5_p

5. Parametrizacija dijela prostora

5.1. Osnovno o parametrizaciji

Na prošlim predavanjima naučili smo da se plohe parametriziraju korištenjemdva parametra u i v. Kao što smo mogli očekivati, dijelovi prostora parametrizirajuse korištenjem tri parametra, koje ćemo zvati u, v i w,

~r = ~r(u, v, w).

To znači da svaku od varijabli možemo prikazati kao funkciju tri parametra

(x, y, z) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)),

odnosno

x = x(u, v, w),

y = y(u, v, w),

z = z(u, v, w).

Jedina stvar koju moramo znati su granice u kojima se kreću parametri u, v iw. Tada će se “završetak” radijus vektora ~r kretati po zadanom dijelu prostora.

5.2. Cilindarske koordinate

Cilindarske koordinate jedna su od generalizacija polarnih koordinata naprostor. Standardnim polarnim koordinatama dodaje se samo još os z (da bismodobili treću dimenziju).

Katkad se, da ne pomiješamo radijus vektor ~r s koordinatom r, ta koordinata ozna-čava s ρ (što ćemo i mi ovdje učiniti).

36 5. Parametrizacija dijela prostora

Dakle,

~r = (x, y, z) = (ρ cosϕ, ρ sinϕ, z).

Pritom, kao i kod polarnih koordinata je

0 ≤ ρ <∞, 0 ≤ ϕ < 2π, −∞ < z <∞.

Uočimo da između Kartezijevih koordinata i cilindarskih koordinata postoji bi-jekcija u svim točkama prostora, osim u točkama koje se nalaze na z osi. Naime,ako stavimo da je ρ = 0 i ako fiksiramo z, možemo bilo što staviti za ϕ, a nalazimose uvijek u istoj točki osi z. Takve točke u kojima ne postoji bijekcija Kartezijevihi nekih drugih koordinata zovu se singularne točke preslikavanja.

Promotrimo sada što su sada ρ, ϕ i z linije, te (ρ, ϕ), (ρ, z) i (ϕ, z) plohe. De-finicija odgovarajućih ploha potpuno odgovara definiciji u, odnosno v linije kodparametrizacija ploha. Budući da ovdje sve gledamo u tri dimenzije, nemamo višelinije, nego plohe.

Dakle, kad fiksiramo ϕ i z, dobili smo ρ liniju. Dakle, ρ linija je polupravac kojileži u ravnini paralelnoj s xy, na visini z0 polazi od z-osi u smjeru određenom kutomϕ0.

Ako fiksiramo ρ i z, dobili smo ϕ liniju. ϕ linija je kružnica radijusa ρ0 koja senalazi u ravnini paralelnoj s xy i to na visini z0.

Konačno, ako fiksiramo ρ i ϕ, dobili smo z liniju. z linija je pravac okomit naxy ravninu, koji je probada u točki s polarnim koordinatama (ρ0, ϕ0).

Sada promotrimo (ρ, ϕ) plohu. To znači da smo fiksirali z i da je on jednak z0.(ρ, ϕ) ploha je ravnina paralelna s xy ravninom i to na visini z0.

Ako fiksiramo ϕ, dobili smo (ρ, z) plohu. (ρ, z) ploha je poluravnina koja jeokomita na xy ravninu, kojoj je “početak” z-os. Ta poluravnina s ravninom xyzatvara kut ϕ0.

Konačno, ako fiksiramo ρ, dobili smo (ϕ, z) plohu. (ϕ, z) ploha je cilindar radi-jusa ρ0, kojem je os cilindra z-os.

Promotrimo sada tangencijalne vektore u smjeru ρ, ϕ i z linije. Deriviranjem

~r = (x, y, z) = (ρ cosϕ, ρ sinϕ, z)

po ρ, ϕ i z izlazi

~rρ =∂~r(ρ, ϕ, z)

∂ρ= (cosϕ, sinϕ, 0),

~rϕ =∂~r(ρ, ϕ, z)

∂ϕ= (−ρ sinϕ, ρ cosϕ, 0),

~rz =∂~r(ρ, ϕ, z)

∂z= (0, 0, 1).

Kao i dosad, tangencijalni vektori su tangencijalni na odgovarajuću liniju, asmjer im je smjer porasta te linije (po odgovarajućem parametru).

