594

Chapter 11 Orthogonal Functions and

Fourier Series複習 linear algebra 關於 orthogonal (正交) basis 的介紹

在 linear algebra 當中

(1) inner product n

n n1 2 1 2f f f f

(2) orthogonal 0n

n n 1 2f f

(3) 若 f1 f2 hellip fN 為 complete orthogonal set

1

N

mm

n a n

mf f where

1

1

N

nm N

n

n na

n n

m

m m

f f

f f

595例如在只有三個 entry 的情形下

[1] [2] [3][ 1 0 0 ]

1 1 1f f f1f [2][1] [3][ 0 1 0 ]

22 2f f2 ff

[3][1] [2][ 0 0 1 ]

33 3 ff f3f

是一組 complete orthogonal set

f1

f2f3

問題在 continuous 當中該如何定義 orthogonal

596

Section 111 Orthogonal Functions

1111 綱要熟悉幾個重要定義

(1) inner product (pp 597)

(2) orthogonal (pp 599)

(3) orthogonal set (pp 600)

(7) normalize (pp 604)

(9) orthogonal series expansion (pp 606)

(11) weight function (pp 608)

(8) complete (pp 605)

(10) generalized Fourier series (pp 606)

(6) orthonormal set (pp 602)

(4) square norm (pp 602)

(5) norm (pp 602)

學習方式(1) 可以多和 linear algebra 當中的定義多比較

(2) 複習三角函式的公式 (see pp 611-612)

With weighting functions many definition s are changed

5971112 定義

(1) inner product on an interval [a b]

n

n n1 2 1 2f f f f比較 discrete case

1 2 1 2b

af f f x f x dx

補充more standard definition for inner product

1 2 1 2b

af f f x f x dx

with conjugation

(f1 f2 為 real 時)

598Inner product 性質

(a) (f1 f2) = (f2 f1) conjugation

(b) (k f1 f2) = k (f1 f2) k 為 scalar (或稱為constant)

(c) (f f) = 0 if and only if f = 0 (f f) gt 0 if and only if f 0

(d) (f1 + f2 g) = (f1 g) + (f2 g)

discrete case 亦有這些性質

599(2) orthogonal on an interval [a b]

1 2 1 2 0b

af f f x f x dx

或 1 2 1 2 0b

af f f x f x dx

0n

n n 1 2f f比較 discrete case

例子 當 [a b] = [-1 1]

1 和 xk (k 為奇數) 互為 orthogonal

1 1

1

1 11

1

1 ( 1) 111 1

1 01k kkk x

k kx d kx

(f1 f2 為 real 時)

(more standard definition)

注意任何 even function 和任何 odd function 在 [-a a] 之間必為orthogonal

包括 Example 1 (text page 426) 的 x2 和 x3 在 [-1 1] 之間也是orthogonal

600(3) orthogonal set

有一組 functions 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip

若 0b

m nax x dx for any m n

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 orthogonal set on an interval [a b]

601Example 2 (text page 426)

Show that the set 1 cosx cos2x cos3x hellip is an orthogonal set on the interval [minus ]

1cos cos cos( ) cos( )2sin( ) sin( )

2( ) 2( )sin(( ) ) sin( ( ) ) sin(( ) ) sin( ( ) ) 02( ) 2( ) 2( ) 2( )

mx nxdx m n x m n x dx

m n x m n xm n m nm n m n m n m nm n m n m n m n

11 cos sin 0nxdx nxn

when one of the functions is 1

when both the two functions are not 1

602(4) square norm

2 b

af x f x f x f x f x dx

比較 discrete case n

n nf f

(5) norm

b

af x f x f x f x f x dx

(6) orthonormal set

對一個 orthogonal set 若更進一步的滿足

1b

n nax x dx for all n

則被稱為 orthonormal set

603Example 3 (text page 427)

Calculate the norms of 1 cosx cos2x cos3x hellip

1cos cos (cos2 1)2sin( 2 ) ( )sin 2 sin 2

4 2 4 2 4 2

nx nxdx nx dx

nnx x nn n n

運用三角函式公式

cosnx

1 1 2dx x

1 2

1 cosx cos2x cos3x hellip normalization as a orthonormal set

cos cos2 cos31 2

x x x

604(7) normalize

將 norm 變為 1

(x) x

v xx

注意此時

21( ) ( ) ( ) 1

x xv x v x x x

x x x

可藉由 normalization 將 orthogonal set 變成 orthonormal set

605(8) complete

若在 interval [a b] 之間任何一個 function f(x) 都可以表

示成 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip的 linear combination

0 0 1 1 2 20

n nn

f x c x c x c x c x

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 complete

比較在 linear algebra 當中對 3-D vector 而言

e1 = [1 0 0] e2 = [0 1 0] e3 = [0 0 1] 為 complete

Any 3-D vector [a b c] can be expressed as ae1 + be2 + ce3

606(9)(10)

若 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip為complete

可將 f(x) 表示成

0

n nn

f x c x

0

b b

n m m na a

b

n n nam

f x x dx c x c xx x ddx x

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 不為 orthogonal cn 不易算

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthogonal

b

nan b

n na

f x x dxc

x x dx

cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

被稱作 (9) orthogonalseries expansion

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

595例如在只有三個 entry 的情形下

[1] [2] [3][ 1 0 0 ]

1 1 1f f f1f [2][1] [3][ 0 1 0 ]

22 2f f2 ff

[3][1] [2][ 0 0 1 ]

33 3 ff f3f

是一組 complete orthogonal set

f1

f2f3

問題在 continuous 當中該如何定義 orthogonal

596

Section 111 Orthogonal Functions

1111 綱要熟悉幾個重要定義

(1) inner product (pp 597)

(2) orthogonal (pp 599)

(3) orthogonal set (pp 600)

(7) normalize (pp 604)

(9) orthogonal series expansion (pp 606)

(11) weight function (pp 608)

(8) complete (pp 605)

(10) generalized Fourier series (pp 606)

(6) orthonormal set (pp 602)

(4) square norm (pp 602)

(5) norm (pp 602)

學習方式(1) 可以多和 linear algebra 當中的定義多比較

(2) 複習三角函式的公式 (see pp 611-612)

With weighting functions many definition s are changed

5971112 定義

(1) inner product on an interval [a b]

n

n n1 2 1 2f f f f比較 discrete case

1 2 1 2b

af f f x f x dx

補充more standard definition for inner product

1 2 1 2b

af f f x f x dx

with conjugation

(f1 f2 為 real 時)

598Inner product 性質

(a) (f1 f2) = (f2 f1) conjugation

(b) (k f1 f2) = k (f1 f2) k 為 scalar (或稱為constant)

(c) (f f) = 0 if and only if f = 0 (f f) gt 0 if and only if f 0

(d) (f1 + f2 g) = (f1 g) + (f2 g)

discrete case 亦有這些性質

599(2) orthogonal on an interval [a b]

1 2 1 2 0b

af f f x f x dx

或 1 2 1 2 0b

af f f x f x dx

0n

n n 1 2f f比較 discrete case

例子 當 [a b] = [-1 1]

1 和 xk (k 為奇數) 互為 orthogonal

1 1

1

1 11

1

1 ( 1) 111 1

1 01k kkk x

k kx d kx

(f1 f2 為 real 時)

(more standard definition)

注意任何 even function 和任何 odd function 在 [-a a] 之間必為orthogonal

包括 Example 1 (text page 426) 的 x2 和 x3 在 [-1 1] 之間也是orthogonal

600(3) orthogonal set

有一組 functions 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip

若 0b

m nax x dx for any m n

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 orthogonal set on an interval [a b]

601Example 2 (text page 426)

Show that the set 1 cosx cos2x cos3x hellip is an orthogonal set on the interval [minus ]

1cos cos cos( ) cos( )2sin( ) sin( )

2( ) 2( )sin(( ) ) sin( ( ) ) sin(( ) ) sin( ( ) ) 02( ) 2( ) 2( ) 2( )

mx nxdx m n x m n x dx

m n x m n xm n m nm n m n m n m nm n m n m n m n

11 cos sin 0nxdx nxn

when one of the functions is 1

when both the two functions are not 1

602(4) square norm

2 b

af x f x f x f x f x dx

比較 discrete case n

n nf f

(5) norm

b

af x f x f x f x f x dx

(6) orthonormal set

對一個 orthogonal set 若更進一步的滿足

1b

n nax x dx for all n

則被稱為 orthonormal set

603Example 3 (text page 427)

