(ε))...(2i−2+b(ε))(2i)! s2i, если p четно,

s +∑∞

i=1(b(ε)+1)...(b(ε)+2i−1)

(2i+1)! s2i+1, если p нечетно,(8.2.37)

где положено−b(ε) = p + εrg. (8.2.38)

Параметр g, фигурирующий в (8.2.38), таков, что g ∈ (g1r , 0). Обозна-

чим через s(g, ε) наибольший нуль (если таковые вообще существуют)функции u(s, ε, g). Покажем, что имеет место неравенство

s(g, ε) ≤ c, (8.2.39)

в котором c не зависит от ε. Отметим, что функция u(s, ε, g) являетсярешением дифференциального уравнения

u− su− b(ε)u = 0. (8.2.40)

Отсюда следует, что функция

v(s, ε, g) =s

2− u(s, ε, g)

u(s, ε, g)(8.2.41)



есть решение уравнения Риккати

v = v2 +1

2− b(ε)− s2

4. (8.2.42)

Функция (8.2.41) изучалась в предыдущей главе. Используя получен-ные там результаты, легко показать, что непрерывная на интервале(s(g, ε),∞) функция v(s, ε, g) обращается в нуль в двух точках s(g, ε)и s(g, ε), причем

limε→0

s(g, ε) = ∞. (8.2.43)

Неравенство (8.2.39) будет установлено, если мы покажем, что для неко-торого c > 0

s(g, ε) ≤ c.

Последнее неравенство вытекает непосредственно из (8.2.42) и того, что

v(s(g, ε), ε, g) > 0.

Установим, далее, справедливость оценки

s(g, ε) ≤ c0| ln ε|. (8.2.44)

Доказательство (8.2.44) проведем в предположении, что p четно. Принечетном p доказательство проводится аналогично, поэтому мы его опу-стим.

Прежде всего отметим формулу

sw(s, ε) ≡ v(s, ε, g)u(s, ε, g) = s

[1

2− b(ε)−

−∞∑i=1

b(ε)(2 + b(ε)) . . . (b(ε) + 2i− 2)

(2i)!

(1

2+

b(ε)− 1

2i + 1

)]. (8.2.45)

Очевидно, что все нули функции v(s, ε, g), кроме s = 0, и только ониявляются в то же время нулями функции w(s, ε). Нам будет удобно ра-ботать с последней функцией. При доказательстве нужной оценки длянаибольшего нуля функции w(s, ε) поступаем так же, как и при доказа-тельстве неравенства (8.2.31). Укажем такие положительные значения b1и b2, чтобы выполнялись соотношения

D1(s, ε) + b1(ε)c(ε) exp(b1s

2) ≤ w(s, ε) ≤



D2(s, ε) + b1(ε)c(ε) exp(b2s

2) , (8.2.46)

где Di(s, ε) (i = 1, 2) некоторые многочлены, аналитически зависящие отε, явный вид которых нас не интересует. В (8.2.46) коэффициент c(ε)таков, что

limε→0

c(ε) = c0 6= 0.

Неравенства (8.2.46) будут доказаны, если найдутся такие положитель-ные b1 и b2, при которых

∞∑

i=p2+1

bi

1

i!s2i ≤

∞∑

i=p2+1

(2i− p + b(ε)) . . . (2− p + b(ε))

(2i)!

(b(ε)− 1

2i + 1+

1

2

)s2i,

(8.2.47)и

w(s, ε) ≤∞∑

i=p2+1

(b2)i

i!s2i, (8.2.48)

где через w(s, ε) обозначена правая часть неравенства (8.2.47). Соотно-шение (8.2.47) будет иметь место, например, при b1 = (24(p + 2)!)−1,поскольку,

w(s, ε) ≥ 1

3

∞∑

i=p2+1

(2i− p− 1)!!

(2i)!s2i ≥

∞∑

i=p2+1

1

i!(24(p + 2)!)is2i.

Неравенство (8.2.48) легко проверить для b2 = 1, если воспользоватьсясоотношением

w(s, ε) ≤∞∑

i=p2+1

(2i− 2)!!

(2i)!s2i.

Для завершения доказательства оценки (8.2.44) следует воспользо-ваться рассуждениями, уже проводившимися ранее при обоснованиинеравенства (8.2.31).

Второй этап. Введем в рассмотрение отрезки

∆(t0, ε) =[(−t0 + τ1(ε) + 2

√εd1(ε)

)ε−

12 ,

(t0 + τ2(ε) + 2

√εd1(ε)

)ε−

12

].

Функции τi(ε) (i = 1, 2) параметра ε, фигурирующие в определении∆(t0, ε), являются соответственно решениями уравнений

ψ(−t0 + τ1(ε), ε) = −t0, ψ(t0 + τ2(ε), ε) = t0.



В силу определения функции ψ(τ, ε) эти уравнения однозначно разреши-мы, если t0 и ε достаточно малы. Численные значения τ1(ε) и τ2(ε) насне будут интересовать. Отметим только, что τi(ε) гладко зависит от ε и,выполняются равенства

limε,t0→0

τi(ε)

t0= 0, i = 1, 2. (8.2.49)

Целью настоящего этапа является обоснование того факта, что прималых ε у уравнения (8.2.26) найдется решение, имеющее на отрезке∆(t0, ε) ровно p нулей.

Обозначим через u(s, ε) решение уравнения (8.2.26), начальные усло-вия которого при s = 0 совпадают с начальными условиями функцииu(s, ε, g), определенной равенством (8.2.37) при g = g1

r . Из результатовпредыдущей главы следует, что u(s, ε, g1

r) обращается в нуль ровно pраз. Отметим, что функция u(s, ε) сходится к u(s, ε, g1

r) при стремленииε к нулю равномерно на каждом конечном промежутке и, далее, вы-полняется оценка (8.2.39). Отсюда следует, что при малых ε функцияu(s, ε) обращается в нуль ровно p раз на отрезке [−c, c] (c – постоянная,фигурирующая в (8.5.3)). Обозначим самый левый нуль u(s, ε) на этомотрезке, если таковые существуют, через s(ε), а самый правый – черезs(ε). Введем, наконец, в рассмотрение отрезки

∆1(ε) =[(−t0 + τ1(ε) + 2

√εd1(ε)

)ε−

12 , s(ε)

],

∆2(ε) =[s(ε),

(t0 + τ2(ε) + 2

√εd1(ε)

)ε−

12

].

Если p = 0, то положим

∆1(ε) = ∆2(ε) = ∆(t0, ε).

Последующие рассуждения будут посвящены обоснованию того фак-та, что решения уравнения (8.2.26) не осциллируют на отрезках ∆1(ε)и ∆2(ε), когда ε достаточно мало. Очевидно, тем самым будет доказано,что функция u(s, ε) обращается в нуль ровно p раз на ∆(t0, ε) при малыхε. Для доказательства неосцилляции воспользуемся вариантом критерияВалле-Пуссена [30]. Построим такую функцию z0(s, ε), которая обладалабы следующими свойствами.

Во-первых, она непрерывна на отрезках ∆1(ε) и ∆2(ε), когда p 6= 1, инепрерывна лишь на полуинтервалах[(−t0 + τ1(ε) + 2

√εd1(ε)

)ε−

12 , s(ε)

),(s(ε),

(t0 + τ2(ε) + 2

√εd1(ε)

)ε−

12

],



когда p = 1, причем в последнем случае будут иметь место предельныеравенства

lims→s(ε)−0

z0(s, ε) = ∞, lims→s(ε)−0

z0(s, ε) = −∞. (8.2.50)

Отметим сразу же, что при p = 1 выполняются равенства

s(ε) ≡ s(ε) ≡ 0.

Во-вторых, для значений, принадлежащих ∆1(ε)⋃

∆2(ε), будет вы-полняться дифференциальное неравенство

D∗z0(s, ε) ≥ z20(s, ε) +

1

2− b(ε)− s2

4+ w(s, ε), (8.2.51)

где w(s, ε) = w1(s, ε) + g(ε) − εrg1r , а через D∗z0(s, ε) обозначено правое

верхнее производное число функции z0(s, ε).Функцию z0(s, ε) определим следующим образом:

z0(s, ε) =

{v(s, ε, g), при |s| ≤ s(g, ε), s ∈ ∆1(ε)

⋃∆2(ε),

0, при |s| > s(g, ε), s ∈ ∆1(ε)⋃

∆2(ε),(8.2.52)

где v(s, ε, g) и s(g, ε) определены по правилу, изложенному на преды-дущем этапе. Покажем, что функция (8.2.52) удовлетворяет дифферен-циальному неравенству (8.2.51), когда ε достаточно мало. Остальныетребования, наложенные на z0(s, ε), выполняются очевидным образом.

При s ∈ ∆1(ε)⋃

∆2(ε) и |s| ≤ s(g, ε) неравенство (8.2.51) будет вы-полнено, если

g − g1r ≥ max w(s, ε), |s| ≤ s(g, ε).

Справедливость этого неравенства вытекает из определения w(s, ε) и g,а также из соотношений (8.2.24), (8.2.27) и (8.2.44). Прежде чем обос-новывать (8.2.51) для s ∈ ∆1(ε)

⋃∆2(ε) и |s| > s(g, ε), введем несколько

обозначений. Будем считать, что

min |ψ1(τ, ε)| ≥ c0 > 0 (8.2.53)

для всех рассматриваемых значений τ и ε ∈ (0, ε0), где ε0 достаточномало. Этого всегда можно добиться за счет уменьшения t0. Далее, поло-жим

l0 ≥ 1

c0max

τ[4f1(τ, ε)− ψ2

1(τ, ε)p2(ψ1(τ, ε))

ε].



В последнем неравенстве функция f1(τ, ε) определяется формулой(8.1.15).

Таким образом, неравенство (8.2.51) для указанных значений s будетвыполнено, если

|p(ψ0(s, ε))| >√

l0ε, (8.2.54)

где через ψ0(s, ε) обозначена функция ψ0(s, ε) = ψ1(√

εs + 2εd1(ε), ε). Изсвойств функции p(t) вытекает, что неравенство (8.2.54) эквивалентнонеравенству

|ψ0(s, ε) + O(ψ0(s, ε))| >√

l0ε,

справедливость которого следует из определения ψ0(s, ε) и из предель-ного равенства (8.2.43). Тем самым справедливость дифференциальногонеравенства (8.2.51) для всех рассматриваемых s доказана.

Мы показали, что при малых ε уравнение (8.2.26) имеет решение,количество нулей которого на отрезке ∆(t0, ε) равно p. Отсюда можносделать вывод, что существуют такие ε0 > 0, t0 > 0 и такое решениеy0(t, ε) уравнения (8.2.9), что при всех ε ∈ (0, ε0) функция y0(t, ε) имеетна отрезке [−t0, t0] ровно p нулей. Используя результаты главы 7, при-ходим к выводу, что при этом найдется решение (8.2.9), число нулейкоторого на этом же отрезке равно p + 1.

