世紀帝國攻略世紀帝國攻略

費馬點的應用費馬點的應用組員組員 :: 石國廷、溫偉翔、羅文亨、張普肇石國廷、溫偉翔、羅文亨、張普肇

研究動機 在我們小學的時候， Microsoft 出了一

款戰略遊戲，當時不管是小孩、壯年人、老人，都在玩這款遊戲。這次我們各個組員，會一起做科展，也是因為這款遊戲。我們組員有一個共同的特點，那就是在我們小時候都玩過世紀帝國。我們常討論如何在這款遊戲裡，克敵制勝，我們也常常一起組隊跟別人對戰。

動機動機 這款遊戲裡，決勝的關鍵有技術、資源這兩種。資源這款遊戲裡，決勝的關鍵有技術、資源這兩種。資源

是很重要的，所 是很重要的，所 以我們一直在想，當有三個礦坑時，礦場要蓋在哪以我們一直在想，當有三個礦坑時，礦場要蓋在哪

裡，與各礦坑的距離裡，與各礦坑的距離 才會最短，以縮短資源運送的距離。俗話說才會最短，以縮短資源運送的距離。俗話說 :: 「時「時

間就是金錢」，只要時間就是金錢」，只要時 間每多一分，勝利的機會也多一分。間每多一分，勝利的機會也多一分。 隨著我們的數學知識越來越高，我們就越來越相信隨著我們的數學知識越來越高，我們就越來越相信

這一點有特定的名詞這一點有特定的名詞 後來我們問老師才發現這就是費馬點。後來我們問老師才發現這就是費馬點。

研究目的 在三角形中的一點，與三角形三個頂點連

線，當三條線相加距離最短時，該點即為費馬點。當初定義費馬點時，就只限於三角形而已。我們希望可以將這個理念推廣到 n 邊形，且 n 大於等於三。

研究設備及器材 電腦、 GSP 軟體。

費馬點定義費馬點定義

在三角形中的一點，與三在三角形中的一點，與三角形三個頂點連線，當三角形三個頂點連線，當三條線相加距離最短時，該條線相加距離最短時，該點即為費馬點。點即為費馬點。

步驟步驟 11畫一個任意三角形，點一點 D點，設他為費馬點。

步驟步驟 22

以 A 為旋轉點，旋轉60度

D

B'

C'

D'

A

B

C

步驟步驟 33 連 D 跟 D’、連C 跟 C’因為AB與 AB’ 差60度，所以三角形 PAP’會是正三角形， DC=D’C ，Ad=DD’ 。因為 AD+BD+CD要最短，所以當 BD+DD’+D’C為直線時， D點為費馬點。

D

B'

C'

D'

A

BC

步驟步驟 44再另一邊以相同方式重複步驟 1 、 2 、 3 ，因 ACC’ 跟ABB’為正三角形，所以 CB’跟 C’B 連線的交點，即為費馬點。

D

D'

C'

B'

B'

C'

D'

A

BC

完成圖完成圖

P 點即為費馬點

P

E F

A

BC

延伸延伸因為金礦不可能只有三個，通因為金礦不可能只有三個，通常都是四個五個，甚至是六個，常都是四個五個，甚至是六個，所以我們就想看看四、五、六所以我們就想看看四、五、六邊形，有沒有費馬點。邊形，有沒有費馬點。

四邊形四邊形重複三角形的步驟，設 P 點為費馬點，但我們必須保證她是四段距離相加最短，所以我們利用三角形的特性，任意兩邊和大於第三邊。

A

B

DC

P

四邊形四邊形 (2)(2)我們把四邊形的對角線連起來，對任意 P點，在 ABCD中，由三角不等式，恆有線段PB+PC≧線段 BC→P在線段 BC上，線段PA+PD≧線段 AC→P在線段 AD上，線段PA+PB+PC+PD≧AD+BC ，當等號成立時， P為線段 AD、 BC的交點。

P'

A

B

DC

P

完成圖完成圖四邊形的費馬點就是對角線相交的交點。

P

A

B

DC

六邊形的費馬點六邊形的費馬點

F

A

E D

C

B

P

在 ABCDEF六邊形中，設 P 點為費馬點，也就是說，線段PA+PB+PC+PD+PE+PF 為最短距離。

六邊形的費馬點六邊形的費馬點 把對角線相連，把對角線相連，會出現一個三會出現一個三角形，設角形，設 PP 點點為費馬點，則為費馬點，則PP 點必在點必在 MNOMNO三角形內三角形內。。