Calculate the norms of 1 cosx cos2x cos3x hellip

1cos cos (cos2 1)2sin( 2 ) ( )sin 2 sin 2

4 2 4 2 4 2

nx nxdx nx dx

nnx x nn n n

運用三角函式公式

cosnx

1 1 2dx x

1 2

1 cosx cos2x cos3x hellip normalization as a orthonormal set

cos cos2 cos31 2

x x x

604(7) normalize

將 norm 變為 1

(x) x

v xx

注意此時

21( ) ( ) ( ) 1

x xv x v x x x

x x x

可藉由 normalization 將 orthogonal set 變成 orthonormal set

605(8) complete

若在 interval [a b] 之間任何一個 function f(x) 都可以表

示成 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip的 linear combination

0 0 1 1 2 20

n nn

f x c x c x c x c x

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 complete

比較在 linear algebra 當中對 3-D vector 而言

e1 = [1 0 0] e2 = [0 1 0] e3 = [0 0 1] 為 complete

Any 3-D vector [a b c] can be expressed as ae1 + be2 + ce3

606(9)(10)

若 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip為complete

可將 f(x) 表示成

0

n nn

f x c x

0

b b

n m m na a

b

n n nam

f x x dx c x c xx x ddx x

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 不為 orthogonal cn 不易算

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthogonal

b

nan b

n na

f x x dxc

x x dx

cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

被稱作 (9) orthogonalseries expansion

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

596

Section 111 Orthogonal Functions

1111 綱要熟悉幾個重要定義

(1) inner product (pp 597)

(2) orthogonal (pp 599)

(3) orthogonal set (pp 600)

(7) normalize (pp 604)

(9) orthogonal series expansion (pp 606)

(11) weight function (pp 608)

(8) complete (pp 605)

(10) generalized Fourier series (pp 606)

(6) orthonormal set (pp 602)

(4) square norm (pp 602)

(5) norm (pp 602)

學習方式(1) 可以多和 linear algebra 當中的定義多比較

(2) 複習三角函式的公式 (see pp 611-612)

With weighting functions many definition s are changed

5971112 定義

(1) inner product on an interval [a b]

n

n n1 2 1 2f f f f比較 discrete case

1 2 1 2b

af f f x f x dx

補充more standard definition for inner product

1 2 1 2b

af f f x f x dx

with conjugation

(f1 f2 為 real 時)

598Inner product 性質

(a) (f1 f2) = (f2 f1) conjugation

(b) (k f1 f2) = k (f1 f2) k 為 scalar (或稱為constant)

(c) (f f) = 0 if and only if f = 0 (f f) gt 0 if and only if f 0

(d) (f1 + f2 g) = (f1 g) + (f2 g)

discrete case 亦有這些性質

599(2) orthogonal on an interval [a b]

1 2 1 2 0b

af f f x f x dx

或 1 2 1 2 0b

af f f x f x dx

0n

n n 1 2f f比較 discrete case

例子 當 [a b] = [-1 1]

1 和 xk (k 為奇數) 互為 orthogonal

1 1

1

1 11

1

1 ( 1) 111 1

1 01k kkk x

k kx d kx

(f1 f2 為 real 時)

(more standard definition)

注意任何 even function 和任何 odd function 在 [-a a] 之間必為orthogonal

包括 Example 1 (text page 426) 的 x2 和 x3 在 [-1 1] 之間也是orthogonal

600(3) orthogonal set

有一組 functions 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip

若 0b

m nax x dx for any m n

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 orthogonal set on an interval [a b]

601Example 2 (text page 426)

Show that the set 1 cosx cos2x cos3x hellip is an orthogonal set on the interval [minus ]

1cos cos cos( ) cos( )2sin( ) sin( )

2( ) 2( )sin(( ) ) sin( ( ) ) sin(( ) ) sin( ( ) ) 02( ) 2( ) 2( ) 2( )

mx nxdx m n x m n x dx

m n x m n xm n m nm n m n m n m nm n m n m n m n

11 cos sin 0nxdx nxn

when one of the functions is 1

when both the two functions are not 1

602(4) square norm

2 b

af x f x f x f x f x dx

比較 discrete case n

n nf f

(5) norm

b

af x f x f x f x f x dx

(6) orthonormal set

對一個 orthogonal set 若更進一步的滿足

1b

n nax x dx for all n

則被稱為 orthonormal set

603Example 3 (text page 427)

Calculate the norms of 1 cosx cos2x cos3x hellip

1cos cos (cos2 1)2sin( 2 ) ( )sin 2 sin 2

4 2 4 2 4 2

nx nxdx nx dx

nnx x nn n n

運用三角函式公式

cosnx

1 1 2dx x

1 2

1 cosx cos2x cos3x hellip normalization as a orthonormal set

cos cos2 cos31 2

x x x

604(7) normalize

將 norm 變為 1

(x) x

v xx

注意此時

21( ) ( ) ( ) 1

x xv x v x x x

x x x

可藉由 normalization 將 orthogonal set 變成 orthonormal set

605(8) complete

若在 interval [a b] 之間任何一個 function f(x) 都可以表

示成 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip的 linear combination

0 0 1 1 2 20

n nn

f x c x c x c x c x

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 complete

比較在 linear algebra 當中對 3-D vector 而言

e1 = [1 0 0] e2 = [0 1 0] e3 = [0 0 1] 為 complete

Any 3-D vector [a b c] can be expressed as ae1 + be2 + ce3

606(9)(10)

若 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip為complete

可將 f(x) 表示成

0

n nn

f x c x

0

b b

n m m na a

b

n n nam

f x x dx c x c xx x ddx x

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 不為 orthogonal cn 不易算

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthogonal

b

nan b

n na

f x x dxc

x x dx

cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

被稱作 (9) orthogonalseries expansion

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

5971112 定義

(1) inner product on an interval [a b]

n

n n1 2 1 2f f f f比較 discrete case

1 2 1 2b

af f f x f x dx

補充more standard definition for inner product

1 2 1 2b

af f f x f x dx

with conjugation

(f1 f2 為 real 時)

598Inner product 性質

(a) (f1 f2) = (f2 f1) conjugation

(b) (k f1 f2) = k (f1 f2) k 為 scalar (或稱為constant)

(c) (f f) = 0 if and only if f = 0 (f f) gt 0 if and only if f 0

(d) (f1 + f2 g) = (f1 g) + (f2 g)

discrete case 亦有這些性質

599(2) orthogonal on an interval [a b]

1 2 1 2 0b

af f f x f x dx

或 1 2 1 2 0b

af f f x f x dx

0n

n n 1 2f f比較 discrete case

例子 當 [a b] = [-1 1]

1 和 xk (k 為奇數) 互為 orthogonal

1 1

1

1 11

1

1 ( 1) 111 1

1 01k kkk x

k kx d kx

(f1 f2 為 real 時)

(more standard definition)

注意任何 even function 和任何 odd function 在 [-a a] 之間必為orthogonal

包括 Example 1 (text page 426) 的 x2 和 x3 在 [-1 1] 之間也是orthogonal

600(3) orthogonal set

有一組 functions 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip

若 0b

m nax x dx for any m n

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 orthogonal set on an interval [a b]

601Example 2 (text page 426)

Show that the set 1 cosx cos2x cos3x hellip is an orthogonal set on the interval [minus ]

1cos cos cos( ) cos( )2sin( ) sin( )

2( ) 2( )sin(( ) ) sin( ( ) ) sin(( ) ) sin( ( ) ) 02( ) 2( ) 2( ) 2( )

mx nxdx m n x m n x dx

m n x m n xm n m nm n m n m n m nm n m n m n m n

11 cos sin 0nxdx nxn

when one of the functions is 1

when both the two functions are not 1

602(4) square norm

2 b

af x f x f x f x f x dx

比較 discrete case n

n nf f

(5) norm

b

af x f x f x f x f x dx

(6) orthonormal set

對一個 orthogonal set 若更進一步的滿足

1b

n nax x dx for all n

則被稱為 orthonormal set

603Example 3 (text page 427)

Calculate the norms of 1 cosx cos2x cos3x hellip

1cos cos (cos2 1)2sin( 2 ) ( )sin 2 sin 2

4 2 4 2 4 2

nx nxdx nx dx

nnx x nn n n

運用三角函式公式

cosnx

1 1 2dx x

1 2

1 cosx cos2x cos3x hellip normalization as a orthonormal set

cos cos2 cos31 2

x x x

604(7) normalize

將 norm 變為 1

(x) x

v xx

注意此時

21( ) ( ) ( ) 1

x xv x v x x x

x x x

可藉由 normalization 將 orthogonal set 變成 orthonormal set

605(8) complete

若在 interval [a b] 之間任何一個 function f(x) 都可以表

示成 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip的 linear combination

0 0 1 1 2 20

n nn

f x c x c x c x c x

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 complete

比較在 linear algebra 當中對 3-D vector 而言

e1 = [1 0 0] e2 = [0 1 0] e3 = [0 0 1] 為 complete

Any 3-D vector [a b c] can be expressed as ae1 + be2 + ce3

606(9)(10)

