专题四　规律性探索题

专题四┃ 规律性探索题

规律性探索问题是指给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或者给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、探究、猜想，确定其中蕴含的规律，进而归纳出一般性规律，并加以运用．预计 2014 年仍会出现考查此类问题的试题．


一、数字变化型

例 1 [2012·汕头] 观察下列等式：

第 1个等式：a1＝1

1× 3＝

12×

1－

13；


3× 5＝

12×

1

3－15；


5× 7＝

12×

1

5－17；


7× 9＝

12×

1

7－19；

…


请回答下列问题： (1)按以上规律列出第 5 个等式：a5＝________＝

________； (2)用含 n 的代数式表示第 n 个等式：an＝________＝

________(n为正整数)； (3)求 a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．


(1)1

9× 11

12×

1

9－111

(2)1

（2n－1）×（2n＋1） 12×

1

2n－1－

12n＋1

(3)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100

＝12× 1－

13＋

13－

15＋

15－

17＋…＋

1197－

1199＋

1199－

1201

＝12×

1－

1201 ＝

12×

200201＝

100201.

解


【点拨交流】 (1)观察已知的 4个等式，你发现这 4个等式有什么规

律？ (2)你能写出第 5个等式吗？ (3)根据这个特例，你能写出这些等式的一般形式吗？ (4)你能运用上述规律解答问题吗？ (5)本题体现了怎样的数学思想方法？


(1)每个等式可写成分数的形式，分数的分子是 1，分母是连续

奇数的乘积；也可以写成两个分数的乘积，其中一个因数是12，另一个因数是

两个分数的差，且分母与前面的分母对应一致．

(2)根据前面 4个等式的排列规律，第 5个等式为 a5＝1

9× 11＝

12×

1

9－111 .

(3)采用由特殊到一般的思想，可得 an＝1

（2n－1）×（2n＋1）＝

12

1

2n－1－

12n＋1 (n为正整数)．

(4)把 a1，a2，a3，…，an 写成分数的差的形式，提取12后，采用互为相反

数相加的方法求解．

(5)从特殊到一般、逆用乘法分配律．

解


二、数式与图形的结合

例 2 [2013·安徽] 我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图 X4－1(1)所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有 7 个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图(2)、图(3)…….

图 X4－1


(1)观察以上图形并完成下表：

图形名称基本图的个数特征点的个数图(1) 1 7 图(2) 2 12 图(3) 3 17 图(4) 4 … … …

猜想：在图(n)中，特征点的个数为________(用含 n的式子表示)；


(2)如图 X4－2，将图(n)放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心 O1的坐标为(x1，2)，则 x1＝________；图(2013)的对称中心的横坐标为________．

图 X4－2


(1)22 5n＋2

(2)正六边形的边长是 2，所以边心距为 3，即 x1＝ 3；图(2)

的对称中心在正六边形的一边上，横坐标为 2 3；图(3)的

对称中心是正中间的正六边形的中心，横坐标为 3 3，…，

以此类推，图(2013)的对称中心的横坐标为 2013 3.

解


【点拨交流】 (1)观察图(1)、图(2)、图(3)，你能发现什么规律吗？ (2)你能写出图(4)中特征点的个数吗？ (3)根据特例，你能写出在图(n)中特征点的个数吗？ (4)图(1)是中心对称图形吗？它的对称中心的横坐标是

多少？ (5)图(2)、图(3)、图(4)的对称中心的横坐标有什么规律？

依此规律，你能写出图(2013)的横坐标吗？


(1)每个图形比上一个图形的特征点的个数多 5. (2)图(4)中特征点的个数比图(3)中多 5 个，因此图(4)中

特征点的个数是 17＋5＝22(个)． (3)根据特例得出的规律，并依此规律，得图(n)中有(5n

＋2)个特征点． (4)图(1)是中心对称图形，根据正六边形的有关计算，图

(1)的对称中心的横坐标是 3.

(5)图(2)的对称中心的横坐标是 2 3，图(3)的对称中心

的横坐标是 3 3，图(4)的对称中心的横坐标是 4 3，…，

依此规律，图(2013)的对称中心的横坐标是 2013 3.

解


【方法总结】

特例→归纳基础

↓

归纳概括→在特例基础上、观察、抽象、概括

↓

猜想→得出一般性结论

↓

类似的方法写出点的坐标

专题四 规律性探索题

Documents

专题四　规律性探索题