Третий этап. На этом этапе будет завершено обоснование леммы8.2.1. Сначала введем в рассмотрение функцию

u0(s, ε) =

exp

s∫

−s(g,ε)

z0(σ, ε)dσ

, s ∈ ∆1(ε),

exp

s(g,ε)∫

s

z0(σ, ε)dσ

, s ∈ ∆2(ε).

(8.2.55)

На основании (8.2.51) делаем вывод, что эта функция приs ∈ ∆1(ε)

⋃∆2(ε) удовлетворяет дифференциальному неравенству

u0(s, ε)− su0(s, ε) + f1(√

εs + 2εd1(ε), ε)u0(s, ε) ≤ 0.

Выполним затем в последнем выражении замены, обратные к (8.2.25),(8.2.22) и (8.2.13). В результате вместо u0(s, ε) мы получим некоторуюфункцию y0(t, ε), которая будет обладать следующими свойствами. Во-первых, при малых ε и при всех

t ∈ [−t0, t(ε)]⋃

[t(ε), t0],



где положеноt(ε) = ψ1(−

√εs(ε) + 2εd1(ε), ε)

и соответственноt(ε) = ψ1(

√εs(ε) + 2εd1(ε), ε),

выполняется дифференциальное неравенство

εy0 + ϕ1(t, ε)y0(t, ε) ≤ 0. (8.2.56)

Во-вторых, как ясно из (8.2.52), (8.2.55) и (8.2.13), имеет место тожде-ство

y0(t, ε) ≡√

ψ(ψ−1(t, ε), ε), t ∈ [−t0, t(g, ε)]⋃

[t(g, ε), t0].

В последней формуле через t(g, ε) и t(g, ε) обозначены величины

t(g, ε) = ψ1(−√

εs(g, ε) + 2εd1(ε), ε),

t(g, ε) = ψ1(√

εs(g, ε) + 2εd1(ε), ε).

Доказательство леммы будет полностью закончено, если мы пока-жем, что функцию y0(t, ε) можно так продолжить на весь промежуток[α,−t0]

⋃[t0, β], чтобы y0(t, ε) оставалась положительной, и сохранялось

бы дифференциальное неравенство (8.2.56). При этом, может быть, при-дется уменьшить несколько t0 и ε0.

Прежде всего отметим, что имеют место предельные равенства

limt0→0ε→0

y0(±t, ε) = 1, limt0→0ε→0

y0(±t, ε) = limt0→0ε→0

y0(±t, ε) = 0. (8.2.57)

Далее, положим

y0(t, ε) =

y0(t, ε), t ∈ [−t0, t(ε)]⋃

[t(ε), t0],y0(−t0, ε)(t + t0)

2 + y0(−t0, ε)(t + t0) + y0(−t0, ε), t ∈ [α,−t0],y0(t0, ε)(t− t0)

2 + y0(t0, ε)(t− t0) + y0(t0, ε), t ∈ [t0, β].(8.2.58)

Равенства (8.2.57) обеспечивают положительность функции y0(t, ε) напромежутках [α,−t0] и [t0, β], когда 0 < ε < ε0 и ε0 и t0 достаточно малы.Остается проверить лишь (8.2.56), когда t принадлежит этим отрезкам.На промежутке [α,−t0] имеем

εy0(t0, ε) + ϕ1(t, ε)y0(t0, ε) =



= 2εy0(−t0, ε) +1

|p(0)|[2q(t)− p(t)

2− p2(t)

4ε|p(0)|]

y0(t0, ε).

Отсюда доказательство того факта, что правая часть последнего равен-ства отрицательна, когда t0 и ε0 малы, завершается ссылкой на (8.2.57) и(8.2.58). Аналогично обосновывается неравенство (8.2.56) для t ∈ [t0, β].Таким образом, лемма доказана.

Сделаем одно замечание. Можно показать, что в общем случае ряды(8.1.8) и (8.1.18) не являются сходящимися даже при условии аналитич-ности коэффициентов p(t) и q(t).

Сформулируем еще одно утверждение, относящееся к дифференци-альному уравнению (8.2.1). Мы рассмотрим общий случай, когда функ-ция p(t) имеет нули в точках t1, . . . , tn интервала (α, β).

Обозначим через ∆k ⊂ [α, β] (k = 1, . . . , n) непересекающиеся отрез-ки [tk − t0, tk + t0]. Наибольшее число нулей (8.2.1) на каждом из ∆k,положим равным соответственно pk(ε). Предположим, что для каждогорассматриваемого k выполняется либо соотношение (8.2.2), либо найдет-ся в выражении (8.1.18) хотя бы один ненулевой коэффициент. Тогда,как следует из предыдущей главы и из леммы 8.2.1, pk(ε) (k = 1, . . . , n)не зависит от ε, если ε достаточно мало.

Лемма 8.2.2. Существует такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0)найдется решение уравнения (8.2.1), которое обращается в нуль наотрезке [α, β] ровно p0 раз, где

p0 = −n + 1 +n∑

k=1

pk (pk = pk(ε) = const).

При этом количество нулей любого другого решения (8.2.1) не пре-восходит p0.

Доказательство этого утверждения проводится аналогично доказа-тельству соответствующего утверждения в главе 7, поэтому мы его при-водить не будем.


Рассмотрим дифференциальное уравнение

εx + p(t)x + [q(t)− λj(ε)]x = 0. (8.3.1)

Через xj(t, ε) будем обозначать собственную функцию первой краевойзадачи, соответствующую собственному числу λj(ε). Отметим, что эта



функция обращается в нуль в обоих концах отрезка [α, β] и, кроме этого,имеет ровно j − 1 нулей внутри рассматриваемого отрезка.

Доказательство теоремы 8.1.1 будет завершено, если мы установим,что для любого натурального l справедливо соотношение

λj(ε) =l∑

i=0

εiλij + O(εl), (8.3.2)

в котором положено λ0j = λj. Обоснование отмеченного факта проведем,

рассуждая от противного. Предположим, что для некоторых номеров jи l равенство (8.3.2) не имеет места. Тогда существует такая последова-тельность εm → 0, что справедливо соотношение

limm→∞

ε−lm λj(εm)−

l∑i=0

εiλij = δ, (8.3.3)

где δ 6= 0. При этом мы допускаем, что δ может принимать значения,равные либо ∞, либо −∞. Разберем отдельно два возможных случая.Первый из них реализуется, когда

δ > 0, (8.3.4)

а второй – когдаδ < 0. (8.3.5)

Предположим сначала, что выполняется неравенство (8.3.4). Тогда всилу ранее доказанной леммы все решения последнего уравнения могутобращаться в нуль на отрезке [α, β] не более j раз. Тем не менее, как мыуже отмечали, функция xj(t, ε), являющаяся решением того же уравне-ния, имеет ровно j + 1 нулей. Получено противоречие. Таким образом,неравенство (8.3.4) не может иметь места.

Далее, предположим, что справедливо неравенство (8.3.5). В этомслучае у дифференциального уравнения (8.3.1) при достаточно малых εсуществует решение, имеющее не менее j + 1 нулей на интервале (α, β).Это следует из лемм 8.2.1 и 8.3.2. Однако функция xj(t, ε) обращаетсяв нуль на том же интервале точно j − 1 раз. Воспользовавшись здесьтеоремой о разделении нулей решений уравнения (8.3.1), получим про-тиворечие. Тем самым показано, что неравенство (8.3.5) выполняться неможет. Представление (8.3.2) доказано.



Выше мы всегда предполагали, что функция p(t) не имеет нулей вконцах отрезка [α, β]. Опираясь на результаты предыдущей главы и при-меняя те же, что и выше, рассуждения, можно установить справедли-вость теоремы и без этого предположения. Отметим только, что приусловии p(α) = 0 роль чисел (8.1.2) играют величины

ναi =

[2q(α)− p(α)− |p(α)|

2

]− |p(α)|(1 + 2i), i = 0, 1, . . . .

Аналогично дело обстоит и в случае, когда p(β) = 0.В заключение отметим, что развитая методика без труда распростра-

няется на более общий класс уравнений

εx + p(t, ε)x + [q(t, ε)− λr(t, ε)]x = 0,

в котором все коэффициенты аналитичны по ε равномерно относительноt ∈ [α, β].


Глава 9

Асимптотика собственныхзначений периодической иантипериодической краевыхзадач для сингулярновозмущенныхдифференциальных уравненийвторого порядка с точкамиповорота

В предыдущих главах изучена асимптотика собственных значенийпервой краевой задачи для уравнений, указанных в названии. В насто-ящей главе изучается поведение собственных значений периодическойи антипериодической краевых задач. Устанавливаются асимптотическиепредставления, и дается алгоритм вычисления коэффициентов этих пред-ставлений для всех собственных значений данных краевых задач. Приэтом широко используются результаты из глав 7 и 8. На основании по-лученных утверждений исследуется вопрос об устойчивости решений.

Структура главы такова. Она состоит из 10 параграфов. В §§1–4 ис-следуется асимптотика собственных значений и вопрос об устойчивостидля самосопряженных уравнений из указанного в названии класса, а в§§5–10 для несамосопряженных. Отметим, что некоторые результаты,касающиеся вопроса об устойчивости решений, были изложены в [31].

179


180 ГЛАВА 9. Асимптотика собственных значений периодической. . .

§ 9.1. Постановка задачи и формулировкарезультатов в самосопряженном случае

Рассматривается линейное дифференциальное уравнение

εx + p(t)x + q(t)x = λx (9.1.1)

с малым положительным параметром ε и T - периодическими коэффици-ентами p(t) и q(t). Для того, чтобы каждый раз не оговаривать гладкостьэтих функций, будем считать их бесконечно дифференцируемыми. Ос-новное же предположение состоит в том, что функция p(t) имеет нулина отрезке [0, T ].

Для уравнения (9.1.1) ставятся на отрезке [α, α+T ] первая, периоди-ческая и антипериодическая краевые задачи. Требование самосопряжен-ности операторов, порожденных последними двумя краевыми задачами,заключается в том, что справедливо равенство

M [p(t)] = 0. (9.1.2)

Как известно, каждая из поставленных задач имеет счетное числовещественных собственных значений, которые можно считать зануме-рованными в порядке убывания. Собственные значения первой краевойзадачи обозначим через µi(ε, α) (j = 1, 2, . . .), а собственные значенияпериодической и антипериодической задач, которые, очевидно, не зави-сят от α, обозначим соответственно через λ+

j (ε) и λ−j (ε) (j = 1, 2, . . .).При этом можно так произвести нумерацию в случае кратных собствен-ных значений, чтобы все λ+

j (ε) и λ−j (ε) (j = 1, 2, . . .) были непрерывнымифункциями параметра ε. Собственную функцию, отвечающую собствен-ному значению λ+

j (ε), обозначим через x+j (t, ε), а через x−j (t, ε) будем

обозначать собственную функцию, отвечающую λ−j (ε). Как отмечалось вглаве 1, функция x+

1 (t, ε) положительна, а функции x+2j(t, ε) и x+

2j+1(t, ε)имеют ровно 2j нулей на некотором отрезке длины периода. Собствен-ные функции x−2j−1(t, ε) и x−2j(t, ε) обращаются в нуль ровно 2j − 1 разкаждая на отрезке [α, α + T ], если x−2j−1(α, ε) 6= 0 и x−2j(α, ε) 6= 0.