若 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip為complete

可將 f(x) 表示成

0

n nn

f x c x

0

b b

n m m na a

b

n n nam

f x x dx c x c xx x ddx x

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 不為 orthogonal cn 不易算

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthogonal

b

nan b

n na

f x x dxc

x x dx

cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

被稱作 (9) orthogonalseries expansion

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

598Inner product 性質

(a) (f1 f2) = (f2 f1) conjugation

(b) (k f1 f2) = k (f1 f2) k 為 scalar (或稱為constant)

(c) (f f) = 0 if and only if f = 0 (f f) gt 0 if and only if f 0

(d) (f1 + f2 g) = (f1 g) + (f2 g)

discrete case 亦有這些性質

599(2) orthogonal on an interval [a b]

1 2 1 2 0b

af f f x f x dx

或 1 2 1 2 0b

af f f x f x dx

0n

n n 1 2f f比較 discrete case

例子 當 [a b] = [-1 1]

1 和 xk (k 為奇數) 互為 orthogonal

1 1

1

1 11

1

1 ( 1) 111 1

1 01k kkk x

k kx d kx

(f1 f2 為 real 時)

(more standard definition)

注意任何 even function 和任何 odd function 在 [-a a] 之間必為orthogonal

包括 Example 1 (text page 426) 的 x2 和 x3 在 [-1 1] 之間也是orthogonal

600(3) orthogonal set

有一組 functions 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip

若 0b

m nax x dx for any m n

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 orthogonal set on an interval [a b]

601Example 2 (text page 426)

Show that the set 1 cosx cos2x cos3x hellip is an orthogonal set on the interval [minus ]

1cos cos cos( ) cos( )2sin( ) sin( )

2( ) 2( )sin(( ) ) sin( ( ) ) sin(( ) ) sin( ( ) ) 02( ) 2( ) 2( ) 2( )

mx nxdx m n x m n x dx

m n x m n xm n m nm n m n m n m nm n m n m n m n

11 cos sin 0nxdx nxn

when one of the functions is 1

when both the two functions are not 1

602(4) square norm

2 b

af x f x f x f x f x dx

比較 discrete case n

n nf f

(5) norm

b

af x f x f x f x f x dx

(6) orthonormal set

對一個 orthogonal set 若更進一步的滿足

1b

n nax x dx for all n

則被稱為 orthonormal set

603Example 3 (text page 427)

Calculate the norms of 1 cosx cos2x cos3x hellip

1cos cos (cos2 1)2sin( 2 ) ( )sin 2 sin 2

4 2 4 2 4 2

nx nxdx nx dx

nnx x nn n n

運用三角函式公式

cosnx

1 1 2dx x

1 2

1 cosx cos2x cos3x hellip normalization as a orthonormal set

cos cos2 cos31 2

x x x

604(7) normalize

將 norm 變為 1

(x) x

v xx

注意此時

21( ) ( ) ( ) 1

x xv x v x x x

x x x

可藉由 normalization 將 orthogonal set 變成 orthonormal set

605(8) complete

若在 interval [a b] 之間任何一個 function f(x) 都可以表

示成 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip的 linear combination

0 0 1 1 2 20

n nn

f x c x c x c x c x

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 complete

比較在 linear algebra 當中對 3-D vector 而言

e1 = [1 0 0] e2 = [0 1 0] e3 = [0 0 1] 為 complete

Any 3-D vector [a b c] can be expressed as ae1 + be2 + ce3

606(9)(10)

若 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip為complete

可將 f(x) 表示成

0

n nn

f x c x

0

b b

n m m na a

b

n n nam

f x x dx c x c xx x ddx x

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 不為 orthogonal cn 不易算

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthogonal

b

nan b

n na

f x x dxc

x x dx

cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

被稱作 (9) orthogonalseries expansion

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

599(2) orthogonal on an interval [a b]

1 2 1 2 0b

af f f x f x dx

或 1 2 1 2 0b

af f f x f x dx

0n

n n 1 2f f比較 discrete case

例子 當 [a b] = [-1 1]

1 和 xk (k 為奇數) 互為 orthogonal

1 1

1

1 11

1

1 ( 1) 111 1

1 01k kkk x

k kx d kx

(f1 f2 為 real 時)

(more standard definition)

注意任何 even function 和任何 odd function 在 [-a a] 之間必為orthogonal

包括 Example 1 (text page 426) 的 x2 和 x3 在 [-1 1] 之間也是orthogonal

600(3) orthogonal set

有一組 functions 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip

若 0b

m nax x dx for any m n

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 orthogonal set on an interval [a b]

601Example 2 (text page 426)

Show that the set 1 cosx cos2x cos3x hellip is an orthogonal set on the interval [minus ]

1cos cos cos( ) cos( )2sin( ) sin( )

2( ) 2( )sin(( ) ) sin( ( ) ) sin(( ) ) sin( ( ) ) 02( ) 2( ) 2( ) 2( )

mx nxdx m n x m n x dx

m n x m n xm n m nm n m n m n m nm n m n m n m n

11 cos sin 0nxdx nxn

when one of the functions is 1

when both the two functions are not 1

602(4) square norm

2 b

af x f x f x f x f x dx

比較 discrete case n

n nf f

(5) norm

b

af x f x f x f x f x dx

(6) orthonormal set

對一個 orthogonal set 若更進一步的滿足

1b

n nax x dx for all n

則被稱為 orthonormal set

603Example 3 (text page 427)

Calculate the norms of 1 cosx cos2x cos3x hellip

1cos cos (cos2 1)2sin( 2 ) ( )sin 2 sin 2

4 2 4 2 4 2

nx nxdx nx dx

nnx x nn n n

運用三角函式公式

cosnx

1 1 2dx x

1 2

1 cosx cos2x cos3x hellip normalization as a orthonormal set

cos cos2 cos31 2

x x x

604(7) normalize

將 norm 變為 1

(x) x

v xx

注意此時

21( ) ( ) ( ) 1

x xv x v x x x

x x x

可藉由 normalization 將 orthogonal set 變成 orthonormal set

605(8) complete

若在 interval [a b] 之間任何一個 function f(x) 都可以表

示成 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip的 linear combination

0 0 1 1 2 20

n nn

f x c x c x c x c x

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 complete

比較在 linear algebra 當中對 3-D vector 而言

e1 = [1 0 0] e2 = [0 1 0] e3 = [0 0 1] 為 complete

Any 3-D vector [a b c] can be expressed as ae1 + be2 + ce3

606(9)(10)

若 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip為complete

可將 f(x) 表示成

0

n nn

f x c x

0

b b

n m m na a

b

n n nam

f x x dx c x c xx x ddx x

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 不為 orthogonal cn 不易算

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthogonal

b

nan b

n na

f x x dxc

x x dx

cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

被稱作 (9) orthogonalseries expansion

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

600(3) orthogonal set

有一組 functions 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip

若 0b

m nax x dx for any m n

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 orthogonal set on an interval [a b]

601Example 2 (text page 426)

Show that the set 1 cosx cos2x cos3x hellip is an orthogonal set on the interval [minus ]

1cos cos cos( ) cos( )2sin( ) sin( )

2( ) 2( )sin(( ) ) sin( ( ) ) sin(( ) ) sin( ( ) ) 02( ) 2( ) 2( ) 2( )

mx nxdx m n x m n x dx

m n x m n xm n m nm n m n m n m nm n m n m n m n

11 cos sin 0nxdx nxn

when one of the functions is 1

when both the two functions are not 1

602(4) square norm

2 b

af x f x f x f x f x dx

比較 discrete case n

n nf f

(5) norm

b

af x f x f x f x f x dx

(6) orthonormal set

對一個 orthogonal set 若更進一步的滿足

1b

n nax x dx for all n

則被稱為 orthonormal set

603Example 3 (text page 427)