5.2. Cilindarske koordinate 37

Za integraciju u cilindarskim koordinatama trebat će nam diferencijal volumena,odnosno volumen “paralelepipeda” kojemu su stranice ~rρdρ, ~rϕdϕ i ~rzdz. Ako znamovektore stranica koje određuju taj paralelepiped,

onda je njegov volumen dan mješovitim produktom vektora koji ga određuju:

dV = (~rρ dρ× ~rϕ dϕ) · ~rz dz = [(~rρ × ~rϕ) · ~rz] dρ dϕ dz

=

∣∣∣∣∣∣cosϕ sinϕ 0−ρ sinϕ ρ cosϕ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣ dρ dϕ dz = (ρ cos2 ϕ+ ρ sin2 ϕ) dρ dϕ dz

= ρ dρ dϕ dz.

Dakle,

dV = ρ dρ dϕ dz.

Sada možemo definirati i integral skalarnog polja po volumenu V s∫∫V

∫U(~r) dV =

∫∫Vρ,ϕ,z

∫U(~r(ρ, ϕ, z)) ρ dρ dϕ dz.

Posljednji integral je obični trostruki integral po varijablama ρ, ϕ i z.

Primjer 5.1. Izračunajte

∫∫Vx,y,z

∫(z2x2 + z2y2) dx dy dz,

ako je V valjak x2 + y2 = 1 omeđen ravninama z = −1 i z = 1.


Skicirajmo valjak:

–1

–0.50

0.5

1 –1

–0.5

0

0.5

1–1

–0.5

0

0.5

1

Najpametnije je prijeći u cilindarske koordinate, pa naš integral glasi:

I =

∫ 2π

0

(∫ 1

0

(∫ 1

−1(z2ρ2 cos2 ϕ+ z2ρ2 sin2 ϕ)dz

)ρ dρ

)dϕ

=

∫ 2π

0

(∫ 1

0

(∫ 1

−1z2ρ3 dz

)dρ

)dϕ =

∫ 2π

0

(∫ 1

0

z3

3

∣∣∣∣1−1ρ3 dρ

)dϕ

=

∫ 2π

0

(∫ 1

0

2

3ρ3 dρ

)dϕ =

∫ 2π

0

2

3

ρ4

4

∣∣∣∣10

dϕ =

∫ 2π

0

2

3

1

4dϕ

=

∫ 2π

0

1

6dϕ =

1

6ϕ

∣∣∣∣2π0

=1

62π =

π

3.

Integral smo mogli tražiti i u Kartezijevim koordinatama, što bi bilo neusporedivoteže integrirati:

I =

∫ 1

−1

(∫ √1−x2−√1−x2

(∫ 1

−1(z2x2 + z2y2)dz

)dy

)dx

=

∫ 1

−1

(∫ √1−x2−√1−x2

(x2 + y2)z3

3

∣∣∣∣1−1

dy

)dx

=

∫ 1

−1

(∫ √1−x2−√1−x2

(x2 + y2)2

3dy

)dx =

2

3

∫ 1

−1

(x2y +

y3

3

) ∣∣∣∣√1−x2

−√1−x2

dx

=2

3

∫ 1

−1

(2x2√1− x2 + 2

3(1− x2)

√1− x2

)dx = . . .

Primjer 5.2. Izračunajte volumen paraboloida

z = 2− x2 − y2

omeđenog xy ravninom.

5.3. Sferne koordinate 39

Nacrtajmo paraboloid

–1–0.50

0.51 –1

–0.50

0.51

–2

–1

0

1

2

Jedino što treba odrediti su granice integracije. “Spljoštimo” li paraboloid na xyravninu, vidimo da je od njega ostao krug radijusa

√2 sa središtem u ishodištu.

Njega je lako parametrizirati:

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, 0 ≤ ρ ≤√2, 0 ≤ ϕ < 2π.

Donja granica po z je očito 0. Uvrstimo li x i y u gornju granicu za z, dobivamo

z = 2− ρ2 cos2 ϕ− ρ2 sin2 ϕ = 2− ρ2.

Prema tome,

V =

∫∫V

∫dV =

∫ √20

(∫ 2π

0

(∫ 2−ρ2

0

ρ dz

)dϕ

)dρ =

∫ √20

(∫ 2π

0

ρz

∣∣∣∣2−ρ20

dϕ

)dρ

=

∫ √20

(∫ 2π

0

ρ(2− ρ2) dϕ)dρ =

∫ √20

ρ(2− ρ2)ϕ∣∣∣∣2π0

dρ = 2π

∫ √20

ρ(2− ρ2) dρ

= 2π

(ρ2 − ρ4

4

) ∣∣∣∣√2

0

= 2π(2− 1) = 2π.

