5d eaiee applicazioni campi magnetici statici · 2017-10-30 · m. usai 5d_eaiee_applicazioni campi...
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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 1
5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI
STATICI
(ultima modifica 27/10/2017)
Esempi di campi magnetici e calcolo
di induttanze.
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Conduttore rettilineo indefinito
Si consideri un conduttore omogeneo cilindrico rettilineo di grande
lunghezza, percorso dalla corrente I. Con un flussometro é possibile
calcolare in ogni punto della regione circostante il vettore .
Se lo spazio circostante é omogeneo e isotropo il vettore induzione
per r > ro (ro raggio del conduttore) ossia all’esterno del
conduttore, risulta:
• il modulo direttamente proporzionale ad I ed inversamente
proporzionale alla distanza r del punto considerato dall’asse del
conduttore e dipendente dalla natura del mezzo;
• la direzione normale al piano determinato dal conduttore e dal
punto considerato;
• il verso definito dal senso di rotazione della vite destrogira,
avanzante nel senso positivo della corrente.
B
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Tali risultati sperimentali possono essere espressi analiticamente
dalla seguente relazione:
Nella formula l’influenza della natura del mezzo é indicata dalla
grandezza , ossia dalla permeabilità magnetica del mezzo.
Il fattore 1/2 é utilizzato per ottenere formule semplificate dette
“razionalizzate”. Il campo magnetico in ogni punto sarà:
in modulo
πr2
IμB
BH
P r B
I
r2
IBH
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La relazione trovata: che esprime la legge di Biot e
Savart, mostra che il campo magnetico non dipende dalla natura
del mezzo quando questo é omogeneo ed isotropo in tutto lo spazio.
Quindi nella regione dello spazio esterna al conduttore, per r > ro,
H(r) ha l’andamento di una iperbole equilatera.
All’interno del conduttore, nella ipotesi di densità di corrente
uniforme (basse frequenze), in ogni sezione generica di raggio
r < ro sarà:
e il campo in un punto distante r sarà:
r2
IH
r
ro
Ir
rI
r
I
S
IJ
r
I
S
IJ
o
r
oror
r
r
rr o 2
2
22
rr2
I
r2
IH
2
o
rr
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Quindi nella regione dello spazio interna al conduttore, per r < ro ,
H(r) ha l’andamento di una retta.
Nella regione interna al conduttore, per r < ro:
nella regione esterna al conduttore, per r > ro: r2
IH
rr2
IH
2
o
r
ro r
H
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Convenzioni di segno: regola di Maxwell
Il verso positivo della induzione sull’asse dell’induttore é quello
in cui avanza una vite destrogira, che ruota nel verso positivo di
percorrenza della filo:
+ B I I B
+
B
I
+
B
I
B
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Autoinduttanza di un provino toroidale con N spire strettamente
avvolte intorno con sezione rettangolare.
Per la geometria é consigliabile usare un sistema di coordinate
cilindriche:
calcolando la circuitazione al vettore
lungo un percorso circolare di raggio r con
a < r < b:
B a B dl a rd
B
r
NIBNIrBrdB
NIrdaaBldB
NIldB
ldH
oo
o
cc
co
c
2 2
2
0
b
a r dr
h
I r
N
a
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Il flusso sarà:
il flusso concatenato e l’autoinduttanza saranno:
Relazione costitutiva che lega il flusso alla corrente I
L’autoinduttanza L non dipende dalla corrente I (per un mezzo a
permeabilità costante) e neanche dalla intensità del flusso
0
0 0
2
ln2 2
S S
b
a
μ NIΦ B d s a a hdr
πr
μ NIh μ NIhdr b
πr r πr a
2 2
ln ln2 2
o o
c
μ N Ih μ N hb bN L
πr a πr a
c
c
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Induttanza per unità di lunghezza di un solenoide molto lungo in aria
Per determinare B in funzione della corrente I, si applica la legge della circuitazione lungo un percorso rettangolare C lungo l, che si sviluppa parzialmente all’interno e parzialmente all’esterno del conduttore. Lungo C si ha:
H l =NI (B/o) l = NI B l = oNI che per l =1 B = oNI ,
costante all’interno del solenoide, con N= n° delle spire concatenate con il percorso C
é parallelo all’asse del solenoide con il verso positivo dato da una vite destrogira che ruota nel verso di percorrenza della corrente nella spira, secondo la regola di Maxwell.
I I
C
l
I
B
B
B
mm
l
fNIldH
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Il flusso sarà:
dove S é sezione trasversale del solenoide.
Il flusso concatenato per unità di lunghezza sarà:
Relazione costitutiva che lega il flusso alla corrente I
Quindi l’induttanza per unità di lunghezza é:
L’autoinduttanza risulta proporzionale al quadrato del numero di spire N2.
Il valore effettivo della induttanza é minore di quello ottenuto: Leffettivo < L’ , poiché sono state fatte le seguenti approssimazioni:
•assumere il solenoide di lunghezza infinita e
•trascurare l’effetto dei bordi alle due estremità del solenoide.
NSIBS o
2'c o
N N SI
m
HS Nμ
IL' o
c 2'
c
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Induttanza per unità di lunghezza di un linea di trasmissione
coassiale avente un conduttore interno di raggio a e un conduttore
esterno di spessore molto sottile di raggio b.