Calculate the norms of 1 cosx cos2x cos3x hellip

1cos cos (cos2 1)2sin( 2 ) ( )sin 2 sin 2

4 2 4 2 4 2

nx nxdx nx dx

nnx x nn n n

運用三角函式公式

cosnx

1 1 2dx x

1 2

1 cosx cos2x cos3x hellip normalization as a orthonormal set

cos cos2 cos31 2

x x x

604(7) normalize

將 norm 變為 1

(x) x

v xx

注意此時

21( ) ( ) ( ) 1

x xv x v x x x

x x x

可藉由 normalization 將 orthogonal set 變成 orthonormal set

605(8) complete

若在 interval [a b] 之間任何一個 function f(x) 都可以表

示成 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip的 linear combination

0 0 1 1 2 20

n nn

f x c x c x c x c x

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 complete

比較在 linear algebra 當中對 3-D vector 而言

e1 = [1 0 0] e2 = [0 1 0] e3 = [0 0 1] 為 complete

Any 3-D vector [a b c] can be expressed as ae1 + be2 + ce3

606(9)(10)

若 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip為complete

可將 f(x) 表示成

0

n nn

f x c x

0

b b

n m m na a

b

n n nam

f x x dx c x c xx x ddx x

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 不為 orthogonal cn 不易算

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthogonal

b

nan b

n na

f x x dxc

x x dx

cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

被稱作 (9) orthogonalseries expansion

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

601Example 2 (text page 426)

Show that the set 1 cosx cos2x cos3x hellip is an orthogonal set on the interval [minus ]

1cos cos cos( ) cos( )2sin( ) sin( )

2( ) 2( )sin(( ) ) sin( ( ) ) sin(( ) ) sin( ( ) ) 02( ) 2( ) 2( ) 2( )

mx nxdx m n x m n x dx

m n x m n xm n m nm n m n m n m nm n m n m n m n

11 cos sin 0nxdx nxn

when one of the functions is 1

when both the two functions are not 1

602(4) square norm

2 b

af x f x f x f x f x dx

比較 discrete case n

n nf f

(5) norm

b

af x f x f x f x f x dx

(6) orthonormal set

對一個 orthogonal set 若更進一步的滿足

1b

n nax x dx for all n

則被稱為 orthonormal set

603Example 3 (text page 427)

Calculate the norms of 1 cosx cos2x cos3x hellip

1cos cos (cos2 1)2sin( 2 ) ( )sin 2 sin 2

4 2 4 2 4 2

nx nxdx nx dx

nnx x nn n n

運用三角函式公式

cosnx

1 1 2dx x

1 2

1 cosx cos2x cos3x hellip normalization as a orthonormal set

cos cos2 cos31 2

x x x

604(7) normalize

將 norm 變為 1

(x) x

v xx

注意此時

21( ) ( ) ( ) 1

x xv x v x x x

x x x

可藉由 normalization 將 orthogonal set 變成 orthonormal set

605(8) complete

若在 interval [a b] 之間任何一個 function f(x) 都可以表

示成 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip的 linear combination

0 0 1 1 2 20

n nn

f x c x c x c x c x

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 complete

比較在 linear algebra 當中對 3-D vector 而言

e1 = [1 0 0] e2 = [0 1 0] e3 = [0 0 1] 為 complete

Any 3-D vector [a b c] can be expressed as ae1 + be2 + ce3

606(9)(10)

若 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip為complete

可將 f(x) 表示成

0

n nn

f x c x

0

b b

n m m na a

b

n n nam

f x x dx c x c xx x ddx x

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 不為 orthogonal cn 不易算

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthogonal

b

nan b

n na

f x x dxc

x x dx

cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

被稱作 (9) orthogonalseries expansion

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

602(4) square norm

2 b

af x f x f x f x f x dx

比較 discrete case n

n nf f

(5) norm

b

af x f x f x f x f x dx

(6) orthonormal set

對一個 orthogonal set 若更進一步的滿足

1b

n nax x dx for all n

則被稱為 orthonormal set

603Example 3 (text page 427)

Calculate the norms of 1 cosx cos2x cos3x hellip

1cos cos (cos2 1)2sin( 2 ) ( )sin 2 sin 2

4 2 4 2 4 2

nx nxdx nx dx

nnx x nn n n

運用三角函式公式

cosnx

1 1 2dx x

1 2

1 cosx cos2x cos3x hellip normalization as a orthonormal set

cos cos2 cos31 2

x x x

604(7) normalize

將 norm 變為 1

(x) x

v xx

注意此時

21( ) ( ) ( ) 1

x xv x v x x x

x x x

可藉由 normalization 將 orthogonal set 變成 orthonormal set

605(8) complete

若在 interval [a b] 之間任何一個 function f(x) 都可以表

示成 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip的 linear combination

0 0 1 1 2 20

n nn

f x c x c x c x c x

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 complete

比較在 linear algebra 當中對 3-D vector 而言

e1 = [1 0 0] e2 = [0 1 0] e3 = [0 0 1] 為 complete

Any 3-D vector [a b c] can be expressed as ae1 + be2 + ce3

606(9)(10)

若 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip為complete

可將 f(x) 表示成

0

n nn

f x c x

0

b b

n m m na a

b

n n nam

f x x dx c x c xx x ddx x

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 不為 orthogonal cn 不易算

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthogonal

b

nan b

n na

f x x dxc

x x dx

cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

被稱作 (9) orthogonalseries expansion

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

603Example 3 (text page 427)

Calculate the norms of 1 cosx cos2x cos3x hellip

1cos cos (cos2 1)2sin( 2 ) ( )sin 2 sin 2

4 2 4 2 4 2

nx nxdx nx dx

nnx x nn n n

運用三角函式公式

cosnx

1 1 2dx x

1 2

1 cosx cos2x cos3x hellip normalization as a orthonormal set

cos cos2 cos31 2

x x x

604(7) normalize

將 norm 變為 1

(x) x

v xx

注意此時

21( ) ( ) ( ) 1

x xv x v x x x

x x x

可藉由 normalization 將 orthogonal set 變成 orthonormal set

605(8) complete

若在 interval [a b] 之間任何一個 function f(x) 都可以表

示成 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip的 linear combination

0 0 1 1 2 20

n nn

f x c x c x c x c x

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 complete

比較在 linear algebra 當中對 3-D vector 而言

e1 = [1 0 0] e2 = [0 1 0] e3 = [0 0 1] 為 complete

Any 3-D vector [a b c] can be expressed as ae1 + be2 + ce3

606(9)(10)

若 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip為complete

可將 f(x) 表示成

0

n nn

f x c x

0

b b

n m m na a

b

n n nam

f x x dx c x c xx x ddx x

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 不為 orthogonal cn 不易算

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthogonal

b

nan b

n na

f x x dxc

x x dx

cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

被稱作 (9) orthogonalseries expansion

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

604(7) normalize

將 norm 變為 1

(x) x

v xx

注意此時

21( ) ( ) ( ) 1

x xv x v x x x

x x x

可藉由 normalization 將 orthogonal set 變成 orthonormal set

605(8) complete

若在 interval [a b] 之間任何一個 function f(x) 都可以表

示成 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip的 linear combination

0 0 1 1 2 20

n nn

f x c x c x c x c x

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 complete

比較在 linear algebra 當中對 3-D vector 而言

e1 = [1 0 0] e2 = [0 1 0] e3 = [0 0 1] 為 complete

Any 3-D vector [a b c] can be expressed as ae1 + be2 + ce3

606(9)(10)

若 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip為complete

可將 f(x) 表示成

0

n nn

f x c x

0

b b

n m m na a

b

n n nam

f x x dx c x c xx x ddx x

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 不為 orthogonal cn 不易算

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthogonal

b

nan b

n na

f x x dxc

x x dx

cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

被稱作 (9) orthogonalseries expansion

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

605(8) complete

若在 interval [a b] 之間任何一個 function f(x) 都可以表

示成 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip的 linear combination

0 0 1 1 2 20

n nn

f x c x c x c x c x

則 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 被稱作 complete

比較在 linear algebra 當中對 3-D vector 而言

e1 = [1 0 0] e2 = [0 1 0] e3 = [0 0 1] 為 complete

Any 3-D vector [a b c] can be expressed as ae1 + be2 + ce3

606(9)(10)

若 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip為complete

可將 f(x) 表示成

0

n nn

f x c x

0

b b

n m m na a

b

n n nam

f x x dx c x c xx x ddx x

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 不為 orthogonal cn 不易算

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthogonal

b

nan b

n na

f x x dxc

x x dx

cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

被稱作 (9) orthogonalseries expansion

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

606(9)(10)

