数理与信息工程学院

主讲：徐秀斌

xxu@zjnu.cn

0579-82298890( 办 )

第一章 绪论

第二章　方程求根

第三章　线性方程组的解法

第四章　插值方法

第五章　数值积分

第六章　常微分方程的数值解

本课程的主要内容

§1.1 计算方法概论

第一章 : 　绪论

计算方法／数值算法： 利用计算机求解数学问题近似解的方法。

步骤：

实际问题　　建立数学模型　　提供计算方法

设计程序　　上机计算　　获取近似结果

数值算法的要求 :1. 仿真性：模型尽可能仿真实际问题 ;

操作性差的例子： 求解 20 阶线性方程组，用 Cramer 法则要用 次乘法运算 , 用每秒 1 亿次的计算机计算 , 大约需算 30 多万

年 ; 但用消元法只须 3000 次乘法运算，只要几秒钟。

209.7 10

2. 可操作性：程序简单、计算时间较少、计算机容易实现 ;2. 可操作性：程序简单、计算时间较少、计算机容易实现 ;

3. 实用性：近似解满足精度要求。3. 实用性：近似解满足精度要求。

11 nn InI公式一：......210

1 1

0,,,n,dxex

eI xn

n ( 不实用的例子 )：计算

注意此公式精确成立

6321205601

11 1

00 .e

dxee

I x 记为 *

0I

8000 1050 .IIE则初始误差

1

1

1

111 11

0

01

0

n

I)e(n

dxexe

Idxexe n

nn

n

39141423151

95942494141

22764807131

632896000121

030592000111

088128000101

............36787944011

1415

*13

*14

*12

*13

*11

*12

*10

*11

*9

*10

*0

*1

.II

.II

.II

.II

.II

.II

.II

?

??

? !

! !

怎么回事 ?!

考察第 n步的误差 nE

|)1()1(||||| *11

* nnnnn nInIIIE ||! 01 En||En n

我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法。

)1(1

1 11 nnnn In

IInI 公式二：

注意此公式与公式一在理论上等价。

方法：先估计一个 IN , 再反推要求的 In ( n << N ) 。

1

1

)1(

1

NI

Ne N

NN INNe

I

1

1

)1(

1

2

1*可取

0* NNN IIEN ,时当

迅速积累，误差呈递增走势。可见初始的小扰动 80 1050|| .E

632120560)1(

1

1

367879440)1(2

1

0838771150)1(11

1

0773517320)1(12

1

0717792140)1(13

1

0668702200)1(14

1

0638169180)1(15

1

042746233016

1

16

1

2

1

*1

*0

*2

*1

*11

*10

*12

*11

*13

*12

*14

*13

*15

*14

*15

.II

.II

.II

.II

.II

.II

.II

.e

I

取 我们仅仅是幸运吗 ?

考察反推一步的误差：

||1

)1(1

)1(1

|| *1 NNNN E

NI

NI

NE

以此类推，对 n < N 有：1 1

| | | | | |1 ( 1) ... ( 1)n n+1 NE E E

n N N n

误差逐步递减 , 这样的算法称为稳定的算法。

在我们今后的讨论中，误差将不可回避，

算法的稳定性会是一个非常重要的话题。