Ponovno, mogli smo integral napisati i u Kartezijevim koordinatama

V =

∫ √2−√2

(∫ √2−x2−√2−x2

(∫ 2−x2−y2

0

dz

)dy

)dx =

∫ √2−√2

(∫ √2−x2−√2−x2

z

∣∣∣∣2−x2−y20

dy

)dx

=

∫ √2−√2

(∫ √2−x2−√2−x2

(2− x2 − y2) dy)dx =

∫ √2−√2

(2y − x2y − y3

3

) ∣∣∣∣√2−x2

−√2−x2

dx

=

∫ √2−√2

(4√2− x2 − 2x2

√2− x2 − 1

3(2− x2)

√2− x2

)dx = . . .

5.3. Sferne koordinate

Sferne koordinate su druga generalizacija polarnih koordinata na prostor. Zatočku u prostoru definiramo njenu udaljenost od ishodišta i to je koordinata r.


Spojimo li ishodište sa zadanom točkom dobili smo dužinu OT . Kut koji ta točkazatvara s pozitivnim dijelom osi z zovemo ϑ. Konačno, napravimo li projekciju točkeT na xy ravninu i povučemo spojnicu OT ′, kut koji ta spojnica zatvara s pozitivnimdijelom osi x zovemo ϕ).

Dakle,

~r = (x, y, z) = (r sinϑ cosϕ, r sinϑ sinϕ, r cosϑ),

pr čemu je

0 ≤ r <∞, 0 ≤ ϑ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π.

Uočimo da između Kartezijevih koordinata i sfernih koordinata postoji bijekcijau svim točkama prostora, osim u ishodištu. Naime, ako je radijus r = 0 onda za ϑi ϕ možemo staviti što god hoćemo.

Promotrimo sada što su sada r, ϑ i ϕ linije, te (r, ϑ), (r, ϕ) i (ϑ, ϕ) plohe.Dakle, kad fiksiramo ϑ i ϕ, dobili smo r liniju. r linija je polupravac kojem je

početak u ishodištu, koji prema pozitivnom smjeru osi z zatvara kut ϑ0, a njegovaprojekcija na xy os zatvara s pozitivnim smjerom x osi kut ϕ0.

Ako fiksiramo r i ϕ, dobili smo ϑ liniju. ϑ linija je polukružnica radijusa r0 kojase nalazi u ravnini okomitoj s xy, i to takvoj da s pozitivnim smjerom osi x zatvarakut ϕ0.

Konačno, ako fiksiramo r i ϑ, dobili smo ϕ liniju. ϕ linija je kružnica radijusar0 sinϑ0 sa središtem na z osi, koja se nalazi u ravnini paralelnoj s xy ravninom, akoja je od xy ravnine udaljena r0 cosϑ0.

Sada promotrimo (r, ϑ) plohu. To znači da smo fiksirali ϕ i da je on jednak ϕ0.(r, ϑ) ploha je poluravnina kojoj je “početak” z os. Ta poluravnina je okomita naxy ravninu, a s pozitivnim smjerom x osi zatvara kut ϕ0.

Ako fiksiramo ϑ, dobili smo (r, ϕ) plohu. (r, ϕ) ploha je uspravni konus sa vrhomu ishodištu, pritom je kut tog konusa u ishodištu 2ϑ0.

Konačno, ako fiksiramo r, dobili smo (ϑ, ϕ) plohu. (ϑ, ϕ) ploha je sfera radijusa

5.3. Sferne koordinate 41

r0 sa središtem u ishodištu.

Promotrimo sada tangencijalne vektore u smjeru r, ϑ i ϕ. Deriviranjem

~r = (x, y, z) = (r sinϑ cosϕ, r sinϑ sinϕ, r cosϑ)

po r, ϑ i ϕ izlazi

~rr =∂~r(r, ϑ, ϕ)

∂r= (sinϑ cosϕ, sinϑ sinϕ, cosϑ),

~rϑ =∂~r(r, ϑ, ϕ)

∂ϑ= (r cosϑ cosϕ, r cosϑ sinϕ,−r sinϑ),

~rϕ =∂~r(r, ϑ, ϕ)

∂ϕ= (−r sinϑ sinϕ, r sinϑ cosϕ, 0).

Kao i dosad tangencijalni vektori su tangencijalni na odgovarajuću liniju, a smjerim je smjer porasta te linije (po odgovarajućem parametru).