若 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip為complete

可將 f(x) 表示成

0

n nn

f x c x

0

b b

n m m na a

b

n n nam

f x x dx c x c xx x ddx x

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 不為 orthogonal cn 不易算

當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthogonal

b

nan b

n na

f x x dxc

x x dx

cn 被稱作 (10) generalized Fourier series

被稱作 (9) orthogonalseries expansion

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

607當 0(x) 1(x) 2(x) 3(x) helliphelliphellip 為 orthonormal

b

n nac f x x dx

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6081113 Orthogonal with Weight Function

(11) inner product with weight function

1 2 1 2b

af x f x w x f x f x dx

其中 w(x) 被稱作 weight function

加上了 weight function 後

0b

m n m naf f w x f x f x dx

(11-1) orthogonal 的定義改成

(11-2) square norm 的定義改成

2 b

af x w x f x f x dx

for m n

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

609

b

af x w x f x f x dx

(11-3) norm 的定義改成

(11-4) orthonormal 的定義改成

0b

m naw x f x f x dx 1

b

n naw x f x f x dx

for m n

b

a

x xv x

x w x x x dx

(11-5) normalize 的算法改成

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

610(11-6) orthogonal series expansion of f(x) 以及 generalize Fourier

series 的算法改成

0

n nn

f x c x

b

nan b

n na

w x f x x dxc

w x x x dx

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6111114 三角函數表

cos(a + b) cosa cosb minus sina sinb

sin(a + b) sina cosb + cosa sinb

cos(a minus b) cosa cosb + sina sinb

sin(a minus b) sina cosb minus cosa sinb

cosa cosb [cos(a + b) + cos(a minus b)]2

sina sinb [cos(a minus b) minus cos(a + b)]2

sina cosb [sin(a + b) + sin(a minus b)]2

(要複習)

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

612

cos(2a)cos2a minus sin2aor 1 minus 2sin2a or 2cos2a minus 1

sin(2a) 2sin a cos a

cos2a [cos(2a) + 1]2

sin2a [1 minus cos(2a)]2

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6131115 Section 111 需要注意的地方

(1) Norm 和 square of norm 要分清楚

做 normalization 時要除以 norm

(2) 熟悉三角函數的公式

(i) 記住幾個其他的就不難推算出來

(ii) 許多公式可以由 導出來 cos 2ja jae ea

sin 2 2ja jaja ja je jee ea j

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

614

複習 Legendre polynomials 是一種 orthogonal set

1

10m nP x P x dx

if m n

其他常用的 orthogonal set

Hermite polynomials (with weight function) (補充)

Chebyshev polynomials (with weight function) (補充)

Cosine seriesSine series

Fourier series

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

615

Section 112 Fourier Series

trigonometric functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

1121 綱要

orthogonal set on the interval of [p p]

be proved on pages 620~622

cos n xp

週期2 pn

頻率2np

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

616(2) Fourier Series

0

12 cos sinn nn

n nf x a x b xp pa

01 p

pa f x dxp

cos1 p

n pna f x xdpp x

sin1 p

n pnb f x xdpp x

(紅色部分特別注意勿記錯公式)

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

617

trigonometric function (page 620)

Fourier series (trigonometric series) (page 624)

Fourier coefficients (page 624)

fundamental period (page 629)

period extension (page 629)

partial sum (page 631)

(3) 名詞

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

618

Fourier Series == 對信號做頻率分析

物理意義

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

619

「頻率」 (frequency) 是個常用字以 Hz (每秒多少個週期)為單位

說話聲音 100~1200 Hz人耳可聽見的聲音 20~20000Hz廣播 (AM) 5times105 ~ 16times106 Hz廣播 (FM) 88times107 ~ 108times108 Hz無線電視 76times107 ~ 88times107 174times108 ~ 216times108 Hz行動通訊 51times108 Hz ~ 275 times1011 Hz可見光 4times1014 Hz ~ 8 times1014 Hz

測量頻率的方式 Fourier seriesFourier transform

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6201122 Trigonometric Functions

2 3 2 31 cos cos cos sin sin sin x x x x x xp p p p p p

trigonometric functions

1 cos sin sin sin( ) 0 0 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

Trigonometric functions is orthogonal on the interval of [p p]

要用 + 2 = 5 次的inner products 來證明23C

1 sin cos cos cos( ) 0pp

p p

p p pk kxdx x k kp k p k k

(1) 1 VS Cosine

(2) 1 VS Sine

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

621

( ) ( )1cos sin sin sin2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

(3) Cosine VS Sine

( ) ( )1 1cos( ) cos( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

1 [cos( ( )) cos( ( ))]21 [cos( ( )) cos( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(when h k)

2 21cos sin sin cos 02 4

pp p

p p p

pk h k kx xdx xdxp p p k p

when (h = k)

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

622(4) Cosine VS Cosine k h

( ) ( )1cos cos cos cos2p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( )2

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

1 [sin( ( )) sin( ( ))]21 [sin( ( )) sin( ( ))] 0

p h k h kh k

h k h kh k

(5) Sine VS Sine k h( ) ( )1sin sin cos cos2

p p

p p

h k h kk hx xdx x x dxp p p p

( ) ( )1 1sin( ) sin( ) 02

p

p

p h k x h k xh k p h k p

when h k

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

623Square norms of trigonometric functions

21 1 1 2p p

ppdx x p

2

2 2 21 1cos cos (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pk k k kx xdx x dx x x pp p p k p

22 2 21 1sin sin (1 cos ) sin2 2 2

pp p

p pp

pkx kx kx kxdx dx x pp p p k p

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6241123 Fourier Series

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

The Fourier series is the orthogonal series expansion (see page 606) by trigonometric functions

(Fourier series又被稱作 trigonometric series)

The Fourier Series of a function f(x) defined on the interval [p p]

01 p

pa f x dxp

1 cos

p

n pna f x xdxp p

1 sinp

n pnb f x xdxp p

a0 an bn 被稱作 Fourier coefficients

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

625Example 1 (text page 433)

0 0

0forfor

xf x

x x

0 01 1 ( ) 2a f x dx x dx

20

2 2

0

00

1 ( )co1 cos

1

s

1 1 1sin ( 1) s

1 ( 1)1 c

in

c s oo s n

n x nxdx

x nx nxd

a f x nxd

x

nn n

n

n n

x

xn

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

626

0

20

0

0

1 ( )sin

1 1 1co

1 s

s ( 1)( cos

in

1 1 1

)

sin

nb f x nx x nxdx

x

dx

n

nx nx d

x nn

xn

n

n

21

21

1 ( 1) 1cos sin4

1 ( 1) 1cos sin4

n

n

n

n

n nf x x xp n pn

nx nxnn

p =

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6271124 Conditions for Convergence

01 p

pa f x dxp

If 1 cosp

n pna f x xdxp p

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

其實未必成立

1 sinp

n pnb f x xdxp p

0

11

cos sin2 n nn

a n nf x a x b xp p

(1) f1(x0) = f(x0) if f(x) is continuous at x0

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

628(2) if f(x) is not continuous at x0 0 0

1 0 2f x f x

f x

0 00limh

f x f x h

0 00limh

f x f x h

Fig 11-2-1

Example 1 的例子

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6291125 Period Extension

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

fundamental period 2p

在 interval x [p p] 以外的地方

01

12 cos( 2 ) sin( 2 )2 n n

n

a n nf x p a x n b x np p

1 12f x p f x

f1(x) 是個週期為 2p 的函式 (這是 f1(x) 和 f(x) 第二個

不同的地方

(period Extension)

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

630

對一個非週期的函式Fourier series expansion 的結果不適用於 x [p p] 的區域

但是週期函式則可

Fig 1122

Example 1 的例子

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6311126 Sequence of Partial Sums

Sequence of Partial Sums

0

1cos sin2

N

N n nn

a n nS x a x b xp p

1 lim NNf x S x

N 越大越能逼近原來的 function

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

632

Fig 1123

(a) S3(x) (b) S8(x)

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

633

Fig 1123

N = 15

(c) S15(x)

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6341127 Section 112 需要注意的地方

(1) Fourier series 的公式 (常背錯)

(a) 第一項是 a02而非 a0

(b) 算 a0 an bn 時積分後別忘了除以 p

(p 是 interval width 的一半)

(2) 背熟三角函式公式

(3) 熟悉 b bb

aa au t v t dt u t v t u t v t dt

(在計算 Fourier coefficients 會常用到如 Example 1)

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

635(4) 當 n 為整數時 cos ( 1)nn 習慣這種表示法

(5) 正確而言 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

近似於

01

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

因為當

f1(x) 和 f(x) 之間有二個不同的地方

(a) 在 discontinuous 的地方

(b) f1(x) 為 periodic f1(x) = f1(x + p)