O

MNF

A

E D

C

B

P

六邊形的費馬點六邊形的費馬點

O

MNF

A

E D

C

B

P

六邊形費馬點六邊形費馬點 把六邊形的三個把六邊形的三個對角線連起來，對角線連起來，而三個對角線會而三個對角線會連成一個三角形，連成一個三角形，而把那個三角形而把那個三角形求出費馬點，而求出費馬點，而那個費馬點，即那個費馬點，即是六邊形的費馬是六邊形的費馬點。點。

P

A B

C

D

F

E

研究結果 1. 三角形的費馬點：三角形 ABC ，任意兩邊

做正三角形 ABD、 ACE ，線段 EB、DC 的交點即為三角形的費馬點。 2. 四邊形的費馬點：四邊形 ABCD ，對角線相

連的交點，即為四邊形的費馬點。 3. 六邊形的費馬點：六邊形 ABCDEF ，對角

線相連，出現三角形 OPQ ，做三角形 OPQ 的費馬點，該點即為六邊形 ABCDEF 的費馬點

討論討論 以上敘述有關費馬點的方法，只是檢驗一以上敘述有關費馬點的方法，只是檢驗一

點是否為費馬點的檢測方法而已，但是，點是否為費馬點的檢測方法而已，但是，是否有一個證明方法，能利用不設點的方是否有一個證明方法，能利用不設點的方法，立刻證明費馬點，在網路上已有用正法，立刻證明費馬點，在網路上已有用正三角形和做外接圓的求證方法，希望我們三角形和做外接圓的求證方法，希望我們能自己想想看，有沒有新的方法證明，並能自己想想看，有沒有新的方法證明，並且推廣至五邊形，七邊形。且推廣至五邊形，七邊形。

討論討論 而且現在費馬點的運用是非常的廣泛的， 而且現在費馬點的運用是非常的廣泛的，

無論是運用在科技產業，或是建築方面， 無論是運用在科技產業，或是建築方面， 例如例如 :: 捷運站或公車的分布站的分布捷運站或公車的分布站的分布 ,, 都是都是利用費馬點的特色、優點，尤其現在世界利用費馬點的特色、優點，尤其現在世界上許多國家都講究省能源，利用費馬點，上許多國家都講究省能源，利用費馬點，在各頂點之間最短的距離，做任何事情，在各頂點之間最短的距離，做任何事情，都可以達到減少能源使用的目的。都可以達到減少能源使用的目的。

結論結論 我們學習到作三角形費馬點的方法，在做我們學習到作三角形費馬點的方法，在做

的過程中，我們也從中學到很多東西，可的過程中，我們也從中學到很多東西，可說是獲益良多。像使用說是獲益良多。像使用 GSPGSP ，以及很多幾，以及很多幾何的概念、定理。我們自己有從中延伸出何的概念、定理。我們自己有從中延伸出四、六、八邊形的費馬點的作法。我們做四、六、八邊形的費馬點的作法。我們做不出奇數邊形的費馬點，我們討論出其原不出奇數邊形的費馬點，我們討論出其原因可能是對角線會形成兩個圖形，但我們因可能是對角線會形成兩個圖形，但我們會持續研究。會持續研究。

心得 一開始聽說要做科展，大家都覺得很累人

，我們選擇了數學組，但開始做了之後，才發現有些東西其實很有趣，例如 : 我們這次作費馬點，第一次聽到這個名詞還覺得很陌生，所以我們覺得很興奮，因為我們從以前到現在從來沒有聽過有關費馬的東西，聽到了費馬點的定義，我們大家都很開心，因為費馬點的定義是三角形中有一點到各頂點中的合為最短距離。

心得 現在的社會變遷中，有很多見設，都需要

運用這個原理來選擇建造地點，例如捷運、市場、超商，我們以為這個東西在網路上很好找到，但是噩夢卻來了，在網路中，費馬點的資料簡直少之又少，非常匱乏，就連友科學寶庫之稱的維基百科也只有半面的資料而已，於是我們只能利用 GSP電腦做圖來找出費馬點的位置。

心得 在這次的科展中，我們學到了很多有關於

費瑪點的東西，以及很多的數學公式，讓我們對數學更有興趣。雖然在做的過程中，我們遇到了許多困難，但是經過大家的思考以及老師的指導，還有現代網路文明的發達，可以讓我們一一克服各種問題，得以完成這個報告。