Za integraciju u sfernim koordinatama trebat će nam diferencijal volumena, od-nosno volumen “paralelepipeda” kojemu su stranice ~rrdr, ~rϑdϑ i ~rϕdϕ. Ako znamovektore stranica koje određuju taj paralelepiped,

onda je njegov volumen dan mješovitim produktom vektora koji ga određuju:

dV = (~rr dr × ~rϑ dϑ) · ~rϕ dϕ = [(~rr × ~rϑ) · ~rϕ] dρ dϑ dϕ

=

∣∣∣∣∣∣sinϑ cosϕ sinϑ sinϕ cosϑr cosϑ cosϕ r cosϑ sinϕ −r sinϑ−r sinϑ sinϕ r sinϑ cosϕ 0

∣∣∣∣∣∣ dr dϑ dϕ= [sinϑ cosϕ(0 + r2 sin2 ϑ cosϕ)− sinϑ sinϕ(0− r2 sin2 ϑ sinϕ)

+ cosϑ(r2 sinϑ cosϑ cos2 ϕ+ r2 sinϑ cosϑ sin2 ϕ)] dr dϑ dϕ

= [r2 sin3 ϑ cos2 ϕ+ r2 sin3 ϑ sin2 ϕ+ cosϑ(r2 sinϑ cosϑ)] dr dϑ dϕ

= [r2 sin3 ϑ+ r2 sinϑ cos2 ϑ] dr dϑ dϕ = r2 sinϑ dr dϑ dϕ.

Dakle,

dV = r2 sinϑ dr dϑ dϕ.

Sada možemo definirati i integral skalarnog polja po volumenu V u sfernim


koordinatama s∫∫V

∫U(~r) dV =

∫ ∫Vr,ϑ,ϕ

∫U(~r(r, ϑ, ϕ)) r2 sinϑ dr dϑ dϕ.

Posljednji integral je obični trostruki integral po varijablama r, ϑ i ϕ.

Primjer 5.3. Izračunajte ∫∫Vx,y,z

∫e(x

2+y2+z2)3/2 dx dy dz,

ako je V jedinična kugla x2 + y2 + z2 = 1.

–1

–0.50

0.5

1 –1

–0.5

0

0.5

1–1

–0.5

0

0.5

1

Najpametnije je prijeći u sferne koordinate, pa naš integral glasi:

I =

∫ 2π

0

(∫ π

0

(∫ 1

0

e(r2)3/2r2 sinϑ dr

)dϑ

)dϕ

=

∫ 2π

0

(∫ π

0

(∫ 1

0

er3

r2 sinϑ dr

)dϑ

)dϕ

=

∫ 2π

0

(∫ π

0

1

3er

3

∣∣∣∣10

sinϑ dϑ

)dϕ =

1

3

∫ 2π

0

(∫ π

0

(e− 1) sinϑ dϑ

)dϕ

=1

3(e− 1)

∫ 2π

0

(− cosϑ)

∣∣∣∣π0

dϕ =1

3(e− 1)

∫ 2π

0

2 dϕ =2

3(e− 1)ϕ

∣∣∣∣2π0

=2

3(e− 1)2π =

4π

3(e− 1).

5.4. Opće koordinate

Umjesto cilindarskih ili sfernih koordinata, možemo promatrati i opće koordi-nate parametrizirane s neka 3 parametra

~r = ~r(u, v, w).

Da bismo u tim novim koordinatama mogli izračunati integral po volumenu,

5.4. Opće koordinate 43

ponovno moramo izračunati volumen paralelepipeda određenog vektorima ~ru du,~rv dv i ~rw dw, tj. moramo izračunati

dV = |(~ru × ~rv) · ~rw| du dv dw,

pritom je stavljen znak apsolutne vrijednosti, da bi nam osigurao da je volumenpozitivan.

Vrlo često se

J = (~ru × ~rv) · ~rw

zove Jacobijan preslikavanja ili Jacobijan koordinatnog sustava.Sada možemo definirati i integral skalarnog polja po volumenu V s∫ ∫

V

∫U(~r) dV =

∫ ∫Vu,v,w

∫U(~r(u, v, w))|J | du dv dw.

Posljednji integral je obični trostruki integral po varijablama u, v i w.Primijetite da se Jacobijan sustava lako računa, ako znamo varijable x, y i z

izraziti pomoću novih parametara u, v i w:

x = x(u, v, w),

y = y(u, v, w),

z = z(u, v, w).

Ako s xu označimo parcijalnu derivaciju koordinate x po parametru u, s xv parcijalnuderivaciju koordinate x po parametru v, . . . imamo

|J | =

∣∣∣∣∣∣detxu yu zuxv yv zvxw yw zw

∣∣∣∣∣∣ ,pri čemu | | označava apsolutnu vrijednost, a det determinantu matrice.

Primijetite da je za cilindarske koordinate

|J | = ρ,

a za sferne|J | = r2 sinϑ.

5_p

Documents