1 0 0 0[ ] 2f x f x f x

然而習慣上還是寫成 0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

636

數學史上最美麗的詩篇 --- 傅立葉級數

Clerk Maxwell

悲傷的傅立葉

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

637

Section 113 Fourier Cosine and Sine Series1131 綱要

Fourier Series

f(x) is even

f(x) is odd

Fourier cosine series (或 cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

0

cos2 p

nna f x xdxp p

Fourier sine series (或 sine series)

1

sinnn

nf x b xp

00

2 pa f x dxp

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(1)

比較 page 637 和 page 616

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

638(2) 重要名詞 Fourier cosine series cosine series (page 643)

Fourier sine series sine series (page 644)

Gibbrsquos Phenomenon (page 647)

(4) One of the applications Solving particular solution (See page 657)

(3) Half-range extension [0 L]

(a) cosine series f(x) = f(minusx) interval is changed into [minusL L] set p = L(b) sine series f(x) = minusf(minusx) interval is changed into [minusL L ] set p = L(c) Fourier series (i) interval [minusp p] is replaced by [0 L]

(ii) p is replaced by L2

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6391132 Even and Odd Functions

even function f(x) = f(x)

odd function f(x) = f(x)

Example

1 x2 x4 x6 x8 hellip are even x x3 x5 x7 x9hellip are odd

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

640

Cosine functions are even Sine functions are odd

cos(t) sin(t)

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

641Several properties about even and odd functions

(a) The product of two even functions is even

(b) The product of two odd functions is even例 x x = x2

例 x2 x4 = x6

(c) The product of an even function and an odd function is odd例 x x2 = x3

(d) The sum (or difference) of two even function is still even

(e) The sum (or difference) of two odd function is still odd

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

642(f) If f(x) is even then

(g) If f(x) is odd then

0

2a a

af x dx f x dx

0a

af x dx

(Proof)

0

00

1 1 0

1 10 0

a a

a aa

aa a

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

(令 x1 = minusx dx1 = minusdx)

When f(x) = f(minusx)

1 10 0 02

a a a a

af x dx f x dx f x dx f x dx

When f(x) = minus f(minusx)

1 10 00

a a a

af x dx f x dx f x dx

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6431133 Fourier Cosine and Sine Series

(1) The Fourier series of an even function on the interval (minusp p) is the cosine series (或稱作 Fourier cosine series)

0

1cos2 n

n

nf x a xap

00 ( )2 pa f x dxp 0

( )cos2 p

nna f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

適用情形 (1) f(x) is even

(2) Half range extension (page 649)

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

644(2) The Fourier series of an odd function on the interval (minusp p) is the sine series (或稱作 Fourier sine series)

1

sinnn

nf x b xp

0( )sin2 p

nnb f x xdxp p

和之前 Fourier series 不一樣的地方有三個

(是哪三個)

適用情形 (1) f(x) is odd

(2) Half range extension (page 649)

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

645Example 1 (text page 438)

Expand f(x) = x 2 lt x lt 2 in a Fourier series

f(x) is odd expand f(x) by a Fourier sine series

2 2

002

2 20

2

0

1

2 2cos cos2 2

2 4 42co

2 sin2 2

4s 0 sin ( ( 11) 0 02 )

n

nn

n nx x xdxn n

nn xn

nb x xdx

nnn

1

1

4( 1) sin 2n

n

nf x xn

Fig 1133

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

646Example 2 (text page 438)

1 0( )

1 0x

f xx

odd function 使用 sine series

0 0

cos2 1 ( 1)2 21 sinn

nnxnb xdx nn

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Fig 1135

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6471134 Gibbs Phenomenon

1

1 ( 1)2 sinn

nf x nxn

Example 2 的結果

partial sum 1

1 ( 1)2 sinN n

Nn

S x nxn

當 N 不為無限大在 discontinuities 附近會有ldquoovershootingrdquo

ldquoovershootingrdquo 的大小不會隨著 N 而變小

但寬度會越來越窄越來越靠近 discontinuities 的地方

這種現象稱作 Gibbrsquos phenomenon

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

Fig 1136

648

(a) S1(x) (b) S2(x)

(c) S3(x) (d) S15(x)

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6491135 Half Range Extension

之前的例子 f(x) is defined in the interval of minusp lt x lt p

Expand f(x) 0 lt x lt L

(a) In a cosine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 even

(b) in a sine series

(i) Interval [minusL L] (ii) 所有公式的 p 由 L 取代 (iii) 結果是 odd

(c) in a Fourier series

(i) Interval [0 L] (ii) 所有公式的 p 由 L2 取代

若問題改成

(f(x) 只有在 0 lt x lt L 當中有定義)

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

650

(a) in a cosine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 even function)

02 ( )cos

L

nna f x xdxL L

0 02 ( )

La f x dxL

0

1cos2 n

n

a nf x a xp

0 02 ( )

pa f x dxp

02 ( )cos

p

nna f x xdxp p

原本 cosine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

0

1cos2 n

n

a nf x a xL

interval變為 (L L)

如 Example 3 (text page 440)

f(x) = x2 0 lt x lt L

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

651(b) in a sine series假設 f(x) = f(x) for minusL lt x lt 0 (假設 f(x) 是一個 odd function)

02 ( )sin

L

nnb f x xdxL L

1

sinnn

nf x b xp

02 ( )sin

p

nnb f x xdxp p

原本 sine series 公式

現在只不過將 p 改成 L

1

sinnn

nf x b xL

interval 變為 (L L)

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

652(c) in a Fourier series

原本 Fourier series 公式

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

interval 仍為 (0 L)

01 p

pa f x dxp

1 cosp

n pna f x xdxp p

1 sin

p

n pnb f x xdxp p

現在 (1) 將 interval [minusp p] 換為 [0 L] (2) 將 p 換為 L2

0

1

2 2cos sin2 n nn

a n nf x a x b xL L

0 02 L

a f x dxL

0

22 cosL

nna f x xdxL L

022 sin

L

nnb f x xdxL L

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

653Example 3 f(x) = x2 0 lt x lt L

將三個方法的結果畫成圖形

cosine series sine series

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

654

Fourier series

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6551136 Solving Particular Solutions (第四個方法)

( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( )n n

n na y t a y t a y t a y t f t

( ) ( 2 )f t f t p

(Step 1) 將 f(t) 表示成 Fourier series

方法的限制

0

1cos sin2 n n

n

a n nf t a t b tp p

或 cosine series (當 f(t) 為 even)

或 sine series (當 f(t) 為 odd)

(註以下的步驟不包含解 homogeneous solutionhomogeneous solution 還是需要用 Section 4-3 的方法來解)

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

656(Step 2) 假設 particular solution 的型態為

01

cos sinp n nn

n ny t A A t B tp p

代回原式比較係數將 A0 An Bn 解出來

若所假設的 particular solution 和 homogeneous solution 有相同的地方則要乘上 t

(Step 3)

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

657Example 4 (text page 441)

(相關物理定理請複習 Section 51)

2

21 416

d x x f tdt

f t t for 1 lt t lt 1 2f t f t

Step 1 假設 1

sinnn

f t b n t

1

0

1 1

00

11

20

2 sin

22 cos cos

1 2 22 ( 1) 0 sin ( 1)

n

n n

b t n t dt

t n t n t dtn n

n tn nn

(因為 f(t) 是 odd)

1

1

2 ( 1) sinn

nf t n tn

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

658Step 2 假設 particular solution 為

1

cos sinp n nn

x t A n t B n t

(p = 1)

思考為什麼這裡可以沒有常數項 A0

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

659Step 3 將 xp(t) 和 Step 1 的結果代入

2

21 416

d x x f tdt

2 2 2 2

1

1

1 1

1 1cos sin16 4 16

24 cos 4 sin ( 1) sin

n nn

nn n

n n

nA n t B n n t

A n t B n t n tn

2 21 4 016 4n n

nA A

2 2 11 24 ( 1)16n

n nB n B n

0nA

1

2 232( 1)(64 )

n

nBn n

1

2 21

32( 1) sin(64 )

n

pn

x t n tn n

Therefore the particular solution is

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

660

注意由於 當中並沒有一次三次五次hellip微

分項所以 particular solution 不可能會有 cosine terms

2

21 416

d x x f tdt

所以在 Step 2 當中可以直接假設

1

sinp nn

x t B n t

1

1 2 2 21

32( 1)cos 8 sin 8 sin(64 )

n

nx t c t c t n t

n n

General solution

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6611137 Section 113 需要注意的地方

(1) 公式一些地方易記錯

for cosine series and sine series

00 ( )2 pa f x dxp

0cos2 p

nna f x xdxp p

0

sin2 p

nnb f x xdxp p

(2) Fourier series 的 half-range extension 和 cosine series 及

sine series 不同

p is replaced by L2 [minusp p] is replaced by [0 L]

