成都理工大学工程技术学院 1

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第三节 定积分的换元法和分部积分法

一、定积分的换元法

二、定积分的分部积分法

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定理 假设

（1） )(xf 在 ],[ ba 上连续；

（2）函数 )(tx 在 ],[ 上是单值的且有连续导数；

（3）当t在区间 ],[ 上变化时， )(tx 的值在 ],[ ba 上

变化，且 a)( 、 b)( ，

则 有 dtttfdxxfb

a

)()]([)( .

一、定积分的换元法

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a)( 、 b)( ,

)()( )]([)]([ FF

),()( aFbF

)()()( aFbFdxxfb

a )()(

.)()]([ dtttf

注意 当 时，换元公式仍成立.

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应用换元公式时应注意 :

求出 )()]([ ttf 的一个原函数 )(t 后，不必象计算不定积分那样再要把 )(t 变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入

)(t 然后相减就行了.

（ 2 ）

（ 1 ）用 )(tx 把变量x换成新变量t时，积分限也 相应的改变.

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例 1 计算 .sincos2

0

5

xdxx

令

2x ,0 t 0x ,1 t

2

0

5 sincos xdxx

0

1

5dtt1

0

6

6t

.61

解 ,cos xt ,sin xdxdt

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例 2 计算 .sinsin0

53

dxxx

解 xxxf 53 sinsin)( 23

sincos xx

0

53 sinsin dxxx

0

2

3

sincos dxxx

2

023

sincos dxxx

2

2

3

sincos dxxx

2

02

3

sinsin xdx

2

2

3

sinsin xdx

2

0

2

5

sin52

x

2

2

5

sin52

x .54

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例 3 计算 .)ln1(ln

43

e

e xxxdx

解 原式

43

)ln1(ln)(lne

e xxxd

4

3

)ln1(ln)(lne

e xxxd

43

2)ln(1

ln2

e

e x

xd

43

)lnarcsin(2e

ex .6

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例 4 计算

aadx

xax0 22)0(.

1

ax ,2

t 0x ,0 t

解 令 ,sin tax ,cos tdtadx

原式

2

0 22 )sin1(sin

cosdt

tata

ta

2

0 cossincos

dttt

t

2

0 cossinsincos

121

dttttt

20cossinln21

221

tt .4

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例 5 当 )(xf 在 ],[ aa 上连续，且有

① )(xf 为偶函数，则

a

a

adxxfdxxf

0)(2)( ；

② )(xf 为奇函数，则 a

adxxf 0)( .

证 ,)()()(0

0

a

a

a

adxxfdxxfdxxf

在0

)(a

dxxf 中令 tx ,

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0

)(a

dxxf 0

)(a

dttf ,)(0 a

dttf

① )(xf 为偶函数，则 ),()( tftf

a

a

a

adxxfdxxfdxxf

0

0)()()(

;)(20a

dttf

② )(xf 为奇函数，则 ),()( tftf

a

a

a

adxxfdxxfdxxf

0

0)()()( .0

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例 6 若 )(xf 在 ]1,0[ 上连续，证明

（1）

22

00)(cos)(sin dxxfdxxf ;

（2） 00

)(sin2

)(sin dxxfdxxxf .

由此计算

0 2cos1

sindxx

xx.

证 （ 1 ）设 tx 2 ,dtdx

0x ,2 t

2x ,0 t

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2

0)(sin dxxf

0

2 2sin dttf

2

0)(cos dttf ;)(cos2

0

dxxf

tx ,dtdx

0x , t x ,0 t

0)(sin dxxxf

0)][sin()( dttft

,)(sin)(0

dttft

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0

)(sin dxxf ,)(sin0

dxxxf

.)(sin2

)(sin00 dxxfdxxxf

0 2cos1

sindxx

xx

0 2cos1

sin2

dxx

x

0 2 )(coscos1

12

xdx

0)arctan(cos2

x

.4

2)44

(2

0

)(sin dttf

0

)(sin dtttf

0)(sin dxxxf

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设函数 )(xu 、 )(xv 在区间 ba, 上具有连续导数，则有

b

a

b

a

b

avduuvudv .

定积分的分部积分公式

推导 ,vuvuuv ,)(b

a

b

auvdxuv

, b

a

b

a

ba dxvudxvuuv

. b

a

b

a

b

avduuvudv

二、定积分的分部积分法

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例 7 计算 .arcsin21

0 xdx

21

0arcsin xdx 210arcsin xx

21

0 21 x

xdx

621 )1(

1

121 2

0 2

21

xdx

12 21021 x .1

23

12

解 令 ,arcsin xu ,dxdv

,1 2x

dxdu

,xv 则

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例 8 计算 .2cos1

4

0

xxdx

解 ,cos22cos1 2 xx

4

0 2cos1 xxdx

4

0 2cos2 x

xdx xdxtan

24

0

40tan21

xx xdxtan21 4

0

40secln21

8

x .42ln

8

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例 9 证明定积分公式

22

00cossin xdxxdxI nn

n

n

nn

nn

nnn

nn

,32

54

231

,22

143

231

为正偶数

为大于 1 的正奇数

证 设 ,sin 1 xu n ,sin xdxdv

,cossin)1( 2 xdxxndu n ,cos xv

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x2sin1 0

dxxxnxxI nnn

22

0

220

1 cossin)1(cossin

dxxndxxnI nnn 22

00

2 sin)1(sin)1(

nn InIn )1()1( 2

2

1

nn Inn

I 积分 关于下标的递推公式nI

42 23

nn Inn

I , 直到下标减到 0 或 1 为止

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,21

43

65

2232

212

02 Imm

mm

I m

,32

54

76

1222

122

112 Imm

mm

I m

),2,1( m

,2

2

00

dxI ,1sin2

01

xdxI

,22

143

65

2232

212

2

mm

mm

I m

.32

54

76

1222

122

12

mm

mm

I m

于是

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