Предположим сначала, что функция p(t) имеет лишь конечное числопростых нулей на отрезке длины периода. Как показано в предыдущихглавах, при таком предположении для каждого номера j = 1, 2 . . . имеетместо асимптотическое представление

µj(ε, α) = µ0j(α) + εµ1

j(α) + ε2µ2j(α) + . . . (9.1.3)


§ 9.1. Самосопряженный случай: постановка задачи 181

В главе 8 приведен алгоритм вычисления коэффициентов рядов (9.1.3).Здесь отметим только, что эти коэффициенты вычисляются лишь по зна-чениям функций p(t), q(t) и их производных в точках поворота, т.е. там,где функция p(t) обращается в нуль. Напомним еще один полезный фактиз главы 8. Функция µi

j(α) параметра α, которая, очевидно, периодичнас периодом T , может принимать лишь два различных значения, причемпри всех таких α, для которых p(α) 6= 0, значение µi

j(α) одно и то же.Нам удобно зафиксировать одно из таких чисел, которое не совпадает снулем функции p(t). Ниже мы будем обозначать его через α0.


λ+j (ε) = µ0

j(α0) + εµ1j(α0) + . . . , (9.1.4)

λ−j (ε) = µ0j(α0) + εµ1

j(α0) + . . . , (9.1.5)

где j = 1, 2, . . .Обратим внимание, что асимптотические ряды для λ+

j (ε) и λ−j (ε) сов-падают для одинаковых номеров j (j = 1, 2, . . .). Отсюда, в частности,следует, что эти ряды расходятся.

Сформулируем критерий устойчивости решений уравнения

εx + p(t)x + q(t)x = 0, (9.1.6)

в котором функция p(t) такая же, как и в условиях предыдущей теоремы.Теорема 9.1.2. Предположим, что коэффициенты ни одного из

рядов (9.1.4) и (9.1.5) не состоят из одних нулей. Тогда существу-ет такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0) решения уравнения (9.1.6)неустойчивы.

Перейдем к случаю, когда у функции p(t) существуют кратные нули,а число простых нулей конечно. В этом случае к числу

ν0 = max q(t), t ∈ {α : p(α) = p(α) = 0}стремятся все собственные значения µj(ε, α) первых краевых задач, длявсех j больших N , при стремлении ε к нулю. При этом для µi(ε, α)(0 ≤ i ≤ N) имеет место представление (9.1.3).

Теорема 9.1.3. Для N первых чисел λ+j (ε) и λ−j (ε) имеет место

теорема 9.1.1. Для остальных собственных значений справедливы ра-венства

limε→0

λ+j (ε) = ν0, lim

ε→0λ−j (ε) = ν0. (9.1.7)



Теперь сформулируем следующий критерий устойчивости.Теорема 9.1.4. Пусть ν0 < 0 и коэффициенты ни одного из асимп-

тотических рядов (9.1.4) и (9.1.5) для N первых чисел λ+j (ε) и λ−j (ε)

не состоят из одних нулей. Тогда существует такое ε0 > 0, длякоторого при всех ε ∈ (0, ε0) решения уравнения (9.1.6) неустойчивы.

При условии ν0 > 0 существуют две такие последовательностиε1m → 0 и ε2

m → 0, что при каждом ε1m (m = 1, 2, . . .) решения уравнения

(9.1.6) устойчивы, а при каждом ε2m (m = 1, 2, . . .) – неустойчивы.

§ 9.2. Обоснование теоремы 9.1.1 длясобственных значений λ+

1 (ε) и λ−1 (ε)

Сначала докажем теорему 9.1.1 для собственного значения λ+1 (ε). Будем

рассуждать от противного. Предположим, что существует такой номер l0и такая последовательность εm → 0, на которой выполняется предельноеравенство

limm→∞

ε−l0m

[λ+

1 (εm)−l0∑

i=0

εimµi

1(α0)

]= δ0, (9.2.1)

где δ0 6= 0. Из леммы 1.4.6 главы 1 и из способа нумерации собственныхзначений вытекает неравенство

λ+1 (ε) > µ1(ε, α0) (ε > 0).

Отсюда можно сделать вывод о том, что

δ0 > 0. (9.2.2)

Из соотношений (9.2.1) и (9.2.2) следует, что при достаточно малыхεm верно неравенство

λ+1 (εm) > εl0

mδ0 +

l0∑

i=0

εimµi

1(α0), (9.2.3)

в котором δ0 =

{ 12δ0, если δ0 < ∞,1, если δ0 = ∞.

Отметим, далее, один общий факт. При условии

λ < λ+1 (ε)



(ε как-то фиксировано) решения уравнения (9.1.1) осциллируют. Отсюдаи из (9.2.3) вытекает существование такого отрезка [0, δ(εm)], на которомрешения уравнения

εmx + p(t)x +

[q(t)− εl0

mδ0 −l0∑

i=0

εimµi

1(α0)

]x = 0 (9.2.4)

осциллируют. Затем мы вновь воспользуемся результатами из глав 7 и 8,где показано, что условие (9.2.2) влечет за собой неосцилляцию на всейоси решений последнего уравнения при всех достаточно малых εm. Темсамым получено противоречие. Соотношение (9.1.4) для значения λ+

1 (ε)доказано.

Для того, чтобы установить равенство (9.1.5) для номера j = 1, вос-пользуемся утверждением леммы 1.4.6, на основании которого

λ+1 (ε) > λ−1 (ε) ≥ µ1(ε, α0) (ε > 0).

Отсюда и из уже доказанного в этом параграфе утверждения получаемравенство

λ−1 (ε) = µ01(α0) + εµ1

1(α0) + . . . ,

т.е. соотношение (9.1.5) справедливо при j = 1.

§ 9.3. Вспомогательное утверждение

В этом параграфе мы установим утверждение, которое будет играть ос-новную роль при доказательстве теоремы 9.1.1. Точнее, будет изученоповедение некоторых собственных значений первых краевых задач в од-ном частном случае.

Введем в рассмотрение дифференциальное уравнение

εx + p(t)x + q(t, ε)x = λx, (9.3.1)

в котором функция p(t) такая же, как и в уравнении (9.1.1) при услови-ях теоремы 9.1.1, а функция q(t, ε), которая периодична и сколь угодногладка по t, представима в виде асимптотического ряда по степеням па-раметра ε в окрестности точки ε = 0. Собственные значения первыхкраевых задач для этого уравнения на отрезках [α, α + T ] обозначим че-рез µj(ε, α) (j = 1, 2, . . .). Как и везде выше, считаем, что нумерация этихсобственных значений произведена в порядке их убывания. Как ясно из



предыдущих глав, для каждого µj(ε, α) имеет место представление, ана-логичное по виду (9.1.3). Первое предположение состоит в том, что ниодин из рядов вида (9.1.3), соответствующий µj(ε, α), не имеет тольконулевых коэффициентов. Рассмотрим, далее, лишь те собственные зна-чения µj(ε, α), для которых первый неисчезающий член в представлении(9.1.3) для µj(ε, α) положителен. Понятно, что таких собственных значе-ний может быть лишь конечное число. Мы будем предполагать, что эточисло не равно нулю. Через j0 обозначим наибольший из номеров рас-сматриваемых собственных значений. Последнее предположение заклю-чается в том, что асимптотические представления в нуле для каждого αиз отрезка [0, T ] собственных значений µj0(ε, α) совпадают.

Прежде чем сформулировать соответствующее утверждение, усло-вимся о терминологии. Будем писать

ϕ(ε) = o(ε∞),

если для каждого l ≥ 0 выполняется соотношение

ϕ(ε) = o(εl).

Лемма 9.3.1. Имеет место равенство

µj0+1(ε, α0)− minα∈[0,T ]

µj0(ε, α) = o(ε∞). (9.3.2)

Доказательство. Рассмотрим уравнение (9.3.1) при нулевом значе-нии параметра λ, т.е. такое уравнение:

εx + p(t)x + q(t, ε)x = 0. (9.3.3)

Главную роль при обосновании нужного нам утверждения будет игратьодин факт из предыдущих глав. Сформулируем его. Предварительновведем еще несколько обозначений. Через t1, . . . , tn обозначим все ну-ли функции p(t) на отрезке [0, T ]. Обозначим затем через ∆i отрезок[ti − t0, ti + t0], в котором число t0 > 0 выберем настолько малым, чтобыв каждом из этих отрезков лежал лишь один нуль функции p(t). Теперьмы легко сможем указать наибольшее и наименьшее число нулей, кото-рое могут иметь решения уравнения (9.3.3) на отрезке ∆i (i = 1, . . . , n)при малых ε. Наименьшее возможное число нулей на каждом из отрез-ков ∆i, которое не зависит от ε, когда ε достаточно мало, мы будемобозначать соответственно через ki. Наибольшее возможное количествонулей на том же отрезке равно ki + 1.



Из условия совпадения асимптотических рядов µj0(ε, α) для каждогоα из отрезка [0, T ] и из того, что j0 ≥ 1, следуют два вывода. Во-первых,среди чисел ki (1 ≤ i ≤ n) найдется хотя бы одно положительное. Во-вторых, все положительные ki четны. Для определенности будем счи-тать, что k1 > 0. Тогда решение x0(t, ε) уравнения (9.3.3) с начальнымиусловиями

x0(t1, ε) = 0, x0(t1, ε) 6= 0

обращается в нуль при всех малых ε ровно j0 раз на полуинтервале[t1, t1 + T ), причем

j0 = 1 +n∑

i=1

ki.

В то же время решение x0(t, ε) уравнения (9.3.3) с начальными услови-ями

x0(t1, ε) 6= 0, x0(t1, ε) = 0

имеет ровно k1 нулей на отрезке ∆1. Обозначим через t(ε) наимень-ший на отрезке ∆1 нуль этой функции. Важный для дальнейшего ре-зультат заключается в следующем. Функция x0(t, ε) имеет на отрезке[t(ε), t(ε) + T ] ровно j0 + 1 нулей при всех ε ∈ (0, ε0), где ε0 достаточномало.

Выведем одно следствие из сказанного. Пусть функция ψk(τ, ε) равнарасстоянию от точки τ , в которой некоторое решение уравнения (9.3.3)обращается в нуль, до следующего (k − 1)-го нуля того же решения.Тогда имеют место неравенства

ψj0(t1, ε) > T, ψj0(t(ε), ε) < T.