(3) Half range extension 和 solving particular solution 這兩個部分較複雜需要特別注意並且多練習例題

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

662

Exercise for Practice

Section 11-1 3 5 6 8 13 14 17 19 20 21 22 23 Section 11-2 2 5 9 10 12 16 19 22 23 24Section 11-3 14 16 18 21 22 23 28 29 33 36 37 43 46 47a 48a

49 52

Review 11 6 12 13 14 15 17 18

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

663

Chapter 14 Integral Transform Method

Integral transform 可以表示成如下的積分式的 transform

( )b

aF s K s t f t dt

kernelLaplace transform is one of the integral transform

0

( ) ( )stL f t e f t dt

本章討論的 integral transform Fourier transform

1( ) ( )2j tf t e f t dt

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

664

Fourier Transform

(1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合

12

0

換成

(2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形

並且將

叮嚀 Chapter 14 的公式定義眾多且非常相近要注意彼此之間的差異以及適用情形以免混淆

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

665Section 143 Fourier Integral

1431 綱要

(1) Fourier integral

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

(和 Fourier series 的定義比較)

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

666(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

j xC f x e dx

0

cos( ) sin( )1f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

比較 Fourier integral 原本的定義

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

667(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0

cos( )A f x x dx

(4) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0

sin( )B f x x dx

適用情形 (1) odd 或 (2) interval [0 )

(5) Others

名詞absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683)

特殊公式0

sin2d

適用情形 (1) even 或 (2) interval [0 )

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6681432 From Fourier Series to Fourier Integral

01 p

pa f t dtp

0

1cos sin2 n n

n

a n nf x a x b xp p

1 cosp

n pna f t t dtp p

1 sin

p

n pnb f t t dtp p

複習Section 11-2 的 Fourier series

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

669

1

1

1 1 cos cos2

1 sin sin

p p

p pn

p

pn

n nf x f t dt f t tdt xp p p p

n nf t tdt xp p p

p 令

1p

1

1

1

cos( ) cos( )2

sin( ) sin( )

1 1cos(0 ) cos( ) cos( )2

1 1sin(0 ) sin( ) sin(2

p p

p pn

p

pn

p p

p pn

p p

p p

f x f t dt f t n t dt n x

f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt n x

f t dt x f t n t dt

1

)n

n x

When p 0 (即 週期 )

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

670When p 0

00 1lim (0) ( ) ( )2 n

S S n S d

(積分的定理)

0 01 1cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

p p

p pf x f t t dt x d f t t dt x d

01 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )f x f t t dt x d f t t dt x d

0 2 3 4

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6711433 Fourier Integral

0

1 cos( ) sin( )f x A x B x d

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

Fourier integral 存在的 sufficient condition

f x dx

converges

若這個條件滿足f(x) 為 absolutely integrable

Fourier Integral

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

672嚴格來說當

cos( )A f x x dx

sin( )B f x x dx

1 01 cos( ) sin( )f x A x B x d

f1(x) 和 f(x) 未必相等

但一般還是寫成 0

1 cos( ) sin( )f x A x d B x d

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

673Theorem 1431 Condition for convergence

When (1) f(x) 為 piecewise continuous

(2) f (x) 為 piecewise continuous

(3) f(x) 為 absolutely integrable

The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity

At the point of discontinuity f1(x) converges to

2

f x f x

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

674Example 1 (text page 531)

Find the Fourier integral representation of f(x)

0 01 0 20 2

xf x x

x

22

0 0

sin( )cos( ) cos( ) sin(2 )xf x x dx x dxA

22

0 0

1cos( )sin( ) sin( ) cos(2 )xf x x dx x dxB

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )f x x x d

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

675

0

2

0

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos 2sin1 cos( ) sin( )

2sin cos cos( ) sin sin( )1

2sin cos( )1

f x x x d

x x d

x xd

x d

Example 1 的解的另一種表示法

(別忘了複習三角函數的公式 pages 611 and 612)

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6761434 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的

算法

0

0

sin(2 ) 1 cos(2 )1 cos( ) sin( )

2sin cos( )1

f x x x d

x d

由 Example 1

When x = 1 since f(x) = 1

0sin2 1d

0

sin2d

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

677

sin( )sinc( ) xx x

補充 sinc function 的定義

常用在 sampling theory filter design 及通訊上

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6781435 Fourier Cosine and Sine Integrals

(A) Fourier cosine integral 或 cosine integral

0

cos( )2f x A x d

0cos( )A f x x dx

類比於 cosine series

適用情形 (1) f(x) is even f(x) = f(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類似於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = f(minusx) )

注意有三個地方和Fourier integral 不同

(1)

(2)

(3)

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

679(B) Fourier sine integral 或 sine integral

0

sin( )2f x B x d

0sin( )B f x x dx

類比於 sine series

適用情形 (1) f(x) is odd f(x) = minusf(minusx)

(2) 只知道 f(x) 當 x gt 0 的時候的值

(類比於Section 113 的 half-range expansion

而且假設 f(x) = minusf(minusx) )

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

680Example 3 (text page 533)

0xf x e x

(a) by a cosine integral (b) by a sine integral

0

cos( )xe x dA x

Suppose that 1 2cos( ) sin( ) cos( )x x xd b e x b e x e xdx

1 1 2 2cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )x x x x xb e x b e x b e x b e x e x

1 2

1 2

10

b bb b

1 22 21

1 1b b

2 20

21 cos( ) sin( )

1 11

1x xe x e xA

(a)

Represent

Solution

(其實有一個取巧的快速算法用 Laplace transform)

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

681

20 0

cos( )cos( )2 21

xf x A x d d

cosine integral

(b) 0 2sin( )

1xe x dB x

0 20

sin( )sin( )1

2 2 xf x B x d d

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

682

Fig 1434

(a) (b)

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6831436 Partial Integral

partial integral for Fourier integral

0

1 cos( ) sin( )b

bF x A x B x d partial integral for cosine integral

0

2 cos( )b

bF x A x d

partial integral for sine integral

02 sin( )b

bF x A x d

(用 b 取代 )

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

684For Example 3

Fig 1435

(b = 5) (b = 20)(a) F5(x) (b) F20(x)

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6851437 Complex Form

complex form or exponential form of Fourier integral

12

j xf x C e d

xjC f x e d

remember cos sinj xe x j x

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

686Proof

0

0

0

1 cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

1 cos( )cos( ) sin( )sin( )

1 cos( ( ))

1 cos( ( ))2

f x f t t dt x f t t dt x d

f t t x t x dtd

f t t x dtd

f t t x dtd

由講義 page 671 Fourier integral 的定義

cos( ( ))f t t x 注意 對 而言是 even function

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

687 1 cos( ( ))2f x f t t x dtd

From sin( ( )) 0f t t x d

( )

1 [cos( ( )) sin( ( ))]21

21

2

j t x

jj t x

f x f t t x j t x dtd

f t e

f t e d

dtd

e dt

12

j xf x C e d

xjC f x e dx

sin( ( ))f t t x (因為 對 而言是 odd function)

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6881438 Section 143 需要注意的地方

(1) 公式積分的外面要乘11

2或

(Fourier integral)

(Complex form of Fourier integral)

或 2

(cosine integral sine integral)

(2) 一些積分的計算會常常用到

cos( )x x dxcos( )xe x dx

uv uv u v 算法

算法假設解為

或者用 Laplace transform 的公式 s = 1

1 2cos( ) sin( )x xb e x b e x

sin( )x x dxsin( )xe x dx

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

689Section 144 Fourier Transforms

1441 綱要

Fourier transform其實就是 complex form of Fourier integral

本節著重於 (1) 定義

(2) 性質

(3) Solving the boundary value problem (pages 703-713)

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

公式

學習方式多和 Laplace transform 比較

有一點複雜且常考要勤於練習

代表 Fourier transform

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

690

(1) Fourier transform

(2) inverse Fourier transform 1 12

j xF F e d f x

j xf x f x e dx F

(3) Fourier sine transform 0

sin( )s f x f x x dx F

(4) inverse Fourier

sine transform 1

0sin( )2

s F F x d f x

(5) Fourier cosine transform

(6) inverse Fourier

cosine transform

0

cos( )c f x f x x dx F

1

0cos( )2

c F F x d f x

(A) 六大定義

注意除了 ejx 變成 cos(x) 以外

還有三個地方和 Fourier transform 不同

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

691(B) 微分性質

(7) for Fourier transform f x j F

(9) for Fourier sine transform

( ) ( )( )n nf x j F

cs f x f x

2 0s s ff x f x

(8)

