Fuh-cheng Jong

第壹章基本電子學

Reference Book ： • Microelectronic Circuits by Adel S.Sedra and Kenneth C. Smith• Microelectronics by Jacob Millman• Semiconductor Devices Physics and Technology by S. M. Sze• Introductory Electromagnetics by Zoya Popović ， Branko D. Pop

ović

Fuh-cheng Jong

矽半導體的重要參數與觀念• 電子的帶電量為 1.6×10-19 庫倫，電子的質量則是 9 ×10-31 公斤。• 一個電子帶有一伏特的位能，稱為一個電子伏特，相當於： qV ＝ 1.6×10-19 焦耳（ Joule ） ＝ 1 電子伏特（ 1eV ）• 在 300 。 K 下的矽半導體中的電子遷移率（ electrons mobility ）為 1450cm2/ V-s ，電洞遷移率（ holes mobility ）為 450cm2/V-s 。• 電洞與電子的帶電量相反，但質量卻不相同，這是因為電子或電洞都是電子 的波函數，電子的波函數導出的質量是正的，但電洞的質量經導出的電子波 函數算出來卻是負的，簡單的說，若加相同的電場，電子會被吸引，但是電 洞卻會被排斥。• 矽的介電係數（ Dielectric Constant ）為 12 。• 一安培的電流就是一秒鐘內，一個庫倫電子的流動（ Q ＝ I×t ），所以1pA （ 10-12A ）的電流相當於一秒鐘內有六百萬個電子流動著。• 由於矽半導體相臨的每一對原子都共享著兩個電子，這種結構被稱為共價鍵 （ Covalent Bond ），而且，由於矽鍺都是四價元素，其晶體結構與鑽石的結 構十分類似（如下圖）。

Fuh-cheng Jong鑽石晶格結構的矽

Fuh-cheng Jong矽原子彼此共同分享對方的一個電子而形成的共價鍵

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電場、電位電場：一個單位正電荷，在一個具有電力作用的範圍內所受的力 f （牛頓）， 即是電場在該處的強度 E 。

電位：一點 B 對另一點 A 的電位 V （伏特）是將一個單位電荷從 A 點移動到 B 點 所需要的能量（所作的功）。

所以

負號表示電場的方向是從高電位指向低電場。依據位能的定義：

U （位能）＝ qV （ q 指電洞，若為電子，需再乘上負號）

dt

dvmqEf

x

dxVx0Ε

dx

dVE

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＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

＋

自由電子

原子核

金屬內的電子，有如氣體般的可以四處到處遊晃，因此稱為自由電子

金屬電子的模型

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無外力作用的電子在晶體內運動模型y

x

當無外加電場時，電子有如氣體般的可以隨機四處到處遊晃，經過碰撞到附近晶格原子或其它的電子而反彈，經過一段時間，電子所走的平均路徑為零，這就是為甚麼無外加電場的導體將不會有電流流出的原因。

XX

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V （速度）

t （時間）

外加電場影響下的電子在晶體中的速度將隨著時間的增加而增加，但在每次的碰撞到晶格後的速度就被降低為零，隨後又被外加的電場吸引而又加速，再被碰撞而減低了速度，如此週而復始，直到電子到達電極的另一端為止。

電子在晶體內被電場加速運動的模型

減速

加速

碰撞

Question ：為何每一次斜率（加速度）都相同？

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外力作用下的電子在晶體的運動模型

當有外加電場時，電子仍有如氣體般的四處到處遊晃，但整體而言，仍然大致遵循著電場方向運動。雖然運動期間碰撞到附近晶格原子或其它的電子而反彈，但電子的加速方向還是以沿著電場方向為主，所以經過一段時間後，電子所走的平均路徑為就不為零。

y

x

XX

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電子的加速度、漂移速度與擴散速度• 電子在第一次碰撞之前的速度從零加速到第二次碰撞前，速度從零增加到 v ， 速度變化率等於： v － 0 ＝ v 經過了 t 時間，所以所增加的速度等於加速度乘上時間： v=a × t 由於有加速度代表電子有受到外加的力作用，在此意謂著受到電場 E 而產生 的加速度等於： f ＝ q×E a ＝ ，m 表電子質量，等於 9×10-31 （ Kg ）

fm

＝ E （表電子遷移率，單位為 ㎝ 2/v-sec ） t ：表示電子平均兩次碰撞所花的時間

起始速度

經由電場的影響，造成電子的運動的 V 被稱為漂移（ drift ）速度

Emqt

v

mqt

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電子的加速度、漂移速度與擴散速度擴散（ Diffusion ）的意思是指物質（在此是指半導體內的電荷）會從高濃度往低濃度方向流動，金屬內部都充斥著自由電子，所以並沒有分高濃渡電子區或低濃渡電子區，所以金屬並沒有所謂的擴散電流。

