展開図
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プロジェクト学習0. 展開図理学部情報数理学科
大西建輔
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展開図って?立体を切って開いたもの
• 平面的
• 繋がっている
• 展開した面が重ならない (一般展開図)• 辺に沿って切ったもの(辺展開図) 今回扱う
一般展開図(辺)展開図
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一般展開図の話
四面体の一般展開図は, 平面を埋めることができる(秋山, 奈良, 2007)
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展開図の(簡単な)歴史
アルブレフト・デューラー「コンパスと定規を使った測定教本」 1525年
多面体の展開図を図示⇒ 多面体は辺展開を
もつのでは?
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多面体の展開図
(未解決) デューラーの問題
すべての凸多面体に展開図は存在するか?(定理) Erik Demaine ら, 非凸な多面体ならば, 展開図を持たないものがある.
A Survey of Folding and Unfolding in Computational Geometry より
Erikが18歳のときに発見
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展開図がある多面体
• 斜角柱 (oblique prism)• 上限の面が同じ凸多角形で平行
• 対応する頂点を結ぶ
• 角錐 (pyramid)• ドーム型 (dome)
• 角錐の一般形
• 全ての面が底面と共有辺を持つ
• 擬角柱(prismatoid)• 上限の面が違う斜角柱
• 側面に三角形あり
未解決
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今回の予定
1. 正多面体の展開図• どのぐらいあるのか?• どんな形があるのか?
2. 2つ以上の箱が折れる展開図• 1つの展開図から幾つかの箱を作成
• どういう条件が必要なのか?
3. 直交多面体の展開図• 高さを与えることで定義できる多面体
• 直交地形図なら展開可能
未解決
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1. 正多面体の展開図
• 5種類の正多面体正四面体, 立方体, 正八面体, 正12面体,正20面体
• 正四面体の展開図は 2種類
• それ以外は?
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2. 2つ以上の直方体の折れる展開図
立方体の展開図の一つ ラテンクロス
箱になるとどうなるか? ⇒ 2種類, 3種類の箱が折れるものあり
どんなものがあるか考えてみよう.
85通りで23種類の多面体
85通りで23種類の多面体
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3. 直交多面体の展開図
• 各地点の高さ(≧0)から作られる多面体
• 高さが正なら, 展開可能 (直交地形図)• 高さが非負(≧0)なら, 未解決
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この時間は
• ラテンクロスの折り方にチャレンジしてみよう.• どんな形が作れるかな?
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