Приступим теперь непосредственно к доказательству равенства(9.3.2). Рассуждать будем от противного. Пусть существует такое целоеl0 ≥ 0 и такая последовательность εm → 0, что имеет место равенство

limm→∞

ε−l0m

[µj0+1(εm, α0)− min

α∈[0,T ]µj0(εm, α)

]= δ0, (9.3.4)

где δ0 6= 0. Отсюда, учитывая очевидное неравенство

maxα∈[0,T ]

µj0+1(ε, α) < minα∈[0,T ]

µj0(ε, α),

получаем, чтоδ0 < 0.



Таким образом, при всех достаточно больших m выполняется неравен-ство

minα∈[0,T ]

µj0(εm, α) > µj0+1(εm, α0)− εl0δ0

2, (9.3.5)

в котором δ0 =

{δ0, если δ0 > −∞,−1, если δ0 = −∞.

Далее, введем в рассмотрение уравнение

εx + p(t)x +

[q(t, εm)− µj0+1(εm, α0)− εl0

m

δ0

2

]x = 0. (9.3.6)

Первое, что мы отметим, это неравенство

maxτ∈[0,T ]

ψj0(τ, εm) < T, (9.3.7)

которое выполняется при всех достаточно малых εm. Здесь функцияψj0(τ, ε) имеет тот же смысл, что и ψj0(τ, ε), но с тем единственным отли-чием, что строится она по решениям уравнения (9.3.6). В справедливостинеравенства (9.3.7) нетрудно убедиться. Действительно, из условия

ψj0(τmk, εmk

) ≥ T,

где εmk→ 0, вытекает, что имеет место неравенство

minα∈[0,T ]

µj0(εmk, α) ≤ µj0+1(εmk

, α0)− εl0mk

δ0

2.

Последнее соотношение противоречит неравенству (9.3.5).Вторым важным моментом в доказательстве равенства (9.3.2) явля-

ется тот факт, что для уравнения (9.3.6) выполнены все условия, прикоторых рассматривалось уравнение (9.3.3). Здесь имеется в виду, чтодля уравнения (9.3.6) числа ki (i = 1, . . . , n), определяемые аналогич-но числам ki (i = 1, . . . , n) для уравнения (9.3.3), совпадают при всехдостаточно малых ε с ki соответственно. Правило вычисления этих чи-сел изложено в главах 7 и 8. Применяя его к уравнению (9.3.6), мыубеждаемся в справедливости равенств

ki = ki (i = 1, . . . , n). (9.3.8)

Добавим несколько слов в пояснение к сказанному. Из условия δ0 < 0вытекает, что все ki (i = 1, . . . , n) не зависят от ε, если ε мало, причем


§ 9.4. Завершение доказательств приведенных теорем 187

это свойство сохраняется при любых возмущениях коэффициента, сто-ящего при x в уравнении (9.3.6), функциями ϕ(t, ε), имеющими болеевысокий, чем l0, порядок по ε. Как следует из глав 7 и 8, числа ki, обла-дающие перечисленными свойствами, могут меняться, грубо говоря, припереходе через собственное значение первой краевой задачи на отрезке[α, α + T ]. В рассматриваемом же случае такого перехода не происходит,т.е. выполняются равенства (9.3.8).

Фиксируем решение x0(t, εm) уравнения (9.3.6) с начальными услови-ями

x0(t1, εm) 6= 0, x0(t1, εm) = 0.

Тогда, как и ранее,ψj0(t(εm), εm) > T, (9.3.9)

где εm достаточно мало. В последнем неравенстве через t(εm) обозна-чен наименьший на отрезке ∆1 нуль функции x0(t, εm). Для завершениядоказательства леммы остается заметить, что неравенство (9.3.9) проти-воречит неравенству (9.3.7).

Отметим, что можно установить еще такое соотношение:

µj0(ε, t(ε))− µj0+1(ε, α0) = O(ε∞).

§ 9.4. Завершение доказательств приведенныхтеорем

Сначала докажем теорему 9.1.1. Для этого, прежде всего, все номе-ра j (j = 1, 2, . . .) разобьем на два класса. К первому из них отнесемвсе те номера j, для каждого из которых соответствующее собственноезначение µj(ε, α) первой краевой задачи при некотором фиксированномαj ∈ [0, T ] имеет асимптотическое представление (9.1.3), не совпадаю-щее с асимптотическим представлением для µj(ε, α0). Остальные номераj включим во второй класс. Формулы (9.1.4) и (9.1.5) докажем отдельнодля собственных значений с номерами из разных классов.

Пусть некоторый номер j0 принадлежит первому классу. Для доказа-тельства теоремы 9.1.1 в этом случае нам понадобится еще один фактиз предыдущих глав. Там показано, что из условия несовпадения рядовдля µj0(ε, αj0) и µj0(ε, α0) вытекает, что соответствующие ряды одни и теже для собственных значений µj0(ε, αj0) и µj0+1(ε, α0), т.е.

µj0(ε, αj0)− µj0+1(ε, α0) = O(ε∞). (9.4.1)



Теперь остается лишь воспользоваться леммой 1.4.6, на основании кото-рой доказательство равенств (9.1.4), (9.1.5) для собственных значенийλ+

j0+1(ε) и λ−j0+1(ε) следует из соотношения (9.4.1).Пусть, далее, некоторый номер j0 принадлежит второму классу. То-

гда в справедливости равенств (9.1.4) и (9.1.5) для значений λ+j0+1(ε) и

λ−j0+1(ε) убеждаемся, используя утверждения леммы 9.3.1 и леммы 1.4.6.Таким образом, обоснование теоремы 9.1.1 закончено.

Теорема 9.1.2 является непосредственным следствием предыдущейтеоремы. Действительно, для этого достаточно заметить (см. главу 1),что решения уравнения (9.1.1) устойчивы тогда и только тогда, когдавыполняется одно из двух условий:

либо λ = λ+2j(ε) = λ+

2j+1(ε) (λ = λ−2j−1(ε) = λ−2j(ε)),

либо λ+2j−1(ε) < λ < λ−2j−1(ε) (λ−2j(ε) < λ < λ+

2j(ε)).

Кроме этого, из теоремы 9.1.1 и из результатов главы 7 следует ипервое утверждение теоремы 9.1.3, а с ним и теорема 9.1.4.

Второе утверждение теоремы 9.1.3 доказывается тоже без труда. Длятого, чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться леммой 1.4.6и предельными равенствами

limε→0

µj(ε, α) = ν0, (9.4.2)

справедливыми для всех, начиная с некоторого, номеров j. Однако, мо-жет так случиться, что первое утверждение теоремы 9.1.3 не определя-ет асимптотику собственного значения λ+

1 (ε). Равенств (9.4.2) для всехj = 1, 2, . . . тогда тоже недостаточно для изучения поведения этого соб-ственного значения. Можно лишь утверждать, что

limε→0

λ+1 (ε) ≥ ν0.

Покажем, что на самом деле λ+1 (ε) удовлетворяет равенству (9.1.7).

В предположении противного существует такая последовательностьεm → 0, что

limm→∞

λ+1 (εm) = ν0 + δ0,

где δ0 > 0. Рассмотрим уравнение

εmx + p(t)x +

[q(t)− ν0 − δ0

2

]x = 0, (9.4.3)


§ 9.5. Несамосопряженный случай: постановка задачи... 189

где δ0 =

{δ0, если δ0 < ∞,1, если δ0 = ∞.

Тогда, с одной стороны, из условия

λ+1 (εm) > ν0 +

δ0

2,

справедливого, когда m достаточно велико, следует осцилляция решенийуравнения (9.4.3). С другой стороны, как следует из главы 7, неравенствоδ0 > 0 позволяет нам сделать вывод о неосцилляции на всей оси решенийэтого уравнения. Итак, теорема 9.1.3 полностью доказана.

§ 9.5. Постановка задачи и основные результа-ты в несамосопряженном случае

Как и в предыдущем параграфе, рассматривается линейное дифференци-альное уравнение

εx + p(t)x + q(t)x = λx (9.5.1)

с T - периодическими коэффициентами. Дифференциальные свойствафункций p(t) и q(t) те же, что и выше. Однако, в отличие от преды-дущих параграфов, здесь будет разобран случай, когда равенство (9.1.2)не имеет места. Поскольку в дальнейшем мы будем интересоваться свой-ствами устойчивости, то будем предполагать, что

M [p(t)] > 0. (9.5.2)

Для уравнения (9.5.1) ставятся периодическая и антипериодическаякраевые задачи. Известно (см., например, [35]), что каждая из этих за-дач имеет при любом ε > 0 счетное число собственных значений, которыеможно занумеровать в порядке убывания их вещественных частей. Приусловии (9.5.2) нельзя гарантировать вещественность собственных зна-чений. Более того, число комплексных собственных значений не можетбыть конечно, а число вещественных – обязательно конечно. Важнойособенностью вещественных собственных значений является то, что они,вообще говоря, не являются непрерывными функциями коэффициентовуравнения (9.5.1), а значит – и параметра ε. Это легко показать, исполь-зуя теорему 1.5.2 главы 1. Отметим еще, что комплексные собственныезначения, в отличие от вещественных, непрерывно зависят от ε. В насто-ящем параграфе мы построим асимптотику при малых ε вещественныхсобственных значений.



Рассмотрим, наряду с уравнением (9.5.1), новое дифференциальноеуравнение

εy +

[2q(t)− p(t)

2− p2(t)

4ε

]y = λy, (9.5.3)

которое получается из (9.5.1) с помощью преобразования

x = y exp

− 1

2ε

t∫

0

p(τ)dτ

. (9.5.4)

Для уравнения (9.5.3) тоже ставятся периодическая и антипериодиче-ская краевые задачи. Соответствующие дифференциальные операторы –самосопряженные. Поэтому у них существует счетное число веществен-ных собственных значений, которые мы обозначим соответственно черезν+

j (ε) и ν−j (ε) (j = 1, 2, . . .). Нумерацию естественно проводить в поряд-ке убывания собственных значений. При этом всегда можно нумероватьтак, чтобы все функции ν+

j (ε) и ν−j (ε) параметра ε были непрерывны.Важный для нас вывод заключается в том, что для значений ν+

j (ε) иν−j (ε) (j = 1, 2, . . .) справедливы, в зависимости от свойств функции p(t),теоремы 9.1.1 и 9.1.4. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметитьследующее: доказательство отмеченных теорем проводилось на основеанализа осцилляционных свойств решений уравнения (9.1.1). Уравнениеже (9.1.1) с помощью замены (9.5.4), не влияющей на нули его решений,преобразуется в уравнение (9.5.3). Поэтому к последнему применимывыводы теорем 9.1.1 и 9.1.4. Этот факт будет играть большую роль приизучении собственнных значений краевых задач для уравнения (9.5.1)при условии (9.5.2).

Сделаем, наконец, последнее замечание. Как мы уже отмечали, в [6]установлено, что собственное значение с наибольшей из всех рассмат-риваемых собственных значений обеих краевых задач для (9.5.1) веще-ственной частью всегда вещественное и простое. Очевидно, оно непре-рывно зависит от ε. Мы будем обозначать его через h1(ε).

