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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 1 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI (ultima modifica 27/10/2017) Esempi di campi magnetici e calcolo di induttanze.

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Page 1: 5d EAIEE APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI · 2017-10-30 · M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 4 La relazione trovata: che esprime la legge di Biot e Savart,

M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 1

5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI

STATICI

(ultima modifica 27/10/2017)

Esempi di campi magnetici e calcolo

di induttanze.

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 2

Conduttore rettilineo indefinito

Si consideri un conduttore omogeneo cilindrico rettilineo di grande

lunghezza, percorso dalla corrente I. Con un flussometro é possibile

calcolare in ogni punto della regione circostante il vettore .

Se lo spazio circostante é omogeneo e isotropo il vettore induzione

per r > ro (ro raggio del conduttore) ossia all’esterno del

conduttore, risulta:

• il modulo direttamente proporzionale ad I ed inversamente

proporzionale alla distanza r del punto considerato dall’asse del

conduttore e dipendente dalla natura del mezzo;

• la direzione normale al piano determinato dal conduttore e dal

punto considerato;

• il verso definito dal senso di rotazione della vite destrogira,

avanzante nel senso positivo della corrente.

B

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 3

Tali risultati sperimentali possono essere espressi analiticamente

dalla seguente relazione:

Nella formula l’influenza della natura del mezzo é indicata dalla

grandezza , ossia dalla permeabilità magnetica del mezzo.

Il fattore 1/2 é utilizzato per ottenere formule semplificate dette

“razionalizzate”. Il campo magnetico in ogni punto sarà:

in modulo

πr2

IμB

BH

P r B

I

r2

IBH

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 4

La relazione trovata: che esprime la legge di Biot e

Savart, mostra che il campo magnetico non dipende dalla natura

del mezzo quando questo é omogeneo ed isotropo in tutto lo spazio.

Quindi nella regione dello spazio esterna al conduttore, per r > ro,

H(r) ha l’andamento di una iperbole equilatera.

All’interno del conduttore, nella ipotesi di densità di corrente

uniforme (basse frequenze), in ogni sezione generica di raggio

r < ro sarà:

e il campo in un punto distante r sarà:

r2

IH

r

ro

Ir

rI

r

I

S

IJ

r

I

S

IJ

o

r

oror

r

r

rr o 2

2

22

rr2

I

r2

IH

2

o

rr

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 5

Quindi nella regione dello spazio interna al conduttore, per r < ro ,

H(r) ha l’andamento di una retta.

Nella regione interna al conduttore, per r < ro:

nella regione esterna al conduttore, per r > ro: r2

IH

rr2

IH

2

o

r

ro r

H

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 6

Convenzioni di segno: regola di Maxwell

Il verso positivo della induzione sull’asse dell’induttore é quello

in cui avanza una vite destrogira, che ruota nel verso positivo di

percorrenza della filo:

+ B I I B

+

B

I

+

B

I

B

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 7

Autoinduttanza di un provino toroidale con N spire strettamente

avvolte intorno con sezione rettangolare.

Per la geometria é consigliabile usare un sistema di coordinate

cilindriche:

calcolando la circuitazione al vettore

lungo un percorso circolare di raggio r con

a < r < b:

B a B dl a rd

B

r

NIBNIrBrdB

NIrdaaBldB

NIldB

ldH

oo

o

cc

co

c

2 2

2

0

b

a r dr

h

I r

N

a

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 8

Il flusso sarà:

il flusso concatenato e l’autoinduttanza saranno:

Relazione costitutiva che lega il flusso alla corrente I

L’autoinduttanza L non dipende dalla corrente I (per un mezzo a

permeabilità costante) e neanche dalla intensità del flusso

0

0 0

2

ln2 2

S S

b

a

μ NIΦ B d s a a hdr

πr

μ NIh μ NIhdr b

πr r πr a

2 2

ln ln2 2

o o

c

μ N Ih μ N hb bN L

πr a πr a

c

c

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 9

Induttanza per unità di lunghezza di un solenoide molto lungo in aria

Per determinare B in funzione della corrente I, si applica la legge della circuitazione lungo un percorso rettangolare C lungo l, che si sviluppa parzialmente all’interno e parzialmente all’esterno del conduttore. Lungo C si ha:

H l =NI (B/o) l = NI B l = oNI che per l =1 B = oNI ,

costante all’interno del solenoide, con N= n° delle spire concatenate con il percorso C

é parallelo all’asse del solenoide con il verso positivo dato da una vite destrogira che ruota nel verso di percorrenza della corrente nella spira, secondo la regola di Maxwell.

I I

C

l

I

B

B

B

mm

l

fNIldH

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 10

Il flusso sarà:

dove S é sezione trasversale del solenoide.

Il flusso concatenato per unità di lunghezza sarà:

Relazione costitutiva che lega il flusso alla corrente I

Quindi l’induttanza per unità di lunghezza é:

L’autoinduttanza risulta proporzionale al quadrato del numero di spire N2.

Il valore effettivo della induttanza é minore di quello ottenuto: Leffettivo < L’ , poiché sono state fatte le seguenti approssimazioni:

•assumere il solenoide di lunghezza infinita e

•trascurare l’effetto dei bordi alle due estremità del solenoide.

NSIBS o

2'c o

N N SI

m

HS Nμ

IL' o

c 2'

c

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 11

Induttanza per unità di lunghezza di un linea di trasmissione

coassiale avente un conduttore interno di raggio a e un conduttore

esterno di spessore molto sottile di raggio b.