Per la simmetria cilindrica, presenta la sola componente φ-esima
All’interno del conduttore Tra i due conduttori
per 0 r a, l’induzione per a r b, si ha:
in un punto P distante r è: in un punto P distante r è:
2
o11
a2
rIaBaB
r2
IaBaB o
22
a
b I
I
B
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Si assuma:
•che la corrente I fluisca nel conduttore interno e ritorni attraverso
il conduttore esterno e
•che sia uniformemente distribuita sulla sezione del conduttore
interno.
Se si considera un anello anulare nel conduttore interno con raggio
compreso tra r e r+dr. La corrente dI per unità di lunghezza di
questo anello anulare è concatenata dal flusso che può essere
ottenuto integrando le espressioni della induzione trovate, per r che
varia da r a b:
a
b
π
Iμra
πa
Iμ
r
dr
π
Iμrdr
πa
Iμ
drBdrBdrBdΦ
oo
b
a
oa
r
o
b
a Φ
a
r Φ
b
r Φ
ln24
22
'
22
2
2
21
braper
ar0per
:essendo
2
1
B
BB
Φ
Φ
Φ
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Poichè la corrente dI nell’anello anulare è pari a una aliquota della
corrente totale I, pari a : [ (r+dr)2- r2]/ a2 ≃2rdr/ a2 =
= 2rdr/ a2, il flusso concatenato con questo anello anulare é:
Il flusso concatenato totale, per unità di lunghezza sarà:
0
2 2
2 20 0
1ln
2
1ln
2 4
r a
r
a a
o
o
' d
μ I ba r rdr rdr
πa a a
μ I b.
π a
a
b
π
μ
π
μI ln
28' 00
rdra
b
π
Iμ ra
πa
Iμ
ad
a
rdrd
ln
2)(
4
2'2' 022
2
0
22
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L’induttanza per unità di lunghezza della linea di trasmissione
coassiale é:
Il primo termine della induttanza Li é dovuto al flusso concatenato
internamente al conduttore detto induttanza interna Li per unità di
lunghezza del conduttore interno.
Il secondo termine della induttanza Le é dovuto al flusso
concatenato che esiste tra il conduttore interno ed esterno detto
induttanza esterna per unità di lunghezza della linea coassiale.
.a
b
π
μ
π
μLL
IL oo
ei
m
H ln
28
''
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Nelle applicazioni in alta frequenza la corrente in un buon
conduttore tende a concentrarsi verso la superficie esterna del
conduttore (effetto pelle), dando luogo a una corrente nulla nella
sezione interna del conduttore interno e a una modifica del valore
della induttanza interna.
Al limite per frequenze elevate le linee di flusso della corrente si
concentrano sul bordo della superficie della sezione del
conduttore interno e l’induttanza interna diventa nulla.
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Induttanda interna ed esterna di una linea di trasmissione
realizzata con due conduttori paralleli con sezione circolare di
raggio a distanti d.
Si ipotizza che:
• il campo entro il conduttore sia trascurabile
• d sia grande rispetto al raggio dei conduttori,
ciò comporta la trascurabilità del campo dovuto al secondo
conduttore quando si valuta l’induttanza interna del primo.
y
x z
I
I
d a
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L’autoinduttanza interna per unità di lunghezza per i due fili sarà
doppia rispetto a quella relativa a ciascun filo:
Per determinare l’autoinduttanza esterna per unità di lunghezza,
si determina il flusso concatenato magnetico per unità di lunghezza
della linea di trasmissione per una corrente I.
Sul piano x-z dove giacciono i due conduttori, il contributo
all’induzione dovuto alle due correnti uguali e opposte nei due fili
presentano una sola componente nella direzione y:
48 2L oo'
i
.
xd2
IBe
x2
IB 0
2y0
1y
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Il flusso concatenato per unità di lunghezza é quindi:
Quindi:
e l’induttanza totale per unità di lunghezza della linea bifilare é:
1 2
0 0
1 11
2
ln ln
d a d ao
c y ya a
μ IΦ ' B B dx dx
π x d x
μ I μ Id a d Wb
π a π a m
ln' c o
e
Φ ' μ d HL
I π a m
m
H
a
dln
4
1
π
μLLL' o'
e
'
i
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Due bobine con N1 e N2 spire avvolte concentricamente intorno ad
un supporto cilindrico di raggio a e permeabilità .
Lo spazio tra le due bobine è in realtà nullo e la sezione delle bobine è trascurabile rispetto al raggio del supporto, per
cui si può considerare per entrambe le bobine lo stesso raggio di supporto a
Si assume che la corrente I1 fluisca nella bobina interna. Dalla
relazione valida per un solenoide di lunghezza molto grande :
quindi il flusso che si concatena con la spira esterna, nella ipotesi di
flusso disperso trascurabile sarà uguale al flusso prodotto dalla
bobina interna:
l2
l1
N2 N1
1NSIBS o
1
2
1
112 Iπ a
l
NμΦ
a
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Il flusso concatenato con la bobina esterna é:
Quindi la mutua induttanza é:
2
12 2 12 1 2 1
1
c
μN Φ N N πa I .
l
212
12 1 2
1 1
cμ
L N N πa HI l