Предположим, что выполнены условия теоремы 9.1.1. Тогда мы знаемасимптотические представления всех ν+

j (ε) и ν−j (ε) (j = 1, 2, . . .).Теорема 9.5.1. Имеет место асимптотическое равенство

h1(ε)− ν1(ε) = O(ε∞). (9.5.5)


§ 9.5. Несамосопряженный случай: постановка задачи... 191


2j(ε) и ν+2j+1(ε) или ν−2j−1(ε) и ν−2j(ε) не совпадают. Тогда

найдется такое ε0 > 0, что при ε ∈ (0, ε0) существуют два такихвещественных собственных значения периодической и антипериоди-ческой краевой задачи hj1(ε) и hj1+1(ε), которые непрерывно зависятот ε для указанных значений ε и для которых выполняются соотно-шения

ν+2j+1(ε) < hj1+1(ε) < hj1(ε) < ν+

2j(ε)(ν−2j(ε) < hj1+1(ε) < hj1(ε) < ν−2j−1(ε)

),

(9.5.6)

hj1(ε)− ν+2j(ε) = O(ε∞)

(hj1(ε)− ν−2j−1(ε) = O(ε∞)

), (9.5.7)

hj1+1(ε)− ν+2j+1(ε) = O(ε∞)

(hj1+1(ε)− ν−2j(ε) = O(ε∞)

). (9.5.8)

Отметим, что при ε ∈ (0, ε0), где ε0 такое, как в предыдущей тео-реме, в интервале (hj1+1(ε), hj1(ε)) не лежит ни одно другое веществен-ное собственное значение рассматриваемых краевых задач для уравнения(9.5.1).

Рассмотрим, далее, уравнение

εx + p(t)x + q(t)x = 0. (9.5.9)

Теорема 9.5.3. Пусть коэффициенты ни одного из асимптотиче-ских рядов для ν+

j (ε) и ν−j (ε) (j = 1, 2, . . .) не состоят из одних нулей.Тогда существует такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0) решенияуравнения (9.5.9) неустойчивы.

Предположим затем, что выполняются условия теоремы 9.1.3.Теорема 9.5.4. Имеет место утверждение теоремы 9.5.1.Условимся, далее, обозначать через ν+

j (ε) и ν−j (ε) только те собствен-ные значения, о которых говорится в первой части теоремы 9.1.3. Отме-тим, что их конечное число.


2j(ε) и ν+2j+1(ε) или ν−2j−1(ε) и ν−2j(ε) не совпадают. Тогда

имеет место утверждение теоремы 9.5.2. Если вещественное соб-ственное значение hj(ε) одной из рассматриваемых краевых задачдля уравнения (9.5.1) определено при всех ε ∈ (0, ε0) и не стремитсяпри стремлении ε к нулю ни к одному из собственных значений ν+

j (ε)

и ν−j (ε), тогда необходимо

limε→0

hj(ε) = ν0, (9.5.10)



гдеν0 = max q(t), t ∈ {α : p(α) = p(α) = 0}. (9.5.11)

Сформулируем теперь критерий устойчивости решений уравнения(9.5.9).

Теорема 9.5.6. Пусть ν0 < 0, и коэффициенты ни одного из асимп-тотических рядов для ν+

j (ε) и ν−j (ε) не состоят из одних нулей. Тогдасуществует такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0) решения уравнения(9.5.9) неустойчивы.

Подводя итог сказанному, отметим, что налицо тесная связь меж-ду поведением собственных значений для самосопряженного и несамо-сопряженного уравнений (9.5.1) и (9.5.3). Эта взаимосвязь обеспеченасуммарным влиянием малого параметра и точек поворота. При условииположительности функции p(t) (или отрицательности), т.е. при отсут-ствии точек поворота, подобной связи нет. В этом случае имеет местосоотношение [11]

limε→0

h1(ε) = M−1 [p−1(t)

]M

[q(t)p−1(t)

].

Можно показать, что все собственные значения периодической и ан-типериодической краевых задач для уравнения (9.5.3) неограниченноубывают при стремлении ε к нулю. В случае уравнения (9.5.1) все веще-ственные, кроме h1(ε), собственные значения тех же краевых задач либос уменьшением ε пропадают, либо неограниченно убывают.

§ 9.6. Несамоcопряженный случай:вспомогательное утверждение

Задача исследования поведения вещественных собственных значений пе-риодической и антипериодической краевых задач тесно связана с задачейоб устойчивости решений уравнения (9.5.1) при различных значенияхпараметра λ. Эта связь, в частности, устанавливается в §1.6. В своюочередь, задача определения неустойчивости, как следует из теоремы1.5.2 главы 1, эквивалентна задаче на построение некоторых „пробных“функций. В настоящем параграфе будут построены „пробные“ функциидля самосопряженного уравнения вида (9.5.3), используя которые мысконструируем „пробные“ функции и для уравнения (9.5.1).


§ 9.6. Несамоcопряженный случай: вспомогательное утверждение 193

Предположим, что выполнены условия теорем 9.5.1 и 9.5.2. Рассмот-рим дифференциальное уравнение

εy +

[2q(t)− p(t)

2− p2(t)

4ε

]y = 0. (9.6.1)

Основное предположение этого параграфа заключается в допущении,что решения последнего уравнения неустойчивы при малых ε, причемкоэффициенты ни одного из асимптотических представлений для соб-ственных значений ν+

j (ε) и ν−j (ε) (j = 1, 2, . . .) для уравнения (9.5.3) несостоят из одних нулей.

Прежде чем сформулировать соответствующее утверждение, введемряд обозначений. Ниже через ϕ0(t, ε) будем обозначать некоторую пери-одическую неотрицательную и не равную тождественно нулю функцию,явный вид которой нас не будет интересовать. Введем в рассмотрениезатем дифференциальное уравнение

εy +

[2q(t)− p(t)

2− p2(t)

4ε+ ϕ0(t, ε)

]y = 0, (9.6.2)

относительно которого будем предполагать, что оно принадлежит привсех достаточно малых ε той же зоне неустойчивости, что и уравне-ние (9.6.1). Наконец, через y0(t, ε) обозначим функцию, обладающуюследующими тремя свойствами. Во-первых, y0(t, ε) либо периодическая,либо антипериодическая. Во-вторых, эта функция является решениемуравнения (9.6.2). В-третьих, |y0(t, ε)| может быть отличен от единицылишь на некоторых интервалах с центрами в точках t1, . . . , tn (p(ti) = 0,i = 1, . . . , n), длина которых стремится к нулю при стремлении ε к нулю.

Лемма 9.6.1. В предположениях настоящего параграфа существу-ет такая функция ϕ0(t, ε), что уравнение (9.6.2) имеет решениеy0(t, ε) с перечисленными выше свойствами.

Доказательство. Сразу отметим, что существование функций ϕ0(t, ε)и y0(t, ε), вторая из которых обладает всеми, кроме последнего, свойства-ми, непосредственно вытекает, например, из утверждений теоремы 1.5.2.Возможность осуществления и третьего свойства для функции y0(t, ε)будет являться следствием наличия малого параметра.

Предположим для простоты, что первый член каждого из асимптоти-ческих разложений для всех ν+

j (ε) и ν−j (ε) отличен от нуля. В случае,когда это не имеет места, доказательство проводится аналогично. Поэто-му ниже этот случай рассматриваться не будет.



Упрощающее ограничение, сформулированное выше, позволяет за-ключить, что

νi =

[q(ti)− 1

2(p(t) + |p(t)|)

]|p(t)|−1 6= j (j = 0, 1, . . . ; i = 1, . . . , n).

(9.6.3)Обозначим через Ni (i = 1, . . . , n) наименьшее неотрицательное целоечисло, превосходящее νi. Важное место в доказательстве леммы будутиграть некоторые построения из главы 7. Напомним, что там были вве-дены функции (i = 1, . . . , n)

ui(t, bi, ε) =

{1 +

∞∑j=1

bi(bi+2)...(bi+2j−2)|p(ti)|jεj(2j)! (t− ti)

2j

}×

× exp(|p(ti)|

ε (t− ti)2)

, если Ni четно,{|p(ti)|

12

ε12

(t− ti) +∞∑

j=1

(bi+1)...(bi+2j−1)|p(ti)|2j+1

2

ε2j+1

2 (2j+1)!(t− ti)

2j+1

}×

× exp(|p(ti)|

ε (t− ti)2)

, если Ni нечетно,

где bi лежит в пределах−Ni < bi < −νi.

Было показано, что каждая из функций ui(t, bi, ε) обращается в нульровно Ni раз на интервале (−∞,∞). Крайний правый нуль, если таковыевообще имеются, этой функции мы обозначим через ti(bi, ε). Очевидно,

limε→∞

ti(bi, ε) = ti.

Далее, по каждой из функций ui(t, bi, ε) конструировалась новая нечет-ная функция

vi(t, bi, ε) =|p(ti)| 12

2ε12

(t− ti)− ui(t, bi, ε)

ui(t, bi, ε),

которая обращается в нуль в некоторой точке ti(bi, ε), когда δi = Ni + bi

достаточно мало, причем

ti(bi, ε) > ti(bi, ε).

Наконец, в главе 7 вводились функции zi(t, ε), каждая из которыхтождественно равна vi(t, bi, ε) при всех t ∈ [−ti(bi, ε), ti(bi, ε)], а при


§ 9.6. Несамоcопряженный случай: вспомогательное утверждение 195

остальных значениях t ∈ ∆i(t0) = [ti − t0, ti + t0] (t0 > 0, tj ∈ ∆i(t0),если i 6= j) они тождественно равны нулю. Основным свойством этихфункций является то, что при малых δi и ε они удовлетворяют диффе-ренциальным уравнениям

D∗zi(t, ε) = z2i (t, ε) +

2q(t)− p(t)

2ε− p2(t)

4ε+ ϕi(t, ε), (9.6.4)

где ϕi(t, ε) ≥ 0, а D∗zi(t, ε) – правое верхнее производное число функ-ции zi(t, ε). Используя свойства функций zi(t, ε), а также связь междурешениями уравнения Риккати (9.6.4) и линейным дифференциальнымуравнением второго порядка, заключаем, что функция

yi(t, ε) = exp

−

t∫

ti−t0

zi(τ, ε)dτ

обладает следующими свойствами. Во-первых, она имеет ровно Ni нулейпри всех малых ε. Во-вторых, она отлична от единицы лишь на интерва-ле с центром в ti, длина которого стремится к нулю при стремлении ε кнулю. Наконец, в-третьих, она является решением (на соответствующемотрезке) уравнения

εD∗y +

[2q(t)− p(t)

2− p2(t)

4ε+ ϕi(t, ε)

]y = 0.

С помощью таких функций yi(t, ε) легко строится функция y0(t, ε), окоторой говорится в формулировке леммы.