Per la simmetria cilindrica, presenta la sola componente φ-esima

All’interno del conduttore Tra i due conduttori

per 0 r a, l’induzione per a r b, si ha:

in un punto P distante r è: in un punto P distante r è:

2

o11

a2

rIaBaB

r2

IaBaB o

22

a

b I

I

B

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 12

Si assuma:

•che la corrente I fluisca nel conduttore interno e ritorni attraverso

il conduttore esterno e

•che sia uniformemente distribuita sulla sezione del conduttore

interno.

Se si considera un anello anulare nel conduttore interno con raggio

compreso tra r e r+dr. La corrente dI per unità di lunghezza di

questo anello anulare è concatenata dal flusso che può essere

ottenuto integrando le espressioni della induzione trovate, per r che

varia da r a b:

a

b

π

Iμra

πa

r

dr

π

Iμrdr

πa

drBdrBdrBdΦ

oo

b

a

oa

r

o

b

a Φ

a

r Φ

b

r Φ

ln24

22

'

22

2

2

21

braper

ar0per

:essendo

2

1

B

BB

Φ

Φ

Φ

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 13

Poichè la corrente dI nell’anello anulare è pari a una aliquota della

corrente totale I, pari a : [ (r+dr)2- r2]/ a2 ≃2rdr/ a2 =

= 2rdr/ a2, il flusso concatenato con questo anello anulare é:

Il flusso concatenato totale, per unità di lunghezza sarà:

0

2 2

2 20 0

1ln

2

1ln

2 4

r a

r

a a

o

o

' d

μ I ba r rdr rdr

πa a a

μ I b.

π a

a

b

π

μ

π

μI ln

28' 00

rdra

b

π

Iμ ra

πa

ad

a

rdrd

ln

2)(

4

2'2' 022

2

0

22

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 14

L’induttanza per unità di lunghezza della linea di trasmissione

coassiale é:

Il primo termine della induttanza Li é dovuto al flusso concatenato

internamente al conduttore detto induttanza interna Li per unità di

lunghezza del conduttore interno.

Il secondo termine della induttanza Le é dovuto al flusso

concatenato che esiste tra il conduttore interno ed esterno detto

induttanza esterna per unità di lunghezza della linea coassiale.

.a

b

π

μ

π

μLL

IL oo

ei

m

H ln

28

''

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 15

Nelle applicazioni in alta frequenza la corrente in un buon

conduttore tende a concentrarsi verso la superficie esterna del

conduttore (effetto pelle), dando luogo a una corrente nulla nella

sezione interna del conduttore interno e a una modifica del valore

della induttanza interna.

Al limite per frequenze elevate le linee di flusso della corrente si

concentrano sul bordo della superficie della sezione del

conduttore interno e l’induttanza interna diventa nulla.

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 16

Induttanda interna ed esterna di una linea di trasmissione

realizzata con due conduttori paralleli con sezione circolare di

raggio a distanti d.

Si ipotizza che:

• il campo entro il conduttore sia trascurabile

• d sia grande rispetto al raggio dei conduttori,

ciò comporta la trascurabilità del campo dovuto al secondo

conduttore quando si valuta l’induttanza interna del primo.

y

x z

I

I

d a

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 17

L’autoinduttanza interna per unità di lunghezza per i due fili sarà

doppia rispetto a quella relativa a ciascun filo:

Per determinare l’autoinduttanza esterna per unità di lunghezza,

si determina il flusso concatenato magnetico per unità di lunghezza

della linea di trasmissione per una corrente I.

Sul piano x-z dove giacciono i due conduttori, il contributo

all’induzione dovuto alle due correnti uguali e opposte nei due fili

presentano una sola componente nella direzione y:

48 2L oo'

i

.

xd2

IBe

x2

IB 0

2y0

1y

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 18

Il flusso concatenato per unità di lunghezza é quindi:

Quindi:

e l’induttanza totale per unità di lunghezza della linea bifilare é:

1 2

0 0

1 11

2

ln ln

d a d ao

c y ya a

μ IΦ ' B B dx dx

π x d x

μ I μ Id a d Wb

π a π a m

ln' c o

e

Φ ' μ d HL

I π a m

m

H

a

dln

4

1

π

μLLL' o'

e

'

i

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 19

Due bobine con N1 e N2 spire avvolte concentricamente intorno ad

un supporto cilindrico di raggio a e permeabilità .

Lo spazio tra le due bobine è in realtà nullo e la sezione delle bobine è trascurabile rispetto al raggio del supporto, per

cui si può considerare per entrambe le bobine lo stesso raggio di supporto a

Si assume che la corrente I1 fluisca nella bobina interna. Dalla

relazione valida per un solenoide di lunghezza molto grande :

quindi il flusso che si concatena con la spira esterna, nella ipotesi di

flusso disperso trascurabile sarà uguale al flusso prodotto dalla

bobina interna:

l2

l1

N2 N1

1NSIBS o

1

2

1

112 Iπ a

l

NμΦ

a

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M. Usai 5d_EAIEE_APPLICAZIONI CAMPI MAGNETICI STATICI 20

Il flusso concatenato con la bobina esterna é:

Quindi la mutua induttanza é:

2

12 2 12 1 2 1

1

c

μN Φ N N πa I .

l

212

12 1 2

1 1

L N N πa HI l