在右圖中，電洞的濃度 p 隨著半導體內部的距離 x 而變化，所以會有一個濃度的梯度變化 dp / dx 。因此梯度不為零表示有不同的濃度變化！當溫度越高，這種擴散的情形會越嚴重，直覺上知道從高濃度往低濃度方向的梯度變化會比從低濃度往高濃度方向的梯度變化大，這種淨遷移率的變化是一種統計的現象，而不是同性電荷彼此互相排斥所造成的現象。

x

p(x)

濃度變化

p(0) p(x)

x=0 x

Jp

dx

dpqDJ pP

Dp （ m2/sec ）：電洞擴散常數

因為 p 隨 x 增加而降低，所以梯度為負的，因此必需要有負號，這樣才能讓 Jp 在正 x 軸的方向為正的值，同理，電子也有類似的情形，所以要把負號拿掉！

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總電流密度Dp=pVT

Dn=nVT

愛因斯坦關係式，

T 為絕對溫度，因此室溫下為 27 ℃ 相當於 300 。 K ，因此 VT ＝ 0.026v ，

。。。。。電洞電流

。。。。。電子電流

請注意正負號

qkT

VT

11600

T

dx

dnqDEpquJ

dx

dpqDEpquJ

nnn

ppp

L

Nqv

T

NqI v

T

L LA

Nqv

A

IJ

LA

Nn

vnqvJ

Fuh-cheng Jong或者 氣體動力的波滋曼理論2

121 p

pVV T ln TV

V

epp21

21

有能階的半導體電位變化p type n type

Vo

n a nd

x1 x2

v1 v2

• p （ x ）表示不同濃度的施體雜質當電流密度 J 為零時，而 Dn ＝ nVT

，

x1 x2

• Na 與 Nd 表示不同的雜質，所以在不同 的雜質邊界地形成 p － n接面，接面處有 V0 的接觸電位。

dxdp

pV

E TdxdV

E pdp

VdV T

p1 p2

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步階式接面電位變化• 步階接面的定義：如右圖的 p － n接面，右邊 的摻雜濃度遠大於左邊的摻雜濃度，這種摻 法叫做步階式接面。• 接觸電位：上一頁投影片圖的右手邊圖就是 一個 p － n接面，接面兩端的電位差就叫做接 觸電位。

p n

Nd

Na－ Wp

Wn

x

xE

V （ x ）

（ pp0 表示是 p型半導體內的電洞濃度）（ pn0 表示是 n型半導體內的電洞濃度）

由於施體濃度 Nd 大約等於 n型矽中的電子，受體濃度 Na 大約等於 p型矽中的電洞，所以接觸電位可以透過數學換算得到 V0

20

0

02

01

00

i

daT

ap

n

p

pT

nNN

VV

Np

pp

pp

0npp

VV

ln

ln

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J ＝ nqv ＝ nqnE ＝ E ＝ nqn

是傳導率，單位為姆歐（ ）

L

I ＝ JA ＝ E 歐姆定理

例：一條 2 公分長的矽棒截面積為 2×2毫米的正方形。已知矽棒的阻值是 125 ，已知矽 棒的電流主要都是由電子產生的，假設電子遷移率為 1300 ，矽棒的兩端電壓為 1v ， 求自由電子濃度與漂移率。（ sol） Area of silicon is 0.2×0.2㎝ 2 ，＝（ 125×0.04÷2 ）－ 1 ＝ n q n ＝ n×1.6×10 － 19×1300 n ＝ 1.9×1015 （ / ㎝ 3 ）。 v ＝ nE ＝ 1300× ＝ 1300×0.5 ＝ 650 （㎝ /sec ）

RV

LAV

LAL

AL

R

lv

n Electrons

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當價鍵斷裂後會把電子與電洞釋放出來

矽元素內的電子的模型

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本質（ Intrinsic ）半導體的電子與電洞• 當物質的溫度大於絕對 0 度時，晶體的價鍵因獲得能量而開始有擾動的現象， 造成部份的價鍵斷裂，而釋放出電子電洞，因而有導電的現象。• 當斷裂放出的電子越多，導電性就越好，因此理想上，半導體的導電電子電洞 對數目隨溫度增加而增加。• 目前常用的半導體有四族的矽（ Si ）、鍺（ Ge ），其它的半導體多為合成類的 ，如砷化鎵、銦化 鎵、矽鍺半導体等。• 由於無摻雜任何雜質的本質半導體的電子數與電洞數都是因為溫度的原因而造 成的，由於每一個價鏈的斷裂都將產生一對電子電洞，換言之，理想的本質 半導體內的電子電洞對應該相等，也就是：

• 由於熱擾動造成更多的電子電洞產生，但也造成電子電洞的復合，因此也同時 減少了一對電子電洞。

ni ＝ n ＝ p

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+5As

多出的電洞

+3B

施體（ Donor ）與受體（ Acceptor ）的電子電洞

多出的電子

• 三價的元素（例如硼） ，比四價的矽鍺半導體少一個電子，因此一旦摻雜到矽半導體內，相當於 提供了一個電洞，或者說是減少了一個電子，這種提供電洞的行為，故稱為受體，或者說是 p 型 雜質。• 五價的元素（例如磷） ，比四價的矽鍺半導體多一個電子，因此一旦摻雜到矽半導體內，相當於 提供了一個電子，或者說是減少了一個電洞，這種提供電子的行為，故稱為施體，或者說是 n 型 雜質。