Пусть t2, . . . , tn лежат в интервале (t1 − t0, t1 − t0 + T ). Понятно, чтоэто не ограничивает общности. Положим

y0(t, ε) =

yi(t, ε), если t ∈ ∆i(t0) (i = 1, . . . , n),

±1, если t ∈ [t1 − t0, t1 − t0 + T ], t∈n⋃

i=1∆i(t0),

где знак + или − берется так, чтобы y0(t, ε) была непрерывной функцией.Легко видеть, что y0(t, ε) является решением уравнения

εD∗y +

[2q(t)− p(t)

2− p2(t)

4ε+ ϕ0(t, ε)

]y = 0,



в котором

ϕ0(t, ε) =

ϕi(t, ε), если t ∈ ∆i(t0) (i = 1, . . . , n),p2(t)

4ε− 2q(t)− p(t)

2, если t ∈ [t1 − t0, t1 − t0 + T ] \

n⋃i=1

∆i(t0),

Далее, отметим, что функция y0(t, ε) непрерывно дифференцируема на[t1−t0, t1−t0+T ] за исключением конечного числа точек, где существуютодносторонние производные. Поэтому существует такая функция y0(t, ε),количество нулей которой на каждом из отрезков ∆i(t0) (i = 1, . . . , n)совпадает с числом нулей функции y0(t, ε) и которая может быть отличнапо модулю от единицы лишь на ∆i(t0) (i = 1, . . . , n). Наконец, y0(t, ε)является решением уравнения

εy +

[2q(t)− p(t)

2− p2(t)

4ε+ ϕ0(t, ε)

]y = 0,

причем ϕ0(t, ε) ≥ 0. Остальные свойства функции y0(t, ε), о которыхговорится в лемме, выполняются очевидным образом. Лемма доказана.


Предположим, что равенство (9.5.5) не имеет места, т.е. на некоторойпоследовательности εm → 0

limm→∞

ε−l0m

[h1(εm)− ν+

1 (εm)]

= δ0, (9.7.1)

где δ0 6= 0, а l0 ≥ 0 – целое. Из того простого факта, что при λ = ν+1 (ε)

решения уравнения (9.5.1) экспоненциально устойчивы, следует равен-ство

h1(εm) > ν+1 (εm),

а, значит, в (9.7.1)δ0 > 0. (9.7.2)

Если мы докажем существование таких периодических функцийϕ0(t, εm) 6≡ 0 и x0(t, εm) > 0, для которых выполняется равенство

εmx0(t, εm) + p(t)x0(t, εm) + [q(t)− h1(εm) + ϕ0(t, εm)]x0(t, εm) = 0, (9.7.3)



то тем самым получим противоречие с тем, что h1(εm) является соб-ственным значением периодической краевой задачи. Здесь мы вновь ис-пользуем результаты главы 1.

Приступим к построению функций x0(t, εm) и ϕ0(t, εm). Введем в рас-смотрение новое самосопряженное уравнение

εmx + p(t)x + q(t)x = λx, (9.7.4)

в котором непрерывно дифференцируемая функция p(t) обладает следу-ющими свойствами. Во-первых, она совпадает с функцией p(t) там, где

p(t) ≤ α,

причем α > 0, вообще говоря, достаточно мало. Насколько малым онодолжно быть, будет видно из дальнейшего. Во-вторых, все нули p(t)совпадают соответственно с нулями функции p(t). Наконец, в-третьих,выполняются соотношения

M [p(t)] = 0, p(t) ≤ p(t) (t ∈ [0, T ]). (9.7.5)

Отметим, что для всех собственных значений ν+j (ε) и ν−j (ε) асимптоти-

ческие в нуле представления вычислялись лишь по значениям функцийp(t), q(t) и их производных в тех точках, где p(t) = 0. Поэтому из свойствфункции p(t) вытекает, что первое собственное значение ν+

1 (ε) периоди-ческой краевой задачи для уравнения (9.7.4) удовлетворяет равенству

ν+1 (ε)− ν+

1 (ε) = O(ε∞). (9.7.6)

Рассмотрим затем уравнение

εx + p(t)x +

[q(t)− ν+

1 (ε)− δ0

2εl0

]x = 0, (9.7.7)

где δ0 =

{δ0, если δ0 < ∞,1, если δ0 = ∞.

С помощью замены x = y exp

(− 1

2ε

t∫0

p(τ)dτ

)это уравнение преобразу-

ется к виду

εy +

[2q(t)− ˙p(t)

2− p2(t)

4ε− ν+

1 (ε)− δ0

2εl0

]y = 0. (9.7.8)



Нетрудно видеть, что к уравнению (9.7.8) применима лемма 9.6.1, т.е. су-ществуют такие периодические функции ϕ0(t, ε) ≥ 0 ( 6≡ 0) и y0(t, ε) > 0,для которых справедливо дифференциальное равенство

εy0(t, ε) +

[2q(t)− ˙p(t)

2− p2(t)

4ε− ν+

1 (ε)−δ0

2εl0 + ϕ0(t, ε)

]y0(t, ε) = 0. (9.7.9)

При этом функция |y0(t, ε)| может быть отлична от единицы лишь нанекоторых интервалах, стягивающихся в точки t1, . . . , tn при уменьшенииε до нуля. Фиксируем, далее, такое ε0 > 0, чтобы |y0(t, ε)| ≡ 1 для всехтех значений t ∈ [0, T ], для которых

p(t) < p(t).

Существование такого ε0 не вызывает сомнений. В дальнейшем будемрассматривать только те значения ε, которые лежат в интервале (0, ε0).

Для периодической (в силу первого из условий (9.7.5)) функции

x0(t, ε) = y0(t, ε) exp

(− 1

2ε

t∫

0

p(τ)dτ

),

очевидно, выполняется соотношение

ε¨x0(t, ε) + p(t, ε) ˙x0(t, ε) +

[q(t)− ν+

1 (ε)− δ0

2εl0 + ϕ0(t, ε)

]x0(t, ε) = 0.

Это равенство можно переписать и так:

ε¨x0(t, ε) + p(t) ˙x0(t, ε) +

[q(t)− ν+

1 (ε)− δ0

2εl0 + ϕ0(t, ε)+

+(p(t)− p(t))

(y0(t, ε)

y0(t, ε)− 1

2εp(t)

)]x0(t, ε) = 0. (9.7.10)

из свойств функций p(t) и y0(t, ε) следует, что последний коэффициент,стоящий в квадратных скобках равенства (9.7.10), неотрицателен. Послеэтого построение описанных функций ϕ0(t, εm) и x0(t, εm) завершаетсябез труда. Действительно, фиксируем m0 так, чтобы при всех m > m0выполнялось условие

h1(εm)− ν+1 (εm) ≥ δ0

2εl0m.


§ 9.8. Обоснование соотношений (9.5.8) 199

Тогда, очевидно,

−ν+1 (ε)− δ0

2εl0m + ϕ0(t, εm) ≥ −h1(ε), m > m0, (9.7.11)

причем тождественное равенство в последней формуле исключено. Здесьположено

ϕ0(t, εm) = ϕ0(t, εm) + [p(t)− p(t)]

[y0(t, ε)

y0(t, ε)− 1

2εp(t)

]

или, учитывая свойства функции y0(t, ε),

ϕ0(t, εm) = ϕ0(t, εm)− 1

2εp(t)[p(t)− p(t)].

Используя равенство (9.7.6), замечаем, что в формуле (9.7.11) вместоν+

1 (ε) можно писать ν+1 (ε). При этом, может быть, придется несколько

увеличить m0. Положим, наконец,

ϕ0(t, εm) = h1(ε)− ν+1 (ε)− δ0

2εl0m + ϕ0(t, εm).

Тогда уравнение (9.7.10) принимает вид (9.7.3), где x0(t, εm) ≡ x0(t, εm).При этом функция ϕ0(t, εm) 6≡ 0 неотрицательна на основании неравен-ства (9.7.11), а положительность функции x0(t, εm) вытекает из анало-гичного свойства функции y0(t, εm). Таким образом, обоснование соотно-шения (9.5.5) завершено.

§ 9.8. Обоснование соотношений (9.5.8)

В этом и следующем параграфах мы будем предполагать, что при всехдостаточно малых ε существуют собственные значения hj1(ε) и hj1+1(ε),удовлетворяющие неравенствам (9.5.6). Доказательство же существова-ния таких собственных значений будет проведено несколько позже.

В настоящем параграфе будут использованы рассуждения, подобныетем, которые применялись для обоснования равенства (9.5.5).

Итак, предположим, что для некоторого номера j0 асимптотическиев нуле ряды для ν+

2j0(ε) и ν+

2j0+1(ε) не совпадают. Сразу отметим, чтоподобный случай для собственных значений ν−2j0−1(ε) и ν−2j0

(ε) разбирает-ся аналогично, и поэтому мы его опустим. Доказательство соотношения



(9.5.8) проведем, как мы уже неоднократно делали, рассуждая от про-тивного. На этом пути получим равенство

limm→∞

ε−l0m

[hj1+1(εm)− ν+

2j0+1(εm)]

= δ0. (9.8.1)

Здесь εm → 0, а δ0 6= 0. Из неравенств (9.5.6) получаем, что δ0 > 0.Если мы покажем, что для всех достаточно больших m имеют местосоотношения

εmx0(t, εm)+p(t)x0(t, εm)+[q(t)−hj1+1(εm)+ϕ0(t, εm)]x0(t, εm) = 0, (9.8.2)

где ϕ0(t, εm) ≥ 0 ( 6≡ 0), а x0(t, εm) – периодическая функция, имеющаяровно 2j0 нулей на некотором отрезке длины периода, то тем самым по-лучим противоречие с (9.8.1), а значит, докажем равенство (9.5.8). Со-ответствующие рассуждения, приводящие к нужному результату, близкик использованным в предыдущем параграфе. Единственное отличие со-стоит в том, что функция y0(t, εm) в нашем случае будет иметь ровно2j0 нулей на некотором отрезке длины периода. Наличие нужного числанулей у функции y0(t, εm) удается проследить, используя снова лемму9.6.1.

§ 9.9. Обоснование соотношений (9.5.7)

Общий ход рассуждений в этом параграфе тот же, что и в двух преды-дущих. Однако в деталях соответствующие построения существенно от-личаются от изложенных ранее.

Итак, пусть асимптотические в нуле ряды для собственных значенийν+

2j0(ε) и ν+

2j0+1(ε) не совпадают. Предположим противное, т.е. пусть со-отношение (9.5.7) места не имеет. Тогда найдется такой номер l0 ≥ 0 итакая последовательность εm → 0, что

limm→∞

ε−l0m

[hj1(εm)− ν+

2j0(εm)

]= δ0, (9.9.1)

где δ0 6= 0. Отметим, что в силу (9.5.6)

δ0 < 0. (9.9.2)

Нашей конечной целью является построение такой „пробной“ функ-ции x0(t, εm), которая, во-первых, периодична и является решением урав-нения

εmx + p(t)x + [q(t)− hj1(εm)− ϕ0(t, εm)]x = 0, (9.9.3)



где периодическая функция ϕ0(t, εm) положительна и, во-вторых,x0(t, εm) имеет ровно 2j0 нулей на любом отрезке [α, α+T ], для котороговыполнено условие x0(t, εm) 6= 0. Построив функцию, обладающую пе-речисленными выше свойствами, мы, очевидно, получим противоречие стем, что hj1(εm) является собственным значением периодической краевойзадачи и удовлетворяет неравенствам (9.5.6).

