把我们的家建设的更美丽

一元二次方程复习课

学校门口建造一个面积为 20 平方米，长比宽多 1 米的长方形喷泉，问它的宽是多少？

解： 设这个喷泉的宽为 x 米，

x

则长为（ x+1 ）米，x+1

根据题意得：

x ( x+1) = 20

即 x 2 + x - 20 = 0

x + x - 20 = 02

观察方程

③ 等号两边都是整式

① 只含有一个未知数② 未知数的最高次数是 2 次

这样的方程叫 一元二次方程

特征如下：有何特征？

(1) 2x = y 2 - 1

(3) x 2- - 3 = 02x

(4) 3z2+1 = z (2z2 - 1)

(5) x 2 = 0

结论：以上方程中 (2) 、 (5) 、 (6) 是一元二次方程(6) ( x + 2) 2 = 4

33

)2( 2 yy

请判断下列方程是否为一元二次方程：

方 程 二次项系数 一次项系数 常数项

2x2+x -3=0

x2+x = 1

x- 7x2 = 0

3y2 = 6

一元二次方程的一般形式

任何一个关于 x 一元二次方程 , 经过整理都可以化为以下形式 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)

二次项系数 一次项系数 常数项

2 1 -3

1 1 -1

-7 1 0

3 0 -6

说明：要确定一元二次方程的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。

请填写下表 :

解决问题：

建造一个面积为 20 平方米，长比宽多 1 米的长方形喷泉，问它的宽是多少？

解： 设这个喷泉的宽为 x 米，x

则长为（ x+1 ）米，

x+1

根据题意得：

x ( x+1) = 20

即 x 2 + x - 20 = 0

解得 : 5,4 21 xx

答 : 这个长方形的喷泉的宽为 4 米。

经检验， 不符合题意，舍去。52 x

一元二次方程的解法

1. 因式分解法。

2. 开平方法。

3. 配方法。

4. 公式法

）或，则若 000( BABA

的形式或（化成 baxax 22 )

1. 把二次项 , 一次项移到等号左边 , 常数项移到等号右边。2. 两边同加上一次项系数一半的平方。

a

acbbxacb

2

4,04

22

若

则方程无实数根若 ,042 acb

用适当的方法解下列方程

062 xx（ 1）

16)13( 2 x（ 2）

03322 xx（ 3）

（ 4）

014 2 xx （配方法）

在实验楼后一块长 32 米 , 宽 20 米的长方形空地上 ,计划修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草坪，请你在这块空地上设计一个方案 , 要求草坪面积为 540m2 ，并求出方案中道路的宽为多少米？

20

32

分析：利用“图形经过平移”，它的面积大小不会改变的道理，把纵横两条路平移一下

540)20)(32( xx)32( x

答：道路宽为 2 米。

)20( x

32

20

解：设道路的宽为 米，根据题意得，x

0100522 xx化简，得

解得 1 ＝ 2 ， 2 ＝ 50x x

要求草坪面积为 540平方米，并求出方案中道路的宽为多少米？

经检验， 不符合题意，舍去。502 x

32

20

答：道路宽为 1 米。

解：设道路宽为 x 米 , 则草坪的长为

540)220)(232( хх

解得 11 х 252 х

XXX

X

(32-2x) 米，宽为（ 20-2x) 米，根据题意得：

要求草坪面积为 540平方米，并求出方案中道路的宽为多少米？

经检验， 不符合题意，舍去。252 x

问题 : 从 2006 年初到现在 , 木材的价格提高了 44% ,若每一年比前一年提高的这个百分比相同 , 求这个百分数 ?

解：设这个百分数为 X ，根据题意得：

44.1)1( 2 x

解得：

学校要建一个长方形的实验基地，基地的一边靠墙 , 另三边用长 40 米的木栏围成。到木材店买木材 , 老板说只要我们能帮他解决一个问题 , 他就给我们打个折。

2.2,2.0 21 xx

答：这个百分比为 20%

经检验， 不符合题意，舍去。2.22 x

长方形的实验基地，基地的一边靠墙，另三边用长度为 40 米的木栏围成。

（ 1 ）要使基地的面积达到 150 平方米，则这个长方形基地的两边长分别为多少？

XX

40-2X

解：设长方形的一边为 X 米，则另一边为（ 40-2X ）米，根据题意得：

150)240( xx

经检验， 都符合题意。15,5 21 xx

解得： 15,5 21 xx

答：长方形基地的两边分别为 5 米， 30 米或 15 米， 10 米。

长方形的实验基地，基地的一边靠墙，另三边用长度为 40m 的木栏围成。

（ 2 ）基地的面积能达到 250 平方米吗？为什么？（通过计算说明）

XX

40-2X

解：设长方形的一边为 X 米，则另一边为（ 40-2X ）米，根据题意得：

250)240( xx

0125202 xx化简得：

10012514)20(4 22 acb

所以方程无实数根 , 即长方形基地的面积不能达到 250 。

长方形的实验基地，基地的一边靠墙，另三边用长为 40m 的木栏围成。

（ 3 ）基地的面积最大能达到多少平方米？

XX

40-2X

解：设长方形的一边为 X 米，则另一边为（ 40-2X ）米，根据题意得：

)240( xx

200)10(2

)10010020(2

)20(2

402

2

2

2

2

x

xx

xx

xx原式 =

所以当 X=10 米时，长方形的最大面积为 200 平方米。

？

小结：

这节课你有哪些收获？

作业：作业本（一）复习题

1. 关于 y 的一元二次方程 2y(y-3)= -4 的一般形式是 _________ , 它的二次项系数是 _____, 一次项是 _____,

2. 已知方程 的一个根是 - 1 ，则 k= , 另一根为______

2y2-6y+4=0

2 -6y

4x=-3

32 kxx