(10)

(11) for Fourier cosine transform 0sc f x f x f

(12) 2 0c c ff x f x

不同

不同

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

692

(13) 可考慮用 Fourier transform 的情形

(C) Problems with boundary conditions (多練習)

x

(14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形

0 x 0U x y when x = 0

(15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形

0 x 0

0x

U x yx

(D) 名詞

transform pair (page 693)

heat equation (page 705)2

2u uk tx

另外要熟悉 page 704 的計算流程

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

6931442 Transform Pair

則 A 和 B 形成一個 transform pair

若 甲A

乙 乙 甲B

Transform pair 的定義

甲和 乙

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

694

Fourier transform pair

j xf x f x e dx F

1 12

j xF F e d f x

和之前 complex form of Fourier integral 相比較

只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字

1443 Fourier Transform

Fourier transform 存在的條件

(1) f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

695

Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係

把 s 換成 minusj

0

( ) ( )stf t e f t dt LLaplace

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

696

Fourier sine transform pair

0

sin( )s sf x f x x dx F

1

02 sin( )s F F x d f x

Fourier cosine transform pair

0

cos( )c cf x f x x dx F

1

02 cos( )c F F x d f x

Fourier sine cosine transform 存在的條件

(1) 0

f x d

(absolutely integrable)

(2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

1444 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

697Fourier sine cosine transform 的意義

j xf x e dx F

0

(cos sin )

cos sin

cos

2 cos

j xf x e dx f x x j x dx

f x xdx j f x xdx

f x xdx

f x xdx

等於 0

for Fourier cosine transform 2cF F

(1)當 f(x) 為 even

Fourier transform Fourier cosine transform

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

698

12

j xF e d f x

1 j xcF e d f x

由於對 Fourier cosine transform 而言

c cF F (even function )

1 cos( )cF x d f x

0

cos( )2cF x d f x

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform

1 1 cos( ) sin( ) ( )j xc c c

jF e d F x d F x d f x

(由前頁)

等於 0

If f(x) is even

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

699Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形當 f(x) 為 even

2cF F

Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為odd 的情形當 f(x) 為 odd

2sF F j

然而若 f(x) 只有在 x [0 ) 之間有定義也可以用Fourier cosine sine transform

(類似於Section 113 的 half-range expansion)

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

7001445 微分性質

j x j x j xf x e dx f x e j f xf x

j x

e

f

dx

微分性質做了一些假設 f(x) = 0 when x and x

比較對 Laplace transform

( ) ( ) (0)L f x sL f x f

對 Fourier transform

0

sxf x e dx

s minusj without initial conditions

( ) ( )( )n nf x j F 以此類推

(1) Fourier transform 的微分性質

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

701

00 0

sin sin cos

c

s f x

f x

f x x dx f x x f x x dx

00 0

cos cos sin

0s

c f x x dx f x x f x x dxf x

f x f

注意 (1) Fourier sine cosine transforms 互換

(2) 正負號不同

(3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

(2) Fourier sine transform 的微分性質

(3) Fourier cosine transform 的微分性質

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

702

2 0s c sf x f x f x f

20 0c s cf x f x f f x f

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

7031446 Solving the Boundary Value Problem (BVP)

(Condition 1) interval 為 lt v lt 時用 Fourier transform

(Condition 2) interval 為 0 lt v lt

有 ldquou(v hellip) = 0 or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition 時

用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 lt v lt

有 ldquo or a constant when v = 0rdquo 的 boundary condition時

用 Fourier cosine transform

0u vv

概念複雜要特別加強練習

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

704使用 Fourier transform Fourier cosine transform Fourier sinetransform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP的解法流程

(Step 1) 以 page 703 的規則來決定要針對 哪一個 independentvariable 做什麼 transform (Fourier Fourier cosine 或Fourier sinetransform)(Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE)

(Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來

(Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出

( 和 Step 1 所做的 transform 一樣只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions見 pages 705 708 的例子)

(Step 5) 最後別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

705

heat equation2

2u uk tx

Example 1 (text page 538)

x 0t

0u x f xsubject to where 0 | | 10 | | 1u x

f xx

Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform

i xx u dxx t u x t e U t

2

2x xu uk tx

2

U tk U t t

Step 2 原本對 x t 兩個變數做偏微分

經過 Fourier transform 之後只剩下對 t 做偏微分

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

706 2 0

dU tk U tdt

對於 t 而言是 1st order ODE

2

k tU t ec 這邊的 c 值對 t 而言是 constant

但是可能會 dependent on (特別注意)

根據 u(x 0) = f(x) 將 c 解出

Step 3

Step 4

和 Step 1 一樣也是針對 x 做 Fourier transform

只是對象改成 initial condition

1

01

0 0

s

0

in2

i x

i

xix

i

u e du x f x x

e eu u

e d

i

x

因為 0 0x u x U

0sin0 2U u

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

707

2 k tU t c e 0

sin0 2U u

0sin2c u

比較係數

2

0sin 2 k tU t u e

未完待續別忘了最後要做 inverse Fourier transform

210

sin1 22k t j x

xu x t U t u e e d

不易化簡課本僅依據 對 而言是 even

function 將 u(x t) 化簡為

2sin k te

2

2

0

0

sin (cos sin )

sin cos

k t

k t

u x t

u

u e

x e

x j x d

d

Step 5

解出

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

708Example 3 Laplacersquos equation (text page 540)2 2

2 2 0u ux y 0 x 0y

0 0u y yu y e 0y

00

y

uy

0 x

Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform

0( ) ( )cos c y u x y u x y ydy U x

Step 2 2 2

2 2 0c y c y c yu u

x y

2

22

0d U x

U xdx

對於 x 的 2nd order ODE

2 0c cf y f y f from

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

709Step 3

22

2

0d U x

U xdx

1 2 cosh sinhU x c x c x

注意雖然也可將解表示成 3 4 x xU x c e c e

3 41 2

c cc 3 4

2 2c cc

但是表示成 1 2 cosh sinhU x c x c x

較容易處理 boundary value condition

sinh 2x xe ex

sinh 0 0

cosh 2x xe ex

cosh sinhd x xdx 0

cosh 0x

d xdx

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

710

Step 4 由 來解 c1 c2

1 2 cosh sinhU x c x c x

0 0u y yu y e

0(0 ) (0 ) 0 cos 0c yU u y ydy

201( ) ( ) cos

1y

c yU u y e ydy

1 2 cosh sinhU x c x c x 分別代入

1 0c

1 2 21cosh sinh

1c c

1 0c

2 21

(1 )sinhc

和 Step 1 一樣也是針對 y 做 Fourier cosine transform

只是對象改成 boundary conditions

(可以用Laplace transform 的「取巧法」)

(1)

(2)

(1)

(2)

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

711 2

sinh(1 )sinh

xU x

Step 5 inverse cosine transform

1 20

sinh2 cos(1 )sinhc y

xu x y U x y d

(算到這裡即可難以繼續化簡)

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

7121447 Section 144 需要注意的地方

(1) 微分公式當中Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形(See pages 701 702)

(2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方)

(3) 在解 boundary value problem 時要了解

何時用 Fourier transform

何時用Fourier cosine transform

何時用 Fourier sine transform (see page 703)

(4) 解 boundary value problem 流程雖複雜但只要記住

方法的精神在於

運用 transform

將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

713(5) 在解 partial differential equation 時往往只針對一個

independent variable 做 Fourier transform 另一個 independent variable 不受影響如 Examples 1 and 2 pages 705 and 708 的例子

計算過程中自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform

本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) x u x t

(6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做

同一種 transform只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706 710)

(7) 注意 page 709 有時我們會用 1 2cosh sinhc x c x

來取代 3 4x xc e c e 以方便計算

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

714附錄八其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義

在其他書上常常把 Fourier transform 的定義寫成

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

或者 2j fxg x g x e dx G f

1 2j fxG f G f e d g x

12

j xg x g x e dx G

1 12

j xG G e d g x

或者

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

715

祝同學們期末考順利

期末考

(1) 由於內容眾多各位對於所學的東西一定要有系統化的整理與比較

(2) 公式定理名詞解法甚多若要背公式就早一點背公式

(3) 保持最佳狀態腦筋多轉彎

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16

716Exercise for Practice

Section 14-3 3 4 7 12 15 16 17 19 20

Section 14-4 1 2 3 9 12 15 16 18 19 20 21 27

Review 14 2 7 8 11 15 16