При построении функции x0(t, εm) основную роль будет играть неко-торая вспомогательная функция y0(t, εm). Определим эту функцию. Дляэтого введем в рассмотрение уравнение

εmy + ψ0(t, εm)y = λy. (9.9.4)

В (9.9.4) периодическая функция ψ0(t, εm) определяется следующим об-разом. Фиксируем сначала такой отрезок [α1, β1] ⊂ [0, T ], чтобы при всехt ∈ [α1, β1] функция p(t) была отрицательной. Положим затем

ψ0(t, εm) =

q(t)− 12 p(t)− 1

4εmp2(t), t ∈ [0, T ] t∈(α1, β1),

− a0

ε2m

, t ∈ (α1, β1),

где a0 > 0. Отметим, что в дальнейшем будем рассматривать лишь тезначения m, при которых выполняется неравенство

ψ0(t, εm) ≤ −1

2p(t)− 1

4εmp2(t) + q(t), t ∈ [0, T ].

Поставим теперь для уравнения (9.9.4) периодическую краевую задачу.Собственные значения ν+

j (εm) этой краевой задачи будем нумеровать впорядке убывания. Нас будет интересовать поведение только собствен-ного значения ν+

2j0(εm). Для него, впрочем, как и для всех остальных

собственных значений, справедливо асимптотическое равенство

ν+2j0

(εm)− ν+2j0

(εm) = O(ε∞). (9.9.5)

Этот важный для нас вывод следует непосредственно из результатов глав7 и 8 и §§9.1 - 9.4 . Обозначим, далее, через y0(t, εm) собственную функ-цию, соответствующую собственному значению ν+

2j0(εm). От возможного

поведения этой функции зависят последующие построения. В связи сэтим изучим некоторые свойства функции y0(t, εm).

Предположим сначала существование такой подпоследовательности{εmk

} последовательности {εm}, что при каждом εmkфункция y0(t, εmk

)имеет нуль на отрезке [α1, α2] ⊂ [α1, β1).



Лемма 9.9.1. Существует такое m0, что при всех mk > m0 функ-ция

u0(t, εmk) =

y0(t, εmk)

y0(t, εmk)

положительна для значений t из промежутка [α0 + rT, β0 + rT ](r = 0,±1,±2, . . .), где

α2 < α0 < β0 ≤ β1.

Ниже для сокращения записи часто будем считать, что в качествеподпоследовательности {εmk

} взята сама последовательность {εm}.Доказательство. Для доказательства леммы достаточно заметить,

что в уравнении

εmy + [ψ0(t, εm)− ν+2j0

(εm)]y = 0, (9.9.6)

решением которого является y0(t, εm), коэффициент, стоящий при y, от-рицателен при всех малых εm и t ∈ [α1 + rT, β1 + rT ] (r = 0,±1,±2, . . .).

Предположим, далее, что описанная выше ситуация места не имеет,т.е. нельзя указать такого отрезка вида [α1, α2] ⊂ [α1, β1), на которомбы функция y0(t, εm) обращалась в нуль на некоторой подпоследователь-ности {εmk

} ⊂ {εm}. Тогда выполняется хотя бы один из следующихдвух случаев. Первый из них состоит в допущении существования тако-го отрезка [α0, β0] ⊂ (α1, β1), что при всех t ∈ [α0, β0] функция u0(t, εm)неотрицательна на некоторой подпоследовательности {εmk

} последова-тельности {εm}. Второй случай состоит в том, что найдется такой от-резок [α2, β2] ⊂ [α1, β1] и такая подпоследовательность {εmk

}, что приt ∈ [α2, β2] и малых εmk

функция y0(t, εmk) в нуль не обращается, а знак

ее производной противоположен знаку самой функции. Определим в по-следнем случае отрезок [α0, β0] так, чтобы выполнялись неравенства

α2 ≤ α0 < β0 < β2. (9.9.7)

Тогда справедливо следующее утверждение.Лемма 9.9.2. Имеет место оценка

|u0(t, εmk)| ≤ c0

(εmk)

32

, t ∈ [α0 + rT, β0 + rT ] (r = 0,±1,±2, . . .), (9.9.8)

где c0 не зависит от εmk.



Доказательство. Ниже вместо εmkбудем писать εm. Для доказатель-

ства леммы заметим, что на отрезке [α1, β2] выполняется равенство

y0(t, εm) = c1(εm) exp

(√a0

ε3m

− 1

εmν+

2j0(εm)t

)+

+c2(εm) exp

(−

√a0

ε3m

− 1

εmν+

2j0(εm)t

).

Далее, из условий

|y0(t, εm)| > 0 и y0(t, εm)y0(t, εm) < 0, t ∈ [α1, β2]

вытекает соотношение

|c(εm)| ≤ exp

(−2β2

√a0

ε3m

− 1

εmν+

2j0(εm)

), (9.9.9)


c(εm) =c1(εm)

c2(εm).

Для функции u0(t, εm) на отрезке [α0, β0] справедлива формула

u0(t, εm) =

[c(εm)− exp

(−2t

√a0

ε3m

− 1

εmν+

2j0(εm)

)]×

×[c(εm) + exp

(−2t

√a0

ε3m

− 1

εmν+

2j0(εm)

)]−1 √a0

ε3m

− 1

εmν+

2j0(εm).

Отсюда, принимая во внимание (9.9.7) и (9.9.9), и следует обоснованиелеммы.

На следующем этапе введем в рассмотрение еще одну вспомогатель-ную периодическую и непрерывно дифференцируемую функцию p0(t).Положим

p0(t) ≡ p(t), t ∈ [0, T ], t∈[α0, β0],

а на отрезке [α0, β0] определим p0(t) так, чтобы выполнялись условия:

M [p0(t)] = 0, p0(t) ≤ p(t), t ∈ [0, T ]. (9.9.10)



Будем, далее, считать, что число m0 выбрано таким образом, чтобы длявсех m > m0 имело место неравенство

a0

ε2m

>1

2p0(t) +

1

4εmp2

0(t), t ∈ [α0, β0]. (9.9.11)

Теперь, когда все подготовительные построения проделаны, мы мо-жем определить функцию x0(t, εm). Для этого положим

x0(t, εm) = y0(t, εm) exp

− 1

2εm

t∫

0

p0(τ)dτ

. (9.9.12)

Для этой функции справедливо дифференциальное равенство

εmx0(t, εm) + p0(t)x0(t, εm)+

+

[ψ0(t, εm) +

1

2p0(t) +

1

4εmp2

0(t)− ν+2j0

(εm)

]x0(t, εm) = 0. (9.9.13)

Последнее выражение можно переписать и так:

εmx0(t, εm) + p(t)x0(t, εm) +

[ψ0(t, εm) +

1

2p0(t) +

1

4εmp2

0(t)− ν+2j0

(εm)+

+(p0(t)− p(t))(u0(t, εm)− 1

2εmp0(t))

]x0(t, εm) = 0. (9.9.14)

Таким образом, мы показали, что функция x0(t, εm) является решениемуравнения (9.9.3), в котором

−ϕ0(t, εm) = ψ0(t, εm) +1

2p0(t) +

1

4εmp2

0(t)− ν+2j0

(εm)+

+hj1(εm)− q(t) + [p0(t)− p(t)]

[u0(t, εm)− 1

2εmp0(t)

].

Установим теперь положительность функции ϕ0(t, εm). Из определенияфункций ψ0(t, εm) и p0(t) вытекает неравенство

ψ0(t, εm) +1

2p0(t) +

1

4εmp2

0(t)− q(t)+

+[p0(t)− p(t)]

[u0(t, εm)− 1

2εmp0(t)

]≤ 0, (9.9.15)


§ 9.10. Завершение доказательств теорем . . . 205

если только εm достаточно мало. Действительно, если на отрезке [α0, β0]функция u0(t, εm) положительна, то все последнее слагаемое в (9.9.15)неположительно. Если функция u0(t, εm) отрицательна на [α0, β0], то,как мы показали, имеет место оценка (9.9.8). Поэтому все равно знаклевой части (9.9.15) будет определяться при малых εm первым слага-емым, которое отрицательно на отрезке [α1, β1] ⊃ [α0, β0]. Наконец, изсоотношений (9.9.3), (9.9.4) и (9.9.5) получаем, что

ν+2j0

(εm)− hj1(εm) > εl0mδ0, m > m0,

в котором m0 достаточно велико, а δ0 определяется формулой

δ0 =

{−δ0

2, если δ0 6= −∞,

1, если δ0 = ∞.

Итак, мы установили неравенство

ϕ0(t, εm) ≥ εl0mδ0 (m > m0).

Остальные нужные нам свойства функции x0(t, εm) выполняются очевид-ным образом. Отметим лишь, что из периодичности функции y0(t, εm) ииз условия (9.9.10) следует периодичность функции x0(t, εm).

§ 9.10. Завершение доказательств теоремнесамосопряженного случая

Прежде всего закончим обоснование теоремы 9.5.1. Для этого нам оста-лось лишь установить существование при всех достаточно малых εсобственных значений hj1(ε) и hj1+1(ε), удовлетворяющих неравенствам(9.5.6). Напомним, что мы рассматриваем тот случай, когда асимпто-тические в нуле ряды для собственных значений ν+

2j0(ε) и ν+

2j0+1(ε) несовпадают. В этом случае найдется такой номер l ≥ 0, что

δ0 = ν+2j0,l

− ν+2j0+1,l > 0, (9.10.1)

где через ν+2j0,l

и ν+2j0+1,l обозначены l-тые производные по ε при ε = 0 со-

ответственно функций ν+2j0

(ε) и ν+2j0+1(ε) параметра ε. Через l0 обозначим

наименьший из номеров l, удовлетворяющих неравенству (9.10.1).



Введем, далее, в рассмотрение дифференциальное уравнение

εx + p(t)x +

[q(t)− ν+

2j0(ε) + εl0

δ0

2

]x = 0. (9.10.2)

При λ = ν+2j0

(ε) и λ = ν+2j0+1(ε) решения уравнения (9.5.1) экспоненциаль-

но устойчивы. Поэтому для доказательства существования собственныхзначений hj1(ε) и hj1+1(ε) периодической краевой задачи для уравнения(9.5.1), удовлетворяющих соотношениям (9.5.6), достаточно показать,что решения уравнения (9.10.2) неустойчивы при малых ε. Для этого,в свою очередь, мы воспользуемся критерием неустойчивости, получен-ным в §1.5 главы 1.