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雜質的改變半導體阻質• 當本質半導體摻雜了 n型（ p型）雜質後，不僅電子數目會增加，而且也因為電 子數目增加，使得電子與電洞復合的機率提高了。摻雜後的電子電洞數目與本 質半導體的電子電洞數目有所謂的質量－作用定理： np ＝ ni

2

• 將本質半導體摻雜了雜質後，不但可以改變半導體的阻值，也可以改變或決定 半導體內的主要傳導載子，在 n型半導體的主要傳導載子是電子，在 p型半導體 的主要傳導載子是電洞，也就是說，在 n型半導體的少數載子是電洞，在 p型半 導體的少數載子是電子。• 由於理想上的施體原子都被離子化了，因此每立方公分都會貢獻與施體原子數 目相同的正電荷，也就是 Nd 個正電荷，正電荷的總密度性等於 Nd ＋ p ，同樣的 ，對於受體原子也會有類似的效果，就是負電荷的總密度等於 Na ＋ n ，由於半 導體的電性是中性的，所以： Nd ＋ p ＝ Na ＋ n

例：室溫下的一根無摻雜質的矽棒材料，摻維硼原子 1014/㎝ 3 ，以及 7×1013 /㎝ 3 的磷原子， 己知本質矽棒的阻值是 60 （），求摻雜後的矽棒阻值。（ sol） A ： Area ， L ： Length silicon electrons mobility ＝ 1450 ， holes mobility ＝ 450 ， ∵ ＝ 1/60 ＝ 1.45×1010× （ 1450+450 ） ×1.6×10 － 19×A/L ， A/L ＝ 3781

n ＋ Na ＝ p ＋ Nd n ＋ 1014 ＝ p+7×1013

np ＝ ni2 np ＝ 2.1×1020 （ ∵ ni ＝ 1.45×1010 ）

p ＝ 3×1013 ， n 7×106 ， R ＝ 1/ （（ nqn+pqp ） × A/L ） ＝ 0.122 （）

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結論：由於矽的原子密度是 5.02×1022 ，所以以上面的例題為例，摻雜的硼原子是每一立方公分有1014 個，若與矽原子相比，幾乎是每五億個矽原子才分到一個硼原子而已，若以人口來作比喻，全世界有四十億人口，但也不過才只有八個硼原子而已，但電阻卻從原來的 60 降到 0.122 ，整整差了快 500倍。

解二：（ sol） Nd － Na ＝ 3×1013

p ni （ 1.45×1010 ） np ＝ ni

2 np ＝ 2.1×1020 （ ni ＝ 1.45×1010 ）， n ＝ 7×106

A ： Area ， L ： Length silicon electrons mobility ＝ 1450 ， holes mobility ＝ 450 ， ＝ 1/60 ＝ 1.45×1010× （ 1450+450 ） ×1.6×10 － 19×A/L ， A/L ＝ 3781 p n R ＝ 1/ （ pqp× A/L ） ＝ 0.122 （）

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霍爾效應（ Hall Effect ）

A×B=C

A ：右手食指中指無名指的方向B ：右手手掌掌心方向C ：大姆指的方向× ：唸成 cross ，中文翻譯成外積

外積是向量的一部份，在電子工程應用上，經常被用來計算電磁學的現象，例如電磁波中的電與磁的關係、 Hall effect 表示電荷運動的方向等狀況。

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B

F 表示電荷的受力方向q 表示電荷，電子為負號，電洞為正號 V 表示電子的運動方向B 表示磁場考慮下列的狀況：電洞沿著矽棒方向流動（電流為 I ），有一磁場 B，根據勞倫司定理，電荷受力的方向為 qV×B，所以 F 的方向是右的方向（上圖）。若電荷是電子的話，由於 q 是負值，所以算出來的 F 將會往右邊的方向（下圖），不過由於 q 的正負而造成矽棒兩邊的電壓可能是正或者是負。

根據勞倫司公式： F＝ qV×BB霍爾效應（ Hall Effect ）

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霍爾效應（續）

n ＝ BIVhq

透過霍爾定理，可以量測到待測物的雜質濃度

B

電荷被磁場推到待測的半導體表面，於是產生霍爾 電壓 Vh ，由於霍爾電壓造成待測半導體上下兩邊表面產生電場（ Vh ＝ qE ），也就是：F＝ qV×B ＝ q E Vh ＝ Ed ＝ BV d ＝ ＝

BJd BI

J 表示電流密度d 表示矽棒的厚度 表示矽棒的寬度 表示電荷密度，也就是 nq