Итак, мы покажем, как определить такие периодические функцииu1(t, ε) и u2(t, ε), чтобы, во-первых, выполнялись дифференциальные ра-венства

εui(t, ε) + p(t)ui(t, ε)+

+

[q(t)− ν+

2j0(ε) + εl0

δ0

2+ (−1)iϕi(t, ε)

]ui(t, ε) = 0, (9.10.3)

в которых ϕi(t, ε) 6≡ 0 (i = 1, 2) есть неотрицательные периодическиефункции, а во-вторых, чтобы каждая из функций u1(t, ε) и u2(t, ε)имела ровно 2j0 нулей на любом таком отрезке [α1(ε), α1(ε) + T ] и[α2(ε), α2(ε) + T ] соответственно, что u1(α1(ε), ε) 6= 0 и u2(α2(ε), ε) 6= 0.При этом мы воспользуемся некоторыми построениями, приведенными в§9.7, §9.8 и §9.9.

Положимu1(t, ε) = x0(t, ε), u2(t, ε) = x0(t, ε),

где функции x0(t, ε) и x0(t, ε) определены в §9.8 и §9.9. Тогда, очевидно,выполняются равенства (9.10.3), в которых функции ϕi(t, ε) таковы:

ϕ1(t, ε) = ν+2j0

(ε)− ν+2j0

(ε) + εl0δ0

2+ q(t)− ψ0(t, ε)−

−1

2p0(t)− 1

4εp2

0(t) + [p(t)− p0(t)]

[u0(t, ε)− 1

2εp0(t)

], (9.10.4)

ϕ2(t, ε) = ν+2j0

(ε)− ν+2j0+1(ε)−

3

4εl0δ0 + ϕ0(t, ε). (9.10.5)

В формулах (9.10.4) и (9.10.5) использованы обозначения, подобные тем,которые применялись в §§9.7-9.9. Детальнее мы на этом останавливать-ся не будем. Для доказательства положительности при всех достаточно


§ 9.10. Завершение доказательств теорем . . . 207

малых ε функций ϕ1(t, ε) и ϕ2(t, ε) заметим, что имеют место соотноше-ния

ν+2j0

(ε)− ν+2j0

(ε) = O(ε∞),

[p(t)− p0(t)]

[u0(t, ε)− 1

2εp0(t)

]+ q(t)−

−1

2p0(t)− 1

4εp2

0(t)− ψ0(t, ε) ≥ 0,

ν+2j0

(ε)− ν2j0+1(ε)− εl0δ0 = O(εl0), ϕ0(t, ε) ≥ 0,

полученные ранее.Отметим, что в случае несовпадения асимптотических рядов для соб-

ственных значений ν−2j0−1(ε) и ν−2j0(ε) антипериодической краевой задачи

доказательство теоремы 9.5.2 проводится аналогично, и поэтому мы егоприводить не будем.

Как следствие трех теорем – 9.5.1, 9.5.2 и 1.5.2 – получаем обос-нование критерия устойчивости, содержащегося в теореме 9.5.3. Первоеутверждение теоремы 9.5.5, а с ним и теорема 9.5.6, также являютсянепосредственным следствием теорем 9.5.1, 9.5.2 и результатов, полу-ченных в предыдущих главах. Второе утверждение теоремы 9.5.5, в своюочередь, вытекает из утверждений теорем 1.5.2 и 9.1.3. Таким образом,нам осталось доказать лишь теорему 9.5.4, причем достаточно ограни-читься случаем, когда

limε→0

ν+1 (ε) = ν0.

Отсюда можно сделать вывод о справедливости неравенства

limε→0

h1(ε) ≥ ν0.

Доказательство наличия равенства (9.5.10) для h1(ε) можно провести спомощью построения, как мы уже делали, „пробной“ функции. При этомиспользуются примерно те же соображения, что и приведенные в §9.7.Детально на этом мы останавливаться не будем.

В заключение отметим, что развитую в двух предыдущих параграфахтеорию можно обобщить на более общий класс уравнений

εx + p(t, ε)x + q(t, ε)x = λr(t, ε)x,

где периодические по t функции разлагаются в асимптотические ряды поε при ε = 0. Пользуясь методикой, разработанной в предыдущих главах,можно изучить асимптотику собственных значений в случае наличия уфункции p(t, 0) нулей конечной кратности.


Литература

[1] Ляпунов А.М. Об одном линейном дифференциальном уравнениивторого порядка // Собр. соч. Т. 2. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956.С. 401 — 403.

[2] Ляпунов А.М. Об одном трансцендентном уравнении и о линейныхдифференциальных уравнениях второго порядка с периодическимикоэффициентами // Собр. соч. Т.2, М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956.С. 404 — 406.

[3] Смирнов В.И. Научный архив А.М.Ляпунова по вопросам устойчи-вости и теории обыкновенных дифференциальных уравнений // Тр.III Всесоюзн. матем. съезда, I. М.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 236.

[4] Коддингтон Э., Левинсон И. Теория обыкновенных дифференциаль-ных уравнений // М.: ИЛ, 1958.

[5] Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальныеуравнения с периодическими коэффициентами // М.: Наука, 1972.

[6] Колесов Ю.С. Периодические решения квазилинейных параболиче-ских уравнений второго порядка // Тр. Моск. мат. общ., 1970. Т.21. С. 103 — 134.

[7] Кащенко С.А. Асимптотика собственных значений периодическойи антипериодической краевых задач для сингулярно возмущенныхдифференциальных уравнений второго порядка с точками поворо-та // Вестник Яросл. ун-та. 1975. Вып. 13. С. 20 — 83.

[8] Титчмарш Е. Теория функций // М.: Гостехиздат, 1951.

[9] Колесов Ю.С. Об одном алгоритме исследования устойчивости ре-шений линейного дифференциального уравнения второго порядка

208


ЛИТЕРАТУРА 209

с близкими к нулевым почти периодическими коэффициентами //Вестник Яросл. ун-та., 1973. Вып. 5. С. 27.

[10] Колесов Ю.С., Кубышкин Е.П. Минимальный алгоритм исследова-ния устойчивости линейных систем // Исслед. по устойчив. и теор.колеб. Ярославль, 1977. С. 142 — 155.

[11] Чаплыгин В.Ф. Положительные периодические решения сингулярновозмущенных нелинейных дифференциальных уравнений второгопорядка // Тр. научно-исслед. ин-та математики ВГУ, 1970. Вып. 2.С. 43 — 46.

[12] Кащенко С.А. Об устойчивости почти периодической системы ли-нейных дифференциальных уравнений с малым множителем причасти производных в простейшем критическом случае // Вест. Яро-сл. ун-та, 1973. Вып. 5. С. 3 — 14.

[13] Кащенко С.А. Предельные значения собственных чисел первойкраевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциально-го уравнения второго порядка с точками поворота // Вест. Яросл.ун-та, 1974. Вып. 10. С. 3 — 39.

[14] Кащенко С.А. Асимптотика собственных чисел первой краевой за-дачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнениявторого порядка с точками поворота // Вест. Яросл. ун-та, 1974.Вып. 10. С. 40 — 64.

[15] Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию //М.: Наука, 1970.

[16] Кащенко С.А. Асимптотические законы распределения собственныхзначений периодической и антипериодической краевой задачи длядифференциальных уравнений второго порядка с точками поворо-та // Исслед. по устойч. и теории колеб. Ярославль, 1976. С. 95 —113.

[17] Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций // М.: Наука,1971.

[18] Кащенко С.А., Колесов Ю.С. Раскачивание „качелей“ при помощидвухчастотной силы // Исслед. по устойч. и теории колеб. Яро-славль, 1978. С. 19 — 25.


210 ЛИТЕРАТУРА

[19] Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений // М.:Гостехиздат, 1948.

[20] Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащихмалые параметры при производных // Математический сборник,1952. 31 (73), N 3. С. 575 — 586.

[21] Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Федорюк М.В. Асимптотические ме-тоды в теории обыкновенных дифференциальных уравнений //Ито-ги науки. Математический анализ, 1967. ВИНИТИ АН СССР. М.,1969.

[22] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения реше-ний сингулярно возмущенных уравнений // М.: Наука, 1973.

[23] Дородницын А.А. Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля // ПММ. 1947 II. С. 313 — 328.

[24] Мищенко Е.Ф., Понтрягин Л.С. Периодические решения системдифференциальных уравнений, близкие к разрывным // ДАНСССР. 1955. Т. 102, N 5. С. 889 — 891.

[25] Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике // М.:Мир, 1970.

[26] Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и погранич-ный слой для линейных дифференциальных уравнений с малымпараметром // УМН. 1957 12. N5. С. 3 — 122.

[27] Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возму-щении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженныхдифференциальных уравнений // I, УМН. 1960 15, N3. С. 3 — 80.

[28] Колесов Ю.С., Чаплыгин В.Ф. О неосцилляции решений сингуляр-но возмущенных уравнений второго порядка // ДАН СССР. 1971.Т.199, N 6. С. 1240 — 1242.

[29] Камке Е. Справочник по обыкновенным дифференциальным урав-нениям // Наука, 1965.

[30] de la Vallie-Poussin Ch. T. T. Math. Pure et Appl. // (9) 8, 1929. С.125.


ЛИТЕРАТУРА 211

[31] Кащенко С.А., Колесов Ю.С. Критерий устойчивости решений син-гулярно возмущенных уравнений второго порядка с периодически-ми коэффициентами // УМН. 1974. Т. XXIX, 4 178. С. 171 — 172.

[32] Адамов Н.В. О колебании интегралов уравнения второго порядка спериодическими коэффициентами и некоторые условия устойчиво-сти // Математический сборник. 1935. 42 124: 6. С. 651 — 668.

[33] Ендовицкий И.И. Условия устойчивости решений линейного диффе-ренциального уравнения второго порядка с периодическими коэф-фициентами // Известия высших учебных заведений. Математика.1967. N 5. С. 28 — 33.

[34] Крейн М.Г. Основные положения теории λ- зон устойчивости кано-нических систем линейных дифференциальных уравнений с пери-одическими коэффициентами // Сборник Памяти А.А. Андронова.М.: Изд-во АН СССР, М., 1955.

[35] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы // М.: На-ука, 1969.

[36] Дородницын А.А. Асимптотические законы распределения соб-ственных значений для некоторых особых видов дифференциаль-ных уравнений второго порядка // УМН. 1952. Т. 7, 6(52). С. 3 —96.


Учебное издание

Кащенко Сергей Александрович

Устойчивость уравнений второго порядкас периодическими коэффициентами

Учебное пособие

Редактор, корректор А.А. АладьеваКомпьютерный набор, верстка И.С. Кащенко

Подписано в печать 30.06.05. Формат 60×84/16. Бумага Data Copy.Усл. печ. л. 12,4. Уч.-изд. л. 11,4. Тираж 150 экз. Заказ

Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделеЯрославского государственного университета.

Отпечатано в типографии ООО „Ремдер“.г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37.

Тел. (0852) 73-35-03


566.устойчивость уравнений второго порядка с...

Documents